Partiel_Méca Flu_14_15

Licence de Physique
L3 Mécanique
L3 Physique et Applications
2014-15
Mécanique des fluides
Partiel
Mardi 4 Novembre 2014
Durée: 2h. Sans documents. Calculettes autorisées.
Barème indicatif: I= 5, II= 8 et III= 7 points/20. Tous les résultats doivent être justifiés
par un raisonnement. Vérifiez les dimensions de tous vos résultats. Tout résultat
numérique devra être donné avec une unité.
N.B.: Lorsqu’il est demandé d’exprimer f en fonction de a et b il faut comprendre exprimer
f en fonction notamment de a et b. Autrement dit, selon les cas, d’autres grandeurs pourront
intervenir dans l’expression de f .
On donne: p0 = 105 Pa (pression atmosphérique), ρ = 103 kg/m3 (masse volumique de l’eau),
ρa ' ρ/800 (masse volumique de l’air) et g = 9, 8 m/s2 (accélération de la pesanteur).
En coordonnées cylindriques on rappelle que:
→
− →
−
rotationnel: ∇ ∧ A =
1 ∂Az
∂Aϕ ∂Ar
∂Az 1 ∂(rAϕ ) 1 ∂Ar
−
,
−
,
−
r ∂ϕ
∂z
∂z
∂r
r ∂r
r ∂ϕ
I- Récipient à fond conique
Un réservoir de forme cylindrique placé au sol contient de l’eau de masse volumique ρ sur une
hauteur H. Le rayon du réservoir est R. On supposera que la pression de l’air environnant est
constante égale à p0 . On rappelle que le volume d’un cône de rayon a et de hauteur b est πa2 b/3.
1) a) Exprimer le gradient de pression dans l’eau. En déduire l’expression de la pression en tout
point à l’intérieur du réservoir (figure de gauche).
−
→
b) Exprimer alors la résultante F1 des forces de pression dues à l’eau s’exerçant sur le réservoir.
−
→
Représenter F1 sur un schéma.
2) On considère à présent que la base du cylindre comporte un évidement de forme conique (figure
de droite). On peut considérer que cet évidement est soumis aux mêmes forces de pression que
celles d’un cône immergé dans l’eau.
a) Question préliminaire: soit un cône de hauteur h et de rayon à sa base Rc complètement
−
→
immergé dans l’eau. En appliquant le théorème d’Archimède, exprimer la force de pression Fc
exercée par l’eau sur le cône.
b) En déduire la force de pression due à l’eau s’exerçant sur l’évidement conique du réservoir.
−
→
c) De même qu’au 1), exprimer alors la résultante F2 des forces de pression dues à l’eau qui
s’exercent sur le réservoir avec le fond évidé. Comparer F1 et F2 en commentant.
II- Ecoulement parabolique
On étudie ici l’écoulement d’un fluide parfait, incompressible de masse volumique ρ en régime
permanent. Dans le référentiel du laboratoire R, cet écoulement a une symétrie de révolution
autour de Oz et on utilisera les coordonnées cylindriques (r, ϕ, z) avec les vecteurs de base
−−→ −−−→ −−−→
−−−→
−
→
−
(→
er , −
e→
ϕ , ez ). Un point M de l’écoulement est ainsi repéré par OM = OM1 + M1 M avec M1 M =
−
z→
ez . On définit l’écoulement par des lignes de courant qui sont regroupées en nappes de courant
définies par
r = λ
(z ≤ 0)
2
z
r = λ 1+ 2
(z > 0)
b
(1)
où λ est un paramètre désignant une nappe de courant et b une constante donnant leur forme.
La figure ci-dessous représente l’intersection de quelques nappes de courant avec le plan yOz.
Chaque ligne de courant est plane définie par la donnée de ϕ et la vitesse dans l’écoulement
−
−
−
d’écrit →
v = vr →
er + vz →
ez . On suppose que pour z ≤ 0 la vitesse du fluide est uniforme et partout
→
−
égale à v0 ez .
Figure 1: Intersection de nappes de courant avec différents λ avec le plan yOz. L’axe Ox est perpendiculaire au plan de la feuille. Les courbes orientées représentées sont des lignes de courant. La courbe en
tirets gris représente le volume D délimité par les surfaces S0 , S1 et Sl .
1) Montrer que vr =
2λz
vz .
b2
−
2) On cherche à exprimer complètement →
v en écrivant la conservation de la masse sur le volume
D délimité par les tirets sur la figure et fixe dans R. D est l’espace délimité par les surfaces S0 ,
S1 et Sl . Sl est une portion de nappe de courant définie par λ = R0 . Les surfaces S0 et S1 sont
des disques d’axe Oz et de rayons R0 et R1 . S0 est centré en O et la cote de S1 est z.
a) Etant donné une section droite S, rappeler la définition du débit volumique QV .
b) Exprimer R1 en fonction de R0 et de z.
c) Sachant que vz est constante dans la section S1 , exprimer la conservation de la masse au
travers de D. En déduire l’expression de vz pour z > 0 en fonction de z.
d) Exprimer alors vr pour z > 0 en fonction de z et λ puis en fonction de z et r.
−
3) Connaissant maintenant la vitesse →
v en tout point de l’espace,
a) comment peut-on montrer que cet écoulement est incompressible ? (ne pas faire la démonstration).
→
−
b) Déterminer le vecteur tourbillon (ou vorticité) Ω dans cet écoulement et commenter.
III- Pompe à cylindre
On s’intéresse au fonctionnement en régime permanent d’une pompe à cylindre représentée sur la
figure ci-dessous. La pompe prélève de l’eau depuis une profondeur h maintenue constante. Dans
le cylindre, un piston aspire et refoule de l’eau par un mouvement de va-et-vient. L’aspiration a
lieu lorsque le piston se déplace vers la gauche: la soupape 1 laisse alors passer l’eau si la pression
dans le cylindre p vérifie p < p0 . Le refoulement se fait par mouvement du piston vers la droite
et la soupape 2 laisse passer l’eau si p > p0 . Pendant le fonctionnement de la pompe toutes les
parties représentées en grisé sur la figure sont en permanence remplies d’eau. On supposera que
l’air environnant la pompe est à pression constante égale à p0 .
On note Sp l’aire du piston, s l’aire des tuyaux d’aspiration-refoulement et Q le débit massique.
Les dimensions du cylindre sont très petites devant h et on supposera donc la pression p dans
le cylindre uniforme. L’eau est considérée comme incompressible et on néglige les effets de la
viscosité.
Données: h = 5 m, Sp = 100 cm2 , s = 5 cm2 , Q = 10 kg/s.
1) Lors de l’aspiration le piston est tiré à vitesse constante v0 .
a) En appliquant le théorème de Bernoulli, exprimer la pression p dans le cylindre en fonction
de Q et h.
b) A quelle condition sur p la pompe fonctionnera-t-elle ? En déduire le débit maximal Qm
puis la vitesse maximale vm du piston.
c) Calculer Qm et vm .
2) Lors du refoulement, le piston est repoussé à vitesse constante v0 . L’eau est alors éjectée à
l’air libre avec la vitesse v1 .
a) Comment se traduit la conservation de la masse dans cet écoulement ? Exprimer alors la
vitesse v1 .
b) Exprimer la pression p dans le cylindre en fonction de Sp , s, Q et h.