Comparer des nombres

CHAPITRE
Comparer des
nombres
Énigme du chapitre.
— Je suis un nombre de cinq chiffres dont
trois après la virgule.
— Seulement deux de mes chiffres sont
égaux : celui des unités et celui des centièmes.
— Lorsque l’on range les trois autres
chiffres dans l’ordre décroissant, on
trouve : le chiffre des millièmes, le celui
des dizaines et celui des dixièmes.
— Je suis le plus grand nombre possible.
Qui suis-je ?
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Objectifs du chapitre.
— Comparer deux nombres entiers ou décimaux, ranger une liste de nombres.
— Encadrer un nombre, intercaler un
nombre entre deux autres.
— *Donner une valeur approchée décimale (par excès ou par défaut d’un décimal à l’unité, au dixième, au centième
près).
I/ Comparaison des nombres décimaux
Activité A. Comparer des nombres décimaux
1. Comparer les nombres 32,2 et 21,48. Expliquer la réponse.
2. Quatre élèves ont comparé les nombres 2,9 et 2,47 qui ont la même partie entière.
Julie : Comme 9 < 47, on a donc 2,9 < 2,47.
Dayna : 2,9 = 2,90 = 2 +
90
100
et 2,47 = 2 +
47
100 .
90 > 47 donc 2,9 > 2,47.
Guillaume : Le chiffre des dixièmes de 2,9 est 9. Le chiffre des dixièmes de 2,47 est 4.
9 > 4 donc 2,9 > 2,47.
Alyson :
2
2.47
2.9
3
2,47 est avant 2,9 donc 2,47 < 2,9 ?
(a) Quel élève a comparé les chiffres des dixièmes ? Sa réponse est-elle juste ?
(b) La méthode suivie par Dayna est-elle correcte ? Pourquoi écrit-elle un zéro supplémentaire à 2,9 ?
(c) Quel est l’élève qui obtient une réponse fausse ? Expliquer son erreur.
(d) Quelle méthode utilise le dernier élève pour comparer les nombres 2,9 et 2,47 ? Sa
réponse est-elle juste ?
3. (a) En vous inspirant de la méthode de Dayna, comparer les nombres 12,5 et 12,47.
(b) En vous inspirant de la méthode d’Alyson, comparer les nombres 17,2 et 17,87.
1) Comparaison de deux nombres décimaux
Définition
Comparer deux nombres revient à déterminer celui qui est inférieur ou supérieur ou égal à l’autre.
Notations
— Le symbole « < » signifie « est inférieur à ».
— Le symbole « > » signifie « est supérieur à ».
— Le symbole « = » signifie « est égal à ».
Exemples
— 15,1 < 15,3 ;
— 164,8 < 164 ;
— 25 = 250
10 .
Méthode
— Si les deux nombres décimaux ont des parties entières différentes, le plus petit est celui
qui a la plus petite partie entière.
— Si les deux nombres décimaux ont même parties entières mais leurs chiffres des dixièmes
différents, le plus petit est celui qui a le plus petit chiffre des dixièmes.
— Si les deux nombres décimaux ont même parties entières, même chiffre des dixièmes et
leurs chiffres des centièmes différents, le plus petit est celui qui a le plus petit chiffre des
centièmes.
— etc.
Exemples
— 7,85 < 11,82 car 7 < 11 ;
— 14,259 < 14,36 car 2 < 3 ;
— 0,457 < 0,48 car 5 < 8.
2) Rangement d’une liste de nombres décimaux
Définition
Ranger une listre de nombres décimaux :
— dans l’ordre croissant, revient à écrire ces nombres du plus petit au plus grand.
— dans l’ordre décroissant, revient à écrire ces nombres du plus grand au plus petit.
Exemple
On considère la liste de nombres suivants :
136,8 ; 127,85 ; 136,84 ; 138.
Voici le rangement de cette liste dans l’ordre décroissant :
138 > 136,84 > 136,8 > 127,85.
Faire les exercices 1 2 3 4 F 5 6 F 7 F
II/ Encadrement
Activité B. Des encadrements de nombre décimal
Dans toute cette activité, on considère le point A d’abscisse a placé sur la demi-droite cidessous :
A
0
1
2
a 4
3
5
On ne connaît pas précisément le nombre a.
1. (a) Quel est le plus grand nombre entier inférieur au nombre a ?
Quel est le plus petit nombre entier supérieur au nombre a ?
Que peut-on remarque concernant les deux nombres trouvés ?
(b) Recopier et compléter l’encadrement suivant à l’aide des réponses précédentes : . . . <
a < . . .. Lorsque le nombre a est encadré par deux nombres entiers consécutifs, l’encadrement est appelé encadrement à l’unité du nombre a.
2. Pour préciser l’encadrement du nombre a, on « agrandit » la portion de demi-droite graduée
comprise entre les points B et C.
0
1
2
B
A C
3
a 4
1 unité
E AF
B
a
1 dixième
3
5
C
4
E
H A I
F
3,7
a
1 centième
3,8
(a) Quelles sont les abscisses des points E et F ?
(b) En déduire un nouvel encadrement du nombre a.
(c) Calculer la différence entre l’abscisse du point F et l’abscisse du point E.
On dit que ce nouvel encadrement est un encadrement au dixième du nombre a.
3. On « agrandit » encore la demi-droite graduée entre les points E et F .
(a) Quelles sont les abscisses des points H et I ?
(b) En déduire un encadrement au centième au nombre a.
Définition (Rappel : encadrement)
Donner un encadrement d’un nombre décimal revient à déterminer deux nombres : l’un inférieur
à ce nombre et l’autre supérieur à ce nombre.
Exemple
On veut donner plusieurs encadrements du nombre 16,258.
— 16 < 16,258 < 17 est un encadrement à l’unité du nombre 16,258.
— 16,2 < 16,258 < 16,3 est un encadrement au dixième du nombre 16,258.
— 16,25 < 16,258 < 16,26 est un encadrement au centième du nombre 16,258.
Définition
Un nombre est intercalé entre deux autres lorsqu’il est compris entre ces nombres.
Exemple
On veut donner un nombre que l’on peut intercaler entre 4,7 et 4,8. Par exemple, on peut écrire :
4,7 < 4,74 < 4,8. Le nombre 4,74 est intercalé entre 4,7 et 4,8.
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III/ Valeurs approchées
***
Définition (Troncature à l’unité)
La troncature à l’unité d’un nombre est le nombre obtenu en supprimant tous les chiffres situés
à droige du chiffre des unités.
Exemple
13 est la troncature à l’unité de 13,71
Définition (Arrondi à l’unité)
L’arrondi à l’unité d’un nombre est :
— l’entier le plus proche de ce nombre
ou
— l’entier supérieur quand ce nombre n’a qu’une seule décimale et que cette décimale est 5.
Exemples
L’arrondi à l’unité de :
— 13,71 est 14 ;
— 13,49 est 13 ;
— 13,5 est 14.
Faire les exercices 14 15 16 F
Problèmes :
Faire les exercices 17 F 18 F