Une tentative de présentation de l`algorithme de Boltzmann sur

Une tentative de présentation
de l’algorithme de Boltzmann sur Réseau
dans le cas de l’équation de la chaleur
Stéphane DELLACHERIE
Commissariat à l’Énergie Atomique
Centre de Saclay, France
[email protected]
Janvier 2007
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Introduction
L’algorithme de Boltzmann sur Réseau – Lattice Boltzmann Method (LBM)
– a initialement été proposé pour résoudre le système de Navier-Stokes incompressible [11]. L’algorithme LBM sort du cadre classique (schémas de volumes
finis, différences finies etc) et trouve ses origines dans un algorithme de type
automate cellulaire [2] (automate de gaz sur réseau). À la suite de [11], bon
nombre d’articles – voir les références dans [8] – et quelques livres [5, 9, 10] ont
été publiés sur le sujet, certains articles proposant des extensions de la méthode
comme par exemple [3, 4, 7].
La méthode LBM n’a jusqu’ici trouvé qu’un faible écho auprès de la communauté “math. appli.” nous semble-t-il. Comme souligné dans [6], cette situation
est sans doute liée aux connections historiques de l’algorithme LBM avec un algorithme de type automate cellulaire sortant du cadre EDP [2] et au manque,
jusqu’à très récemment [1, 6], de résultats précis concernant les propriétés de
convergence, de stabilité, de précision, voire même de consistance.
Or, il nous semble clair que l’algorithme LBM possède des propriétés remarquables. Ainsi, les algorithmes de type LBM sont :
-
explicites ;
robustes (pas de contrainte sur le pas de temps ∆t !!!) ;
faciles à programmer et parallélisables ;
adaptés à des géométries complexes de type milieux poreux.
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Un schéma LBM pour l’équation de transportdiffusion 1D
Afin de donner quelques pistes de réflexion, nous nous proposons de dériver un
algorithme 1D de type LBM pour l’équation de transport-diffusion 1D
∂t ρ + ∂x (uρ) = ν∂x2 ρ
(u(x) donné, ν > 0 et x ∈ [0, L]).
(1)
L’approche proposée consiste à dériver un schéma LBM en étudiant la limite
fluide du système cinétique discret

 ∂t f1ε + v1 ∂x f1ε = 1ε (M1ε − f1ε ),

(2)
∂t f2ε + v2 ∂x f2ε = 1ε (M2ε − f2ε )
où {fq (t, x)}q=1,2 est une distribution agissant dans un espace de vitesse microscopique discret et fini, {Mq (t, x)}q=1,2 étant une “maxwellienne” ad hoc. Cette
approche nous semble similaire à celle proposée dans [6]1 .
Nous dériverons ainsi un schéma LBM non-standard pour (1) et nous montrerons que ce schéma LBM permet de retrouver, au moins qualitativement, un
schéma LBM standard utilisé pour résoudre l’équation de la chaleur [4]. Nous
montrerons l’existence d’un principe du maximum indépendant du pas de temps
∆t pour ce schéma LBM (standard ou non).
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Résultats numériques
En comparant la solution numérique donnée par l’algorithme LBM à une solution analytique 1D instationnaire, les propriétés de précision et de robustesse
de l’algorithme LBM seront clairement décrites.
Nous montrerons par ailleurs que l’algorithme LBM permet de converger
beaucoup plus rapidement vers une solution stationnaire qu’un algorithme classique explicite, l’algorithme LBM n’étant contraint par aucun critère de stabilité. Cette propriété est d’autant plus remarquable que l’algorithme LBM se
généralise sans aucune difficulté au cas de IRN (N ≥ 2, voire N 1)2 .
Nous montrerons également quelques limitations étranges de l’algorithme
LBM dont certaines ne seront pas sans “étonner” l’auditoire. Nous établirons
enfin que certains schémas LBM sont à proscrire car ne vérifiant pas le principe
du maximum décrit au §2.
1 L’étude proposée dans [6] est beaucoup plus complexe que celle que nous présentons. En
effet, Klar et al étudient dans [6] le système de Navier-Stokes incompressible. 2 Soulignons
que le critère de stabilité d’un schéma explicite classique est en O
N
∆x2
2N ν
dans
le cas de l’équation de la chaleur discrétisée dans IR , ce qui peut être fortement pénalisant
lorsque N 1.
2
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Conclusion
Nous conclurons l’exposé en montrant quelques résultats numériques 2D obtenus
par un code LBM résolvant Navier-Stokes incompressible 2D dans un milieu
poreux périodique de type cœur de réacteur nucléaire, et nous soulignerons que
si l’algorithme LBM possède ses zones d’ombre, celui-ci mérite certainement une
attention particulière.
Remerciements : Ce travail a été financé par l’Université McGill de Montréal.
Nous tenons à remercier particulièrement F. Drolet (McGill et Paprican) et D.
Vidal (Polytechnique Montréal et Paprican) de nous avoir permis d’utiliser leur
code Navier-Stokes LBM 3D. Nous les remercions également pour leurs conseils.
References
[1] F. Dubois – Une introduction au schéma de Boltzmann sur réseau – À
Paraı̂tre dans ESAIM Proceedings.
[2] U. Frish, B. Hasslacher et Y. Pomeau – Lattice-gas automata for the NavierStokes equations – Phys. Rev. Lett., 56, p. 1505-1508, 1986.
[3] D. d’Humières, I. Ginzburg, M. Krafczyk, P. Lallemand et L.-S. Luo –
Multiple-Relaxation-Time lattice Boltzmann models in three dimensions –
Philos. Trans. R. Soc. Lond. A 360, p. 437-451, 2000.
[4] D. Wolf-Gladrow – A Lattice Bolzmann Equation for Diffusion – J. of Stat.
Phys., 79(5,6), p. 1023-1031, 1995.
[5] D. Wolf-Gladrow – Lattice Gas Cellular Automata and Lattice Boltzmann
Models: An Introduction – Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 2000.
[6] M. Junk, A. Klar et L.-S. Luo – Asymptotic analysis of the lattice Boltzmann
equation – J. of Comp. Phys., 210, p. 676-704, 2005.
[7] S.C. Mishra, A. Lankadasu et K.N. Beronov – Application of the lattice Boltzmann method for solving the energy equation of a 2-D transcient conductionradiation problem – Int. J. of Heat and Mass Transfer, 48, p. 3648-3659,
2005.
[8] R.R. Nourgalief, T.N. Dinh, T.G. Theofanous et D. Joseph – The lattice
Boltzmann equation method: theoretical interpretation, numerics and implications – Int. J. of Multiphase Flow, 29, p. 117-169, 2003.
[9] S. Succi – The Lattice Boltzmann Equation – Oxford Science Publications,
2001.
[10] D.H. Rothman et S. Zaleski – Lattice-Gas Cellular Automata – Collection
Aléa Saclay, Cambridge Univ. Press, 1997.
[11] Mc Namara et Zanetti – Use of the Boltzmann equation to simulate lattice
gas automata – Phys. Rew. Lett., 61, p. 2332, 1988.
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