Interférences à deux ondes en optique

8. Optique ondulatoire: Interférences entre deux ondes cohérentes
Albert Michelson Strelno(Prusse)1852-Pasadena 1931. Fils d’émigré polonais, A. Michelson enseigne la physique
à l’Ecole Navale d’Annapolis à partir de 1880, puis à Cleveland et à Chicago. Ses premières expériences portent sur
la détermination de la vitesse de la lumière. Puis, il s’intéresse à la nature ondulatoire de la lumière et invente son
interféromètre. A. Michelson veut, à la demande de Maxwell, tester la validité de l’hypothèse de l’éther, support
supposé de la propagation de la lumière: son interféromètre est capable de déceler d’éventuelles variations de la vitesse
de la lumière émise par une étoile qui seraient dues au mouvement de la terre par rapport au référentiel absolu de
l’éther. Il entreprend ses premières mesures à Berlin dans le laboratoire d’Helmoltz, puis à Cleveland avec E.Morley.
Mais la mesure est négative, la vitesse de la lumière est invariante: l’hypothèse de l’éther est rejetée. Vingt ans plus
tard, ce constat est l’un des fondements de la relativité restreinte proposée par A. Einstein.
En 1894, A. Michelson définit la longueur du mètre étalon à partir de la longueur d’onde d’une raie atomique.
En 1907, il est le premier américain à recevoir le prix Nobel. En 1920, il développe une mesure interférométrique du
diamètre des astres.
I.Le phénomène d’interférences
Soient deux ondes lumineuses décrites par les ondes scalaires s1 (M, t) = s10 cos(ω1 t − ϕ1 (M )) et s2 (M, t) =
s10 cos(ω2 t−ϕ2 (M )). L’intensité ou éclairement
(en W att.m−2 ) résultant
de la superposition des deux ondes
est, à un facteur multiplicatif près: I(M ) = K (s1 (M, t) + s2 (M, t))2
Il y a interférences lorsque l’intensité résultant de la superposition de deux ondes n’est pas la somme des
intensités de chaque onde prise séparément.
Pour observer des interférences, les conditions suivantes sont nécessaires:
- les directions de polarisations des deux ondes ne sont pas perpendiculaires
- les deux ondes sont de même fréquence et cohérentes (le déphasage des deux ondes en un point est
indépendant du temps). Cela implique que les deux ondes sont obtenues à partir d’une même source principale
S
- |(SM )2 − (SM )1 | < Lc : longueur de cohérence de la source(=longueur des trains d’onde)
Alors, l’intensité s’écrit:
I(M ) = I1 + I2 + 2
p
I1 I2 cos(ϕ2 (M ) − ϕ1 (M ))
Dans la suite on étudie des interférences entres ondes qui ont nécessairement la même pulsation. En
introduisant l’amplitude complexe si (M ) telle que la représentation complexe de si (M, t) est si (M, t) =
∗
si (M )ejωt , l’intensité est: I(M ) = K
2 (s1 (M ) + s2 (M )).(s1 (M ) + s2 (M )) , soit
I(M ) =
K
(s1 + s2 ).(s1 + s2 )∗
2
Les dispositifs utilisés font intervenir en général des sources secondaires S1 et S2 obtenues :
- soit par division du front d’onde (trous ou fentes d’Young, miroirs de Fresnel, Michelson éclairé par une
source ponctuelle)
- soit par division d’amplitude (interféromètre de Michelson)
Déphasage et différence de chemin optique
δ = (SS2 M ) − (SS1 M )
est la différence de marche ou différence de chemin optique
ϕ = ϕ2 (M ) − ϕ1 (M ) = 2π
est le déphasage
δ
λ0
Intensité Pour un maximum d’intensité δ = pλ
Pour un minimum d’intensité δ = (p + 21 )λ p entier est l’ordre d’interférence.
L’ interfrange est la distance mesurée sur l’écran d’observation entre deux franges brillantes ou entre deux
franges sombres.
Le champ d’interférence est la région de l’espace où on peut observer des interférences.
Pour deux sources de même luminosité vérifiant les conditions d’interférence:
I(M ) = 2I0 (1 + cosϕ)
II.Interférences entre deux ondes issues d’une source ponctuelle monochromatique
1. Interférences entre ondes sphériques issues des sources secondaires S1 et S2
trous d’Young, Michelson éclairé par une source ponctuelle,..
Exemples de dispositifs:
Les interférences sont non localisées: elles sont observables dans toute une région de l’espace. Les surfaces
d’égale intensité sont des hyperboloïdes de révolution d’axe S1 S2
• Sur un écran parallèle aux sources les franges apparaissent comme des segments parallèles car le champ
d’interférence est restreint.
Sur le schéma ci-dessous, les franges sur l’écran (xO’y) sont parallèles à l’axe (O’y) et l’interfrange est
constante.
•
Avec a = S1 S2 et lorsque (S0 S1 )=(S0 S2 ):
δ = (S1 M ) − (S2 M ) =
2
ax
D
Les franges brillantes équidistantes sont obtenues pour δ = kλ et d’équation x = k λD
a . L’interfrange i =
λD
a
Variantes d’un dispositif de type "trous d’Young":
- si (S0 S1 ) 6= (S0 S2 ) (cas des trous d’Young translatés selon un axe parallèle à Ox ou d’un faisceau
incident parallèle faisant un angle non nul avec l’axe (Oz) ), il faut rajouter la différence de marche δ 0 =
(S0 S1 ) − (S0 S2 ) :
0
Ainsi pour les franges rectilignes: δ = ax
sur l’écran les franges sont translatées mais l’interfrange
D +δ
est inchangée.
- observation à l’infini: les franges sont observées dans le plan focal image d’une lentille convergente de
0
focale f 0 : L’interfrange i = λfa
- fentes d’Young: l’intensité ne dépendant pas de la coordonnée sur l’axe (y) des sources secondaires, on
peut remplacer les trous par des fentes parallèles à l’axe (y)
• Sur un écran perpendiculaire aux sources, les franges sont circulaires d’axe (S1 S2 ) et l’interfrange n’est
pas constante.
•
2. Interférences entre ondes planes
Exemples de dispositif: trous ou fentes d’Young placées dans le plan focal objet d’une lentille, biprisme
de Fresnel éclairé en incidence normale,..
→
− →
− −
−−→ −
Au point M tel que OM =→
r , ϕ = ϕ2 (M ) − ϕ1 (M ) = k2 − k1 .→
r + ϕ(O)
→
−
→
−
−
→
−
→
−
→
−
→
2π
4π
En posant k2 = 2π
λ (cos αuz + sin αux ) et k1 = λ (cos αuz − sin αux ), ϕ = λ x sin α + ϕ(O)
Sur un écran (xOy), les franges sont rectilignes équidistantes parallèles à l’axe (Oy). L’interfrange
λ
i= 2 sin(α)
est indépendante de la distance des sources à l’écran
III. Contraste et cohérence
Définition du contraste
C=
Imax − Imin
Imax + Imin
Source ponctuelle non monochromatique: cohérence temporelle
• Cas d’un doublet: on somme les intensités associées aux deux longueurs d’onde λ1 et λ2 .Dans le cas
où les deux longueurs d’onde correspondent aux mêmes puissances émises:
δ
δ
I(δ) = 2I0 (1 + V cos(2π )) avec V = cos(π )
λ
Λ
où
2
λ
=
1
λ1
+ λ12 et Λ =
λ1 λ2
λ1− λ2 .
Le contraste C = |V | varie avec la période
3
Λ
2
dans le champ d’interférence.
Application: mesure de ∆λ
• Cas d’une raie spectrale à profil rectangulaire en fréquence ν0 − ∆ν/2 6 ν 6 ν0 + ∆ν/2: on somme
toutes les intensités associées à un intervalle de fréquence entre ν et ν + dν :
I = 2I0 (1 + V cos(
2π
π
ν0 δ)) avec V = sinc( ∆ν.δ)
c
c
c
Dans la réalité (raie non rectangulaire), les franges ne sont plus visibles si δ > ∆ν
:on retrouve une des
conditions d’interférence : δ < Lc longueur de cohérence. Ce modèle permet de prévoir les différences de
marche donnant lieu à des interférences observables:
pour un laser He-Ne : δmax ∼ 50 cm à quelques m selon le type
pour une raie de lampe spectrale de T.P. δmax ∼quelques cm
pour la lumière blanche: ∆λ ∼ 400nm ⇒ δmax ∼ µm
• Cas de la lumière blanche : Les intensités correspondant à une longueur d’onde entre λ et λ + dλ
s’ajoutent, on a superposition de franges d’interfrange différentes. Seule la frange d’ordre 0 correspond
à un maximum d’intensité pour toutes les longueurs d’onde. Pratiquement, si la frange d’ordre 0 est
observable, on observe une frange blanche brillante bordée de quelques franges irisées puis du blanc
d’ordre supérieur. L’analyse du blanc d’ordre supérieur en un point du champ d’interférence par un
système dispersif (prisme ou réseau) donne un spectre cannelé.
Source étendue monochromatique: cohérence spatiale
• Les différents points de la source étendue émettent des ondes incohérentes: il faut sommer les intensités
créées par chaque élément de longueur ou de surface de la source.
Pour le cas de fentes d’Young distantes de a éclairées par un fente de largeur b, on obtient à l’infini:
ax
2π ab
I = 2I0 (1 + V cos( 2π
λ f 0 )) avec V = sinc( λ f 0 )
Lorsque la largeur b augmente, le contraste diminue jusqu’à s’annuler puis augmente à nouveau légèrement
avec inversion du contraste avant de s’annuler.
L’utilisation d’un interféromètre à division d’amplitude permet de s’affranchir du problème de la cohérence
spatiale en étudiant des interférences localisées. Pour l’interféromètre de Michelson utilisé en lame d’air à
faces parallèles, les interférences sont localisées à l’infini. Pour l’interféromètre de Michelson utilisé en coin
d’air, les franges sont localisées sur le coin d’air.
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