TES DS3 dérivation et continuité sur un intervalle S1 1

TES
DS3 dérivation et continuité sur un intervalle
S1
Exercice 1 : (3 points)
Dans un repère,
est la courbe représentative d’une fonction f définie et dérivable sur I. Dans
chacun des cas, déterminer une équation de la tangente à
a) f(x) = 3x² - 5x + 1
3
b) f(x) = -x² + x
au point d’abscisse a.
a=1
a=2
Exercice 2 : (4 points)
f est une fonction définie et dérivable sur Y, croissante
sur ]- ∞ ;0] et décroissante sur [0 ;+ ∞[ et strictement
positive sur [-1 ;+ ∞[.
Sa représentation graphique dans un repère est donnée
ci-contre.
a) Une des trois courbes ci-dessous représente la fonction f’. Laquelle ? Justifier la
réponse.
b) Une fonction g, définie et dérivable sur Y, admet pour dérivée la fonction f. Une seule
des courbes ci-dessous peut représenter la fonction g. Laquelle ? Justifier la réponse.
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DS3 dérivation et continuité sur un intervalle
S1
Exercice 3 : règles de dérivation (6 points)
u et v sont deux fonctions définies et dérivables sur Y par u(x) = 1 – 5x et v(x) = 3x² + 4.
Déterminer l’expression de la dérivée de chacune des fonctions suivantes :
a) h = u×v
b) k =
2
v
c) l =
u
v
Exercice 4 : (3 points)
p désigne un nombre réel.
f est la fonction définie sur l’intervalle [-2 ;2] par :
 x – p si x ∈ [-2 ,0]
f(x) = 
x² + 4 si x ∈ ]0 ,2]
a) Tracer la courbe représentative de la fonction f en prenant p = 0 à l’écran de la
calculatrice.
b) Que peut-on dire de la fonction f si p = 0 ?
c) Déterminer la valeur de p telle que f soit continue sur l’intervalle [-2 ;2].
Exercice 5 : (4 points)
f est la fonction définie sur [-2 ;3] par :
f(x) = x3 - 3x² + 6
a) Dresser le tableau de variation de f.
b) Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution α dans l’intervalle [-2 ;3].
c) En déduire le tableau de signes de f(x) sur [-2 ;3].
d) A l’aide de la calculatrice, déterminer l’arrondi de α au centième.
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Exercice 1 : (3 points)
Dans un repère,
est la courbe représentative d’une fonction f définie et dérivable sur I. Dans
chacun des cas, déterminer une équation de la tangente à
a) f(x) = -3x² + 2x - 4
3
b) f(x) = x² - x
au point d’abscisse a.
a=2
a=1
Exercice 2 : (4 points)
f est une fonction définie et dérivable sur Y, décroissante sur ]- ∞ ;-1]
et croissante sur [-1 ;+ ∞[ et strictement positive sur ]- ∞ ;-2[.
Sa représentation graphique dans un repère est donnée ci-contre.
a) Une des trois courbes ci-dessous représente la fonction f’.
Laquelle ? Justifier la réponse.
b) Une fonction g, définie et dérivable sur Y, admet pour dérivée la fonction f. Une seule des
courbes ci-dessous peut représenter la fonction g. Laquelle ? Justifier la réponse.
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S2
Exercice 3 : règles de dérivation (6 points)
u et v sont deux fonctions définies et dérivables sur Y par u(x) = 2 – 3x et v(x) = 4x² - 3.
Déterminer l’expression de la dérivée de chacune des fonctions suivantes :
a) h = u×v
b) k =
2
v
c) l =
u
v
Exercice 4 : (3 points)
p désigne un nombre réel.
f est la fonction définie sur l’intervalle [-3 ;3] par :
- x + p si x ∈ [-3 ,0]
f(x) = 
x² + 1 si x ∈ ]0 ,3]
a) Tracer la courbe représentative de la fonction f en prenant p = 0 à l’écran de la
calculatrice.
b) Que peut-on dire de la fonction f si p = 0 ?
c) Déterminer la valeur de p telle que f soit continue sur l’intervalle [-3 ;3].
Exercice 5 : (4 points)
f est la fonction définie sur [-2 ;7] par :
f(x) = -x3 + 6x² + 5
a) Dresser le tableau de variation de f.
b) Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution α dans l’intervalle [-2 ;7].
c) En déduire le tableau de signes de f(x) sur [-2 ;7].
d) A l’aide de la calculatrice, déterminer l’arrondi de α au centième.
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CORRECTION
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Exercice 1 : (3 points)
Dans un repère,
est la courbe représentative d’une fonction f définie et dérivable sur I.
Dans chacun des cas, déterminer une équation de la tangente à
a) f(x) = 3x² - 5x + 1
a=1
b) f(x) = -x² + x3
a=2
Une équation de la tangente à
au point d’abscisse a.
est y = f’(a)(x – a) + f(a).
a) f est une fonction polynôme
dérivable sur Y.
f’(x) = 3×(2x) – 5 = 6x – 5
Une équation de la tangente à
au
point d’abscisse 1 est donc :
y = f’(1)(x – 1) + f(1) = (6×1 – 5)×(x
– 1) + 3×1² - 5×1 + 1 = x – 1 + 3 – 5 +
1=x–2
b) f’(x) = -2x + 3x²
Une équation de la tangente à
au
point d’abscisse 2 est donc :
y = f’(2)(x – 2) + f(2)
y = (-2×2 + 3×2²)×(x – 2) – 2² + 23
Soit y = 8(x – 2) + 4 = 8x – 16 + 4
Soit y = 8x - 12
Exercice 2 : (4 points)
f est une fonction définie et dérivable sur Y,
croissante sur ]- ∞ ;0] et décroissante sur [0 ;+ ∞[ et
strictement positive sur [-1 ;+ ∞[.
Sa représentation graphique dans un repère est donnée
ci-contre.
a) Une des trois courbes ci-dessous représente la fonction f’. Laquelle ? Justifier la
réponse.
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DS3 dérivation et continuité sur un intervalle
CORRECTION
S1
b) Une fonction g, définie et dérivable sur Y, admet pour dérivée la fonction f. Une seule
des courbes ci-dessous peut représenter la fonction g. Laquelle ? Justifier la réponse.
a) La fonction f étant croissante sur ]- ∞ ;0] et décroissante sur [0 ;+ ∞[, on a :
•
Si x ≤ 0, alors f’(x) ≥ 0
•
Si x ≥ 0, alors f’(x) ≤ 0
Seule la courbe
1
remplit ces deux conditions.
b) On a g’(x) = f(x)
Or f(x) est négatif pour x ≤ -1 et f(x) est positif pour x ≥ -1.
Donc g est décroissante sur ]- ∞ ; -1] et croissante sur [-1 ; + ∞[
Seule la courbe
’3 remplit ces deux conditions
Exercice 3 : règles de dérivation (6 points)
u et v sont deux fonctions définies et dérivables sur Y par u(x) = 1 – 5x et v(x) = 3x² + 4.
Déterminer l’expression de la dérivée de chacune des fonctions suivantes :
a) h = u×v
b) k =
2
v
c) l =
u
v
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DS3 dérivation et continuité sur un intervalle
CORRECTION
S1
a) h’ = u’v + uv’
Donc h’(x) = u’(x)×v(x) + u(x)×v’(x)
h'(x) = -5×(3x² + 4) + (1 – 5x)×6x = -15x² - 20 + 6x – 30x²
h’(x) = -45x² + 6x – 20
b) k’ = -
2v’
v²
Donc k’(x) =
c) l’ =
- 2×(6x)
-12x
=
(3x² + 4)² (3x² + 4)²
u’v – uv’
v²
Donc l’(x) =
Soit l’(x) =
-5×(3x² + 4) – (1 – 5x)×6x -15x² - 20 -6x + 30x²
=
(3x² + 4)²
(3x² + 4)²
15x² -6x – 20
(3x² + 4)²
Exercice 4 : (3 points)
p désigne un nombre réel.
f est la fonction définie sur l’intervalle [-2 ;2] par :
 x – p si x ∈ [-2 ,0]
f(x) = 
x² + 4 si x ∈ ]0 ,2]
a) Tracer la courbe représentative de la fonction f en prenant p = 0 à l’écran de la
calculatrice.
b) Que peut-on dire de la fonction f si p = 0 ?
c) Déterminer la valeur de p telle que f soit continue sur l’intervalle [-2 ;2].
a)
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CORRECTION
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b) Si p = 0, la fonction f n’est pas continue sur [-2 ;2].
c) f(0) = 0 – p
Pour x = 0, x² + 4 = 4
Pour que f soit continue en 0, il faut que – p = 4 soit p = –4
Exercice 5 : (4 points)
f est la fonction définie sur [-2 ;3] par :
f(x) = x3 - 3x² + 6
a) Dresser le tableau de variation de f.
b) Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution α dans l’intervalle [-2 ;3].
c) En déduire le tableau de signes de f(x) sur [-2 ;3].
d) A l’aide de la calculatrice, déterminer l’arrondi de α au centième.
a) f en tant que polynôme est dérivable sur Y.
f’(x) = 3x² - 6x = 3x(x – 2)
Tableau de signes de f’(x) :
x
-2
0
3x
0
x–2
f'(x)
+
0
On en déduit le tableau de variation de f :
x -2
f'
0
+
2
+
-
3
+
+
+
0
0
2
-
3
+
6
6
f(x)
-14
2
f(-2) = (-2)3 -3×(-2)² + 6 = -8 -3×4 + 6 = -8 - 12 + 6 = -14
f(0) = 0 – 3×0 + 6 = 6
f(2) = 23 -3×2² + 6 = 8 – 12 + 6 = 2
f(3) = 33 -3×3² + 6 = 27 – 27 + 6 = 6
b) Comme f est strictement croissante sur [-2 ;0] et f(-2) < 0 et f(0) > 0, alors
d’après la propriété des valeurs intermédiaires il existe un réel α ∈ [-2 ;0] tel
que f(α) = 0.
D’après le tableau des variations de f, on a de plus si x ∈ [0 ;3] alors f(x) > 0.
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CORRECTION
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Donc l’équation f(x) = 0 admet bien une unique solution α dans l’intervalle [2 ;3].
c) Tableau de signes de f(x) sur [-2 ;3] :
x
-2
f(x)
-
α
0
3
+
d) En utilisant une méthode de recherche par balayage sur la calculatrice, on
obtient : α ≈ -1,20
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CORRECTION
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Exercice 1 : (3 points)
Dans un repère,
est la courbe représentative d’une fonction f définie et dérivable sur I. Dans
chacun des cas, déterminer une équation de la tangente à
a) f(x) = -3x² + 2x - 4
a=2
b) f(x) = x² - x3
a=1
Une équation de la tangente à
au point d’abscisse a.
est y = f’(a)(x – a) + f(a).
a) f’(x) = -3×(2x) + 2×1 = -6x + 2
Une équation de la tangente à
au point d’abscisse 0 est donc :
y = f’(2)(x – 2) + f(2)
y = (-6×(-2) + 2)(x – 2) - 3×2² + 2×2 - 4
y = -10(x – 2) -12 = -10x + 20 – 12 = -10x + 8
b) f’(x) = 2x – 3x²
Une équation de la tangente à
au point
d’abscisse 1 est donc :
y = f’(1)(x – 1) + f(1)
y = (2×1 - 3×1²)(x – 1) + 1² - 13
y = -(x – 1) = -x + 1
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CORRECTION
S2
Exercice 2 : (4 points)
f est une fonction définie et dérivable sur Y, décroissante sur ]∞ ;-1] et croissante sur [-1 ;+ ∞[ et strictement positive sur ]- ∞ ;-2[.
a) Une des trois courbes ci-dessous représente la fonction f’.
Laquelle ? Justifier la réponse.
b) Une fonction g, définie et dérivable sur Y, admet pour dérivée la fonction f. Une seule
des courbes ci-dessous peut représenter la fonction g. Laquelle ? Justifier la réponse.
a) La fonction f étant décroissante sur ]- ∞ ;-1] et croissante sur [-1 ;+ ∞[, on a :
•
Si x ≤ -1, alors f’(x) ≤ 0
•
Si x ≥ -1, alors f’(x) ≥ 0
Seule la courbe
3
remplit ces deux conditions.
b) On a g’(x) = f(x)
Or f(x) est positif pour x ≤ -2 et f(x) est négatif pour x ≤ -2.
Donc g est croissante sur ]- ∞ ; -2] et décroissante sur [-2 ; ∞[
Seule la courbe
’2 remplit ces deux conditions.
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CORRECTION
S2
Exercice 3 : règles de dérivation (6 points)
u et v sont deux fonctions définies et dérivables sur Y par u(x) = 2 – 3x et v(x) = 4x² - 3.
Déterminer l’expression de la dérivée de chacune des fonctions suivantes :
a) h = u×v
b) k =
2
v
c) l =
u
v
a) h’ = u’v + uv’
h’(x) = -3×(4x² - 3) + (2 – 3x)×8x = -12x² + 9 + 16x – 24x² = -36x² + 16x + 9
b) k’ =
-2v’
v²
-2×(8x)
-16x
=
(4x² - 3)² (4x² - 3)²
Donc k’(x) =
c) l’ =
u’v – uv’
v²
Donc l’(x) =
Soit l’(x) =
-3×(4x² - 3) –(2 – 3x)×8x -12x² + 9 – 16x + 24x²
=
(4x² - 3)²
(4x² - 3)²
12x² - 16x + 9
(4x² - 3)²
Exercice 4 : (3 points)
p désigne un nombre réel.
f est la fonction définie sur l’intervalle [-3 ;3] par :
- x + p si x ∈ [-3 ,0]
f(x) = 
x² + 1 si x ∈ ]0 ,3]
a) Tracer la courbe représentative de la fonction f en prenant p = 0 à l’écran de la
calculatrice.
b) Que peut-on dire de la fonction f si p = 0 ?
c) Déterminer la valeur de p telle que f soit continue sur l’intervalle [-3 ;3].
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DS3 dérivation et continuité sur un intervalle
CORRECTION
S2
a)
b) Si p = 0, la fonction f n’est pas continue sur [-2 ;2].
c) f(0) = p
Pour x = 0, x² + 1 = 1
Pour que f soit continue en 0, il faut que p = 1.
Exercice 5 : (4 points)
f est la fonction définie sur [-2 ;7] par :
f(x) = -x3 + 6x² + 5
a) Dresser le tableau de variation de f.
b) Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution α dans l’intervalle [-2 ;7].
c) En déduire le tableau de signes de f(x) sur [-2 ;7].
d) A l’aide de la calculatrice, déterminer l’arrondi de α au centième.
a) f est dérivable sur [-2;7] en tant que fonction polynôme.
f’(x) = -3x² + 12x = 3(-x² + 4x) = 3x(4 – x)
Donc f est strictement croissante sur [-4 ;4].
Tableau de signes de f’(x) :
x
-2
0
3x
0
4-x
+
f'(x)
0
On en déduit le tableau de variation de f :
x -2
f'
37
f(x)
0
-
4
+
+
+
+
-
0
0
4
+
7
7
-
37
5
-44
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CORRECTION
S2
f(-2) = -(-2)3 + 6×(-2)² + 5 = 8 + 24 + 5 = 37
f(0) = -03 + 6×0² + 5 = 5
f(4) = -43 + 6×4² + 5 = -64 + 96 + 5 = 37
f(7) = -73 + 6×7² + 5 = -343 + 294 + 5 = -44
b) Comme f est strictement décroissante sur [4 ;7] et f(4) > 0 et f(7) < 0, alors
d’après la propriété des valeurs intermédiaires il existe un réel α ∈ [4 ;7] tel que
f(α) = 0.
D’après le tableau des variations de f, on a de plus si x ∈ [-2 ;4] alors f(x) > 0.
Donc l’équation f(x) = 0 admet bien une unique solution α dans l’intervalle [-2 ;7].
c) Tableau de signes de f(x) sur [-2 ;7] :
x
-2
f(x)
+
α
0
7
-
d) A l'aide d'une méthode de recherche par balayage, on obtient à l'aide de la calculatrice :
α ≈ 6,13.
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