Le rayonnement de corps noir 1. Définition: Rayonnement émis par un milieu en équilibre thermodynamique. Que signifie « équilibre thermodynamique » ? thermique (T), mécanique (P), chimique ETL Un exemple (dans une certaine limite...) de corps noir : le Soleil 2. Obtention d'un corps noir. Soit une enceinte fermée dans un thermostat à la température T. On la met à l'équilibre thermodynamique, puis on perce une petite ouverture, de façon à ne pas modifier l'équilibre. On regarde la luminance monochromatique qui sort Lν. On s’aperçoit qu’elle ne dépend pas de la direction. 1 Le rayonnement de corps noir 3. Lν ne dépend que de la température T T Lν L'ν Filtre monochromatique => Lν = fonction universelle qui ne dépend que de T et de ν: fonction de Kirchhoff => plus tard: Lν (T) = Bν (T) = fonction de Planck 2 Le rayonnement de corps noir 4. absorptivité et émissivité: a(x,T,ν): fraction de flux d’éclairement absorbé e(x,T,ν): quotient de la luminance monochromatique à celle d’un corps noir de même T loi de Kirchhoff (1859): surface rayonnante diffuse et grise: a(T)=e(T) surfaces peintes en blanc: a petit, e grand: froides tôle métallique: a grand, e faible: chaudes 3 Thermodynamique du corps noir On considère une enceinte de corps noir fermée par un piston (permettant les échanges d'énergie) 1er Principe: δQ = dU + P dV 2ème Principe: δQ = T dS [S = entropie du corps noir; U = wV avec w = énergie interne volumique du corps noir] L'équation d'état d'un corps noir peut se ramener à P = 1/3 w où P est la pression de radiation exercée par le rayonnement isotrope sur les parois de l’enceinte Or: w = w(T) car w = 4π/c J = 4π/c ∫ Bν(T) dν = 4π/c B(T) 4 Thermodynamique du corps noir On différentie la relation de l'entropie, en utilisant les 1er et 2ème Principes, puis on écrit que dS est une différentielle exacte => w(T) = a T4 Or w(T) = 4π/c B(T), donc B(T)= ac/4π T4 et l'exitance (ou « flux » total émis par le corps noir) s'écrit F = π B = ac/4 T4 = σ T4 : Loi de Stefan (1879) - Boltzmann (1884) Les constantes a et σ sont déterminées par la thermodynamique statistique quantique. 5 Le spectre de Planck La distribution spectrale d'énergie du corps noir est déterminée par la thermodynamique statistique, en considérant un gaz de photons dans une enceinte fermée à l'équilibre thermodynamique La luminance spectrale (ou intensité spécifique) Bν(T) est liée au « nombre d'occupation » de chaque état quantique du système Nν par avec Nν est donné par la statistique de Bose-Einstein dans le cas de particules quantiques de spin entier (S=1 pour les photons). Finalement on a la loi de Planck (1901): 6 Propriétés de la fonction de Planck 7 Approximations Loi de Rayleigh (1900) - Jeans (1905) Valable lorsque hν << kT: Indépendant de h. Correspond à l'expression « classique », loi valable à basse fréquence mais qui donne une intégrale sur les fréquences divergente (catastrophe ultraviolette) Loi de Wien (1896) Valable lorsque hν >> kT: 8 Propriétés de la fonction de Planck Loi de déplacement de Wien (1893): fréquence du rayonnement où la fonction de Planck est maximale pour une température donnée νmax = 58.8 T (GHz/K) Idem pour la fonction Bλ (T): λmax T = 2.90 (mm K) 9 Propriétés de la fonction de Planck Autre propriété: 2 courbes de Planck à 2 températures différentes ne se coupent jamais. 10 Propriétés de la fonction de Planck Températures caractéristiques liées à la fonction de Planck Température de brillance: Pour une intensité spécifique quelconque Iν, on associe la température du corps noir qui possède la même brillance à la fréquence ν. Définition implicite: Iν = Bν (Tb) Très utilisé en radio-astronomie (approx. Rayleigh-Jeans), où Iν = 2ν2/c2 kTb [relation de proportionalité] Température effective: Température du corps noir qui émet le même flux total que la source considérée: F = σ Teff4 11 Températures et couleurs Puissance totale rayonnée: 12 Quelques exemples de corps noirs astrophysiques 13 Quelques exemples de corps noirs astrophysiques Spectre du fond diffus cosmologique 14