Modélisation des systèmes électroniques de puissance à

Université catholique de Louvain
Modélisation des systèmes électroniques de
puissance à commande MLI
Application aux actionnements électriques
Sorin Gusia
Ingénieur civil électricien
Thèse de doctorat
Composition du Jury :
F. Labrique (UCL), co-promoteur
D. Grenier (UCL), co-promoteur
D. Dochain (UCL)
J.P. Louis (ENS - Cachan)
B. Robyns (HEI - Lille)
L. Vanderdorpe (UCL), président du jury
Louvain-la- Neuve
Septembre 2005
2
Remerciements
Voici venu le moment où je tiens à exprimer ma gratitude envers tous ceux qui
m’ont aidé et soutenu tout au long de ce travail.
Je remercie en premier lieu les Professeurs Francis Labrique et Damien Grenier,
promoteurs de cette thèse, de même que le Professeur Denis Dochain, membre du
comité d’encadrement de cette thèse. Leurs idées, leurs conseils et leurs critiques
m’ont été d’une aide précieuse pour mener ce travail à bien. Au-delà de l’aspect
scientifique de nos discussions, j’ai été particulièrement sensible à leurs qualités
humaines, à l’excellent climat relationnel qu’ils ont su établir entre nous et au fait de
savoir que je pouvais toujours compter sur eux.
Mes remerciements s’adressent egalement aux autres membres de mon jury :
•
le Professeur Luc Vandendorpe, président du Département d’Electricité de
la Faculté de Sciences Appliquées de l’UCL, qui a accepté de présider ce
jury,
•
le Professeur Jean-Paul Louis de l’Ecole Normale Superieure (ENS) de
Cachan pour l’intérêt qu’il a manifesté pour mon travail et l’analyse
detaillée qu’il en a effectuée,
•
le Professeur Benoît Robyns de Hautes Etudes d’Ingénieur (HEI) Lille pour
ses conseills et ses remarques judicieuses lors de nos rencontres.
Je tiens aussi à remercier l’équipe du Laboratoire. Sans que l’ordre de citation ne
préjuge d’une quelconque hiérarchie dans l’aide qu’ils m’ont apporté, la bonne
humeur qu’ils ont su faire partager, un tout grand merci donc à Mesdames Sophie
Sillen-Labrique et Marie-Christine Vandingenen et à Messieurs Herve Buyse, JeanPhilippe Conard, Paul Sente, Christian Eugène, Ernest Matagne, Dan Telteu, Henry
de la Vallée Poussin, Michaël Demeyere, Lauren De Vroey, Christophe Vloebergh,
Grzegorz Galary, Bruno Dehez, Andre Lengelé, et Francis Heylen.
Enfin, je remercie tout particulièrement Veronica et ma mère pour leur soutien
moral.
4
Table de matières
ABSTRACT ..............................................................................................................9
INTRODUCTION ..................................................................................................11
CHAPITRE 1 PRESENTATION DES SYSTEMES ETUDIES ........................15
1.1
1.2
STRUCTURE DES SYSTEMES ETUDIES .........................................................16
CONTRAINTES LIEES AU FONCTIONNEMENT EN MODE COMPLETEMENT
COMMANDE ...........................................................................................................17
1.2.1
Contraintes sur les interrupteurs ......................................................17
1.2.2
Contraintes sur la nature des systèmes interconnectés.....................18
1.2.3
Contraintes sur les états et les changements de l’état des
interrupteurs .....................................................................................................20
1.3
COMMANDE PAR MODULATION DE LARGEUR D’IMPULSIONS (MLI) ..........21
1.4
EXEMPLES D’APPLICATION ........................................................................22
1.4.1
Hacheur réversible en courant .........................................................22
1.4.2
Onduleur triphasé de tension............................................................25
1.4.3
Convertisseur matriciel triphasé-triphasé ........................................28
1.5
REGLAGE DU POINT DE FONCTIONNEMENT ................................................30
1.5.1
Réglage en boucle ouverte................................................................31
1.5.2
Réglage en boucle fermée .................................................................31
1.5.3
Implantation de la commande...........................................................33
CHAPITRE 2 MISE EN EQUATIONS DE LA PARTIE DE PUISSANCE.....37
2.1
ECRITURE DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES D’EVOLUTION .....................38
2.1.1
Equations relatives au système à caractère de source de tension ....38
2.1.2
Equations relatives au système à caractère de source de courant ...39
2.1.3
Relations imposées par le convertisseur...........................................40
2.1.4
Equations de l’ensemble générateur-convertisseur-récepteur .........41
2.2
NOTE SUR LE CAS OU LE RECEPTEUR EST UNE MACHINE A COURANT
ALTERNATIF ..........................................................................................................42
2.2.1
Relations de passage du référentiel abc au référentiel de Park .......42
2.2.2
Cas ou le récepteur est une machine synchrone à rotor bobiné, pôles
lisses, sans amortisseurs...................................................................................44
2.2.3
Cas ou le récepteur de courant est une machine synchrone à aimants
permanents .......................................................................................................49
2.3
EXEMPLES D’APPLICATION ........................................................................52
Table de matières
2.3.1
2.3.1.1
Moteur à courant continu alimenté par hacheur réversible en courant
..........................................................................................................52
Ecriture des equations d’evolution........................................................... 52
2.3.2
Moteur synchrone à aimants permanents alimenté par onduleur MLI
de tension..........................................................................................................56
2.3.2.1
2.3.2.2
2.4
Ecriture des équations dans le référentiel abc .......................................... 56
Ecriture des équations dans le référentiel de Park.................................... 61
CONCLUSIONS ...........................................................................................68
CHAPITRE 3 FONCTIONNEMENT EN BOUCLE FERMEE - MODELE DE
TRANSITION D’ETAT.........................................................................................69
3.1
HYPOTHESES DE TRAVAIL .........................................................................71
3.2
CONSEQUENCES ........................................................................................71
3.3
EQUATIONS DE TRANSITION D’ETAT ..........................................................74
3.3.1
Equations de transition de la partie de puissance ............................74
3.3.2
Equations de transition de la partie de commande et régulation .....76
3.3.3
Equations de transition du système bouclé .......................................77
3.4
EXEMPLES D’APPLICATION ........................................................................77
3.4.1
Moteur à courant continu alimenté par hacheur réversible en courant
..........................................................................................................77
3.4.1.1
3.4.1.2
3.4.1.3
Equations de la partie de puissance.......................................................... 78
Equations de la partie de commande........................................................ 82
Equations du système bouclé ................................................................... 84
3.4.2
Moteur synchrone à aimants permanents alimenté par onduleur MLI
de tension..........................................................................................................84
3.4.2.1
Equations de la partie de puissance.......................................................... 85
3.4.2.1.1 Ecriture des équations dans le référentiel abc .................................... 85
3.4.2.1.2 Ecriture des équations dans le référentiel de Park.............................. 92
3.4.2.2
Equations de la partie de commande........................................................ 95
3.4.2.3
Equations du système bouclé ................................................................... 96
3.4.2.3.1 Ecriture des équations dans le référentiel abc .................................... 97
3.4.2.3.2 Ecriture des équations dans le référentiel de Park.............................. 98
3.5
FONCTIONNEMENT EN REGIME PERMANENT ..............................................99
3.5.1
Cas du moteur à courant continu alimenté par hacheur réversible en
courant ........................................................................................................100
3.5.2
Cas du moteur synchrone à aimants permanents alimenté par
onduleur MLI de tension.................................................................................100
3.6
SIMPLIFICATION DE L’ETUDE ...................................................................101
3.6.1
Simplification par la prise en compte des différences d’échelle de
temps
........................................................................................................101
3.6.2
Simplification par élimination de la dynamique d’un des systèmes
interconnectés par le convertisseur ................................................................102
3.6.2.1
Exemples d’application.......................................................................... 104
3.6.2.1.1 Moteur à courant continu alimenté par hacheur réversible en courant...
......................................................................................................... 104
6
Table de matières
3.6.2.1.2 Moteur synchrone à aimants permanents alimenté par onduleur MLI
de tension ......................................................................................................... 109
3.6.3
Simplification au niveau des relations établies par le convertisseur
électronique de puissance entre les grandeurs à ses accès ............................115
3.7
CONCLUSIONS ET PLAN DE LA SUITE DU TRAVAIL....................................117
CHAPITRE 4 MODELE D’ORDRE ZERO......................................................119
4.1
PASSAGE AU MODELE D’ORDRE ZERO ......................................................120
4.2
EXEMPLES D’APPLICATION ......................................................................122
4.2.1
Moteur à courant continu alimenté par hacheur réversible en courant
........................................................................................................122
4.2.2
Moteur synchrone à aimants permanents alimenté par onduleur MLI
de tension........................................................................................................127
4.2.2.1
4.2.2.2
4.3
Ecriture des équations dans le référentiel abc ........................................ 127
Ecriture des équations dans le référentiel de Park.................................. 137
CONCLUSIONS .........................................................................................146
CHAPITRE 5 MODELE D’ORDRE H..............................................................147
5.1
ECART ENTRE LE MODELE DETAILLE ET LE MODELE D’ORDRE ZERO ........148
5.2
MODELE D’ORDRE H ................................................................................151
5.3
EXEMPLES D’APPLICATION ......................................................................151
5.3.1
Moteur à courant continu alimenté par hacheur réversible en courant
........................................................................................................151
5.3.2
Moteur synchrone à aimants permanents alimenté par onduleur MLI
de tension........................................................................................................157
5.3.2.1
5.3.2.2
5.4
Ecriture des équations dans le référentiel abc ........................................ 157
Ecriture des équations dans le référentiel Park ...................................... 165
CONCLUSIONS .........................................................................................173
CHAPITRE 6 STABILITE DU FONCTIONNEMENT EN BOUCLE
FERMEE ...............................................................................................................175
6.1
STABILITE D’UN SYSTEME DECRIT PAR UNE RELATION DE RECURRENCE .176
6.2
MODELE D’ORDRE ZERO ..........................................................................178
6.2.1
Exemples d’application...................................................................179
6.2.1.1
Moteur à courant continu alimenté par hacheur réversible en courant... 179
6.2.1.2
Moteur synchrone à aimants permanents alimenté par onduleur MLI de
tension (dynamique du générateur éliminée)........................................................... 181
6.3
INFLUENCE DES ONDULATIONS DUES A LA DECOUPE MLI SUR LA STABILITE
DU SYSTEME ........................................................................................................184
6.3.1
Exemples d’application...................................................................187
6.3.1.1
Moteur à courant continu alimenté par hacheur réversible en courant
(dynamique du générateur éliminée) ....................................................................... 187
6.3.1.2
Moteur synchrone à aimants permanents alimenté par onduleur MLI de
tension (dynamique du générateur éliminée)........................................................... 191
6.4
CONCLUSIONS .........................................................................................202
7
Table de matières
CHAPITRE 7 PASSAGE A UN MODELE CONTINU EQUIVALENT ........203
7.1
PROCEDURE A SUIVRE .............................................................................204
7.2
MODELE D’ORDRE ZERO ..........................................................................204
7.2.1
Exemples d’application...................................................................205
7.2.1.1
7.2.1.2
tension
Moteur à courant continu alimenté par hacheur réversible en courant... 205
Moteur synchrone à aimants permanents alimenté par onduleur MLI de
............................................................................................................... 208
7.3
MODELE HARMONIQUE ............................................................................211
7.3.1
Exemples d’application...................................................................213
7.3.1.1
7.3.1.2
tension
7.4
Moteur à courant continu alimenté par hacheur réversible en courant... 213
Moteur synchrone à aimants permanents alimenté par onduleur MLI de
............................................................................................................... 214
CONCLUSIONS .........................................................................................219
CONCLUSIONS...................................................................................................221
ANNEXES .............................................................................................................223
ANNEXE 1
MISE EN EQUATIONS DE LA PARTIE DE PUISSANCE - EXTENSION AU
CAS DE LA CONNEXION EN CASCADE DE PLUSIEURS CONVERTISSEURS ................223
A1.1
A1.2
Exemple de connexion en cascade via un étage intermédiaire.......223
Exemple de connexion directe en cascade......................................226
ANNEXE 2
CHOIX DU NOMBRE D’HARMONIQUES POUR LE MODELE D’ORDRE H ..
....................................................................................................231
A2.1
Etude du contenu harmonique de la tension de sortie d’un onduleur
monophasé de tension commandé par MLI ....................................................231
A2.2
Etude du contenu harmonique des tenions aux bornes des phases de
la machine triphasée à neutre isolé ................................................................235
ANNEXE 3
ETUDE DU CONTENU HARMONIQUE DU COUPLE
ELECTROMAGNETIQUE DE LA MACHINE SYNCHRONE A AIMANTS PERMANENTS ..239
RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES ...........................................................241
8
Abstract
Nowadays, a large number of systems are using Pulse Width Modulation (PWM)
Power Electronic Converters as control part. These systems can, for example, be
variable-speed drives, switching power supplies or active filters.
The goal of this work is to contribute to the study of operation of this type of system
when they are equipped with a digital control part of which the sampling period is
synchronized on the modulation one.
After having shown how the equations of these systems can be written down and
indicated how their evolution in closed loop operation can be described by using
iterative maps, we have tried to develop an approach which allows simplifying this
study. The iterative map method has been used in order to take into account the
“sequential “character of these systems, i.e. the fact that the control signals are
sequences of events which correspond to the changes of the state of the converter
semiconductor switches.
Therefore we have developed an original method which consists in replacing on
each modulation period, in the differential equations describing the system
dynamics, the binary functions representing the successive ON or OFF states of the
power semiconductors, by a limited Fourier series development of these functions.
This method has allowed splitting the study of these systems into two steps:
•
in the first step a “zero order” model was built. This first model, which
provides the average effect of the PWM pulse pattern, has been obtained by
limiting the Fourier series development of the binary functions describing
the states of the converter switches, to their first term, the one
corresponding to their average values on the PWM period,
•
in the second step we have introduced an approached dynamic model
characterising the error between the zero order model and the exact model
of the system. This model was built by considering a well chosen number
of harmonic terms of the binary functions describing the ON-OFF states of
the switches in the differential equations of the system.
By combining the error model and the zero order model we have been able to
estimate in which measure the ripples induced by the PWM modulation affect the
results of the system stability study made by using the zero order model.
For the case of Permanent Magnets Synchronous Motors fed by Voltage Source
Inverters we have shown that the study of the stability of the motor currents loops
made with the zero order model remains valid in the presence of ripples induced by
the PWM, as long as a symmetrical modulation is used, with references which are
refreshed one time on each switching period.
10
Introduction
Les entraînements par moteur synchrone à aimants permanents se trouvent dans des
nombreux domaines d’application où l’on exige de très hautes performances en
terme de réglage de vitesse et de couple comme la robotique, les machines outils, les
systèmes de commande de vol électromécaniques ou électrohydrauliques.
Dans ces entraînements le moteur est alimenté par un onduleur modulation en
largeur d’impulsions (MLI) de tension qui reçoit son énergie des batteries ou d’un
réseau alternatif redressé via un redresseur MLI (Figure 1.1). Le redresseur et
l’onduleur fonctionnent en commande vectorielle [31].
Réseau
triphasée
MLI
Onduleur
MLI
de tension
Redresseur
MLI
Charge
mécanique
Figure 1.1 Système d’entraînement par moteur électrique
Des structures similaires se retrouvent au niveau des générateurs éoliens à machine
synchrone ou à machine asynchrone (Figure 1.2).
Réseau
triphasée
MLI
Eolienne
Redresseur
MLI
Onduleur
MLI
de tension
Figure 1.2 Système à d’éolienne par machine asynchrone
La régulation de ces systèmes se fait à l’heure actuelle systématiquement de manière
numérique à une cadence d’échantillonnage fixée par la fréquence de découpage
MLI des convertisseurs électroniques de puissance.
Suite à des travaux précédemment menés au laboratoire le point de départ de notre
travail a été d’essayer d’étudier les ondulations du couple générées par l’onduleur
MLI dans les entraînements par moteurs synchrones à aimants permanents alimentés
par onduleur MLI de tension fonctionnant en commande vectorielle.
Initialement l’objectif de notre travail était d’évaluer dans quelle mesure la boucle
de régulation des courants pouvait avoir un effet d’amplification ou d’atténuation de
ces ondulations. Une autre question à laquelle nous avons cherché à répondre est de
savoir si ces ondulations peuvent avoir un effet déstabilisateur sur la boucle de
Introduction
courant. Pour effectuer cette étude il est rapidement apparu qu’il fallait définir des
modèles des systèmes étudiés qui se situent à différentes échelles de temps.
Le modèle le plus connu et le plus simple est le modèle de valeurs moyennes
(« average values model ») qui peut être introduit par différentes techniques ([8],
[33], [34]) et qui caractérise la dynamique principale du système. Des modèles
capables de caractériser les dynamiques plus rapides ont été généralement définis en
utilisant une approche temporelle basée sur la décomposition en série de Fourier sur
la période de commutation des variables d’état du système. Cette méthode connue
sous le nom de « multifrequency averaging » ([3], [10], [29], [30], [36], [42], [43],
[52]) est facilement applicable aux systèmes à convertisseurs DC-DC où, en régime
permanent normal, les variables d’état du système sont périodiques de la période de
commutation du convertisseur. Cette propriété ne se retrouve plus dans le cas des
machines synchrones, où les variables d’état dépendent également de la position du
rotor [53]. Elles ne sont donc pas périodiques de la période de commutation.
Nous proposons ici d’utiliser une approche différente qui suppose de travailler au
niveau de la structure des équations d’évolution plutôt que sur les variables d’état du
système. La méthode proposée est basée sur le développement en série de Fourier
sur la période de commutation des fonctions de commutation du convertisseur.
Elle fournit en première approximation une maniere particulierement simple de
retrouver le modèle de valeurs moyennes. Nous allons montrer comment cette
approche permet d’introduire un modèle capable de donner une bonne estimation
des ondulations des variables d’état du système autour des valeurs fournies par le
modèle des valeurs moyennes, ondulations dues au processus de découpe MLI.
Nous allons voir que par rapport aux modèles temporels ou on est obligés à travailler
avec des systèmes d’équations d’ordre élevé (égal au nombre des variables d’état du
système multiplié par le double du nombre d’harmoniques considérées), dans notre
cas nous obtenons seulement deux systèmes d’équations d’ordre égal à celui des
variables d’état du système.
Le premier chapitre de ce travail présente les systèmes auxquels notre étude
s’applique, à savoir les systèmes comportant des convertisseurs électroniques de
puissance fonctionnant en mode complètement commandé. Nous présentons la
structure et les contraintes liées au fonctionnement en mode complètement
commandé et expliquons la méthode de commande par modulation en largeur
d’impulsions, en nous appuyant sur des exemples bien choisis. Les deux types de
réglage du point de fonctionnement sont aussi présentés (réglage en boucle ouverte
et réglage en boucle fermée) ainsi que la façon dont l’électronique de commande et
régulation est réalisée.
Le deuxième chapitre est dédie à la mise en équations de la partie de puissance du
système (générateur convertisseur et récepteur) en mettant l’accent sur le cas ou le
récepteur est une machine à courant alternatif : nous introduisons les équations
12
Introduction
d’évolution de la machine synchrone à rotor bobiné ainsi que celles de la machine
synchrone à aimants permanents. Comme exemple d’application on traite les cas de
la machine à courant continu alimentée par hacheur réversible en courant et celui de
la machine synchrone à aimants permanents alimentée par onduleur MLI de tension.
Nous traitons aussi le cas des systèmes à plusieurs convertisseurs montés en cascade
avec et sans étage intermédiaire.
Le Chapitre 3 Chapitre 1 qui est consacré au fonctionnement en boucle fermée des
systèmes étudiés introduit les modèles de transition d’état capables de caractériser
l’état du système en boucle fermée à la fin de la période d’échantillonnage en
fonction de son état en debut de cet intervalle de temps.
Deux exemples d’application sont considérés : le système à moteur à courant
continu alimenté par hacheur réversible en courant et le système à moteur synchrone
à aimants permanents alimenté par onduleur MLI de tension.
Dans la suite de ce chapitre on s’intéresse au fonctionnement en régime permanent ;
les conditions auxquelles ces systèmes doivent répondre pour atteindre un point de
fonctionnement en régime permanent sont aussi présentées.
Les difficultés relatives à l’élaboration des équations de transition d’état de ce type
de systèmes sont mises en évidence et trois méthodes permettant de simplifier cette
tâche sont présentées : prise en compte des différences au niveau de la vitesse de
variation des variables d’état du système, élimination de la dynamique de l’un des
systèmes interconnectés par le convertisseur et simplification des relations établies
par le convertisseur entre les grandeurs à ses accès.
Si la deuxième approche permet de passer d’un système à structure commutée à un
système à commande commutée, la troisième approche se trouve à la base de ce
travail car c’est elle qui nous permettra de définir des modèles équivalents simplifiés
capables de reproduire la dynamique du système à différentes échelles de temps et à
différents niveaux de précision. Nous allons voir que ces modèles équivalents sont
beaucoup plus faciles à utiliser car ils ne font intervenir que des variables continues
sur la période d’échantillonnage.
Au Chapitre 4 nous allons introduire un premier modèle, le « modèle d’ordre
zéro » du système. Nous allons voir que ce modèle, qui consiste a ne retenir que le
premier terme du développement en série de Fourier de chaque fonction de
commutation, caractérise seulement la dynamique principale du système mais est
incapable de donner des informations sur les ondulations dues à la découpe MLI.
C’est pourquoi, au Chapitre 5 nous améliorerons l’approche en définissent un
modèle capable de donner une bonne estimation de ces ondulations. Ce modèle
appelé le « modèle d’écart d’ordre h » du système se présentera comme une
correction du modèle d’ordre zéro aux valeurs duquel il ajoute des termes
d’ondulation.
13
Introduction
Ces modèles seront utilisés au Chapitre 6 pour étudier la stabilité des systèmes en
boucle fermée. Nous allons d’abord utiliser le modèle d’ordre zéro pour trouver le
point de régime permanent correspondant à des consignes données (nous verrons
que ce modèle permet de définir un point de régime pour tous les systèmes
considérés dans ce travail) et pour étudier à l’ordre zéro la stabilité du système
bouclé autour de ce point de fonctionnement.
Nous utiliserons ensuite dans la deuxième partie de ce chapitre le modèle d’écart
d’ordre h pour examiner dans quelle mesure les ondulations provoquées par la
découpe MLI peuvent déstabiliser le système s’il est stable à l’ordre zéro.
Au Chapitre 7 nous allons montrer comment on peut transformer les modèles
discrets introduites aux Chapitre 4 et Chapitre 5 en modèles continus équivalents.
Trois annexes complètent le travail :
14
•
la première présente l’extension de la procédure de mise en équations qui
est présentée au Chapitre 2 aux systèmes à convertisseurs connéctés en
cascade. Des exemples de connexion avec et sans étage intermédiaire sont
considérés.
•
la deuxième annexe présente pour un onduleur monophasé et pour un
onduleur triphasé une procédure permettant de déterminer le nombre de
termes harmoniques qui doivent être pris en compte dans les modèles
introduites au Chapitre 5 pour assurer une bonne estimation des ondulations
induites par la découpe MLI dans les grandeurs du système.
•
la troisième annexe présente l’étude du contenu harmonique du couple
électromagnétique d’une machine synchrone à aimants permanents
alimentée par onduleur MLI de tension. Cette étude est réalisée sur la base
des modèles introduits au Chapitre 5 .
Chapitre 1
Présentation des systèmes
étudiés
Résumé – Ce chapitre est dédié à la présentation des systèmes auxquels nous nous
intéressons dans ce travail : les systèmes à convertisseurs électroniques de
puissance commandés par la technique de la modulation en largeur d’impulsions
(MLI).
Le premier paragraphe est dédié à la présentation de la structure de ce type de
systèmes et le deuxième présente les conditions auxquelles ces systèmes doivent
répondre pour pouvoir fonctionner en mode complètement commandé. Ce mode de
fonctionnement est nécessaire pour pouvoir commander ces systèmes par la
technique MLI. Nous allons voir que des contraintes sont imposées tant sur la
nature des sous systèmes interconnectés par le convertisseur ainsi que sur la nature
et les changements de l’état des interrupteurs à semi-conducteurs constituant le
convertisseur.
Dans le troisième paragraphe nous expliquons le principe de la technique de
modulation en largeur d’impulsions utilisée par l’électronique de commande et
régulation pour fixer les intervalles de conduction des interrupteurs à semiconducteurs et pour élaborer les signaux nécessaires à leur commande.
Au quatrième paragraphe nous considérons trois exemples permettant de faciliter
la compréhension des notions introduites : un hacheur réversible en courant, un
onduleur MLI de tension et un convertisseur matriciel triphasé.
Le dernier paragraphe de ce chapitre est consacré au réglage du point de
fonctionnement du système en rappelant les avantages du réglage en boucle fermée
par rapport au réglage en boucle ouverte.
Nous terminons ce chapitre en présentant la façon dont l’électronique de commande
et de régulation est réalisée en pratique en insistant sur l’implantation de manière
numérique de cette partie du système car elle sera considérée tout au long de ce
travail. C’est pourquoi les problèmes liés à l’utilisation d’une électronique de
commande numérique ainsi que les précautions qu’il faut prendre pour minimiser
ou éviter ces problèmes, sont aussi présentées.
Chapitre 1 : Présentation des systèmes étudiés
1.1 Structure des systèmes étudiés
Dans ce travail nous nous intéressons aux systèmes comportant des convertisseurs
électroniques de puissance fonctionnant en mode complètement commandé dont la
commande est réalisée par la technique de la modulation de largeur d’impulsions
(MLI).
La structure de base de ce type de systèmes est représenté à la Figure 1.1 : le
convertisseur électronique de puissance est constitué d’une matrice d’interrupteurs
intercalée entre deux sous-systèmes électriques : un générateur d’énergie électrique
et un récepteur. La commande de l’état des interrupteurs à semi-conducteurs qui
constituent le convertisseur permet d’agir sur les connexions existant entre les n
bornes de sortie du générateur et les m bornes d’entrée du récepteur et de gérer ainsi
le transfert d’énergie entre ces deux sous-systèmes. Les signaux nécessaires à la
commande des interrupteurs sont élaborés par une électronique de commande et de
régulation qui le plus souvent détermine les intervalles de conduction des
interrupteurs à partir de consignes reçues de l’extérieur et des mesures prélevées sur
l’état du système.
Convertisseur
Kij
Générateur
Récepteur
Electronique de commande
et de régulation
Consignes
Figure 1.1 Structure d’un système électronique de puissance
Dans le cas du fonctionnement en mode complètement commandé tous les
changements de l’état des interrupteurs sont imposés par des signaux de commande
indépendamment de l’évolution temporelle des tensions et courants aux accès du
convertisseur.
16
Chapitre 1 : Présentation des systèmes étudiés
1.2 Contraintes liées au fonctionnement en mode
complètement commandé
Le fonctionnement en mode complètement commandé d’un système à convertisseur
électronique impose certaines restrictions tant au niveau des interrupteurs
constituant le convertisseur qu’au niveau des sous-systèmes que celui-ci relie.
1.2.1
Contraintes sur les interrupteurs
Pour pouvoir établir ou supprimer à tout instant une connexion entre l’une des n
bornes de sortie du générateur et l’une des m bornes d’entré du récepteur (et ceci
quelle que soit la polarité du courant que les interrupteurs écoulent ou de la tension
qu’ils bloquent) deux conditions s’imposent en pratique au niveau des interrupteurs :
premièrement, il faut qu’ils soient bidirectionnels en courant et en tension et
deuxièmement, il faut qu’ils soient commandables tant à l’amorçage qu’au blocage
(Figure 1.2).
2
I
I
1
I
Commande
U
U
ou
U
Commande
3
4
Figure 1.2 Interrupteurs bidirectionnels en courant et en tension à amorçage et
blocage commandé (la deuxième configuration permet d’avoir un seul potentiel de
référence pour les signaux de commande)
Cependant, dans certains systèmes on peut avoir un mode de fonctionnement
complètement commandé même si certains interrupteurs du convertisseur ne sont
pas à blocage et amorçage commandés et/ou bidirectionnels en courant et en tension.
Mais, dans ce cas, la manière dont évoluent les tensions et les courants aux bornes
du générateur et du récepteur sont soumises à certains restrictions comme nous
allons le montrer dans les exemples présentés au paragraphe 1.4.
17
Chapitre 1 : Présentation des systèmes étudiés
1.2.2
Contraintes sur la nature des systèmes
interconnectés
En plus du fait qu’il doit comporter des interrupteurs à amorçage et blocage
commandé, pour qu’un convertisseur puisse fonctionner en mode complètement
commandé, il faut que le générateur et le récepteur entre lesquels il est inséré
présentent des caractères de « sources complémentaires », l’un ayant un
comportement de « source de courant », l’autre de « source de tension ».
Un générateur ou un récepteur se présente vis à vis de ses accès comme une « source
de courant » :
•
si les courants à ses accès ne dépendent pas des tensions qui leur sont
appliquées, c’est à dire s’il est, au sens de la théorie des circuits, une source
idéale de courant ou un ensemble de telles sources,
•
ou si les courants à ses accès sont des variables d’état qui ne peuvent par
conséquent subir des discontinuités même en présence de variations
instantanées des tensions à ses accès. Ceci revient à ce que, au niveau du
modèle circuit de la partie électrique du générateur ou du récepteur, on trouve
des inductances en série avec les bornes d’accès (sauf une éventuellement).
Comme aucun dispositif physique n’a un comportement de source idéale, c’est le
deuxième cas qu’on rencontre en pratique. Dans la suite de ce travail nous
qualifierons donc de « source de courant » un générateur ou un récepteur dont les
courants aux accès électriques sont des variables d’état.
Un générateur ou un récepteur se présente vis à vis de ses bornes d’accès comme
une « source de tension » :
•
si les tensions à ses accès ne dépendent pas des courants qui y circulent, c’est à
dire s’il est, au sens de la théorie des circuits, une source idéale de tension ou un
ensemble de telles sources,
•
ou si les tensions à ses bornes sont des variables d’état qui ne peuvent par
conséquent subir des discontinuités même en présence de variations
instantanées des courants aux accès. Ceci revient à ce que, au niveau du modèle
circuit de la partie électrique du générateur ou du récepteur, on trouve des
capacités en parallèle avec ses accès.
Comme aucun dispositif physique n’a un comportement de source idéale, c’est le
deuxième cas qu’on rencontre en pratique. Dans la suite de ce travail nous
qualifierons donc de « source de tension » un générateur ou un récepteur dont les
tensions aux accès électriques sont des variables d’état.
18
Chapitre 1 : Présentation des systèmes étudiés
Si les courants aux entrées et aux sorties du convertisseur sont des variables d’état
(Figure 1.3) il n’est possible de commander le blocage des interrupteurs qu’aux
instants ou le courant qui les traversent s’annule, ce qui est en contradiction avec la
définition du fonctionnement en mode complètement commandé.
is1
vs1
is2
ir1
Convertisseur
vr1
ir2
Kij
vs2
vr2
irki
isku
vsn
vrm
Figure 1.3 Convertisseur reliant deux « sources de courant»
De même, si les tensions aux entrées et sorties du convertisseur sont des variables
d’état (Figure 1.4) la mise en conduction de chacun d’interrupteurs ne peut se faire
qu’aux instants ou les deux bornes qu’il relient se trouve au même potentiel.
Convertisseur
us1
us2
ur1
Kij
ur2
usku
urku
Figure 1.4 Convertisseur reliant deux « sources de tension »
Si le générateur et le récepteur sont de natures complémentaires (Figure 1.5) le
fonctionnement en mode complètement commandé est possible moyennent certaines
règles au niveau des états et des changements d’état des interrupteurs comme nous
allons le voir dans le paragraphe suivant.
i1
Convertisseur
u1
v1
i2
Kij
u2
v2
iki
uku
vm
Figure 1.5 Convertisseur reliant des « sources » de nature complémentaire
19
Chapitre 1 : Présentation des systèmes étudiés
1.2.3
Contraintes sur les états et les changements de
l’état des interrupteurs
Quand les deux systèmes reliés par le convertisseur électronique de puissance
présentent des caractères de sources complémentaires, le respect des lois de
Kirchhoff impose qu’il y ait en permanence un seul et un seul interrupteur en
conduction à chaque borne d’accès du système ayant un caractère de source de
courant (Figure 1.6) afin :
•
de permettre la circulation du courant à cet accès,
•
d’éviter de court-circuiter entre elles les bornes du système à caractère de source
de tension en reliant plusieurs d’entre elles à cet accès.
Ceci impose aux changements d’état des interrupteurs d’être liés : tout passage de
l’état conducteur à l’état bloqué d’un interrupteur implique le passage simultané de
l’état bloqué à l’état conducteur d’un autre interrupteur connecté à cette même borne
et réciproquement.
Toute commutation revient donc à modifier le potentiel d’une borne d’accès du
système à caractère de source de courant en la connectant d’une borne à une autre du
système à caractère de source de tension. Réciproquement, cela revient à modifier le
courant circulant dans une « source de tension » en la connectant à une autre
« source de courant. »
On notera que, le cas échéant, plusieurs bornes d’accès du système à caractère de
source de courant peuvent être reliées à un même accès du système à caractère
de source de tension. Réciproquement, des accès du système à caractère de
source de tension peuvent être laissées en circuit ouvert (Figure 1.6).
U1
2 sources de courant connectées
à la même source de tension
U2
Un
source de tension non connectée
I1
I2
Im
chaque source de courant
connectée à une seule source de
tension
Figure 1.6 Fonctionnement en mode complètement commandé : contraintes sur
l’état des interrupteurs
20
Chapitre 1 : Présentation des systèmes étudiés
1.3 Commande par modulation de largeur
d’impulsions (MLI)
L’électronique de régulation et commande (voir Figure 1.1) détermine, à partir des
consignes imposées de l’extérieur et des mesures prélevées sur le générateur et le
récepteur, la séquence de conduction et de blocage des différents interrupteurs et
élabore les signaux logiques nécessaire à leur commande en fonction du type de
convertisseur utilisé.
Dans le cas de la commande MLI, on fait varier l’état des interrupteurs à une
cadence qui ne dépend pas de la manière dont évoluent les grandeurs relatives aux
systèmes interconnectés par le convertisseur électronique de puissance, cette
cadence étant fixée essentiellement en fonction de la vitesse de commutation des
interrupteurs.
Comme toute commutation revient à modifier le potentiel d’une borne d’accès du
système à caractère de source de courant en la connectant d’une borne à une autre du
système à caractère de source de tension (voir le paragraphe 1.2.3), la commande par
modulation en largeur d’impulsions ou commande MLI consiste à choisir une
fréquence de commutation pour les interrupteurs et à fixer à l’intérieur de la période
de commutation les intervalles de conduction des interrupteurs connectées à une
borne de la « source de courant » en fonction d’un signal de référence qui
correspond au potentiel souhaité pour cette borne.
Sous forme analogique ce type de commande est réalisé en comparant le signal de
référence avec une ou plusieurs porteuses triangulaires (ou en dent de scie) dont la
fréquence correspond à la cadence à laquelle on veut faire varier l’état des
interrupteurs.
Sous forme numérique ce type de commande est réalisé en fixant à l’aide de
« timers » les intervalles de conduction des différents interrupteurs sur chaque
période ou chaque demi période de modulation.
Mais d’autres lois de commande sont possibles : on peut par exemple générer la
séquence de commande des interrupteurs de manière à imposer les courants aux
bornes d’accès du système à caractère de source de tension.
21
Chapitre 1 : Présentation des systèmes étudiés
1.4 Exemples d’application
1.4.1
Hacheur réversible en courant
L’un des convertisseurs les plus simples qui peut fonctionner en mode
complètement commandé est le hacheur réversible en courant (Figure 1.7). Formé
de deux interrupteurs il alimente un récepteur de type « source de courant » à partir
d’un générateur de type « source de tension ». Dans l’exemple présenté à la Figure
1.7 on peut observer que le caractère de « source de tension » du générateur est
assuré par la présence de la capacité Cf, tandis que le caractère de « source de
courant » du récepteur est dû à l’inductance La.
i
Rf
Lf
K11
+
Cf
La
ia
u
Udc
K12
Ra
+
Ea
ua
Figure 1.7 Hacheur réversible en courant
A condition que le comportement du filtre d’entrée LfCf soit tel qu’à aucun instant la
tension à l’entrée du hacheur ne change de polarité, le fonctionnement en mode
complètement commandé peut être assuré par l’emploi d’interrupteurs réversibles en
courant mais non réversibles en tension, à blocage et amorçage commandés dans le
premier quadrant (Figure 1.8).
i
2
I
Rf
1
Lf
T11
Commande
+
U
Udc
Cf
La
ia
u
T12
3
D11
D12
ua
Ra
+
Ea
4
Figure 1.8 Emploi d’interrupteurs bidirectionnels en courant à amorçage et blocage
commandé dans le quadrant 1
22
Chapitre 1 : Présentation des systèmes étudiés
Lorsque le courant ia est positif, ce courant circule soit à travers T11 soit à travers
D11,
•
le passage de K11 ON à K12 ON s’opère en commandant le blocage du transistor
T11 de l’interrupteur K11, ce qui interrompt le courant à travers cet interrupteur
et entraîne la fermeture de l’interrupteur K12 par l’amorçage spontané de la
diode D12 de cet interrupteur,
•
le retour à K11 s’opère en commandant la mise en conduction du transistor de
l’interrupteur K11, ce qui entraîne l’ouverture de K12 par le blocage spontané de
la diode D12.
Lorsque le courant ia est négatif, ce courant circule soit à travers D11 soit à travers
T12 et les commutations sont assurées par la mise en conduction ou le blocage de
T12.
Par rapport au interrupteur bidirectionnel en courant et en tension présenté au
paragraphe 1.2, la suppression de D+ (remplacée par un court-circuit) a ôté, à
l’interrupteur sa réversibilité en tension ; la suppression de T- permet d’avoir des
commutations liées à l’ouverture ou la fermeture de l’interrupteur complémentaire
(relié à la même source de courant) (Figure 1.9) :
T+
DT+
D+
D-
T-
Figure 1.9 Transformation d’un interrupteur réversible en courant et en tension en
un interrupteur réversible seulement en courant
Le plus souvent la commande de ce système revient à régler la valeur de la tension
ua appliquée aux bornes du récepteur en vue de contrôler la valeur du courant ia qui
y circule. La tension ua est égale à la tension u à l’entrée du hacheur lorsque K11 est
fermé ; elle est égale à zéro lorsque K12 est fermé. En munissant les interrupteurs
d’une commande périodique la tension ua est formée d’une succession de créneaux.
On peut donc facilement régler la valeur moyenne de la tension fournie par le
hacheur en imposant, sur chaque période de commutation, la durée de conduction
des interrupteurs. Pour cela il suffit comme on l’a indiqué au paragraphe 1.3 de
comparer une porteuse qui fixe la fréquence de commutation avec une onde de
référence ua_ref correspondant à la tension qu’on veut appliquer à la charge. Cette
comparaison fournit un signal logique f qui vaut 1 quand l’interrupteur K11 est en
conduction et K12 est bloqué et vaut 0 dans le cas contraire. A partir de ce signal
l’électronique de commande élabore les signaux de commande des interrupteurs.
23
Chapitre 1 : Présentation des systèmes étudiés
Si le filtre d’entrée est bien dimensionné, on peut considérer en régime établi que la
tension u à l’entrée du hacheur est égale en première approximation à celle de la
source à tension continue Udc. Une variation de l’onde de référence de zéro à
l’amplitude maximale de la porteuse ξ entraîne une variation de la valeur moyenne
de la tension ua de zéro à Udc. Si on normalise l’onde de référence ua_ref en la
rapportant à Udc, son amplitude maximale est unitaire. Dans ce cas la porteuse varie
elle aussi entre zéro et un (Figure 1.10).
Tc
ξ (t)
1
u a _ re f (t)
t
f(t)
1
t
u a (t)
U dc
t
Figure 1.10 Commande MLI par comparaison de la référence avec une porteuse
triangulaire
Une variante simplifiée de ce convertisseur est le hacheur série. Il se déduit du
hacheur réversible en éliminant le transistor de l’interrupteur K12 et la diode de
l’interrupteur K11 ( Figure 1.11).
i
Rf
Lf
K11
+
Us
Cf
ia
u
K12
ua
La
Ra
+
Ea
Figure 1.11 Hacheur série non -réversible
A condition que le courant dans le récepteur ne s’annule à aucun instant on peut
faire fonctionner ce hacheur en mode complètement commandé en commandant les
changements de l’état du transistor, les changements de l’état de la diode étant
provoqués par celles du transistor. Ceci montre que, dans certaines conditions, il est
possible de faire fonctionner un convertisseur en mode complètement commandé
24
Chapitre 1 : Présentation des systèmes étudiés
même si une partie des interrupteurs qui le constituent ne sont pas à amorçage et
blocage commandés.
1.4.2
Onduleur triphasé de tension
Un deuxième exemple de convertisseur fonctionnant en mode complètement
commandé est celui de l’onduleur triphasé de tension commandé par MLI. A la
Figure 1.12 on a représenté un onduleur MLI de tension alimentant une charge
triphasée de type RLe à partir d’un générateur de tension continue, vu à travers un
filtre LC.
Le caractère de source de tension du générateur est assuré par la capacité du filtre
d’entré Cf et le caractère de source de courant du récepteur est assure par les trois
inductances Ls.
i
Rf
ua
Lf
K11
+
Udc
Cf
K21
K31
u
ia
Ls
ib
Ls
Rs
ic
Ls
Rs
ea
Rs
~
~
~
K12
K22
K32
Figure 1.12 Onduleur de tension à MLI
Si le filtre LfCf est correctement dimensionné la tension aux bornes de Cf est en
régime permanent, à une faible ondulation près, égale à Udc et donc toujours
positive. L’utilisation d’interrupteurs réversibles en courant à blocage et amorçage
commandables dans le premier quadrant (Figure 1.8) permet à l’onduleur de
fonctionner en mode complètement commandé. Les interrupteurs appartenant à un
même bras de l’onduleur (c’est à dire les interrupteurs reliés à une même borne du
récepteur) doivent fonctionner en mode complémentaire car il faut respecter les
contraintes sur les états d’interrupteurs présentées au paragraphe 1.2.3.
En contrôlant les états des interrupteurs de chaque bras de l’onduleur on fixe les
valeurs des tensions de sortie de l’onduleur ua0, ub0 et uc0 à +0.5.u ou à –0.5.u si on
prend comme point de référence le point milieu de la tension u, que nous pouvons
visualiser en supposant que le capacité Cf est formée de deux capacités de valeur 2Cf
connectées en série comme le montre la Figure 1.13 :
25
Chapitre 1 : Présentation des systèmes étudiés
2.Cf
+0.5.u
K11
K21
K31
ua0
ub0
O
uc0
2.Cf
-0.5.u
K12
K22
K32
Figure 1.13 Représentation des tensions de sortie de l’onduleur
Si le filtre d’entré est bien dimensionné on peut considérer que la tension à l’entré de
l’onduleur est sensiblement égale à la tension Udc et on obtient à la sortie de
l’onduleur trois ondes de tension constituées des créneaux dont l’amplitude vaut
approximativement +0.5.Udc ou -0.5.Udc suivant que ce sont les interrupteurs du coté
haut qui conduisent ou ceux du coté bas.
L’emploi de la technique MLI pour déterminer les intervalles de conduction des
interrupteurs permet de régler de manière indépendante les valeurs moyennes de
chacune des tensions ua0, ub0, uc0 sur chaque période de commutation. Dans ce cas
les instants de commutation sont déterminés par la comparaison de trois ondes de
référence avec une onde porteuse qui fixe la fréquence de commutation. Cette
comparaison fournit trois signaux logiques fa, fb et fc, qui valent 1 quand les
interrupteurs du coté haut sont en conduction et ceux de coté bas sont bloquées et
valent 0 dans le cas contraire. A partir de ces signaux l’électronique de commande
élabore les signaux de commande des interrupteurs.
Si les références forment un système triphasé équilibré de grandeurs sinusoïdales on
obtient à la sortie de l’onduleur des ondes de tension dont les « valeurs moyennes »
forment elles aussi un système triphasé équilibré. On parle dans ce cas-ci d’une
modulation sinus-triangle (Figure 1.14).
Généralement le récepteur est connecté en étoile à neutre isolé. Dans ce cas les
tensions vues par les phases du récepteur ne sont pas directement égales à celles
fournies à la sortie de l’onduleur et se déduisent de celles-ci par la relation suivante,
si on admet que la somme des tensions aux bornes des phases du récepteur est
nulle1 :
1
Ce qui est le cas si le récepteur est équilibré et qu’il ne génère pas de lui même des
composants homopolaires de tension.
26
Chapitre 1 : Présentation des systèmes étudiés
ua_ref(t)
ub_ref(t)
uc_ref(t)
ξ (t)
t
fa
1
t
1
fb
t
fc
1
t
+0.5.Udc
ua0
t
-0.5.Udc
+0.5.Udc
ub0
t
-0.5.Udc
+0.5.Udc
uc0
t
-0.5.Udc
ua
t
ub
t
uc
t
Figure 1.14 Commande MLI par modulation « sinus-triangle »
27
Chapitre 1 : Présentation des systèmes étudiés
 ua (t )
 ua 0 (t )




(
)
u
t
=
S
⋅
 b 
 ub 0 (t )
 u (t ) 
 u (t ) 
 c 
 c0 
(1.1)
où la matrice S est donnée par:
+ 2 −1 −1

1 
S = ⋅  −1 + 2 −1
3 

 −1 − 1 + 2
(1.2)
Cette relation est valable tant au niveau des valeurs instantanées des tensions que de
leurs valeurs moyennes sur une période MLI. Il suffit de prendre comme valeurs de
référence pour ua0, ub0, uc0 les valeurs de référence souhaitées pour ua, ub, uc pour
que ces tensions suivent en moyenne leurs références sur chaque période MLI 2.
Mais comme les composantes homopolaires contenues dans les valeurs instantanées
et dans les valeurs moyennes des tensions de sortie de l’onduleur ne se retrouvent
pas dans les tensions de phase du récepteur, on a un degré de liberté supplémentaire
au niveau de la commande du système. On peut injecter une composante
homopolaire dans les ondes de référence des tensions ua0, ub0, uc0 sans affecter les
« valeurs moyennes » des tensions de phase du récepteur. Par exemple, on peut
injecter une harmonique de rang trois pour réduire le déchet de tension dû à la
commande MLI [26].
1.4.3
Convertisseur matriciel triphasé-triphasé
L’exemple le plus général d’un convertisseur fonctionnant en mode complètement
commandé est celui du convertisseur matriciel. La Figure 1.15 représente un
convertisseur matriciel inséré entre un générateur triphasé à caractère de source de
tension (assuré par les capacités Cf) et un récepteur triphasé à caractère de source de
courant (dû aux inductances Ls).
L’utilisation d’interrupteurs réversibles en tension et en courant à blocage et
amorçage commandé dans le premier et le troisième quadrant est indispensable pour
permettre au convertisseur de connecter à tout instant chacune des bornes d’entrée
du récepteur à n’importe quelle des bornes de sortie du générateur et ceci
indépendamment de l’évolution des tensions et des courants aux accès du générateur
et du récepteur.
2
Les valeurs de référence pour ua, ub, uc doivent évidement avoir une somme nulle.
28
Chapitre 1 : Présentation des systèmes étudiés
ua
Rf
K11
Lf
K12
K13
Kij
uab
K21
K22
K23
K31
K32
K33
O
Cf
I
A
B
C
U
Ls
uA
Rs
ia
ib
ic
ea
Figure 1.15 Convertisseur matriciel reliant deux systèmes triphasés
Si la commande du système prévoit de fixer les potentiels des bornes de sortie du
convertisseur (pour régler par exemple les valeurs des tensions sur les phases du
récepteur), la comparaison de trois ondes de référence correspondant aux tensions
désirées aux phases du récepteur, avec une porteuse de haute fréquence permet de
déterminer les intervalles de conduction des interrupteurs. La combinaison logique
des trois signaux résultant de cette comparaison avec six autres signaux permettant
d’identifier à tout instant les deux bornes d’entrée du convertisseur entre lesquelles
la différence de potentiel est la plus élevée, permet de choisir les interrupteurs à
commander pour assurer une amplitude maximale de réglage des tensions aux
bornes du récepteur. A la Figure 1.16 on peut observer les trois signaux logiques fa,
fb et fc résultés de la comparaison des trois ondes de référence ua_ref, ub_ref et uc_ref
avec la porteuse ξ et les signaux logiques d’une largeur de 120° correspondant aux
intervalles ou chacune des trois tensions présentes à l’entrée du convertisseur est
supérieure ou inférieure aux deux autres tensions. Pour obtenir ces signaux les
chutes de tension sur les résistances et les inductances du filtre d’entrée ont été
négligés. Par exemple, le signal de commande de l’interrupteur K11 s’obtienne en
validant le signal logique fa par les signaux de 120° Sap et San de telle façon à inhiber
la mise en conduction de cet interrupteur en dehors des intervalles ou la tension ua
est la plus positive ou la plus négative. Les signaux de commande des autres
interrupteurs sont élaborés en utilisant la même procédure. Sur la Figure 1.16 on
s’est contenté de représenter les signaux de commande σ11 , σ12 et σ13 des
interrupteurs K11 , K12 et K13 respectivement.
29
Chapitre 1 : Présentation des systèmes étudiés
ua_ref
ub_ref
ξ
uc_ref
fa
fb
fc
ua
ub
uc
Sap
San
Sbn
Sbp
Scp
Scn
σ11
σ12
σ13
Figure 1.16 Synthèse des signaux de commande des interrupteurs
1.5 Réglage du point de fonctionnement
Comme on l’a indiqué dans le paragraphe précédent l’électronique de commande
élabore le plus souvent les signaux nécessaires à la commande des interrupteurs à
partir d’ondes de référence correspondant aux tensions qu’on veut imposer aux
bornes du système à caractère de source de courant. Le nombre d’ondes de référence
correspond au nombre de grandeurs indépendantes qu’on peut définir parmi ces
tensions (ce nombre est égal au nombre de bornes d’accès moins une).
Dans cette section nous allons préciser comment la commande du système peut être
réalisée et la façon dont l’électronique de commande et régulation est implantée en
pratique.
30
Chapitre 1 : Présentation des systèmes étudiés
1.5.1
Réglage en boucle ouverte
Dans le cas du réglage en boucle ouverte on détermine a priori, sur la base d’un
modèle du système générateur-convertisseur-récepteur, les valeurs qu’il faut donner
aux ondes de référence qui servent à fixer la découpe MLI pour obtenir le point de
fonctionnement désiré.
Ce type de réglage a l’avantage d’être simple mais il exige une très bonne
connaissance du système, toute erreur sur les valeurs de ses paramètres entraînant
une erreur sur le point de fonctionnement. De plus, ce type de réglage est caractérisé
par une forte sensibilité aux perturbations qui peuvent agir sur le système et qui ne
sont pas prises en compte pour déterminer sa commande. C’est pourquoi cette
solution n’est que rarement utilisée et seulement si les performances exigées en
matière de suivi des consignes ne sont pas élevées.
1.5.2
Réglage en boucle fermée
Vu les inconvénients qui caractérisent le réglage en boucle ouverte, pour les
systèmes à hautes performances c’est toujours la commande en boucle fermée qui
est utilisée car elle permet de réaliser un réglage précis du point de fonctionnement
même en présence d’incertitudes de modélisation ou de perturbations agissant sur le
système.
Dans ce cas l’électronique de commande et régulation détermine les valeurs des
ondes de références nécessaires à l’élaboration des signaux de commande des
interrupteurs à partir des consignes qu’elle reçoit et des mesures prélevées sur l’état
du système. En notant par Yp le vecteur des variables mesurées3 et par Yc celui des
valeurs de consigne correspondantes, les ondes de références peuvent s’exprimer
comme suit :
u l _ ref (t ) = g (Y p , Yc )
(1.3)
où la fonction g dépend du type de régulateur employé. Dans la plupart des systèmes
utilisant un convertisseur électronique de puissance comme organe de réglage une
partie des variables d’état ont une dynamique de réponse nettement plus rapide que
les autres. C’est par exemple le cas des systèmes d’entraînement par machines
électriques où les courants à travers les enroulements de la machine ont
généralement une dynamique de réponse très rapide par rapport aux grandeurs
mécaniques (la vitesse ou la position). On utilise alors généralement une structure de
3
Le vecteur des variables mesurées correspond généralement à une partie des
variables d’état du système à contrôler ou à des images de celles-ci.
31
Chapitre 1 : Présentation des systèmes étudiés
régulation à boucles imbriquées : des boucles de réglage rapides assurent le réglage
des courants fournis par le convertisseur aux accès du système ayant un caractère de
source de courant sur base de consignes fournies par les régulateurs assurant le
réglage des autres grandeurs dont on veut asservir la valeur.
Cette manière de procéder assure entre autres une protection efficace du
convertisseur électronique de puissance contre tout risque de surcourant.
A titre d’exemples,
•
la Figure 1.17 présente le réglage de la vitesse par boucles imbriquées de
vitesse et de courant pour un moteur à courant continu alimenté par hacheur.
T11
Ωcons
Régulateur
de vitesse
ia_ cons
Ωmes
Régulateur
de courant
ua_ ref
Modulateur
MLI
ia
T12
ξ
ia_ mes
D11
σ(t)
Ω
Capteur
vitesse
ua
D12
Figure 1.17 Réglage de la vitesse d’une machine à courant continu
•
la Figure 1.18 présente le réglage de la tension de sortie d’une alimentation à
découpage élévatrice de tension par boucles imbriquées de tension et de
courant.
L
uc_cons
Régulateur
de tension
uc_mes
iL_ cons
Régulateur
de courant
iL_ mes
uc_ ref
Modulateur
MLI
ξ
σ(t)
D
T
C
uc
IL
Figure 1.18 Réglage de la tension d’une alimentation élévatrice de tension
Dans la suite de ce travail, nous considérerons systématiquement que le réglage se
fait par des boucles imbriquées. Nous nous limiterons également au cas où les
boucles à dynamique rapide assurent la régulation des courants aux accès du
système ayant un caractère de source de courant sachant que le cas inverse (réglage
des tensions aux bornes des accès du système à caractère de source de tension) est le
cas dual du cas étudié.
32
Chapitre 1 : Présentation des systèmes étudiés
1.5.3
Implantation de la commande
La régulation et la génération des signaux MLI de commande peuvent, comme on
l’a dit, être réalisées de manière analogique ou de manière numérique.
A l’heure actuelle, on recourt de manière quasi systématique à la commande
numérique car elle offre des avantages :
•
en terme de facilité de réglage des paramètres des régulateurs si l’on recourt à
des régulateurs classiques P, PI ou PID,
•
ou en terme de performances par l’emploi de lois de commande plus complexes.
La conséquence principale d’une implantation numérique de la commande est que
les signaux de commande qu’elle fournit n’évoluent pas de manière continue mais
sont rafraîchis à une cadence fixée par la « période d’échantillonnage » Te de la
commande.
Ceci résulte du fonctionnement de type séquentiel des systèmes numériques qui fait
qu’un certain temps Tc s’écoule entre l’instant ou des mesures sont prélevées sur
l’état du système et celui ou les signaux de commande sont adaptés à ces valeurs. Ce
temps (le « temps de calcul » de l’algorithme de commande) comporte le temps
nécessaire à la conversion analogique numérique des grandeurs mesurées et le temps
nécessaire au calcul de l’algorithme de commande.
Pour les systèmes dont les variables d’état présentent des dynamiques de réponse
nettement différentes et dont la régulation se fait par des boucles imbriquées,
l’algorithme de commande peut se faire à plusieurs cadences d’échantillonnage, les
variables « lentes » étant généralement mesurées moins souvent que les variables
« rapides ». A titre d’exemple, à la Figure 1.19 on à indiqué la séquence des calculs
pour le régulation par boucles imbriquées vitesse/courant de l’entraînement par
moteur à courant continu alimenté par hacheur représenté à la Figure 1.17. On à
supposé que la période d’échantillonnage liée à la boucle de vitesse Tm était le
double de celle liée à la boucle de courant Te.
Si la période d’échantillonnage de la boucle de courant est égale à la période de
commutation du convertisseur (Te = TMLI) on peut considérer que le régulateur de
courant calcule la durée ON du transistor T11 sur la période de commutation. En
effet on peut exprimer la valeur de cette durée à partir de celle de l’onde référence
ua_ref par:
α ⋅ TMLI =
ua _ ref
(1.4)
U dc
33
Chapitre 1 : Présentation des systèmes étudiés
puisque si le filtre d’entré est bien dimensionné on peut considérer que la tension à
l’entre du hacheur u est quasi égale à la tension aux bornes de la source de tension
continue Udc.
Tm
Te
Te
Tc
Tc
application
commandes
1/2
calcul
ia_ref
application
commandes
2/2
calcul
ia_ref
calcul
ua_ref
calcul
ua_ref
t
tk
tk+1
mesure
tk+2
mesure
ia
mesure
ia
mesure
Ω
Ω
uref_k+1
uref(t)
t
uref_k
Figure 1.19 Séquence de calcul de l’algorithme de commande
En rentrant dans un timer (ou un convertisseur numérique-analogique de MLI) un
nombre correspondant à cette valeur on obtient à la sortie de celui-ci un signal
logique de période égale à TMLI qui est maintenu à 1 pendant un temps proportionnel
à ce nombre. L’inverse de ce signal fournit la commande du transistor T12 (Figure
1.20).
σ11
Te= TMLI
α
ξ(t)
CNA
MLI
σ12
ua_ref(t)
α
t
TMLI
σ1
t
α=
u a _ ref
U dc ⋅ TMLI
σ1
α
Figure 1.20 Elaboration des signaux de commande
34
t
Chapitre 1 : Présentation des systèmes étudiés
Comme le montre l’exemple qu’on vient de traiter, en général, lorsque la période
d’échantillonnage du régulateur est égale à la période de commutation du
convertisseur, plutôt que de calculer des ondes de référence dont la comparaison
avec des porteuses détermineraient les intervalles de conduction des différents
interrupteurs, l’algorithme de commande fournit directement à partir des valeurs
calculées de ces ondes les signaux logiques qui fixent ces intervalles4.
Le choix d’une période d’échantillonnage égale à la période de commutation du
convertisseur et synchronisé sur celle-ci évite l’apparition de replis de fréquence
dans les mesures prélevées sur le système, replis qui pourraient être induits par les
ondulations dues à la découpe MLI au niveau des courants et les tensions du système
([31], [14]).
En effet, si on considère par exemple le hacheur de la Figure 1.17, on voit que
l’application aux bornes de la charge d’une succession d’impulsions à la place d’une
tension à variation continue provoque une ondulation du courant ia autour de sa
« valeur moyenne ». Dans le cas d’une MLI symétrique (Figure 1.21) en prélevant la
mesure du courant en début ou au milieu de la période de commutation on évite non
seulement l’apparition de replis de fréquence mais on minimise également l’écart
existant entre la valeur mesurée et la valeur moyenne du courant. De plus on évite
aussi d’effectuer les mesures aux instants de commutation des interrupteurs lorsque
les perturbations électromagnétiques induites par ces commutations pourraient
perturber la mesure [14].
Te= TMLI
ξ(t)
ua_ref(t)
t
u a(t)
ia (t)
t
instants de mesure conseillés
Figure 1.21 Evolution des grandeurs du système (cas d’une MLI symétrique)
4
Ce processus est équivalent à la comparaison d’une porteuse de période égale à
celle de commutation avec des ondes de référence constantes durant chaque période
de commutation.
35
Chapitre 1 : Présentation des systèmes étudiés
On voit donc que l’utilisation d’une commande numérique dont la période
d’échantillonnage des grandeurs à dynamique rapide est égale à la période de
commutation du convertisseur et dont le calage est optimale élimine le problème lié
aux replis de fréquence des mesures et minimise l’effet de l’ondulation sur la
mesure.
Ces phénomènes pourraient évidement être evites en choisissant une fréquence
d’échantillonnage beaucoup plus grande que la fréquence de commutation du
convertisseur (pour autant bien sur que le processeur utilisé puisse calculer
l’algorithme de commande à cette cadence) de façon à pouvoir considérer que la
commande numérique est équivalente à une commande analogique pour laquelle ces
problèmes ne se présentent pas.
Mais même lorsque les signaux de commande sont des fonctions continues du temps
l’action des régulateurs sur le système réglé est un processus discret car la
comparaison de ces signaux avec la ou les porteuses les échantillonnent à la
fréquence de commutation du convertisseur. Si l’on emploie des régulateurs
analogiques, leur bande passante doit être adaptée à cette cadence d’échantillonnage.
Si la régulation est numérique il est inutile de rafraîchir les valeurs des ondes de
référence à une cadence supérieure à la fréquence de commutation.
Par conséquent, même si la puissance de calcul du processeur utilisé permet de
travailler à une cadence plus élevée, il y a intérêt à utiliser pour le régulateur des
variables rapides (le ou les courants absorbés par le récepteur dans les exemples que
nous considérons) une période d’échantillonnage égale à la période de commutation
du convertisseur avec un calage optimal des instants de mesure. Si la puissance de
calcul ne permet pas d’attendre cette cadence il suffit de prendre une période
d’échantillonnage qui est un multiple entier de la période MLI pour retrouver les
mêmes avantages.
A l’heure actuelle où les processeurs sont de plus en plus rapides c’est en général la
fréquence de fonctionnement du convertisseur qui fixe la période d’échantillonnage
de la commande des variables « rapides » : avec des IGBT la valeur de cette période
se situe entre 10 et 100 µs ce qui rend nécessaire, une analyse en temps discret des
boucles de régulation rapides lorsqu’il s’agit d’applications à hautes performances
comme les entraînements par moteurs synchrones à aimants permanents pour des
applications critiques (robotique, aéronautique, etc.) [5].
36
Chapitre 2
Mise en équations de la
partie de puissance
Résumé – Au premier chapitre de ce travail nous nous sommes intéressés à la
structure et au fonctionnement des systèmes électroniques à convertisseurs
commandés par la technique de la modulation en largeur d’impulsions.
Nous avons montré que ces systèmes sont principalement constitués de deux
parties : d’une partie de puissance constituée par les deux systèmes continus (le
générateur et le récepteur) plus le convertisseur caractérisé par un fonctionnement
de type événementiel, ainsi que d’une partie de commande et régulation qui, à partir
des consignes reçues de l’extérieur et des mesures prélevées sur l’état du système,
détermine les signaux nécessaires à la commande des interrupteurs du
convertisseur.
Ce chapitre est dédié à l’élaboration des équations d’évolution de la partie de
puissance du système. Ces équations seront déterminées sur la base des équations
caractérisant l’évolution des variables d’état du générateur et du récepteur tout en
tenant compte des relations que le convertisseur impose entre les grandeurs à ses
entrées et à ses sorties.
Nous traitons d’abord le cas ou le générateur et le récepteur sont des systèmes à
courant continu puis, au deuxième paragraphe, nous nous intéressons au cas ou l’un
de ces deux systèmes est à courant alternatif. Pour cela nous considérons le cas ou
le récepteur est une machine synchrone à rotor bobiné et celui ou le récepteur est
une machine synchrone à aimants permanents.
Pour exemplifier la procédure d’élaboration des équations d’évolution, à la fin de
ce chapitre nous l’appliquons à deux systèmes souvent utilisés : le moteur à courant
continu alimenté par hacheur réversible en courant et le moteur synchrone à
aimants permanents alimenté par onduleur MLI de tension.
Chapitre 2 : Mise en équations de la partie de puissance
2.1 Ecriture des équations différentielles
d’évolution
Pour écrire les équations d’évolution de la partie de puissance on va considérer le
cas où :
•
par rapport aux bornes d’entrée du convertisseur, le générateur présente un
caractère de source de tension
•
par rapport aux bornes de sortie du convertisseur, le récepteur se comporte
comme une source de courant.
En prenant comme référence l’une des n bornes d’entrée du convertisseur on peut
définir pour celui-ci un nombre de ku = n-1 ports d’entrée et en prenant comme
référence l’une de ses m bornes de sortie on peut définir un nombre de ki = m-1
ports de sortie.
La situation duale ou le générateur à un comportement de source de courant et le
récepteur un comportement de source de tension se traite de manière tout à fait
similaire.
2.1.1
Equations relatives au système à caractère de
source de tension
Pour écrire les équations d’évolution des variables d’état du système à caractère de
source de tension (le générateur dans notre cas) on peut considérer que celui-ci est
piloté par des sources indépendantes de courant (Figure 2.1) :
I1
u1
I2
u2
Iku
uku
Figure 2.1 Pilotage du système à caractère de source de tension par des sources
indépendantes de courant
38
Chapitre 2 : Mise en équations de la partie de puissance
On peut alors écrire5 :
•
X u (t ) = Au ⋅ X u (t ) + Bu ⋅ S u (t ) + Gu ⋅ I (t )
(2.1)
où Xu représente le vecteur des variables d’état indépendantes du système, I le
vecteur des sources de courant qui agissent sur ses bornes d’entré (ses bornes
communes au convertisseur) et Su le vecteur des autres sources qui font partie du
générateur. Les matrices Au , Bu , Gu sont respectivement les matrices de dimensions
nu×nu , mu×nu et ku×nu , ou nu est le nombre de variables d’état, mu est le nombre de
sources présentes dans Su et ku on le rappelle, le nombre de ports connectés au
convertisseur.
2.1.2
Equations relatives au système à caractère de
source de courant
Pour écrire les équations d’évolution des variables d’état du système à caractère de
source de courant (le récepteur dans notre cas) on peut considérer que celui-ci est
piloté par des sources indépendantes de tension (Figure 2.2) :
i1
U1
i2
U2
iki
Uki
Figure 2.2 Pilotage du système à caractère de source de courant par des sources
indépendantes de tension
Dans ce cas les équations d’évolution des variables d’état indépendantes de ce
système peuvent s’écrire comme suit :
5
Nous supposons tout au long de ce chapitre que le générateur et le récepteur sont
décrits par des systèmes d’équations différentielles linéaires. L’extension au cas où
ces équations seraient non linéaires ne pose pas des problèmes à priori. Mais
évidament dans ce cas la résolution de ces équations pour suivre l’évolution
temporelle des variables nécessite le recours à une intégration numérique.
En particulier pour les entraînements par moteurs électriques, on verra la forme que
présentent les équations au travers des exemples traités.
39
Chapitre 2 : Mise en équations de la partie de puissance
•
X i (t ) = Ai ⋅ X i (t ) + Bi ⋅ S i (t ) + Gi ⋅ U (t )
(2.2)
où Xi représente le vecteur des variables d’état, U le vecteur des sources de tension
qui agissent sur ses bornes d’accès et Si le vecteur des autres sources qui font partie
du récepteur. Les matrices Ai , Bi , Gi sont respectivement les matrices de
dimensions ni×ni , mi×ni et ki×ni , ou ni est le nombre de variables d’état, mi est le
nombre de sources Si et ki le nombre de ports connectés au convertisseur.
2.1.3
Relations imposées par le convertisseur
Pour déterminer les relations imposées par le convertisseur entre les grandeurs
présentes à ses entrées et celles présentes à ses sorties on considère les interrupteurs
idéaux : on néglige leurs courants de fuite à l’état bloqué et leurs chutes de tension à
l’état conducteur et on suppose les commutations instantanées. Dans ce cas le
convertisseur apparaît comme un multiport de connexion non énergétique.
On peut des lors caractériser l’état de chaque interrupteur par une variable logique
égale à 1 si l’interrupteur est conducteur et à 0 s’il est bloqué. Par exemple, pour
l’interrupteur Kij qui permet de connecter la borne d’entrée i à la borne de sortie j on
a:
0
1
σ ij (t ) = 
pour K ij bloqué
pour K ij conducteur
(2.3)
Il convient de noter que, généralement, l’état du convertisseur peut être défini à
chaque instant par un nombre l de fonctions logiques fl(t) (appelées « les fonctions
de commutation du convertisseur ») qui est inférieur au nombre i×j d’interrupteurs
et dont les variables σij se déduisent directement. Par exemple, on a vu au Chapitre 1
que dans le cas du hacheur une seule fonction logique suffit pour caractériser l’état
des deux interrupteurs car ceux-ci fonctionnent de manière complémentaire. On a
aussi vu que dans le cas de l’onduleur de tension l’état des six interrupteurs peut être
complètement caractérisée par seulement trois fonctions de commutation car les
deux interrupteurs appartenant à un même bras fonctionnent aussi de manière
complémentaire.
Dans ces conditions les relations imposées par le convertisseur entre les variables à
ses entrées et celles à ses sorties sont des combinaisons linéaires de ces variables
multipliées par des variables binaires fl(t). Le vecteur des courants I peut des lors
être relie au vecteur de variables d’état Xi par une matrice Hu [fl(t)] de dimensions
ku× ni dont les coefficients sont des fonctions linéaires de fl(t) :
I (t ) = H u [ f l (t )] ⋅ X i (t )
40
(2.4)
Chapitre 2 : Mise en équations de la partie de puissance
De la même façon, le vecteur des tensions U peut s’exprimer en fonction du vecteur
de variables d’état Xu par une matrice Hi [fl(t)] de dimensions ki×nu:
U (t ) = H i [ fl (t )] ⋅ X u (t )
2.1.4
(2.5)
Equations de l’ensemble générateurconvertisseur-récepteur
Le remplacement dans les équations différentielles (2.1) et (2.2) des vecteurs I et U
par leurs valeurs données par les relations (2.4) et (2.5) permet d’écrire le
système d’équations différentielles d’évolution du système générateur-convertisseurrécepteur sous la forme suivante :
•
X p (t ) = Ap [ f l (t )] ⋅ X p (t ) + Bp ⋅ U p (t )
(2.6)
avec :
 X (t )
X p (t ) =  u 
 X i (t ) 
(2.7)
Au
Gu ⋅ H u [ f l (t )]


Ap [ f l (t )] = 
Ai
 Gi ⋅ H i [ f l (t ) ]

(2.8)
B
B p =  u
0
0

Bi 
 S (t )
U p (t ) =  u 
 Si (t ) 
(2.9)
(2.10)
Nous pouvons observer que la matrice dynamique Ap fait intervenir les fonctions de
commutation fl(t) qui sont des variables logiques dépendantes de temps. Par contre,
la matrice des sources Bp ne dépend pas de ces variables.
Il convient de remarquer que, à ce stade, nous ne nous intéressons pas à la manière
dont les fonctions fl(t) peuvent dépendre de l’état du système lorsqu’elles sont
déterminées par un régulateur qui prélève des mesures sur le système. Nous
considérons ces fonctions comme de simples paramètres (Figure 2.3) :
41
Chapitre 2 : Mise en équations de la partie de puissance
Up
•
X
p
(t ) = A p [ f l (t )]⋅ X p (t ) + B p ⋅ U p (t )
Xp
fl(t)
Figure 2.3 Représentation graphique du système à contrôler
2.2 Note sur le cas où le récepteur est une
machine à courant alternatif
Si le récepteur de courant est une machine à courant alternatif (synchrone ou
asynchrone), on écrit généralement ses équations dans un référentiel de Park choisi
en fonction du type de machine.
Dans ce cas les variables associées aux enroulements statoriques (machine
synchrone) ou statoriques et rotorique (machine asynchrone) ne sont pas les tensions
et les courants dans ces enroulements, mais leurs composantes de Park. Il faut en
tenir compte pour déterminer les relations que le convertisseur établit entre les
tensions et les courants à ses accès et obtenir les équations de l’ensemble générateur
convertisseur récepteur.
Dans la suite de cette section, nous nous limitons aux équations électriques (en
prenant la vitesse comme un paramètre) puisque c’est par la partie électrique que la
machine est reliée au convertisseur électronique de puissance.
2.2.1
Relations de passage du référentiel abc au
référentiel de Park
Les relations de passage du référentiel abc au référentiel de Park d’une grandeur
triphasée (courants ou tensions) :
 xa (t )


x(t ) =  xb (t )
 x (t ) 
 c 
(2.11)
sont les suivantes :
 xa (t )


 xd (t )
 x (t )
 = P23 [θ (t )] ⋅  d 
 xb (t )  = T23 ⋅ P[θ (t )] ⋅ 

 x (t ) 
 xq (t ) 
 q 
 x (t ) 
 c 
42
(2.12)
Chapitre 2 : Mise en équations de la partie de puissance
et celles de passage inverse sont :
 xa (t )
 xa (t )




 xd (t )
t
−1
−1


 x (t )  = P [θ (t )] ⋅ T23 ⋅  xb (t )  = P23 [θ (t )] ⋅  xb (t )
 q 
 x (t ) 
 x (t ) 
 c 
 c 
(2.13)
où :
T23 =
2
3
1
0




⋅  cos(2π 3) sin (2π 3)
 cos(4π 3) sin (4π 3)


 cos[θ (t )] − sin[θ (t )]

P[θ (t )] = 
 sin[θ (t )] cos[θ (t )] 
(2.14)
(2.15)
Nous obtenons :
P23 [θ (t )] =
2
3
cos[θ (t )]
− sin[θ (t )] 



⋅  cos[θ (t ) − 2π 3] − sin[θ (t ) − 2π 3]
 cos[θ (t ) − 4π 3] − sin[θ (t ) − 4π 3]


(2.16)
et :
P23−1 [θ (t )] = P23t [θ (t )]
(2.17)
Si les variables xa(t), xb(t) et xc(t) forment un système équilibré nous pouvons encore
écrire que :
 xa (t )


 xa (t )

 = Η 32 ⋅  xb (t )  =
 xb (t ) 
 x (t ) 
 c 
2
3
− sin [θ (t )] 
cos[θ (t )]


⋅ 
 cos[θ (t ) − 2π 3] − sin [θ (t ) − 2π 3]
(2.18)
avec :
 1 0 0
Η 32 = 

 0 1 0
(2.19)
et nous pouvons définir une nouvelle matrice P22[θ(t)] :
P22 [θ (t )] = Η 32 ⋅ P23 [θ (t )]
(2.20)
permettant de passer de ab à dq :
43
Chapitre 2 : Mise en équations de la partie de puissance
 xd (t )
 xa (t )


 = P22 [θ (t )] ⋅ 

(
)
x
t
 b 
 xq (t ) 
(2.21)
De même façon, en tenant compte du fait que :
 xa (t )


x (t )
−1  a

 xb (t ) = Η 32 ⋅ 
 xb (t )
 x (t ) 
 c 
(2.22)
avec :
Η
−1
32
0
1


= 0
1
 − 1 − 1


(2.23)
nous pouvons définir une nouvelle matrice P22-1[θ(t)] :
−1
P22−1[θ (t )] = P23−1[θ (t )] ⋅ Η32
cos[θ (t ) − 2π 3] − cos[θ (t ) − 4π 3] 
2  cos[θ (t )] − cos[θ (t ) − 4π 3]

=
⋅
3  − (sin[θ (t )] − sin[θ (t ) − 4π 3]) − (sin[θ (t ) − 2π 3] − sin[θ (t ) − 4π 3])
(2.24)
permettant de passer de dq à ab :
 xd (t )
 xa (t )
−1


 x (t )  = P22 [θ (t )] ⋅  x (t ) 
 b 
 q 
2.2.2
(2.25)
Cas ou le récepteur est une machine synchrone à
rotor bobiné, pôles lisses, sans amortisseurs
Pour une machine synchrone triphasée à pôles lisses, rotor bobiné sans amortisseurs
6
(Figure 2.4) :
6
L’association d’un convertisseur électronique de puissance fonctionnant en MLI et
d’une machine synchrone correspond pratiquement toujours à l’association d’un
onduleur de tension avec une machine sans amortisseurs.
44
Chapitre 2 : Mise en équations de la partie de puissance
θm
ia
ua
if
ub
uf
ic
uc
ib
Figure 2.4 Machine synchrone triphasée à rotor bobiné sans amortisseurs
si les enroulements du stator sont en étoile à neutre isolé de sorte que l’on ait :
ia (t ) + ib (t ) + ic (t ) = 0
(2.26)
et :
ua (t ) + ub (t ) + uc (t ) = 0
(2.27)
Si en outre la distribution de flux est sinusoïdale, les équations de Park s’écrivent :
ud (t ) = Rs ⋅ id (t ) + Ls ⋅
d
3
d
id (t ) − p ⋅ ωm (t ) ⋅ Ls ⋅ iq (t ) +
⋅ M ⋅ i f (t )
dt
2
dt
(2.28)
uq (t ) = Rs ⋅ iq (t ) + Ls ⋅
d
3
iq (t ) + p ⋅ ω m (t ) ⋅ Ls ⋅ id (t ) + p ⋅ ωm (t ) ⋅
⋅ M ⋅ i f (t )
dt
2
(2.29)
u f (t ) = R f ⋅ i f (t ) + L f ⋅
d
3
d
i f (t ) +
⋅ M ⋅ id (t )
dt
2
dt
(2.30)
Dans ces équations,
•
ud et uq, id et iq sont les composantes de Park respectivement des tensions ua, ub,
uc et des courants ia, ib, ic
•
uf et if, la tension et le courant inducteur
•
Rs et Ls, la résistance et l’inductance cycliques des enroulements du stator
•
ωm, la vitesse angulaire du rotor
•
Rf et Lf, la résistance et l’inductance propre de l’inducteur
•
M la valeur maximum de la mutuelle entre l’inducteur et une phase du stator
45
Chapitre 2 : Mise en équations de la partie de puissance
•
p est le nombre des paires des pôles de la machine.
La transformation de Park qui lie aux variables ud, uq, uf et id, iq, if les variables ua,
ub, uc et ia, ib, ic dont seules 2 des 3 sont indépendantes (par exemple ua, ub et ia, ib)
et les variables uf et if , s’écrit :
 xa (t ) 
 x (t ) 
 xd (t ) 

  P22 [θ (t )] 0   d 


 ⋅  xq (t )  = P0 [θ (t )] ⋅  xq (t ) 
 xb (t )  = 

1 
 x (t )  0

 x (t )
 f 
 x f (t )
 f 
(2.31)
où :
θ (t ) = p ⋅ θ m (t )
(2.32)
représente la position électrique de la machine, θm étant la position mécanique. On a
évidement
•
(2.33)
ωm = θ m
ou si l’on préfère :
t
θ (t ) = ∫ ωm (t ) ⋅ dt
(2.34)
0
Réciproquement on a :
 xd (t ) 
 x (t ) 
 xa (t ) 

  P22−1[θ (t )] 0   a 


−1
 ⋅  xb (t )  = P0 [θ (t )] ⋅  xb (t ) 
 xq (t )  = 

0
1 
 x (t ) 

 x (t )
 f 
 x f (t )
 f 
(2.35)
En posant :
X i (t ) = (ia (t ) ib (t ) i f (t ))
t
(2.36)
et :
X idq (t ) = (id (t ) iq (t ) i f (t )) t
(2.37)
les équations du générateur qui alimente la machine à travers l’électronique de
puissance :
•
X u (t ) = Au ⋅ X u (t ) + Bu ⋅ S u (t ) + Gu ⋅ H u [ f l (t )] ⋅ X i (t )
46
(2.38)
Chapitre 2 : Mise en équations de la partie de puissance
s’écrivent :
•
X u (t ) = Au ⋅ X u (t ) + Bu ⋅ S u (t ) + Gu ⋅ H u [ f l (t )] ⋅ P0 [θ (t )] ⋅ X idq (t )
(2.39)
En posant en outre :
U dq (t ) = (ud (t ), uq (t ))
(2.40)
t
et :
Sidq (t ) = (u f (t ))
(2.41)
les équations de Park de la machine peuvent se mettre sous la forme canonique :
•
X idq (t ) = Aidq [ω (t )] ⋅ X idq (t ) + Bidq ⋅ Sidq (t ) + Gidq ⋅ U dq (t )
(2.42)
avec :
 − Rs

Aidq [ω (t )] = L−1 ⋅  − ω (t ) ⋅ Ls


0

dq
i
B
ω (t ) ⋅ Ls
− Rs
0


3
p ⋅ ω (t ) ⋅
⋅M 

2

− Rf

0
(2.43)
0
 
= L ⋅ 0
1
 
(2.44)
−1
1 0


Gidq = L−1 ⋅  0 1 
0 0


(2.45)
où :

 Ls ⋅ L f


1
L−1 =
⋅
0
3
2
2
Ls ⋅ L f − ⋅ M ⋅ Ls 
2
− 3 ⋅ M ⋅ L
s

2

−
0
Ls ⋅ L f −
0
3
⋅M2
2

3
⋅ M ⋅ Ls 
2


0



L2s


(2.46)
et :
47
Chapitre 2 : Mise en équations de la partie de puissance
ω (t ) = p ⋅ ωm (t )
(2.47)
représente la vitesse électrique de la machine.
Le vecteur U = (ua, ub)t qui définit les tensions appliquées aux enroulements
statoriques est lié au vecteur Xu par (2.5) :
U (t ) = H i [ f l (t )] ⋅ X u (t )
On a donc, en vertu de cette relation :
U dq (t ) = P22−1 [θ (t )] ⋅ U (t ) = P22−1 [θ (t )] ⋅ H i [ f l (t )] ⋅ X u (t )
(2.48)
ce qui nous permet d’éliminer le vecteur Udq des équations (2.42) :
•
X idq (t ) = Aidq [ω (t )] ⋅ X idq (t ) + Bidq ⋅ Sidq (t ) + Gidq ⋅ P22−1 [θ (t )] ⋅ H i [ f l (t )] ⋅ X u (t )
(2.49)
Dans ces conditions les équations électriques de l’ensemble générateur convertisseur
récepteur peuvent être écrites sous la forme suivante :
 •

Au
Gu ⋅ H u [ f l (t )] ⋅ P0 [θ (t )]  X u (t )   Bu
 X u (t )  
 ⋅  dq  + 
 •dq  =  G dq ⋅ P −1 [θ (t )] ⋅ H [ f (t )]
Aidq [ω (t )]
22
i
i
l

  X i (t )  0
 X i (t )
0   Su 
⋅

Bidq   S idq 
(2.50)
ou encore:
•
X pdq (t ) = Apdq [ f l (t ),θ (t )] ⋅ X pdq (t ) + B pdq ⋅ U pdq (t )
(2.51)
si on adopte les notations suivantes :
 X u (t ) 
X pdq (t ) =  dq

 X i (t )
(2.52)
A
Gu ⋅ H u [ fl (t )] ⋅ P0 [θ (t )]


Apdq [ fl (t ),θ (t )] =  dq −1 u
[
(
)
]
[
]
G
⋅
P
θ
t
⋅
H
f
(
t
)
Aidq [ω (t )]
22
i
l
 i

(2.53)
B
B pdq =  u
0
0 

Bidq 
 Su 

U pdq (t ) =  dq
 Si 
48
(2.54)
(2.55)
Chapitre 2 : Mise en équations de la partie de puissance
A ces équations il faut ajouter l’équation qui lie la position θ du rotor au couple
électromagnétique développé par la machine :
Cem (t ) = p ⋅
3
⋅ M ⋅ i f (t ) ⋅ iq (t )
2
(2.56)
Si le rotor et le système mécanique qu’il entraîne peuvent être modélisés par un
moment d’inertie J, un couple de frottements visqueux Kv/p.dθ/dt et un couple
résistant Cr cette équation s’écrit :
••
•
J ⋅ θ m (t ) + K v ⋅ θ m (t ) + C r (t ) = C em (t )
(2.57)
On notera que même à vitesse de rotation ωm = dθm/dt constante, les équations
électriques de l’ensemble générateur convertisseur récepteur dépendent du temps à
travers la variable θ(t) et les facteurs fl(t).
Pour que les équations soient à coefficients constants il faudrait que les matrices :
P22−1 [θ (t )] ⋅ H i [ f l (t )]
et :
H u [ f l (t )] ⋅ P0 [θ (t )]
soient à coefficients constants. On verra au Chapitre 1 que la commande tend à
obtenir ce résultat mais n’y arrive qu’imparfaitement.
2.2.3
Cas ou le récepteur de courant est une machine
synchrone à aimants permanents
Sur la Figure 2.5 nous avons représenté une machine synchrone à aimants
permanents dont l’origine de la position du rotor a été choisie de manière à ce que
l’axe magnétique du champ produit par les aimants permanents coïncide avec celle
de l’enroulement a. On suppose que le champ induit un flux sinusoïdal dans les
enroulements du stator.
Comme la machine est à aimants permanents, l’équation du rotor disparaît ainsi que
le terme :
3
d
⋅ M ⋅ i f (t )
2
dt
dans l’équation de l’axe d.
49
Chapitre 2 : Mise en équations de la partie de puissance
θm
ia
ua
ub
N
S
ic
uc
ib
Figure 2.5 Machine synchrone triphasée à aimants permanents
Le terme :
p ⋅ ωm ⋅
3
⋅ M ⋅ if
2
dans l’équation de l’axe q devient :
p ⋅ ωm ⋅ K ⋅ Φ
et le couple s’écrit :
(2.58)
Cem = K ⋅ Φ ⋅ iq
ou Φ est le flux crée dans l’entrefer par les aimants et K un coefficient qui tient
compte des dispositions constructives de la machine. Pour des raisons de simplicité
nous allons utiliser la notation suivante :
KΦ = K ⋅ Φ
(2.59)
Si on traite les forces électromotrices induites par les aimants (zéro dans l’axe d,
p.ωm.KΦ dans l’axe q) comme des sources internes à la partie électrique, les
équations de Park de la machine s’écrivent :
 − Rs

 −1
•
ω (t ) 


i
(
t
)
 id (t )  Ls


d
⋅


 +  Ls
 i (t ) = 


−
R

iq (t )  
s
 q   − ω (t )
 
 0
L
s 


ou encore :
50

 1
0 

0


L
⋅
+ s
− 1   ω (t ) ⋅ K Φ  
 0
Ls 


0
 ⋅  ud (t )
1   u q (t )
Ls 
(2.60)
Chapitre 2 : Mise en équations de la partie de puissance
•
X idq (t ) = Aidq [ω (t )] ⋅ X idq (t ) + Bidq ⋅ Sidq (t ) + Gidq ⋅ U dq (t )
(2.61)
en posant :
 id (t )

X idq (t ) = 

 iq (t ) 
0


Sidq (t ) = 

(
)
ω
t
⋅
K

Φ
 ud (t )

U dq (t ) = 

 uq (t ) 
 − Rs

ω (t ) 

L

Aidq [ωm (t )] =  s
− Rs 

(
)
−
ω
t

Ls 

dq
i
 −1

L
= s

 0


0 
 = −1 ⋅ Ι
− 1  Ls 2
Ls 
dq
i
1

L
= s

0


0
 = 1 ⋅Ι
1  Ls 2
Ls 
B
G
(2.62)
(2.63)
(2.64)
(2.65)
(2.66)
(2.67)
avec :
1 0

Ι 2 = 
0 1
(2.68)
la matrice unité d’ordre 2.
La transformation de Park qui lie les éléments du vecteur U = (ua, ub) qui définit les
tensions appliquées au stator au vecteur des tensions de Park Udq = (ud, uq) est :
U dq (t ) = P22−1 [θ (t )] ⋅ U (t )
(2.69)
et compte tenu de (2.5) :
51
Chapitre 2 : Mise en équations de la partie de puissance
U (t ) = H i [ f l (t )] ⋅ X u (t )
l’élimination de Udq de l’expression (2.61) conduit à :
•
X idq (t ) = Aidq [ω (t )] ⋅ X idq (t ) + Bidq ⋅ Sidq (t ) + Gidq ⋅ P22−1[θ (t )] ⋅ H i [ f (t )l ] ⋅ X u (t )
(2.70)
L’équation du générateur s’écrit comme dans le cas de la machine à rotor bobiné :
•
X u (t ) = Au ⋅ X u (t ) + Bu ⋅ S u (t ) + Gu ⋅ H u [ f (t )l ] ⋅ P22 [θ (t )] ⋅ X idq (t )
(2.71)
Nous retrouvons la même forme (2.51) :
•
X pdq (t ) = Apdq [ f l (t ),θ (t )] ⋅ X pdq (t ) + B pdq ⋅ U pdq (t )
pour les équations différentielles d’évolution, la seule différence apparaissant au
niveau de la matrice dynamique qui s’écrit cette fois ci comme suit:

A
Gu ⋅ H u [ f l (t )] ⋅ P22 [θ (t )]

Apdq [ fl (t ),θ (t )] =  dq −1 u

G
⋅
P
[
θ
(
t
)
]
⋅
H
[
f
(
t
)
]
Aidq [ω (t )]
22
i
l
 i

(2.72)
2.3 Exemples d’application
2.3.1
Moteur à courant continu alimenté par hacheur
réversible en courant
2.3.1.1
Ecriture des equations d’evolution
Considérons l’exemple le plus simple, celui d’une machine à courant continu
alimentée par un hacheur série réversible en courant. La Figure 2.6 présente le
schéma électrique de ce système ou la machine à courant continu est représentée par
un récepteur de type RLE ou la force électromotrice est constante car pour des
raisons de simplicité la vitesse de rotation est considérée constante.
52
Chapitre 2 : Mise en équations de la partie de puissance
Rf
Lf
i
is
+
T11
Cf
D11
La
ia
u
Udc
T12
D12
ua
Ra
+
Ea
Figure 2.6 Moteur à courant continu alimenté par hacheur réversible en courant
Le vecteur des variables d’état du générateur comporte le courant is à travers
l’inductance Lf et la tension u aux bornes de la capacité Cf, tandis que celui du
récepteur contient seulement le courant à travers l’inductance La. Les équations
caractérisant l’évolution de variables d’état du générateur et du récepteur sont les
suivantes :
 − Rf
•

(
)
i
t
 s   Lf

 = 
 u (t )   1
 C
 f
−1

 1
L f   is (t ) 


⋅
+
  u (t )   L f
  0
0  




 0 

 −1
⋅
U
+
⋅ i (t )
 dc 
 C 

f



(2.73)
pour le générateur et :
•
ia (t ) =
− Ra
1
−1
⋅ ia (t ) +
⋅ ua (t ) +
⋅ Ea
La
La
La
(2.74)
pour le récepteur.
Les relations imposées par le hacheur entre la tension ua appliquée au récepteur et la
tension u à son entrée et entre le courant i à son entrée et le courant ia dans le
récepteur peuvent s’exprimer en fonction de la fonction de commutation logique
f(t) qui est égale à 1 si l’interrupteur K11 est conducteur et à 0 si celui-ci est à l’état
bloqué :
i (t ) = f (t ) ⋅ ia (t )
ua (t ) = (0
 i (t )
f (t )) ⋅  s 
 u (t ) 
(2.75)
(2.76)
En tenant compte de ces relations on obtient les équations d’évolution du système
générateur-hacheur-récepteur :
53
Chapitre 2 : Mise en équations de la partie de puissance
•
X p (t ) = Ap [ f (t )] ⋅ X p (t ) + B p ⋅ U p (t )
(2.77)
avec le vecteur des variables d’état et celui des sources donnés par :
 is (t ) 


X p (t ) =  u (t ) 
 i (t )
a 
(2.78)
et :
U 
U p (t ) =  dc 
 Ea 
(2.79)
Dans ces équations la matrice dynamique et celle des sources sont données par :
 − Rf

 Lf
 1
(
)
Ap [ f t ] = 
 Cf

 0

−1
Lf
0
f (t )
La



− f (t ) 

Cf 
− Ra 

La 
0
(2.80)
et par :
 1

 Lf
Bp =  0

 0



0 

0 
− 1

La 

(2.81)
Dans la plupart des cas le vecteur de sortie du système Yp contient le courant ia dont
on veut contrôler la valeur en imposant la tension ua appliquée par le hacheur à la
charge RLE. Le signal de commande du transistor, caractérisé par la fonction de
commutation f, est obtenu par un processus équivalent à la comparaison d’une onde
de référence qui est l’image de la tension souhaitée à la sortie du hacheur ua avec la
porteuse ξ qui fixe la fréquence de commutation.
Il faut noter qu’aux équations (2.77) il faut rajouter l’équation mécanique de la
machine.
La Figure 2.7 permet d’observer l’évolution temporelle des grandeurs du système
dans le cas ou la modulation MLI qui génère la fonction f correspond à la
comparaison de la tension de référence ua_ref avec une porteuse triangulaire.
54
Chapitre 2 : Mise en équations de la partie de puissance
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.995
ua
[V]
0.996
0.997
0.998
0.999
1
1. 001
0. 496
0.497
0.498
0.499
0.5
0.501
0.996
0.997
0.998
0.999
1
1. 001
0.996
0.997
0.998
0.999
1
1. 001
0.996
0.997
0.998
0.999
1
1. 001
0.996
0.997
0.998
0.999
1
250
200
150
100
50
0
0.495
ia
[A]
8.4
8.35
8.3
8.25
8.2
8.15
8.1
8.05
0.995
i
[A]
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0.995
u
[V]
250
249
248
247
246
245
244
243
0.995
is
[A]
7.1
7
6.9
6.8
6.7
6.6
6.5
6.4
6.3
0.995
1. 001
t [sec]
Figure 2.7 Evolution temporelle des grandeurs du système.
55
Chapitre 2 : Mise en équations de la partie de puissance
On trouve de haut en bas :
•
la génération de la fonction f(t) qui vaut successivement 1 puis zéro puis à
nouveau 1,
•
la tension ua aux bornes du récepteur successivement égale à u puis à zéro
puis de nouveau à u,
•
le courant ia croissant lorsque ua = u, décroissant lorsque ua = 0,
•
le courant i égal à ia loque f vaut 1 et donc ua = u, à zéro lorsque f vaut zéro
et donc aussi u,
•
la tension u aux bornes de la capacité Cs, décroissante lorsque i vaut ia,
croissante lorsque i = 0
•
le courant is.
A chaque changement de valeur de la fonction f les équations qui décrivent
l’évolution du système se modifient ce qui entraîne une variation de la loi
d’évolution des variables du système.
Pour le cas du régime permanent qui est représenté sur la Figure 2.7 toutes les
grandeurs sont périodiques à la fréquence MLI. Au début de chaque période
d’échantillonnage le système se retrouve dans le même état.
2.3.2
2.3.2.1
Moteur synchrone à aimants permanents
alimenté par onduleur MLI de tension
Ecriture des équations dans le référentiel abc
Considérons un système à onduleur de tension à commande MLI qui alimente, à
partir d’un générateur de tension continue contenant un filtre LC la machine
synchrone à aimants permanents montés en surface représentée à la Figure 2.5.
La Figure 2.8 présente le schéma électrique de ce système ou la machine synchrone
est représente par un récepteur triphasé de type RLe.
56
Chapitre 2 : Mise en équations de la partie de puissance
i
Rf
ua
Lf
0.5*u
+
Udc
Cf
u
K11
K21
K31
ia
L
ib
ua0
ea
R
~
~
ic
0.5*u
~
K12
K22
K32
Figure 2.8 Système à onduleur MLI de tension
Si nous supposons que la machine tourne à vitesse constante en choisissant l’origine
de la position du rotor de manière à ce que l’axe magnétique du champ produit par
les aimants permanents coïncide avec celle de l’enroulement a, les forces
électromotrices induites par ces aimants dans les enroulements statoriques sont les
suivantes:
ea (t ) = E0 ⋅ cos[ω ⋅ t + π 2]

eb (t ) = E0 ⋅ cos[ω ⋅ t + π 2 − 2 ⋅ π 3]
e (t ) = E ⋅ cos[ω ⋅ t + π 2 − 4 ⋅ π 3]
0
 c
(2.82)
ou l’amplitude des forces électromotrices est donnée par :
E0 (ω ) =
2
⋅ KΦ ⋅ ω
3
(2.83)
Comme le générateur est identique à celui de l’exemple précédent on retrouve
exactement les mêmes équations différentielles (2.73) :
 − Rf
•

 is (t )  L f
 u (t )  =  1

 
 C
 f
−1

 1
L f   is (t ) 


⋅
+


 u (t )  L f
  0
0  




 0 

 −1
⋅ i (t )
 ⋅ U dc + 
 C 

 f 

pour caractériser l’évolution de ses variables d’état, le courant is et la tension u.
Si on prend comme variables d’état indépendantes les courants ia et ib, les équations
différentielles du récepteur peuvent s’écrire comme suit :
 − Rs
•

 ia (t )  Ls

 =
 ib (t )  0



 −1
0 

i
(
t
)


 ⋅  a  +  Ls
− Rs   ib (t ) 
 0
Ls 


1
0 

e
(
t
)


 ⋅  a  +  Ls
− 1   eb (t ) 
0
Ls 


0
 ⋅  ua (t )
1   ub (t )
Ls 
(2.84)
57
Chapitre 2 : Mise en équations de la partie de puissance
Les relations que l’onduleur impose entre les tensions qu’il fournit à ses sorties ua0,
ub0 et uc0 (référencées par rapport au point milieu de la tension u (Figure 1.13)) et la
tension continue u à son entrée font intervenir les trois fonctions binaires fa, fb, fc
caractérisant l’état des interrupteurs de chacun des trois bras de l’onduleur :
 ua 0 (t )  f a (t ) − 0.5 

 

 ub 0 (t ) =  f b (t ) − 0.5  ⋅ u (t )
 u (t )   f (t ) − 0.5 
 c0   c

(2.85)
De même, ces fonctions interviennent dans les relations que l’onduleur impose entre
le courant i à son entrée et les courants ia, ib et ic absorbés aux bornes du récepteur :
 f a (t )  ia (t )

 

i(t ) =  fb (t ) ⋅  ib (t ) 
 f (t )   i (t ) 
 c  c 
t
(2.86)
Au paragraphe 1.4.2 on a montré que si le récepteur est équilibré et à neutre isolé les
tensions de phase du récepteur peuvent s’exprimer en fonction des tensions de sortie
de l’onduleur par la relation (1.1) :
 ua (t )
 ua 0 (t )




 ub (t )  = S ⋅  ub 0 (t ) 
 u (t ) 
 u (t ) 
 c 
 c0 
où la matrice S est donnée par:
S=
+ 2 −1 −1

1 
⋅ −1 + 2 −1
3 

 −1 −1 + 2
En tenant compte de (2.85) cette expression devient :
 ua (t )
 f a (t )




 ub (t )  = S ⋅  f b (t ) ⋅ u (t )
 u (t ) 
 f (t ) 
 c 
 c 
(2.87)
ce qui nous permet d’exprimer comme suit les tensions ua et ub en fonction de la
tension u:
 f a (t )


 ua (t )
 = Η 32 ⋅ S ⋅  f b (t ) ⋅ u (t )

 ub (t )
 f (t ) 
 c 
58
(2.88)
Chapitre 2 : Mise en équations de la partie de puissance
avec la matrice H32 donné par (2.19) :
 1 0 0

Η 32 = 
 0 1 0
ou encore, en fonction de la tension u et du courant is :

 f a (t ) 

   i (t )
 ua (t )  0

 = 
Η 32 ⋅ S ⋅  f b (t )   ⋅  s 
u
(
t
)
0
 b  
 f (t )    u (t ) 
 c 

(2.89)
En tenant compte de ce que la somme de trois courants de charge est nulle on peut
réécrire l’expression (2.86) comme suit :
 f a (t )


i (t )
−1  a

i(t ) =  fb (t ) ⋅ Η 32
⋅ 
 ib (t ) 
 f (t ) 
 c 
t
(2.90)
avec la matrice H32-1 donné par (2.23) :
0
1


−1
Η 32
= 0
1
 − 1 − 1


En introduisant (2.90) dans les équations relatives au générateur celles-ci peuvent
être réécrites sous la forme suivante :
 − Rf
•

 is (t )  L f

 = 
 u (t )   1
 C
 f
−1

 1
L f   is (t ) 


⋅
+
  u (t )   L f
  0
0  



 f a (t )


i (t )

−1 
−1  a
⋅
U
+
⋅
 dc C  f b (t ) ⋅ Η 32 ⋅  i (t ) 

b 
f
 f (t ) 

 c 
t
(2.91)
En introduisant (2.89) dans les expressions (2.84) ces équations s’écrivent comme
suit :
 − Rs
•

 ia (t )  Ls

 =
 ib (t )  0



 −1
0 

 ⋅  ia (t ) +  Ls
− Rs   ib (t ) 
 0
Ls 



 f a (t ) 
0 


 ⋅  ea (t ) +  0 Η ⋅ S ⋅  f (t )   ⋅  is (t )


32
b




− 1   eb (t )  0
 f (t )    u (t ) 

c




Ls 
(2.92)
L’association des équations (2.91) et (2.92) nous permet de trouver les équations
différentielles d’évolution du système générateur onduleur récepteur :
59
Chapitre 2 : Mise en équations de la partie de puissance
•
X pabc (t ) = Apabc [ fl (t )] ⋅ X pabc (t ) + B pabc ⋅ U pabc (t ) , l = a, b, c
(2.93)
avec le vecteur des variables d’état et celui des sources donnés par :
X pabc (t ) = (is (t ) u (t ) ia (t ) ib (t ))
(2.94)
t
et :
U pabc (t ) = (U dc
ea (t ) eb (t ))
(2.95)
t
La matrice dynamique est la suivante :


− R f −1

Lf
Lf


1
0

Cf
A pabc [ f l (t )] = 

0
 f a (t )
 1


⋅ Η 32 ⋅ S ⋅  f b (t )

L
0 s
 f (t ) 

 c 

0
0


t
 f a (t )


−1 
−1 
⋅  f b (t ) ⋅ Η 32

Cf 


 f c (t ) 


− Rs

0

Ls

− Rs

0

Ls

(2.96)
La matrice des sources est donnée par :
B
abc
p
 1

 Lf
 0
= 0


 0


0
0
−1
Ls
0

0 

0 

0 

− 1
Ls 
(2.97)
Il faut noter qu’aux équations (2.93) il faut rajouter l’équation mécanique de la
machine.
La Figure 2.9 (voir page 63) permet d’observer l’évolution temporelle des grandeurs
du système lorsque les fonctions fa, fb et fc sont obtenues par la comparaison d’une
porteuse triangulaire avec trois ondes de référence obtenues par l’échantillonnage à
la fréquence MLI de trois signaux sinusoïdaux formant un système triphasé équilibré
de fréquence nettement inférieure à celle de la porteuse (environ 1/30eme).
On trouve de haut en bas :
•
60
la génération de la fonction fa (les fonctions fb et fc étant obtenues de
manière similaire),
Chapitre 2 : Mise en équations de la partie de puissance
•
l’évolution de la tension ua0 à la sortie du bras a mesurée par rapport au
point milieu (fictif) de la tension u à l’entrée de l’onduleur,
•
la tension ua aux bornes de la phase a du récepteur,
•
les courants ia, ib, ic qui, à l’ondulation près due à la découpe MLI, sont
sinusoïdaux de même fréquence que les ondes de référence,
•
le courant i à l’entrée de l’onduleur,
•
la tension u aux bornes de la capacité Cf,
•
le courant is absorbé à la source Udc,
•
le couple électromagnétique développé par le moteur.
On peut constater que le fonctionnement ne correspond pas à un fonctionnement
périodique au sens strict du terme car les ondulations dues à la découpe MLI varient
de période MLI en période MLI (comme les évolutions des fonctions fa, fb et fc) et
ne se répètent pas de période en période des ondes de référence car la fréquence de
ces ondes et la porteuse ne sont pas synchronisées (la fréquence MLI n’est pas un
multiple entier de fréquence des ondes de référence).
2.3.2.2
Ecriture des équations dans le référentiel de Park
On a vu que dans le référentiel de Park les équations du récepteur sont données par
l’expression (2.60) :
 − Rs
•

 id (t )  Ls

=
 i (t )  
 q   −ω


 −1

1
0 
ω 


i
(
t
)
0




L
⋅ d  +  s
 ⋅   +  Ls
− Rs   iq (t ) 
− 1   E0  
 0
 0
Ls 
Ls 



0
 ⋅  ud (t )
1   uq (t ) 
Ls 
Les variables ud, uq sont liées aux variables ua, ub par les relations suivantes :
 ua (t )


 ud (t )
−1


 u (t )  = P23 [θ (t )] ⋅  ub (t ) 
 q 
 u (t ) 
 c 
(2.98)
61
Chapitre 2 : Mise en équations de la partie de puissance
1
0.5
0
-0.5
-1
0.0705
0.071
0.0715
0.072
0.0725
0.073
0.0735
0.074
0.0745
0.071
0.0715
0.072
0.0725
0.073
0.0735
0.074
0.0745
0.071
0.0715
0.072
0.0725
0.073
0.0735
0.074
0.0745
0.0735
0.074
0.0745
200
ua0
[V]
150
100
50
0
-50
-100
-150
-200
0.0705
250
ua
[V]
200
150
100
50
0
-50
-100
-150
-200
0.0705
ia
ib
ic
[A]
15
ib
ia
10
5
0
-5
ic
-10
-15
0.0705
0.071
0.0715
0.072
0.0725
0.073
t [sec]
62
Chapitre 2 : Mise en équations de la partie de puissance
25
i
[A]
20
15
10
5
0
-5
0.0705
0.071
0.0715
0.072
0.0725
0.073
0.0735
0.074
0.0745
0.071
0.0715
0.072
0.0725
0.073
0.0735
0.074
0.0745
0.071
0.0715
0.072
0.0725
0.073
0.0735
0.074
0.0745
0.071
0.0715
0.072
0.0725
0.073
0.0735
0.074
0.0745
303
u
[V]
302
301
300
299
298
297
296
295
294
293
0.0705
13.5
is
[A]
13
12.5
12
11.5
11
10.5
10
9.5
0.0705
Cem
[Nm]
4.8
4.6
4.4
4.2
4
3.8
3.6
3.4
0.0705
t [sec]
Figure 2.9 Evolution temporelle des grandeurs du système
63
Chapitre 2 : Mise en équations de la partie de puissance
qui, en tenant compte de l’équation (2.87) :
 ua (t )
 f a (t )




(
)
u
t
=
S
⋅
 b 
 f b (t ) ⋅ u (t )
 u (t ) 
 f (t ) 
 c 
 c 
devient :
 f a (t )
 f a (t )




 ud (t )

 = P23−1 [θ (t )] ⋅ S ⋅  f b (t ) ⋅ u (t ) = P23−1 [θ (t )] ⋅  f b (t ) ⋅ u (t )
 u (t ) 
 q 
 f (t ) 
 f (t ) 
 c 
 c 
(2.99)
Cette expression nous permet de trouver la relation mathématique reliant les
tensions ud et uq au vecteur constitué par le courant is et la tension u :

 f a (t ) 

   i (t )
 ud (t )
1 0
−1

=
⋅
P23 [θ (t )] ⋅  f b (t )   ⋅  s 
 u (t ) 
0
18

 q 
 f (t )    u (t ) 
 c 

(2.100)
Nous pouvons ainsi éliminer les tensions ud et uq des équations (2.60) qui peuvent
être réécrites sous la forme suivante :
 − Rs
•

 id (t )  Ls

=
 i (t )  
 q   −ω


 −1
ω 

  id (t )  Ls
⋅
+
− Rs   iq (t ) 

 0
Ls 


 f a (t ) 
0 

 ⋅  0  + 1 ⋅  0 P −1 [θ (t )] ⋅  f (t )  ⋅  is (t )
 b  
23

− 1   E0  Ls  0
 f (t )   u (t ) 
 c 
Ls 
(2.101)
Les équations du générateur ne sont pas modifiées et restent données par (2.73) :
 − Rf
•

 is (t )  L f

 = 
 u (t )   1
 C
 f
−1

 1
L f   is (t ) 


⋅
+
  u (t )   L f
  0
0  




 0 

 −1
⋅
U
+
⋅ i(t )
 dc 
 C 

f



avec le courant i donné par (2.86) :
 f a (t )


i(t ) =  f b (t ) 
 f (t ) 
 c 
t
 ia (t )


⋅  ib (t ) 
 i (t ) 
c 
Les courants ia, ib et ic s’expriment en fonction des courants id et iq par la
transformation suivante :
64
Chapitre 2 : Mise en équations de la partie de puissance
 ia (t )


 id (t )

 ib (t ) = P23 [θ (t )] ⋅ 

 iq (t ) 
 i (t ) 
c 
(2.102)
Cette relation nous permet d’exprimer le courant i en fonction des courants id et iq :
 f a (t )


 id (t )

i(t ) =  fb (t )  ⋅ P23 [θ (t )] ⋅ 

 iq (t ) 
 f (t ) 
 c 
t
(2.103)
Ces relations nous permettent d’éliminer le courant i des équations du générateur qui
deviennent maintenant:
 − Rf
•

 is (t )  L f

 = 
 u (t )   1
 C
 f
−1

 1
L f   is (t ) 


⋅
+
  u (t )   L f
  0
0  



 f a (t )


 id (t )

−1 
 ⋅ U dc + C ⋅  f b (t ) ⋅ P23 [θ (t )] ⋅  i (t ) 

f
q 
 f (t ) 

 c 
t
(2.104)
Les équations (2.101) et (2.104) nous permet d’écrire les équations différentielles
caractérisant l’évolution du système générateur onduleur récepteur :
•
X pdq (t ) = Apdq [ fl (t ),θ (t )] ⋅ X pdq (t ) + B pdq ⋅ U pdq (t )
(2.105)
avec le vecteur des variables d’état et celui des sources donnés par :
X pdq (t ) = (is (t ) u (t ) id (t ) iq (t ))
(2.106)
t
et :
U pdq (t ) = (U dc
0 E0 )
(2.107)
t
La matrice dynamique est donnée par :


− Rf − 1

Lf
Lf


1
0

Cf
Apdq [ f l (t ), θ (t )] = 

0
 f a (t )
 1


−1
[
(
)
]
θ
⋅
⋅
P
t

 f b (t )
23
 0 Ls
 f (t ) 

 c 

0
0


t
 f a (t )


−1 
⋅  f b (t ) ⋅ P23 [θ (t )]

Cf 


 f c (t )


− Rs

ω

Ls

− Rs

−ω

Ls

(2.108)
65
Chapitre 2 : Mise en équations de la partie de puissance
et la matrice des sources est la suivante :
B pdq
 1

 Lf
 0
= 0


 0


0
0
−1
Ls
0

0 

0 

0 

− 1
Ls 
(2.109)
Il faut noter qu’aux équations (2.106) il faut rajouter l’équation mécanique de la
machine.
Sur la Figure 2.10 qui correspond aux mêmes conditions de fonctionnement que la
Figure 2.9, on trouve de haut en bas :
•
la génération de la fonction fa,
•
l’évolution de la tension ua0 à la sortie du bras a mesurée par rapport au
point milieu de la tension u à l’entrée de l’onduleur,
•
les composants ud et uq des tensions ua, ub et uc,
•
les composants id et iq des courants ia, ib et ic.
Cette figure montre plus clairement que la Figure 2.9 qu’on ne trouve pas un régime
permanent au sens strict du terme puisque les ondulations dues à la découpe MLI
entraînent une ondulation des composants dq qui varient de période MLI en période
MLI autour des valeurs constantes qu’elles auraient si les courants étaient purement
sinusoïdaux et que ces ondulations ne se synchronisent pas sur la période des ondes
de référence en raison de l’absence de synchronisation de ces ondes avec la porteuse
puisque la fréquence de la porteuse n’est pas un multiple entier de la fréquence des
ondes de référence.
66
Chapitre 2 : Mise en équations de la partie de puissance
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0.0705
0.071
0.0715
0.072
0.0725
0.073
0.0735
0.074
0.0745
0.071
0.0715
0.072
0.0725
0.073
0.0735
0.074
0.0745
0.071
0.0715
0.072
0.0725
0.073
0.0735
0.074
0.0745
0.072
0.0725
0.073
0.0735
0.074
0.0745
200
ua0
[V]
150
100
50
0
-50
-100
-150
-200
0.0705
ud
uq
[V]
250
200
150
100
50
0
-50
-100
-150
-200
-250
0.0705
id
iq
[A]
12
11
id
10
9
8
iq
7
6
5
4
3
0.0705
0.071
0.0715
t [sec]
Figure 2.10 Evolution temporelle des grandeurs du système
67
Chapitre 2 : Mise en équations de la partie de puissance
2.4 Conclusions
Dans ce chapitre nous avons montré comment obtenir les équations différentielles
d’évolution de la partie de puissance du système en supposant connues les fonctions
binaires de commutation qui caractérisent les états des interrupteurs du
convertisseur.
A titre d’exemple nous avons considéré le cas d’un moteur à courant continu
alimenté par un hacheur réversible en courant et celui d’un moteur synchrone à
aimants permanents alimenté par un onduleur MLI de tension.
Des simulations présentant l’évolution des principales grandeurs mettent en
évidence que les changements d’état des interrupteurs et donc les changements de
valeurs des fonctions de commutation produites par la découpe MLI entraînent des
ondulations des différentes grandeurs et que ces ondulations nécessitent de revoir la
notion de régime permanent puisqu’elles peuvent, suivant la nature des systèmes
interconnectés par le convertisseur, conduire à des oscillations périodiques ou
apériodiques des différentes grandeurs.
68
Chapitre 3
Fonctionnement en boucle
fermée - Modèle de transition
d’état
Résumé - Au Chapitre 2 nous avons établi les équations différentielles d’évolution
de la partie de puissance en considérant les fonctions de commutation qui
caractérisent l’état du convertisseur comme de simples paramètres, sans nous
soucier de la façon dont ces fonctions dépendent des ondes de référence élaborées
par la commande.
Mais comme nous nous intéressons au fonctionnement en boucle fermée du système,
nous devons définir un modèle capable de décrire ce type de fonctionnement du
système. Il faut donc ajouter aux équations d’évolution de la partie de puissance du
système les relations imposées par les régulateurs entre l’état du système et les
fonctions de commutation fl(t).
De plus, vu que tant la partie de commande que la partie de puissance (via le
convertisseur) sont des systèmes dont le fonctionnement est de type échantillonné,
l’étude de l’évolution dynamique du système doit se faire par une approche « en
temps discret » sur la base des équations de transition d’état permettant de
déterminer l’état du système aux instants d’échantillonnage.
C’est donc à l’élaboration des équations de transition d’état de la partie de
puissance du système et puis de celles du système en boucle fermée, que ce chapitre
est dédié.
Les deux premiers paragraphes sont dédiés à la présentation des hypothèses liées à
l’établissement des équations de transition d’état en boucle fermée ainsi qu’à la
présentation des conséquences qui découlent de ces hypothèses.
Dans le deuxième paragraphe nous introduisons les équations de transition du
système en boucle fermée que nous obtenons par l’association aux relations
relatives à la partie de régulation des équations de transition d’état de la partie de
puissance. Ces équations sont obtenues par l’intégration sur une période
d’échantillonnage des équations d’évolution introduites au Chapitre 2 .
Chapitre 3 : Fonctionnement en boucle fermée - Modèle de transition d’état
Les deux exemples présentées au quatrième paragraphe : celui du réglage du
courant d’induit d’un moteur à courant continu et celui du réglage des courants
statoriques d’un moteur synchrone à aimants permanents, permettent de mettre en
évidence la complexité du processus permettant d’obtenir les équations du modèle
de transition d’état à partir des équations d’évolution définies au deuxième chapitre.
Le cinquième paragraphe de ce chapitre est dédié au fonctionnement en régime
permanent et introduit la notion de point de régime permanent normal, ainsi que les
conditions dans lesquelles un tel point de fonctionnement peut être atteint par les
systèmes à convertisseurs électronique commandés par MLI.
Vu la complexité des relations de transition d’état obtenues, nous présentons au
sixième paragraphe de ce chapitre trois méthodes permettant de simplifier l’étude
du fonctionnement de ces systèmes.
La première méthode est une approche classique employée dans l’étude des
systèmes à convertisseurs électroniques de puissance et repose sur la prise en
considération des différences de dynamique des variables du système. Cette méthode
permet de réduire l’étude en temps discret aux boucles de régulation des variables
rapides.
La deuxième méthode qui elle aussi est souvent utilisée dans l’étude des systèmes à
convertisseurs électroniques, est basée sur l’élimination de la dynamique du
générateur qui alimente le convertisseur. Cette méthode conduit à des
simplifications importantes au niveau des équations d’évolution du système car elle
permet de passer d’un système à structure commutée à un système à commande
commutée.
A la fin de ce chapitre nous introduisons une troisième méthode permettant de
simplifier considérablement l’étude des systèmes étudiés. Cette méthode permet de
simplifier les relation imposées par le convertisseur entre les grandeurs à ses accès
en remplaçant les fonctions de commutations binaires par des fonctions équivalentes
continues qui sont obtenues par un développement en série de Fourier limitée sur la
période d’échantillonnage des fonctions de commutation binaires fl(t). Nous allons
voir aux chapitres suivants que cette approche permet de définir des modèles
équivalents simplifiés permettant d’étudier le fonctionnement du système à
différentes échelles de temps et à différents niveaux d’approximation.
70
3.1 Hypothèses de travail
En nous référant aux considérations faites au paragraphe 1.5 du Chapitre 1 , nous
considérons ici que les courants du récepteur (le système à caractère de source de
courant) sont réglés par des boucles rapides dans le cadre d’une commande par des
boucles imbriquées. Cela pourrait correspondre, par exemple, au cas particulier des
entraînements électriques. Les sorties des régulateurs sont dans ce cas les ondes de
référence correspondant aux tensions qu’on veut appliquer aux accès du récepteur,
ondes de référence qui permettent de déduire les fonctions de commutation qui
fixent les états des semi-conducteurs.
Pour établir le modèle de transition d’état en boucle fermée nous allons considérer
pour la partie de régulation les hypothèses suivantes :
•
l’électronique de commande et régulation est implantée de manière numérique
avec une période d’échantillonnage Te égale à la période de commutation du
convertisseur TMLI,
•
les mesures de l’état du système ont lieu en début de chaque période de
commutation; par conséquent, le temps séparant un instant de prise des mesures
de l’instant ou les ondes de référence sont rafraîchies sur la base de ces mesures
est égal à la période d’échantillonnage Te.
On verra à la section 3.3 que même en considérant ces hypothèses simplificatrices et
en se limitant à des régulateurs simplement proportionnels, le modèle de transition
obtenu est déjà extrêmement complexe du fait seul de la partie électronique de
puissance.
3.2 Conséquences
Une première conséquence de ces hypothèses est que les valeurs des ondes de
références qui fixent les intervalles de conduction des interrupteurs sur la période
d’échantillonnage k restent inchangées durant celui-ci. Ceci permet donc de
déterminer à priori sur l’intervalle [t, tk+1] les fonctions de commutations fl(t) et les
configurations successives dans lesquelles le convertisseur se trouvera entre tk et tk+1,
ainsi que les instants intermédiaires t’1, t’2, t’3,…, t’m = tk+1 correspondant aux
changements de la configuration de la partie de puissance du système suite à une
commutation des interrupteurs.
Nous pouvons ainsi déterminer la valeur du vecteur d’état de la partie de puissance
du système Xp(tk+1) à la fin de la période d’échantillonnage, à partir de son état initial
Chapitre 3 : Fonctionnement en boucle fermée - Modèle de transition d’état
Xp(tk) et du vecteur Uref(tk) contenant les valeurs en tk des ondes de référence
équivalentes ul_ref(tk) :
[
]
X p (t k +1 ) = f X p (t k ),U ref (t k )
(3.1)
car on dispose des équations différentielles correspondant aux configurations
successives et des intervalles de temps sur lesquelles chacune de ces équations doit
être intégrée.
Une deuxième conséquence des hypothèses faites est que les valeurs des ondes de
référence disponibles en tk sont calculées à partir des consignes et des mesures
prélevées à l’instant d’échantillonnage précédent tk-1 (Figure 3.1).
Te
Te
intégrateurs
I(tk-1)
mesure
Yp(tk-1)
intégrateurs
I(tk)
mesure
Yp(tk)
calcul
U_ref(tk)
calcul
U_ref(tk+1)
mesure
Yp(tk+1)
t
tk-1
tk
tk+1
application
commandes
U_ref(tk)
U_ref(tk)
t
U_ref(tk-1)
Figure 3.1 Séquence de calcul de l’algorithme de commande
Nous pouvons dès lors exprimer le vecteur des grandeurs de référence Uref(tk) par la
relation suivante:
[
]
U ref (t k ) = g Y p (tk −1 ), Yc (tk −1 ), I (t k )
(3.2)
ou Yp est le vecteur des variables d’état mesurées, Yc représente le vecteur des
grandeurs de consigne correspondantes et :
[
]
I (t k ) = h I (t k −1 ), Y p (t k −1 ), Y p (t k )
(3.3)
le vecteur des variables correspondant au contenu des intégrateurs du régulateur (le
cas échéant).
72
Chapitre 3 : Fonctionnement en boucle fermée - Modèle de transition d’état
Comme nous l’avons précisé au paragraphe 1.5.2 du Chapitre 1 les fonctions g et h
dépendent du type de régulateur employé.
Dans la mesure où le vecteur des variables mesurées Yp est un sous vecteur du
vecteur Xp, on peut encore écrire :
[
]
U ref (t k ) = g ' X p (t k −1 ), Yc (t k −1 ), I (t k )
(3.4)
ou g’ est une fonction qui dépend du type de régulateur.
Le remplacement dans l’expression (3.1) du vecteur Uref par sa valeur donnée par
(3.4) permet d’obtenir une expression récurrente d’ordre deux qui relie les valeurs
des variables d’état de la partie de puissance à la fin de chaque période
d’échantillonnage aux valeurs que ces variables ont au début de cette même période
et au debut de la période d’échantillonnage précédente :
[
]
X p (t k +1 ) = f X p (t k ), g ' {X p (t k −1 ), Yc (t k −1 ), h I (tk −1 ), Yp (t k −1 ), Yp (t k ) }
(3.5)
Cependant, on peut se ramener à une relation récurrente d’ordre un qui exprime les
valeurs de son état à la fin de la période d’échantillonnage en fonction seulement de
son etat en début de cette même période d’échantillonnage. Il suffit pour cela de
définir un nouveau « vecteur d’état » formé par l’association du vecteur des
variables d’état de la partie de puissance Xp et du vecteur Xr qui contient le vecteur
Uref des ondes de référence et le vecteur I des contenus d’intégrateurs :
U (t )
X r (t k ) =  ref k 
 I (t k ) 
(3.6)
Nous obtenons dés lors, pour la partie de commande du système, une relation
récurrente de la forme suivante :
 X p (tk +1 )

 = fonction X p (tk ), X r (tk ), Yc (tk )
 X r (tk +1 ) 
[
]
correspondant en fait aux équations (3.1), (3.2) et
(3.7)
(3.3).
73
Chapitre 3 : Fonctionnement en boucle fermée - Modèle de transition d’état
3.3 Equations de transition d’état
3.3.1
Equations de transition de la partie de puissance
Pour trouver la relation de récurrence de la partie du système contenant le
générateur, le convertisseur et le récepteur nous allons utiliser les équations
différentielles d’évolution introduites au Chapitre 2 qui, indépendamment de la
nature des systèmes interconnectés, dépendent du temps via les fonctions logiques
de commutation fl(t) .
Le suivi de l’évolution dynamique de la partie de puissance du système entre deux
instants d’échantillonnage successifs tk et tk+1 nécessite l’intégration des équations
différentielles (2.6) :
•
X p (t ) = Ap [ f l (t )] ⋅ X p (t ) + B p ⋅ U p (t )
entre ces deux instants.
Nous pouvons faire disparaître la dépendance de temps due aux fonctions binaires
fl(t) en séparant l’intervalle d’intégration en plusieurs sous-intervalles ou ces
fonctions de commutation ont des valeurs constantes (ces sous-intervalles
correspondent aux configurations successives dans lesquelles la partie de puissance
du système se trouve entre tk et tk+1).
Comme à l’instant tk les fonctions fl(t) valables de tk à tk+1 sont parfaitement
connues, après avoir déterminé les instants intermédiaires t’1, t’2, …, t’m-1 ou la
structure du système change suite aux commutations des interrupteurs, il suffit
d’intégrer chacun des systèmes d’équations différentielles obtenus sur son intervalle
de validité :
•
de t = tk à t’1 :
•
X p (t ) = Ap _ 0 ⋅ X p (t ) + Bp ⋅ U p (t )
•
(3.8)
de t’1 à t’2 :
•
X p (t ) = Ap _ 1 ⋅ X p (t ) + B p ⋅ U p (t )
(3.9)
M
•
de t’m-1 à t’m = tk+1 :
•
X p (t ) = Ap _ m −1 ⋅ X p (t ) + B p ⋅ U p (t )
74
(3.10)
Chapitre 3 : Fonctionnement en boucle fermée - Modèle de transition d’état
L’intégration de la première équation entre tk et t’1 permet de trouver la relation
exprimant l’état du système générateur-convertisseur-récepteur Xp(t’1) à l’instant t’1
à partir de son état initial Xp(tk) à l’instant tk :
()
( )
(3.11)
X p t1' = Μ p _ 0 ⋅ X p tk + Ν p _ 0
En itérant ce processus on peut écrire les relations suivantes :
()
()
X p t 2' = Μ p _ 1 ⋅ X p t1' + Ν p _ 1
(3.12)
M
(3.13)
( )
( )
X p t m' = Μ p _ m −1 ⋅ X p t m' −1 + Ν p _ m −1
Le remplaçant de l’expression (3.11) dans (3.12) permet d’exprimer l’état à l’instant
t’2 en fonction de celui à l’instant initial tk :
( )
( )
(3.14)
X p t2' = Μ p _ 1 ⋅ Μ p _ 0 ⋅ X p t k + Μ p _ 1 ⋅ Ν p _ 0 + Ν p _ 1
En continuant ce processus nous trouvons l’état de la partie de puissance du système
en tk+1 en fonction de son état en tk:
[
]
[
]
X p (t k +1 ) = Φ p U ref (t k ) ⋅ X p (t k ) + Γp U ref (t k ),U p (t k )
(3.15)
où la matrice :
[
]
m −1
(3.16)
Φ p U ref (tk ) = ∏ Μ p _ j
j =0
représente la « matrice de transition d’état » du système générateur-convertisseurrécepteur.
Te
(3.12)
(3.11)
(3.13)
t
tk
t’1
t’m
t’2
tk+1
(3.15)
Figure 3.2 Représentation graphique du processus d’élaboration des équations de
transition d’état de la partie de puissance du système
75
Chapitre 3 : Fonctionnement en boucle fermée - Modèle de transition d’état
Cette procédure est particulièrement intéressante pour les systèmes dont les matrices
dynamiques intermédiaires Ap_0 , Ap_1 , Ap_2 ,… sont à coefficients constants car
l’intégration peut alors se faire de manière analytique. Ce n’est malheureusement
pas le cas des systèmes ou le récepteur est une machine électrique à courant
alternatif sauf s’il s’agit d’une machine synchrone à aimants permanents
fonctionnant à vitesse de rotation constante dont les équations sont écrites dans le
référentiel abc (nous allons présenter cet exemple au paragraphe 3.4.2).
Il faut noter que la matrice Φp et le vecteur Γp sont dépendantes du vecteur des ondes
de référence équivalentes Uref(tk) car les matrices Ap_j et les instants de commutation
t’j sont imposées par ces références.
3.3.2
Equations de transition de la partie de
commande et régulation
De manière générale les variables décrivant l’état de la partie de réglage du système
à la fin de la période d’échantillonnage k peut être décrite par la relation récurrente
suivante :
X r (t k +1 ) = Θ r ⋅ Y p (t k ) + Λ r ⋅ X r (t k ) + Γr ⋅ Yc (t k )
(3.17)
ou les matrices Θr, Λr et Γr dépendent de l’algorithme de régulation considéré.
Si l’on tient compte de ce que Yp est un sous-vecteur de Xp qui peut s’écrire sous la
forme suivante :
Zp 
X p =  
 Yp 
(3.18)
Zp étant le vecteur des variables d’état qui ne sont pas mesurées, nous pouvons
réécrire les équations (3.17) sous la forme suivante:
X r (t k +1 ) = Φ r ⋅ X p (tk ) + Λ r ⋅ X r (tk ) + Γr ⋅ Yc (t k )
(3.19)
avec :
Φ r = (0 Θ r )
76
(3.20)
Chapitre 3 : Fonctionnement en boucle fermée - Modèle de transition d’état
3.3.3
Equations de transition du système bouclé
Le suivi de l’évolution dynamique du système bouclé sur une période
d’échantillonnage est décrit par le système d’équations obtenu à partir des équations
(3.15) et (3.19) :
[
]
[
]
 X p (t k +1 ) = Φ p U ref (tk ) ⋅ X p (t k ) + Γp U ref (t k ),U p (t k )


 U (t )
 ref k +1  = Φ ⋅ X (t ) + Λ ⋅ U ref (tk ) + Γ ⋅ Y (t )
r
p k
r 
 r c k
 I (tk +1 ) 
 I (t k ) 
(3.21)
Le suivi temporel de l’évolution dynamique du système bouclé peut se faire par des
itérations successives des équations (3.21).
3.4 Exemples d’application
3.4.1
Moteur à courant continu alimenté par hacheur
réversible en courant
Considérons le système d’entraînement à vitesse variable par machine à courant
continu alimenté par hacheur. Nous allons nous intéresser à la boucle de réglage du
courant en supposant que la vitesse de rotation est constante.
Cette hypothèse nous permet de trouver assez facilement les équations de transition
d’état du système car le problème se réduit à celui du réglage de la valeur du courant
dans un récepteur de type RLE à force électromotrice constante (Figure 3.3).
i
Rf
Lf
T11
+
Udc
Cf
D11
T12
Modulateur
MLI
Ra
+
D12
f(t)
ξ
La
ia
u
Ea
ua
ia_ mes
ua_ ref
Régulateur
de courant
ia_ cons
Figure 3.3 Régulation du courant dans un récepteur de type RLE
77
Chapitre 3 : Fonctionnement en boucle fermée - Modèle de transition d’état
3.4.1.1
Equations de la partie de puissance
Dans ce cas les équations différentielles d’évolution de la partie générateur-hacheurrécepteur sont celles données par (2.77) :
•
 is (t ) 
 is (t ) 




U dc 
 u (t )  = Ap [ f (t )] ⋅  u (t )  + B p ⋅ 

 Ea 
 i (t )
 i (t )
a 
a 
avec la matrice dynamique Ap donnée par :
 − Rf

 Lf
 1
Ap [ f (t )] = 
 Cf

 0

−1
Lf
0
f (t )
La



− f (t ) 

Cf 
− Ra 

La 
0
(3.22)
et la matrice des sources Bp par :
 1

 Lf
Bp =  0

 0



0 

0 
− 1

La 

(3.23)
La matrice dynamique Ap est à coefficients variables car elle fait intervenir la
fonction logique de commutation f(t).
Des lors, pour déterminer les relations qui caractérisent l’évolution dynamique du
système sur la période de commutation allant de tk à tk+1 nous devons d’abord
déterminer les instants ou la topologie du système change suite à la commutation des
interrupteurs. Etant donné qu’on utilise la technique MLI pour fixer ces instants
(Figure 3.4) il suffit pour ceci de résoudre l’équation suivante :
ξ (t ) = ua _ ref (tk )
78
(3.24)
Chapitre 3 : Fonctionnement en boucle fermée - Modèle de transition d’état
Te = TMLI
ξ(t)
Ua_ref(tk)
t
f(t)
t
tk
t1
t2
tk+1
Figure 3.4 Détermination des instants de commutation
Nous trouvons ainsi les deux instants de temps t1 et t2 :
t1 =
ua _ ref _ k
2 ⋅ U dc
⋅ TMLI
 ua _ ref (tk ) 
t2 = 1 −
 ⋅ TMLI
2 ⋅ U dc 

(3.25)
(3.26)
Dans ces expressions ua_ref(tk) représente l’onde de référence correspondant à la
tension ua qu’on désire appliquer aux bornes du récepteur durant la k-eme période
d’échantillonnage.
On notera que les valeurs de t1 et t2 fixent les intervalles de conduction et blocage du
transistor à l’aide de timers.
Comme il y a deux instants de commutation (t1 et t2) on a trois intervalles à
considérer à l’intérieur de la période de commutation TMLI. Nous pouvons de lors
écrire trois équations différentielles valables chacune durant un de ces intervalles :
•
de tk à t1 :
•
 is (t ) 
 is (t ) 




U dc 
(
)
u
t
=
A
⋅


p _ 0  u (t )  + B p ⋅ 
 E 
 a
 i (t )
 i (t )
a 
a 
•
(3.27)
de t1 à t2 :
•
 is (t ) 
 is (t ) 




U dc 

 u (t )  = Ap _ 1 ⋅  u (t )  + Bp ⋅ 
 Ea 
 i (t )
 i (t )
a 
a 
(3.28)
79
Chapitre 3 : Fonctionnement en boucle fermée - Modèle de transition d’état
•
et de t2 à tk+1 :
•
 is (t ) 
 is (t ) 




U dc 
(
)
u
t
=
A
⋅


p _ 2  u (t )  + B p ⋅ 
 E 
 a
 i (t )
 i (t )
a 
a 
(3.29)
Les matrices Ap_0, Ap_1 sont les suivantes :
Ap _ 0
 − Rf

 Lf
 1
=
 Cf

 0

−1
Lf
0
1
Cf
 − Rf

 Lf
 1
Ap _ 1 = 
 Cf

 0

−1
Lf
0
0

0 

−1 

Cf 
− Ra 

La 
(3.30)

0 


0 

− Ra 

La 
(3.31)
et Ap_2 est identique à Ap_0.
Contrairement à la matrice Ap ces matrices sont des matrices à coefficients constants
ce qui nous permet d’intégrer analytiquement les équations différentielles
correspondantes sur leurs intervalles de validité pour trouver les équations de
transition d’état valables sur chacun de ces intervalles de temps. Nous trouvons
ainsi :
•
sur (tk, t1) :
 is (t1 ) 
 is (t k ) 




(
)
u
t
=
M
⋅
 1 
p _ 0  u (t k )  + N p _ 0
 i (t )
 i (t )
a 1 
a k 
(3.32)
avec :
[
]
M p _ 0 = exp Ap _ 0 ⋅ (t1 − t k )
et :
80
(3.33)
Chapitre 3 : Fonctionnement en boucle fermée - Modèle de transition d’état
U 
N p _ 0 = Ap−1_ 0 ⋅ {exp Ap _ 0 ⋅ (t1 − tk ) − Ι 3 }⋅ B p ⋅  dc 
 Ea 
[
•
]
(3.34)
sur (t1, t2) :
 is (t 2 ) 
 is (t2 ) 




 u (t2 )  = M p _ 1 ⋅  u (t 2 )  + N p _ 1
 i (t )
 i (t )
a 2 
a 2 
(3.35)
avec :
[
]
M p _ 1 = exp A1 p _ ⋅ (t2 − t1 )
(3.36)
et
U 
N p _ 1 = Ap−1_ 1 ⋅ {exp Ap _ 1 ⋅ (t2 − t1 ) − Ι 3 }⋅ B p ⋅  dc 
 Ea 
[
•
]
(3.37)
et sur (t2, tk+1) :
 is (t k +1 ) 
 is (t 2 ) 




(
)
u
t
=
M
⋅
 k +1 
p _ 2  u (t 2 )  + N p _ 2
 i (t )
 i (t )
 a k +1 
a 2 
(3.38)
avec :
[
]
M p _ 2 = exp Ap _ 2 ⋅ (t k +1 − t 2 )
(3.39)
et :
U 
N p _ 2 = Ap−1_ 2 ⋅ {exp Ap _ 2 ⋅ (tk +1 − t2 ) − Ι 3 }⋅ B p ⋅  dc 
 Ea 
[
]
(3.40)
Dans toutes ces équations la matrice I3 est la matrice unité d’ordre 3 .
En introduisant successivement l’expression (3.32) dans (3.35) et (3.35) dans (3.38)
nous trouvons les équations de transition d’état exprimant l’état de la partie de
puissance à la fin de la période de commutation en fonction de son état en début de
cette période :
81
Chapitre 3 : Fonctionnement en boucle fermée - Modèle de transition d’état
 is (t k +1 ) 


 u (t k +1 )  = Φ p ua _ ref (t k )
 i (t )
 a k +1 
 is (t k ) 
]⋅  u (t )  + Γ u
[
k
p
 i (t )
a k 

a _ ref
U dc  
 
 Ea  
(tk ), 
(3.41)
Dans cette expression la matrice de transition d’état Φp est donnée par:


(t )
(t ) 
u
 u
Φ p ua _ ref (tk ) = exp Ap _ 0 ⋅ a _ ref k + Ap _ 1 ⋅ 1 − a _ ref k  ⋅ TMLI 
U
U


dc
dc


[
]
(3.42)
et le vecteur Γp par :

 U 
Γp u a _ ref (t k ),  dc  =
 E a 

=
(3.43)


 

u a _ ref (t k )
u
(t )
 u a _ ref (t k ) 

 ⋅ TMLI  + Ι 3 ⋅ Ap−1_ 0 ⋅ exp Ap _ 0 ⋅ a _ ref k ⋅ TMLI  − Ι 3 
exp Ap _ 0 ⋅
+ Ap _ 1 ⋅ 1 −



2 ⋅U dc
2
U
⋅
U


dc
dc



 


 

u a _ ref (t k )


 u a _ ref (t k ) 
U 
 ⋅ TMLI − Ι 3  ⋅ B p ⋅  dc 
+ exp Ap _ 0 ⋅
⋅ TMLI  ⋅ Ap−1_ 1 ⋅ exp  Ap _ 1 ⋅ 1 −
2 ⋅ U dc
U dc 
 

 Ea 



La Figure 3.5 illustre les calculs précédents. Elle montre comment l’intégration des
équations sur chaque intervalle ou la fonction f a une valeur constante, permet de
relier l’état du système à la fin de l’intervalle à son état eu début de l’intervalle et
donc finalement l’état du système en fin de période MLI à son état en début de cette
période.
3.4.1.2
Equations de la partie de commande
En ce qui concerne la commande nous allons considérer que le régulateur de courant
est de type proportionnel de gain Kp et fonctionne à une cadence d’échantillonnage
égale à la fréquence de commutation du hacheur. Dans ces conditions le régulateur
relie l’onde de référence à la valeur du courant ia mesuré à l’instant
d’échantillonnage précédent et à la consigne de ce courant ia_cons, par la relation
suivante :
[
]
ua _ ref (t k +1 ) = K p ⋅ ia _ cons (t k ) − ia (t k )
82
(3.44)
Chapitre 3 : Fonctionnement en boucle fermée - Modèle de transition d’état
Te
tk
t’1
(3.32)
t’2
(3.35)
tk+1
(3.38)
(3.41)
is(t’1)
is(t’2)
is(tk)
is(tk+1)
u(t’2)
u(tk)
u(tk+1)
u(t’1)
ia(t’1)
ia(t’2)
ia(tk)
tk
t’1
t’2
ia(tk+1)
tk+1
Figure 3.5 Evolution temporelle des variables d’état du système sur une période
d’échantillonnage du système
83
Chapitre 3 : Fonctionnement en boucle fermée - Modèle de transition d’état
qui s’écrit en fonction du vecteur d’état de la partie de puissance comme :
 is (t k ) 


ua _ ref (t k +1 ) = 0 0 − K p ⋅  u (t k )  + K p ⋅ ia _ cons (t k )
 i (t )
a k 
(
3.4.1.3
)
(3.45)
Equations du système bouclé
Comme nous l’avons précisé pour le cas général, le système d’équations obtenu à
partir des équations (3.41) et (3.44) permet d’exprimer l’état du système bouclé à la
fin de la période de commutation en fonction de son état en début de cette période :
 is (t k +1 ) 
 is (t k ) 




U dc 


u
(
t
)
u
(
t
)
=
Φ
⋅
 u (t k )  + Γp u a _ ref (t k ), 
p
a _ ref
k
 k +1 
 Ea 

 i (t )
 ia (t k +1 )
a k 

 is (t k ) 



u a _ ref (t k +1 ) = 0 0 − K p ⋅  u (t k )  + K p ⋅ ia _ cons (t k )

 i (t )
a k 

[
(
]
(3.46)
)
Nous pouvons observer que sur chaque période de commutation le système retrouve
la même succession des matrices A0, A1, A2, seules les intervalles de validité de ces
matrices étant dépendantes de la valeur de l’onde de référence ua_ref(tk).
3.4.2
Moteur synchrone à aimants permanents
alimenté par onduleur MLI de tension
Dans ce paragraphe nous allons considérer un système d’entraînement à vitesse
variable par machine synchrone à aimants permanents alimentée par un onduleur
MLI de tension et nous allons nous intéresser à la boucle de réglage des courants
statoriques dans l’hypothèse d’un fonctionnement à vitesse de rotation constante.
L’étude du fonctionnement de cette boucle de réglage sera fait sur la base des
équations de transition d’état que nous allons déterminer dans ce qui suit.
Nous considérons que l’algorithme de commande est implanté dans le référentiel de
Park, la boucle de réglage des composantes d’axe d et q des courants statoriques
étant interne à celle de vitesse qui calcule la référence de couple électromagnétique
Ccons et fournit aux régulateurs de courant la consigne de courant iq_cons, la consigne
de courant id_cons étant imposée à zéro. A partir de ces consignes et des composantes
d’axes d et q des courants statoriques mesurés par la commande à chaque instant
d’échantillonnage, les régulateurs de courant calculent les composantes d’axes d et q
84
Chapitre 3 : Fonctionnement en boucle fermée - Modèle de transition d’état
des tensions de référence ua_ref(t), ub_ref(t), uc_ref(t) qui permettent au modulateur
MLI de déterminer les intervalles de conduction des interrupteurs (Figure 3.6).
i
Rf
ua
Lf
K11
+
Udc
Cf
K21
u
K31
L
ia
~
ib
uaM
ea
R
~
ic
~
K12
ξ
K22
fa
K32
fb
fc
Modulateur MLI
ia, ib
ua_ref, ub_ref, uc_ref
Park [θ]
θ
-1
Park [θ]
θ
ud_ref, uq_ref
id_cons = 0
Régulateur
id, iq
id, iq
iq_cons
Figure 3.6 Réglage des courants dans une charge triphasée de type Rle
3.4.2.1
Equations de la partie de puissance
3.4.2.1.1
Ecriture des équations dans le référentiel abc
Reprenons le système d’équations différentielles (2.93) :
•
 is (t ) 
 is (t ) 




 U dc 


 u (t ) 
 u (t ) 
abc
abc
 i (t ) = Ap [ fl (t )] ⋅  i (t ) + B p ⋅  ea (t ) , l = a, b, c
 e (t )
a 
a 
 b 
 i (t )
 i (t )
b 
b 
décrivant l’évolution dynamique de la partie de puissance de ce système.
La matrice dynamique est :
85
Chapitre 3 : Fonctionnement en boucle fermée - Modèle de transition d’état


− Rf − 1

Lf
Lf


1
0

Cf
Apabc [ f l (t )] = 

0
 f a (t )
 1


⋅ Η 32 ⋅ S ⋅  f b (t ) 

L
0 s
 f (t ) 

 c 

0


t
 f a (t )


−1 
−1 
⋅  fb (t ) ⋅ Η 32

Cf 


 f c (t ) 


− Rs

0

Ls

− Rs 
0

Ls

0
et celle des sources est :
B pabc
 1

 Lf
 0
= 0



 0

0
0
−1
Ls
0

0 

0 

0 

− 1
Ls 
La matrice dynamique dépend, via les trois fonctions logiques de commutation fa(t),
fb(t) et fc(t), de la configuration dans laquelle se trouve l’onduleur.
Dans ces conditions :
•
Il est possible de définir un nombre de 23-1= 7 matrices dynamiques différentes
Ap_i, i = 0, 1,…, 6 correspondant à 7 configurations possibles du convertisseur,
les configurations fa = fb = fc = 0 et fa = fb = fc = 1 étant équivalentes.
•
Pour une MLI symétrique (Figure 3.7) sur chaque période d’échantillonnage il y
a 6 instants de commutation intermédiaires (entre tk et tk+1) où la structure du
convertisseur change suite aux commutations des interrupteurs et donc un
nombre de 7 sous-intervalles de temps sur lesquels les fonctions logiques fl(t)
ont une valeur constante.
Pour trouver la relation de récurrence permettant d’exprimer l’état du système a la
fin d’une période d’échantillonnage en fonction de son état en début de cette même
période, nous devons :
•
déterminer les 6 instants de commutation intermédiaires, donc les 7 sousintervalles de temps [tk , t1] , [t1 , t2] ,…, [t6 , tk+1] ,
•
déterminer les 7 matrices Ap_jabc
intermédiaires du convertisseur,
•
à partir de l’état de la partie de puissance du système intégrer successivement
les 6 équations différentielles sur leur intervalle de validité.
86
correspondant
aux
configurations
Chapitre 3 : Fonctionnement en boucle fermée - Modèle de transition d’état
T
e
= T
M LI
ξ (t)
u
b _ re f(
tk )
u
a _ re f(
tk)
t
tk+1
tk
u
c _ re f(
tk)
fa(t)
t
t2
fb(t)
t5
t
t3
f c( t)
t4
t
t1
A
p_0
tk
t1
t6
A
A
p_1
t2
p_2
t3
A
p_3
A
t4
p_4
t5
A
p_5
A
t6
p_6
tk+ 1
Figure 3.7 Elaboration des fonctions de commutation par une MLI symétrique
Il faut noter que la largeur de chaque sous-intervalle de temps et la matrice
dynamique qui lui correspond ne dépendent pas seulement de l’amplitude des ondes
de référence ua_ref(tk), ub_ref(tk) et uc_ref(tk) mais surtout de l’amplitude relative de ces
ondes les unes par rapport aux autres.
Les instants de commutation t1 et t6 sont toujours fixés par l’onde de référence de
plus petite valeur tandis que les instants t3 et t4 sont fixés par l’onde de référence de
plus grande valeur. Par exemple, pour la période de commutation représenté à la
Figure 3.7 les instants t1 et t6 sont fixés par uc_ref(tk) tandis que les instants t3 et t4
sont fixés par ub_ref(tk). Les instants t2, et t5 sont fixés par l’intersection avec la
porteuse ξ(t) de la référence ua_ref(tk) et sont les solutions de l’équation suivante :
ξ (t ) = ua _ ref (tk )
(3.47)
Nous trouvons ainsi :
t2 =
ua _ ref (tk )
2 ⋅ U dc
⋅ TMLI
(3.48)
et
 ua _ ref (tk ) 
t5 = 1 −
 ⋅ TMLI
2 ⋅ U dc 

(3.49)
De la même façon les instants de commutation t3, t4 et t1, t6 sont les solutions des
équations :
87
Chapitre 3 : Fonctionnement en boucle fermée - Modèle de transition d’état
ξ (t ) = ub _ ref (tk )
(3.50)
et
ξ (t ) = uc _ ref (tk )
(3.51)
respectivement.
Pour cette période d’échantillonnage les matrices dynamiques sont les suivantes :
•
de tk à t1 :
Apabc_ 0
•


− Rf − 1

Lf
Lf


1
0

Cf
=

0
1
 1
 
⋅ Η 32 ⋅ S ⋅ 1

L
0 s
1

 

0 

t
1 

−1  
−1 
⋅ 1 ⋅ Η 32

Cf  

1 


− Rs
0 

Ls

− Rs 
0
Ls 
0
(3.52)
de t1 à t2 :
Apabc_ 1
•


− Rf − 1

Lf
Lf


1
0

Cf
=

0
1
 1
 
⋅ Η 32 ⋅ S ⋅  1 

 0 Ls
0

 

0 

t
1

−1  
−1 
⋅  1  ⋅ Η 32

Cf  

0


− Rs
0 

Ls

− Rs 
0
Ls 
0
(3.53)
de t2 à t3 :
A pabc_ 2
88


− R f −1

Lf
Lf


1
0

Cf
=

0
 0
 1
 
⋅ Η 32 ⋅ S ⋅  1 

L
0 s
 0

 

0 

t
0

−1  
−1 
⋅  1  ⋅ Η 32

Cf  

0


− Rs
0 
Ls
− Rs 
0
Ls 
0
(3.54)
Chapitre 3 : Fonctionnement en boucle fermée - Modèle de transition d’état
•
de t3 à t4 :
Apabc_ 3
•


− R f −1

Lf
Lf


1
0

Cf
=

0
 0
 1
 
⋅ Η 32 ⋅ S ⋅  0 

 0 Ls
 0

 



 0



−1
−1 
⋅  0  ⋅ Η 32

Cf  

 0
 = Apabc_ 0

− Rs
0 

Ls
− Rs 
0
Ls 
0
0
t
de t4 à t5 :
(3.56)
Apabc_ 4 = Apabc_ 2
•
de t5 à t6 :
(3.57)
Apabc_ 5 = Apabc_ 1
•
(3.55)
et de t6 à tk+1 :
(3.58)
Apabc_ 6 = Apabc_ 0
Nous trouvons ainsi pour chacun de ces intervalles des équations différentielles à
coefficients constants de la forme :
•
 is (t ) 
 is (t ) 




 U dc 


 u (t ) 
 u (t ) 
abc
abc
 i (t ) = Ap _ j ⋅  i (t ) + B p ⋅  ea (t ),
 e (t ) 
a 
a 
 b 
 i (t )
 i (t ) 
b 
b 
j = 0, 1,K, 6
(3.59)
qui peuvent être intégrées de manière analytique.
Suite à ces intégrations nous trouvons des relations de la forme suivante :
 is (t j +1 )
 is (t j )




(
)
u
t
 j +1 
 u (t j ) 
abc
=
M
⋅
+ N pabc_ j ,
p_ j 
 i (t )
ia (t j )
a j +1




 i (t )
 i (t )
 b j +1 
b j 
j = 0, 1,K, 6
(3.60)
89
Chapitre 3 : Fonctionnement en boucle fermée - Modèle de transition d’état
où la matrice Mp_jabc et le vecteur Np_jabc sont données par :
[
]
M pabc_ j = exp Apabc_ j ⋅ (t j +1 − t j )
t j +1
N abc
p_ j =
∫
tj


abc
abc
exp Ap _ j ⋅ (s − t j ) ⋅ B p


[
]
(3.61)
 U dc 


⋅  ea (s ) ds
 e (s )
 a 
(3.62)
En utilisant la même démarche que dans le cas précédent nous trouvons les
équations de transition d’état de la partie de puissance du système qui s’écrivent
comme suit :
 is (tk +1 ) 
 is (tk ) 





 U dc 


 u (tk +1 ) 
 u (tk ) 
abc
abc
abc  abc
=
Φ
U
t
⋅
+
Γ
U
t
,
(
)
(
)
p
ref
k
p  ref
k  ea (t k ) 
 i (t )
 i (t )
 e (t )
 a k +1 
a k 

 a k 
 i (t )
 i (t ) 
 b k +1 
b k 
[
]
(3.63)
où la matrice de transition d’état est donnée par :
 abc  uc _ ref (tk ) − ub _ ref (tk ) 
abc


Φ abc
p U ref (t k ) = exp  Ap _ 0 ⋅ 1 +
U dc



uc _ ref (tk ) − ub _ ref (tk )
ub _ ref (tk ) − ua _ ref (tk ) 
+ Apabc_ 1 ⋅
+ Apabc_ 2 ⋅
 ⋅ TMLI
U dc
U dc

[
]
(3.64)
et le vecteur contenant les grandeurs de référence par :
 ua _ ref (tk )


abc
U ref
(tk ) =  ub _ ref (tk )
u

 c _ ref (tk ) 
(3.65)
Il faut remarquer que sur une autre période d’échantillonnage nous retrouvons des
équations de transition similaires mais avec des matrices dynamiques qui peuvent
être différentes.
La figure Figure 3.5 illustre les calculs precedents et montre comment l’intégration
des équations sur les differents intervalles ou les fonctions fj ont des valeurs
constantes, permet de construire pas à pas la relationliant l’état du système en fin de
période MLI à son état en début de période MLI.
90
Chapitre 3 : Fonctionnement en boucle fermée - Modèle de transition d’état
Te
tk t’1
t’2
t’3 t’4
t’5
t’6
tk+1
(3.63)
is(t’4)
is(t’2)
is(t’1)
is(t’6)
is(t’3)
is(t’5)
is(tk)
u(t’4)
u(t’1)
u(tk)
u(t’2)
ia(t’1)
ia(tk)
ia(t’2)
ic
tk
u(t’5)
ia(t’4)
u(tk+1)
u(t’6)
u(t’3)
ia(t’3)
is(tk+1)
ia(t’5)
ia(t’6)
ia(tk+1)
tk+1
ib
Figure 3.8 Evolution temporelle des variables d’état du système sur une période
d’échantillonnage du système
91
Chapitre 3 : Fonctionnement en boucle fermée - Modèle de transition d’état
3.4.2.1.2
Ecriture des équations dans le référentiel de Park
Reprenons le système d’équations différentielles (2.105) :
•
 is (t ) 
 is (t ) 




U dc 
u
(
t
)




 u (t ) 
dq
dq
[
]
(
)
(
)
=
⋅
+
⋅
A
f
t
,
θ
t
B
 0 
p
l
p
 i (t )
 i (t )
E 
d 
d 
 0
 i (t ) 
 i (t ) 
q
q




décrivant l’évolution dynamique de la partie de puissance de ce système.
La matrice dynamique est :


− Rf − 1

Lf
Lf


1
0

Cf
Apdq [ f l (t ), θ (t )] = 

0
 f a (t )
 1


⋅ P23−1 [θ (t )] ⋅  f b (t )

L
0 s
 f (t ) 

 c 

0
0


t
 f a (t )


−1 
⋅  f b (t ) ⋅ P23 [θ (t )]

Cf 


 f c (t )


− Rs

ω

Ls

− Rs

−ω

Ls

et celle des sources est :
B pdq
 1

 Lf
 0
= 0


 0


0
0
−1
Ls
0

0 

0 

0 

− 1
Ls 
Nous observons que dans ce cas aussi, on retrouve la dépendance de la matrice
dynamique Apdq de la configuration dans laquelle se trouve l’onduleur, les
considérations concernant le nombre de configurations possibles du convertisseur et
des sous-intervalles de temps correspondantes restent tout à fait valables.
Pour la même période d’échantillonnage considérée plus haut les matrices
dynamiques sont maintenant les suivantes :
•
92
de tk à t1 :
Chapitre 3 : Fonctionnement en boucle fermée - Modèle de transition d’état


− Rf − 1

Lf
Lf


1
0

Cf
Apdq_ 0 [θ (t )] = 

0
1
 1
 
⋅ P23−1 [θ (t )] ⋅ 1

L
0 s
1

 

•
0
0


t
1

−1  
⋅  1  ⋅ P23 [θ (t )]

Cf  

0


− Rs

ω

Ls

− Rs

−ω

Ls

(3.67)
de t2 à t3 :


− Rf − 1

Lf
Lf


1
0

Cf
Apdq_ 2 [θ (t )] = 

0
 0
 1
 
−1
[
(
)
]
θ
⋅
⋅
P
t

1
23
 0 Ls
 0

 

•
(3.66)
de t1 à t2 :


− Rf − 1

Lf
Lf


1
0

Cf
Apdq_ 1 [θ (t )] = 

0
1
 1
 
⋅ P23−1 [θ (t )] ⋅  1 

 0 Ls
0

 

•
0
0


t
1

−1  
⋅ 1 ⋅ P23 [θ (t )]

Cf  

1


− Rs

ω

Ls

− Rs

−ω

Ls

0
0


t
 0

−1  
⋅  1  ⋅ P23 [θ (t )]

Cf  

 0


− Rs

ω

Ls

− Rs

−ω

Ls

(3.68)
de t3 à t4 :


− Rf −1

Lf
Lf


1
0

Cf
Apdq_ 3 [θ (t )] = 

0
0
 1
 
⋅ P23−1[θ (t )] ⋅  0 

L
0 s
0

 

0
0


t
0

−1  
⋅  0  ⋅ P23 [θ (t )]

Cf  

0
 = Apdq_ 0 [θ (t )]

− Rs

ω

Ls

− Rs

−ω

Ls

(3.69)
93
Chapitre 3 : Fonctionnement en boucle fermée - Modèle de transition d’état
•
de t4 à t5 :
Apdq_ 4 [θ (t )] = Apdq_ 2 [θ (t )]
•
(3.70)
de t5 à t6 :
Apdq_ 5 [θ (t )] = Apdq_ 1[θ (t )]
•
(3.71)
et de t6 à tk+1 :
Apdq_ 6 [θ (t )] = Apdq_ 0 [θ (t )]
(3.72)
Nous trouvons ainsi pour chacun de ces intervalles des équations différentielles à
coefficients variables de la forme :
•
 is (t ) 
 is (t ) 




 U dc 
(
)
u
t




 u (t ) 
dq
dq
=
A
[
θ
(
t
)
]
⋅
+
B
⋅
 0 ,
p_ j
p
 i (t )
 i (t )
E 
d 
d 
 0
 iq (t ) 
 iq (t ) 




j = 0, 1,K, 6
(3.73)
qui ne peuvent plus être intégrées de manière analytique.
L’intégration numérique de ces équations nous permet de trouver des relations de la
forme suivante :
 is (t j +1 ) 
 is (t j ) 




 u (t j +1 ) 
 u (t j ) 
dq
=
M
⋅
+ N pdq_ j ,
p_ j 
 i (t )
id (t j )
d j +1




 i (t )
 i (t )
 q j +1 
q j 
j = 0, 1,K, 6
(3.74)
En utilisant la même démarche que dans le cas précédent nous trouvons les
équations de transition d’état de la partie de puissance du système qui s’écrivent
comme suit :
 is (tk +1 ) 
 is (tk ) 





U dc 


 u (tk +1 ) 
 u (tk ) 
dq
abc
dq  abc
 i (t ) = Φ p U ref (tk ),θ (tk ) ⋅  i (t ) + Γp U ref (tk ),θ (tk ),  0 
 E 
 d k +1 
d k 

 0 
 i (t ) 
 i (t ) 
q
k
+
1
q
k




[
94
]
(3.75)
Chapitre 3 : Fonctionnement en boucle fermée - Modèle de transition d’état
3.4.2.2
Equations de la partie de commande
Dans ce paragraphe nous allons nous intéresser aux relations imposées par le
régulateur de courant entre les valeurs de courants statoriques que l’électronique de
commande mesure à l’instant tk (en début de la période d’échantillonnage k) et les
valeurs des ondes de référence ua_ref(tk+1), ub_ref(tk+1) et uc_ref(tk+1) qu’elle fournit au
modulateur MLI à l’instant tk+1, à la fin de cette même période d’échantillonnage.
Considérons que les régulateurs de courant sont implantés dans le référentiel de Park
et qu’ils sont de type proportionnel de gain Kp avec compensation de la résistance
statorique et des forces électromotrices. Le découplage des axes est fait avec les
valeurs mesurées des courants id et iq ([9], [40]).
Dans ces conditions la structure des régulateurs est celle représentée à la Figure 3.9 :
id_cons
+
_
Kp
ud_ref
+
+
_
+
Ls
Rs
id_mes
ω_mes
iq_mes
Rs
iq_cons
+
+
Ls
KΦ
_
+
+
+
Kp
_
+
uq_ref
Figure 3.9 Régulateur des courants id et iq
et les équations relatives à ces régulateurs sont les suivantes :
dq
(t k +1 ) = Θ r ⋅ Y pdq (t k ) + Λ r ⋅ Ycdq (t k ) + Γr
U ref
(3.76)
Dans ces équations le vecteur des « variables d’état » de la partie de commande est
donné par :
(t )
u
dq
(tk +1 ) =  d _ ref k +1 
U ref
u
(
 q _ ref tk +1 ) 
(3.77)
car le régulateur ne contient pas d’intégrateurs.
95
Chapitre 3 : Fonctionnement en boucle fermée - Modèle de transition d’état
Le vecteur des variables mesurées en début de la période d’échantillonnage est :
 id (tk )

Ypdq (tk ) = 

 iq (tk ) 
(3.78)
et le vecteur des grandeurs de consigne s’écrit comme suit :
 id _ cons (tk )

Ycdq = 

 iq _ cons (tk ) 
(3.79)
Les matrices intervenant dans l’expression (3.76) sont les suivantes :
 Rs − K p
Θ r [ω ] = 
 + Ls ⋅ ω
Kp
Λ r = 
 0
− Ls ⋅ ω 

Rs − K p 
0 
 = K p ⋅ I2
K p 
0 


Γr = 
−
ω
⋅ K Φ 

3.4.2.3
(3.80)
(3.81)
(3.82)
Equations du système bouclé
Il reste maintenant à déterminer les équations de transition d’état du système en
boucle fermée.
Pour ceci il faut associer aux équations relatives à la partie de commande (3.76) :
(t )
 ud _ ref (tk +1 )
 i (t )
i

 = Θ r ⋅  d k  + Λ r ⋅  d _ cons k  + Γr
u

 i (t ) 
i

(
t
)
(
 q _ ref k +1 
q k 
 q _ cons tk ) 
les équations de transition d’état de la partie de puissance du système (3.63) :
 is (t k +1 )
 is (t k )





 U dc 


u
(
t
)
 k +1 
 u (t k ) 
abc
abc
abc  abc
(
)
(
)
=
Φ
U
t
⋅
+
Γ
U
t
,
p
ref
k
p  ref
k  ea (t k )
 i (t )
 i (t )
 e (t )
 a k +1 
a k 

 a k 

 i (t )
 i (t )
 b k +1 
b k 
[
]
dans le cas de la représentation dans le référentiel abc ou les équations (3.75) :
96
Chapitre 3 : Fonctionnement en boucle fermée - Modèle de transition d’état
 is (t k +1 ) 
 is (t k ) 





U dc 
(
)
u
t


 k +1 
 u (t k ) 
dq
abc
dq  abc
(
)
(
)
(
)
=
Φ
U
t
,
θ
t
⋅
+
Γ
U
t
,
p
ref
k
k
p  ref
k  0 
 i (t )
 i (t )
 E 
 d k +1 
d k 

 0 

 i (t )
 i (t )
q
k
+
1


 q k 
[
]
dans le cas de l’écriture des équations dans le référentiel de Park.
3.4.2.3.1
Ecriture des équations dans le référentiel abc
Dans le cas de l’écriture des équations dans le référentiel abc nous devons faire
apparaître dans les équations du régulateur le vecteur de variables d’état de la partie
de puissance et dans les équations de la partie de puissance le vecteur des
composants de Park des ondes de référence Udqref à la place du vecteur Uabcref.
Les composants dq des courants ia, ib et ic s’obtiennent en appliquant à ces courants
une transformation inverse de Park dépendante de la valeur de l’angle θ à l’instant
tk :
 id (tk )
 ia (tk )
−1


 i (t )  = P22 [θ (tk )] ⋅  i (t )
q
k
b k 


(3.83)
En tenant compte de cette relation les équations (3.76) prennent la forme suivante :
 ud _ ref (t k +1 )
 i (t )

 = Θ r ⋅ P22−1 [θ (t k )] ⋅  a k  + Λ r
u

(
t
)
q
_
ref
k
+
1
 ib (tk )


 id _ cons (t k )
 + Γr
⋅ 

 iq _ cons (t k ) 
(3.84)
En tenant compte que le vecteur des variables mesurées fait partie du vecteur des
variables d’état de la partie de puissance on peut écrire:
 is (tk ) 


u
(
t
)
0
 d _ ref k +1   0
 id _ cons (t k )
  u (tk ) 

 = 
 + Γr

⋅
+ Λ r ⋅ 
−1



u


 q _ ref (t k +1 )  0 Θ r ⋅ P22 [θ (tk )]  ia (tk )
 iq _ cons (t k ) 
 i (t )
b k 
(3.85)
Les ondes de référence ua_ref(tk), ub_ref(tk) et uc_ref(tk) s’obtiennent à partir des valeurs
à l’instant tk des références ud_ref(tk) et uq_ref(tk) via une transformation de Park
dépendante de la valeur de l’angle θ à cet instant et dans ces conditions nous
pouvons écrire :
abc
U ref
(tk ) = P23 [θ (tk )] ⋅ U refdq (tk )
(3.86)
97
Chapitre 3 : Fonctionnement en boucle fermée - Modèle de transition d’état
ce qui permet de réécrire les équations de transition d’état de la partie de puissance
sous la forme suivante :
 is (tk +1 ) 
 is (tk ) 





 U dc  


 u (tk +1 ) 
 u (tk ) 
abc
dq
abc 
dq
[
(
)
]
(
)
[
(
)
]
(
)
P
t
U
t
P
t
U
t
,
=
Φ
θ
⋅
⋅
+
Γ
θ
⋅
p
23
k
ref k
p  23
k
ref k  ea (t k ) 
 i (t )
 i (t )
 e (t ) 
 a k +1 
a k 

 a k 

 i (t )
 i (t )
 b k +1 
b k 
[
]
(3.87)
En associant (3.85) et (3.87) nous trouvons le système d’équations de transition
d’état du système en boucle fermé qui s’écrit de la forme suivante:
 is (t k +1 ) 
 is (t k ) 




 U dc 

(
)


u
t

(
)
u
t

 ud _ ref (t k ) 



 u (t k ) 
d
_
ref
k
1
k
+
abc
abc 





θ
θ
P
[
(
t
)
]
⋅
+
Γ
P
[
(
t
)
]
⋅
,
=
Φ
⋅
p  23
k
p  23
k
  i (t )
u
  ea (t k )
u
 ia (t k +1 )
(
)
(
)
t
t
_
_
q
ref
k
q
ref
k


a
k




 e (t )

 




 b k 
 i (t )

 ib (t k +1 )
b k 

 is (t k ) 



 ud _ ref (t k +1 )  0
0
 id _ cons (tk )
  u (t k ) 
 = 
 + Γr


⋅
−
1
  i (t ) + Λ r ⋅  i


(
)
u
t
(
)
0
Θ
⋅
P
[
θ
t
]
 q _ ref k +1  
r
23
k 
 q _ cons (t k ) 
a k 

 i (t )
b k 

3.4.2.3.2
(3.88)
Ecriture des équations dans le référentiel de Park
Dans le cas de l’utilisation des équations de la partie de puissance écrites dans le
référentiel de Park il suffit d’introduire, dans équations de la partie de commande
(3.76) :
(t )
 ud _ ref (tk +1 )
 i (t )
i

 = Θ r ⋅  d k  + Λ r ⋅  d _ cons k  + Γr

u




 q _ ref (tk +1 ) 
 iq (tk ) 
 iq _ cons (tk ) 
le vecteur des variables d’état de la partie de puissance à la place du vecteur des
variables mesurées. Nous obtenons ainsi :
 is (t k ) 


 ud _ ref (t k +1 )  0 0   u (t k ) 
 id _ cons (tk )

 = 
 + Γr
 ⋅ 
+ Λ r ⋅ 

u


(
t
)
i
(
t
)
 q _ ref k +1   0 Θ r   d k 
 iq _ cons (tk ) 
 i (t ) 
q k 
ce qui nous permet d’écrire :
98
(3.89)
Chapitre 3 : Fonctionnement en boucle fermée - Modèle de transition d’état
 is (t k +1 ) 
 is (t k ) 




U dc  

(
)

(
)

u
t
u
t



 u d _ ref (t k ) 


 u (t k ) 
k +1
d _ ref
k
dq
dq 

,θ (t k ) ⋅ 


= Φ p  P23 [θ (t k )] ⋅ 
,
+
Γ
P
[
θ
(
t
)
]
⋅
p
23
k





u
  0 
 id (t k +1 )
u
(
t
)
(
)
(
)
i
t
t
 q _ ref k 
 q _ ref k   E  

  d k 



 0 
 i (t ) 
 iq (t k +1 ) 
 q k 

 is (t k ) 



 u d _ ref (t k +1 )  0 0   u (t k ) 
 id _ cons (t k )
 = 
 + Γr

⋅
+ Λ r ⋅ 






(
)
(
)
 u q _ ref t k +1   0 Θ r   id t k 
 iq _ cons (t k ) 
 i (t ) 

q k 

(3.90)
Il faut préciser que pour obtenir les valeurs à l’instant tk+1 des courants id et iq nous
pouvons procéder de deux façons distinctes :
•
soit intégrer directement les équations différentielles d’évolution écrites dans le
référentiel de Park (comme nous venons de le faire),
•
soit en intégrant les équations différentielles d’évolution écrites dans le
référentiel abc (comme nous l’avons fait au paragraphe 3.4.2.3.1) et appliquer
aux valeurs de ia(tk+1), ib(tk+1) fournies par les équations de transition d’état
(3.88) une transformation inverse de Park dépendante de la valeur en tk+1 de
l’angle θ(t) :
 id (tk +1 )
 ia (tk +1 )
−1


 i (t )  = P22 [θ (tk +1 )] ⋅  i (t )
 b k +1 
 q k +1 
(3.91)
3.5 Fonctionnement en régime permanent
Pour qu’un système à convertisseur électronique de puissance puisse fonctionner en
régime permanent il faut que les consignes qu’il reçoit soient constantes car dans le
cas contraire le système fonctionnerait en poursuite de trajectoire et la notion de
régime permanent n’aurait pas de sens.
Pour des valeurs de consignes données le système atteint un régime permanent
normal de fonctionnement (régime de fonctionnement que l’on souhaite obtenir) si
toutes ses grandeurs, celles relatives à la partie de puissance7 et à celle de
commande, deviennent des grandeurs périodiques de la période de commutation du
7
Nous devons préciser qu’en ce qui concerne les grandeurs de la partie de puissance
on considère qu’il s’agit des vraies grandeurs si le générateur et le récepteur sont des
systèmes à courant continu ou, si l’un de ces deux systèmes est à courant alternatif,
qu’il s’agit des grandeurs équivalentes obtenues suite à la transformation de Park.
99
Chapitre 3 : Fonctionnement en boucle fermée - Modèle de transition d’état
convertisseur TMLI. Cette périodicité peut être retrouvée seulement pour certains
types de systèmes tandis que pour d’autres systèmes cette périodicité n’existe pas.
S’il existe, le point de fonctionnement de régime permanent normal correspondant à
des consignes données peut être déterminé à partir des équations d’évolution du
système bouclé : les valeurs du vecteur XR caractérisant le point de régime
permanent s’obtient en imposant l’égalité entre l’état du système (partie de
puissance et commande) en début et à la fin de la période TMLI. Le point ainsi obtenu
représente le « point fixe de la récurrence » liant l’état du système en tk à son état
en tk+1 = tk + TMLI :
( )
( )
 X p _ R   X p t k   X p (t k +1 )
=
 = 

X R = 
 

 X r _ R   X r t k   X r (t k +1 ) 
(3.92)
Ce point de fonctionnement ne sera réellement atteint que si le fonctionnement en
boucle fermée est stable.
3.5.1
Cas du moteur à courant continu alimenté par
hacheur réversible en courant
Dans le cas du hacheur alimentant une machine à courant continu à une valeur
constante de la consigne du courant ia correspond une valeur constante de l’onde de
référence ua_ref et le système retrouve de période de commutation en période de
commutation exactement la même succession de configurations ainsi que les mêmes
instants de commutation.
Nous voyons donc que, si le système est stable, les variables du système retrouvent
une périodicité égale à la période de commutation et donc le système atteint un
régime permanent normal de fonctionnement.
3.5.2
Cas du moteur synchrone à aimants permanents
alimenté par onduleur MLI de tension
Dans le cas du moteur synchrone à aimants permanents alimenté par onduleur MLI
de tension, à cause du fait que pour des valeurs constantes des composants dq des
ondes de référence on a, en fonction de la valeur de l’angle θ(tk) intervenant dans la
transformé de Park, des valeurs différentes pour leurs composantes abc, nous
retrouvons de période de commutation en période de commutation des successions
de matrices dynamiques différentes, ainsi que des instants de commutation
différents. Par conséquent, les grandeurs du système ne peuvent pas retrouver une
périodicité égale à la période de commutation de l’onduleur et donc, ce système ne
peut jamais atteindre un point de régime permanent normal.
100
Chapitre 3 : Fonctionnement en boucle fermée - Modèle de transition d’état
Il faut pourtant préciser que ce type de système peut trouver un point fixe de
fonctionnement mais après plusieurs périodes de commutation et ceci seulement
dans certaines conditions. Par exemple, si on utilise une modulation synchrone avec
un calage optimal et si le rapport entre la fréquence de la porteuse et celle des ondes
de référence est un entier impair et multiple de trois les grandeurs de coté continu et
celles équivalentes de cote alternatif deviennent périodiques avec une période égale
d’un sixième de la période des grandeurs alternatives [28].
3.6 Simplification de l’étude
Les méthodes présentées dans ce chapitre peuvent a priori être utilisés pour
déterminer des modèles de transition d’état pour des systèmes à convertisseurs
électroniques MLI fonctionnant en mode complètement commandé mais, sauf pour
certain cas très simples, cette démarche s’avère trop compliquée pour être employée
en pratique. Il faut donc trouver des méthodes permettant de simplifier l’étude de ces
systèmes tout en ayant une information sur leur comportement dynamique et leur
stabilité.
Nous allons voir dans la suite de ce travail que des simplifications peuvent être
apportées en utilisant trois approches différentes :
•
simplification par la prise en compte des différences d’échelle de temps,
•
simplification par l’élimination de la dynamique de l’un des systèmes
interconnectés par le convertisseur,
•
simplification au niveau des relations établies par le convertisseur électronique
de puissance entre les grandeurs à ses accès par le remplacement des fonctions
binaires de commutation par des fonctions continues équivalentes.
Nous pouvons aussi considérer ces trois types de simplification simultanément.
3.6.1
Simplification par la prise en compte des
différences d’échelle de temps
Lorsqu’on fait appel à un système de régulation par boucles imbriquées (comme
dans le cas des entraînements à vitesse variable où des boucles rapides assurent le
réglage des courants aux accès du moteur sur base des consignes fournies par les
boucles de réglage de vitesse et de flux) on peut généralement simplifier l’étude des
boucles rapides qui sont dès lors en pratique les seules à devoir être étudiées en
temps discret. Dans ce cas on suppose que les variables dont le réglage est assuré par
les boucles principales varient lentement à l’échelle du temps de réponse des boucles
101
Chapitre 3 : Fonctionnement en boucle fermée - Modèle de transition d’état
rapides et peuvent être assimilées à des grandeurs de valeur constante à cette échelle
de temps.
Dans les entraînements à vitesse variable par moteurs à courant continu ou à courant
alternatif ceci revient à supposer qu’à l’échelle de temps associée aux boucles de
courant, la vitesse de rotation du rotor peut être supposée constante.
Nous avons fait implicitement cette hypothèse dans les exemples traités aux sections
3.4 et 3.4.2.
3.6.2
Simplification par élimination de la dynamique
d’un des systèmes interconnectés par le
convertisseur
Dans certains applications comme par exemple les entraînements à vitesse variable
de moteurs à courant continu alimentés par hacheur ou des moteurs à courant
alternatif alimentés par onduleur de tension, la source qui alimente le convertisseur
qui pilote le moteur est conçue de manière à ce que, sauf durant les transitoires
d’enclenchement, la ou les tensions fournies à sa sortie s’écartent peu de celles que
fourniraient des sources idéales de tension8. Cette propriété est illustrée à la Figure
3.10 qui représente l’évolution de la tension u aux bornes du condensateur d’entrée
du hacheur représenté à la Figure 2.6 pour les conditions de fonctionnement
simulées à la Figure 2.7.
250
U
u
dc
200
150
100
50
0
2 .5 1 5
2 .5 2
2 .5 2 5
2 .5 3
Figure 3.10 Evolution temporelle de la tension de la source de tension continue et
de la tension à l’entrée de l’ hacheur réversible en courant
8
En pratique on utilise souvent un système « amortisseur » pour calmer les
ondulations à la sortie du filtre d’entrée.
102
Chapitre 3 : Fonctionnement en boucle fermée - Modèle de transition d’état
Le remplacement par une source idéale de l’un des systèmes interconnectés par le
convertisseur fait passer d’un système à structure commutée à un système à
commande commutée.
Si nous remplaçons le générateur par des sources idéales de tension connectées aux
bornes communes avec le convertisseur, les équations différentielles (2.1) :
•
X u (t ) = Au ⋅ X u (t ) + Bu ⋅ S u (t ) + Gu ⋅ I (t )
caractérisant l’évolution dynamique de ce système disparaissent et on a tout
simplement :
 U1 


 U2 
X u (t ) = U u = 
M 


U k 
 u
(3.93)
qui est maintenant un vecteur d’éléments connus a priori.
Dans ces conditions les seules variables d’état de la partie de puissance du système
restent les variables d’état Xi du sous-système à caractère de source de courant et les
équations différentielles d’évolution de ces variables s’écrivent, en accord avec
(2.2) :
•
X i (t ) = Ai ⋅ X i (t ) + Bi ⋅ S i (t ) + Gi ⋅ U (t )
(2.5) :
U (t ) = H i [ f l (t )] ⋅ X u (t )
et (3.93), sous la forme suivante :
•
X i (t ) = Ai ⋅ X i (t ) + V [ f l (t ), U u , S i (t )]
(3.94)
où le vecteur V est donné par :
V [ f l (t ), U u , S i (t )] = Bi ⋅ S i (t ) + Gi ⋅ H i [ f l (t )] ⋅ U u
(3.95)
Il faut cependant noter que pour certains types de systèmes ces équations restent à
coefficients variables à cause de la dépendance de la matrice dynamique Ai par
rapport à d’autres variables temporelles. C’est par exemple le cas des systèmes ou le
récepteur est une machine à courant alternatif dont l’évolution dynamiques des
variables d’état équivalentes (définies dans le référentiel de Park) est donnée par
(2.49) :
103
Chapitre 3 : Fonctionnement en boucle fermée - Modèle de transition d’état
•
X idq (t ) = Aidq [ω (t )] ⋅ X idq (t ) + Bidq ⋅ Sidq (t ) + Gidq ⋅ P22−1 [θ (t )] ⋅ H i [ f l (t )] ⋅ X u (t )
Dans ce cas les seules variables d’état de la partie électrique du système sont les
composantes d’axe d et q des courants dans les enroulements de la machine pour
lesquelles, en accord avec (3.93) les équations différentielles d’évolutions s’écrivent
comme suit :
•
X idq (t ) = Aidq [ω (t )]⋅ X idq (t ) + V dq [ f l (t ),θ (t ),U u , S i (t )]
(3.96)
le vecteur Vdq étant le suivant :
V dq [ f l (t ),θ (t ),U u , S i (t )] = Bidq ⋅ S idq (t ) + Gidq ⋅ P22−1 [θ (t )]⋅ H i [ f l (t ) ]⋅ U u
(3.97)
Il est évident que si on s’intéresse au fonctionnement de la machine à vitesse de
rotation constante nous retrouvons des équations différentielles à coefficients
constants.
Et même si la matrice dynamique Aidq est une matrice à coefficients variables, une
simplification importante est apportée au niveau de la description du système
puisqu’on passe d’un système à structure commutée à un système à commande
commutée [sur un certain nombre (limité) de vecteurs de commande].
Il faut pourtant remarquer que dans ce cas aussi l’intégration des équations
d’évolution durant la période d’échantillonnage doit se faire sur des sous-intervalles
distincts ce qui implique la nécessité de déterminer d’abord les instants
intermédiaires de commutation.
3.6.2.1
Exemples d’application
3.6.2.1.1
Moteur à courant continu alimenté par hacheur
réversible en courant
La Figure 3.11 représente le système électronique à hacheur réversible alimentant le
moteur à courant continu fonctionnant à vitesse de rotation constante ou le
générateur a été remplacé par une source idéale de tension Udc.
104
Chapitre 3 : Fonctionnement en boucle fermée - Modèle de transition d’état
i
T11
D11
La
ia
Udc
T12
D12
ua
Ra
+
Ea
Figure 3.11 Système à hacheur réversible alimenté à partir d’une source idéale de
tension
Le remplacement du générateur réel par une source idéale de tension a conduit à la
disparition des variables d’état du générateur qui maintenant est caractérisé par la
relation suivante :
u (t ) = U dc = const.
(3.98)
Dans ces conditions les seules variables d’état de la partie de puissance de ce
système restent celles du récepteur dont l’évolution dynamique est donnée (en
accord avec (2.74) et (2.76)) par l’équation différentielle suivante :
•
i a (t ) =
− Ra
−1
1
⋅ i a (t ) +
⋅ Ea +
⋅ f (t ) ⋅ u (t )
La
La
La
(3.99)
En tenant compte de (3.98) cette équation devient :
•
i a (t ) =
− Ra
La
⋅ i a (t ) + V [ f (t ),U dc , E a ]
(3.100)
avec :
V [ f (t ), U dc , E a ] =
−1
1
⋅ Ea +
⋅ f (t ) ⋅ U dc
La
La
(3.101)
Comme prévu, nous avons obtenu une équation différentielle (à coefficients
constants) excitée par deux vecteurs de tension :
•
de tk à t1 par :
V1 [U dc , E a ] =
•
U dc − E a
La
(3.102)
de t1 à t2 par :
105
Chapitre 3 : Fonctionnement en boucle fermée - Modèle de transition d’état
V2 [U dc , Ea ] = −
•
Ea
La
(3.103)
et de t2 à tk+1 de nouveau par V1.
Cette équation est intégrable analytiquement sur la période de commutation et cette
intégration fournit :
 t − tk
ia (t ) = exp
 τ
t

  s − tk 

 ⋅ ia (t k ) + ∫ exp
 ⋅ V [ f (s ),U dc , E a ] ⋅ ds
τ





tk
(3.104)
avec :
τ =
L
R
(3.105)
la constante de temps du récepteur.
L’équation (3.104) nous permet d’exprimer la valeur du courant ia à l’instant t1 en
fonction de sa valeur initiale à l’instant tk :
t
1
  s − tk 

t −t 
ia (t1 ) = exp 1 k  ⋅ ia (t k ) + ∫ exp
 ⋅ V1 [U dc , E a ] ⋅ ds
τ
τ





tk 
(3.106)
celle à l’instant t2 en fonction de sa valeur en t1 :
t
2
  s − t1 

t −t 
ia (t 2 ) = exp 2 1  ⋅ ia (t1 ) + ∫ exp
 ⋅ V2 [U dc , Ea ] ⋅ ds
 τ 
 τ 

t1 
(3.107)
et finalement sa valeur à l’instant tk+1 en fonction de sa valeur en t2 :
t −t 
ia (t k +1 ) = exp k +1 2  ⋅ ia (t 2 ) +
 τ

t k +1


 s − t2 
 ⋅ V1 [U dc , Ea ] ⋅ ds
τ 

∫ exp
t2
(3.108)
En remplaçant (3.106) en (3.107) et (3.107) en (3.108) on obtient la relation de
récurrence suivante:
[
ia (tk +1 ) = Φ p ⋅ ia (t k ) + Γp u a _ ref (t k ),U dc , Ea
]
(3.109)
où la matrice Φp est donnée par :
 −T 
Φ p = exp MLI 
 τ 
106
(3.110)
Chapitre 3 : Fonctionnement en boucle fermée - Modèle de transition d’état
et le vecteur Γp est le suivant :
[
]
Γp u a _ ref (t k ),U dc , Ea = −
+
U dc
Ra
Ea   − TMLI  
⋅ exp
 −1
Ra   τ  
  − T
⋅ exp MLI
  τ
(3.111)
 u a _ ref (t k )  − TMLI  
 ua _ ref (t k ) − TMLI 

⋅
⋅
 − 1 + exp 

 + exp 1 −
⋅
2
U
τ
2 ⋅ U dc 
τ  


dc


Il faut noter que, contrairement au cas où on considère le générateur réel (source de
tension continue plus filtre d’entrée), nous obtenons maintenant une matrice de
transition d’état Φp indépendante de la variable de commande.
En associant à cette relation celle relative à la partie de commande, l’équation
(3.44) :
[
]
ua _ ref (tk +1 ) = K p ⋅ ia _ cons (t k ) − ia (t k )
nous obtenons les relations de récurrence du système en boucle fermé, qui sont les
suivantes :
[
ia (tk +1 ) = Φ p ⋅ ia (tk ) + Γp ua _ ref (tk ),U dc , Ea

ua _ ref (tk +1 ) = − K p ⋅ ia (tk ) + K p ⋅ ia _ cons (tk )
]
(3.112)
Comme nous l’avons expliqué au paragraphe 3.5, le point de régime permanent
correspondant à une valeur ia_cons est obtenu en imposant dans l’équation (3.109)
l’égalité entre les valeurs des variables d’état (celles de la partie de puissance et
celles de la partie de commande respectivement) à l’instant tk et tk+1. Ceci nous
fournit :
[
]
Γp ua _ ref _ R ,U dc , Ea

ia _ R =
 −T 

1 − exp MLI 

 τ 

ua _ ref _ R = − K p ⋅ ia _ R + K p ⋅ ia _ cons
(3.113)
Nous pouvons noter que ce système d’équations est non linéaire et donc, pour
étudier la stabilité du point de régime permanent on peut linéariser la récurrence
autour du point de référence.
Cependant dans certains cas très simples nous obtenons un système d’équations
linéaires à partir duquel on peut directement étudier la stabilité du point de régime
permanent. C’est par exemple le cas ou, en plus de négliger la dynamique du
générateur on néglige aussi la résistance Ra car dans ce cas on obtient une relation de
récurrence du système en boucle fermé de la forme suivante :
107
Chapitre 3 : Fonctionnement en boucle fermée - Modèle de transition d’état
 ia (tk +1 ) 

 = Φ BF
u

 a _ ref (tk +1 )
 ia (t k ) 
 + ΓBF ⋅ Ea + C BF ⋅ ia _ cons (tk )
⋅ 

 u a _ ref (t k )
(3.114)
Dans cette expression la matrice ΦBF représente la matrice de transition d’état du
système bouclé et est donnée par :

 1
Φ BF = 
− K
p

TMLI
La
0





(3.115)
Les vecteurs ΓBF et CBF sont les suivantes :
 − TMLI

ΓBF =  La
 0






(3.116)
et :
 0 
CBF =  
Kp 
(3.117)
Dans ce cas le point de régime permanent correspondant à une valeur ia_cons est
donné par :
 ia _ R 

 = 1 − Φ BF
u

 a _ ref _ R 
[
] ⋅ [Γ
−1
BF
⋅ Ea + CBF ⋅ ia _ cons
]
(3.118)
ou encore :
E 

 ia _ R   ia _ cons − a 

=
K
p 
u


 a _ ref _ R  
Ea


108
(3.119)
Chapitre 3 : Fonctionnement en boucle fermée - Modèle de transition d’état
3.6.2.1.2
Moteur synchrone à aimants permanents
par onduleur MLI de tension
alimenté
Reprenons le système à onduleur MLI de tension alimentant la machine synchrone à
aimants permanents que nous avons présentée au paragraphe 3.4.2 et remplaçons le
générateur par une source de tension continue Udc (Figure 3.12).
i
ua
K11
K21
K31
ia
+
u
Udc
L
ib
uaM
ea
R
~
~
ic
~
K12
K22
fa
K32
fb
fc
Figure 3.12 Système à onduleur MLI de tension alimenté à partir d’une source
idéale de tension
Comme dans l’exemple précédent les équations caractérisant le générateur se
réduisent maintenant à la relation (3.98) :
u (t ) = U dc = const.
et les variables d’état de la partie de puissance du système sont seulement deux des
trois courants traversant les enroulements du récepteur.
Ecriture des équations dans le référentiel abc
En accord avec (2.92) les équations différentielles d’évolution du système sont les
suivantes :
 − Rs
•

 ia (t )  Ls

 =
 ib (t )  0



 −1
0 

 ⋅  ia (t ) +  Ls
− Rs   ib (t ) 
 0
Ls 


 f a (t )
0 
 ⋅  ea (t ) + Η ⋅ S ⋅  f (t ) ⋅ u (t )
 b 
32
− 1   eb (t )
 f (t )

 c 
Ls 
(3.120)
avec les forces électromotrices données par (2.82):
109
Chapitre 3 : Fonctionnement en boucle fermée - Modèle de transition d’état
ea (t ) = E0 ⋅ cos[θ (t ) + π 2]

eb (t ) = E0 ⋅ cos[θ (t ) + π 2 − 2 ⋅ π 3]
où θ(t) = ω .t car on considère toujours le fonctionnement à vitesse constante.
En tenant compte de (3.98) et en regroupant les forces électromotrices avec les
tensions appliquées par l’onduleur en un seul vecteur Vabc, les équations (3.120)
prennent la forme suivante :
•

 ia (t )
 i (t )
 e (t )

 = Aiabc ⋅  a  + V abc  f l (t ),U dc ,  a 
(
)
(
)
i
t
i
t
b 
b 
 eb (t )

(3.121)
avec :
abc
i
A
 − Rs

L
= s

 0


0 
 = − Rs ⋅ Ι
2
− Rs 
Ls

Ls 
(3.122)
et :
V
abc
 f a (t )



 ea (t ) − 1  ea (t ) 1
 =
 + ⋅ Η 32 ⋅ S ⋅  f b (t ) ⋅ U dc
⋅ 
 f l (t ),U dc , 
(
)
e
t
e
(
t
)
L
L
 b 

s  b
s

 f (t ) 
 c 
(3.123)
I2 est la matrice unité de rang 2.
Nous voyons que nous avons fait disparaître de la matrice dynamique les fonctions
de commutation fl(t) qui sont des variables binaires, en passant ainsi d’un système à
structure commutée à un système à commande commutée sur un nombre de 23-1 = 7
vecteurs de tension.
Par exemple sur la période de commutation représentée à la Figure 3.7 le vecteur de
commande Vabc prend les valeurs suivantes :
•
de tk à t1 :
1 
 

 e (t ) − 1  ea (t ) 1
 + ⋅ Η 32 ⋅ S ⋅ 1 ⋅ U dc
V0abc U dc ,  a  =
⋅ 
e
(
t
)
e
(
t
)
L
L
 b 

s  b
s

1 
 
•
110
de t1 à t2 :
(3.124)
Chapitre 3 : Fonctionnement en boucle fermée - Modèle de transition d’état
1
 

 e (t ) − 1  ea (t ) 1
 + ⋅ Η 32 ⋅ S ⋅  1  ⋅ U dc
V1abc U dc ,  a  =
⋅ 
e
(
t
)
e
(
t
)
L
L
 b 

s  b
s

 0
 
•
de t2 à t3 :
 0
 

 e (t ) − 1  ea (t ) 1
 + ⋅ Η 32 ⋅ S ⋅  1  ⋅ U dc
V2abc U dc ,  a  =
⋅ 
 eb (t )  Ls  eb (t ) Ls

 0
 
•
(3.125)
(3.126)
de t3 à t4 :
0
 


 e (t ) − 1  ea (t ) 1
 e (t ) 
 + ⋅ Η 32 ⋅ S ⋅  0  ⋅ U dc = V0abc U dc ,  a  
V3abc U dc ,  a  =
⋅ 
 eb (t )  Ls  eb (t )  Ls
 eb (t ) 


0
 
•
de t4 à t5 nous retrouvons V2abc,
•
de t5 à t6 nous retrouvons V1abc,
•
et de t6 à tk+1 nous retrouvons V0abc.
Il faut noter que les équations
(3.132) sont des équations à coefficients
constants qui peuvent être intégrées analytiquement. Nous pouvons donc écrire :
 ia (t k +1 )
 i (t )

 = exp Aiabc ⋅ (t k +1 − t k ) ⋅  a k 
i
(
t
)
 b k +1 
 ib (t k )
[
t k +1
+

]
∫ exp[A
tk

abc
i
(3.127)

 ea (s )  
   ⋅ ds
⋅ (s − t k ) ⋅ V abc  f l (s ),U dc , 
 eb (s )  

]
Après calculs on obtient la relation de récurrence exprimant les valeurs des courants
ia et ib à la fin de cette période de commutation en fonction de leurs valeurs en début
de cette même période de commutation :
 abc
 ia (t k +1 )
 ia (t k )
 e (t )

 = Φ abc

 + Γ pabc U ref
(t k ), U dc ,  a k 
p ⋅
 eb (t k )
 ib (t k +1 ) 
 ib (t k ) 

(3.128)
Dans ces expressions la matrice de transition d’état est la suivante :
 −T 
abc
Φ abc
⋅ TMLI = exp MLI  ⋅ Ι 2
p = exp Ai
 τ 
(
)
(3.129)
avec :
111
Chapitre 3 : Fonctionnement en boucle fermée - Modèle de transition d’état
τ=
Ls
Rs
(3.130)
la constante de temps du récepteur.
Nous pouvons voir que cette matrice ne dépend plus des variables de commande.
Les équations de transition d'état du système en boucle fermée s’obtiennent en
associant aux équations (3.128) les équations (3.84) :
(t )
 u d _ ref (t k +1 )
i
 i (t )

 = Θ r ⋅ P22−1 [θ (t k )] ⋅  a k  + Λ r ⋅  d _ cons k  + Γr
u



 ib (t k ) 
 q _ ref (t k +1 ) 
 iq _ cons (t k ) 
relatives à la partie commande.
Nous obtenons ainsi :
 ia (t k +1 )

 u d _ ref (t k )
 e (t )
 ia (t k )
, U dc ,  a k 
 = Φ abc

 + Γ pabc  P23 [θ (t k )]⋅ 

p ⋅

(
)
u
t
(
)
(
)
i
t
i
t
 b k +1 
b k 
 bb (t k )
 q _ ref k 



 u
(t )
(t )
i (t )
i
 d _ ref k +1  = Θ r ⋅ P22−1 [θ (t k )]⋅  a k  + Λ r ⋅  d _ cons k  + Γr
 i (t ) 
i

(
 u q _ ref (t k +1 ) 
b k 
 q _ cons t k ) 
(3.131)
Dans ces équations les matrices Θr, Λr et le vecteur Γr sont celles données par les
expressions (3.80) :
 Rs − K p
Θ r = 
 + Ls ⋅ ω
− Ls ⋅ ω 

Rs − K p 
(3.81) :
Λr = K p ⋅ I2
et
(3.82) :
0 


Γr = 
 − ω ⋅ KΦ 
Si on est intéressé par les valeurs à l’instant tk+1 des composantes de Park des
courants ia et ib, il est possible déterminer ces valeurs en appliquant aux
composantes ia(tk+1) et ib(tk+1) une transformation inverse de Park dépendante de la
valeur de l’angle θ à l’instant tk+1, ou nous pouvons travailler directement avec les
composantes de Park de ces courants.
112
Chapitre 3 : Fonctionnement en boucle fermée - Modèle de transition d’état
Ecriture des équations dans le référentiel de Park
Dans ce cas les variables d’état du système sont les composants d et q des courants
traversant les phases statoriques de la machine. L’évolution dynamique de ces
variables est caractérisée par les équations (2.101) :
 − Rs
•

 id (t )  Ls

=
 i (t ) 
 q   −ω

 −1

ω 

  id (t )  Ls
⋅
+
− Rs   iq (t ) 
 0
Ls 


 f a (t )
0 
 ⋅  0  + 1 ⋅ P −1[θ (t )] ⋅  f (t ) ⋅ u (t )
 b 
− 1   E0  Ls 23
 f (t ) 

 c 
Ls 
qui, en tenant compte relation (3.98) :
u (t ) = U dc = const.
et en regroupant les forces électromotrices avec les tensions fournies par l’onduleur
en un seul vecteur Vdq, peuvent s’écrire comme suit :
•
 id (t )
 id (t )
dq
dq




 i (t )  = Ai ⋅  i (t )  + V [ f l (t ),θ (t ),U dc , E0 ]
q
q




(3.132)
avec la matrice dynamique suivante :
Aidq
 − Rs

L
= s

 −ω


ω 
(3.133)

− Rs 
Ls 
et le vecteur Vdq donné par :
V dq [ fl (t ),θ (t ),U dc , E0 ] =
 f a (t )


−1  0  1
⋅   + ⋅ P23−1[θ (t )] ⋅  f b (t )  ⋅ U dc
Ls  E0  Ls
 f (t ) 
 c 
(3.134)
Nous sommes de nouveau passés d’un système à structure commutée à un système à
commande commutée sur un nombre de 23-1 = 7 vecteurs de tension.
Pour la période de commutation représentée à la Figure 3.7 le vecteur de commande
Vdq prend les valeurs suivantes :
•
de tk à t1 :
113
Chapitre 3 : Fonctionnement en boucle fermée - Modèle de transition d’état
V0dq [θ (t ),U dc , E0 ] =
•
1
 
−1  0  1
⋅   + ⋅ P23−1 [θ (t )]⋅ 1 ⋅ U dc
Ls  E 0  Ls
1
 
(3.135)
de t1 à t2 :
V1dq [θ (t ),U dc , E0 ] =
•
1
 
−1  0  1
⋅   + ⋅ P23−1 [θ (t )]⋅  1  ⋅ U dc
Ls  E 0  Ls
 0
 
(3.136)
de t2 à t3 :
 0
 
−1  0  1
−1


V [θ (t ),U dc , E0 ] =
⋅
+ ⋅ P23 [θ (t )]⋅  1  ⋅ U dc
Ls  E0  Ls
 0
 
(3.137)
dq
2
•
de t3 à t4 :
V3dq [θ (t ),U dc , E0 ] =
 0
 
−1  0  1
⋅   + ⋅ P23−1 [θ (t )]⋅  0  ⋅ U dc
Ls  E 0  Ls
 0
 
•
de t4 à t5 nous retrouvons Vdq2,
•
de t5 à t6 nous retrouvons Vdq1,
•
et de t6 à tk+1 nous retrouvons Vdq0.
(3.138)
Comme les équations différentielles
(3.132) sont à coefficients constants,
elles peuvent être intégrées analytiquement sur la période d’échantillonnage. Cette
intégration fournit :
 id (t k +1 )
 id (t k )
dq




 i (t )  = exp Ai ⋅ (t k +1 − t k ) ⋅  i (t ) 
 q k +1 
 q k 
[
]
(3.139)
t k +1
+
∫ {exp[A ⋅ (s − t )]⋅V [ f (s ),θ (s ),U
dq
i
dq
k
l
dc
}
, E0 ] ds
tk
En poursuivant les calculs nous obtenons les relations de récurrence exprimant les
valeurs des courants id et iq à la fin de cette période de commutation en fonction des
valeurs de ces courants en début de cette même période de commutation. Ces
relations sont les suivantes :
114
Chapitre 3 : Fonctionnement en boucle fermée - Modèle de transition d’état
 id (tk +1 )
 id (tk )
abc

 = Φ dq

 + Γpdq U ref
(tk ),θ (tk ), U dc , E0
p ⋅
i
(
t
)
 d k +1 
 id (tk )
[
]
(3.140)
où la matrice de transition d’état qui est la suivante :
(
dq
Φ dq
p = exp Ai ⋅ TMLI
)
(3.141)
est une matrice qui ne dépend pas des variables de commande.
En rajoutant à ces équations les relations relatives à la partie de commande (3.76)
 u d _ ref (t k +1 )

 = Θr
u

 q _ ref (t k +1 ) 
(t )
 id (t k )
i
 + Λ r ⋅  d _ cons k  + Γr
⋅ 

i

i
(
t
)
(
q k 
 q _ cons t k ) 
nous trouvons les équations de transition d’état suivantes pour le système en boucle
fermée :
 id (t k +1 )


 u d _ ref (t k )
 id (t k )
,θ (t k ), U dc , E0 
 = Φ dq

 + Γpdq  P23 [θ (t k )]⋅ 

p ⋅

(
)
u
t
(
)
(
)
i
t
i
t
 d k +1 
d k 
 q _ ref k 




 u
(t )
i
(t )
 i (t )
 d _ ref k +1  = Θ r ⋅  d k  + Λ r ⋅  d _ cons k  + Γr






(
(
)
u
t
(
)
i
 q _ ref k +1 
 q _ cons t k ) 
 iq t k 
3.6.3
(3.142)
Simplification au niveau des relations établies
par le convertisseur électronique de puissance
entre les grandeurs à ses accès
Le modèle que nous avons introduit au Chapitre 2 pour la partie de puissance du
système est capable de reproduire entièrement la dynamique du système étudié et
pour cela, dans la suite de ce travail, nous allons l’appeler « modèle détaillé du
système ».
Nous avons vu que l’utilisation de ce modèle est très lourde car, à cause de la
présence des fonctions binaires de commutation dans les équations différentielles
d’évolution, l’intégration de ces équations sur la période d’échantillonnage doit être
précédé par la séparation de cette période en plusieurs sous intervalles de temps ou
ces fonctions ont toutes des valeurs constantes. Ceci rend très compliqué l’étude de
l’évolution de l’état du système au niveau d’une période d’échantillonnage.
Pour ces raisons nous proposons de simplifier les relations de contrainte imposées
par le convertisseur entre les systèmes qu’il interconnecte en remplaçant dans les
équations différentielles d’évolution du système (2.6) :
115
Chapitre 3 : Fonctionnement en boucle fermée - Modèle de transition d’état
•
X
p
(t ) = A p [ f l (t )]⋅ X p (t ) + B p ⋅ U p (t )
les fonctions de commutation binaires fl(t) par des variables continues obtenues suite
à un développement limité de ces fonctions en série de Fourier sur la période
d’échantillonnage Te.
Cette approche nous permet de définir pour les systèmes à convertisseurs
électroniques fonctionnant en mode complètement commandé, des modèles
mathématiques équivalents qui font intervenir seulement des variables continues à
l’échelle de la période d’échantillonnage du système.
Le développement des fonctions de commutation fl(t) en série de Fourier sur la
période d’échantillonnage k peut s’écrire :
f l (t ) = Fl 0 + Fl h (t )
(3.143)
Le premier terme correspond à la valeur moyenne sur une période d’échantillonnage
des fonctions de commutation fl(t) et est donné par :
Fl 0 =
u l _ ref (t k )
U dc
(3.144)
= const.
si les ondes de référence correspondent à des grandeurs unipolaires (par exemple le
tension de sortie du hacheur série (Figure 3.13a) ), ou par :
Fl 0 =
1 u l _ ref (t k )
+
= const.
2
U dc
(3.145)
s’il s’agit des grandeurs alternatives (par exemple les tensions de sortie de
l’onduleur de tension (Figure 3.13 b) ).
ξ (t)
U dc
u l_ r e f ( t k )
ξ ( t)
+ 0 .5 . U d c
u l_ r e f ( t k )
-0 . 5 . U d c
1
f l ( t)
1
f l( t )
F 0l
a)
F 0l
b)
Figure 3.13 Elaboration des fonctions de commutation :a) cas d’un hacheur, b) cas
d’un onduleur
116
Chapitre 3 : Fonctionnement en boucle fermée - Modèle de transition d’état
Les variables ul_ref(tk) représentent les ondes de référence valables sur la k-éme
période d’échantillonnage.
Le deuxième terme de l’expression (3.143) correspond aux composants harmoniques
des fonctions de commutation fl(t) :
+∞
Fl h (t ) = ∑ f l j (t )
(3.146)
j =1
avec:
f l j (t ) =
 j ⋅π

2
⋅ sin 
⋅ u l _ ref (t k ) ⋅ cos( j ⋅ ω MLI ⋅ t )
j ⋅π
 U dc

(3.147)
si les ondes de référence correspondent à des grandeurs unipolaires, ou avec :
f l j (t ) =
 j ⋅π j ⋅π

2
⋅ sin 
+
⋅ u l _ ref (t k ) ⋅ cos( j ⋅ ω MLI ⋅ t )
j ⋅π
U dc
 2

(3.148)
s’il s’agit des grandeurs alternatives.
Comme prévu, le remplacement dans les équations d’évolution des fonctions de
commutation logiques fl(t) par leur développement en série de Fourier transforme les
variables de commande en fonctions continues de temps et permet ainsi d’intégrer
les équations d’évolution sur la période d’échantillonnage sans devoir la séparer en
plusieurs sous intervalles de temps.
Cependant, si nous prenons en compte toutes les composants harmoniques dans
l’expression (3.143), le modèle ainsi obtenu n’apporte aucune amélioration du point
de vue de la complexité de calcul. C’est donc pourquoi nous proposons de simplifier
ce modèle en limitant le nombre des termes harmoniques des fonctions de
commutation fl(t).
3.7 Conclusions et plan de la suite du travail
Nous avons vu que le modèle détaillé du système est très difficilement utilisable à
cause de la complexité des équations qui le caractérisent : les équations
différentielles d’évolution introduites au Chapitre 2 ainsi que celles de transition
d’état que nous avons introduites aux paragraphe 3.3 de ce chapitre.
Pour contourner ces difficultés nous avons présenté au paragraphe 3.6.2 des
méthodes permettant de simplifier l’étude du fonctionnement de nos systèmes. La
première méthode présentée est une approche classique employée pour l’étude des
117
Chapitre 3 : Fonctionnement en boucle fermée - Modèle de transition d’état
systèmes dont les variables présentent des dynamiques différentes et représente une
application simplifiée de la méthode des perturbations singulières [25].
De même, la deuxième méthode que nous avons présentée au paragraphe 3.6.3 est
elle aussi employée souvent pour l’étude des systèmes à convertisseurs électroniques
car permet de passer des systèmes à structure commutée à des systèmes à commande
commutée dont le fonctionnement est beaucoup plus facile à étudier (par des
méthodes classiques de l’automatique).
La troisième méthode que nous avons introduite au paragraphe 3.6.3 représente l’un
des points principaux de notre travail, cette approche, permettant de caractériser la
dynamique du système à différentes échelles de temps et à différents niveaux de
précision.
Au Chapitre 4 nous allons introduire un premier modèle, le « modèle d’ordre
zéro » du système. Nous allons voir que ce modèle, qui consiste a ne retenir que le
premier terme du développement en série de Fourier de chaque fonction de
commutation, caractérise seulement la dynamique principale du système mais est
incapable de donner des informations sur les ondulations dues à la découpe MLI.
C’est pourquoi, au Chapitre 5 nous améliorerons l’approche en définissent un
modèle capable de donner une bonne estimation de ces ondulations. Ce modèle
appelé le « modèle d’écart d’ordre h » du système se présentera comme une
correction du modèle d’ordre zéro aux valeurs duquel il ajoute des termes
d’ondulation.
Ces modèles seront utilisés au Chapitre 6 pour étudier la stabilité des systèmes en
boucle fermée. Nous allons d’abord utiliser le modèle d’ordre zéro pour trouver le
point de régime permanent correspondant à des consignes données (nous verrons
que ce modèle permet de définir un point de régime pour tous les systèmes
considérés dans ce travail) et pour étudier à l’ordre zéro la stabilité du système
bouclé autour de ce point de fonctionnement.
Nous utiliserons ensuite dans la deuxième partie de ce chapitre le modèle d’écart
d’ordre h pour examiner dans quelle mesure les ondulations provoquées par la
découpe MLI peuvent déstabiliser le système s’il est stable à l’ordre zéro.
Au Chapitre 7 nous allons montrer comment on peut transformer les modèles
discrets introduits aux Chapitre 4 et Chapitre 5 en modèles continus équivalents.
118
Chapitre 4
Modèle d’ordre zéro
Résumé - Au paragraphe 3.6.3 du Chapitre 3 nous avons proposé d’introduire des
modèles équivalents simplifiés obtenus par le remplacement, dans les équations
différentielles d’évolution, des fonctions binaires de commutation fl(t) par un
nombre limité des termes du développement de ces fonctions en série de Fourier sur
la période d’échantillonnage Te.
Dans ce chapitre nous introduisons un premier modèle que nous appelons le
« modèle d’ordre zéro » du système. Nous allons voir que ce modèle permet de
reproduire la dynamique principale du système.
Au premier paragraphe nous présentons la procédure à suivre pour déterminer les
équations d’évolution de la partie de puissance du système correspondant au
modèle d’ordre zéro. Cette procédure consiste à considérer seulement le premier
terme du développement en série de Fourier de chaque fonction de commutation
intervenant dans les équations d’évolution de la partie de puissance du système.
Nous allons voir qu’en procédant de cette manière nous pouvons déterminer les
équations de transition d’état plus facilement, par intégration directe sur la période
d’échantillonnage des équations d’évolution.
Le deuxième paragraphe de ce chapitre est dédié à l’élaboration du modèle d’ordre
zéro pour les deux exemple que nous avons considérés au chapitre précèdent : celui
du réglage du courant d’induit d’un moteur à courant continu et celui du réglage
des courants statoriques d’un moteur synchrone à aimants permanents.
Chapitre 4 : Modèle d’ordre zéro
4.1 Passage au modèle d’ordre zéro
Le « modèle d’ordre zéro » du système s’obtient en se limitant dans l’expression du
développement en série de Fourier (3.143) :
f l (t ) = Fl 0 + Fl h (t )
au terme Fl0 (qui correspond à la valeur moyenne de la fonction logique fl(t) sur la
période d’échantillonnage) et en remplaçant dans les équations différentielles
d’évolution de la partie de puissance (2.6) :
•
X
p
(t ) = A p [ f l (t )]⋅ X p (t ) + B p ⋅ U p (t )
les fonctions binaires fl(t) par les termes Fl0.
Dans ces conditions les équations différentielles d’évolution deviennent les
suivantes :
•
[ ]
X 0p (t ) = Ap Fl 0 ⋅ X 0p (t ) + B p ⋅ U p (t )
(4.1)
où les termes Fl0 s’expriment facilement en fonction des valeurs des ondes de
référence fournies par la commande en début de la période d’échantillonnage. Pour
les exemples traités aux paragraphes 3.4 et 3.4.2 (hacheur réversible en courant et
onduleur MLI de tension) on obtient les relations (3.144) :
Fl 0 =
u l _ ref (t k )
U dc
= const.
et (3.145) :
Fl 0 =
1 ul _ ref (t k )
+
= const.
2
U dc
respectivement.
En utilisant ces relations les équations (4.1) prennent la forme suivante :
•
[
]
X 0p (t ) = Ap0 U ref (tk ) ⋅ X 0p (t ) + B p ⋅ U p (t )
avec :
120
(4.2)
Chapitre 4 : Modèle d’ordre zéro
[
]
[ ]
Ap0 U ref (tk ) = Ap Fl 0
On voit donc que l’utilisation du modèle d’ordre zéro simplifie l’étude du
fonctionnement du système car élimine la dépendance temporelle de la matrice
dynamique Ap par rapport aux fonctions binaires fl(t) ce qui permet d’intégrer les
équations d’évolution entre tk et tk+1 sans devoir séparer en préalable cet intervalle de
temps en plusieurs sous intervalles.
Suite à cette intégration on obtient des relations de récurrence liant l’état de la partie
de puissance à la fin de la période d’échantillonnage à son état en début de cette
même période de temps. Ces relations sont de la forme suivante :
[
]
[
X 0p (t k +1 ) = Φ 0p U ref (t k ) ⋅ X 0p (t k ) + Γ p0 U ref (t k ), U p
]
(4.3)
Si la matrice Ap0 est à coefficients constants, on a :
[
]
{ [
]
Φ 0p U ref (t k ) = exp Ap0 U ref (tk ) ⋅ TMLI
}
(4.4)
et :
[
t k +1
] ∫
Γp0 U ref (tk ), U p =
{ [
]
}
exp A0p U ref (tk ) ⋅ (s − tk ) ⋅ B p ⋅ U p (s ) ds
(4.5)
tk
Nous appelons le modèle décrit par les équations de transition d’état (4.3) le «
modèle de transition d’état d’ordre zéro » de la partie de puissance du système.
L’association à ces équations de celles relatives à la partie de commande et
régulation fournit le modèle de transition d’état d’ordre zéro du système en boucle
fermée.
Il faut préciser que le modèle d’ordre zéro est particulièrement intéressant pour les
systèmes dont la matrice dynamique Ap0 est une matrice à coefficients constants car
l’intégration des équations d’évolution peut se faire de manière analytique.
Malheureusement ce n’est pas le cas des systèmes ou le récepteur est une machine
électrique à courant alternatif sauf s’il s’agit d’une machine synchrone à aimants
permanents fonctionnant à vitesse de rotation constante dont les équations sont
écrites dans le référentiel abc.
Il faut aussi noter que le modèle d’ordre zéro donne une bonne estimation de la
dynamique principale du système mais il est complètement incapable de reproduire
les effets de la découpe MLI comme par exemple les ondulations que celle-ci induit
dans les variables du système. Par conséquent, pour pouvoir étudier les effets de ces
ondulations sur le fonctionnement du système il sera utile de définir des modèles
capables de prendre en compte ce phénomène. Nous allons introduire ces modèles
au Chapitre 5 . ces considerations sont illustrées dans les exemples de la section 4.2.
121
Chapitre 4 : Modèle d’ordre zéro
4.2 Exemples d’application
4.2.1
Moteur à courant continu alimenté par hacheur
réversible en courant
Reprenons l’exemple du système d’entraînement par machine à courant continu
décrit au paragraphe 2.3.1 du Chapitre 2 . A vitesse de rotation constante les
équations d’évolution dynamique sont celles données par (2.77) :
•
 is (t ) 
 is (t ) 




U dc 

[
]
(
)
(
)
u
t
=
A
f
t
⋅


 u (t ) + B p ⋅ 
p
 i (t ) 
 i (t ) 
 Ea 
 a 
 a 
avec :
 − Rf

 Lf
 1
Ap [ f (t )] = 
 Cf

 0

−1
Lf
0
f (t )
La



− f (t ) 

Cf 
− Ra 

La 
0
et :
 1

 Lf
Bp =  0

 0



0 

0 
−1

La 

On obtient le modèle d’ordre zéro en remplaçant la fonction de commutation binaire
f(t) par le terme correspondant à sa valeur moyenne sur la période
d’échantillonnage qui, en accord avec (3.144), est donné par :
F0 =
ua _ ref (tk )
U dc
= const
(4.6)
où ua_ref(tk) est la référence de tension élaborée par le régulateur de courant en début
de la k-eme période d’échantillonnage.
Dans ces conditions les équations d’évolution deviennent :
122
Chapitre 4 : Modèle d’ordre zéro
•
 is0 (t ) 
 is0 (t ) 
 0 


U dc 
0

 u (t ) = Ap ua _ ref (tk ) ⋅  u 0 (t ) + B p ⋅ 
 i 0 (t ) 
 i 0 (t ) 
 Ea 
 a 
 a 
[
]
(4.7)
où la matrice dynamique Ap s’écrit comme suit :
[
]
Ap0 u a _ ref (t k )
 − Rf

 Lf

1
=
 Cf

 0


−1
Lf



− u a _ ref (t k ) 
 = const
C f ⋅ U dc 

− Ra


La

0
0
u a _ ref (t k )
La ⋅ U dc
(4.8)
On peut voir que cette matrice est une matrice à coefficients constants paramétrée
par la valeur de la référence ua_ref(tk). Dans ces conditions les équations (4.7) sont
des équations différentielles à coefficients constants excitées par des termes
constants mais dont la matrice dynamique varie de période d’échantillonnage en
période d’échantillonnage en fonction de la variable de commande.
La Figure 4.1 fournit une représentation schématique du modèle d’ordre zéro :
U dc 


 Ea 
 is0 (t ) 
 0 
•
 u (t )
0
0
 is (t ) 
 is (t ) 
 0 
 0 


U
 dc   ia (t ) 
0
0

 u (t ) = Ap u a _ ref (t k ) ⋅  u (t ) + B p ⋅ 
 0 
 0 
 Ea 
 ia (t ) 
 ia (t ) 
[
]
ua_ref(tk)
Régulateur
-
0
+ ia cons
Figure 4.1 Modèle d’ordre zéro
L’intégration des équations d’évolution (4.7) entre tk et tk+1 fournit les relations de
récurrence suivantes :
 is0 (tk +1 ) 
 is0 (tk ) 
 0




 u (tk +1 ) = Φ 0p ua _ ref (tk ) ⋅  u 0 (tk ) + Γp0 ua _ ref (tk ),
 i 0 (t ) 
 i 0 (t ) 

 a k +1 
 a k 
[
]
U dc 


 Ea  
(4.9)
où la matrice de transition d’état est donnée par :
[
]
{ [
]
Φ 0p ua _ ref (t k ) = exp Ap0 ua _ ref (t k ) ⋅ TMLI
}
(4.10)
et le vecteur Γp0 est le suivant :
123
Chapitre 4 : Modèle d’ordre zéro

Γp0 ua _ ref (tk ),

U dc 

 = Ap0 ua _ ref (tk )
 Ea  
{ [
]}
−1
U 
⋅ exp Ap0 ua _ ref (tk ) ⋅ TMLI − Ι 3 ⋅ B p ⋅  dc 
 Ea 
{ [
]
}
(4.11)
car Udc et Ea sont des tensions constantes.
L’association à la relation récurrente (4.9) de celle de la partie de régulation (3.45) :
 is (tk ) 


ua _ ref (t k +1 ) = 0 0 − K p ⋅  u (tk )  + K p ⋅ ia _ cons (tk )
 i (t )
a k 
(
)
qui fixe la valeur de la tension de commande en tk+1 en fonction de l’état du système
en tk, permet d’obtenir la récurrence qui décrit l’évolution du système en boucle
fermée :
 is0 (tk +1 ) 
 is0 (tk ) 

 0 

 0
U dc 
0
0
 u (tk +1 ) = Φ p ua _ ref (tk ) ⋅  u (tk ) + Γp ua _ ref (tk ),  E 
 0( )
 a 

 i 0 (t ) 
 a k +1 
 ia tk 

 is0 (tk ) 



u
0 − K p ⋅  u 0 (tk ) + K p ⋅ ia _ cons (tk )
a _ ref (t k +1 ) = 0

 i 0 (t ) 

 a k 
[
(
]
(4.12)
)
La Figure 4.2 permet de comparer les résultats obtenus avec le modèle détaillé et le
modèle d’ordre zéro pour les conditions de fonctionnement décrites au paragraphe
2.3.1. On voit clairement que pour un système bien conçu le modèle d’ordre zéro (n
rouge) donne une bonne image de l’évolution moyenne des grandeurs d’état. Le
modelle detaillé est representé en bleu.
Simplification par l’élimination de la dynamique du générateur
Au paragraphe 3.6.2.1.1 nous avons montré que si la dynamique du générateur peut
être négligée les équations différentielles d’évolution de la partie de puissance du
système se réduisent à l’équation (3.100) :
•
ia (t ) =
− Ra
−1
1
⋅ ia (t ) +
⋅ Ea +
⋅ f (t ) ⋅ U dc
La
La
La
De nouveau le remplacement de la fonction binaire f(t) par le terme de valeur
moyenne F0 fournit l’équation différentielle du modèle d’ordre zéro de la partie de
puissance du système, qui est la suivante :
•
ia0 (t ) =
124
− Ra 0
−1
1
⋅ ia (t ) +
⋅ Ea + ⋅ ua _ ref (tk )
La
La
La
(4.13)
Chapitre 4 : Modèle d’ordre zéro
1
0. 9
0. 8
0. 7
0. 6
0. 5
0. 4
0. 3
0. 2
0. 1
0
0. 495
ua
[V]
0. 496
0.497
0.498
0.499
0.5
0. 501
0.496
0. 497
0. 498
0.499
0. 5
0.501
0.496
0. 497
0. 498
0.499
0. 5
0.501
0.496
0. 497
0. 498
0.499
0. 5
0.501
0.496
0. 497
0. 498
0.499
0. 5
0.501
0.496
0. 497
0. 498
0.499
0. 5
250
200
150
100
50
0
0. 495
ia
[A]
8.4
8. 35
8.3
8. 25
8.2
8. 15
8.1
8. 05
0. 495
i
[A]
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0. 495
u
[V]
250
249
248
247
246
245
244
243
0. 495
7.1
is
[A]
7
6.9
6.8
6.7
6.6
6.5
6.4
0. 495
0.501
t [sec]
Figure 4.2 Evolution temporelle des grandeurs du système
125
Chapitre 4 : Modèle d’ordre zéro
Ceci est une équation différentielle à coefficients constants ou la tension de
référence apparaît comme une entrée vis à vis de la partie de puissance du système
Figure 4.3 :
Ea
•
− Ra 0
−1
1
0
ua_ref(tk) ia (t ) = L ⋅ ia (t ) + L ⋅ E a + L ⋅ u a _ ref (t k )
a
a
a
ia0(t)
Régulateur
0
+ ia cons
Figure 4.3 Modèle d’ordre zéro – système sans dynamique du générateur
Nous pouvons observer que dans ces conditions le modèle d’ordre zéro correspond à
un système échantillonné classique dont le terme d’attaque est exactement la tension
de référence fournie par le régulateur.
L’intégration analytique de l’équation (4.13) entre tk et tk+1 fournit la relation de
récurrence suivante :
ia0 (t k +1 ) = Φ i0 ⋅ ia0 (t k ) + Ψi0 ⋅ ua _ ref (tk ) + Γi0 [Ea ]
(4.14)
avec :
 T 
Φ i0 = exp − MLI 
 τ 
Ψi0 =
1
Ra
Γi0 [Ea ] =

 T
⋅ 1 − exp − MLI
 τ

(4.15)



−1 
 T 
⋅ 1 − exp − MLI  ⋅ Ea
Ra 
 τ 
(4.16)
(4.17)
où τ est la constante de temps du récepteur (donnée par (3.105)).
A cette relation on rajoute celle de la partie de commande (3.44) :
ua _ ref (tk +1 ) = − K p ⋅ ia (t k ) + K p ⋅ ia _ cons (t k )
et on obtient les relations de transition d’état d’ordre zéro du système en boucle
fermée :
126
Chapitre 4 : Modèle d’ordre zéro
 ia0 (tk +1 ) 

 = Φ 0BF
u

 a _ ref (tk +1 )
 i 0 (t ) 
0
⋅  a k  + Λ0BF ⋅ ia _ cons (tk ) + ΓBF
[Ea ]
 ua _ ref (tk )
(4.18)
Dans ces expressions
 Φ0
Φ 0BF =  i
− Kp
Ψi0 

0 
(4.19)
est la matrice de transition d’état du système en boucle fermé.
Les vecteurs Λ0BF et Γ0BF sont respectivement égaux à :
 0 
Λ0BF =  
Kp 
(4.20)
et à :
 0

0
ΓBF
[Ea ] =  Γi [Ea ]
0


4.2.2
(4.21)
Moteur synchrone à aimants permanents
alimenté par onduleur MLI de tension
Considérons le cas du système d’entraînement par moteur synchrone à aimants
permanents alimenté par onduleur MLI de tension que nous avons décrit au
paragraphe 3.4.2 du Chapitre 1 et gardons l’hypothèse du fonctionnement à vitesse
de rotation constante.
Nous allons d’abord traiter le cas ou les équations de la machine sont écrites dans le
référentiel abc et puis on va s’intéresser au cas ou ces équations sont écrites dans le
référentiel de Park.
4.2.2.1
Ecriture des équations dans le référentiel abc
Reprenons le système d’équations (2.93) :
•
 is (t ) 
 is (t ) 




 U dc 


(
)
u
t


 u (t ) 
abc
abc
[
(
)
]
=
A
f
t
⋅
+
B
⋅
 ea (t ) , l = a, b, c
p
l
p
 i (t )
 i (t )
 e (t )
a 
a 
 b 
 i (t )
 i (t )
b 
b 
127
Chapitre 4 : Modèle d’ordre zéro
caractérisant l’évolution dynamique de la partie de puissance du système.
La matrice dynamique est :


− Rf − 1

Lf
Lf


1
0

Cf
Apabc [ f l (t )] = 

0
 f a (t )
 1


⋅
Η
⋅
S
⋅

 f b (t )
32
 0 Ls
 f (t )

 c 

0
0


t
 f a (t )


−1 
−1 
⋅  f b (t ) ⋅ Η 32

Cf 


 f c (t ) 


− Rs

0

Ls
− Rs 
0

Ls

et celle des sources est :
B abc
p
 1

 Lf
 0
= 0


 0


0
0
−1
Ls
0

0 

0 

0 

− 1
Ls 
Nous obtenons le système d’équations différentielles correspondant au modèle
d’ordre zéro en remplaçant les fonctions logiques de commutation fa(t), fb(t) et fc(t)
par les termes Fa0, Fb0 et Fc0 correspondant aux valeurs moyennes de ces fonctions
sur la période d’échantillonnage.
Nous trouvons ainsi les équations d’évolution suivantes :
•
 is0 (t ) 
 0 
 u (t )
abc
0
 i 0 (t )  = Ap Fl
 a 
 i 0 (t ) 
 b 
[ ]
 is0 (t ) 
 0 
 U dc 


 u (t )
⋅  0  + B pabc ⋅  ea (t ) , l = a, b, c
 e (t )
 ia (t ) 
 b 
 i 0 (t ) 
 b 
avec la matrice dynamique donnée par :
128
(4.22)
Chapitre 4 : Modèle d’ordre zéro
[ ]
Apabc Fl o


− Rf − 1

Lf
Lf


1
0

Cf
=


 Fa0 
0 1
 

⋅ Η 32 ⋅ S ⋅  Fb0 
 Ls
 0
0
 Fc 

0


t
 Fa0 

−1  0
−1 
⋅  Fb  ⋅ Η 32

Cf  0 

 Fc 



− Rs
0

Ls

− Rs 
0

Ls

0
(4.23)
En accord avec (3.145) :
Fl 0 =
1 ul _ ref (tk )
+
2
U dc
le vecteur contenant les termes Fl0 est le suivant :
 Fa0 
 1
 0
  1
abc
⋅ U ref
(tk )
 Fb  = 0.5 ⋅ 1 +
F0 
1 U dc
 
 c 
(4.24)
En tenant compte de (3.86)
abc
U ref
(tk ) = P23 [θ (tk )] ⋅ U refdq (tk )
ce vecteur devient :
 Fa0 
1
 0
  1
dq
⋅ P23 [θ (tk )] ⋅ U ref
(tk )
 Fb  = 0.5 ⋅ 1 +
U
F0 
dc
1
 
 c 
(4.25)
et les équations (4.22) s’écrivent comme suit :
•
 i s0 (t ) 
 0 
 u (t )
abc _ 0
dq
U ref
(t k ), θ (t k )
 i 0 (t )  = A p
a


 i 0 (t ) 
 b 
[
]
 i s0 (t ) 
 0 
 u (t )
⋅  0  + B pabc
 i a (t ) 
 i 0 (t ) 
 b 
 U dc 


⋅  e a (t ) , l = a, b, c
 e (t ) 
 b 
(4.26)
avec :
129
Chapitre 4 : Modèle d’ordre zéro
[
]
dq
Apabc _ 0 U ref
(t k ),θ (t k )






=

0

1

 Ls ⋅ U dc
0

− Rf
Lf
1
Cf
0
0


t


1 

 
−1 
1

dq
−1 
⋅ 0.5 ⋅ 1 +
⋅ P23 [θ (t k )] ⋅ U ref (t k ) ⋅ Η 32

Cf 
1 U dc


 




− Rs

0

Ls

− Rs

0

Ls

−1
Lf
0
dq
⋅ P22 [θ (t k )] ⋅ U ref
(tk )
(4.27)
On peut voir que dans ce cas aussi, la matrice dynamique est une matrice à
coefficients constants paramétrée par les valeurs des ondes de référence udref(tk) et
uqref(tk). Des lors, les équations (4.26) sont des équations différentielles à
coefficients constants excitées par des termes variables dont la matrice dynamique
varie de période d’échantillonnage en période d’échantillonnage en fonction de
variables de commande.
Etant donné qu’il s’agit d’équations à coefficients constants nous pouvons les
intégrer analytiquement entre tk et tk+1 et obtenir ainsi les relations de transition
d’état suivantes :
 i s0 (t k +1 ) 
 i s0 (t k ) 
 0

 0


 U dc 


 u (t k +1 )
 u (t k )
abc _ 0
dq
abc _ 0 
dq
=
Φ
U
(
t
),
θ
(
t
)
⋅
+
Γ
U
(
t
)
,
θ
(
t
)
,
 e a (t k )
p
ref
k
k
p
ref
k
k
 0( )
 0 ( )

 e (t ) 
 ia t k +1 
 ia t k 

 b k 
 i 0 (t ) 
 i 0 (t ) 
 b k +1 
 b k 
[
]
(4.28)
ou la matrice de transition d’état est donnée par :
[
]
{
[
]
dq
dq
_0
Φ abc
U ref
(t k ), θ (t k ) = exp A pabc _ 0 U ref
(t k ), θ (t k ) ⋅ TMLI
p
}
(4.29)
et le vecteur Γpabc_0 est le suivant :

 dq
Γ pabc _ 0 U ref
(t k ), θ (t k ),

 U dc  t k +1


abc _ 0
dq
U ref
(t k ), θ (t k ) ⋅ (s − t k ) ⋅ B pabc
 e a (t k ) = ∫ exp A p
 e (t ) t k
 b k 
{
[
]
}
 U dc 


⋅  e a (s ) ⋅ ds
 e (s )
 b 
(4.30)
Comme nous l’avons montré au paragraphe 3.4.2.3.1 la commande du système est
caractérisée par les équations (3.85) :
 is (tk ) 


0
 ud _ ref (t k +1 )  0
 id _ cons (t k )
  u (tk ) 

 = 
 + Γr
 ⋅ 
−1
 + Λ r ⋅  i
u


(
t
)
0
Θ
⋅
P
[
θ
(
t
)
]
i
(
t
)
r
23
k 
 q _ ref k +1  
 q _ cons (t k ) 
a k 
 i (t )
b k 
avec :
130
Chapitre 4 : Modèle d’ordre zéro
 Rs − K p
Θ r = 
 + Ls ⋅ ω
− Ls ⋅ ω 

Rs − K p 
Λr = K p ⋅ I2
0 


Γr = 
−
⋅ K Φ 
ω

En associant ces relations aux équations (4.28) on trouve les équations de transition
d’état d’ordre zéro du système en boucle fermée. Ces équations sont les suivantes :
 is0 (t k +1 ) 
 is0 (t k ) 

 0 

 0
0
0
 u (t k +1 ) = Φ abc _ 0  P [θ (t )] ⋅  u d _ ref (t k ) ⋅  u (t k ) + Γ abc _ 0  P [θ (t )] ⋅  u d _ ref (t k ),
p
32
k
p
 32 k  u 0 (t ) 
 u 0 (t )   i 0 (t ) 
 i 0 (t ) 

 q _ ref k 
 q _ ref k   a k 

 a0 k +1 
 i 0 (t ) 
 ib (t k +1 ) 
 b k 

 is0 (t k ) 



 u 0 (t )  0
0
 id _ cons (t k )
  u 0 (t k )
 d0 _ ref k +1  = 
 + Γr
⋅ 0
1
−
 + Λ r ⋅  i


 uq _ ref (t k +1 )  0 Θ r ⋅ P23 [θ (t k )]  ia (t k ) 
 q _ cons (t k ) 

 i 0 (t ) 
 b k 

 U dc 


 ea (t k )
 e (t )
 b k 
(4.31)
La Figure 4.4 (voir page 133) permet d’observer l’évolution temporelle des
grandeurs du système pour les mêmes conditions de fonctionnement que celles
décrites au paragraphe 2.3.2. On constate à nouveau que le modèle d’ordre zéro
donne pour un système bien conçu une bonne image de l’évolution moyenne des
grandeurs d’état. Il met en particulier en évidence l’existence d’une oscillation
apériodique des grandeurs due à la découpe MLI.
Simplification par l’élimination de la dynamique du générateur
Comme dans le cas du hacheur réversible, l’élimination de la dynamique du
générateur permet d’éliminer la dépendance de la matrice dynamique par rapport
aux variables de commande et donc, de transformer le système dans un simple
système échantillonné dont les entrées sont les ondes de référence fournies par
l’électronique de commande.
Reprenons les équations d’évolution (3.121) introduites au paragraphe 3.6.2.1.2 du
Chapitre 1 :
•
 ia (t ) − Rs

 =
Ls
 ib (t ) 
 f a (t )


 i (t ) − 1  ea (t ) 1
 + ⋅ Η 32 ⋅ S ⋅  f b (t )  ⋅ U dc
⋅  a  +
⋅ 
 ib (t )  Ls  eb (t )  Ls
 f (t ) 
 c 
131
Chapitre 4 : Modèle d’ordre zéro
1
0.5
0
-0.5
-1
0.0705
0.071
0.0715
0.072
0.0725
0.073
0.0735
0.074
0.0745
0.071
0.0715
0.072
0.0725
0.073
0.0735
0.074
0.0745
0.071
0.0715
0.072
0.0725
0.073
0.0735
0.074
0.0745
0.071
0.0715
0.072
0.0725
0.073
0.0735
0.074
0.0745
200
ua0
[V]
150
100
50
0
-50
-100
-150
-200
0.0705
250
ua
[V]
200
150
100
50
0
-50
-100
-150
-200
0.0705
ia
ib
ic
[A]
15
10
5
0
-5
-10
-15
0.0705
t [sec]
132
Chapitre 4 : Modèle d’ordre zéro
i
[A]
25
20
15
10
5
0
-5
0.0705
u
[V]
0.071
0.0715
0.072
0.0725
0.073
0.0735
0.074
0.0745
0.071
0.0715
0.072
0.0725
0.073
0.0735
0.074
0.0745
0.071
0.0715
0.072
0.0725
0.073
0.0735
0.074
0.0745
0.071
0.0715
0.072
0.0725
0.073
0.0735
0.074
0.0745
303
302
301
300
299
298
297
296
295
294
293
0.0705
is
[A]
13.5
13
12.5
12
11.5
11
10.5
10
9.5
0.0705
4.8
Cem
[Nm]
4.6
4.4
4.2
4
3.8
3.6
3.4
0.0705
t [sec]
Figure 4.4 Evolution temporelle des grandeurs du système
133
Chapitre 4 : Modèle d’ordre zéro
Dans ces expressions les forces électromotrices sont celles données par la relation
(2.82) :
ea (t ) = E0 ⋅ cos[θ (t ) + π 2]

eb (t ) = E0 ⋅ cos[θ (t ) + π 2 − 2 ⋅ π 3]
Le remplacement des fonctions de commutation binaires fl(t) par les termes Fl0
fournit les équations d’évolution du modèle d’ordre zéro qui s’écrivent comme suit :
•
 ia0 (t ) − Rs
 0 =
 i (t )
Ls
b 
 Fa0 
 
 ia0 (t ) − 1  ea (t ) 1
 + ⋅ Η 32 ⋅ S ⋅  Fb0  ⋅ U dc
⋅  0  +
⋅ 
F0 
 ib (t ) Ls  eb (t ) Ls
 c 
(4.32)
En tenant compte de (4.25) :
 Fa0 
1
 0
  1
dq
⋅ P23 [θ (tk )] ⋅ U ref
(tk )
 Fb  = 0.5 ⋅ 1 +
U
F0 
dc
1
 
 c 
(4.33)
ces équations deviennent :
•
 ia0 (t ) − Rs
 0 =
 i (t )
Ls
b 
 i 0 (t ) − 1  ea (t ) 1
dq
 + ⋅ Η 32 ⋅ S ⋅ P23 [θ (tk )] ⋅ U ref
⋅  a0  +
⋅ 
(tk )
(
)
e
t
L
L
(
)
i
t
b

s 
s
b 
(4.34)
 i 0 (t ) − 1  ea (t ) 1
dq
 +
⋅  a0  +
⋅ 
⋅ P22 [θ (t k )] ⋅ U ref
(tk )
 ib (t ) Ls  eb (t ) Ls
(4.35)
ou encore :
•
 ia0 (t ) − Rs
 0 =
 i (t )
Ls
b 
On peut observer que ce sont des équations différentielles à coefficients constants
dont les termes d’attaque sont proportionnels aux commandes fournies par
l’électronique de commande à l’instant tk, en début de la période d’échantillonnage.
L’intégration analytique de ces équations entre tk et tk+1 fournit les relations
récurrentes suivantes :
0
u
 e (t )
(t )
 ia0 (t k +1 )
abc _ 0  i a (t k ) 
 0

 + Ψiabc _ 0 [θ (t k )]⋅  d _ ref k  + Γiabc _ 0  a k 
⋅  0
 i (t ) = Φ i



(
)
u
t
i
t
(
)
q
_
ref
k
 b k +1 
b k 
 eb (t k ) 


avec :
134
(4.36)
Chapitre 4 : Modèle d’ordre zéro
 −T
Φ iabc _ 0 = exp MLI
 τ

 ⋅ I2

(4.37)
la matrice de transition d’état et avec :
Ψiabc _ 0 [θ (t k )] =
=

−T
⋅ 1 − exp MLI
 τ

1
Rs
1
2
⋅
Rs
3
 e (t )  1
Γiabc _ 0  a k   =
⋅
 eb (t k )  Ls

 ⋅ P22 [θ (t k )]


 −T
⋅ 1 − exp MLI
 τ

t k +1

cos[θ (tk )]
− sin [θ (t k )] 
 

 ⋅ 
  cos[θ (t k ) − 2π 3] − sin[θ (tk ) − 2π 3]
 − (s − t k )   ea (s ) 
 ⋅  e (s )  ⋅ ds
τ
  b 
∫ exp 
tk
(4.38)
(4.39)
Etant donné que la vitesse de la machine est constante, entre les instants tk et tk+1,
l’angle θ(t) est donné par :
θ (t ) = θ (tk ) + ω ⋅ t , t k ≤ t ≤ tk +1
(4.40)
et les forces électromotrices peuvent s’exprimer comme suit :
ea (t ) = E0 ⋅ cos[ω ⋅ t + θ (t k ) + π 2]

eb (t ) = E0 ⋅ cos[ω ⋅ t + θ (tk ) + π 2 − 2π 3]
Dans ces conditions le vecteur Γiabc_0 devient le suivant :
sin [ω ⋅ TMLI + θ (tk ) − ϕ ] 


⋅ 
 sin [ω ⋅ TMLI + θ (t k ) − ϕ − 2π 3]
sin [θ (t k ) − ϕ ] 
E
−T  

− 0 ⋅ exp MLI  ⋅ 
Z
 τ   sin [θ (t k ) − ϕ − 2π 3]
E0
Z
Γiabc _ 0 [θ (t k ), E0 ] =
(4.41)
Dans ces expressions nous avons fait les notations suivantes :
Z =
Rs2 + (ω ⋅ Ls )
(4.42)
2
 ω ⋅ Ls 

 Rs 
(4.43)
ϕ = a tan
Aux équations (4.36) on associe les équations de transition d’état relatives à la partie
de commande qui sont données par (3.76) :
 u d _ ref (t k +1 )
 i (t )

 = Θr ⋅  d k  + Λr
u

 i (t ) 
(
t
)
 q _ ref k +1 
q k 
 id _ cons (t k )
 + Γr
⋅ 

 iq _ cons (t k ) 
135
Chapitre 4 : Modèle d’ordre zéro
avec :
 Rs − K p
Θ r = 
 − Ls ⋅ ω
+ Ls ⋅ ω 

Rs − K p 
Λr = K p ⋅ I2
0



Γr = 
−
ω
⋅
K
Φ

et on obtient ainsi les équations de transition d’état d’ordre zéro du système en
boucle fermée :
 ia0 (t k +1 ) 
 ia0 (t k +1 ) 

 0

 0
ib (t k +1 ) 
 id _ cons (tk )
 ib (t k +1 ) 
abc _ 0 
_0
abc _ 0
 + ΓBF
=
Φ
⋅
+ Λabc
⋅ 
BF
BF
u




i
(
t
)
(
t
)
u
(
t
)
q
_
cons
k


 d _ ref k +1 
 d _ ref k +1 

u

u
 q _ ref (tk +1 ) 
 q _ ref (t k +1 ) 
(4.44)
avec :
 Φ abc _ 0
_0
Φ abc
=  i
BF
 Θr
Ψiabc _ 0 [θ (tk )]


0

(4.45)
la matrice de transition d’état d’ordre zéro du système en boucle fermé.
Les deux vecteurs sont donnés par :
0
_0
=  
Λabc
BF
Λ

r
(4.46)

et par :
 Γ abc _ 0 [θ (tk ), E0 ]
abc _ 0

ΓBF
=  i

Γr


136
(4.47)
Chapitre 4 : Modèle d’ordre zéro
4.2.2.2
Ecriture des équations dans le référentiel de Park
Considérons maintenant le système d’équations (2.105) :
•
 is (t ) 
 is (t ) 




U dc 


 u (t )
 u (t )
dq
dq
 i (t )  = Ap [ f l (t ),θ (t )] ⋅  i (t )  + B p ⋅  0  , l = a, b, c
E 
 d 
 d 
 0
 i (t ) 
 i (t ) 
 q 
 q 
avec :


− Rf −1

Lf
Lf


1
0

Cf
Apdq [ f l (t ),θ (t )] = 

0
 f a (t )
 1


−1
⋅ P23 [θ (t )] ⋅  f b (t )

L
0 s
 f (t ) 

 c 

0
0


t
 f a (t )


−1 
⋅  f b (t ) ⋅ P23 [θ (t )]

Cf 


 f c (t )


− Rs

ω

Ls

− Rs

−ω

Ls

et :
B pdq
 1

 Lf
 0
= 0


 0


0
0
−1
Ls
0

0 

0 

0 

− 1
Ls 
Nous remplaçons les fonctions de commutation binaires fa(t), fb(t) et fc(t) par les
termes Fa0, Fb0 et Fc0 et obtenons ainsi les équations différentielles correspondant au
modèle d’ordre zéro :
•
 is0 (t ) 
 is0 (t ) 
 0 
 0 
U dc 


 u (t )
 u (t )
dq
0
dq
=
A
F
,
θ
(
t
)
⋅
+
B
⋅
 0  , l = a, b, c
p
l
p
 i 0 (t ) 
 i 0 (t ) 
E 
 d 
 d 
 0
 i 0 (t ) 
 i 0 (t ) 
 q 
 q 
[
]
(4.48)
137
Chapitre 4 : Modèle d’ordre zéro
La matrice dynamique est donnée par :
Apdq


− Rf − 1

Lf
Lf


1
0

Cf
Fl 0 , θ (t ) = 


 Fa0 
0 1
 
−1

⋅ P23 [θ (t )] ⋅  Fb0 
 Ls
 0
0
 Fc 

[
]
0
0


t
 Fa0 



−1
⋅  Fb0  ⋅ P23 [θ (t )]

Cf  0 

 Fc 



− Rs
ω

Ls

− Rs

−ω

Ls

(4.49)
et en tenant compte de (4.25) :
 Fa0 
1
 0
  1
dq
⋅ P23−1[θ (tk )] ⋅ U ref
(tk )
 Fb  = 0.5 ⋅ 1 +
U
F0 
dc
1
 
 c 
la matrice dynamique Apdq_0 devient la suivante :


− R f −1

Lf
Lf


1
0

Cf
dq
_0
A dq
U ref
(t k ), θ (t ) = 
p


0
1
dq

(t k )
⋅ P23−1 [θ (t )] ⋅ P23 [θ (t k )] ⋅ U ref
 Ls ⋅ U dc
0

[
]
0
0


t


 1

 
−1 
1
dq
(t k ) ⋅ P23 [θ (t )]
⋅ 0.5 ⋅ 1 +
⋅ P23−1 [θ (t k )] ⋅ U ref
Cf 
1 U dc


 




− Rs

ω

Ls

− Rs

−ω

Ls

(4.50)
ou encore :
[
]
dq
Apdq _ 0 U ref
(tk ), θ (t ) − θ (t k )
− R f −1


Lf
Lf


1
0

Cf
=

0
1
dq

⋅ P −1 [θ (t ) − θ (t k )]⋅U ref
(tk )
 Ls ⋅U dc
0

En tenant aussi compte de (4.40) :
θ (t ) = θ (tk ) + ω ⋅ t , t k ≤ t ≤ tk +1
cette matrice devient :
138

0
0

−1
−1
dq
⋅ P [θ (t ) − θ (t k )]⋅ U ref (t k )

C f ⋅ U dc



− Rs
ω

Ls

− Rs

−ω

Ls

(4.51)
Chapitre 4 : Modèle d’ordre zéro
A pdq _ 0





dq
U ref (t k ), ω ⋅ t = 

0
1

 L s ⋅ U dc
0

[
]
− Rf
Lf
1
Cf
−1
Lf
0
dq
(t k )
⋅ P −1 [ω ⋅ t ] ⋅ U ref

0
0

−1
dq
⋅ P −1 [ω ⋅ t ] ⋅ U ref
(t k )

C f ⋅ U dc



− Rs
ω

Ls

− Rs

−ω

Ls

(4.52)
Dans ces conditions les équations d’évolution prennent la forme suivante :
•
 is0 (t ) 
 0 
 u (t )
dq _ 0
dq
 i 0 (t )  = Ap U ref (tk ), ω ⋅ t
d


 i 0 (t ) 
 q 
[
]
 is0 (t ) 
 0 
U dc 


 u (t )
⋅  0  + B pdq ⋅  0 
E 
 id (t ) 
 0
 i 0 (t ) 
 q 
(4.53)
On peut donc voir que l’utilisation du modèle d’ordre zéro à permis d’éliminer la
dépendance de la matrice dynamique Apdq par rapport aux fonctions binaires de
commutation fl(t) mais, elle reste une matrice à coefficients variables. Des lors les
équations (4.53) nécessitent une résolution par intégration numérique sur la période
d’échantillonnage.
La Figure 4.5 (voir page 140) permet d’observer, pour les mêmes conditions de
fonctionnement que celles de la Figure 4.4, l’évolution temporelle des composants
dq des grandeurs du cote alternatif ce qui met en évidence même à l’ordre zéro, la
présence d’une fluctuation apériodique de ces composants.
Transformation de la matrice dynamique dans une matrice à coefficients
constants
Généralement, l’angle intervenant dans la transformation de Park varie peu durant la
période d’échantillonnage car on travaille à des cadences d’échantillonnage élevées.
Si c’est le cas il est possible transformer la matrice dynamique Apdq dans une matrice
à coefficients constants en donnant à l’angle θ(t), sur chaque période
d’échantillonnage, une valeur constante θk.
Dans ([16], [53]) il a été montré que, si
ω ⋅ Te ≤
π
(4.54)
6
le meilleur choix est de considérer la valeur que l’angle θ(t) atteint au milieu de la
période d’échantillonnage Te (Figure 4.6) :
139
Chapitre 4 : Modèle d’ordre zéro
200
ua0
[V]
150
100
50
0
-50
-100
-150
-200
0.0705
0.071
0.0715
0.072
0.0725
0.073
0.0735
0.074
0.0745
0.071
0.0715
0.072
0.0725
0.073
0.0735
0.074
0.0745
0.071
0.0715
0.072
0.0725
0.073
0.0735
0.074
0.0745
250
ud
uq
[V]
200
150
100
50
0
-50
-100
-150
-200
-250
0.0705
id
iq
[A]
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
0.0705
t [sec]
Figure 4.5 Evolution des grandeurs du système
Te
θk
θk+1
θ(t)
t
tk
tk+ Te/2
tk+1
Figure 4.6 Remplacement de l’angle θ(t) par la valeur constante θk
140
Chapitre 4 : Modèle d’ordre zéro
Dans ce cas, sur la période d’échantillonnage k on remplace θ(t) par :
θ k = θ (t k ) + ω ⋅
Te
T
= θ (tk ) + ω ⋅ MLI
2
2
(4.55)
et la matrice dynamique s’écrit comme suit :
[
]
dq
(t k )
A pdq _ 0 U ref
− Rf −1


Lf
Lf


1
0

Cf
=

0
1
 T 
dq

⋅ P −1 ω ⋅ MLI  ⋅ U ref
(t k )
 Ls ⋅ U dc
2 

0


0
0


TMLI  dq
−1
−1 
⋅ P ω ⋅
⋅ U ref (t k )


C f ⋅ U dc
2 




− Rs
ω

Ls

− Rs

−ω

Ls

(4.56)
Etant donné que cette matrice est maintenant à coefficients constants nous pouvons
intégrer analytiquement les équations d’évolution entre tk et tk+1. Suite à cette
intégration nous obtenons les relations de transition d’état suivantes :
 is0 (t k ) 
 is0 (tk +1 ) 
 0 
 0


 u (t k +1 )
 u (t k )
dq _ 0
dq
dq _ 0  dq
 i 0 (t )  = Φ p U ref (t k ) ⋅  i 0 (t )  + Γp U ref (tk ),
 d k +1 
 d k 

 i 0 (t ) 
 i 0 (t ) 
1
q
k
+


 q k 
[
]
U dc  


 0 
 E 
 a 
(4.57)
où la matrice de transition d’état est donnée par :
[
]
[
{
]
_0
dq
Φ dq
U ref
(tk ) = exp Apdq _ 0 U refdq (tk ) ⋅ TMLI
p
}
(4.58)
et le vecteur Γpdq_0 est le suivant :

 dq
(tk ),
Γpdq _ 0 U ref

U dc  


dq _ 0
dq
 0   = Ap U ref (t k )
 E 
 a 
{
[
]} ⋅ {exp[A [U (t )]⋅ T ] − 1}⋅ B
−1
dq _ 0
p
dq
ref
k
MLI
dq
p
 U dc 


⋅ 0 
E 
 a
(4.59)
Notons que la matrice dynamique garde la dépendance par rapport aux variables de
commande mais, comme nous l’avons vu, cette dépendance peut être éliminée si on
peut négliger la dynamique du générateur.
141
Chapitre 4 : Modèle d’ordre zéro
Simplification par l’élimination de la dynamique du générateur
Si on peut éliminer la dynamique du générateur9, les équations différentielles
d’évolution sont celles données par (3.132) :
•
i (t )
 id (t )
dq  d
dq




 iq (t ) = Ai ⋅  iq (t )  + V [ f l (t ),θ (t ),U dc , E0 ]




avec :
Aidq
 − Rs

L
= s

 −ω


ω 

− Rs 
Ls 
V dq [ f l (t ),θ (t ),U dc , E0 ] =
 f a (t )


−1  0  1
⋅   + ⋅ P23−1 [θ (t )]⋅  f b (t ) ⋅ U dc
Ls  E 0  Ls
 f (t ) 
 c 
En remplaçant les fonctions binaires de commutation par les termes de valeurs
moyennes donnés par (4.25):
 Fa0 
1
 0
  1
dq
(tk )
⋅ P23 [θ (tk )] ⋅ U ref
 Fb  = 0.5 ⋅ 1 +
F0 
1 U dc
 
 c 
le vecteur des sources devient le suivant :
[
]
abc
(t k ),θ (t ), E0 =
V dq _ 0 U ref
−1  0  1
dq
(t k )
⋅   + ⋅ P23−1 [θ (t )]⋅ P23 [θ (t k )]⋅ U ref
Ls  E0  Ls
(4.60)
et nous trouvons ainsi les équations d’évolution du modèle d’ordre zéro de la partie
de puissance du système, la dynamique du générateur éliminée :
•
 id0 (t )
 i 0 (t )
 u 0 (t )
 0
 0  = Aidq ⋅  d0  + − 1 ⋅   + 1 ⋅  d0 
 i (t )
 i (t ) L  E  L  u (t )
s  0
s  q
q 
q 

Les termes d’attaque s’écrivent comme suit :
9
Voir remarque faite au paragraphe 3.6.2 du Chapitre 1 .
142
(4.61)
Chapitre 4 : Modèle d’ordre zéro
 u d0 (t )
dq
 0  = P23−1 [θ (t )]⋅ P23 [θ (t k )]⋅ U ref
(t k )
 u (t )
 q 
(4.62)
En tenant compte de (4.40) :
θ (t ) = θ (tk ) + ω ⋅ t , tk ≤ t ≤ tk +1
la relation (4.62) devient :
 u d0 (t )
dq
 0  = P −1 [ω ⋅ t ]⋅ U ref
(t k )
 u (t )
 q 
(4.63)
et les équations différentielles d’évolution correspondant au modèle d’ordre zéro
s’écrivent finalement comme suit :
•
 id0 (t )
 i 0 (t )
u
(t )
 0
 0  = Aidq ⋅  d0  + − 1 ⋅   + 1 ⋅ P −1 [ω ⋅ t ]⋅  d _ ref k 
 i (t )
 i (t ) L  E  L
u

s  0
s
q 
q 
 q _ ref (t k ) 
(4.64)
On voit voir que nous sommes passés d’un système d’équations différentielles à
coefficients variables à un système d’équations différentielles à coefficients
constants excitées par des termes variables.
L’intégration de ces équations entre tk et tk+1 fournit les relations de récurrence
suivantes :
 id0 (t k +1 )
 i 0 (t )
u
(t )
 0
 = Φ idq _ 0 ⋅  d0 k  +Ψ i dq _ 0 ⋅  d _ ref k  + Γ i dq _ 0 [E 0 ]
 i (t )
 i (t )
u

 q k +1 
q k 
 q _ ref (t k )
(4.65)
avec :
[
Φ idq _ 0 = exp Aidq ⋅ TMLI
Ψidq _ 0 =
1
⋅
Ls
Γidq _ 0 [E0 ] =
]
(4.66)
t k +1
∫ {exp[A ⋅ (s − t )]⋅ P [ω ⋅ s]}⋅ ds
dq
i
−1
(4.67)
k
tk
−1
⋅ Aidq
Ls
{ } ⋅ {exp[A
−1
dq
i
 0
⋅ TMLI − 1 ⋅  
 E0 
] }
(4.68)
A ces équations on associe les équations relatives à la partie de commande qui sont
données par (3.76) :
143
Chapitre 4 : Modèle d’ordre zéro
 u d _ ref (t k +1 )

 = Θr
u

 q _ ref (t k +1 )
(t )
 id (t k )
i
 + Λr ⋅  d _ cons k  + Γ r
⋅ 

i

i
(
t
)
(
 q k 
 q _ cons t k )
avec :
 Rs − K p
Θ r = 
 + Ls ⋅ ω
− Ls ⋅ ω 

Rs − K p 
Λr = K p ⋅ I2
0 


Γr [ω ] = 
−
ω
⋅ K Φ 

et on obtient les équations de transition d’état d’ordre zéro du système en boucle
fermée :
 id0 (t k +1 ) 
 id0 (t k +1 ) 
 0

 0

id (t k +1 ) 
 id _ cons (t k )
 id (t k +1 ) 
dq _ 0 
dq _ 0
dq _ 0
 + ΓBF
u
 = Φ BF ⋅  u
 + Λ BF ⋅  i

(
t
)
(
t
)
 q _ cons (t k ) 
 d _ ref k +1 
 d _ ref k +1 
u

u

 q _ ref (t k +1 ) 
 q _ ref (t k +1 ) 
(4.69)
avec :
 Φ dq _ 0
_0
Φ dq
=  i
BF
 Θr
Ψidq _ 0 

0 
(4.70)
la matrice de transition d’état d’ordre zéro du système en boucle fermé et avec :
0
(4.71)
 Γ dq _ 0 [E0 ]
dq _ 0

ΓBF
=  i

 Γr

(4.72)
_0
=  
Λdq
BF
 Λr 
On peut remarquer que nous pouvons simplifier encore le problème si on considère
que sur la période d’échantillonnage l’angle θ(t) prend une valeur constante θk, car
on obtient ainsi un simple modèle échantillonnée dont le comportement peut être
étudie par les méthodes classiques de l’automatique.
Si on considère la valeur de l’angle au milieu de la période d’échantillonnage,
donnée par (4.55) :
144
Chapitre 4 : Modèle d’ordre zéro
θ k = θ (t k ) + ω ⋅
Te
T
= θ (t k ) + ω ⋅ MLI
2
2
les équations différentielles d’évolution de la partie de puissance du système
deviennent :
•
 id0 (t )
 i 0 (t )
 0
 0  = Aidq ⋅  d0  + − 1 ⋅   + 1 ⋅ P −1 ω ⋅ TMLI

 i (t )
 i (t ) L  E  L
2

s  0
s
q 
q 
  u d _ ref (t k )
 ⋅u
  q _ ref (t k ) 
(4.73)
Ces équations sont maintenant des équations différentielles à coefficient constants
excitées par des termes constants qui sont proportionnels aux tensions de référence
fournies par l’électronique commande.
L’intégration de ces équations entre tk et tk+1 fournit des équations de transition
d’état de la même forme que (4.65), mais avec le vecteur Ψidq_0 donné par :
Ψidq _ 0 =
{ } ⋅ {exp[A
1
⋅ Aidq
Ls
−1
dq
i
] }
 T 
⋅ TMLI − 1 ⋅ P −1 ω ⋅ MLI 
2 

(4.74)
Détermination des équations de transition d’état dans le référentiel de Park à
partir des équations de transition d’état en abc
Au paragraphe 3.4.2.3.2 nous avons montré qu’il est possible de déterminer les
valeurs des courants iq(tk+1) et iq(tk+1) en appliquant aux composants abc de ces
courants une transformée inverse de Park dépendante de la valeur de la position θ à
l’instant tk+1. Des lors, en introduisant la relation (3.91) :
 id0 (t k +1 )
 i 0 (t )
 0
 = P22−1 [θ (t k +1 )]⋅  a k +1 
 i 0 (t )
 i (t )
 b k +1 
 q k +1 
dans les expressions (4.36) :
u
(t )
 ia0 (t k +1 )
 i 0 (t )
 0
 = Φ iabc _ 0 ⋅  a0 k  + Ψiabc _ 0 [θ (t k )]⋅  d _ ref k  + Γiabc _ 0 [θ (t k ), E0 ]
 i (t )
 i (t )
u

 b k +1 
b k 
 q _ ref (t k ) 
avec :
 −T 
Φ iabc _ 0 = exp MLI  ⋅ I 2
 τ 
Ψiabc _ 0 [θ (t k )] =
1
Rs

 −T
⋅ 1 − exp MLI
 τ


  ⋅ P22 [θ (t k )]

145
Chapitre 4 : Modèle d’ordre zéro
Γiabc _ 0 [θ (tk ), E0 ] =
E0  sin[ω ⋅ TMLI + θ (tk ) − ϕ ]  E0
 − T   sin[θ (tk ) − ϕ ] 
 − ⋅ exp MLI  ⋅ 

⋅
Z  sin[ω ⋅ TMLI + θ (tk ) − ϕ − 2π 3] Z
 τ   sin[θ (tk ) − ϕ − 2π 3]
nous trouvons les équations de transition d’état exprimées dans le référentiel de
Park. Ces équations sont de la forme suivante :
 id0 (t k +1 )
 i 0 (t )
u
(t k )
dq _ 0  d k 
dq _ 0  d _ ref
dq _ 0
 0

⋅
 i (t ) = Φ i ⋅  i 0 (t ) + Ψi
 + Γi [E0 ]
u
(
t
)
q
k
+
q
k
q
ref
k
1
_






(4.75)
avec :
−T 
Φ idq _ 0 = exp MLI  ⋅ P22−1 [θ (t k +1 )] ⋅ P22 [θ (t k )]
 τ 
−T 
= exp MLI  ⋅ P −1 [ω ⋅ TMLI ]
 τ 
(4.76)
la matrice de transition d’état et avec :
Ψidq _ 0 =
=
1
Rs
1
Rs

 −T
⋅ 1 − exp MLI
 τ


 −T
⋅ 1 − exp MLI
 τ

Γidq _ 0 [E0 ] =
 −1
 ⋅ P22 [θ (tk +1 )] ⋅ P22 [θ (tk )]

(4.77)
 −1
 ⋅ P [ω ⋅ TMLI ]

3 E0  − sin (ϕ ) 
 −T
 − exp MLI
⋅
⋅ 
2 Z  − cos(ϕ )
 τ
  − sin (ω ⋅ TMLI + ϕ )  
 
 ⋅ 
  − cos (ω ⋅ TMLI + ϕ ) 
(4.78)
4.3 Conclusions
Dans ce chapitre nous avons montré que le modèle d’ordre zéro, obtenu en
remplaçant sur chaque période MLI les fonctions de commutation par leurs valeurs
moyennes sur la période de commutation, conduit à des équations qui permettent
d’établir de manière simple un modèle de transition d’état qui fournit le suivi de
l’évolution du système de période MLI en période MLI.
Outre sa simplicité ce modèle permet de définir quel que soit le type du système
étudié un point de régime permanent correspondant à des consignes données.
Ce point de fonctionnement peut être pris comme point de référence pour étudier
l’effet des ondulations dues à la découpe MLI et leur éventuelle influence sur la
stabilité du fonctionnement, comme nous le verrons au Chapitre 6 .
146
Chapitre 5
Modèle d’ordre h
Résumé - Nous avons vu que le modèle d’ordre zéro que nous avons introduit au
Chapitre 4 permet de suivre l’évolution de la dynamique principale du système mais
qu’il est malheureusement incapable de tenir compte des effets dus à la découpe
MLI, à savoir les ondulations que ce processus induit dans les variables du système.
Etant donné que dans certaines conditions ces phénomènes peuvent perturber le
fonctionnement du système il est donc intéressant de trouver des modèles capables
de prendre en compte ces phénomènes.
Dans ce chapitre nous montrons comment il est possible de définir, pour les
systèmes à convertisseurs MLI, un modèle équivalent simplifié capable de
reproduire les ondulations dues à la découpe MLI. Ce modèle permet donc de
corriger les valeurs fournies par le modèle d’ordre zéro, en les rapprochant de
celles fournies par le modèle détaillé du système.
Nous commençons par introduire au premier paragraphe, un modèle capable de
reproduire l’évolution temporelle des écarts entre les variables d’état fournies par
le modèle détaillé et celles fournies par le modèle d’ordre zéro. Nous appelons ce
modèle « le modèle d’écart du système ».
Etant donné que ce modèle est aussi compliqué que le modèle détaillé nous
proposons ensuite de définir un modèle simplifié obtenu par la limitation des termes
harmoniques pris en compte dans les équations du modèle d’écart. Nous appelons
ce modèle « le modèle d’écart réduit à l’ordre h ».
Sur la base de ce modèle et du modèle d’ordre zéro du système nous définissons
finalement un modèle équivalent simplifié permettant de donner une bonne
estimation de l’évolution des variables d’état du système, dynamique principale plus
ondulations dues à la découpe MLI.
Pour illustrer la méthode permettant d’introduire ces modèles, au troisième
paragraphe de ce chapitre nous appliquons la méthode aux systèmes précédemment
considérés : celui permettant le réglage du courant d’induit d’un moteur à courant
continu et celui permettant le réglage des courants statoriques d’un moteur
synchrone à aimants permanents.
Chapitre 5 : Modèle d’ordre h
5.1 Ecart entre le modèle détaillé et le modèle
d’ordre zéro
Commençons donc par estimer l’erreur commise par l’utilisation du « modèle
d’ordre zéro », décrit par les équations (4.1) :
•
[ ]
X p0 (t ) = Ap Fl 0 ⋅ X p0 (t ) + B p ⋅ U p (t )
à la place du « modèle détaillé » décrit par les équations différentielles (2.6) :
•
X p (t ) = Ap [ fl (t )] ⋅ X p (t ) + B p ⋅ U p (t )
Pour calculer cet écart on définit un nouveau vecteur de variables d’état
correspondant à la différence entre les valeurs des variables d’état fournies par le
modèle détaillé et leurs valeurs « moyennes » fournies par le modèle d’ordre zéro :
X εp (t ) = X p (t ) − X 0p (t )
(5.1)
Ces termes correspondent aux ondulations des variables autour de leur valeur
« moyenne » fournie par le modèle d’ordre zéro plus une correction de ces valeurs
« moyennes »10. En tenant compte de (2.6) et (4.1) nous trouvons les équations
différentielles suivantes pour caractériser l’évolution de ces variables :
•
≈
[
]
X εp (t ) = Ap [ f l (t )] ⋅ X εp (t ) + B p Fl h (t ) ⋅ X 0p (t )
(5.2)
Dans ces expressions nous avons introduit la notation suivante :
≈
[
]
[ ]
B p Fl h (t ) = Ap [ f l (t )] − Ap Fl 0
(5.3)
ou le terme Flh(t) représente le contenu harmonique des fonctions de commutation et
est donné par l’expression
(3.146) :
+∞
Fl h (t ) = ∑ fl j (t )
j =1
10
Si le système est tel que la dynamique du filtre d’entrée peut être négligée, le
modèle d’ordre zéro fournit exactement les valeurs moyennes des variables d’état du
système.
148
Chapitre 5 : Modèle d’ordre h
avec l’expression suivante des termes harmoniques :
f l j (t ) =
 j ⋅π

2
⋅ sin 
⋅ ul _ ref (tk ) ⋅ cos( j ⋅ ω MLI ⋅ t )
j ⋅π
U
 dc

si les ondes de référence correspondent à des grandeurs unipolaires (Figure 3.13 a),
ou avec :
f l j (t ) =
 j ⋅π j ⋅π

2
⋅ sin 
+
⋅ ul _ ref (tk ) ⋅ cos( j ⋅ ωMLI ⋅ t )
j ⋅π
2
U
dc


s’il s’agit des grandeurs alternatives (Figure 3.13 b).
On peut observer que ces équations font réapparaître les fonctions de commutations
binaires fl(t) et nécessitent des lors (comme celles relatives au modèle détaillé), une
résolution par intégration numérique. On voit d’ici qu’il est intéressant de simplifier
la démarche en limitant le nombre de termes harmoniques.
On propose des lors de considérer dans le terme de gauche seulement le terme
donnant la valeur « moyenne » des fonctions de commutation et dans celui de droite
ses premières h termes harmoniques. Ecrivons donc l’équation (5.2) de la forme
suivante :
•
≈  +∞

 ≈  h
 
 ≈  +∞
 
X εp (t ) =  Ap Fl 0 + B p ∑ f l j (t )  ⋅ X εp (t ) +  B p ∑ f l j (t ) + B p  ∑ f l j (t )  ⋅ X p0 (t )

  j =1
 j =1
 

 j=h
 
[ ]
(5.4)
ou encore :
•
≈
≈  h
≈  +∞


(5.5)
X εp (t ) = A p Fl 0 ⋅ X εp (t ) + B p Fl h (t ) ⋅ X εp (t ) + B p ∑ f l j (t ) ⋅ X p0 (t ) + B p  ∑ f l j (t ) ⋅ X p0 (t )
j
=
1
j
=
h




[ ]
[
]
On peut supposer que si le système est bien conçu et que si le nombre de termes
harmoniques h est correctement choisi, le deuxième et le quatrième terme dans la
dernière expression sont des termes du deuxième ordre qui peuvent être négligés11.
11
Nous allons voir plus loin que le nombre h de termes harmoniques qui doivent
être prises en compte pour obtenir une bonne estimation des ondulations induites par
la découpe MLI dépend du type du convertisseur et que ce nombre peut être
déterminé à partir d’une analyse du fonctionnement en régime permanent. On va
voir aussi qu’un bon compromis entre la qualité des résultats et la complexité du
modèle, est de choisir h = 1 pour les hacheurs et les onduleur monophasés et h = 2
pour les systèmes à onduleurs triphasés.
149
Chapitre 5 : Modèle d’ordre h
En procédant de cette façon on aboutit à un modèle simplifié qui donne une bonne
estimation des ondulations induites par la découpe MLI. On appelle ce modèle, qui
est décrit par les équations suivantes :
•
[ ]
≈
[
]
X εph (t ) = Ap Fl 0 ⋅ X εph (t ) + B p Fl h (t ) ⋅ X p0 (t )
(5.6)
le « modèle d’écart réduit à l’ordre h » de la partie de puissance du système.
On peut remarquer que ce modèle est caractérisé par la même dynamique que le
modèle d’ordre zéro et qu’il est piloté par ce dernier car les termes de sources, qui
sont données par les relations suivants :
{ [ ]
{ [ ]
t
}
}
(5.7)
X p0 (t ) = exp Ap Fl 0 ⋅ (t − tk ) ⋅ X p0 (tk ) + ∫ exp Ap Fl 0 ⋅ (s − tk ) ⋅ B p ⋅ U p (s ) ds
tk
sont les sorties de ce celui-ci.
La Figure 5.1 montre une représentation graphique de ce modèle.
Up(t)
•
[ ]
X p0 (t ) = Ap Fl 0 ⋅ X p0 (t ) + B p ⋅ U p (t )
Xp0(t)
εh
Xp (t)
•
≈  h

X εph (t ) = A p Fl 0 ⋅ X εph (t ) + B p ∑ f l j (t ) ⋅ X p0 (t )
j
=
1


[ ]
Figure 5.1 Enchaînement des modèles
L’intégration des équations (5.6) entre l’instant initial tk et l’instant final tk+1 fournit
les équations de transition d’état relatives au modèle d’écart d’ordre h. Ces
équations sont de la forme suivante :
[
]
[
X εph (t k +1 ) = Φ 0p U ref (t k ) ⋅ X εph (t k ) + Γ pεh U ref (t k ), U p
]
(5.8)
avec :
[
]
[
]
Φ 0p U ref (t k ) = exp{A 0p U ref (t k ) ⋅ TMLI }
la matrice de transition d’état et avec :
[
t k +1
] ∫
Γpεh U ref (t k ), U p =
tk
150
{ [
]
} [
≈
]
exp A0p U ref (t k ) ⋅ (s − t k ) ⋅ B p Fl h (s ) ⋅ X p0 (s ) ds
(5.9)
Chapitre 5 : Modèle d’ordre h
5.2 Modèle d’ordre h
Une bonne estimation de l’évolution dynamique de la partie de puissance du
système, dynamique principale plus ondulations induites par la découpe MLI, peut
être obtenue en utilisant le « modèle d’ordre h ».
Les variables d’état correspondant à ce modèle sont obtenues par l’adition des
variables fournies par le modèle d’ordre zéro avec celles fournies par le modèle
d’écart d’ordre h :
X ph (t ) = X p0 (t ) + X εph (t )
(5.10)
Une représentation graphique du modèle d’ordre h est présentée à la (Figure 5.2) :
Up(t)
•
[ ]
X 0p (t ) = A p Fl 0 ⋅ X p0 (t ) + B p ⋅ U p (t )
Xp0(t)
Xph(t) = Xp0(t) + Xpεh(t)
+
+
•
≈  h

X εph (t ) = A p Fl 0 ⋅ X εph (t ) + B p  ∑ f l j (t ) ⋅ X 0p (t )
s
=
1


[ ]
Xpεh(t)
Figure 5.2 Modèle d’ordre h de la partie de puissance du système
De même façon on peut déterminer l’état du système à la fin de la période
d’échantillonnage en additionnant le vecteur d’état fournis par modèle d’ordre zéro
et celui fournit par le modèle d’écart d’ordre h :
X εp (t k +1 ) = X 0p (t k +1 ) + X εph (tk +1 )
(5.11)
5.3 Exemples d’application
5.3.1
Moteur à courant continu alimenté par hacheur
réversible en courant
Reprenons l’exemple du système à hacheur réversible en courant alimentant une
machine à courant continu fonctionnant à vitesse constante. Les équations
d’évolution correspondant au modèle détaillé sont celles données par (2.77) :
151
Chapitre 5 : Modèle d’ordre h
•
 is (t ) 
 is (t ) 




U dc 

 u (t )  = Ap [ f (t )] ⋅  u (t )  + B p ⋅ 
 Ea 
 i (t )
 i (t )
a 
a 
avec :
 − Rf

 Lf
 1
Ap [ f (t )] = 
 Cf

 0

−1
Lf
0
f (t )
La



− f (t ) 

Cf 
− Ra 

La 
0
et :
 1

 Lf
Bp =  0

 0



0 

0 
−1

La 

En appliquant la procédure définie au paragraphe 5.1 et en considérant seulement le
premier terme harmonique (celui à la fréquence de commutation du hacheur) on
trouve les équations différentielles d’évolution du modèle d’écart d’ordre h = 1 de
la partie de puissance du système. Ces équations sont les suivantes :
•
 isε 1 (t ) 
 ε1 
 u (t ) = A p F 0
 i ε 1 (t ) 
 a

 is0 (t ) 
 isε 1 (t ) 
 ε1  ≈


⋅  u (t ) + B p f 1 (t ) ⋅  u 0 (t )
 i ε 1 (t ) 
 i 0 (t ) 
 a

 a 
[ ]
[
]
(5.12)
Dans cette expression la matrice dynamique est la même que celle du modèle
d’ordre zéro qui est donnée par la relation (4.8) :
[ ]
Ap F 0
 − Rf

 Lf
 1
=
 Cf

 0

−1
Lf
0
F0
La

0 

− F0 

Cf 
− Ra 

La 
avec le terme F0 donné par (4.6) :
152
Chapitre 5 : Modèle d’ordre h
F0 =
u a _ ref (t k )
U dc
La matrice des sources est la suivante :
≈
Bp
[
0



f 1 (t ) =  0


0





− f 1 (t ) 

Cf 

0 

0
]
0
0
f (t )
1
La
(5.13)
ou f1(t) représente la première composante harmonique de la fonction binaire de
commutation f(t) :
f 1 (t ) =
2
π
 π

⋅ sin 
⋅ u a _ ref (t k ) ⋅ cos(ω MLI ⋅ t )
U dc

(5.14)
Dans les équations (5.12) le vecteur de sources est donné par l’expression suivante :
 is0 (t ) 
 0 
 u (t ) = exp A p0 u a _ ref (t k ) ⋅ (t − t k )
 0( )
 ia t 
{ [
]
{ [
]}
+ A p0 u a _ ref (t k )
−1
 is0 (t k ) 


⋅  u 0 (t k )
 0( )
 ia t k 
}
(5.15)
U dc 

⋅ exp A p0 u a _ ref (t k ) ⋅ (t − t k ) − 1 ⋅ B p ⋅ 
 Ea 
{ [
]
}
L’intégration entre tk et tk+1 des équations différentielles (5.12) fournit les équations
de transition d’état du modèle d’erreur d’ordre h qui sont les suivantes :

 i sε 1 (t k +1 ) 
 i sε 1 (t k ) 
 i s0 (t k ) 
 ε1

 ε1


U dc   0
ε1
ε1 
,  u (t k )
 u (t k +1 ) = Φ p u a _ ref (t k ) ⋅  u (t k ) + Γp u a _ ref (t k ), 
 ε1 ( ) 
 ε1 ( ) 
 E a   i 0 (t ) 

 ia t k +1 
 ia t k 
 a k 

[
]
(5.16)
avec :
[
]
[
]
{ [
]
Φ εp1 u a _ ref (t k ) = Φ 0p u a _ ref (t k ) = exp Ap0 u a _ ref (t k ) ⋅ TMLI
}
(5.17)
la matrice de transition d’état et avec :
153
Chapitre 5 : Modèle d’ordre h

 i s0 (t k )  t k +1
 i s0 (s ) 



(5.18)
≈

U dc   0
0
1
,  u (t k ) = ∫ exp Ap u a _ ref (t k ) ⋅ (s − t k ) ⋅ B p f (s ) ⋅  u 0 (s ) ds
Γ p u a _ ref (t k ), 
E
 0( )
 a   i 0 (t )  tk

 a k 
 ia s 

{ [
ε1
]
} [
]
Le vecteur d’état du modèle d’ordre h se calcule comme la somme du vecteur d’état
fournit par les équations (5.16) et (4.9) :
 is0 (t k +1 ) 
 is0 (t k ) 
 0




 u (t k +1 ) = Φ 0p u a _ ref (t k ) ⋅  u 0 (t k ) + Γp0 u a _ ref (t k ),
 i 0 (t ) 
 i 0 (t ) 

 a k +1 
 a k 
[
]
U dc 


 E a 
correspondant au modèle d’ordre zéro.
La Figure 5.3 permet de comparer les résultats obtenus avec le modèle détaillé (en
bleu) et le modèle d’ordre h = 1 (en vert). Le modèle d’ordre zéro est aussi
représenté sur cette figure (en rouge).
La Figure 5.4 permet de comparer les résultats obtenus avec le modèle détaillé (en
bleu) et le modèle d’ordre h = 5 (en vert). Le modèle d’ordre zéro est à nouveau
representé en rouge.
On voit clairement sur ces figures que pour un système à hacheur bien dimensionné,
le modèle d’ordre 1 donne déjà une bonne approximation de l’ondulation des
variables d’état et qu’il suffit de 5 harmoniques pour reproduire de manière quasi
parfaite non seulement les variables d’état, mais aussi les autre variables malgré les
discontinuités qu’elles subissent.
Simplification par l’élimination de la dynamique du générateur
Nous avons montré que si la dynamique du générateur peut être négligé les
équations relatives au modèle détaillé se réduisent à l’équation (3.100) :
•
ia (t ) =
− Ra
1
−1
⋅ ia (t ) +
⋅ Ea +
⋅ f (t ) ⋅ U dc
La
La
La
et celles relatives au modèle d’ordre zéro à l’équation (4.13) :
•
ia0 (t ) =
− Ra 0
−1
1
⋅ ia (t ) +
⋅ Ea +
⋅ F 0 ⋅ U dc
La
La
La
Nous trouvons des lors l’équation différentielle suivante :
•
iaε 1 (t ) =
154
 π

− Ra ε 1
2 ⋅ U dc
⋅ ia (t ) +
⋅ sin 
⋅ u a _ ref (t k ) ⋅ cos(ω MLI ⋅ t )
La
U
π ⋅ La
 dc

(5.19)
Chapitre 5 : Modèle d’ordre h
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.495
ua
[V]
0.496
0.497
0.498
0.499
0.5
0.501
0.996
0.997
0.998
0.999
1
1.001
0.996
0.997
0.998
0.999
1
1.001
0.996
0.997
0.998
0.999
1
1.001
0.996
0.997
0.998
0.999
1
1.001
0.996
0.997
0.998
0.999
1
300
250
200
150
100
50
0
0.995
ia
[A]
8.4
8.35
8.3
8.25
8.2
8.15
8.1
8.05
0.995
i
[A]
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0.995
u
[V]
250
249
248
247
246
245
244
243
0.995
7.1
is
[A]
7
6.9
6.8
6.7
6.6
6.5
6.4
6.3
0.995
1.001
t [sec]
Figure 5.3 Modèle d’ordre h = 1
155
Chapitre 5 : Modèle d’ordre h
1
0 . 9
0 . 8
0 . 7
0 . 6
0 . 5
0 . 4
0 . 3
0 . 2
0 . 1
0
0 . 4 9 5
ua
[V ]
0 . 4 9 6
0 . 4 9 7
0 . 4 9 8
0 . 4 9 9
0 . 5
0 . 5 0 1
0 . 4 9 6
0 . 4 9 7
0 . 4 9 8
0 . 4 9 9
0 . 5
0 . 5 0 1
0 . 4 9 6
0 . 4 9 7
0 . 4 9 8
0 . 4 9 9
0 . 5
0 . 5 0 1
0 . 4 9 6
0 . 4 9 7
0 . 4 9 8
0 . 4 9 9
0 . 5
0 . 5 0 1
0 . 4 9 6
0 . 4 9 7
0 . 4 9 8
0 . 4 9 9
0 . 5
0 . 5 0 1
0 . 4 9 6
0 . 4 9 7
0 . 4 9 8
0 . 4 9 9
0 . 5
3 0 0
2 5 0
2 0 0
1 5 0
1 0 0
5 0
0
- 5 0
0 . 4 9 5
ia
[A ]
8 . 4
8 . 3 5
8 . 3
8 . 2 5
8 . 2
8 . 1 5
8 . 1
8 . 0 5
0 . 4 9 5
i
[A ]
1 0
8
6
4
2
0
- 2
0 . 4 9 5
u
[V ]
2 5 0
2 4 9
2 4 8
2 4 7
2 4 6
2 4 5
2 4 4
2 4 3
0 . 4 9 5
7 . 1
is
[A ]
7
6 . 9
6 . 8
6 . 7
6 . 6
6 . 5
6 . 4
6 . 3
0 . 4 9 5
0 . 5 0 1
t [s e c ]
Figure 5.4 Modèle d’ordre h = 5
156
Chapitre 5 : Modèle d’ordre h
pour le modèle d’écart d’ordre h = 1 et son intégration entre tk et tk+1 fournit
l’équation de transition d’état du modèle d’écart d’ordre 1 qui s’écrit comme suit :
[
iaε 1 (t k +1 ) = Φ εi 1 ⋅ iaε 1 (t k ) + Ψaε 1 u a _ ref (t k ),U dc
]
(5.20)
avec :
 T 
Φ εi 1 = Φ i0 = exp − MLI 
 τ 
(5.21)
et :

 T
Ψaε 1 u a _ ref (t k ),U dc = I aε 1 ⋅ cos ϕ ε 1 ⋅ 1 − exp − MLI
 τ

[
]
( )



(5.22)
Dans ces expressions on a utilisé les notations suivantes :
I aε 1 =
 π

1 2 ⋅ U dc
⋅
⋅ sin 
⋅ u a _ ref (t k )
ε1
⋅
L
U
π
Z
a
 dc

Z ε 1 = Ra2 + (ω MLI ⋅ La )
 ω MLI ⋅ La
 Ra
ϕ ε 1 = a tan
2



5.3.2
Moteur synchrone à aimants permanents
alimenté par onduleur MLI de tension
5.3.2.1
Ecriture des équations dans le référentiel abc
(5.23)
(5.24)
(5.25)
Reprenons les équations différentielles d’évolution du système à moteur synchrone à
aimants permanents alimenté par onduleur triphasé de tension commandé par MLI
qui sont données par les relations (2.93) :
157
Chapitre 5 : Modèle d’ordre h
•
 is (t ) 
 is (t ) 




 U dc 


 u (t )
 u (t )
abc
abc
(
)
[
]
=
A
f
t
⋅
+
B
⋅
 ea (t ) , l = a, b, c
p
l
p
 i (t ) 
 i (t ) 
 e (t ) 
 a 
 a 
 b 
 i (t ) 
 i (t ) 
 b 
 b 
avec :


− R f −1

Lf
Lf


1
0

Cf
Apabc [ f l (t )] = 

0
 f a (t )
 1


⋅ Η 32 ⋅ S ⋅  f b (t )

 0 Ls
 f (t ) 

 c 

0
0


t
 f a (t )



−1
−1 
⋅  f b (t ) ⋅ Η 32

Cf 


 f c (t ) 


− Rs

0

Ls
− Rs 
0

Ls

la matrice dynamique et avec la matrice des sources qui est la suivante :
B pabc
 1

 Lf
 0
= 0


 0


0
0
−1
Ls
0

0 

0 

0 

−1
Ls 
En utilisant la même procédure mais en considérant les deux premiers termes
harmoniques12 (celui à la fréquence de commutation et celui à deux fois la fréquence
de commutation de l’onduleur) nous obtenons le système d’équations correspondant
au modèle d’écart d’ordre h = 2. Les équations différentielles correspondant à ce
modèle sont les suivantes :
•
 isε 2 (t ) 
 ε2 
 u (t )
abc
0
 i ε 2 (t )  = Ap Fl
 a

 i ε 2 (t ) 
 b

 isε 2 (t ) 
 is0 (t ) 
 ε2 
 0 
≈
 u (t )
 u (t )
abc
2
⋅  ε 2  + B p Fl (t ),θ (t ) ⋅  0 
i
(
t
)
 a

 ia (t ) 
 i ε 2 (t ) 
 i 0 (t ) 
 b

 b 
[ ]
12
[
]
(5.26)
Nous allons montrer à l’Annexe 2 que dans le cas des systèmes triphasés
équilibrés le premier terme harmonique n’est plus suffisant pour obtenir une bonne
estimation des ondulations induites par la découpe MLI, la prise en compte du
deuxième terme harmonique étant elle aussi nécessaire.
158
Chapitre 5 : Modèle d’ordre h
où la matrice dynamique est donnée par (4.23) :
Apabc


− R f −1

Lf
Lf


1
0

Cf
Fl 0 (t ) = 


 Fa0 
0 1
 

⋅ Η 32 ⋅ S ⋅  Fb0 
 Ls
F0 
0
 c 

[
]
0


t
 Fa0 



−1
−1 
⋅  Fb0  ⋅ Η 32

Cf  0 

 Fc 



− Rs
0

Ls

− Rs 
0

Ls

0
Le vecteur des valeurs moyennes des fonctions de commutation est donné par les
relations (4.24) :
 Fa0 
1
 0
  1
abc
⋅ U ref
(tk )
 Fb  = 0.5 ⋅ 1 +
U
F0 
dc
1
 
 c 
La matrice des sources est donnée par :
B
≈
abc
p



0
0


0
0

Fl 2 (t ) = 

0
 Fa2 (t )


 1
⋅ Η 32 ⋅ S ⋅  Fb2 (t )

L
 F 2 (t )
0 s
 c 

[
]
0
0


t
 Fa2 (t )



−1
−1 
⋅  Fb2 (t ) ⋅ Η 32

Cf  2 

 Fc (t )




0
0

0
0


(5.27)
avec :
 Fa2 (t )  f a1 (t )  f a2 (t )
 2   1   2 
 Fb (t ) =  f b (t ) +  f b (t )
 F 2 (t )  f 1 (t )  f 2 (t )
 c   c   c 
En tenant compte de
f l j (t ) =
(5.28)
(3.148):
 j ⋅π j ⋅π

2
⋅ sin 
+
⋅ u l _ ref (t k ) ⋅ cos( j ⋅ ω MLI ⋅ t ) , l = a, b, c
j ⋅π
2
U
dc


ce vecteur s’écrit comme suit :
159
Chapitre 5 : Modèle d’ordre h
 F (t )

 2
 F (t ) = ⋅ cos(ω MLI
 ( ) π
F t 
2
a
2
b
2
c
  π
 2 ⋅π


 cos 
 sin 
⋅ u a _ ref (t k ) 
⋅ u a _ ref (t k ) 
 U dc
  U dc


  π
 2 ⋅π
 1

⋅ t ) ⋅  cos 
⋅ u b _ ref (t k )  − ⋅ cos(2 ⋅ ω MLI ⋅ t ) ⋅  sin 
⋅ u b _ ref (t k ) 
 U dc
  U dc
 π








 cos  π ⋅ u c _ ref (t k ) 
 sin  2 ⋅ π ⋅ u c _ ref (t k ) 




U dc



  U dc
(5.29)
Le vecteur de sources dans les équations (5.26) résulte de l’intégration (analytique)
des équations (4.26) :
•
 i s0 (t ) 
 0 
 u (t )
abc _ 0
dq
U ref
(t k ), θ (t k )
 i 0 (t )  = A p
 a 
 i 0 (t ) 
 b 
[
]
 i s0 (t ) 
 0 
 u (t )
⋅  0  + B pabc
 i a (t ) 
 i 0 (t ) 
 b 
 U dc 


⋅  e a (t ) , l = a, b, c
 e (t ) 
 b 
avec :
[
]
dq
Apabc _ 0 U ref
(tk ), θ (tk )






=

0

1

 Ls ⋅ U dc
0

− Rf
Lf
1
Cf
0
0


t


1 

  1
−1 

dq
(tk ) ⋅ Η 32−1 
⋅ 0.5 ⋅ 1 +
⋅ P23 [θ (t k )]⋅ U ref
Cf 
1 U dc


 




− Rs

0

Ls

− Rs

0

Ls

−1
Lf
0
dq
⋅ P22 [θ (tk )]⋅ U ref
(tk )
Ce vecteur est le suivant :
 i s0 (t ) 
 0 
 u (t )
abc _ 0
dq
U ref
(t k ), θ (t k ) ⋅ (t − t k )
 0 ( )  = exp A p
i
t
a


 i 0 (t ) 
 b 
[
{
]
 i s0 (t k ) 
 0

 u (t k )
⋅ 0

 i a (t k ) 
 i 0 (t ) 
 b k 
}
(5.30)
 U dc 
t


dq
+ ∫ exp A pabc _ 0 U ref
(t k ), θ (t k ) ⋅ (s − t k ) ⋅ B pabc ⋅  e a (s ) ⋅ ds
tk
 e (s ) 
 b 
{
[
]
}
Dans ces conditions l’intégration (analytique) entre tk et tk+1 des équations
différentielles (5.26) fournit les équations de transition d’état du modèle d’erreur
d’ordre 2.
160
Chapitre 5 : Modèle d’ordre h
•

 i s0 (t k ) 
 i sε 2 (t k +1 ) 
 i sε 2 (t k ) 

 ε2

 ε2


 U dc   0

  u (t k )
 u (t k +1 )
 u (t k )
abc _ 0
dq
dq _ ε 2 
dq
U ref (t k ), θ (t k ) ⋅  ε 2
 ε2 ( ) = Φ p
 + Γp
U ref (t k ), θ (t k ),  e a (s ),  i 0 (t ) 
 e (s )   d k  
 i a t k +1 
 i a (t k ) 

 b   i 0 (t ) 
 i ε 2 (t ) 
 i ε 2 (t ) 
 b k +1 
 b k 
 q k 

[
(5.31)
]
avec :
[
]
[
{
]
_0
dq
dq
Φ abc
U ref
(t k ), θ (t k ) = exp A pabc _ 0 U ref
(t k ), θ (t k ) ⋅ TMLI
p
}
(5.32)
la matrice de transition d’état et :
Γ
dq _ ε 2
p

 is0 (tk ) 
 t
 U dc   0

k +1
U dq (t ), θ (t ),  e (s ),  u (t k ) =


ref
k
k
a

 ∫
0

(
)
i
t
 e (s )  d k  t k

 b   i 0 (t ) 

 q k 
{
exp A
abc _ 0
p
[U
dq
ref
]
 is0 (s ) 
 0 
 u (s )
⋅ B p Fl (s ), θ (t k ) ⋅  0 
 i d (s ) 
 iq0 (s ) 


} [
(tk ),θ (tk ) ⋅ (s − tk )
≈
2
]
(5.33)
ds
Les équations de transition d’état correspondant au modèle harmonique d’ordre 2
résultent de la somme des équations (5.31) et (4.28) :
 i s0 (t k +1 ) 
 i s0 (t k ) 
 0

 0


 U dc 


 u (t k +1 )
 u (t k )
abc _ 0
dq
abc _ 0  dq
U ref (t k ), θ (t k ) ⋅  0
+ Γp
U ref (t k ), θ (t k ),  e a (t k )

 0( ) = Φ p

 e (t )
 i a t k +1 
 i a (t k ) 

 b k 
 i 0 (t ) 
 i 0 (t ) 
 b k +1 
 b k 
[
]
correspondant au modèle d’ordre zéro.
La Figure 5.5 (voir page 163) permet d’observer l’évolution temporelle des
grandeurs du système pour le modèle d’ordre h = 2.
On peut constater, pour un système bien conçu, que par rapport au modèle d’ordre
zéro (en rouge) le modèle d’ordre 2 (en vert) offre une excellente approximation des
ondulations dus à la découpe MLI en ce qui concerne les variables d’état. Sur cette
figure est aussi représenté le mode détaillé (en bleu).
Simplification par l’élimination de la dynamique du générateur
Si nous pouvons éliminer la dynamique du générateur les équations différentielles
d’évolution du modèle détaillé sont celles données par (3.121) :
•
 ia (t ) − Rs

 =
Ls
 ib (t )
 f a (t )


 ia (t ) − 1  ea (t ) 1
 +
 + ⋅ Η 32 ⋅ S ⋅  f b (t ) ⋅ U dc
⋅ 
⋅ 
(
)
(
)
 ib t  Ls  eb t  Ls
 f (t )
 c 
161
Chapitre 5 : Modèle d’ordre h
1
0.5
0
-0.5
-1
0.0705
0.071
0.0715
0.072
0.0725
0.073
0.0735
0.074
0.0745
0.071
0.0715
0.072
0.0725
0.073
0.0735
0.074
0.0745
0.071
0.0715
0.072
0.0725
0.073
0.0735
0.074
0.0745
0.074
0.0745
250
ua0
[V]
200
150
100
50
0
-50
-100
-150
-200
-250
0.0705
250
ua
[V]
200
150
100
50
0
-50
-100
-150
-200
0.0705
15
ia
ib
ic
[A]
ia
ib
10
5
0
-5
ic
-10
-15
0.0705
0.071
0.0715
0.072
0.0725
0.073
0.0735
t [sec]
162
Chapitre 5 : Modèle d’ordre h
i
[A]
25
20
15
10
5
0
-5
0.0705
u
[V]
0.071
0.0715
0.072
0.0725
0.073
0.0735
0.074
0.0745
0.071
0.0715
0.072
0.0725
0.073
0.0735
0.074
0.0745
0.071
0.0715
0.072
0.0725
0.073
0.0735
0.074
0.0745
0.071
0.0715
0.072
0.0725
0.073
0.0735
0.074
0.0745
303
302
301
300
299
298
297
296
295
294
293
0.0705
is
[A]
13.5
13
12.5
12
11.5
11
10.5
10
9.5
0.0705
Cem
[Nm]
4.8
4.6
4.4
4.2
4
3.8
3.6
3.4
0.0705
t [sec]
Figure 5.5 Evolution temporelle des grandeurs du système
163
Chapitre 5 : Modèle d’ordre h
tandis que celles du modèle d’ordre zéro s’écrivent comme suit :
•
 ia0 (t ) − Rs
 0 =
 i (t )
Ls
b 
 Fa0 
 
 ia0 (t ) − 1  ea (t ) 1
 + ⋅ Η 32 ⋅ S ⋅  Fb0  ⋅ U dc
⋅  0  +
⋅ 
F0 
 ib (t ) Ls  eb (t )  Ls
 c 
En suivant la procédure présentée plus haut on trouve pour le modèle d’écart d’ordre
2 les équations différentielles suivantes :
•
 iaε 2 (t ) − Rs
 ε2  =
 i (t )
Ls
b

 Fa2 (t )


 iaε 2 (t ) 1
⋅  ε 2  + ⋅ Η 32 ⋅ S ⋅  Fb2 (t ) ⋅ U dc
L
(
)
i
t
 F 2 (t )
s
b

 c 
(5.34)
le vecteur des termes harmoniques étant donné par les relations (5.29) :
  π
  2 ⋅π


 cos 
 sin 
⋅ ua _ ref (tk ) 
⋅ ua _ ref (tk ) 
U
U



 dc

 dc

 Fa2 (t )
 
 
 2  2
 1

π
2
⋅
π
⋅ ub _ ref (tk )  − ⋅ cos(2 ⋅ ωMLI ⋅ t ) ⋅  sin 
⋅ ub _ ref (tk ) 
 Fb (t ) = ⋅ cos(ωMLI ⋅ t ) ⋅  cos 
 U dc
  U dc
 2 ( ) π
 π

 

 

 Fc t 


2
⋅
π
π
 cos 
 sin 
⋅ uc _ ref (tk ) 
⋅ uc _ ref (tk ) 




 U dc
  U dc
L’intégration analytique de ces équations entre tk et tk+1 fournit les relations de
récurrence suivantes :
 i aε 2 (t k +1 )
abc _ 0
 ε2

 i (t ) = Φ i
 b k +1 
 i ε 2 (t )
abc
(t k ), U dc
⋅  aε 2 k  + Γiabc _ ε 2 U ref
i
(
t
)
b k 
[
]
(5.35)
avec :
 − TMLI 
Φ iabc _ 0 = exp
 ⋅ I2
 τ 
(5.36)
la matrice de transition d’état et avec :
[
]
U dc
π

 T
⋅ 1 − exp − MLI
τ


2

abc
(t k ) ⋅ cos ϕ ε 1 (5.37)
 ⋅ Η 32 ⋅ S ⋅ ε 1 ⋅ W1 U ref
Z

−
U dc
π

 T
⋅ 1 − exp − MLI
τ


1

abc
(t k ) ⋅ cos ϕ ε 2
 ⋅ Η 32 ⋅ S ⋅ ε 2 ⋅ W3 U ref
Z

abc
Γiabc _ ε 2 U ref
(t k ), U dc =
[
où nous avons introduit les notations suivantes :
164
[
]
]
( )
( )
Chapitre 5 : Modèle d’ordre h
  π

 cos 
⋅ u a _ ref (t k ) 
 U dc

 

π
=  cos 
⋅ u b _ ref (t k )  = const
 U dc

 

 cos  π ⋅ u c _ ref (t k ) 



 U dc
[
]
[
  2 ⋅π

 sin 
⋅ ua _ ref (tk ) 
  U dc

 

π
2
⋅
=  sin 
⋅ ub _ ref (tk )  = const
  U dc

 


2
⋅
π
 sin 

⋅
u
(
t
)
c
_
ref
k




  U dc
abc
W1 U ref
(t k )
]
abc
W3 U ref
(tk )
(5.38)
(5.39)
et :
(
Z = R 2 + ω ⋅ L
s
MLI
s
 1

 Rs 

ϕ1 = a tan 

 ω MLI ⋅ Ls 
(
)
2
Z = R 2 + 2 ⋅ ω ⋅ L
s
MLI
s
 2



Rs

ϕ 2 = a tan 
 2 ⋅ ω MLI ⋅ Ls 

(5.40)
)
2
(5.41)
Les équations de transition d’état correspondant au modèle harmonique d’ordre 2
résultent de la somme des équations (5.34) et les équations (4.36) :
u
 e (t )
(t )
 ia0 (t k +1 )
 i 0 (t )
 0
 = Φ iabc _ 0 ⋅  a0 k  + Ψiabc _ 0 [θ (t k )]⋅  d _ ref k  + Γiabc _ 0  a k 
 i (t )
 i (t )
u

(
)
t
 b k +1 
b k 
 eb (t k ) 
 q _ ref k 
correspondant au modèle d’ordre zéro.
5.3.2.2
Ecriture des équations dans le référentiel Park
Reprenons les équations différentielles d’évolution du système à moteur synchrone à
aimants permanents alimenté par onduleur triphasé de tension commandé par MLI
qui sont données par les relations (2.105) :
165
Chapitre 5 : Modèle d’ordre h
•
 is (t ) 
 is (t ) 




U dc 


 u (t )
 u (t )
dq
dq
 i (t )  = Ap [ fl (t ),θ (t )] ⋅  i (t )  + B p ⋅  0  , l = a, b, c
E 
 d 
 d 
 0
 i (t ) 
 i (t ) 
q
q




avec :


− R f −1

Lf
Lf


1
0

Cf
Apdq [ f l (t ),θ (t )] = 

0
 f a (t )
 1


⋅ P23−1 [θ (t )]⋅  f b (t )

 0 Ls
 f (t ) 

 c 

0
0


t
 f a (t )



−1
⋅  f b (t ) ⋅ P23 [θ (t )]

Cf 


 f c (t ) 


− Rs

ω

Ls

− Rs

−ω

Ls

la matrice dynamique et avec la matrice des sources qui est la suivante :
B pdq
 1

 Lf
 0
= 0


 0


0
0
−1
Ls
0

0 

0 

0 

−1 
Ls 
Les équations différentielles correspondant au modèle d’écart d’ordre h = 2 sont les
suivantes :
•
 isε 2 (t ) 
 is0 (t ) 
 isε 2 (t ) 
 ε2 
 0 
 ε2 
 u (t )
 u (t ) ≈
 u (t )
dq
0
2
 i ε 2 (t )  = Ap Fl ,θ (t ) ⋅  i ε 2 (t )  + B p Fl (t ),θ (t ) ⋅  i 0 (t ) 
 d

 d

 d 
 i ε 2 (t ) 
 i ε 2 (t ) 
 i 0 (t ) 
q
q




 q 
[
]
[
]
ou la matrice dynamique est donnée par (4.49) :
166
(5.42)
Chapitre 5 : Modèle d’ordre h
A pdq


− R f −1

Lf
Lf


1
0

Cf
Fl 0 (t ),θ (t ) = 


 Fa0 
0 1
 
−1

⋅ P23 [θ (t )] ⋅  Fb0 
 Ls
F0 
0
 c 

[
]
0
0


t
 Fa0 



−1
⋅  Fb0  ⋅ P23 [θ (t )]

Cf  0 

 Fc 



− Rs
ω

Ls

− Rs

−ω

Ls

Le vecteur des valeurs moyennes des fonctions de commutation est donné par les
relations (4.24) :
 Fa0 
1
 0
  1
abc
⋅U ref
(t k )
 Fb  = 0.5 ⋅ 1 +
U
F0 
dc
1
 
 c 
La matrice des sources est donnée par :



0
0


0
0
≈

B p Fl 2 (t ),θ (t ) = 

0
 Fa2 (t )


 1
−1
⋅ P23 [θ (t )] ⋅  Fb2 (t )

 F 2 (t )
 0 Ls
 c 

[
]
0
0


t
 Fa2 (t )



−1
⋅  Fb2 (t ) ⋅ P23 [θ (t )]

Cf  2 

 Fc (t )




0
0

0
0


(5.43)
avec le vecteur des termes harmoniques donné par (5.29) :
 F (t )

 2
 F (t ) = ⋅ cos(ω MLI
 ( ) π
F t 
2
a
2
b
2
c
  π
 2 ⋅π


 cos 
 sin 
⋅ u a _ ref (t k ) 
⋅ u a _ ref (t k ) 
U
 U dc



 dc

  π
 2 ⋅π
 1

⋅ t ) ⋅  cos 
⋅ u b _ ref (t k )  − ⋅ cos(2 ⋅ ω MLI ⋅ t ) ⋅  sin 
⋅ u b _ ref (t k ) 
 U dc
  U dc
 π


 



 cos  π ⋅ u c _ ref (t k ) 
 sin  2 ⋅ π ⋅ u c _ ref (t k ) 




U dc



  U dc
(5.44)
Le vecteur de sources dans les équations (5.42) résulte de l’intégration (numérique)
des équations (4.53) :
167
Chapitre 5 : Modèle d’ordre h
•
 is0 (t ) 
 0 
 u (t )
dq _ 0
dq
 i 0 (t )  = Ap U ref (t k ), ω ⋅ t
 d 
 i 0 (t ) 
 q 
[
 is0 (t ) 
 0 
U dc 


 u (t )
dq
⋅  0  + Bp ⋅  0 
i
(
t
)
E 
 d 
 0
 i 0 (t ) 
q


]
avec :





dq
(t k ), ω ⋅ t = 
A pdq _ 0 U ref

0
1

 Ls ⋅ U dc
0

[
]
− Rf
Lf
1
Cf
−1
Lf
0
dq
⋅ P −1 [ω ⋅ t ] ⋅ U ref
(t k )

0
0

−1
−1
dq
⋅ P [ω ⋅ t ] ⋅ U ref (t k )

C f ⋅ U dc



− Rs
ω

Ls

− Rs

−ω

Ls

L’intégration entre tk et tk+1 des équations différentielles (5.42) fournit les équations
de transition d’état du modèle d’erreur d’ordre 2.
Si l’angle θ(t) varie peu durant la période d’échantillonnage on peut rendre constants
les coefficients de la matrice dynamique Apdq_0, en procédant comme au paragraphe
4.2.2.2 du Chapitre 4 . Dans ce cas cette matrice est celle donnée par l’expression
(4.56) :
[
]
dq
(t k )
A pdq _ 0 U ref
− Rf −1


Lf
Lf


1
0

Cf
=

0
1
 T  dq

(t k )
⋅ P −1 ω ⋅ MLI  ⋅ U ref
 Ls ⋅ U dc
2 

0




 dq

 ⋅ U ref (t k )




ω


− Rs


Ls

0
0
TMLI
−1
−1 
⋅ P ω ⋅
C f ⋅ U dc
2

− Rs
Ls
−ω
et la matrice des sources devient la suivante :
≈
[
]
B p Fl 2 (t ), θ (t k )



0
0


0
0

=

0
 Fa2 (t )
 1
TMLI   2 
−1 
⋅ P23 θ (t k ) + ω ⋅
⋅  Fb (t )

2   2 

 0 Ls
 Fc (t )

Le vecteur d’attaque s’écrit comme suit :
168
0
0
 Fa2 (t )
T
−1  2 

⋅  Fb (t ) ⋅ P23 θ (t k ) + ω ⋅ MLI
Cf  2 
2

 Fc (t )
t
0
0
0
0














(5.45)
Chapitre 5 : Modèle d’ordre h
 is0 (t ) 
 0 
 u (t )
dq _ 0
dq
 i 0 (t )  = exp Ap U ref (t k ) ⋅ (t − t k )
 d 
 i 0 (t ) 
 q 
[
{
{
+ A
dq _ 0
p
]
 is0 (t k ) 
 0

 u (t )
⋅ 0 k 
 id (t k ) 
 i 0 (t ) 
 q k 
}
(5.46)
 U dc 


− I4 ⋅ B ⋅ 0 
E 
 a 
[U (t )]} ⋅ {exp[A [U (t )]⋅ (t − t )] }
dq
ref
−1
dq _ 0
p
k
dq
ref
k
k
dq
p
Dans ces conditions l’intégration analytique des équations (5.42) fournit les
équations de transition d’état suivantes :
•
 i sε 2 (t k +1 ) 
 ε2

 u (t k +1 )
dq _ 0
dq
 ε2
 = Φ p U ref (t k )
i
(
t
)
d
k
+
1


 i ε 2 (t ) 
 q k +1 
[
]

 i sε 2 (t k ) 
 i s0 (t k ) 
 ε2


U dc   0


  u (t k )
 u (t k )
dq _ ε 2 
dq
⋅  ε2
U (t ) , θ (t k ),  0 ,  0

 + Γp
 ref k
 E   i d (t k ) 
 i d (t k ) 

 a   i 0 (t ) 
 i ε 2 (t ) 

 q k 
 q k 
[
(5.47)
]
avec :
[
]
[
{
]
dq
_0
Φ dq
U ref
(t k ) = exp A pdq _ 0 U refdq (t k ) ⋅ TMLI
p
}
(5.48)
la matrice de transition d’état et avec :

 i s0 (t k ) 
 t
U dc   0

k +1


 u (t )
dq
(t k ) , θ (t k ),  0 ,  0 k  = ∫
Γ pdq _ ε 2  U ref
(
)
i
t
d
k
tk
E  


 a   i 0 (t ) 

 q k 
[
]
{
exp A
dq _ 0
p
 i s0 (t ) 
 0 
 u (t )
dq
(t k ) ⋅ (s − t k ) ⋅ B p Fl 2 (s ), θ (t k ) ⋅  0 
U ref
 i d (t ) 
 i 0 (t ) 
 q 
[
]
} [
≈
]
(5.49)
ds
Les équations de transition d’état correspondant au modèle harmonique d’ordre 2
résultent de la somme des équations (5.47) et (4.57) :
 is0 (t k ) 
 is0 (t k +1 ) 

 0

 0

 u (t k +1 )
 u (t k )
dq _ 0
dq
dq _ 0  dq
=
Φ
U
(
t
)
⋅
+
Γ
p
ref
k
p
 i 0 (t ) 
 i 0 (t ) 
U ref (t k ),
 d k +1 
 d k 

 i 0 (t ) 
 i 0 (t ) 
 q k +1 
 q k 
[
]
 U dc  


 0 
 E 
 a 
correspondant au modèle d’ordre zéro.
La Figure 5.6 (voir page 170) permet d’observer pour le modèle d’ordre 2
l’évolution temporelle des composants dq du coté alternatif pour les mêmes
conditions de fonctionnement que celles de la Figure 5.5. Comme on l’a déjà
mentionné à propos de la Figure 5.5, le modèle d’ordre 2 fournit une excellente
approximation de l’effet de la découpe MLI sur les variables d’état.
169
Chapitre 5 : Modèle d’ordre h
1
0.5
0
-0.5
-1
0.0705
0.071
0.0715
0.072
0.0725
0.073
0.0735
0.074
0.0745
0.071
0.0715
0.072
0.0725
0.073
0.0735
0.074
0.0745
0.071
0.0715
0.072
0.0725
0.073
0.0735
0.074
0.0745
0.071
0.0715
0.072
0.0725
0.073
0.0735
0.074
0.0745
250
ua0
[V]
200
150
100
50
0
-50
-100
-150
-200
-250
0.0705
300
ud
uq
[V]
200
100
0
-100
-200
-300
0.0705
id
iq
[A]
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
0.0705
t [sec]
Figure 5.6 Evolution des grandeurs du système
170
Chapitre 5 : Modèle d’ordre h
Simplification par l’élimination de la dynamique du générateur
Si nous pouvons éliminer la dynamique du générateur les équations différentielles
d’évolution du modèle détaillé sont celles données par (3.132) :
•
 f a (t )


 id (t )
 i (t ) − 1  0  1
−1

 = Aidq ⋅  d  +


⋅
+
⋅
P
[
θ
(
t
)
]
⋅
 f b (t ) ⋅ U dc
23
 i (t ) 
 i (t )  L  E  L
s  0
s
 q 
 q 
 f (t ) 
 c 
avec :
 − Rs

L
A = s

 −ω

dq
i

ω 

− Rs 
Ls 
tandis que celles du modèle d’ordre zéro s’écrivent comme suit :
•
 Fa0 
0
 
 id0 (t )


(
)
0
i
t


−
1
1
 0  = Aidq ⋅  d0  +
⋅   + ⋅ P −1 [θ (t )]⋅  Fb0  ⋅ U dc
 i (t )
 i (t ) L  E  L 23
F0 
s  0
s
q 
q 
 c 
En suivant la procédure présentée plus haut on trouve pour le modèle d’écart d’ordre
2 les équations différentielles suivantes :
•
 Fa2 (t )


 idε 2 (t )
 idε 2 (t ) 1
dq
−1
 ε 2  = Ai ⋅  ε 2  + ⋅ P23 [θ (t )]⋅  Fb2 (t ) ⋅ U dc
 i (t )
 i (t ) L
 F 2 (t )
s
q

q

 c 
(5.50)
le vecteur des termes harmoniques étant donné par les relations (5.29).
L’intégration analytique de ces équations entre tk et tk+1 fournit les relations de
récurrence suivantes :
 idε 2 (t k +1 )
 i ε 2 (t )
abc
 ε2
 = Φ idq _ ε 2 ⋅  dε 2 k  + Γidq _ ε 2 U ref
(t k )
 i (t )
 i (t )
 q k +1 
q k 
[
]
(5.51)
avec :
( )
Φ idq _ ε 2 = Φ idq _ 0 = exp Aidq
(5.52)
la matrice de transition d’état et :
171
Chapitre 5 : Modèle d’ordre h
[
]
abc
Γidq _ ε 2 U ref
(t k )
U
= dc ⋅
Ls
t k +1
∫
tk

 Fa2 (s ) 


  (s − t k )  −1
⋅ P23 [θ (s )]⋅  Fb2 (s )  ⋅ ds
exp 

 2 ( ) 
  τ 
 Fc s  

(5.53)
Les équations de transition d’état correspondant au modèle harmonique d’ordre 2
résultent de la somme des équations (5.51) et des équations (4.65) :
 id0 (t k +1 )
 i 0 (t )
u
(t )
 0
 = Φ idq _ 0 ⋅  d0 k  + Ψidq _ 0 ⋅  d _ ref k  + Γidq _ 0 [E 0 ]
 i (t )
 i (t )
u

(
 q k +1 
q k 
 q _ ref t k ) 
correspondant au modèle d’ordre zéro.
Détermination des équations de transition d’état dans le référentiel de Park à
partir des équations de transition d’état en abc
Au paragraphe 3.4.2.3.2 nous avons montré qu’il est possible de déterminer les
valeurs des courants iq(tk+1) et iq(tk+1) en appliquant aux composants abc de ces
courants une transformée inverse de Park dépendante de la valeur de la position θ à
l’instant tk+1. Des lors, en introduisant la relation :
 idε 2 (t k +1 )
 i ε 2 (t )
−1
 ε2

( )  a k +1 
 i (t ) = P22 [θ t k +1 ]⋅  i ε 2 (t )
 b k +1 
 q k +1 
dans les expressions (5.35)
 i aε 2 (t k +1 )
abc _ 0
 ε2

 i (t ) = Φ i
 b k +1 
 i ε 2 (t )
abc
(t k ), U dc
⋅  aε 2 k  + Γiabc _ ε 2 U ref
i
(
t
)
b k 
[
]
avec :
 − TMLI 
Φ iabc _ 0 = exp
 ⋅ I2
 τ 
abc
(t k ), U dc =
Γiabc _ ε 2 U ref
U dc
π

 T
⋅ 1 − exp − MLI
τ


2

abc
(t k ) ⋅ cos ϕ ε 1
 ⋅ Η 32 ⋅ S ⋅ ε 1 ⋅ W1 U ref
Z

−
U dc
π

 T
⋅ 1 − exp − MLI
τ


1

abc
(t k ) ⋅ cos ϕ ε 2
  ⋅ Η 32 ⋅ S ⋅ ε 2 ⋅ W3 U ref
Z

[
]
[
[
]
]
( )
( )
nous trouvons les équations de transition d’état exprimées dans le référentiel de
Park. Ces équations sont de la forme suivante :
172
Chapitre 5 : Modèle d’ordre h
 idε 2 (t k +1 )
dq _ 0

 ε2
 i (t ) = Φ i
 q k +1 
 i ε 2 (t )
abc
⋅  dε 2 k  + Γidq _ ε 2 θ (t k +1 ), U ref
(t k )
 iq (t k )
[
]
(5.54)
avec :
−T 
Φ idq _ 0 = exp MLI  ⋅ P −1 [ω ⋅ TMLI ]
 τ 
(5.55)
la matrice de transition d’état et avec :
[
]
abc
(tk ), θ (tk +1 ),U dc =
Γiabc _ ε 2 U ref
U dc 
2
 T 
abc
(tk ) ⋅ cos ϕ ε 1
⋅ 1 − exp − MLI  ⋅ P23−1[θ (tk +1 )]⋅ ε 1 ⋅ W1 U ref
Z
π 
 τ 
−
[
U dc 
 T
⋅ 1 − exp − MLI
π 
 τ
]
( )
(5.56)
1
  −1
abc
ε2
  ⋅ P23 [θ (tk +1 )] ⋅ ε 2 ⋅ W3 U ref (tk ) ⋅ cos ϕ
Z

[
]
( )
5.4 Conclusions
Dans ce chapitre nous avons montré comment on peut, grâce à la prise en compte
d’un petit nombre d’harmoniques dans les développements en série des fonctions de
commutation sur chaque période MLI, définir un modèle d’écart qui permet de
déterminer de manière simple mais avec une bonne approximation l’effet des
ondulations dues à la découpe MLI.
Dans le chapitre suivant nous allons montrer comment une combinaison judicieuse
du modèle d’ordre zéro et du modèle d’écart d’ordre h permet une étude de la
stabilité en boucle fermée qui tient compte de l’effet de la découpe MLI.
173
Chapitre 5 : Modèle d’ordre h
174
Chapitre 6
Stabilité du fonctionnement
en boucle fermée
Résumé – Ce chapitre est dédié à l’étude de la stabilité en boucle fermée des
systèmes à convertisseurs électroniques de puissance alimentant des récepteurs à
caractère de source de courant.
Etant donné que généralement le caractère discret de la commande se ressent
essentiellement au niveau des boucles rapides, nous allons nous limitons à l’étude
de la stabilité de la boucle de régulation des courants aux accès du récepteur, en
considérant constantes les consignes fournies au régulateur de courants par la
boucle des variables lentes (vitesse ou position) et la vitesse du moteur.
L’étude de la stabilité basée sur l’emploi du modèle détaillé du système est très
difficilement réalisable à cause de la complexité de ce modèle. Il est donc préférable
de se limiter à l’utilisation des modèles équivalents simplifiés que nous avons
introduits dans ce travail.
Le premier paragraphe de ce chapitre introduit les considérations théoriques
relatives à la stabilité des systèmes électronique décrites par une relation de
récurrence.
Au deuxième paragraphe de ce chapitre nous utilisons le modèle d’ordre zéro pour
déterminer le point de régime permanent correspondant à des consignes données
(nous avons vu que ce modèle permet de définir un point de régime pour tous les
systèmes considérés dans ce travail) et pour étudier à l’ordre zéro la stabilité du
système bouclé autour de ce point de fonctionnement.
Nous utiliserons ensuite, dans la deuxième partie de ce chapitre le modèle d’écart
d’ordre h pour examiner dans quelle mesure les ondulations provoquées par la
découpe MLI peuvent déstabiliser le système s’il est stable à l’ordre zéro.
Pour ces deux situations nous traitons le cas des systèmes considérés
précédemment : la régulation du courant d’induit de la machine à courant continu
alimentée par hacheur réversible en courant et la régulation des courants
statoriques de la machine synchrone à aimants permanents alimentée par onduleur
MLI de tension.
Chapitre 6 : Stabilité du fonctionnement en boucle fermée
6.1 Stabilité d’un système décrit par une relation
de récurrence
Dans la mesure ou l’évolution du système est décrite par une équation de
récurrence :
X (t k +1 ) = g [X (t k )]
(6.1)
l’existence d’un fonctionnement en régime permanent est possible seulement si la
récurrence possède un point fixe caractérisé par :
X R = g(X R )
(6.2)
et ce point de fonctionnement est stable si le point fixe de la récurrence est attractif.
Si la récurrence est linéaire elle peut s’écrire sous la forme suivante :
X (t k +1 ) = Φ ⋅ X (t k ) + ...
(6.3)
et la stabilité du système autour du point fixe XR peut être étudiée en traçant le lieu
des valeurs propres du polynôme caractéristique :
det (λ ⋅ 1 − Φ ) = 0
(6.4)
Si toutes les valeurs propres se trouvent à l’intérieur du cercle unité le point fixe est
attractif et la récurrence converge vers ce point. Le système est donc stable. Si les
valeurs propres sortent du cercle unité le point fixe est dit répulsif et le système est
instable.
On voit donc que, pour que le système soit stable il faut que les valeurs propres
vérifient la condition suivante :
λi < 1 , i = 1,..., n
(6.5)
Il faut remarquer que dans la majorité des cas la récurrence est non linéaire. Dans ce
cas, suivant [48], la stabilité du système autour du point de régime permanent peut
être établie en vérifiant la convergence vers le point fixe de la récurrence linaire
tangente dans ce point à la récurrence initiale.
Si la récurrence est non linéaire, les valeurs à l’instant tk+1 des n variables d’état du
système sont reliées à celles à l’instant tk par des relations de la forme suivante :
176
Chapitre 6 : Stabilité du fonctionnement en boucle fermée
 x1 (t k +1 ) = g1 [x1 (t k ), x2 (t k ),..., xn (t k )]
 x (t ) = g [x (t ), x (t ),..., x (t )]
 2 k +1
2 1 k
2 k
n k


 xn (t k +1 ) = g n [x1 (t k ), x2 (t k ),..., xn (t k )]
(6.6)
où g1,…,gn sont des fonctions non linéaires.
Le développement en série de ces fonctions nous permet d’écrire les relations (6.6)
de la forme suivante :
 x1 (t k +1 ) = a11 ⋅ x1 (t k ) + a12 ⋅ x2 (t k ) + ... + a1n ⋅ xn (t k )
 x (t ) = a ⋅ x (t ) + a ⋅ x (t ) + ... + a ⋅ x (t )
 2 k +1
21
1 k
22
2 k
2n
n k

M

 xn (t k +1 ) = an1 ⋅ x1 (t k ) + a n 2 ⋅ x2 (t k ) + ... + ann ⋅ xn (t k )
+ g1 [x1 (t k ), x2 (t k ),..., xn (t k )]
+ g 2 [x1 (t k ), x2 (t k ),..., xn (t k )]
(6.7)
+ g n [x1 (t k ), x2 (t k ),..., xn (t k )]
où les termes aij sont constants et les fonctions g1,…,gn ne contiennent que des
termes de degré au moins égal à 2 qu’on peut négliger et trouver ainsi la récurrence
linéaire tangente à la première. Cette récurrence peut donc s’écrire sous la forme
suivante :
∆X (t k +1 ) = Φ ⋅ ∆X (t k )
(6.8)
avec le vecteur d’état :
 ∆x1 (t k ) 


 ∆x2 (t k )
∆X (t k ) = 
M 


 ∆x (t )
 n k 
(6.9)
et la matrice de transition d’état donnée par :
 a11

a
Φ =  21
M

a
 n1
a12 K a1n 

a22 K a2 n 
M
M 

an 2 K ann 
(6.10)
L’étude des valeurs propre de la matrice de transition d’état Φ nous permet de
vérifier la stabilité du système autour du point de régime permanent XR.
Il faut préciser que ce critère vérifie la convergence de la récurrence par rapport au
point fixe mais ne donne aucune information relative à la taille du domaine
d’attractivité de ce point. Ce domaine représente l’intervalle centré sur le point fixe
caractérisé par le fait que si l’état initial du système se trouve à l’intérieur de cet
177
Chapitre 6 : Stabilité du fonctionnement en boucle fermée
intervalle alors l’état final va tendre vers le point fixe si celui-ci est attractif mais si a
un certain instant l’état sort de cet intervalle, alors le système peut devenir instable.
6.2 Modèle d’ordre zéro
Etant donnée la complexité des équations caractérisant le modèle détaillé il est
difficile d’effectuer l’étude de la stabilité du système sur la base de ce modèle. Il est
donc plus simple de se limiter d’abord à l’utilisation du modèle d’ordre zéro (qui en
plus fournit la valeur du point de régime permanent normal autour duquel on veut
vérifier la stabilité du système) et puis déterminer l’influence des ondulations dues à
la découpe MLI sur cette stabilité.
Nous commençons donc par étudier la stabilité du système en considérant que
seulement la sortie du modèle d’ordre zéro est renvoyée à l’entrée du régulateur de
courants. (Figure 6.1) :
X0(t)
-
Ycons
+
Régulateur
courants
Uref(tk)
Modèle
d’ordre
zéro
Modèle
d’écart
X(t) = X0(t) + Xε(t)
+
+
Xε(t)
Figure 6.1 Boucle de réglage des courants – rétroaction du modèle d’ordre zéro
Si les équations de transition d’état réduites à l’ordre zéro sont linéaires on vérifie si
toutes les valeurs propres de la matrice de transition d’état se trouvent à l’intérieur
du cercle unité et si la récurrence est non linéaire on détermine d’abord la récurrence
linéaire tangente et puis on regarde les valeurs propres de la matrice de transition
d’état lui correspondant.
178
Chapitre 6 : Stabilité du fonctionnement en boucle fermée
6.2.1
Exemples d’application
6.2.1.1
Moteur à courant continu alimenté par hacheur
réversible en courant
Au paragraphe 4.2.1 nous avons trouvé les relations de récurrence correspondant au
modèle d’ordre zéro. Ces équations sont données par les relations (4.12) :
 0

U dc 
0
0
0

 X p (t k +1 ) = Φ p u a _ ref (t k ) ⋅ X p (t k ) + Γp u a _ ref (t k ), 
 Ea 



0
u a _ ref (t k +1 ) = 0 0 − K p ⋅ X p (t k ) + K p ⋅ ia _ cons (t k )
[
]
(
)
Le vecteur des variables d’état de la partie de puissance du système est le suivant :
 is0 (t k ) 


X (t k ) =  u 0 (t k )
 i 0 (t ) 
 a k 
0
p
et la matrice de transition d’état est donnée par :
[
]
{ [
]
Φ 0p ua _ ref (t k ) = exp A0p ua _ ref (t k ) ⋅ TPWM
}
Le vecteur Γ0p est le suivant :

Γp0 ua _ ref (tk ),

 U dc  

  = Ap0 ua _ ref (tk )
 Ea  
{ [
]}
−1
U 
⋅ exp Ap0 ua _ ref (tk ) ⋅ TPWM − 1 ⋅ B p ⋅  dc 
 Ea 
{ [
]
}
Dans ces expressions la matrice dynamique de la partie de puissance A0p est la
suivante :
[
]
Ap0 ua _ ref (tk )
 − Rf

 Lf
 1
=
 Cf

 0


−1
Lf
0
ua _ ref (tk )
La ⋅ U dc



− ua _ ref (tk ) 

C f ⋅ U dc 

− Ra


La

0
et celle des sources est donnée par :
179
Chapitre 6 : Stabilité du fonctionnement en boucle fermée
 1

 Lf
Bp =  0

 0



0 

0 
−1

La 

Etant donné que la relation de récurrence est non linéaire, nous devons déterminer la
récurrence linéaire tangente à celle-ci dans le point fixe correspondant au point de
régime permanent et étudier la convergence par rapport à ce point.
Le point de régime permanent peut être déterminé à partir des relations suivantes :
 0

U dc 
−1
0
0

 X p _ R = 1 − Φ p ua _ ref _ R ⋅ Γp ua _ ref _ R , 
 Ea  



0
ua _ ref _ R = 0 0 − K p ⋅ X p _ R + K p ⋅ ia _ cons _ R
[
{
]}
(
(6.11)
)
et comme ce sont des relations non linéaires leur résolution doit se faire de manière
numérique. Cependant, nous pouvons aussi imposer la valeur de la tension de
référence ua_ref, déterminer la valeur de la consigne de courant ia_cons_R qui lui
corresponde et puis calculer la valeur du point de régime permanent.
Pour trouver la récurrence linéaire tangente à la récurrence initiale on introduit les
relations suivantes :
X 0p (t k ) = X 0p _ R + ∆X p0 (t k )
(6.12)
et :
ua _ ref (tk ) = ua _ ref _ R + ∆ua _ ref (tk )
(6.13)
dans les relations de transition d’état (4.12) et on développe au premier ordre la
fonction exponentielle suivante :
{ [
]
}
[
]
exp A0p ∆ua _ ref (tk ) ⋅ TPWM ≅ 1 + Ap0 ∆ua _ ref (tk ) ⋅ TPWM
(6.14)
Simplification par l’élimination de la dynamique du générateur
Si la dynamique du générateur peut être négligée, la relation de récurrence est
linéaire. Elle est donnée par les relations (4.18) :
 ia0 (tk +1 ) 

 = Φ 0BF
u

 a _ ref (tk +1 )
180
 i 0 (t ) 
0
⋅  a k  + Λ0BF ⋅ ia _ cons (tk ) + ΓBF
[Ea ]
 ua _ ref (tk )
Chapitre 6 : Stabilité du fonctionnement en boucle fermée
avec :
 Φ0
Φ 0BF =  i
− K p
Ψi0 

0 
la matrice de transition d’état en boucle fermée.
L’étude des valeurs propres de la matrice de transition d’état permet d’étudier la
stabilité autour du point de régime permanent :
 ia0 _ R 

 = I 2 − Φ 0BF
u

 a _ ref _ R 
[
6.2.1.2
] ⋅ {Λ
−1
0
BF
}
0
⋅ ia _ cons _ R + ΓBF
[Ea ]
(6.15)
Moteur synchrone à aimants permanents alimenté
par onduleur MLI de tension (dynamique du
générateur éliminée)
Considérons de nouveau le système à moteur synchrone alimenté par onduleur MLI
de tension. Au paragraphe 3.5 du Chapitre 1 nous avons montré que pour ce type de
système on peut définir un point de régime permanent normal si on considère les
équations de transition d’état réduites à l’ordre zéro et ceci seulement au niveau des
variables équivalentes de Park car elles ont des valeurs constantes en régime
permanent, les variables abc étant sinusoïdales.
A cause de la complexité des calculs liés à la linéarisation de la récurrence autour du
point de régime permanent nous allons nous mettre directement dans le cas plus
simple ou la dynamique du filtre d’entrée peut être négligée.
Dans ces conditions les équations de transition d’état correspondant au modèle
d’ordre zéro du système en boucle fermée sont celles données par les relations
(4.69) :
 id0 (t k + 1 ) 
 id0 (t k ) 
 0

 0

iq (t k ) 
 iq (t k + 1 ) 
dq _ 0 
 + Λ BF
u
 = Φ BF ⋅  u
 d _ ref (t k + 1 )
 d _ ref (t k )
u

u

 q _ ref (t k + 1 ) 
 q _ ref (t k ) 
 id _ cons (t k )
dq _ 0
 + ΓBF
⋅ 

 iq _ cons (t k ) 
avec :
 Φ dq _ 0
_0
Φ dq
=  i
BF
 Θr
Ψidq _ 0 

0 
la matrice de transition d’état et les vecteurs ΛBF et ΓBF donnés par :
181
Chapitre 6 : Stabilité du fonctionnement en boucle fermée
 0 
Λ BF =  
 Λr 
et par :
 Γ dq _ 0 [E0 ]
dq _ 0

ΓBF
=  i

 Γr

Dans ces expressions nous avons pris pour la partie de puissance les matrices
données par les relations (4.76), (4.77) et
(4.78) respectivement :
 −T 
Φ idq _ 0 = exp MLI  ⋅ P − 1 [ω ⋅ TMLI ]
 τ 
Ψidq _ 0 =
1
Rs

 −T
⋅ 1 − exp MLI
 τ

Γidq _ 0 [E0 ] =
3 E0
⋅
2 Z
 −1
 ⋅ P [ω ⋅ TMLI ]

 − sin (ϕ ) 
 − T   − sin (ω ⋅ TMLI + ϕ )  
 − exp MLI  ⋅ 
 
⋅ 
cos
(
)
−
ϕ
 τ   − cos(ω ⋅ TMLI + ϕ ) 


Pour la partie de commande les matrices sont les suivantes :
 Rs − K p
Θ r = 
 + Ls ⋅ ω
− Ls ⋅ ω 

Rs − K p 
Λr = K p ⋅ I2
0



Γr = 
ω
K
−
⋅
Φ 

L’étude des valeurs propres de la matrice de transition d’état ΦBF permet de vérifier
la stabilité du système autour du point de régime permanent qui est caractérisé par
les relations suivantes :
 id0 _ R 
 0

 iq _ R 
dq _ 0
u
 = I 4 − Φ BF
 d _ ref _ R 
u

 q _ ref _ R 
[
avec :
182
]
−1

⋅  Λ BF


 id _ cons _ R 
dq _ 0
 + ΓBF
⋅ 


 iq _ cons _ R 

(6.16)
Chapitre 6 : Stabilité du fonctionnement en boucle fermée
1

0
Ι4 = 
0

0

0 0 0

1 0 0
0 1 0

0 0 1 
(6.17)
la matrice unité de rang 4.
La Figure 6.2 illustre l’évolution des valeurs propres de la matrice de transition
d’état du système pour une variation de la valeur du gain du régulateur de courant Kp
de 1 à la valeur limite Kp_lim qui vaut 4.14.
gain Kp
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figure 6.2 Evolution des valeurs propres de la matrice de transition d’état en
fonction de la valeur du gain du régulateur de courants
Pour les paramètres considérés et la valeur limite du gain, les relations (6.16)
fournissent les valeurs suivantes pour le point de régime permanent :
 id _ R   9.826 

 

 id _ R   - 14.826 
=
 u   - 4.536 
 d_R  

 u q _ R  169.809


 
(6.18)
183
Chapitre 6 : Stabilité du fonctionnement en boucle fermée
6.3 Influence des ondulations dues à la découpe
MLI sur la stabilité du système
En considérant qu’on ne renvoyait à l’entrée du régulateur que la sortie du modèle
d’ordre zéro nous avons pu déterminer si le système est stable autour d’un point de
régime permanent normal, mais ceci seulement sous l’effet de sa dynamique
principale.
Nous devons cependant vérifier si le système reste stable lorsque les ondulations
provoquées par la découpe MLI sont prises aussi en compte. Ce problème doit être
considéré car, une fois renvoyées à l’entrée du régulateur (Figure 6.3), ces
ondulations peuvent perturber le fonctionnement du système et dans certaines
conditions, elles peuvent même induire des instabilités.
X(t)
-
Ycons
+
Régulateur
courants
Uref(tk)
Modèle
d’ordre
zéro
Modèle
d’écart
X0(t)
X(t) = X0(t) + Xε(t)
+
+
Xε(t)
Figure 6.3 Boucle de réglage des courants – modèle d’ordre h
Nous allons déterminer dans ce paragraphe quel est l’effet sur la stabilité du
système, de la rétroaction de la sortie du modèle d’ordre h , par rapport à la situation
ou seulement la sortie du modèle d’ordre zéro agit sur l’entré des régulateurs.
Considérons d’abord la situation de la Figure 6.1 ou à l’entrée du régulateur est
renvoyé seulement la sortie du modèle d’ordre zéro et supposons que le système se
trouve au point de régime permanent. L’état du système est caractérisé par une
valeur XR que nous retrouvons à la sortie du modèle d’ordre zéro. A cet état
correspond des valeurs de régime ul_ref_R des ondes de référence ul_ref(tk) :
u l _ ref (t k ) = u l _ ref _ R
Considérons maintenant le cas où à l’entrée du régulateur est envoyé non seulement
la sortie du modèle d’ordre zéro mais aussi celle du modèle d’écart (situation
représentée à la Figure 6.3). Dans ce cas dans les valeurs des références ul_ref(tk) va
apparaître un écart ∆ul_ref(tk) par rapport à la situation précédente :
u l _ ref (t k ) = u l _ ref _ R + ∆u l _ ref (t k )
184
(6.19)
Chapitre 6 : Stabilité du fonctionnement en boucle fermée
Cet écart va évidemment perturber la sortie du modèle d’ordre zéro et aussi celui
d’écart d’ordre h.
A la sortie du modèle d’ordre zéro nous allons trouver un écart par rapport à la
valeur de régime :
∆X 0 (t k +1 ) = X 0 (t k +1 ) − X R
(6.20)
dont la valeur est fournie par les équations de transition d’état caractérisent son
évolution. Ces équations peuvent être déterminées facilement sur la base des
équations de transition d’état du modèle d’ordre zéro.
Pour évaluer l’écart total par rapport à la valeur de régime permanent XR nous
devons ajouter à l’écart ∆X0(tk+1) la valeur en tk+1 du vecteur Xεh qui est fournie par
le modèle d’écart d’ordre h .
Considérons le cas d’un système dont la dynamique du générateur peut être négligée
et dont le convertisseur possède un seul port d’entrée (c’est le cas des deux exemples
que nous avons considérés tout au long de ce travail) et dont les équations
d’évolution du modèle détaillé ont la forme suivante :
•
X i (t ) = Ai ⋅ X i (t ) + B i ⋅ S i (t ) + G i ⋅ H i [ f l (t ) ] ⋅ U dc
(6.21)
Nous avons vu que pour ce type de système les équations d’évolution du modèle
d’ordre zéro sont les suivantes :
[ ]
•
X i (t ) = Ai ⋅ X i (t ) + B i ⋅ S i (t ) + G i ⋅ H i Fl 0 ⋅ U dc
(6.22)
et celles du modèle d’écart d’ordre h ont la forme suivante :
•
[
]
X i (t ) = Ai ⋅ X i (t ) + G i ⋅ H i Fl h (t ) ⋅ U dc
(6.23)
L’intégration de ces équations différentielles sur la période d’échantillonnage fournit
des équations de transition d’état de la forme suivante :
X i0 (t k +1 ) = Φ i0 ⋅ X i0 (t k ) + Γi0 [ S i ] + Ψi0 ⋅ U ref (t k )
(6.24)
pour le modèle d’ordre zéro et de la forme suivante :
[
X iεh (t k +1 ) = Φ i0 ⋅ X iεh (t k ) + Ψiεh U ref (t k ), U u
]
(6.25)
pour celui d’écart d’ordre h.
185
Chapitre 6 : Stabilité du fonctionnement en boucle fermée
Sur la base de (6.24) on peut exprimer les équations de transition d’état fournissant
le terme ∆X0(tk+1) :
∆X i0 (t k +1 ) = Φ i0 ⋅ ∆X i0 (t k ) + Γi0 [ S i ] + Ψi0 ⋅ ∆U ref (t k )
(6.26)
Pour obtenir la valeur du vecteur Xεh à l’instant tk+1 il suffit d’introduire dans les
équations (6.25) les valeurs des ondes de référence par les valeurs données par les
relations (6.19). Nous obtenons :
[
X iεh (t k +1 ) = Φ i0 ⋅ X iεh (t k ) + Ψiεh U ref _ R + ∆U ref (t k ), U dc
]
(6.27)
Nous allons voir plus loin que cette relation peut être ramenée à la forme suivante :
[
]
[
X iε h(t k +1 ) = Φ i0 ⋅ X iεh (t k ) + Ψiεh U ref _ R , U dc ⋅ ∆U ref (t k ) + Γiεh U ref _ R , U dc
]
(6.28)
Finalement, l’écart total induit dans l’état du système par rapport à la valeur de
régime permanent XR est donnée par :
∆X (t k +1 ) = ∆X 0 (t k +1 ) + X ε 2 (t k +1 )
(6.29)
En tenant compte de (6.26) et de (6.28) nous trouvons les équations de transition
d’état caractérisant l’écart par rapport au point de régime permanent :
[
]
[
]
[
∆X i (t k +1 ) = Φ i0 ⋅ ∆X i (t k ) + Ψi∆ U ref _ R U u ⋅ ∆U ref (t k ) + Γi∆ U ref _ R , U u , S i
]
(6.30)
avec :
[
]
Ψi∆ U ref _ R U u = Ψi0 [ U u ] + Ψiεh U ref _ R U u
[
]
[
]
Γi∆ U ref _ R , U u , S i = Γiεh U ref _ R , U u + Γi0 [ S i ]
(6.31)
(6.32)
En associant aux équations de transition d’état (6.30) celles relatives à la partie de
régulation, nous pouvons obtenir les équations de transition d’état correspondant au
système en boucle fermée. L’étude des valeurs propres de la matrice de transition
d’état ainsi obtenue permet d’étudier l’influence des ondulations dues à la découpe
MLI sur la stabilité du système autour du point de régime permanent.
186
Chapitre 6 : Stabilité du fonctionnement en boucle fermée
6.3.1
Exemples d’application
6.3.1.1
Moteur à courant continu alimenté par hacheur
réversible en courant (dynamique du
générateur éliminée)
i
T11
D11
+
La
ia
u
Udc
T12
+
D12
f(t)
Modulateur
MLI
Ra
KΦ.ω
ua
ia_ mes
ua_ ref
Régulateur
de courant
ia_ cons
Figure 6.4 Système à moteur à courant continu alimenté par hacheur réversible en
courant
Les équations de transition d’état réduites à l’ordre zéro de la partie de puissance
sont celles données par (4.14) :
ia0 (t k +1 ) = Φ 0i ⋅ ia0 (t k ) + Ψi0 ⋅ u a _ ref (t k ) + Γi0 [E a ]
avec:
 T 
Φ 0i = exp − MLI 
 τ 
Ψi0 =
1
Ra
Γi0 [Ea ] =

 T
⋅ 1 − exp − MLI
 τ




−1 
 T
⋅ 1 − exp − MLI
Ra 
 τ

 ⋅ Ea

tandis que celles correspondant au modèle d’écart d’ordre 1 sont celles données par
(5.20) :
[
iaε 1 (t k +1 ) = Φ 0i ⋅ iaε 1 (t k ) + Ψiε 1 u a _ ref (t k ),U dc
]
187
Chapitre 6 : Stabilité du fonctionnement en boucle fermée
avec :

 T
Ψiε 1 u a _ ref (t k ),U dc = I ε 1 ⋅ cos ϕ ε 1 ⋅ 1 − exp − MLI
 τ

[
]
( )



où :
I ε1 =
 π

2 ⋅ U dc 1
⋅
⋅ sin 
⋅ u a _ ref (t k )
π ⋅ La Z ε 1
U dc

Z ε 1 = Ra2 + (ω MLI ⋅ La )
2
ω ⋅L 
ϕ ε 1 = a tan MLI a 
 Ra 
Supposons que le système fonctionne en régime permanent, le point de régime étant
facilement calculable sur la base des relations de transition d’état du systeme en
boucle fermée (modèle d’ordre zéro) (4.18) :
 ia0 (t k +1 ) 

 = Φ 0BF
u

 a _ ref (t k +1 )
 i 0 (t ) 
0
⋅  a k  + Λ0BF ⋅ ia _ cons (t k ) + ΓBF
[E a ]
 u a _ ref (t k )
où la matrice de transition d’état est la suivante :
 Φ0
Φ 0BF =  i
− K p
Ψi0 

0 
Nous trouvons ainsi pour le point de régime permanent :
 ia0 _ R  
 Φ0

 = I 2 −  i
u

− K
p
 a _ ref _ R  

−1
Ψi0 
0
 ⋅ ΓBF
[Ea ] + Λ0BF ⋅ ia _ cons _ R
0 
{
}
(6.33)
L’application à l’entrée du régulateur de courant de la sortie du modèle d’écart,
induit sur la reference de tension ua_ref(tk) un écart ∆ua_ref(tk) par rapport à la valeur
ua_ref_R(tk) obtenuè si seulement la sortie du modèle d’ordre zéro est retroactée à
l’entrée du régulateur. Nous pouvons donc écrire :
u a _ ref (t k ) = u a _ ref _ R + ∆u a _ ref (t k )
(6.34)
Il est évident que ce terme d’écart de la référence ∆ua_ref(tk) va affecter la sortie du
modèle d’ordre zéro en induisant un écart ∆ia0(tk) par rapport à la valeur de régime
permanent ia0_R définie par la relation (6.33). Nous trouvons facilement l’équation
de transition d’état caractérisant l’évolution de cet écart :
188
Chapitre 6 : Stabilité du fonctionnement en boucle fermée
∆ia0 (t k +1 ) = Φ 0i ⋅ ∆ia0 (t k ) + Ψi0 ⋅ ∆u a _ ref (t k ) + Γi0 [E a ]
(6.35)
Pour déterminer l’effet de cet écart sur la sortie du modèle d’écart d’ordre 1 il faut
introduire l’expression de l’onde de référence donnée par
(6.34) dans l’équation
de transition d’état (5.20). Nous trouvons des lors :
[
iaε 1 (t k +1 ) = Φ i0 ⋅ iaε 1 (t k ) + Ψiε 1 u a _ ref _ R , ∆u a _ ref (t k ), U dc
]
(6.36)
avec:
[
]
Ψiε 1 u a _ ref _ R , ∆u a _ ref (t k ), U dc =
( ) ⋅ 1 − exp − Tτ
2 ⋅ U dc 1
⋅
⋅ cos ϕ ε 1
π ⋅ La Z ε 1
MLI





(6.37)
 π

⋅ sin 
⋅ u a _ ref _ R + ∆u a _ ref (t k ) 
U
 dc

[
]
En développant cette expression en série et en tenant compte que la composante
∆ua_ref est petite nous pouvons effectuer les approximations suivantes :
  π
 π
⋅ ∆u a _ ref (t k ) ≅
⋅ ∆u a _ ref (t k )
sin 
U
  dc
 U dc


cos π ⋅ ∆u
a _ ref (t k ) ≅ 1
 U

  dc
(6.38)
ce qui nous permet de réécrire l’équation de transition d’état (6.36) de la forme
suivante :
[
]
[
iaε 1 (t k +1 ) = Φ i0 ⋅ iaε 1 (t k ) + Ψiε 1 u a _ ref (t k ),U dc ⋅ ∆u a _ ref (t k ) + Γiε 1 u a _ ref (t k ),U dc
]
(6.39)
avec :
[
]
 π
 1

2
 T
⋅ cos
⋅ u a _ ref _ R  ⋅ ε 1 ⋅ cos(ϕ ε 1 )⋅ 1 − exp − MLI
La
 τ

U dc
 Z
[
]
 π
 1
2 ⋅ U dc

 T
⋅ sin 
⋅ u a _ ref (t k ) ⋅ ε 1 ⋅ cos(ϕ ε 1 )⋅ 1 − exp − MLI
π ⋅ La
 τ

U dc
 Z
Ψiε 1 u a _ ref _ R ,U dc =



(6.40)
et :
Γiε 1 u a _ ref (t k ),U dc =



(6.41)
Nous pouvons des lors exprimer l’écart total introduit par la rétroaction du modèle
d’ordre 1 par rapport à la valeur de régime fournie par le modèle d’ordre zéro :
189
Chapitre 6 : Stabilité du fonctionnement en boucle fermée
∆ia (t k ) = ∆ia0 (t k ) + iaε 1 (t k )
(6.42)
L’équation de transition fournissant cette valeur peut s’écrire comme suit :
[
]
[
]
∆i a (t k +1 ) = Φ i0 ⋅ ∆i a (t k ) + Ψi∆ u a _ ref (t k ), U dc ⋅ ∆u a _ ref (t k ) + Γi0 [E a ] + Γi∆ u a _ ref (t k ), U dc , E a (6.43)
avec :
[
]
[
Ψi∆ u a _ ref (t k ),U dc = Ψi0 + Ψiε 1 u a _ ref (t k ),U dc
]
(6.44)
et :
[
]
[
Γi∆ u a _ ref (t k ), U dc , E a = Γi0 [E a ] + Γiε 1 u a _ ref (t k ), U dc
]
(6.45)
L’étude de l’influence des ondulations dues à la découpe MLI sur la stabilité du
système en boucle fermée peut se faire en étudiant les valeurs propres de la matrice
de transition d’état en boucle fermée des équations de transition d’état suivantes :
 ∆ia (t k +1 ) 
 ∆ia (t k ) 
∆

 = Φ ∆BF u a _ ref (t k ) ⋅ 
 + ΓBF
u a _ ref (t k )
 ∆u

 ∆u

(
)
(
)
t
t
 a _ ref k +1 
 a _ ref k 
[
]
[
]
(6.46)
où on a noté :
 Φ0
Φ ∆BF u a _ ref (t k ) =  i
− K p
[
]
[
]
Ψi∆ u a _ ref (t k ),U dc 


0

(6.47)
et :
[
Γ∆ u
(t ), U dc , E a
∆
u a _ ref (t k ) =  i a _ ref k
ΓBF
0

[
]
]


(6.48)
Nous pouvons observer que la seule différence par rapport à la matrice de transition
d’état du modèle d’ordre zéro est l’apparition de la matrice Ψiε1.
190
Chapitre 6 : Stabilité du fonctionnement en boucle fermée
6.3.1.2
Moteur synchrone à aimants permanents alimenté par
onduleur MLI de tension (dynamique du
générateur éliminée)
i
ua
K11
K21
K31
+
u
Udc
ia
L
~
ib
uaM
ea
R
~
ic
~
K12
K22
K32
ia, ib
fa, fb, fc
Modulateur
MLI
U ref
Régulateur
id iq
idq_ cons
Figure 6.5 Système à moteur à synchrone à aimants permanents alimenté par
onduleur MLI de tension
Les équations de transition d’état réduites à l’ordre zéro de la partie de puissance
sont celles données par (4.75) :
 id0 (t k +1 )
 i 0 (t )
dq _ 0
dq
 0

(t k ) + Γidq _ 0 [E0 ]
⋅  d0 k  + Ψidq _ 0 ⋅ U ref
 i (t ) = Φ i
(
)
i
t
q
k
+
1
q
k




avec :
 −T 
Φ idq _ 0 = exp MLI  ⋅ P −1 [ω ⋅ TMLI ]
 τ 
Ψidq _ 0 =
1
Rs
Γidq _ 0 [E 0 ] =

 − T 
⋅ 1 − exp MLI  ⋅ P −1 [ω ⋅ TMLI ]
 τ 

3 E 0  − sin (ϕ ) 
 T   − sin (ω ⋅ TMLI + ϕ )  
 − exp − MLI  ⋅ 
⋅
⋅ 
 
2 Z  − cos(ϕ )
 τ   − cos(ω ⋅ TMLI + ϕ ) 
ou :
Z = Rs2 + (ω ⋅ Ls )
2
191
Chapitre 6 : Stabilité du fonctionnement en boucle fermée
 ω ⋅ Ls
ϕ = a tan
 Rs



Les équations de transition d’état correspondant au modèle d’écart d’ordre 2 de la
partie de puissance sont celles données par (5.54) :
 i dε 2 (t k +1 )
dq _ ε 2
 ε2

 i (t ) = Φ i
 q k +1 
 i ε 2 (t )
abc
(t k )
⋅  dε 2 k  + Γidq _ ε 2 θ (t k +1 ), U ref
 i q (t k )
[
]
avec :
 −T 
Φ idq _ ε 2 = Φ idq _ 0 = exp MLI  ⋅ P −1 [ω ⋅ TMLI ]
 τ 
et :
abc
(t k ), θ (t k +1 ), U dc =
Γiabc _ ε 2 U ref
U dc 
 T
⋅ 1 − exp − MLI
π 
τ

2
 −1
abc
(t k ) ⋅ cos ϕ ε 1
 ⋅ P23 [θ (t k +1 )] ⋅ ε 1 ⋅ W1 U ref
Z

−
U dc 
 T
⋅ 1 − exp − MLI
π 
τ

1
 −1
abc
ε2
 ⋅ P23 [θ (t k +1 )] ⋅ ε 2 ⋅ W3 U ref (t k ) ⋅ cos ϕ
Z

[
]
[
[
]
]
( )
( )
Supposons que le système fonctionne en régime permanent, le point de régime etant
facilement calculable sur la base des relations de transition d’état du système en
boucle fermée (modèle d’ordre zéro) (4.69) :
 id0 (t k +1 ) 
 id0 (t k +1 ) 
 0

 0

 id _ cons (t k )
id (t k +1 ) 
 id (t k +1 ) 
dq _ 0 
dq _ 0
 + ΓBF
= Φ BF ⋅ 
+ ΛdqBF_ 0 ⋅ 

u


i
(
t
)
(
t
)
u
(
t
)
q
_
cons
k
d
_
ref
k
1
d
_
ref
k
1
+
+






u

u

 q _ ref (t k +1 ) 
 q _ ref (t k +1 ) 
où :
 Φidq _ 0
Ψidq _ 0 
_0

Φ dq
= 
BF
0 
 Θr [ω (tk )]
0
_0
Λdq
=  
BF
 Λr 
 Γ dq _ 0 [E0 ]
dq _ 0

ΓBF
=  i

 Γr

avec :
−T 
Φ idq _ 0 = exp MLI  ⋅ P −1 [ω ⋅ TMLI ]
 τ 
192
Chapitre 6 : Stabilité du fonctionnement en boucle fermée
1 
 − TMLI  −1
⋅ 1 − exp
 ⋅ P [ω ⋅ T MLI ]
Rs 
 τ 
3 E 0  − sin (ϕ ) 
 − T   − sin (ω ⋅ TMLI + ϕ ) 
 − exp MLI  ⋅ 

Γidq _ 0 [E 0 ] =
⋅
⋅ 
2 Z  − cos(ϕ )
 τ   − cos(ω ⋅ TMLI + ϕ )
Ψidq _ 0 =
Le point de régime permanent est donc celui donné par les relations (6.16) :
 id0 _ R 
 0

 iq _ R 
dq _ 0
u
 = 1 − Φ BF
 d _ ref _ R 
u

 q _ ref _ R 
[
]
−1

⋅ Λ BF


 id _ cons _ R 
dq _ 0
 + ΓBF
⋅ 


i
 q _ cons _ R 

Comme dans le cas précédent, l’application à l’entrée du régulateur des courants de
la sortie du modèle d’écart, induit sur les ondes de référence un écart par rapport aux
valeur obtenues si seulement la sortie du modèle d’ordre zéro est ramnenée à
l’entrée du régulateur. Nous pouvons donc écrire :
dq
U ref
(t k ) = U refdq _ R + ∆U refdq (t k )
(6.49)
Il est de même pour les composantes abc de ces tensions :
abc
U ref
(t k ) = U refabc_ R + ∆U refabc (t k )
(6.50)
Le terme d’écart des références ∆udqref(tk) va affecter la sortie du modèle d’ordre
zéro en induisant un écart ∆id0(tk) et ∆iq0(tk) par rapport à la valeur de régime
permanent id0_R et iq0_R définies par la relation (6.16).
Nous trouvons facilement les équations de transition d’état caractérisant l’évolution
de cet écart :
 ∆id0 (t k +1 )
 ∆i 0 (t )
dq _ 0
dq
 0

(t k ) + Γidq _ 0 [E0 ]
⋅  d0 k  + Ψidq _ 0 ⋅ ∆U ref
 ∆i (t ) = Φ i
(
)
∆
i
t
 q k +1 
 q k 
(6.51)
Pour déterminer l’effet de cet écart sur la sortie du modèle d’écart d’ordre 2 il faut
introduire l’expression des ondes de référence donnée par (6.50) dans les équations
de transition d’état (5.54).
Nous trouvons des lors :
 idε 2 (t k +1 )
 i ε 2 (t )
abc
abc
 ε2
 = Φ idq _ 0 ⋅  dε 2 k  + Γidq _ ε 2 U ref
_ R , ∆U ref (t k ),U dc
 i (t )
 i (t )
 q k +1 
q k 
[
]
avec:
193
Chapitre 6 : Stabilité du fonctionnement en boucle fermée
U dc 
2
 T 
abc
abc
ε1
⋅ 1 − exp − MLI  ⋅ P23−1 [θ (t k +1 )]⋅ ε 1 ⋅ W1 U ref
_ R + ∆U ref (t k ) ⋅ cos ϕ
π 
Z
 τ 
U 
1
 T 
abc
abc
ε2
− dc ⋅ 1 − exp − MLI  ⋅ P23−1 [θ (t k +1 )]⋅ ε 2 ⋅ W3 U ref
_ R + ∆U ref (t k ) ⋅ cos ϕ
π 
Z
 τ 
[
]
abc
(t k ), θ (t k +1 ), U dc =
Γidq _ ε 2 U ref
[
]
( )
[
]
( )
(6.52)
avec les vecteurs W1 et W3 qui sont donnés en accord avec (5.38) et (5.39) par les
relations suivantes :
[
]
abc
abc
W1 U ref
_ R + ∆U ref (t k )
[
  π

 cos 
⋅ u a _ ref _ R + ∆u a _ ref (t k )  
 U dc

 

π
=  cos 
⋅ u b _ ref _ R + ∆u b _ ref (t k )  
 U dc





π
 cos 
⋅ u c _ ref _ R + ∆u c _ ref (t k )  

U dc


]
abc
abc
W3 U ref
_ R + ∆U ref (t k )
[
]
[
]
[
]
 2 ⋅π

 sin 
⋅ u a _ ref _ R + ∆u a _ ref (t k )  
  U dc

 

2 ⋅π

= sin 
⋅ u b _ ref _ R + ∆u b _ ref (t k )  
  U dc

 


⋅
2
π
 sin 
⋅ u c _ ref _ R + ∆u c _ ref (t k )  


  U dc
[
]
[
]
[
]
(6.53)
(6.54)
En développant en série et en tenant compte que les termes ∆ul_ref sont petits, nous
pouvons effectuer les approximations suivantes :
  π
 π
⋅ ∆ul _ ref (t k ) ≅
⋅ ∆ul _ ref (t k )
sin 
U
  dc
 U dc


cos π ⋅ ∆u
l _ ref (t k ) ≅ 1
 U

  dc
(6.55)
ce qui nous permet de réécrire les vecteurs W1 et W3 de la forme suivante :
[
]
[
]
[
]
abc
abc
abc
W1 U ref
_ R + ∆U ref (t k ) = W1 U ref _ R −
[
]
π
abc
abc
⋅W2 U ref
_ R ⋅ ∆U ref (t k )
U dc
abc
abc
abc
W3 U ref
_ R + ∆U ref (t k ) = −W3 U ref _ R −
194
[
]
2π
abc
abc
⋅ W4 U ref
_ R ⋅ ∆U ref (t k )
U dc
[
]
Chapitre 6 : Stabilité du fonctionnement en boucle fermée
[
abc
W1 U ref
_R
[
abc
W2 U ref
_R
]
  π

 cos 
⋅ u a _ ref _ R  
 U dc

 

π
=  cos 
⋅ u b _ ref _ R  
 U dc

 

 cos  π ⋅ u c _ ref _ R  



 U dc
]
  π


 sin 

⋅ u a _ ref _ R 
0
0
 U dc




 π


=
⋅ u b _ ref _ R 
0
sin 
0


U
 dc





π


⋅
0
0
sin
u
c
_
ref
_
R




U dc


(6.56)
(6.57)
  2 ⋅π

 sin 
⋅ u a _ ref _ R  
U
  dc

  2 ⋅π

=  sin 
⋅ ub _ ref _ R  
  U dc

  2 ⋅π


 sin 

⋅
u
c
_
ref
_
R




  U dc
(6.58)
[
]
[
 2 ⋅π


 cos 

⋅ u a _ ref _ R 
0
0
  U dc




2 ⋅π


=
0
cos 
0
⋅ u b _ ref _ R 


 U dc


2⋅π


0
0
cos 
⋅ u c _ ref _ R  

 U dc


abc
W3 U ref
_R
abc
W4 U ref
_R
]
(6.59)
avec :
U
abc
ref _ R
 u a _ ref _ R 


=  ub _ ref _ R 
u

 c _ ref _ R 
(6.60)
dans ces conditions la matrice Γiabc_ε2 devient la suivante :
[
]
abc
(tk ), θ (tk +1 ),U dc =
Γidq _ ε 2 U ref
−

U dc 
2 
π
 T 
ε1
abc
abc
abc
⋅ 1 − exp − MLI  ⋅ P23−1 [θ (tk +1 )] ⋅ ε 1 ⋅ W1 U ref
⋅ W2 U ref
_R −
_ R ⋅ ∆U ref (t k ) ⋅ cos ϕ
Z 
U dc
π 
 τ 

[
]
[
]
( )
(6.61)

U dc 
1 
2π
 T 
abc
abc
abc
ε2
⋅ 1 − exp − MLI  ⋅ P23−1 [θ (tk +1 )] ⋅ ε 2 ⋅ − W3 U ref
⋅ W4 U ref
_R −
_ R ⋅ ∆U ref (t k ) ⋅ cos ϕ
π 
Z
U dc
 τ 


[
]
[
]
( )
où en regroupant les termes :
195
Chapitre 6 : Stabilité du fonctionnement en boucle fermée
[
]
abc
(t k ), θ (t k +1 ),U dc =
Γidq _ ε 2 U ref
U dc 
 T
⋅ 1 − exp − MLI
π 
 τ
(6.62)
1
 −1
 2
abc
abc
ε1
ε2 
 ⋅ P23 [θ (t k +1 )] ⋅  ε 1 ⋅ W1 U ref _ R ⋅ cos ϕ + ε 2 ⋅ W3 U ref _ R ⋅ cos ϕ 
Z

Z

[
]
[
( )
]
( )

1
 T 
 −1
abc
ε1
abc
ε2 
abc
+ 2 ⋅ 1 − exp − MLI  ⋅ P23−1 [θ (t k +1 )] ⋅  ε 1 ⋅ W2 U ref
+ ε 2 ⋅ W4 U ref
 ⋅ ∆U ref (tk )
_ R ⋅ cos ϕ
_ R ⋅ cos ϕ
Z
 τ 
Z


[
]
[
( )
]
( )
En tenant compte de cette expression, nous pouvons réécrire les équations de
transition d’état du modèle d’écart d’ordre 2 sous la forme suivante :
 i dε 2 (t k +1 )
 i ε 2 (t )
dq _ 0  d
abc
 ε2

(t k ), θ (t k +1 ) ⋅ ∆U refdq (t k ) + Γidq _ ε 2 U refabc (t k ), θ (t k +1 ),U dc
⋅  ε 2 k  + Ψidq _ ε 2 U ref
 i (t ) = Φ i
 q k +1 
 iq (t k )
[
]
[
(6.63)
]
avec:


abc
Ψidq _ ε 2 U ref
(t k ), θ (t k +1 ) = 2 ⋅ 1 − exp − TMLI  ⋅ P23−1 [θ (t k +1 )]
 τ 

 − cos ϕ ε 1

cos ϕ ε 2
abc
abc
⋅
⋅ W2 U ref
⋅ W4 U ref
_R +
_ R  ⋅ P23 [θ (t k )]
ε1
Z ε2
 Z

[
]
( )
[
( )
]
[
(6.64)
]
et:
[
]
abc
Γidq _ ε 2 U ref
(tk ), θ (tk +1 ),U dc =
U dc 
 T 
⋅ 1 − exp − MLI  ⋅ P23−1[θ (tk +1 )]
π 
 τ 
( ) [
(6.65)
( ) [
 2 ⋅ cos ϕ ε 1

cos ϕ ε 2
abc
abc
⋅
⋅ W1 U ref
⋅ W3 U ref
_R +
_R 
ε1
Z
Zε2


]
]
Nous pouvons dès lors exprimer l’écart total introduit par la rétroaction du modèle
d’ordre 2 par rapport à la valeur de régime fournie par le modèle d’ordre zéro :
 ∆id (t k +1 )  ∆id0 (t k +1 )  idε 2 (t k +1 )

 
 

 ∆i (t ) =  ∆i 0 (t ) +  i ε 2 (t )
 q k +1   q k +1   q k +1 
(6.66)
L’équation de transition fournissant cette valeur peut s’écrire comme suit :
 ∆i d (t k +1 )
 ∆i (t )
dq _ 0 
abc


(t k ), θ (t k +1 ) ⋅ ∆u a _ ref (t k ) + Γidq _ ∆ U refabc (t k ), θ (t k +1 ), U dc , E 0
⋅  d k  + Ψidq _ ∆ U ref
 ∆i (t ) = Φ i
 q k +1 
 ∆i q (t k )
[
]
[
]
(6.67)
avec :
[
]
[
]
abc
Ψidq _ ∆ U ref
(t k ), θ (t k +1 ) = Ψi0 + Ψidq _ ε 2 U refabc (t k ), θ (t k +1 )
(6.68)
et :
[
]
[
abc
Γidq _ ∆ U ref
(t k ), θ (t k +1 ), U dc , E 0 = Γidq _ 0 [E 0 ] + Γidq _ ε 2 U refabc (t k ), θ (t k +1 ), U dc
196
]
(6.69)
Chapitre 6 : Stabilité du fonctionnement en boucle fermée
Pour trouver les équations de transition d’état du système en boucle fermée on doit
associer aux équations (6.67) les relations qui donnent les valeurs des tensions de
commande ∆ud_ref et ∆uq_ref à l’instant tk+1.
Reprenons donc, les équations (3.76) relatives à la partie de commande et
régulation :
 u d _ ref (t k +1 )
 id (t k )
 id _ cons (t k )






 u q _ ref (t k +1 )  = Θ r ⋅  iq (t k )  + Λ r ⋅  iq _ cons (t k )  + Γr






avec :
 Rs − K p
Θ r = 
 + Ls ⋅ ω
− Ls ⋅ ω 

Rs − K p 
Λr = K p ⋅ I2
0



Γr = 
ω
K
−
⋅
Φ 

En remplaçant le vecteur contenant les valeurs des courants à l’instant tk par :
 id (t k )  id _ R (t k )  ∆id (t k )
 


 
 i (t )  =  i (t )  +  ∆i (t )
 q k   q_r k   q k 
(6.70)
et en écrivant que :
 u d _ ref (t k )  u d _ ref _ R   ∆u d _ ref (t k )

 
 

 u q _ ref (t k )  =  u q _ ref _ R  +  ∆u q _ ref (t k ) 

 
 

avec :
(t )
 u d0 _ ref (t k +1 )
 i 0 (t )
i
 0
 = Θ r ⋅  d0 k  + Λ r ⋅  d _ cons k  + Γr


u



i
(
 q _ cons t k ) 
 q _ ref (t k +1 ) 
 iq (t k )
(6.71)
les équations relatives à la partie de commande correspondant au modèle d’ordre
zéro (qui fournit les valeurs des ondes de référence en régime permanent), nous
pouvons trouver facilement les équations de commande correspondant au modèle
d’écart.
Ces équations sont les suivantes :
197
Chapitre 6 : Stabilité du fonctionnement en boucle fermée
 ∆u d _ ref (t k )
 ∆i (t )

 = Θr ⋅ d k 
 ∆u

 ∆i (t )
 q _ ref (t k ) 
 q k 
(6.72)
et leur association aux équations (6.67) fournit les équations de transition d’état du
système en boucle fermée qui sont les suivantes :
 idε 2 (t k +1 ) 
 idε 2 (t k ) 
 ε2

 ε2

 iq (t k +1 ) 
 iq (t k ) 
dq _ ∆
dq _ 0
dq _ ∆
dq _ 0
 ∆u
 = Φ BF U ref (t k ) ⋅  ∆u
 + ΓBF U ref (t k )
 d _ ref (t k +1 )
 d _ ref (t k )
 ∆u

 ∆u

 q _ ref (t k +1 ) 
 q _ ref (t k ) 
[
]
[
]
(6.73)
Dans ces expressions la matrice de transition d’état en boucle fermée est donnée
par :
 Φidq _ 0
_ε2
dq _ 0

(
)
Φ dq
U
t
=
BF
ref
k
 Θ
 r
[
]
[
]
abc
Ψidq _ ∆ U ref
(tk ), θ (tk +1 ) 

02× 2

( 6.74)
et le vecteur ΓBFdq_∆ est le suivant :
[
abc
 Γ dq _ ∆ U ref
(tk ), θ (tk +1 ),U dc
dq _ ∆
dq _ 0
(tk ) =  i
ΓBF
U ref
02

[
]
]


(6.75)
Les racines du polynôme caractéristique de la matrice de transition d’état en boucle
fermée ΦBFdq_∆ permettent d’étudier l’effet des ondulations dues à la découpe MLI
sur la stabilité du système autour du point de régime permanent fournit par le
modèle d’ordre zéro.
Nous pouvons observer l’apparition dans cette matrice d’un terme supplémentaire
par rapport à la matrice de transition d’état du modèle d’ordre zéro. Ce terme est
donné par l’expression 6.62. On peut voir qu’il dépend des déphasages introduits par
l’impédance statorique de la machine entre les harmoniques de tension et de courant.
La Figure 6.6 montre l’évolution des valeurs propres en fonction de la position
rotorique pour la valeur limite du gain obtenu par le modèle d’ordre zéro :
198
Chapitre 6 : Stabilité du fonctionnement en boucle fermée
0.9745
0.517
0.9745
0.517
0.9745
0.517
0.9745
0.9745
0.517
0.9745
0.517
0.9745
0.517
0.9745
0.517
0.9745
0.9745
-0.0128
0.517
-0.0128
-0.0128
-0.0128
-0.0128
-0.0128
-0.0128
0.517
0.845
0.845
0.845
0.845
0.845
0.845
0.845
0.845
0.845
0.845
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figure 6.6 Evolution des valeurs propres de la matrice de transition d’état modèle
d’écart d’ordre 2
Sur la Figure 6.7 on peut voir l’évolution en fonction de la position de la machine,
du module maximal des valeurs propres. On peut observer que pour toutes les
valeurs de la position le module reste inférieur à 1 donc le système reste stable sous
l’effet des ondulations dues à la découpe MLI.
gain Kp
0.9906
0.9906
0.9906
0.9906
0.9906
0.9906
0.9906
0.9906
0.9906
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Figure 6.7 Evolution du module maximal des valeurs propres en fonction de la
position de la machine
199
Chapitre 6 : Stabilité du fonctionnement en boucle fermée
Pour rendre perceptible l’effet de la découpe MLI sur la stabilité, il faut supposer
que la résistance statorique Rs a une valeur nettement supérieure à celle qu’on trouve
normalement.
Pour une valeur de la résistance statorique de Rs = 55*0.25 = 13.7Ω la Figure 6.8
montre l’évolution des valeurs propres de la matrice de transition d’état du système
(modèle d’ordre zéro) pour une variation de la valeur du gain du régulateur de
courant Kp de 1 à la valeur limite qui, pour ces nouveaux paramètres est trouvée
égale à Kp_lim = 24.5 :
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figure 6.8 Evolution des valeurs propres de la matrice de transition d’état du
modèle d’ordre zéro
La Figure 6.7 représente l’évolution, pour le gain limite, des valeurs propres de la
matrice de transition d’état du système du modèle d’écart d’ordre 2 :
A la Figure 6.10 nous avons représenté l’évolution du module maximal des valeurs
propres de la matrice de transition d’état en boucle fermée du modèle d’écart d’ordre
2 en fonction de la position de la machine. On peut observer que sous l’effet des
ondulations dues à la découpe MLI le module devient cette fois supérieur à 1 pour
certaines valeurs de la position.
200
Chapitre 6 : Stabilité du fonctionnement en boucle fermée
0.965
0.94
0.96
0.935
0.93
0.955
0.925
0.95
0.92
0.945
0.915
0.94
0.91
0.935
0.905
0.93
0.9
0.925
-0.305
-0.3
-0.295
-0.29
-0.285
-0.28
0.895
0.325
-0.275
0.33
0.335
0.34
0.345
0.35
0.355
0.36
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figure 6.9 Evolution des valeurs propres de la matrice de transition d’état modèle
d’écart d’ordre 2
1.005
1
0.995
0.99
0.985
0.98
0.975
0.97
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Figure 6.10 Evolution du module maximal des valeurs propres en fonction de la
position de la machine
201
Chapitre 6 : Stabilité du fonctionnement en boucle fermée
6.4 Conclusions
Dans ce chapitre nous avons montré comment combiner le modèle d’ordre zéro et le
modèle d’écart d’ordre h pour effectuer une étude de la stabilité en boucle fermée
des systèmes électroniques de puissance à commande MLI.
Cette étude nous à permis de mettre en évidence que dans le cas d’un moteur
synchrone à aimants permanents alimenté par un onduleur de tension la stabilité de
la régulation des boucles de courant n’est pratiquement pas affectée par la découpe
MLI pour autant que la modulation MLI corresponde à une modulation symétrique
avec une cadence d’échantillonnage égale à la fréquence MLI.
Il pourrait être intéressant de reprendre l’étude avec une MLI asymétrique ou une
MLI symétrique avec rafraîchissement des commandes à deux fois la fréquence MLI
car ceci pourrait sensiblement modifier l’importance du terme supplémentaire
introduit dans la matrice de transition d’état par la découpe MLI.
Il convient donc d’insister sur le fait que nos conclusions quant au peu d’influence
de la découpe MLI sur la stabilité des boucles de courant ne sont valables que sous
les conditions précises de fonctionnement qui ont été envisagées.
202
Chapitre 7
Passage à un modèle continu
équivalent
Résumé – Jusqu’ici, l’étude du fonctionnement des systèmes à convertisseurs
électroniques de puissance à été faite « en temps discret » sur la base des modèles
de transition d’état permettant de déterminer l’état du système aux instants
d’échantillonnage.
Cependant, cette étude peut être simplifiée considérablement si on remplace le
processus discret de suivi de l’évolution de l’état du système par un processus
continu. Pour les systèmes à convertisseurs commandés par MLI cette approche est
utilisable si la période de commutation du convertisseur TMLI est telle que la
variation des variables du système est faible à cette échelle de temps, si on néglige
l’ondulation résiduelle due à la découpe MLI.
En adoptant cette hypothèse, nous introduisons dans ce chapitre des modèles
continus équivalents basés seulement sur des variables sans discontinuités
temporelles. Nous montrons des lors comment on peut transformer les modèles
discrets introduites aux Chapitre 4 et Chapitre 5 en modèles continus équivalents.
Le premier paragraphe de ce chapitre présente la méthode permettant d’effectuer
cette transformation, le deuxième et le troisième paragraphe montrant comment
cette méthode peut être appliquée respectivement au modèle d’ordre zéro et celui
d’écart d’ordre h.
Pour chacune de ces deux situations nous traitons le cas des systèmes considérés
précédemment : la régulation du courant d’induit de la machine à courant continu
alimentée par hacheur réversible en courant et la régulation des courants
statoriques de la machine synchrone à aimants permanents alimentée par onduleur
MLI de tension.
Chapitre 7 : Passage à un modèle continu équivalent
7.1 Procédure à suivre
La procédure permettant d’obtenir des modèles continus équivalents à partir du
modèle d’ordre zéro et du modèle d’écart d’ordre h prévoit de remplacer dans les
expressions du développement en série de Fourier des fonctions de commutation
fl(t), les ondes de référence uj_ref(tk) constantes sur chaque période
d ’échantillonnage, par des variables continues uj_ref(t) qui correspondent en
moyenne aux références qui seraient fournies par une électronique de commande de
type analogique13 (Figure 7.1) :
TMLI
ul_ref (t)
ul_ref(tk)
t
Figure 7.1 Tensions de références à variation continue
7.2 Modèle d’ordre zéro
Appliquée au modèle d’ordre zéro cette procédure permet de trouver le très connu
« modèle de valeurs moyennes ». Ce modèle peut être aussi introduit par d’autres
approches comme par exemple l’utilisation de fonctions descriptives [8], [45] ou de
la méthode de « state space averaging » ([33], [34], [41]).
Dans ces conditions les expressions (3.144) et (3.145) s’écrivent comme suit :
Fl 0 (t ) =
13
u l _ ref (t )
(7.1)
U dc
Si les références ne sont plus constantes sur la période d’échantillonnage, le
développement en série de Fourier n’est plus une opération rigoureuse du point de
vue mathématique et une décomposition en double série de Fourier est dés lors
nécessaire ([6], [7]). Il est aussi possible de faire un développement en « pseudo »
série de Fourier.
204
Chapitre 7 : Passage à un modèle continu équivalent
et
Fl 0 (t ) =
1 u l _ ref (t )
+
2
U dc
(7.2)
En introduisant ces expressions en (4.1) :
•
[ ]
X p0 (t ) = Ap Fl 0 ⋅ X p0 (t ) + B p ⋅ U p (t )
nous trouvons les équations différentielles caractérisant le modèle de valeurs
moyennes de la partie de puissance du système. Ces équations sont les suivantes :
•
[
]
X 0p (t ) = Ap0 U ref (t ) ⋅ X 0p (t ) + B p ⋅ U p (t )
(7.3)
Il faut observer que ce sont des équations différentielles à coefficients variables qui
nécessitent une intégration numérique.
Pour obtenir le modèle de valeur moyennes du système en boucle fermée nous
devons ajouter à ces équations les relations imposées par le régulateur (analogique)
entre les mesures prélevées sur l’état du système et les tensions de référence ul_ref(t)
qu’il fournit instantanément à sa sortie.
Il faut noter que, comme le modèle d’ordre zéro, le modèle de valeurs moyennes
caractérise la dynamique principale du système.
7.2.1
Exemples d’application
7.2.1.1
Moteur à courant continu alimenté par hacheur
réversible en courant
Dans le cas du système à moteur à courant continu alimenté par un hacheur
réversible en courant le modèle de valeurs moyennes est caractérisé, en accord avec
les équations (4.7) :
•
 is0 (t ) 
 is0 (t ) 
 0 


 U dc 

 u (t ) = A 0p u a _ ref (t k ) ⋅  u 0 (t ) + B p ⋅ 
 i 0 (t ) 
 i 0 (t ) 
 Ea 
 a 
 a 
[
]
par les équations différentielles suivantes :
205
Chapitre 7 : Passage à un modèle continu équivalent
•
 is0 (t ) 
 is0 (t ) 
 0 


 U dc 
 u (t ) = A p u a _ ref (t ) ⋅  u 0 (t ) + B p ⋅ 

 i 0 (t ) 
 i 0 (t ) 
 Ea 
 a 
 a 
[
]
(7.4)
où la matrice dynamique est donnée par :
 − Rf

 Lf

1
A p u a _ ref (t ) = 
 Cf

 0


[
−1
Lf
]
0
u a _ ref (t )
La



− u a _ ref (t ) 


Cf

− Ra 

La

0
(7.5)
et la matrice des sources est la suivante :
 1

 Lf
Bp =  0

 0



0 

0 
−1

La 

En associant à ces équations les relations imposées par la commande qui sont, en
accord avec (3.45) :
 is (t k ) 


u a _ ref (t k + 1 ) = 0 0 − K p ⋅  u (t k )  + K p ⋅ ia _ cons (t k )
 i (t )
a k 
(
)
données par :
 is (t ) 


u a _ ref (t ) = 0 0 − K p ⋅  u (t )  + K p ⋅ ia _ cons (t )
 i (t )
a 
(
)
(7.6)
nous obtenons les équations différentielles d’évolution du modèle de valeurs
moyennes pour le système en boucle fermé :
206
Chapitre 7 : Passage à un modèle continu équivalent
 0•
 is0 (t ) 
 is (t ) 
 0 
U dc 
 u 0 (t ) = A u
p
a _ ref (t ) ⋅  u (t ) + B p ⋅ 
 E 
 0 


 a
0
 ia (t ) 
 ia (t ) 


 is (t ) 



u
(
t
)
=
0
0
−
K
⋅
 u (t )  + K p ⋅ ia _ cons (t )
p
 a _ ref
 i (t )

a 

[
]
(
(7.7)
)
Nous pouvons observer qu’il s’agit d’un système d’équations bilinéaires car on fait
apparaître le produit des variables d’état par la variable de commande ua_ref(t). Dans
ces conditions l’étude du comportement du système par les techniques de
l’automatique linéaire nécessite de rendre le système linéaire ce qui est possible soit
en linéarisant ces équations autour d’un point de fonctionnement soit, comme nous
allons le montrer tout de suite, en négligeant la dynamique du générateur.
Simplification par l’élimination de la dynamique du générateur
Nous avons vu que si on peut négliger la dynamique du générateur, le modèle
d’ordre zéro de la partie de puissance du système est caractérisé par l’équation
différentielle (4.13) :
•
ia0 (t ) =
− Ra 0
−1
1
⋅ ia (t ) + ⋅ Ea + ⋅ u a _ ref (t k )
La
La
La
qui, dans le cas de modèle de valeur moyennes, s’écrit comme suit :
•
ia0 (t ) =
− Ra 0
−1
1
⋅ ia (t ) +
⋅ Ea + ⋅ u a _ ref (t )
La
La
La
(7.8)
En accord avec (3.44) :
[
]
u a _ ref (t k + 1 ) = K p ⋅ ia _ cons (t k ) − ia (t k )
la tension de référence est donnée par :
u a _ ref (t ) = − K p ⋅ ia (t ) + K p ⋅ ia _ cons (t )
(7.9)
En introduisant (7.9) dans (7.8) nous trouvons l’équation différentielle suivante :
•
ia0 (t ) =
Kp
−1
−1
Ra + K p ⋅ ia0 (t ) +
⋅ Ea +
⋅ ia _ cons (t )
La
La
La
(
)
(7.10)
207
Chapitre 7 : Passage à un modèle continu équivalent
qui caractérise l’évolution du système en boucle fermée et qui est une équation
linéaire à coefficients constants.
7.2.1.2
Moteur synchrone à aimants permanents
par onduleur MLI de tension
alimenté
Nous avons vu qu’en utilisant les composantes de Park des courants de la machine le
modèle d’ordre zéro est caractérisé par les équations (4.48) :
•
 is0 (t ) 
 is0 (t ) 
 0 
 0 
U dc 


 u (t )
 u (t )
dq _ 0
dq
dq
=
A
U
t
,
θ
t
−
θ
t
⋅
+
B
⋅
(
)
(
)
(
)
 0  , l = a , b, c
p
ref
k
k
p
 i 0 (t ) 
 i 0 (t ) 
E 
 d 
 d 
 0
 i 0 (t ) 
 i 0 (t ) 
 q 
 q 
[
]
avec :
[
]
dq
A pdq _ 0 U ref
(t k ), θ (t ) − θ (t k )
− Rf −1


Lf
Lf


1

0
Cf
=

0
1
dq

⋅ P − 1 [θ (t ) − θ (t k )] ⋅ U ref
(t k )
 L ⋅U
s
dc
0


0
0

−1
dq
⋅ P − 1 [θ (t ) − θ (t k )] ⋅ U ref
(t k )

C f ⋅ U dc



− Rs
ω

Ls


− Rs
−ω

Ls

Pour passer au modèle continu équivalent on considère que les ondes de référence
sont celles qui seraient élaborées par un régulateur analogique effectuant les calculs
de manière instantanée. Dans ces conditions nous pouvons écrire :
θ (t k ) = θ (t )
(7.11)
et la matrice dynamique du modèle de valeurs moyennes peut s’écrire comme suit :
− R f −1


Lf
Lf


1
0

Cf
dq
(t ) = 
Apdq _ 0 U ref
0
1

⋅ U dq (t )
 Ls ⋅ U dc ref
0

[
208
]

0
0

−1
dq
⋅ U ref
(t )

C f ⋅ U dc



− Rs
ω 
Ls

− Rs 
−ω

Ls

(7.12)
Chapitre 7 : Passage à un modèle continu équivalent
Dès lors, les équations d’évolution du modèle de valeurs moyennes prennent la
forme suivante :
•
 is0 (t ) 
 is0 (t ) 
 0 
 0 
U dc 


 u (t )
 u (t )
dq
dq
dq
 i 0 (t )  = Ap U ref (t ) ⋅  i 0 (t )  + B p ⋅  0 
E 
 d 
 d 
 0
 i 0 (t ) 
 i 0 (t ) 
q
q




[
]
(7.13)
En ce qui concerne les relations relatives à la partie de commande, vu que
l’électronique de commande est considérée comme étant analogique, les tensions de
référence ud_ref(t) et uq_ref(t) sont données, en accord avec (3.76) :
dq
U ref
(t k + 1 ) = Θ r ⋅ Y pdq (t k ) + Λ r ⋅ Ycdq (t k ) + Γr
par :
dq
U ref
(t ) = Θ r ⋅ Y pdq (t ) + Λ r ⋅ Ycdq (t ) + Γr
(7.14)
avec :
− Ls ⋅ ω 

Rs − K p 
 Rs − K p
Θ r = 
 + Ls ⋅ ω
Kp
Λ r = 
 0
0 

K p 
0



Γr = 
ω
K
−
⋅
Φ 

En associant les relations (7.14) aux équations (7.13) nous trouvons les équations
d’évolution du modèle de valeurs moyennes pour le système en boucle fermée :
 0•
 is0 (t ) 
 is (t ) 
 0 
U dc 
 u 0 (t )


 u (t )
dq
dq
dq
 0  = Ap U ref (t ) ⋅  0  + B p ⋅  0 
 id (t ) 
E 
 id (t ) 
 0 
 0
 iq0 (t ) 
 iq (t ) 



 u d _ ref (t ) = Θ [ω (t )]⋅  id (t ) + Λ ⋅  id _ cons (t ) + Γ [ω (t )]
r
r 
 i (t ) 
 r
 u q _ ref (t ) 

q 
 iq _ cons (t ) 

[
]
(7.15)
Nous pouvons observer que, comme dans le cas du hacheur réversible en courant, le
modèle de valeurs moyennes est caractérisé par un système d’équations bilinéaires à
209
Chapitre 7 : Passage à un modèle continu équivalent
cause du produit des variables d’état par les variables de commande, les tensions de
référence ud_ref(t) et uq_ref(t). Une linéarisation de ces équations est possible, soit par
exemple en utilisant la méthode de linéarisation autour d’un point de
fonctionnement, soit en négligeant la dynamique du générateur.
Simplification par l’élimination de la dynamique du générateur
Nous avons vu qu’en éliminant la dynamique du générateur le modèle d’ordre zéro
de la partie de puissance est caractérisée par les équations (4.61) :
•
 id0 (t )
 i 0 (t )
 u 0 (t )
0
 0  = Aidq ⋅  d0  + − 1 ⋅   + 1 ⋅  d0 
 i (t )
 i (t ) L  E0  L  u (t )

s 
s  q
q 
q 

avec :
dq
i
A
 − Rs

L
= s

 −ω


ω 

− Rs 

Ls 
et avec :
 u d0 (t )
abc
 0  = P23− 1 [θ (t )] ⋅ U ref
(t k )
 u (t )
 q 
Pour le modèle de valeurs moyennes ces équations deviennent les suivantes :
•
 id0 (t )
 i 0 (t )
0
abc
 0  = Aidq ⋅  d0  + − 1 ⋅   + 1 ⋅ P23−1 [θ (t )]⋅ U ref
(t )
 i (t )
 i (t ) L  E  L
0

s 
s
q 
q 
En tenant compte de (3.86) :
abc
U ref
(t ) = P23 [θ (t )]⋅U refdq (t )
ces équations devient les suivantes :
•
 id0 (t )
 i 0 (t )
0
dq
 0  = Aidq ⋅  d0  + − 1 ⋅   + 1 ⋅ U ref
(t )
 i (t )
 i (t ) L  E0  L
q
q


s
s




(7.16)
Il faut noter que ce sont des équations différentielles linéaires à coefficients
constants excitées par des termes qui sont exactement les sorties des régulateurs. En
210
Chapitre 7 : Passage à un modèle continu équivalent
régime permanent ces termes sont constants car ils correspondent à des composantes
abc sinusoïdales et les transformations de Park sont idéales.
En tenant compte des relations imposées par la commande (7.14) nous trouvons
pour le système en boucle fermée les équations d’évolution suivantes :
•
 id0 (t )
 0  = Θ dq
BF
 i (t )
q 
 i 0 (t )
⋅  d0  + ΛdqBF
 iq (t )
 id _ cons (t )
dq
 + ΓBF
⋅ 

(
)
i
t
q
_
cons


(7.17)
avec :
 dq 1
 − Kp
Θ dq
⋅ Θr  =
⋅ Ι2
BF =  Ai +
L
Ls
s


(7.18)
la matrice de transition d’état et avec :
ΛdqBF =
Kp
1
⋅ Λr =
⋅ Ι2
Ls
Ls
(7.19)
Le vecteur ΓdqBF est le suivant :
dq
ΓBF
=
1
Ls

 0 
⋅ Γr −   = 0 , car : ω ⋅ K Φ = E0
 E 0 

(7.20)
Finalement les équations (7.17) s’écrivent comme suit :
•
 id0 (t ) − K p
 0 =
 i (t )
Ls
q 
 i 0 (t ) K p  id _ cons (t )

⋅  d0  +
⋅ 

 iq (t ) Ls  iq _ cons (t ) 
( 7.21)
Il faut noter que, contrairement au modèle d’ordre zéro, le modèle des valeurs
moyennes conduit à un système d’équations parfaitement découplées.
7.3 Modèle harmonique
Pour définir des models continus équivalents correspondant au modèle d’écart
d’ordre h et au modèle harmonique d’ordre h nous allons procéder comme dans le
cas du modèle d’ordre zéro. Nous allons donc remplacer dans les expressions du
développement en série de Fourier des fonctions de commutation binaires f(t), les
ondes de référence uj_ref(tk) constantes sur la période d ’échantillonnage par des
variables continues uj_ref(t) qui correspond en moyenne aux références qui seraient
fournies par une électronique de commande de type analogique (Figure 7.1).
211
Chapitre 7 : Passage à un modèle continu équivalent
De cette façon nous obtenons pour le modèle continu équivalent correspondant au
modèle d’écart d’ordre h des équations différentielles de la même forme que les
équations (5.6) :
•
[ ]
≈
[
]
X εph (t ) = Ap Fl 0 ⋅ X εph (t ) + B p Fl h (t ) ⋅ X 0p (t )
mais qui sont maintenant des équations différentielles à coefficients variables car les
termes Fl0 ne sont plus constants sur la période d’échantillonnage car sont donnés
par (7.1) :
Fl 0 (t ) =
u l _ ref (t )
U dc
si les ondes de référence correspondent à des grandeurs unipolaires ou par (7.2) :
Fl 0 (t ) =
1 ul _ ref (t )
+
2
U dc
s’il s’agit de grandeurs alternatives.
Dans ces conditions, ces équations peuvent s’écrire comme suit :
•
[
]
≈
[
]
X εph (t ) = Ap U ref (t ) ⋅ X εph (t ) + B p Fl h (t ) ⋅ X p0 (t )
(7.22)
ou les composantes harmoniques dans le terme Fl0(t) sont donnés par :
f l j (t ) =
 j ⋅π

2
⋅ sin 
⋅ ul _ ref (t ) ⋅ cos( j ⋅ ω MLI ⋅ t )
j ⋅π
U
 dc

(7.23)
si les ondes de référence correspondent à des grandeurs unipolaires, ou par :
f l j (t ) =
 j ⋅π j ⋅π

2
⋅ sin 
+
⋅ ul _ ref (t ) ⋅ cos( j ⋅ ω MLI ⋅ t )
j ⋅π
2
U
dc


(7.24)
s’il s’agite de grandeurs alternatives.
Dans les équations (7.22) le vecteur des variables d’état X0(t) provient de
l’intégration des équations différentielles (7.3)
•
[
]
X p0 (t ) = Ap ul _ ref (t ) ⋅ X p0 (t ) + B p (t ) ⋅ U p (t )
correspondant au modèle de valeurs moyennes.
212
Chapitre 7 : Passage à un modèle continu équivalent
Le modèle continu équivalent correspondant au modèle d’ordre h s’obtient en
additionnant les vecteurs des variables d’état résultant de l’intégration des équations
(7.22) et (7.3). Nous allons appeler le modèle ainsi obtenu le « modèle harmonique
d’ordre h » de la partie de puissance du système.
7.3.1
Exemples d’application
7.3.1.1
Moteur à courant continu alimenté par hacheur
réversible en courant
Pour ce système le modèle continu équivalent correspondant au modèle d’écart
d’ordre 1 est caractérisé par les équations d’évolution suivantes :
•
 i s0 (t ) 
 i sε 1 (t ) 
 isε 1 (t ) 
 ε1 
 ε1  ≈


1
 u (t ) = A p u a _ ref (t ) ⋅  u (t ) + B p f (t ) ⋅  u 0 (t )
 i ε 1 (t ) 
 i ε 1 (t ) 
 i 0 (t ) 
 a

 a

 a 
[
[
]
]
(7.25)
Dans ces équations la matrice dynamique (identique à celle du modèle de valeurs
moyennes) est donnée par (4.8) :
 − Rf

 Lf
 1
Ap u a _ ref (t ) = 
 Cf

 0

[
]
−1
Lf
0
u a _ ref (t )
La



− u a _ ref (t ) 

Cf

− Ra 

La

0
et la matrice des sources est la suivante :
0



≈
B p f 1 (t ) =  0


0


[
]
0
0
f 1 (t )
La



− f 1 (t ) 

Cf 

0 

0
(7.26)
avec le terme harmonique f1(t) suivant :
213
Chapitre 7 : Passage à un modèle continu équivalent
f 1 (t ) =
2
π
 π

⋅ sin 
⋅ u a _ ref (t ) ⋅ cos(ω MLI ⋅ t )
U
 dc

(7.27)
Nous pouvons observer qu’on obtient des équations différentielles à coefficients
variables qui nécessitent une intégration numérique.
De plus, ce sont des équations bilinéaires car elles font apparaître le produit des
variables d’état par la variable de commande ua_ref(t). Ce problème est éliminé si on
peut négliger la dynamique du filtre d’entrée.
Simplification par l’élimination de la dynamique du générateur
Si la dynamique du générateur peut être négligé la démarche se simplifie
considérablement car on passe à des équations linéaires. On obtient ainsi pour le
modèle continu équivalent correspondant au modèle d’écart d’ordre 1, l’équation
différentielle suivante :
•
iaε 1 (t ) =
 π

− Ra ε 1
2 ⋅ U dc
⋅ ia (t ) +
⋅ sin 
⋅ u a _ ref (t ) ⋅ cos(ω MLI ⋅ t )
π ⋅ La
La
U
 dc

(7.28)
Pour le modèle harmonique d’ordre 1 on obtient :
•
ia1 (t ) =
 −1
 π

− Ra 1
2 ⋅ U dc
1 
⋅ ia (t ) +
⋅ sin 
⋅ u a _ ref (t ) ⋅ cos(ω MLI ⋅ t ) +
⋅ E a (7.29)
u a _ ref (t ) +
π
La
La 
U
 dc

 La
le modèle des valeurs moyennes étant caractérisé par l’équation (4.13) :
•
ia0 (t ) =
− Ra 0
−1
1
⋅ ia (t ) +
⋅ Ea +
⋅ u a _ ref (t ) ⋅ U dc
La
La
La
7.3.1.2
Moteur synchrone à aimants permanents alimenté par
onduleur MLI de tension
Pour ce système les équations différentielles d’évolution correspondant au modèle
continu équivalent correspondant au modèle d’écart d’ordre 2 sont de la forme
suivante :
214
Chapitre 7 : Passage à un modèle continu équivalent
•
 isε 2 (t ) 
 isε 2 (t ) 
 is0 (t ) 
 ε2 
 ε2 
 0 
 u (t )
 u (t ) ≈
 u (t )
dq
2
 i ε 2 (t )  = Ap U ref (t ) ⋅  i ε 2 (t )  + B p Fl (t ),θ (t ) ⋅  i 0 (t ) 

 d 
 d

 d
 i ε 2 (t ) 
 i ε 2 (t ) 
 i 0 (t ) 
q
q




 q 
[
]
[
]
(7.30)
ou la matrice dynamique est donnée par (7.12) :


− R f −1

Lf
Lf


1
0

Cf
dq
A pdq U ref
(t ), θ (t ) = 

0

1
dq

⋅ U ref
(t )
L
⋅

s U dc
0

[
]
0
0


t


1

  1
−1 
dq
⋅ 0.5 ⋅ 1 +
⋅ P23 [θ (t )]⋅ U ref
(t ) ⋅ P23 [θ (t )]
Cf
1 U dc



 


− Rs

ω

Ls

− Rs

−ω

Ls

et celle des sources est donnée par :



0
0


0
0
≈

B p Fl 2 (t ), θ (t ) = 

0
 Fa2 (t )



1
−1
⋅ P23 [θ (t )] ⋅  Fb2 (t )

 F 2 (t )
 0 Ls
 c 

[
]
0
0


t
 Fa2 (t )



−1
⋅  Fb2 (t ) ⋅ P23 [θ (t )]

Cf  2 

 Fc (t )




0
0

0
0


(7.31)
Dans cette matrice, en accord avec (5.44), le vecteur des termes harmoniques des
fonctions de commutation s’écrit comme suit :
 F (t )

 2
 F (t ) = ⋅ cos(ω PWM
 F (t ) π


2
a
2
b
2
c
  π
 2 ⋅π


 cos 
 sin 
⋅ u a _ ref (t ) 
⋅ u a _ ref (t ) 
U
 U dc


 dc
  (7.32)

 
 

 1
π
π
2
⋅
⋅ t ) ⋅  cos 
⋅ u b _ ref (t )  − ⋅ cos(2 ⋅ ω PWM ⋅ t ) ⋅  sin 
⋅ u b _ ref (t ) 
  U dc
 U dc
 π

 
 


π
2
⋅
π
 sin 
 cos 
⋅ u c _ ref (t ) 
⋅ u c _ ref (t ) 




  U dc
 U dc
Le vecteur de sources provient de l’intégration (numérique) des équations
différentielles (7.13) :
215
Chapitre 7 : Passage à un modèle continu équivalent
•
 is0 (t ) 
 is0 (t ) 
 0 
 0 
U dc 


 u (t )
 u (t )
dq
dq
dq
(
)
=
A
U
t
⋅
+
B
⋅
 0 
p
ref
p
 i 0 (t ) 
 i 0 (t ) 
E 
 d 
 d 
 0
 i 0 (t ) 
 i 0 (t ) 
 q 
 q 
[
]
correspondant au modèle de valeurs moyennes.
On peut observer que dans ce cas aussi on obtient des équations bilinéaires car elles
du au produit des variables d’état par les variables de commande ul_ref(t) mais ici
aussi ce problème est éliminé si on peut négliger la dynamique du filtre d’entrée.
La Figure 7.2 permet d’observer l’évolution temporelle des grandeurs du système
pour le modèle continu equivalent d’ordre h = 2.
Sur cette figure, où on a aussi représenté le mode détaillé en bleu, on peut constater,
pour un système bien conçu, que par rapport au modèle « de valeurs moyennes » (en
rouge) le modèle continu equivalent correspondant au modele d’ordre 2 (en vert)
offre une excellente approximation des ondulations dus à la découpe MLI en ce qui
concerne les variables d’état.
1
0.5
0
-0.5
-1
0.0705
250
ua0
[V]
0.071
0.0715
0.072
0.0725
0.073
0.0735
0.074
0.0745
0.071
0.0715
0.072
0.0725
0.073
0.0735
0.074
0.0745
200
150
100
50
0
-50
-100
-150
-200
-250
0.0705
t [sec]
216
Chapitre 7 : Passage à un modèle continu équivalent
250
ua
[V]
200
150
100
50
0
-50
-100
-150
-200
0.0705
ia
ib
ic
[A]
0.071
0.0715
0.072
0.0725
0.073
0.0735
0.074
0.0745
10
8
6
ib
ia
4
2
0
-2
-4
-6
ic
-8
-10
0.0705
ud
uq
[V]
0.071
0.0715
0.072
0.0725
0.073
0.0735
0.074
0.0745
0.071
0.0715
0.072
0.0725
0.073
0.0735
0.074
0.0745
0.071
0.0715
0.072
0.0725
0.073
0.0735
0.074
0.0745
300
200
100
0
-100
-200
id
iq
[A]
-300
0.0705
12
10
8
6
4
2
0
-2
0.0705
t [sec]
217
Chapitre 7 : Passage à un modèle continu équivalent
20
i
[A]
15
10
5
0
-5
0.0705
u
[V]
0.071
0.0715
0.072
0.0725
0.073
0.0735
0.074
0.0745
0.071
0.0715
0.072
0.0725
0.073
0.0735
0.074
0.0745
0.071
0.0715
0.072
0.0725
0.073
0.0735
0.074
0.0745
0.071
0.0715
0.072
0.0725
0.073
0.0735
0.074
0.0745
302
301
300
299
298
297
296
295
0.0705
is
[A]
13
12.5
12
11.5
11
10.5
0.0705
4.8
Cem
[Nm]
4.6
4.4
4.2
4
3.8
3.6
3.4
0.0705
t [sec]
Figure 7.2 Evolution temporelle des grandeurs du système
218
Chapitre 7 : Passage à un modèle continu équivalent
Simplification par l’élimination de la dynamique du générateur
Si la dynamique du filtre d’entrée peut être négligée, les équations d’évolution
correspondant au modèle d’écart d’ordre 2 sont les suivantes :
•
 Fa2 (t )


 idε 2 (t )
 idε 2 (t ) 1
dq
−1
 ε 2  = Ai ⋅  ε 2  + ⋅ P23 [θ (t )]⋅  Fb2 (t ) ⋅ U dc
 i (t )
 i (t ) L
 F 2 (t )
s
q

q

 c 
(7.33)
avec :
dq
i
A
 − Rs

L
= s

 −ω


ω 

− Rs 
Ls 
le vecteur des termes harmoniques des fonctions de commutation donné par (7.32).
Les équations de transition d’état correspondant au modèle harmonique d’ordre 2
résultent de la somme des vecteurs de variables d’état résultant de l’intégration des
équations (7.33) et des équations (7.16) :
•
 id0 (t )
 0  = Aidq
 iq (t )


 i 0 (t ) − 1  0  1
dq
(t )
⋅  d0  +
⋅   + ⋅ U ref
(
)
E
i
t
L
L
q
0


s
s


correspondant au modèle d’ordre zéro.
7.4 Conclusions
Dans ce chapitre nous avons montré comment en agissant sur le développement en
série de Fourier des fonctions de commutation on peut passer d’un modèle de
transition d’état à un modèle continu équivalent des systèmes électroniques de
puissance à commande MLI.
Si on effectue ce passage sur le seul modèle d’ordre zéro, on obtient de manière
particulièrement élégante, quelque soit le type de système considéré, un modèle qui
correspond aux modèles dits « de valeurs moyennes » qui sont très populaires pour
l’étude des convertisseurs MLI.
219
Chapitre 7 : Passage à un modèle continu équivalent
220
Conclusions
Dans ce travail nous nous sommes intéressé à la modélisation et l’étude du
comportement des systèmes électroniques de puissance à commande MLI.
Apres avoir présenté les caractéristiques de ces systèmes nous avons dans une
première étape proposé une manière simple et élégante d’écrire les équations de ce
type de systèmes et ce quel que soit la nature des systèmes interconnectés par le
convertisseur et le type de convertisseur.
Nous nous sommes ensuite intéressé au fonctionnement en boucle fermée de ces
systèmes en nous basant sur des résultats des travaux de collègues qui nous ont
précédé au sein de l’équipe du LEI. Pour cela nous avons considéré le cas d’une
régulation numérique dont la période d’échantillonnage est égale à la période MLI et
synchronisée sur celle-ci et nous avons montré comment établir dans ce cas les
équations de transition d’état qui permettent de suivre l’évolution du système de
période MLI en période MLI.
A l’issue de cette étape de notre travail nous avons conclus que, pour pouvoir
obtenir des résultats exploitable de manière simple en particulier dans le cas des
systèmes d’entraînement à vitesse variable par machines synchrones à aimants
permanents alimentées par onduleur, il était nécessaire de définir des méthodes
d’étude simplifiées.
Pour cela, outre les simplifications classiques qui consistent à limiter l’étude en
temps discret aux boucles rapides (lorsqu’on a une régulation par des boucles en
cascade) ou a négliger la dynamique du générateur, nous avons utilisé une méthode
originale basée sur une décomposition en série de Fourier des fonctions de
commutation qui paramètrent les équations d’évolution du système générateurconvertisseur-récepteur.
Sur base de cette approche nous avons décrit le fonctionnement du système par
l’association de deux modèles : le modèle d’ordre zéro et le modèle d’écart d’ordre
h.
Le modèle d’ordre zéro est obtenu en remplaçant sur chaque période MLI les
fonctions de commutation par leurs valeurs moyennes sur cette période. Il fournit
des équations différentielles d’évolution du système générateur-convertisseurrécepteur qui sont linéaires et à coefficients constants pour autant que les équations
qui décrivent le comportement du générateur et du récepteur le soient. L’intégration
des équations d’évolution ne nécessite donc pas de distinguer sur chaque période
MLI plusieurs sous intervalles correspondant chacun à une configuration des états
Conclusions
des interrupteurs et donc à un système donné d’équations. Elle se fait sur toute la
période d’échantillonnage et fournit directement l’équation de transition d’état.
En outre, quelle que soit la nature des systèmes interconnectés et le type de
convertisseur, ce modèle fournit toujours, à valeurs constantes des consignes, un
point d’équilibre (point fixe de la récurrence décrite par les équations de transition
d’état) dont on peut déterminer s’il est stable ou instable.
Mais ce modèle néglige les ondulations dues à la découpe MLI et ne fournit que la
dynamique principale du système.
Le modèle d’écart d’ordre h fournit des équations différentielles qui décrivent de
manière approchée la dynamique d’évolution des variables autour des valeurs
fournies par le modèle d’ordre zéro lorsqu’on tient compte de la découpe MLI. Ce
modèle, qui fait intervenir les premiers termes du développement en série des
fonctions de commutation et qui possède comme signaux d’excitation les valeurs
des variables d’état fournies par le modèle d’ordre zéro, permet de prendre en
compte l’effet de la découpe MLI comme une correction du modèle d’ordre zéro.
La combinaison de ces deux modèles, qui fournit le modèle d’ordre h du système,
nous a permis d’étudier la stabilité du fonctionnement en boucle fermée pour des
consignes constantes en procédant comme suit :
•
le modèle d’ordre zéro permet de définir le point d’équilibre autour duquel
évoluera le système sous l’effet de la découpe MLI et la stabilité de ce
point en l’absence de l’effet de la découpe MLI,
•
le modèle d’écart d’ordre h permet ensuite d’estimer la mesure dans
laquelle les oscillations dues à la découpe MLI peuvent conduire à une
instabilité du système lorsqu’il est stable à l’ordre zéro.
Cette procédure a été appliquée à l’étude des boucles de courants pour un
entraînement à vitesse variable par machine synchrone à aimants permanents
alimentée par un onduleur MLI de tension. Les résultats de cette étude ont permis de
confirmer théoriquement le fait que la découpe MLI à peu d’influence sur la stabilité
pour autant qu’on utilise une MLI symétrique et une fréquence d’échantillonnage
égale à la période MLI.
La méthodologie proposée pourrait également permettre d’étudier le cas des MLI
asymétriques ou celui des MLI symétriques rafraîchies deux fois par période MLI
(fréquence d’échantillonnage double de la fréquence MLI).
Les principaux résultats obtenus dans cette étude ont fait l’objet des publications
mentionnées sous les numéros [8], [21], [22], [23] et [24] dans la liste des références
bibliographiques qui figurent en fin de thèse.
222
Annexes
Annexe 1 Mise en équations de la partie de
puissance - Extension au cas de la connexion en
cascade de plusieurs convertisseurs
Dans cette première annexe nous allons traiter le problème de la mise en équations
des systèmes comportant des convertisseurs en cascade à travers deux exemples :
•
Le premier est un convertisseur alternatif-alternatif indirect comportant un
redresseur et un onduleur MLI reliés par un étage intermédiaire à courant
continu,
•
Le deuxième un convertisseur alternatif-alternatif utilisant un redresseur et un
onduleur MLI reliés directement l’un à l’autre.
A1.1
Exemple de connexion en cascade via un étage
intermédiaire
A la Figure A 1 on a représenté un système à deux convertisseurs à MLI qui permet
de gérer le transfert de l’énergie entre deux systèmes triphasées via un étage
intermédiaire à courant continu.
i’
uA
usA
Rs
Ls
isA
K’21
K’11
i
ua
ic
K’31
K11
K21
K31
ia
a
A
isB
C
B
ib
b
u
isC
C
K’12
K’22
K’32
c
K12
K22
ic
L
ea
R
~
~
~
K32
Figure A 1 Système à convertisseurs en cascade avec circuit intermédiaire
Ce transfert peut se faire dans les deux sens car les convertisseurs sont réversibles en
courant : quand le premier fonctionne en redresseur le deuxième fonctionne en
onduleur et vice versa. Etant donné que les deux systèmes alternatifs présentent un
caractère de source de courant, la présence de la capacité C dans le circuit
intermédiaire assure la complémentarité des sources pour chacun des convertisseurs
Annexes
et leur permet de fonctionner en mode complètement commandé (à condition que la
tension aux bornes de C ne change pas de polarité).
La commande de chaque convertisseur est assuré par trois signaux logiques fA, fB, fC
et fa, fb, fc respectivement. Ces signaux sont élaborés par le technique MLI qu’elle
soit implantée de manière analogique ou de manière numérique.
Pour ce système on peut définir un nombre de cinq variables d’état indépendantes :
deux des trois courants traversant les phases du générateur, iA et iB, la tension u aux
bornes de la capacité du circuit intermédiaire et deux des trois courants du récepteur,
ia et ib.
En suivant la même procédure que dans le cas de l’onduleur MLI de tension
présenté au paragraphe précédent on trouve facilement l’équation différentielle
d’évolution du récepteur :
d

 ia (t ) − R
dt

=
L
 d i (t )
 b 
 dt

 i (t ) 1  e (t ) 1  u (t )
⋅  a  − ⋅  a  + ⋅  a 
 ib (t ) L  eb (t )  L  ub (t )
(a. 1)
 i (t ) 1  u (t ) 1  u (t )
⋅  sA  − ⋅  sA  + ⋅  A 
 isB (t ) Ls  u sB (t ) Ls  u B (t )
(a. 2)
et du générateur:
d

 isA (t ) − R
s
 dt
=
Ls
 d i (t )
 sB 
 dt

Pour le circuit intermédiaire on peut écrire :
•
u (t ) =
1 '
1
⋅ i (t ) − ⋅ i(t )
C
C
(a. 3)
Il reste maintenant à rajouter les relations imposées par les deux convertisseurs entre
les grandeurs présentes à leurs entrés et sorties. Ainsi, pour l’onduleur on retrouve
les mêmes relations que dans le cas précédent :
 ua (t ) 1  + 2 ⋅ f a (t ) − f b (t ) − f c (t )

 = ⋅ 
 ⋅ u (t )
 ub (t ) 3  − f a (t ) + 2 ⋅ f b (t ) − f c (t )
i (t ) = ( f a (t ) − f c (t )
 i (t )
f b (t ) − f c (t )) ⋅  a 
 ib (t )
(a. 4)
(a. 5)
Par analogie on peut écrire les relations mathématiques relatives au redresseur :
224
Annexes
 u A (t ) 1  + 2 ⋅ f A (t ) − f B (t ) − f C (t )




 u (t ) = 3 ⋅  − f (t ) + 2 ⋅ f (t ) − f (t ) ⋅ u (t )
B
C
 B 
 A

i ' (t ) = ( f A (t ) − f C (t )
(a. 6)
 i (t ) 
f B (t ) − f C (t )) ⋅  sA 
 isB (t )
(a. 7)
L’introduction des expressions des courants i’ et i dans l’équation différentielle du
circuit intermédiaire permet de réécrire cette équation de la forme suivante:


•
1 
u (t ) = ⋅ 
C



f A (t ) −
f B (t ) −
f c (t ) −
f c (t ) −
f C (t )  isA (t ) 

 
f C (t )  isB (t )
⋅
f a (t )   ia (t ) 
 

f b (t )   ib (t ) 
T
(a. 8)
L’introduction des expressions (a. 4) et (a. 6) dans les équations différentielles
d’évolution du générateur et du récepteur respectivement, permet d’éliminer dans
ces relations les tensions ua, ub et uA, uB :
•
 isA (t )  − Rs

 =
Ls
 isB (t )
•
 ia (t ) − R

 =
L
 ib (t ) 
 i (t )  1  u (t )
1
⋅  sA  − ⋅  sA  +
 isB (t ) Ls  u sB (t ) 3 ⋅ Ls
 i (t ) 1  e (t )
1
⋅  a  − ⋅  a  +
i
(
t
)
e
(
t
)
3
L
⋅
L
b 
 b 
 + 2 ⋅ f A (t ) − f B (t ) − f C (t )
 ⋅ u (t )
⋅ 
 − f A (t ) + 2 ⋅ f B (t ) − f C (t )
 + 2 ⋅ f a (t ) − f b (t ) − f c (t )
 ⋅ u (t )
⋅ 
 − f a (t ) + 2 ⋅ f b (t ) − f c (t )
(a. 9)
(a. 10)
La combinaison de ces équations et de celle du circuit intermédiaire (a. 8) permet de
trouver l’équation différentielle du système complet :
•
X pabc (t ) = Apabc [ f l (t )] ⋅ X pabc (t ) + B pabc ⋅ U pabc (t )
(a. 11))
avec le vecteur des variables d’état et celui des sources donnés par :
X pabc (t ) = (isA (t ) isB (t ) u (t ) ia (t ) ib (t ))
(a. 12)
U pabc (t ) = (u sa (t ) usb (t ) ea (t ) eb (t ))
(a. 13)
t
t
et la matrice dynamique et celle des sources données par :
225
Annexes
− Rs


Ls


0


f
t
f C (t )
(
)
−
 A
Apabc [ f l (t )] = 
C


0



0


B pabc
 −1

 Ls

 0

= 0
 0


 0


0
0
−1
Ls
0
0
0
0
−1
L
0
0
A1.2
+ 2 ⋅ f A (t ) − f B (t ) − f C (t )
3 ⋅ Ls
− f A (t ) + 2 ⋅ f B (t ) − f C (t )
3 ⋅ Ls
0
− Rs
Ls
f B (t ) − f C (t )
C
0
+ 2 ⋅ f a (t ) − f b (t ) − f c (t )
3⋅ L
− f a (t ) + 2 ⋅ f b (t ) − f c (t )
3⋅ L
0
0




0


f c (t ) − f b (t ) 

C


0


−R


L

0
0
0
f c (t ) − f a (t )
C
−R
L
0
(a. 14)

0 


0 

0 
0 


− 1
L 
(a. 15)
Exemple de connexion directe en cascade
Les systèmes à convertisseurs électroniques connectés en cascade sans circuit
intermédiaire font partie de la classe des convertisseurs matriciels indirects (IMC
« Indirect Matrix Converter ») qui sont des versions simplifiées des convertisseurs
matriciels conventionnels (CMC).
A la Figure A 2 on peut voir un système constitué d’un onduleur MLI de tension
précédé d’un redresseur MLI de tension qui permet de gérer le transfert d’énergie,
de façon bidirectionnelle, entre deux systèmes triphasés : un générateur et récepteur.
~
~
Rs
i
P
uA
usA
ua
Ls
isA
iA
isB
iB
isC
iC
~
Cf
K’21
K’11
K’31
K11
K21
K31
a
A
B
K’22
c
K12
ea
Rch
ib
b
u
K’32
Lch
~
C
K’12
ia
K22
ic
~
~
K32
N
Figure A 2 Système à convertisseurs en cascade sans circuit intermédiaire
Le fonctionnement en mode complètement commandé du convertisseur ainsi
constitué est rendu possible par la présence des capacités de filtrage Cf placées à la
sortie du générateur qui confèrent à ce système un caractère de source de tension et
226
Annexes
par la présence des inductances de charge L qui assure un caractère de source de
courant pour le récepteur.
Le fonctionnement de l’onduleur est identique à celui présenté au paragraphe 2.3.2
l’état de ses interrupteurs étant donc complètement défini par les trois fonctions de
commutation fa, fb et fc.
En ce qui concerne le redresseur MLI de tension, on peut observer que pour assurer
à tout instant la circulation du courant de sortie i tout en évitant de court-circuiter les
bornes d’entrée du convertisseur, il faut commander les interrupteurs de telle façon à
avoir, à tout instant, un seul interrupteur en conduction parmi les trois interrupteurs
du coté haut et un seul autre parmi ceux du cote bas. Dans ce cas, il faut que les
fonctions de commutation caractérisant l’état de chaque interrupteur satisfassent aux
conditions suivantes :
f PA (t ) + f PB (t ) + f PC (t ) = 1
(a. 16)
f NA (t ) + f NB (t ) + f NC (t ) = 1
(a. 17)
où fPA caractérise l’état de l’interrupteur KPA permettant de connecter la borne
intermédiaire positive P à la borne d’entrée A, etc.
Le vecteur de variables d’état du générateur comporte deux des trois courants par
exemple isA et isB et les trois tensions uA, uB et uC présentes aux bornes des capacités
de filtrage. Le vecteur des variables d’état du récepteur comporte deux de trois
courants dans les phases du récepteur, soit par exemple ia et ib.
En suivant la même procédure que dans l’exemple précédent on trouve pour le
récepteur les mêmes équations différentielles:
•
 ia (t ) − R

 =
L
 ib (t ) 
 i (t ) 1  e (t )
1
⋅  a  − ⋅  a  +
i
(
t
)
e
(
t
)
 b  L  b  3⋅ L
 + 2 ⋅ f a (t ) − f b (t ) − f c (t )
 ⋅ u (t )
⋅ 
 − f a (t ) + 2 ⋅ f b (t ) − f c (t )
(a. 18)
où on a tenu compte des relations que l’onduleur impose entre la tension u à son
entrée et les tensions ua, ub et uc aux bornes des phases du récepteur.
Pour le générateur on peut écrire le système d’équations différentielles suivantes :
227
Annexes
 − Rf

 Lf
•

i
t
(
)
 sA   0

 
 isB (t )  
 u (t ) =  1
 A   Cf
 u B (t ) 
 u (t )  0
 C 

 −1
 C
 f
0
− Rf
Lf
0
1
Cf
−1
Cf
−1
Lf
0
0
0
0

0

 −1


−1
0   isA (t )   L f
Lf
 i (t ) 
  sB   0
0 0  ⋅  u A (t ) + 
  u (t )  0
  B  
0 0   u (t )  0
 C 
 0



0 0

0
 0


0 
 0

 −1
− 1

  u sA (t )  C f
L f  ⋅ 
 +
u (t ) 
0   sB   0


0 
 −1
0 
C
 f
0 

0 
0 
  i (t )
 A
− 1  ⋅  i (t )
B 
Cf 

−1
C f 
(a. 19)
On peut montrer que le redresseur impose les relations suivantes entre les courants à
ses entrées et le courant à sa sortie :
i A (t ) = [ f PA (t ) − f NA (t )] ⋅ i (t )

iB (t ) = [ f PB (t ) − f NB (t )] ⋅ i (t )
i (t ) = [ f (t ) − f (t )] ⋅ i (t )
PC
NC
C
(a. 20)
et la relation suivante entre la tension à sa sortie et les tensions aux bornes des
capacités du filtre:
u (t ) = [ f PA (t ) − f NA (t )] ⋅ u A (t ) + [ f PB (t ) − f NB (t )] ⋅ u B (t ) + [ f PC (t ) − f NC (t )] ⋅ uC (t )
(a. 21)
relation qu’on peut réécrire sous la forme matricielle suivante:
 [ f PA (t ) − f NA (t )]   u A (t )

 

u (t ) =  [ f PB (t ) − f NB (t )]  ⋅  u B (t )
 [ f (t ) − f (t )]  u (t )
NC
 PC
  C 
T
(a. 22)
A partir de l’équation (a. 20) en tenant compte de la relation que l’onduleur impose
entre le courant i à son entré et les courants dans les phases du récepteur ia, ib et ic :
i(t ) = ( f a (t ) − f c (t )
 i (t )
f b (t ) − f c (t )) ⋅  a 
 ib (t )
(a. 23)
on peut trouver la relation mathématique reliant les courants à l’entré du redresseur
aux courants à la sortie de l’onduleur :
 i A (t )  [ f PA (t ) − f NA (t )] ⋅ [ f a (t ) − f c (t )]

 = 
 iB (t )  [ f PB (t ) − f NB (t )] ⋅ [ f a (t ) − f c (t )]
[ f PA (t ) − f NA (t )] ⋅ [ fb (t ) − f c (t )]  ia (t )
⋅

[ f PB (t ) − f NB (t )] ⋅ [ fb (t ) − f c (t )]  ib (t )
(a. 24)
En introduisant (a. 24) en (a. 19) l’équation d’évolution des variables d’état du
générateur devient :
228
Annexes
 − Rf

 Lf
•

 isA (t )   0

 
 isB (t )  
 u (t ) =  1
 A   Cf
 u B (t ) 
 u (t )  0
 C 

 −1
 C
 f
0
− Rf
Lf
0
1
Cf
−1
Cf
−1
Lf
0
0
0
0

0

 −1


−1
0   isA (t )   L f
Lf
 i (t ) 
  sB   0
0 0  ⋅  u A (t ) + 
  u (t )  0
  B  
0 0   u (t )  0
 C 
 0



0 0

0
0


0

 − [ f PA (t ) − f NA (t )] ⋅ [ f a (t ) − f c (t )]

Cf
+  − [ f (t ) − f (t )] ⋅ [ f (t ) − f (t )]
PB
NB
a
c


Cf

 − [ f PC (t ) − f NC (t )] ⋅ [ f a (t ) − f c (t )]

Cf


0 

− 1
  u (t )
L f  ⋅  sA 
u (t )
0   sB 

0 
0 


0

− [ f PA (t ) − f NA (t )] ⋅ [ f b (t ) − f c (t )] 
  i (t )
Cf
 a
− [ f PB (t ) − f NB (t )] ⋅ [ f b (t ) − f c (t )]  ⋅  i (t )
b 

Cf

− [ f PC (t ) − f NC (t )] ⋅ [ f b (t ) − f c (t )] 

Cf

0
(a. 25)
Et en introduisant (a. 22) en (a. 18) l’équation d’évolution des variables d’état du
récepteur devient :
d

 ia (t ) − R  i (t ) 1  e (t )
a
 dt
=
− ⋅ a 
⋅
L  ib (t )  L  eb (t )
 d i (t )
 b 
 dt

 [ f PA (t ) − f NA (t )] ⋅ [+ 2 ⋅ f a (t ) − f b (t ) − f c (t )]

3⋅ L

+ ⋅
[ f PA (t ) − f NA (t )] ⋅ [− f a (t ) + 2 ⋅ fb (t ) − f c (t )]

3⋅ L

(a. 26)
[ f PB (t ) −
f NB (t )] ⋅ [+ 2 ⋅ f a (t ) − f b (t ) − f c (t )] 

3⋅ L
  u A (t )
[ f PB (t ) − f NB (t )] ⋅ [− f a (t ) + 2 ⋅ f b (t ) − f c (t )]  ⋅  u B (t )

3⋅ L

La combinaison des équations (a. 25) et (a. 26) nous permet de trouver l’équation
différentielle d’évolution des variables d’état du système générateur - convertisseur récepteur :
•
X pabc (t ) = Apabc [ f Pl (t ), f Nl (t ), f l (t )] ⋅ X pabc (t ) + B pabc ⋅ U pabc (t )
(a. 27)
avec le vecteur des variables d’état et celui des sources donnés par :
X pabc (t ) = (isA (t ) isB (t ) u A (t ) u B (t ) uC (t ) ia (t ) ib (t ))
(a. 28)
U pabc (t ) = (u sA (t ) usB (t ) ea (t ) eb (t ))
(a. 29)
t
t
229
Annexes
et la matrice dynamique et des sources par :
 − Rf

 Lf

 0

 1

 Cf

A pabc [ f Pl (t ), f Nl (t ), f l (t )] =  0

 −1

 Cf

 0


 0

0
− Rf
Lf
0
1
Cf
−1
Cf
0
0
−1
Lf
0
0
−1
Lf
0
0
0
0
0
0
[ f PA (t ) − f NA (t )] ⋅ [2 ⋅ f a (t ) − f b (t ) − f c (t )] [ f PB (t ) − f NB (t )] ⋅ [2 ⋅ f a (t ) − f b (t ) − f c (t )]
3⋅ L
3⋅ L
[ f PA (t ) − f NA (t )] ⋅ [ f a (t ) + 2 ⋅ f b (t ) − f c (t )] [ f PB (t ) − f NB (t )] ⋅ [ f a (t ) + 2 ⋅ f b (t ) − f c (t )]
3⋅ L
0
0
0
3⋅ L
0
0
0
0



Cf
Cf


Cf
Cf

Cf
−R
Cf
0
[ f PB (t ) − f NB (t )] ⋅ [ f c (t ) − f a (t )] [ f PB (t ) − f NB (t )] ⋅ [ f c (t ) − f b (t )] 
0
[ f PC (t ) − f NC (t )] ⋅ [ f c (t ) − f a (t )] [ f PC (t ) − f NC (t )]⋅ [ f c (t ) − f b (t )] 
0
0
(a. 30)
[ f PA (t ) − f NA (t )]⋅ [ f c (t ) − f a (t )] [ f PA (t ) − f NA (t )] ⋅ [ f c (t ) − f b (t )] 
L
0
0
−R
L








et :
B abc
p
230
 −1

 Lf

 0

 0
= 0

 0

 0


 0

0
−1
Lf
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−1
L
0
0

0 


0 

0 

0 
0 

0 

− 1

L 
(a. 31)
Annexes
Annexe 2 Choix du nombre d’harmoniques pour
le modèle d’ordre h
Au paragraphe 5.1 nous avons précisé une étude harmonique en régime permanent
permet de déterminer le nombre de termes harmoniques qui doivent être pris en
compte dans le modèle d’écart d’ordre h pour assurer une bonne estimation des
ondulations dues à la MLI tout en gardant une complexité acceptable des équations
caractérisant ce modèle.
Dans cette annexe nous allons montrer comment cette étude peur être effectuée.
A2.1
Etude du contenu harmonique de la tension de
sortie d’un onduleur monophasé de tension commandé par
MLI
Commençons par étudier le contenu harmonique, en régime permanent, de la tension
de sortie d’un onduleur MLI de tension monophasé alimentant une charge RLe à
partir d’une source idéale de tension Udc ( Figure A 3) :
K11
Ls
Udc
+0.5.Udc
ua
Rs
ea
~
ua
-0.5.Udc
K12
Figure A 3 Onduleur de tension monophasé
En régime permanent l’onde de référence calculée par l’électronique de commande,
supposée analogique pour des raisons de simplicité, est une grandeur sinusoïdale qui
peut s’exprimer comme suit :
 U 
u ref (t ) = U 0 ⋅ cos(θ ) , U 0 ∈ 0, dc 
2 

(a. 32)
avec :
θ = ω ⋅t
(a. 33)
231
Annexes
En notant par :
r=
2 ⋅U0
∈ [0 → 1]
U dc
(a. 34)
le coefficient de réglage en tension, la tension de référence prend la forme suivante :
u ref (t ) =
U dc
⋅ r ⋅ cos(θ )
2
(a. 35)
La tension au bornes de la charge est donnée par :
u (t ) = f (t ) ⋅U dc
(a. 36)
et en tenant compte des relations (3.143) :
f l (t ) = Fl 0 + Fl h (t )
nous pouvons écrire :
+∞
u (t ) = U 0 (t ) + ∑ u j (t )
(a. 37)
j =1
avec :
U 0 (t ) =
r ⋅ U dc
⋅ sin (θ )
2
(a. 38)
la valeur moyenne de cette tension sur la période d’échantillonnage et :
u j (t ) =
2 ⋅ U dc
 j ⋅π j ⋅π ⋅ r

⋅ cos( j ⋅ ω MLI ⋅ t ) ⋅ sin 
+
⋅ sin (θ )
j ⋅π
2
 2

(a. 39)
la j-eme composante harmonique de cette tension.
En fonction de l’ordre j des harmoniques nous pouvons écrire :
u ji (t ) =
2 ⋅U dc
 j ⋅π ⋅ r

⋅ cos( ji ⋅ ω MLI ⋅ t ) ⋅ cos  i
⋅ sin (θ ) ,
ji ⋅ π
 2

ji = 1, 3, 5,...
(a. 40)
pour les components harmoniques d’ordre j impair et :
u
jp
232
 j p ⋅π ⋅ r

⋅ sin (θ ) ,
 2

(t ) = 2 ⋅ U dc ⋅ cos( j p ⋅ ω MLI ⋅ t )⋅ sin 
j p ⋅π
j p = 2, 4, 6,...
(a. 41)
Annexes
pour des j pairs .
Dans ces expressions on développe en série de Taylor les fonctions sin(x) et cos(x)
avec :
x=
j ⋅π ⋅ r
⋅ sin (θ )
2
(a. 42)
et on s’arrête aux premières quatre termes :

x 2 x 4 x6
cos( x ) = 1 − + − + ...
2! 4! 6!

3
5
7
sin ( x ) = x − x + x − x + ...

3! 5! 7!
(a. 43)
On choisit la fréquence de l’onde de référence multiple entier de la fréquence de
commutation et on note par :
m=
ω MLI
ω
(a. 44)
l’indice de modulation.
Nous obtenons ainsi, pour les harmoniques de rang impair les expressions
suivantes :
[
]
u ji (t ) = 2 ⋅ U ji m + U ji m± 2 ⋅ sin (2θ ) + U ji m± 4 ⋅ sin (4θ ) + ... ⋅ cos( ji ⋅ m ⋅ ωt )
(a. 45)
avec les amplitudes des harmoniques impaires données par :
 Y2 Y4 
U ji m = X i ⋅ 1 − i + i 
4 64 

(a. 46)
Y 2 Y 4 
U ji m± 2 = X i ⋅  i − i 
 8 96 
(a. 47)
U ji m±4 = X i ⋅
Yi 4
384
(a. 48)
Dans ces expressions on a utilisé les notations suivantes :
233
Annexes
2 ⋅ U dc

 X i = π ⋅ j
i

Y = π ⋅ r ⋅ ji
 i
2
(a. 49)
Pour les harmoniques paires on trouve les expressions suivantes :
[
]
u j p (t ) = 2 ⋅ U j p m ±1 ⋅ sin (θ ) + U j p m ± 3 ⋅ sin (3θ ) + U j p m ± 5 ⋅ sin (5θ ) + ... ⋅ cos( j p ⋅ m ⋅ ωt )
(a. 50)
avec les amplitudes des harmoniques paires données par :
U j p m±1 =
Xp 
Y p3 Y p5
Y p7 

⋅ Y p −
+
−
2 
8 192 9216 
U j p m± 3 =
X p  Y p3 Y p5
Y p7 

⋅
−
+
2  24 384 9216 
U j p m± 5 =
X p  Y p5
Y p7 

⋅
−
2  1920 46080 
(a. 51)
(a. 52)
(a. 53)
Dans ces expressions on a utilisé les notations suivantes :
2 ⋅ U dc

X p = π ⋅ j

p

π ⋅r ⋅ jp

Y p =
2
(a. 54)
Finalement on arrive à :
u ji (t ) = U ji m ⋅ cos( ji ⋅ m ⋅ ωt )
+ U ji m ±2 ⋅ cos[( ji ⋅ m − 2 ) ⋅ ωt ] + U ji m ±2 ⋅ cos[( ji ⋅ m + 2 ) ⋅ ωt ] +
(a. 55)
+ U ji m ±4 ⋅ cos[( ji ⋅ m − 4 ) ⋅ ωt ] + U ji m ±4 ⋅ cos[( ji ⋅ m + 4 ) ⋅ ωt ] + ...
pour des harmoniques impaires et à :
[
⋅ sin [( j
⋅ sin [( j
]
⋅ m − 3)⋅ ωt ] + U
⋅ m − 5)⋅ ωt ] + U
[
⋅ sin [( j
⋅ sin [( j
]
⋅ m + 3)⋅ ωt ] +
⋅ m + 5)⋅ ωt ] + ...
u j p (t ) = U j p m ±1 ⋅ sin ( j p ⋅ m − 1)⋅ ωt + U j p m ±1 ⋅ sin ( j p ⋅ m + 1)⋅ ωt +
+ U j p m ±3
+ U j p m ±5
p
p
pour les harmoniques paires.
234
j p m ±3
j p m ±5
p
p
(a. 56)
Annexes
On peut voir qu’on trouve des familles d’harmoniques centrées sur les fréquences
multiples entières de la fréquence MLI. On peut aussi observer que les harmoniques
d’ordre multiple pairs de cette fréquence ont complètement disparu.
Dans la Figure A 4 nous avons représenté l’évolution des amplitudes des
composantes harmoniques pour ji = 1 et jp = 2 en fonction du coefficient de réglage
r. Les tensions sont rapportées à la valeur de crête maximale de la fondamentale
obtenue dans le cas d’une commande onde pleine.
Figure A 4 Variation de l’amplitude des termes harmoniques de la tension de sortie
de l’onduleur monophasé
Il faut noter que nous avons obtenu exactement les mêmes résultats que dans [46] ou
la forme exacte de l’onde de tension a été déterminé en calculant chaque instant de
commutation et en appliquant la transformée de Fourier a l’onde ainsi calculée14.
A2.2
Etude du contenu harmonique des tenions aux
bornes des phases de la machine triphasée à neutre isolé
En régime permanent les ondes de référence fournies par le régulateur de courants,
supposé analogique pour des raisons de simplicité, sont des tensions sinusoïdales
formant un système triphasé équilibré que nous pouvons écrire sous la forme
suivante :
14
Exactement les mêmes résultats peuvent être obtenus en utilisant le méthode de la
décomposition en double série de Fourier ([6], [7]).
235
Annexes
U 0 ⋅ cos(θ a )


abc
U ref
(t ) = U 0 ⋅ cos(θb )
 U ⋅ cos(θ ) 
c 
 0
(a. 57)
avec :
θ a = ωt

θ b = ωt − 2 ⋅ π 3
θ = ωt − 4 ⋅ π 3
 c
(a. 58)
Les tensions de sortie du l’onduleur (référencées par rapport au point médian, Figure
1.13) ont exactement la forme de la tension de sortie de l’onduleur monophasé, donc
nous pouvons écrire :
0
∞
 u a 0 (t )  U a 0 (t ) U a 0 (t )

  0   ∞ 
 u b 0 (t ) =  U b 0 (t ) +  U b 0 (t )
 u (t )  U 0 (t )  U ∞ (t )
 c 0   c 0   c0 
(a. 59)
avec :
U l00 (t ) =
r ⋅ U dc
⋅ sin (θ l ) , l = a, b, c
2
(a. 60)
la valeur moyenne de chacune de ces tensions sur la période d’échantillonnage et
avec :
+∞
U a∞0 (t ) = ∑ uaj0 (t ) , l = a, b, c
j =1
le contenu harmonique de ces tensions.
Dans cette expression, la composante harmonique d’ordre j de la tension de sortie de
l’onduleur est donnée par :
u lj (t ) =
2 ⋅ U dc
 j ⋅π j ⋅π ⋅ r

⋅ cos( j ⋅ ω MLI ⋅ t ) ⋅ sin 
+
⋅ sin (θ l ) , l = a, b, c
j ⋅π
2
 2

(a. 61)
En procédant comme dans le cas de l’onduleur monophasé nous trouvons le contenu
harmonique de ces tensions :
 u aji0 (t ) 
1
 cos(2θ a )
 cos(4θ a )
 j  
 




i
 u b 0 (t ) = U ji m ⋅ 1 + U ji m ± 2 ⋅  cos(2θ b ) + U ji m ± 4 ⋅  cos(4θ b ) ⋅ cos( ji ⋅ m ⋅ ωt )
 ji  
1
 cos(2θ )
 cos(4θ )
c 
c 
 


 u c 0 (t ) 
236
(a. 62)
Annexes
pour des ordres impairs et :
 u aj0p (t ) 
 sin (θ a )
 sin (3θ a )
 sin (5θ a )
 j  
(a. 63)






 u b 0p (t ) = U j p m±1 ⋅  sin (θ b ) + U j p m ±3 ⋅  sin (3θ b ) + U j p m±5 ⋅  sin (5θ b ) ⋅ cos( j p ⋅ m ⋅ ωt )
 j p  
 sin (θ )
 sin (3θ )
 sin (5θ )
u (t )
c 
c 
c 



 c0  
pour des ordres pairs.
En poursuivant les calculs, ces expressions prennent la forme suivante :
 u aji0 (t )
1
 j 
 
i
(
)
u
t
U
=
⋅
 b0 
ji m 1 ⋅ cos( ji ⋅ m ⋅ ωt )
 ji 
1
 
 u c 0 (t )
(a. 64)
cos[( ji ⋅ m − 2 ) ⋅ ωt ] 
cos[( ji ⋅ m + 2 ) ⋅ ωt ]





+ U ji m ± 2 ⋅  cos[( ji ⋅ m − 2 ) ⋅ ωt + 2π 3] + U ji m± 2 ⋅  cos[( ji ⋅ m + 2 ) ⋅ ωt − 2π
 cos[( j ⋅ m − 2 ) ⋅ ωt + 4π 3]
 cos[( j ⋅ m + 2 ) ⋅ ωt − 4π
i
i



cos[( ji ⋅ m − 4 ) ⋅ ωt ] 
cos[( ji ⋅ m + 4 ) ⋅ ωt ]





+ U ji m ± 4 ⋅  cos[( ji ⋅ m − 4 ) ⋅ ωt + 2π 3] + U ji m± 4 ⋅  cos[( ji ⋅ m + 4 ) ⋅ ωt − 2π
 cos[( j ⋅ m − 4 ) ⋅ ωt + 4π 3]
 cos[( j ⋅ m + 4 ) ⋅ ωt − 4π
i
i





3]
3]


3] + ...
3]
pour des ordres pairs et :
[
]
 u aj0p (t )

sin ( j p ⋅ m − 1)⋅ ωt
 j 

 u b 0p (t ) = U j p m±1 ⋅  sin ( j p ⋅ m − 1)⋅ ωt + 2π 3
 j p 
 sin ( j ⋅ m − 1)⋅ ω + 2π 3 t
u (t )
p

 c0 
[
[
[
]
[
]

sin ( j p ⋅ m − 3)⋅ ωt

+ U j p m±3 ⋅  sin ( j p ⋅ m − 3)⋅ ωt + 2π 3
 sin ( j ⋅ m − 3)⋅ ω + 2π 3 t
p

[
[
j p m±1
[
]
[
]
[
]

sin ( j p ⋅ m + 1)⋅ ωt

⋅  sin ( j p ⋅ m + 1)⋅ ωt − 2π 3
 sin ( j ⋅ m + 1)⋅ ω − 2π 3 t
p

[
[


]
]


sin ( j p ⋅ m + 3)⋅ ωt


(
+
U
⋅
sin
j p ⋅ m + 3)⋅ ωt − 2π 3

j p m ±3 

 sin ( j ⋅ m + 3)⋅ ω − 2π 3 t
p


]
]

sin ( j p ⋅ m − 5)⋅ ωt

+ U j p m±5 ⋅  sin ( j p ⋅ m − 5)⋅ ωt + 2π 3
 sin ( j ⋅ m − 5)⋅ ω + 2π 3 t
p

[
[


] + U
]
[
[
]
]


sin ( j p ⋅ m + 5)⋅ ωt


 + U j p m±5 ⋅  sin ( j p ⋅ m + 5)⋅ ωt − 2π 3

 sin ( j ⋅ m + 5)⋅ ω − 2π 3 t
p


]
]
[
[
(a. 65)







 + ...


]
]
pour des ordres impairs.
Nous avons vu au paragraphe 1.4.2 du Chapitre 1 que les tensions aux bornes des
phases de la charge sont liées aux tensions de sortie de l’onduleur par la relation
(1.1) :
 ua (t )
 ua 0 (t )




 ub (t ) = S ⋅  ub 0 (t )
 u (t )
 u (t )
 c0 
 c 
237
Annexes
avec :
+ 2 −1 −1

1 
S = ⋅  −1 + 2 −1
3 

 − 1 − 1 + 2
Dès lors, on obtient les termes constituant le spectre harmonique des tensions de
phase de la machine en multipliant par la matrice S les termes harmoniques des
tensions de sortie de l’onduleur. Nous obtenons ainsi les expressions suivantes :
 u aji (t )
 j  U j m±2
 u b i (t ) = i
3
 ji 
 u c (t )
cos[( ji ⋅ m m 2 ) ⋅ ωt ] 


 U j m± 4
⋅  cos[( ji ⋅ m m 2 ) ⋅ ωt ± 2π 3] + i
3
 cos[( j ⋅ m m 2 ) ⋅ ωt ± 4π 3]
i


cos[( ji ⋅ m m 4 ) ⋅ ωt ] 

(a. 66)


⋅  cos[( ji ⋅ m m 4 ) ⋅ ωt ± 2π 3] + ...
 cos[( j ⋅ m m 4 ) ⋅ ωt ± 4π 3]
i


pour les ordres impairs et :
 u aj p (t )
 j  U j m±1
 u b p (t ) = p
3
 j p 
()
 uc t 
+
[
]


sin ( j p ⋅ m m 1)⋅ ωt

 U j m ±3
⋅  sin ( j p ⋅ m m 1) ⋅ ωt ± 2π 3  + p
3
 sin ( j ⋅ m m 1) ⋅ ωt ± 4π 3 
p


[
[
[
]
]
]


sin ( j p ⋅ m m 5) ⋅ ωt

U j p m±5 
⋅  sin ( j p ⋅ m m 5)⋅ ωt ± 2π 3  + ...
3
 sin ( j ⋅ m m 5)⋅ ωt ± 4π 3 
p


[
[
[
]


sin ( j p ⋅ m m 3) ⋅ ωt


⋅  sin ( j p ⋅ m m 3) ⋅ ωt ± 2π 3 
 sin ( j ⋅ m m 3) ⋅ ωt ± 4π 3 
p


[
[
]
]
(a. 67)
]
]
pour des ordres pairs.
Nous pouvons observer que le terme à la fréquence de commutation à été éliminé du
spectre harmonique de ces tensions. Ceci est dû au fait que la transformée S élimine
les composantes de type homopolaire et laisse inchangés les systèmes équilibrés.
En regardant de nouveau la Figure A 4 on peut voir que dans ce cas les amplitudes
des harmoniques constituant la famille à deux fois la fréquence de commutation sont
prépondérantes pour r petit (donc à basse vitesse) et de même ordre de grandeur que
celles de la famille à la fréquence de commutation à haute vitesse de la machine. On
peut aussi observer que les familles à des fréquences plus élevées sont négligeables.
Ceci montre que, dans le cas des systèmes triphasés ou le récepteur est à neutre
isolé, pour avoir une bonne estimation des ondulations dues à la découpe MLI il est
nécessaires de considérer dans le développement en série des fonctions de
commutation, non seulement les termes harmoniques à la fréquence de commutation
mais la somme des termes harmoniques à la fréquence de commutation et ceux à
deux fois cette fréquence. Donc il faut choisir h = 2.
238
Annexes
Annexe 3 Etude du contenu harmonique du
couple électromagnétique de la machine
synchrone à aimants permanents
Le couple électromagnétique développé par le machine synchrone à aimants
permanents est donné par l’expression suivante :
C em =
1
•
θ
[
]
⋅ ia (t ) ⋅ ea (t ) + ib (t ) ⋅ eb (t ) + ic (t ) ⋅ ec (t )
(a. 68)
où ia, ib et ic sont les courants traversant les phases de la machine et ea, eb et ec sont
les forces électromotrices qui sont données par l’expression (2.82) :
ea (t ) = E0 ⋅ cos[ω ⋅ t + π 2]

eb (t ) = E0 ⋅ cos[ω ⋅ t + π 2 − 2 ⋅ π 3]
e (t ) = E ⋅ cos[ω ⋅ t + π 2 − 4 ⋅ π 3]
0
 c
La composante utile de ce couple peut être déterminée en utilisant le modèle de
valeurs moyennes du système. Nous pouvons des lors écrire :
0
C em
=
1
•
θ
[
]
⋅ ia0 (t ) ⋅ ea (t ) + ib0 (t ) ⋅ eb (t ) + ic0 (t ) ⋅ ec (t )
(a. 69)
0
où ia , ib0 et ic0 correspondent aux composantes utiles des courants ia, ib et ic
respectivement.
Sur la base du modèle harmonique du système nous pouvons déterminer
l’expression analytique caractérisant les ondulations du couple autour de la valeur
moyenne fournie par l’expression précédente et quantifier ainsi son contenu
harmonique en régime permanent. Nous pouvons des lors écrire :
h
Cem
=
1
•
θ
[
]
⋅ iah (t ) ⋅ ea (t ) + ibh (t ) ⋅ eb (t ) + ich (t ) ⋅ ec (t )
(a. 70)
où iah, ibh et ich correspondent au contenu harmonique des courants ia, ib et ic
respectivement.
Pour trouver les termes harmoniques de ces courants il faut intégrer les expressions
des composantes harmoniques des tensions appliquées aux phases de la machine
(relations (a. 66) et (a. 67)). Nous obtenons ainsi :
239
Annexes
 iaji (t )
 j 
U ji m ± 2
 ib i (t ) =
 ji  3 ⋅ Ls ⋅ ( ji ⋅ m m 2 ) ⋅ ω
 ic (t )
+
cos[( ji ⋅ m m 2 ) ⋅ ωt − π 2] 



⋅  cos[( ji ⋅ m m 2 ) ⋅ ωt − π 2 ± 2π 3]
 cos[( j ⋅ m m 2 ) ⋅ ωt − π 2 ± 4π 3]
i


(a. 71)
cos[( ji ⋅ m m 4 ) ⋅ ωt − π 2] 



⋅  cos[( ji ⋅ m m 4 ) ⋅ ωt − π 2 ± 2π 3] + ...
3 ⋅ L s ⋅ ( ji ⋅ m m 4 ) ⋅ ω 

 cos[( ji ⋅ m m 4 ) ⋅ ωt − π 2 ± 4π 3]
U ji m ± 4
pour les ordres impairs et :
 iaj p (t )
 j 
U j p m ±1
 ib p (t ) =
3
⋅
L
⋅
j p ⋅ m m 1) ⋅ ω
(
s
 icj p (t )


+
+
[
]


sin ( j p ⋅ m m 1) ⋅ ωt − π 2


⋅  sin ( j p ⋅ m m 1)⋅ ωt − π 2 ± 2π 3 
 sin ( j ⋅ m m 1)⋅ ωt − π 2 ± 2π 3 
p


[
[
[
]
[
]
]
]
(a. 72)


sin ( j p ⋅ m m 3) ⋅ ωt − π 2


⋅  sin ( j p ⋅ m m 3) ⋅ ωt − π 2 ± 2π 3 
3 ⋅ L s ⋅ ( j p ⋅ m m 3) ⋅ ω 

 sin ( j p ⋅ m m 3) ⋅ ωt − π 2 ± 4π 3 
U j p m ±3
[
[
]
]


sin ( j p ⋅ m m 5) ⋅ ωt − π 2


⋅  sin ( j p ⋅ m m 5) ⋅ ωt − π 2 ± 2π 3  + ...
3 ⋅ Ls ⋅ ( j p ⋅ m m 5 )⋅ ω 

 sin ( j p ⋅ m m 5) ⋅ ωt − π 2 ± 4π 3 
U j p m±5
[
[
]
]
pour des ordres pairs.
En introduisant ces relations dans (a. 70) et en tenant compte de (2.82) nous
trouvons l’expression suivante pour les composantes harmoniques du couple
électromagnétique :
C emji =
U ji m ± 2
 U ji m ± 2
E0
⋅
⋅ cos[( ji ⋅ m − 1) ⋅ ωt ] −
⋅ cos[( ji ⋅ m + 1) ⋅ ωt ]
2 
( ji ⋅ m + 2 )
2 ⋅ Ls ⋅ ω  ( ji ⋅ m − 2 )
U ji m ± 4
U ji m± 2

+
⋅ cos[( ji ⋅ m − 3) ⋅ ωt ] −
⋅ cos[( ji ⋅ m + 3) ⋅ ωt ] + ...
( ji ⋅ m − 4 )
( ji ⋅ m + 4 )

(a. 73)
pour des ordres impairs et :
j
C emp =
E0
2 ⋅ Ls ⋅ ω 2
 2 ⋅ U j p m ±1
⋅
⋅ cos( j p ⋅ m ⋅ ωt )
2
 ( j p ⋅ m ) − 1
U j p m ±3
U j p m±3
(
)
+
⋅ cos ( j p ⋅ m − 2 ) ⋅ ωt −
( j p ⋅ m − 3)
( j p ⋅ m + 3) ⋅ cos j p ⋅ m + 2 ⋅ ωt +
+
(j
U j p m±5
p
⋅ m − 5)
[
]
[
] (j
⋅ cos ( j p ⋅ m − 4 ) ⋅ ωt −
[
U j pm±5
p
⋅ m + 5)
(a. 74)
]

⋅ cos ( j p ⋅ m + 4 ) ⋅ ωt + ...

[
]
pour des ordres pairs.
On peut observer que dans le spectre harmonique du couple électromagnétique on
retrouve les termes de rang multiple pair de la fréquence de commutation.
240
Références bibliographiques
Références bibliographiques
[1] Akcay H., On the Uniform Approximation of Discrete-Time System by
generalized Fourier Series, IEE Trans. on Signal Processing, Vol. 49,
No.7, July 2001
[2] Analog Devices, Single chip DSP Based high performance motor
controller: ADMC 401, Data sheet, Rev. B, June 2000.
[3] Bacha S., Rognon J.P., Ferrieux J.P., Bendaas M.L., Approche dynamique
du premier harmonique pour la modelisation de convertisseurs AC-AC à
etage intermediaire continu. Application aux générateurs à induction,
Journal de Physique III France 5, February 1995, No ;2, pp.145-160
[4] Belevitch V., Classical network theory, Holden Day San Francisco, 1968.
[5] Blaabjerg F., Pederson JK., Jaeger U., A critical evaluation of modern
IGBT modules, Proceedings of EPE’95 Conference, vol. 1, pp 594-601.
[6] Black, H.S., Modulation Theory, Van Nostrand, 1953
[7] Bowes S.R., Bird B.M., Novel approach to the analysis and sysnthesis of
modulation process in power converters, Proc.IEE, Vol. 122, No. 5, May
1975, pp. 507-513
[8] Buyse H. , Grenier D., Labrique F., Gusia S., Dynamic Modeling of Power
Electronic Converters using a Describing Function Like Approach,
Proceedings of the 6th International Conference ELECTRIMACS'99,
Lisbon, Portugal, 14-16 September 1999, Vol. 1, pp. 7-14.
[9] Buhler H., Réglage de systèmes d’electronique de puissance, tome 2, Press
Polytechn iques romandes, Lausanne, 1997, ISBN 2-88074-342-7
[10] Caliskan V.A., Verghese G.C., Multifrequency Averaging of DC/DC
Converters, IEEE Transactions on Power Electronics, Vol. 14, No.1,
January 1999, pp. 124-133
[11] Chang G.W., Lin H., W., Chen S.K., An Analytical Approach for
determining Harmonic Characteristics of high-Speed Railway Traction
Drive Converter, IEEE 2001, pp. 677-682
Références bibliographiques
[12] De la Vallée Poussin H., Legat JD., Grenier D., Labrique F., Design of a
processor dedicated to AC motor control in a multi-processor structure,
Proceedings of the XVI Conference on Design of Circuits and Integrated
Systems DCIS2001, Porto, Portugal, 20-23 novembre 2001, pp. 594-599
[13] Fu Y., Gilson E., Debauche JL., Labrique F., Buyse H., Current control in
fully digital VSI fed SMPM synchronous motor drive systems, Proceedings
of the IEEE Power Electronics Specialists Conference (PESC' 96), Baveno,
Italy, juin 1996, pp. 1568-1574
[14] Fu Y., Sente P., Labrique F., Robyns B., Fully digital FOC control of a VSI
fed synchronous motor using a ripple free current measurement method,
Proceedings of SPEEDAM 94, Taormina, Italy, juin 1994, pp. 71-75
[15] Fu Y., Labrique F., Buyse H., Sensitivity of various synchronous motors
field oriented control structures to the discretization effects related to their
digital implementation, Proceedings of the CESA'96 IMACS
Multiconference, Lille, France, juillet 1996, vol. 1, 1996, pp. 616-621
[16] Grenier D., Labrique F., Matagne E., Busye H., Discretization Effects on
the Control of VSI fed PM Synchronous Motor Drives,
ELECTROMOTION International Journal, 1997, vol. 4, n.4, pp. 155-163
[17] Grenier D., Labrique F., Buyse H., Matagne E., Electromécanique –
Convertisseurs d’énergie et actionneurs, Dunod, Paris, France, 2001.
[18] Guinee R.A., Lyden C., A Single Fourier Series Technique for the
silmulation and analysis of Asynchronous Pulse Width Modulation in
Motor Drive Systems, IEEE, 1998, pp. VI-635-656
[19] Guinee R.A., Lyden C., A Novel Single Fourier Series Technique for the
Silmulation and Analysis of Asynchronous Pulse Width Modulation, IEEE
Applied Power Electronics Conference and Exposition, Anaheim,
California, February 1998, pp. 123-128
[20] Guinee R.A., Lyden C., A nowel analytical technique for special analysys
prediction in Asynchronous Pulsewidth Modulated Inverter systems, IEEE,
1999, pp. 177-180
[21] Gusia S., Grenier D., Labrique F., Buyse H, An analytical model of the
torque ripple induced by the pulse width modulation in permanent magnet
synchronous motor, Proceedings of the ELECTROMOTION Conference,
Bologna, Italy, 19-20 June 2001, Vol. 1, pp. 87-92.
242
Références bibliographiques
[22] Gusia S., Grenier D., Labrique F., Buyse H., Multitime scale model for
discrete time modelling of current control loop in VSI feed PMSM drives,
Special issue of ELECTROMOTION journal 2003, vol.10, no. 3, pp.229233
[23] Gusia S., Grenier D., Labrique F., Buyse H., Sente P., Réflexions sur
l'implantation numérique et l'analyse en temps discret de la commande
vectorielle des machines à courant alternatif: une synthèse, Proceedings of
EF'2003 International Conference (Electrotechnique du futur), Gif-surYvette, France, 9-10 December 2003, CD-ROM, article n°29
[24] Gusia S., Grenier D., Labrique F., Buyse H., Two time scale global
dynamical modelling of power electronic systems , Journal of Mathematics
and Computers in Simulation, 63 (2003), pp. 225-236, ISBN 0378-4754.
[25] Kokotovic P., Khalil H.K., J. O’Reilly, Singular Perturbation Methods in
Control – Analysis and Design, sIAM Society for Industrial and Applied
Mathematics, Philadelphia, 1999
[26] Labrique F., Séguier G., Bausière R., Les convertisseurs de l'electronique
de puissance. Vol. 4: La converssion continu-altenatif, Technique et
Documentation -Lavoisier, Paris, France, 1995.
[27] Labrique F., Buyse H., Séguier G., Bausière R., Les convertisseurs de
l'electronique de puissance. Vol. 5: Commande et comportement
dynamique, Technique et Documentation -Lavoisier, Paris, France, 1998.
[28] Labrique F., Grenier D., Buyse H., Etude par les récurrences du
comportement en boucle fermée de systèmes électroniques de puissance,
Revue Internationale de Génie Electrique, Editions Hermes Paris, France,
1998, vol. 1, n. 3, 1998, pp. 417-444
[29] Lehman B., Bass R.M, Switching Frequency dependent Averaged Models
for PWM DC-DC Converters, IEEE Trans. on Power Electronics, Vol. 11,
No. 1, January 1996, pp. 89-98
[30] Lehman B., Bass R.M, Extensions of Averaging theory for power
Electronic Systems, IEEE Trans. on Power Electronics, Vol. 11, No. 1, July
1996, pp. 542-553
[31] Leonhard W., 30Years space vector, 20 years field orientation, 10 years
signal processing with controlled AC drives, a review, EPE Jurnal, n° 1 juillet 1991 and n° 2, October 1991.
243
Références bibliographiques
[32] Matagne E., Circuits de contrôle du courant par onduleur MLI dans les
actionneurs triphasés, actes du 4e Colloque sur l'Electronique de puissance
du futur, Marseille, France, novembre 1992, pp. 7-1/6-7-6/6
[33] Middlebrook R. D., Cuk S., A general unified approach to modelling
switching dc to dc converters in discontinuous conduction mode, IEEE
Power Electronic Specialists Conference, 1977, pp. 521-550.
[34] Middlebrook R. D., Cuk S., A general unified approach to modelling
switching-converter power stages, IEEE Power Electronic Specialists
Conference, 1977, pp. 36-57.
[35] Monmasson E., Chapuis YA., Contribution of FPGA in Control of
Electrical Systems, a Review, IEEE Industrial Electronics Society
Newsletter, article invité, vol. 49, n° 4, pp. 8-15, 2002.
[36] Noworolski J.M, Sanders S.R., Generalized In-Place Circuit Averaging,
IEEE 1991, pp.445-451
[37] Perreault D.J., G.C. Verghese, Time-varying Effects and Averaging Issues
in Models for Current-Mode Control, IEE Trans. on Power Electronics,
Vol 12, no 3, May 1997, pp. 453-461
[38] Pindado R., A Modelling and Closed-Loop Control Method for DC-DC
PWM Converters by Local Average Techniques, Proceedings of ISIE’99,
Bled, Slovenia, pp. 241-246
[39] Rico J.J. Acha E., The use of Switching Functions and Walsh Series to
Calculate Waveform Distortion in Thyristor Controlled Compensated
Power Electronics, IEEE transactions in Power Delivery, Vol.13, no. 4,
October 1998, pp. 1370-1377
[40] Robyns B., Labrique F., Buyse H., Digital control with decoupling state
feedback of AC actuators, Proceedings of the Third International Workshop
on Microcomputer Control of Electric Drives organised by the IEEE
Industrial Electronics Society, Marseille, France, juillet 1991, pp. E1-E9
[41] Robyns B., Nasser M., Bertherau F., Labrique F., Equivalent Continuous
Dynamic Model of a Variable Speed Wind Generator, Proceedings of
ELECTROMOTION 2001 Conference, Bologna, June 2001, pp. 541-546
[42] Sanders S.R, Noworoloski J.M, Liu X.Z., Verghese G.C., Generalized
Averaging Method for Power Conversion Circuits, IEEE International
Symposium on Circuits and Systems, New Orleans, May 1990, pp. 333-340
244
Références bibliographiques
[43] Sanders S.R, Noworoloski J.M, Liu X.Z., Verghese G.C., Generalized
Averaging Method for Power Conversion Circuits, IEEE Transactions on
Power Electronics, Vol.68, No. 2, April 1991, pp. 251-259
[44] Sanders S.R, Verghese G.C., Synthesis of Average Circuit Models for
Switched Power Converters, IEEE Transactions on Circuits ans Systems,
Vol. 38, No.8, August 1991, pp. 905-915
[45] Sanders S.R, Justification of describing Function Method for Periodically
Switched Circuits, IEEE 1992, pp. 1887-1890
[46] Séguier G., Labrique F., Power electronic converters: DC-AC conversion,
Springer-Verlag, 1994.
[47] Sente P., Buyse H., Modulateur de largeur d'impulsion pour onduleur à
commande numérique vectorielle, Actes du 6e Colloque sur le
positionnement incrémental par entraînement électrique, Lausanne, Suisse,
4-5 juillet 1990, pp. 75-86
[48] Sévely Y., Systèmes et asservissements linéaires échantillonnés, Editions
Dunod, Paris, France, 1973
[49] Sun J., Bass R.M., Modelling and Practical design Issues for Average
current Control, IEEE, 1999, pp. 980-989
[50] Sun J., Heck B., Lehman B., Continuous Approximation and the stability of
Averaging, IEEE 2000, pp. 139-144
[51] Tooth D.J., Finny S. J., Williams B.W, Fourier Theory of jumps Applied to
Converter Harmonic Analysis, IEE Trans. on Aerospace and 3Electronic
systems, Vol. 37, No. 1, January 2001
[52] Van der Woude J.W, de Koning W.L., Fuad Y., On the Periodic Behavior
of PWM DC-DC Converters, IEEE Transactions on Power Electronics, vol.
17, No. 4, July 2002, pp. 585-595
[53] Yala S., Grenier D., Labrique F., Dochain D., Matagne E., Compensation
of the Discretization Effects on the Control in Park Reference Frame of
Voltage Source Inverter fed Surface-Mounted Permanent-Magnet
Synchronous Motors, Proceedings of PEMC '98, Prague, Tchéquie, 8-10
septembre 1998, vol. 5 of 7, 1998, pp. 36-41
245