Exercice 1. Un test de dépistage d`une maladie est positif chez 99

Université Claude Bernard - Lyon 1
2016-2017
Master mathématiques appliquées, statistique
Probabilités
TD 1 : Événements, conditionnement, variables aléatoires.
Exercice 1. Un test de dépistage d’une maladie est positif chez 99% des personnes malades. Il
l’est également pour 5% des personnes indemnes de cette maladie. On suppose que la proportion
de personnes atteintes par cette maladie dans la population générale est p ∈]0, 1[.
Pour une personne donnée, le test est positif. Quelle est, en fonction de p la probabilité qu’elle
soit malade ?
Exercice 2. On dispose de trois urnes notées respectivement U1 , U2 et U3 , contenant des boules
blanches et des boules vertes. On suppose que la proportion de boules vertes dans U1 est 1/2,
qu’elle est égale à 1/3 dans U2 , et à 1/4 dans U3 .
On choisit une urne « au hasard », puis on pioche une boule et on note sa couleur. Quelle est
la probabilité de tirer une boule verte ? Sachant qu’on a obtenu une boule verte, quelle est la
probabilité qu’elle vienne de l’urne n◦ 1 ?
Exercice 3. Deux urnes U1 et U2 contiennent chacune initialement 4 boules blanches et 6 boules
noires. On tire au hasard une boule dans U1 et sans la regarder on la place dans U2 , puis on tire
au hasard une boule dans U2 . On s’interesse à la couleur des deux boules tirées successivement.
1. Ecrire l’espace des issues ainsi que la probabilité associée à chaque issue.
2. Quelle est la probabilité que la deuxième boule soit de couleur blanche ?
3. Sachant que la deuxième boule est de couleur blanche, quelle est la probabilité que la
première soit de couleur noire ?
Exercice 4.
1. Soient A1 , . . . , An n événements, montrez
X
X
P(∪ni=1 Ai ) =
P(Ai )−
P(Ai ∩Aj )+
1≤i≤n
1≤i<j≤n
X
P(Ai ∩Aj ∩Ak )−. . .+(−1)n−1 P(∩ni=1 Ai ).
1≤i<j<k≤n
2. Dans chaque boîte de Corn Flakes on peut trouver un buste en plastique à l’effigie de l’un
des cinq derniers Présidents de la République. La probabilité qu’une boîte donnée contienne
un Président donné est 15 indépendemment des autres boîtes. Montrer que la probabilité que
chacun des trois derniers Présidents soit obtenu dans un pack de 6 boîtes de Corn Flakes
est 1 − 3( 54 )6 + 3( 35 )6 − ( 52 )6 .
Exercice 5. On lance n fois une pièce de monnaie avec laquelle la probabilité d’obtenir pile vaut
p ∈]0, 1[. On appelle Xn la v.a.r. correspondant au nombre de piles obtenus. Le but de l’exercice
est de calculer In = P(Xn est impair).
1. Donner la loi de Xn , et son espérance.
2. Soit Yn = (−1)Xn . Calculer E(Yn ) à partir de la loi de Xn .
3. Donner la loi de Yn en fonction de In . Calculer E(Yn ).
4. Déduire des précédentes questions la valeur de In . Que se passe-t-il lorsque n → +∞ ? S’y
attendait-on ?
1
Exercice 6. Une urne contient b boules bleues et r boules rouges.
1. On procède à n tirages successifs avec remise. Quelle est la probabilité de tirer k fois une
boule bleue ?
2. On retire maintenant les boules une à une de l’urne sans les y remettre.
(a) Quelle est la probabilité que la première boule rouge à être retirée soit la k + 1-ième
boule ?
(b) Quelle est la probabilité que la dernière boule à être retirée soit rouge ?
Exercice 7. Soit X : (Ω, Σ, P) → R une variable aléatoire. Dans chacun des cas suivants, décrire
la fonction
de répartition
de X, définie par F (x) = P(X ≤ x), et calculer E|X|, E(X), E(X 2 ),
E e−λX et/ou E eiaX pour les variables aléatoires X dont les lois sont données ci-dessous :
1. X(Ω) = {0, 1} et P(X = 1) = 1 − P(X = 0) = p où p est un réel de [0, 1] fixé (loi de
Bernoulli).
2. X(Ω) = N et pour tout n ∈ N, P(X = n) = e−m mn /n!, où m est un réel positif fixé (loi de
Poisson).
3. dX(P) = 1[0,1] (x) dx (loi uniforme sur [0, 1]).
√
4. dX(P) = exp(−x2 /2) dx/ 2π (loi normale centrée réduite).
5. Faire de même pour toutes les lois usuelles.
Exercice 8. Soit X : (Ω, Σ, P) → R une v.a. de carré intégrable.
0. Soit a ∈ R et Y une variable aléatoire intégrable. Calculer Ea, E(Y + a), E(aY ).
1. Montrer que X est intégrable.
2. On définit la variance de X par var (X) = E((X −EX)2 ). Démontrer la formule de Koenig :
var (X) = E(X 2 ) − (E(X))2 .
3. Soit a ∈ R. Calculer var (a), var (X + a) et var (aX).
Exercice 9. Soit X une variable aléatoire de densité f . Déterminer, pour tout x ∈ R, P(X = x).
Exercice 10. (Loi Kappa)
Soit X la variable aléatoire réelle de densité fX définie par :
C xe−κx si x ≥ 0;
fX (x) =
0
si x < 0;
où κ est un paramètre inconnu strictement positif.
1. Déterminez en fonction de κ la valeur de la constante C pour que fX soit effectivement une
densité de probabilité sur R.
2. Montrez que l’espérance de la variable aléatoire X est égale à κ2 .
3. Montrez que sa variance est égale à
2
.
κ2
4. Calculez la probabilité que X soit supérieure à son espérance.
2
Exercice 11. Soit a un réel strictement positif. Soit f la fonction définie sur R par :
f (x) = a−2 x1[0,a/2] (x) + (a − x)1[a/2,a] (x) , x ∈ R.
1. Montrer que f est bien une densité.
2. Soit X une variable aléatoire de densité f et b un réel vérifiant 0 < b < a/2. Soient A et B
les évenements définis par :
n
na
o
ao
a
A= X>
, B=
−b<X < +b .
2
2
2
Les évenements A et B sont ils indépendants ?
3. Calculer l’espérance et la variance de X.
Exercice 12. Soit f la fonction définie par

 1/2 si x ∈ [−1; 0],
a si x ∈]0, 1],
f (x) =
 0 sinon.
1. Déterminer a pour que f définisse bien une densité de probabilité.
2. Soit X une variable aléatoire ayant pour densité f . On pose Z = X 2 . Quelles sont les valeurs
possibles de Z.
3. Calculer la fonction de répartition de Z et en déduire la densité de Z.
Exercice 13. Soit X : (Ω, Σ, P) → R une variable aléatoire de densité f . On fixe deux constantes
a 6= 0 et b et on note Y = aX + b. Montrer que Y a également une densité et l’expliciter.
Exercice 14. Soit X une variable aléatoire de fonction de répartition F et g : R → R une fonction continue strictement croissante. Exprimer la fonction de répartition de la variable aléatoire
g(X) en fonction de F et g.
Exercice 15. La fonction de répartition F : R → [0, 1] d’une variable aléatoire X : (Ω, Σ, P) →
R est supposée continue et strictement croissante. Déterminer la fonction de répartition des
variables aléatoires suivantes :
b) Y2 = − ln F (X)
a) Y1 = F (X)
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