TD PO4 - Lasne

potentielle est nulle sur le segment et infiniment grande partout ailleurs (particule dans
TD PO5
A PPROCHE ONDULATOIRE DE LA MÉCANIQUE
une "boîte"). Sa fonction d’onde ψ(x) est alors liée à l’énergie totale E par l’équation
différentielle :
QUANTIQUE
−
h2 d2 ψ
= Eψ
8π 2 m dx2
(équation de Schrödinger stationnaire), où h est la constante de Planck.
Exercice PO5 .1 : Longueur d’onde de D E B ROGLIE
Calculer la longueur d’onde de De Broglie pour un électron d’énergie cinétique
m/s. Commenter.
1. Montrer
que
nπx
la solution de l’équation différentielle est de la forme ψ(x) =
A sin
, où n est un entier et A une constante d’intégration qu’on ne cherL
chera pas à déterminer.
Exercice PO5 .2 : État fondamental de l’atome d’hydrogène
2. Donner l’expression des niveaux d’énergie En en fonction de m, L, h et n.
égale à 10 eV, puis pour une personne de masse 70 kg se déplaçant à la vitesse de 10
La fonction d’onde associée à l’électron est obtenue par résolution de l’équation de
3. Dans le β-carotène (ci-dessous), ce sont les électrons des onze liaisons doubles qui
Schrödinger. Pour l’état fondamental elle a pour expression en M (r, θ, ϕ) : Φ(M ) =
se comportent comme des particules libres confinées, sur une longueur L = 1, 83
Ae−r/a0
nm. Dans l’état fondamental, ces électrons occupent les onze niveaux d’énergie les
plus bas.
1. Quel est, au premier ordre, le volume dτ compris entre les sphères de rayons r et
r + dr ?
2. En déduire la probabilité dP = f (r).dr que la position de l’électron soit mesurée
entre r et r + dr. En déduire une valeur de A. On donne :
Z
∞
xn e−αx dx =
0
n!
pour α > 0
αn+1
(a) Calculer les niveaux d’énergie E11 et E12 . On donne h = 6, 63.10−34 J.s.
3. Pour quelle valeur r0 de r la probabilité de trouver lŠélectron est-elle maximale ?
(b) En déduire l’énergie, puis la longueur d’onde dans le vide, d’un photon ab-
Représenter l’allure de f (r).
sorbé par une molécule lorsqu’un électron passe du niveau 11 au niveau 12.
4. Quelle est la valeur moyenne r de r dans cet état ? Quelle quantité physique
On donne c = 3.108 m/s.
représente a0 ?
(c) Expliquer alors la couleur orangée des organismes contenant une grande quantité de cette molécule (carotte, citrouille...).
Exercice PO5 .3 : Énergie et fonction d’onde d’un électron confiné
Certaines molécules ayant une longue chaine linéaire, comme le β-carotène,
Exercice PO5 .4 : Oscillateur harmonique quantique
contiennent des électrons qui ne sont pas attachés à un noyau particulier, mais peuvent
au contraire se déplacer sur toute la longueur de la molécule (électrons "délocalisés").
Un oscillateur harmonique unidimensionnel de masse m, de pulsation propre ω0 ,
On modélise un tel électron, de masse m = 9, 11.10−31 kg, comme une particule qui se
est soumis à une énergie potentielle V (x) =
La position moyenne hxi et la
quantité de mouvement moyenne hpx i sont nulles.
déplace librement sur un segment de droite, entre les abscisses x = 0 et x = L. L’énergie
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1
2 2
2 mω0 x .
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1. A partir de la relation d’incertitude de Heisenberg, montrer que l’oscillateur a
1. Justifier que l’on peut se place dans l’approximation d’une barrière épaisse.
une énergie minimale, et en déduire l’indétermination quantique sur la position
2. On rappelle que dans ce cas, on peut estimer le coefficient de réflexion par T ∼
~
exp (−2L/δ) avec δ = p
. Estimer le courant tunnel qui émerge de
2m (V0 − E)
l’autre côté de la barrière.
∆x en fonction de ~, m et ω0 .
2. Pour l’état fondamental, la partie spatiale de la fonction d’onde de l’état station2
naire s’écrit ϕ(x) = A exp − xa2
(a) Déterminer la constante A
3. Toutes choses égales par ailleurs, on remplace les électrons par des protons. Comment est modifié le courant tunnel ?
(b) Représenter ϕ(x). Vérifier que hxi = 0.
(c) Attention, calculs non triviaux... Déterminer l’énergie E de ce mode et en
déduire a en fonction de ~, m et ω0 . Comparer à la première partie de l’exer-
Exercice PO5 .7 : Marche de potentiel
cice.
On donne :
On étudie le mouvement d’une particule quantique dans le potentiel V (x) (marche
R +∞
−∞
de potentiel) défini par :
exp(−αu2 )du =
pπ
α.
V (x < 0) = 0 (région I) ; V (x > 0) = V0 > 0 (région II)
Exercice PO5 .5 : Puits semi-infini
On étudie les états stationnaires d’une particule liée d’énergie E telle que −V0 <
On envisage le cas√d’une particule quantique incidente d’énergie E > V0 . On pose
√
2m(E−V0 )
et k2 =
.
k1 = 2mE
~
~
E < 0 (avec V0 > 0) dans un puits de potentiel de la forme :
V (x < 0) = +∞ ; V (0 < x < L) = −V0 ; V (x > L) = 0
1. On pose V0 + E =
~2 k 2
2m
1. Montrer qu’un état stationnaire de la particule peut être représenté par la fonction
2 2
~
et E = − α2m
. Montrer que l’on doit chercher la partie
d’onde propre :
spatiale de la fonction d’onde sous la forme :
ϕ(x < 0) = A exp(ik1 x) + rA exp(−ik1 x) ; ϕ(x > 0) = tA exp(ik2 x)
ϕ(x < 0) = 0 ; ϕ(0 < x < L) = A exp(ikx)+B exp(−ikx) ; ϕ(x > L) = C exp(−αx)
2. En déduire l’équation dont est solution k et montrer qu’il existe un nombre fini
où A est une constante non nulle.
2. Écrire les relations de raccordement en x = 0 et en déduire les expressions de r et
d’états liés. Comparer l’énergie de liaison dans l’état fondamental avec celle d’un
de t. Examiner le cas où E V0 et commenter.
puits de même largeur infini des deux côtés.
3. En superposant des états stationnaires d’énergies voisines de E, on forme un paExercice PO5 .6 : Courant tunnel
quet d’onde, représentant une particule quantique incidente. La figure ci-dessous
Un faisceau d’électrons, correspondant à une intensité I = 0, 1 mA, est envoyé sur
représente l’évolution dans l’espace et dans le temps de ce paquet d’ondes. La zone
une barrière de potentiel de largeur d = 1, 0 nm et de hauteur V0 = 2, 0 eV. L’énergie
colorée correspond à la région II (x > 0) où V (x) = V0 . Le temps s’écoule du haut
cinétique d’un électron incident est E = 1, 0 eV.
vers le bas de la figure.
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la composition isotopique du mélange. Prévoir qualitativement si le faisceau
réfléchi est plus riche ou plus pauvre en isotope de plus grande masse.
(b) On se place dans la limite où E V0 . Donner l’expression approchée de R
correspondant à cette limite.
(c) On note m1 et m2 les masses des deux isotopes qui forment le faisceau de
particules quantiques incidentes. Toutes ces particules quantiques sont envoyées avec la même vitesse. Expliquer pourquoi les coefficients de réflexion
R1 et R2 diffèrent pour les deux isotopes et exprimer le rapport R1 /R2 en
fonction du rapport des masses m1 /m2 . Le faisceau réfléchi est-il enrichi en
isotope le plus lourd ou le plus léger ?
Commenter aussi précisément que possible ces graphes.
4. Dans la situation où E < V0 , l’expression de la fonction d’onde propre dans la
région I peut être conservée. Expliquer cependant comment est modifié k2 et par
suite, le coefficient r. En déduire alors l’expression de la probabilité de réflexion
R de la particule dans ce cas.
5. Tracer R(E). Commenter. une analogie ?
6. Application : enrichissement isotopique.
Une source envoie, depuis −∞, un faisceau de particules quantiques, constitué
d’un mélange de deux isotopes. On souhaite utiliser le phénomène de ré ?exion sur
la marche de potentiel pour modi ?er la composition isotopique du mélange.
(a) Expliquer pourquoi il est nécessaire que l’énergie E des particules quantiques
soit supérieure à la hauteur de la marche de potentiel V0 si l’on veut modifier
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