L`équation intégrale de la conservation de quantité de mouvement

Université se Caen-Basse Normandie
2009 - 2010
UFR des Sciences
Master 1 IMM mention Ingénierie Mécanique (M1)
Dynamique des Fluides réels : Td1 - Rappel
Équation intégrale de la conservation de quantité de mouvement,
Équation de Bernoulli, Équation d’énergie et Perte de charge
L’équation intégrale de la conservation de quantité de mouvement
−
→
n
(S)
−
→
v
dS
(V )
→
• ρ−
v dV : quantité de mouvement d’un élément du volume
• (V ) : volume de contrôle
dV
fixe
→
→
→
• −ρ−
v (−
v ·−
n )dS : force exercée par un flux massique
−
→
−
→
ρ( v · n )dS entrant le volume de contrôle à travers dS
• (S) : surface de contrôle
→
• −
n
:
vecteur
normal
−
→
→
→
→
• −
σ =−
σ ·−
n : Force surfacique s’exerçant sur un élément
extérieur à S
de surface dS
→
• −
v : vitesse du fluide
−
→
• ρ f dV : force à distantce s’exerçant sur un élément de
−
→
→
• −
σ : tenseur de contraintes.
volume
Le principe fondamental de la dynamique appliqué à V :
ZZZ
ZZZ
ZZ
ZZ
−
→
−
→
D
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
→
ρ v dV =
ρ f dV +
− ρ v ( v · n )dS +
σ ·−
n dS
Dt
(V )
|
}
taux de varitaion de la
quantité de mouvement
D’où on tire
D
Dt
(V )
(S)
{z
ZZZ
(V )
|
{z
}
force engendrée parle flux de
la quantité de mouvement
→
ρ−
v dV +
ZZ
→
→
→
ρ−
v (−
n ·−
v )dS =
|
1
|
−
→
ρ f dV +
ZZ
force du volume
ZZZ
(V )
(S)
(S)
}
{z
{z
}
force de surface
(S)
−
→
σ dS
Équation de Bernoulli
Pour un écoulement permanent et incompressible l’équation de Bernoulli affirme que la quantité
1
v
2
2
+ gz +
p
= Cte. = C
ρ
reste constante le long d’une ligne de courant.
Perte de charge
Il est commode et utile d’appeler la constante au deuxième membre charge; elle s’exprime sous la
forme d’une hauteur de la colonne du liquide :
h=
C
.
g
(1)
Alors que l’équation de Bernoulli a été démontrée pour un fluide parfait, les fluides réels sont
visqueux et l’écoulements non uniformes. Par conséquent, pour l’écoulement dans une conduite
on utilise la vitesse moyenne U calculé à partir de débit volumique Q divisé par la section S :
U = Q/S.
De plus, dans un écoulement permanent le fluide perd d’énergie pour vaincre les forces de
frottement interne (viscosité/turbulence) ce qui conduit à une chute de pression appelée perte de
charge. Il est commode d’appeler la perte de charge liée à la longueur, la rugosité de la conduite
et la viscosité, perte de charge ”linéaire” (ou ”linéique”) ou régulière hr . Quand les pertes de
charge sont dues aux formes géométriques de canalisation (coude, tés, élargissement ou contraction
brusque, cônes, joints, clapets, passage à travers une grille, vanne, robinet, ...) on parle alors de
perte de charge singulière, hs .
Lignes de charges : représentation graphique
Pour interpréter graphiquement l’équation de Bernoulli on note d’abord que p∗ = p+ρg représente
l’énergie potentielle par unité de volume dans le champs de pesanteur, g, en presence de la pression
p; il s’agit de la charge obtenue au repos. C’est pourquoi on appelle p∗ /ρg charge piézometrique
ou ligne piézometrique en lequel p/(ρg) représente la charge due à la pression et z la charge
potentielle.
2
ligne piézometrique
plan de charge; ligne de charge totale
v 21 /2g
v 2 /2g
v 22 /2g
p2 /ρ
p/ρ
h
p1 /ρ
Canalisation
ligne moyenne
z2
z
z1
plan de référence
111111111111111111111111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111111111111111
000000000000000000000000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111111111111111111111111
Figure 1: Représantation graphique de charge d’un écoulement dans une conduite.
plane de charge
fluide parfait
hr + hs
fluide réel
v12 /2g
v22 /2g
lignes de courant
p1 /ρ
v1
z
p2 /ρ
z1
x
v2
z2
1111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111
Figure 2: Représantation graphique de charge d’un écoulement à surface libre.
3
L’équation de l’énergie
−
→
n
−
→
v
dS
Surface de contrôle, S , délimitant le volume de contrôle V
Figure 3: Volume de contrôle V C délimité par la surface de contrôle SC.
dans Une des conséquences du première principe de la thermodynamique est l’affirmation que
pour un système en mouvement, (une masse de fluide) :
dQ + dW = dE
(2)
où dQ est la chaleur reçue par un système thermodynamique, dW le travail effectué sur le système
(d’où le signe positif) et dE est le changement de l’énergie totale du système en mouvement, soit
Z
Z
e ρ dV
(3)
e dm =
Esystèm =
système
système
où e = E/m est l’énergie massique, donnée par
e=
1 2
v
2
|{z}
+
Énergie cinétique
u
|{z}
+
Énergie interne
gz
|{z}
(4)
Énergie potentielle
où u est l’énergie interne du système par unité de masse.
Le travail reçu/fait par le système est constitué de travail fait par la force de pression dWp =
−pdV et de travail mécanique dWm , où V est le volume du système.
La chaleur dQ apportée au fluide est seulement importante dans les écoulements avec transfert
thermique.
Copmte tenu du fait que le fluide est en mouvement, on écrit :
dQ dW
dE
+
=
dt
dt
dt
4
(5)
À partir de cette équation on peut montrer que pour un écoulement dans un tube de courant,
Z
∂
1
Q̇ + Ẇm + Ẇp =
(u + gz + v 2 )ρdV +
∂t V C
2
Z
1
→
→
(u + gz + v 2 )ρ −
v −
n dS
(6a)
2
SC
Z
Z
∂
1
→
→
p−
v ·−
n dS =
(u + gz + v 2 )ρdV +
Q̇ + Ẇm −
∂t V C
2
SC
Z
1 2 −
→
v −
n dS
(6b)
(u + gz + v )ρ →
2
SC
Z
∂
1
Q̇ + Ẇm =
(u + gz + v 2 )ρdV +
∂t V C
2
Z
p 1
→
→
v · −
n dS
(6c)
(u + gz + + v 2 )ρ −
ρ
2
SC
D’où
Q̇ + Ẇm
∂
=
∂t
Z
1
(u + gz + v 2 )ρdV +
2
V CZ
1
→
→
(h + gz + v 2 )ρ −
v · −
n dS
2
SC
(6d)
où V C désigne le volume de côntrole délimatant le système (le fluide dans le tube de courant), et
SC est la surface de contrôle corréspondant, h = u + p/ρ est l’enthalpie massique du fluide.
Si l’écoulement est permanent et uniforme dans le tube de courant, cette équation se simplifie
à
Q̇ + Ẇm = (ρvS)2
1
h + gz + v 2
2
− (ρvS)1
2
1
h + gz + v 2
2
(7)
1
où,ici , S représente la section du tube de courant.
Or, de l’équation de continuité (ρvS)1 = (ρvS)2 = ṁ.
Ainsi, en fonction de valeurs intensives q = Q̇/ṁ, wm = Ẇm /ṁ, l’équation (7) s’écrit sous la
forme
1
h + gz + v 2
2
=
1
1
h + gz + v 2
2
− q − wm
(8)
2
Relation entre l’équation de Bernoulli et la conservation d’énergie
L’équation (8) peut s’écrire sous la forme
p
p
1
1
+ gz + v 2
+ gz + v 2 − q + (u2 − u1 ) − wm
=
ρ
2
ρ
2
1
2
(9)
Il est immédiat que cette équation est reliée à l’équation de Bernoulli en l’absence de transfert thermique et de changement d’énergie interne. Le terme en parenthèse au premier membre
représente la charge disponible ou charge totale dont une partie est dissipée pour vaincre les force
de frottement. C’est pourquoi on appelle cette dernière perte de charge. Notons aussi que 1◦ ) les
5
forces de frottement conduisent aux pertes d’énergie transformée par la suite en chaleur, 2◦ ) pour
un écoulement dans une conduite le fluide peut recevoire d’énergie sous la forme de travail fait,
par exemple, par une pompe, et 3◦ ) le fluide fait de travail sur une turbine. Alors, il est commode
d’réécrire (9) sous la forme de sum de charges :
1 v2
p
+z+
gρ
2 g
=
1
p
1 v2
+z+
gρ
2 g
+ hfrottement − hpopmpe + hturbine
(10)
2
Coefficient de perte de charge, K
En générale et dans la plupart des cas on trouve expérimentalement que les pertes de charge sont
proportionnelles au carrée de la vitesse moyenne U et s’expriment sous la forme :
hfrottement = K
U2
.
2g
(11)
On appelle la constante K coefficient de perte de charge dont la valeur est conditionnée par la
géomètrie de conduite, le régime de l’écouement et la rugosité, ǫ. Représentée sur la figure suivante
sont les rélations entre le coefficient de frottement, la rugosité relative ǫ/D (D, le diamètre de
conduite) et le régime de l’écoulement dans une conduite circulaire
6
7
Exercices
Exercice I : On considère l’écoulement d’eau dans une conduite cylindrique horizontale constituée de :
(a) une section cylindrique de diamètre D0 (section 0)
(b) un venturi de diamètre D1 (section 1)
(c) une tuyère convergente de diamètre initial D2 (section 2) et final De (section 3) débouchant
à un jet (dévié par une vanne orientable de diamètre De ) dans l’atmosphère. La vanne, qui
dirige le jet dans une direction α par rapport à l’axe de conduite, est vissée sur la tuyère
qui, elle-même, est vissée sur la conduite.
On note le débit volumique dans la conduite Q (supposé donné), la densité de l’eau ρ ; on prend
la pression atmosphérique pa comme pression de référence.
e
α
Tuyère
0
1
2
vanne
• Calculer la pression à l’entrée, au col du venturi et à la section initiale de tuyère, notées
respectivement p0 , p1 et p2 . (On suppose que le fluide est non visqueux et que l’écoulement
est stationnaire).
• Déterminer la force F à appliquer sur l’ensemble tuyère-vanne en fonction de α (0 < α < π)
pour qu’il reste immobile.
Exercice II : On considère un charrette sous la forme d’une citerne maintenue en place par un
câble comme montré ci-contre.
8
Le charrette est muni d’une tuyère d’éjection à
travers duquel un jet, de sction s m2 , est ejecté au
Air
dm
milieu ambient où le débit est généré grace à une p̂
Câble
applique à la surface libre de l’eau dans la citerne.
hm
• Déterminer la vitesse de jet et en déduire le
débit volumique, Q.
α
ℓm
• Déterminer la tension dans la câble.
Exercice III : Accélération et vitesse de fusée
Une fusée initialement au repos est lancée à
l’instant t = 0.
−
→
z
On note la vitesse du jet,
échappant de l’éjecteur, w0 , le débit massique as-
−
→
→
g = −g −
z
socié ṁ, et la masse totale de fusée à t = 0, m0 .
La fusée se met en mouvement dans la direction
→
verticale −
z . L’injecteur supersonique est conçu de
telle mainère que la pression à la sortie de fusée est
égale la pression atmosphérique. On admet que les
force d’entraı̂nement visqueux soit négligeable.
1. Déterminer l’accélération initiale de la fusée.
2. Calculer la vitesse en t = t0
dans
→
On se donne w0 , ṁ, m0 et −
g.
w0 , ṁ
Exercice IV : On considère une installation hydraulique, reliée à un très grand réservoir à
surface libre comme schématisé sur la figure . L’installation est constitué des conduites circulaires,
une pompe de puissance hydraulique P, et un tube convergeant débouchant à l’air libre. L’eau
du réservoir est pompée afin d’alimenter un jet.
Dans ce qui suit on suppose que la perte de charge dû à la viscosité est négligeable.
1. Calculer la vitesse du jet, Uj , et en déduire le débit volumique Q.
2. Calculer la force horizontale nécéssaire pour maintenir l’installation équlibre statique.
9
Pompe, P
K2
d
D
D
L2
H
D
H0
K0
K1
D
L1
Figure 4: Données numérique : H0 = 20 m, H = 30 m, K0 = 0.4, K1 = K2 = 0.8,
D = 300 mm, d = 50 mm, P = 65 kW, µ = 1.002 × 10−3 N s/m2 , pa = 1.013 × 105 N/m2 ,
ρeau = 1000 kg/m3 . g = 9.81 m/s2 .
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