TD de Physique no 9 : Mécanique des fluides II

E.N.S. de Cachan
M2 FE
Physique appliquée
Département E.E.A.
3e année
2011-2012
TD de Physique no 9 :
Mécanique des fluides II
Exercice no 1 : Équation de Navier-Stokes
Considérons un écoulement d’un fluide newtonien dont le champ des vitesses est de la forme ~v = vx (z, t)~ex .
1. Montrer que cet écoulement est incompressible.
2. Soit une particule de fluide de forme parallélépipédique centrée au point M (x, y, z). Déterminer la
force volumique de viscosité qui s’exerce sur cette particule de fluide.
3. Mettre cette force volumique sous forme intrinsèque en utilisant l’opérateur laplacien-vecteur. Nous
admettrons la validité de cette expression pour tout écoulement incompressible. Compléter l’équation d’Euler
avec la force volumique de viscosité pour obtenir l’équation de Navier-Stokes.
Exercice no 2 : Écoulement de Couette plan
Un écoulement de Couette plan est celui d’un fluide délimité
par deux plans parallèles horizontaux, de vitesses constantes
mais différentes. Notons ~v1 (resp. ~v2 ) la vitesse du plan inférieur
(resp. supérieur) de cote z = 0 (resp. z = L). Nous supposerons
que :
– la vitesse en tout point de l’écoulement est de la
forme ~v = v(z, t)~ex ,
– la pression P ne dépend pas de x.
1. Établir l’équation dont v(z, t) est solution.
On introduira la viscosité cinématique σ définie par σ = η/ρ avec η la viscosité dynamique du fluide et ρ sa
masse volumique. Commenter.
2. Établir l’expression de ~v lorsque le régime permanent est atteint.
3. Régime transitoire. On se place dans le cas où ~v1 = ~0. Le fluide est initialement au repos. À t = 0,
le plan supérieur acquiert brusquement la vitesse ~v2 . Exhiber un temps caractéristique de l’établissement du
régime permanent. Pour cela on introduira les grandeurs adimensionnées u et ξ telles que : v = uv2 et z = ξL.
Exercice no 3 : Écoulement de Poiseuille plan
Un écoulement de Poiseuille est un écoulement permanent incompressible dans une conduite de section
quelconque, de longueur L et immobile dans le référentiel d’étude associé au repère (O, ~ex , ~ey , ~ez ). On note
Pb = P + ρgz avec P la pression, ρ la masse volumique
du fluide, g l’intensité de la pesanteur et z l’altitude.
On associe à la conduite le repère (O0 , ~ex0 , ~ey0 , ~ez0 ) (cf
figure ci-contre). On suppose qu’un dispositif externe
impose entre les sections x0 = 0 et x0 = L une différence ∆Pb = Pbx0 =0 − Pbx0 =L (perte de charge).
1. Écoulement de Poiseuille plan. On suppose ici
que l’écoulement se fait dans une conduite à section
rectangulaire dont la longueur l d’un coté est très grande devant la longueur de l’autre e. On peut négliger les
1
effets de bords et supposer que l’écoulement se fait entre deux plans infinis d’équation z 0 = 0 et z 0 = e. Le
champ des vitesses est de la forme ~v = v(z 0 )~ex0 .
a) Déterminer l’expression de ~v en fonction de ∆Pb, η, L, e et z 0 .
b) Déterminer la relation entre le débit volumique Dv et ∆Pb. La relation correspondant à une conduite de
section cylindrique (cf exercice no 4) est :
πa4 b
∆P
Dv =
8ηL
avec a le rayon du cylindre.
c) Établir l’analogique électrique pour les deux types de conduite.
2. Un tuyau cylindrique de diamètre intérieur d1 alimente deux tuyaux de
diamètre d2 et de longueur l2 , dont l’extrémité est à la pression atmosphérique P0
(cf figure ci-contre). Le système est à l’horizontale, vu de dessus. Soit P1 la pression
en amont (au point A). La distance entre le point A et la première déviation, ainsi
que la distance entre les deux dérivations est l1 . On considérera que les dérivations
sont des petits volumes isobares, et que le régime d’écoulement est laminaire.
a) Faire un schéma électrique équivalent.
b) Déterminer le débit dans chaque tuyau en fonction de P1 , P0 et des résistances
hydrauliques.
Exercice no 4 : Loi de Poiseuille pour des tubes de section circulaire
Un fluide incompressible de masse volumique ρ s’écoule dans un tuyau cylindrique
de section circulaire de rayon a, de longueur L et d’axe (Oz). On admet qu’en régime
permanent, la vitesse du fluide dans le tube est de la forme ~v = v(r)~ez (en coordonnées
cylindriques), et que si P est la pression et z l’altitude, Pb = P + ρgz ne dépend que de
z ; on posera P (z = 0) = P0 + ∆P et P (z = L) = P0 .
1. Par analogie avec un écoulement unidirectionnel, déterminer la force de viscosité
exercée par le fluide extérieur sur le fluide intérieur à travers une surface élémentaire
d’aire dS et normale à ~er .
2. En appliquant la relation fondamentale de la dynamique au système constitué,
à un instant t donné, par le fluide contenu dans un cylindre de longueur l et de rayon r,
calculer dv
dr , puis v(r).
3. En déduire la relation de proportionnalité entre le dédit massique Dm et la perte de charge ∆Pb.
Exercice no 5 : Couche limite
1. Soit une plaque carrée de côtés L selon ~ux et ~uy en mouvement uniforme de vitesse v~ux à la surface
d’un fluide au repos dans le référentiel du laboratoire. On note η (resp. ρ) la viscosité (resp. la masse volumique)
du fluide.
a) Quelle est l’expression du nombre de Reynolds Re de l’écoulement correspondant.
b) Donner une expression approchée de δ, l’épaisseur de la couche limite, en fonction de Re et L. Faire l’application numérique dans le cas de l’écoulement d’air autour d’une aile d’avion : L = 5 m, ν = 1, 5.10−5 m2 .s−1
et v = 50 m.s−1 .
c) Que peut-on dire de la notion de couche limite pour un écoulement laminaire.
2. Il est possible d’associer à l’écoulement dans la couche limite un nombre de Reynolds local, Re,local .
a) Donner son expression en fonction de Re .
b) À partir de quelle valeur de Re , l’écoulement dans la couche limite devient-il turbulent ? Faire le lien avec
le graphique donnant F/(ρπr2 v 2 ) en fonction de Re (cf cours).
2
Exercice no 6 : Diamètre d’une canalisation
Un château d’eau alimente une canalisation cylindrique dont l’extrémité est ouverte à la pression atmosphérique (cf figure ci-contre).
On note h0 la profondeur du réservoir, h1 le dénivelé de la canalisation, L la longueur de la canalisation, η la viscosité de l’eau et DV le
débit volumique dans la canalisation. Pour les applications numérique,
−3
on prendra h0 = 3 m, h1 = 13 m, L = 100 m et η = 1, 0.10
P l.2La
vitesse à une distance r de l’axe est de la forme : v(r) = v0 1 − 4 dr 2 .
On rappelle la formule de Poiseuille (cf exercice 4) donnant le débit
volumique d’un fluide de viscosité η dans une canalisation cylindrique de diamètre d et de longueur L, soumise
πd4
∆P̂
à la chute de pression ∆P̂ : DV = 128ηL
1. Déterminer le diamètre de la canalisation en supposant l’écoulement laminaire, dans les deux cas
suivants : 1er cas, DV = 1 L.s−1 ; 2e cas : DV = 0, 5 L.min−1 .
2. Calculer le nombre de Reynolds dans chaque cas. Conclure.
Exercice no 7 : Détendeur
Un tuyau horizontal de section carrée de côté a et de longueur l
est divisé en N tranches fines par des lamelles d’épaisseur négligeable
(cf figure ci-contre). L’entrée est en contact avec un réservoir qui
contient un fluide de masse volumique ρ et de viscosité η, maintenu
à la pression P1 . À la sortie, le fluide est à la pression extérieure P0
(P1 > P0 ).
1. On suppose que le regime d’écoulement est laminaire et
permanent. Déterminer le débit, la vitesse moyenne de sortie et le
nombre de Reynolds de l’écoulement.
2. Si les hypothèses sont justifiées, calculer le débit dans les cas suivants :
– eau : η = 1, 0.10−3 P l ;
– air : η = 1, 7.10−5 P l et ρ = 1, 3 g.L−1 ;
– huile : η = 1, 0 P l et ρ = 0, 9 kg.m−3 ;
Données : P0 = 1 bar ; P1 = 1, 5 bar ; l = a = 1 cm ; N = 50 ;
Exercice no 8 : Étude d’un viscosimètre
Un type de viscosimètre est schématisé sur le schéma ci-contre. Il est constitué
d’un tube capillaire C reliant deux boules B1 et B2 . La boule B1 est remplie
jusqu’au niveau a (index a) d’un liquide incompressible, de masse volumique ρ et
de viscosité η. On mesure le temps τ mis par la surface du fluide pour passer de
ce niveau, au niveau b (index b). Ce viscosimètre est utilisé pour faire des mesures
relatives.
1. Montrer que si l’on prend deux fluides de masse volumique ρ1 et ρ2 , de
viscosité η1 et η2 , les temps de transit τ1 et τ2 sont tels que :
η1
ρ1 τ1
=
η2
ρ2 τ 2
2. Les masses volumiques respectives de l’acétone et de l’eau à 293 K sont :
ρacetone = 792, 0 kg.m−3
et ρeau = 998, 2 kg.m−3 .
La viscosité de l’eau est de ηeau = 1, 0050.10−3 P l à 293 K. Il faut τeau = 120, 5 s à l’eau, pour s’écouler
entre les deux index du viscosimètre. S’il faut τacetone = 49, 5 s à l’acétone, quelle est la viscosité ηacetone de
l’acétone ?
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Exercice no 9 : Force sur une conduite en forme de coude
De l’eau de masse volumique µ coule en régime stationnaire avec un
débit massique Dm dans une canalisation horizontale de section constante
S faisant un coude d’angle droit (cf figure ci-contre). On néglige la pesanteur et l’écoulement est supposé parfait. Loin du coude en amont, la
pression est uniforme égale à P1 et l’écoulement est unidimensionnel de
vitesse v1 ~ux . Loin du coude en aval, la pression est uniforme égale P2 et
l’écoulement est unidimensionnel de vitesse v2 ~uy .
1. Établir l’égalité entre v1 et v2 , puis celle entre P1 et P2 .
2. Donner l’expression de la résultante F~ de l’action de l’eau sur la
conduite.
Exercice no 10 : Jet sur une plaque
Un jet a la forme d’une lame d’épaisseur e et de largeur l selon Oz (cf
figure ci-contre). La vitesse de l’eau dans le jet est V0 ~ux .
Arrivant sur une plaque P immobile (de largeur L dans le plan de la
figure), il se divise en deux jets caractérisés par les grandeurs (e1 , V1 , l) et
(e2 , V2 , l). On fera les hypothèses suivantes :
• le fluide est parfait et incompressible (masse volumique ρ) ;
• les effets de la pesanteur sont négligés ;
• l’écoulement est potentiel.
1. Déterminer la relation existant entre les épaisseurs e1 et e2 des jets glissant sur la plaque P.
2. Établir l’expression de la force F~ exercée par le jet sur la plaque. On pose α = (~ux , ~n).
3. Donner ensuite les expressions de e1 et e2 en fonction de e et de l’angle α.
4. Montrer la cohérence de ces résultats avec le théorème de la puissance cinétique.
5. La plaque de masse M peut tourner librement autour de l’axe horizontal
Oz. La distance du centre de masse G de la plaque à l’axe ∆ = Oz est l.
La plaque est maintenue en équilibre (angle α) à l’aide du jet horizontal étudié
au 1. (débit incident Dm0 = ρelV0 , distance h à l’axe de rotation ∆ : h >> e). Déterminer l’expression de l’angle α à l’équilibre : on supposera la masse M suffisamment
importante pour que cet équilibre existe.
Exercice no 11 : Tourniquet de foire
Un tourniquet de foire de rayon R peut tourner autour de son axe vertical Oz
(liaison pivot parfaite). Il est muni en deux points diamétralement opposés A et A0
d’une réserve de poudre (m0 /2 en chaque point). On note J0 le moment d’inertie, par
rapport à Oz, du tourniquet (sans la poudre). Pour t < 0, le système est immobile.
À t = 0, on allume la poudre, ce qui a pour effet l’émission de matière tangentiellement au cercle de rayon R avec un débit massique Dm (Dm /2 pour chaque réserve
de poudre) supposé constant (tant qu’il reste de la poudre) et une vitesse relative
d’éjection invariable ve . L’atmosphère extérieure à la pression uniforme P0 exerce sur le tourniquet un couple
de frottements fluides Γ = −λω(t), où ω(t) représente la vitesse angulaire de rotation du tourniquet autour de
son axe.
1. Établir les équations différentielles en ω(t).
2. Déterminer la solution correspondante et tracer le graphe t → ω(t) : on fera l’approximation J0 >>
m0 R2 .
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Exercice no 12 : Limite de Betz
Albert Betz (physicien allemand pionnier des technologies
éoliennes) établit en 1919 que la puissance théorique maximale
16
Pc où Pc est la puisrécupérable par une éolienne est égale à 27
sance cinétique du vent qui rencontre l’éolienne lorsque celle-ci
est à l’arrêt. D’autre part, ce maximum est atteint lorsque la
vitesse du vent en aval de l’éolienne est égale à un tiers de la
vitesse du vent en amont. Cet exercice se propose de démontrer
ce qui vient d’être énoncé.
Soit une éolienne dont les pales balayent la surface Σ. Considérons la veine de vent (c’est-à-dire le tube du champ des vitesses) s’appuyant sur la surface Σ (cf figure).
1. Pourquoi l’écoulement d’air peut-il être considéré comme étant incompressible ? Justifier alors l’évasement de la veine de vent en aval de l’éolienne.
On appelle V le volume de contrôle délimité par le tube de champ et les surfaces Σ1 et Σ2 (cf figure
ci-dessus). On note ~v1 (resp. ~v2 ) la vitesse de l’air au niveau de Σ1 (resp. Σ2 ).
2. Établir, en supposant le régime établi atteint, que la force F~vent→pales qu’exerce le vent sur les pales
s’écrit :
F~vent→pales = ρDV (~v1 − ~v2 )
avec ρ la masse volumique de l’air et DV le débit volumique. On supposera que la pression autour du volume
de contrôle est uniforme, on la notera P0 .
On appelle Σ− (resp. Σ+ ) la section droite de la veine de vent juste avant (resp. juste après) l’éolienne.
3. Montrer que :
ρ
P − − P + = (v12 − v22 )
2
−
+
−
où P (resp. P ) est la pression au niveau de Σ (resp. Σ+ ). On supposera pour cela que les vitesses au
niveau de Σ− et Σ+ sont telles que v − ' v + ' v.
4. Montrer que :
F~vent→pales = Σ(P − − P + )~ux .
5. Déduire des questions précédentes que :
v=
v1 + v2
.
2
6. Donner l’expression de la puissance P fournie à l’éolienne en fonction de ρ, Σ, v1 et v2 .
7. Exprimer le rapport P/Pc en fonction de x = vv21 . Retrouver alors le résultat établi par Betz.
8. Dans la pratique, la limite de Betz n’est pas atteinte. Pourquoi ?
Exercice no 13 : Profil d’une tuyère
On suppose, pour simplifier, que l’écoulement du gaz dans
une tuyère est unidimensionnel, permanent, adiabatique et
isentropique. Le but de cet exercice est de relier la vitesse
d’écoulement v(x) à la section S(x) de la tuyère (cf figure cicontre). Le gaz entre dans la tuyère en x = 0, avec une vitesse
v(0) négligeable, une pression P (0) = PA , une température
T (0) = TA et une masse volumique ρ(0) = ρA . Le gaz est
supposé parfait, de masse molaire M . Le rapport γ est supposé constant et connu.
1. Exprimer la relation qui existe entre la vitesse v(x) et la masse volumique ρ(x).
2. Exprimer la relation entre le débit massique D, v(x) et S(x).
3. Quelle forme de tuyère choisir pour obtenir une vitesse d’éjection des gaz importante.
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Problème : Quelques aspects de la circulation sanguine
L’étude des propriétés physiques de la circulation sanguine, ou hémodynamique, permet de mieux comprendre la physiologie du système circulatoire. Nous nous intéressons dans ce problème à quelques exemples
d’application de ces méthodes d’étude.
Le flux sanguin est la superposition d’un flux continu et d’un flux périodique. La première partie est
consacrée à l’étude d’un écoulement permanent dans un réseau de vaisseaux. La deuxième partie (traitée au
TD no 12) concerne la propagation d’une onde de pression dans une artère et le rôle de la distensibilité des
vaisseaux.
Valeurs numériques
Les valeurs correspondant à des grandeurs physiologiques peuvent différer de manière appréciable entre personnes : les valeurs données sont des moyennes.
Masse volumique de l’eau : ρ0 = 103 kg.m−3
Débit volumique cardiaque pour l’être humain : Q = 4, 5 L.min−1
Viscosité cinématique du sang : ν = 3, 8.10−6 m2 .s−1 .
Première partie
Écoulement permanent dans un réseau de vaisseaux
Dans cette première partie, on modélise la circulation sanguine par un écoulement permanent. Le sang est
décrit comme un fluide incompressible de viscosité η et de viscosité cinématique ν = η/ρ où ρ est la masse
volumique.
1. On considère un vaisseau unique modélisé par un tube cylindrique de section circulaire de rayon r et
parcouru par un débit volumique Q0 .
a) Rappeler la signification physique du nombre de Reynolds Re et déterminer son expression pour l’écoulement dans ce tube en fonction du débit et du rayon. Que valent les nombres de Reynolds correspondant aux
écoulements dans les artères, dans les capillaires ? Que peut-on en conclure sur le type d’écoulement ?
b) Pour faire circuler le fluide sur une longueur L de tube, il faut appliquer une différence de pression ∆P
proportionnelle au débit : ∆P = KQ0 . La résistance hydraulique K pour un tube cylindrique de rayon r est
donnée par l’expression K = 8ηL
πr 4 . Quelle puissance P doit-on fournir pour maintenir l’écoulement ?
c) L’écoulement est à l’origine d’une force tangentielle sur les parois du tube. À l’aide d’un bilan relatif, en
régime permanent, à l’ensemble du fluide contenu dans la longueur L du tube, déterminer la force tangentielle
par unité de surface f exercée par le fluide sur la paroi du tube en fonction de Q0 , r et de η. On supposera
pour cela que l’écoulement est uniforme.
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2. On considère un modèle très simplifié de système circulatoire
composé de deux types de vaisseaux (figure ci-contre) : un nombre Na
d’artères, chacune de longueur La , et un nombre Nc de vaisseaux capillaires, chacun de longueur Lc . Dans ces conditions, on cherche à déterminer le choix optimal pour les rayons ra et rc des artères et des capillaires.
On supposera que la vitesse du fluide est uniforme dans chaque zone
et vaut ua dans les artères et uc dans les capillaires.
a) Un débit volumique total Q s’écoule dans ce circuit. Déterminer les
débits qa et qc circulant respectivement dans une artère et dans un capillaire. En déduire la différence de pression ∆P entre les deux extrémités
du réseau et en déduire sa résistance hydraulique Ktot (ra , rc ) = ∆P/Q.
b) L’épaisseur e de la paroi des vaisseaux est proportionnelle à leur rayon : e = αr (α << 1). Quel est le
volume de matière nécessaire V (ra , rc ) pour réaliser le système circulatoire ?
c) L’organisme dispose d’un volume donné V0 de tissus pour réaliser les parois du système circulatoire. Déterminer la relation entre les rayons et les nombres des types de vaisseaux permettant d’obtenir une résistance
hydraulique minimale. On pourra étudier des variations de rayon dra et drc laissant le volume V0 constant.
3. Le raisonnement précédent peut se faire avec un réseau plus complexe. On obtient encore la relation
obtenue à la question 2.c), qui s’exprime sous la forme N (r) = λrβ .
a) Que vaut l’exposant β ? Comparer avec les données du tableau 1 en reportant celles-ci sur un graphe en
coordonnées log-log.
b) Pour un organisme donné, comment le nombre de Reynolds dépend t-il du diamètre des vaisseaux ?
c) Exprimer la force tangentielle par unité de surface agissant sur les parois en fonction du débit total Q, de
N et de r. Quelle remarque le résultat suggère t-il ?
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