paris8 - UFR 6

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PARIS 8
q
q
UN I V E R S I T É
Vincennes-Saint-Denis
UFR 6 – MITSIC
Mathématiques, Informatique, Technologies, Sciences de l’Information et de la Communication
Introduction à la logique
Philippe Guillot
 septembre 
Licence informatique
Sommaire
3
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Chapitre I.
......................................
6
§ 1. Propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 2. Propositions simples, propositions composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 3. Connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
6
Sommaire
Chapitre II.
§
§
§
§
§
1.
2.
3.
4.
5.
Le langage des formules propositionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Formule bien construite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Représentation par arbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Évaluation d’une formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Évaluation partielle d’une formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Notation polonaise préfixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
12
13
13
14
Chapitre III.
§
§
§
§
§
1.
2.
3.
4.
5.
Le calcul propositionnel
Tautologies et contradictions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Définition des principaux connecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Méthode sémantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Méthode syntaxique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quelques tautologies usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
16
16
17
18
Chapitre IV.
..................................
19
§ 1. Ensemble consistant de formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 2. Inférences et déductions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 3. Règles d’inférence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
20
22
Chapitre V.
§
§
§
§
1.
2.
3.
4.
Raisonnements et inférences
Formes normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
Fonction booléenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Logique et nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Forme normale disjonctive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Méthode syntaxique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
23
24
25
Chapitre VI.
Méthode des arbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
§ 1. Construction graphique d’une forme normale disjonctive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 2. L’arbre de réfutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
27
4
Sommaire
Chapitre VII. Déduction naturelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§
§
§
§
1.
2.
3.
4.
29
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trois règles de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Traitement des connecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
30
30
33
Chapitre VIII. Prédicats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
§ 1. Les limites du calcul des propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 2. Prédicat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 3. Les prédicats unaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
35
36
Chapitre IX.
Le langage des prédicats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
§ 1. La grammaire du langage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 2. Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
39
Chapitre X.
§
§
§
§
1.
2.
3.
4.
Interprétation, validité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
Interprétation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vérité d’une formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Formules valides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Équivalences classiques en calcul des prédicats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
43
44
44
Chapitre XI.
Méthode des arbres en calcul des prédicats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
Règles de développement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tester la validité d’une formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vérifier la validité d’un raisonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Complément : une formule qui n’admet aucun modèle fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
48
49
50
51
Chapitre XII. Déduction naturelle en langage des prédicats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
§ 1. Règle sur ∀ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 2. Règle sur ∃ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 3. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
53
54
Index alphabétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
§
§
§
§
§
1.
2.
3.
4.
5.
Introduction
Introduction
La logique est l’étude des procédés qui conduisent de façon irréfutable à des énoncés vrais.
Elle a pour objet la recherche de la vérité au moyen de raisonnements et de déductions. On
souhaite éliminer l’intuition, le jugement, l’appréciation, la confusion, l’ambiguı̈té, de telle sorte
que la conclusion s’impose à tous et que personne ne puisse la réfuter.
En ce sens, elle dépasse la simple conviction et s’oppose à la rhétorique.
Elle est née dans la Grèce antique pour dénoncer les sophismes, qui sont des raisonnements
fallacieux exprimés en termes convaincants destinés à défendre un accusé ou condamner un
adversaire face à ses juges.
hh
L’Amérique, aimez la ou quittez la. (America, love it or leave it)
hh
Plus il y a de gruyère, plus il y a de trous, mais plus il y a de trous, et
moins il y a de gruyère, donc. . . ii
ii
La logique a besoin de développer son propre langage. La langue naturelle est trop riche. Elle
permet d’exprimer des appréciations et des sentiments. Il a fallu restreindre la langue naturelle et
la rendre formelle, en particulier pour lever les ambiguı̈tés.
La langue formelle permet d’exprimer clairement la validité d’une déduction de manière irréfutable.
En contre-partie elle est appauvrie. Elle ne permet pas d’exprimer toutes les subtilités de la langue
naturelle. La psychologie est éliminée. La langue formelle n’est pas réflexive. Cela signifie qu’elle
n’est pas assez riche pour traiter d’elle-même. Les paradoxes sont souvent dus à l’auto référence,
c’est-à-dire un énoncé qui a lui même pour objet. La phrase hh Je suis fausse ii est-elle vraie ? est-elle
fausse ?
La langue naturelle, elle, est réflexive. La linguistique par exemple, est un discours sur la langue
naturelle exprimé dans la langue naturelle.
De plus la langue formelle est lourde et impraticable. On utilise en pratique la langue naturelle
dans son acceptation logique qui permet de concilier élégance et rigueur.
Terminons cette introduction en parcourant quelques domaines qui utilisent la logique.
– En mathématiques, la logique s’inscrit dans les fondements et décrit la façon de mener des
déductions rigoureuses.
– En informatique, le calcul binaire avec des 0 et des 1 est issu du calcul des propositions qui
manipule également deux valeurs hh vrai ii et hh faux ii.
Les bases de données utilisent des énoncés logiques comme clé d’accès.
La logique a été présentée comme l’étude des hh lois de la pensée ii (Georges Boole) et est
particulièrement présente en intelligence artificielle. Un langage de programmation, le Prolog
(Programmation logique) est spécialement dédié à la manipulation d’énoncés logiques.
– En linguistique, la logique est beaucoup utilisée pour extraire le sens du discours et étudier
son lien avec la façon dont les phrases sont construites.
– La logique est une composante à part entière de la philosophie dont un des objets est
construction du vrai.
– Dans le domaine du droit, un jugement est une décision de ce qui est considéré comme une
vérité juridique. La construction de cette vérité s’appuie sur une construction logique. Dans un
jugement comme dans un théorème mathématique, la conclusion doit s’imposer à tous.
– La logique est clairement une arme quotidienne du citoyen qui lui permet de défendre son point
de vue avec rigueur et de démasquer les sophismes que nous assènent les discours démagogiques
et publicitaires.
5
6
Le calcul propositionnel
I – LE CALCUL PROPOSITIONNEL
§ I.1
Propositions
La notion de proposition est une notion primitive, qui n’est pas définie de façon formelle.
Définition I.1 [Proposition]
Une proposition est une phrase dont on peut dire sans ambiguı̈té qu’elle est vraie ou fausse.
La qualité d’être hh vraie ii ou hh fausse ii s’appelle la valeur de vérité de la proposition.
Exemples. Les énonces suivants sont des propositions.
– hh Il pleut. ii
– hh 1 + 1 = 3. ii
– hh Pierre est un imbécile. ii
On ne s’intéresse pas à la véritable valeur, qui d’ailleurs est parfois impossible à déterminer. Savoir
si Pierre est ou non un imbécile est une question d’appréciation et de jugement. On s’intéresse
seulement au fait qu’on peut attribuer l’une ou l’autre valeur, même si on ne sait pas exactement
laquelle des deux valeurs attribuer.
Par contre, les phrases suivantes ne sont pas des propositions, car il est impossible de dire si elles
sont vraies ou fausses. Elles sont éliminées du discours de la logique :
– hh Va-t’en ! ii
– hh Cette phrase est fausse. ii
– hh Je mens toujours. ii
§ I.2
Propositions simples, propositions composées
Une proposition est dite simple, si on ne peut pas la décomposer, c’est-à-dire si on ne peut pas
trouver une partie stricte qui soit vraie ou fausse.
Par exemple, la proposition hh Pierre et Marie s’aiment ii comprend deux sous-énoncés :
– hh Pierre aime Marie ii et
– hh Marie aime Pierre ii
La valeur de vérité d’une proposition complexe obéit au principe de composition qui énonce
que cette valeur ne dépend que des valeurs de vérité des propositions simples qui la composent.
La proposition hh Pierre et Maie s’aiment ii est vraie si à la fois Pierre aime effectivement Marie, et
Marie aime effectivement Pierre. Elle est fausse dans tous les autres cas.
Les principes suivant de la logique ont été introduits par Aristote et seront admis dans cette
introduction.
– Principe du tiers exclus : une proposition est soit vraie, soit fausse. Il n’y a pas de troisième
choix possible.
– Principe de non-contradiction : une proposition ne peut pas être vraie et fausse à la fois. Si
elle est vraie, alors elle n’est pas fausse et si elle est fausse, alors elle n’est pas vraie.
§ I.3
Connecteurs logiques
Les connecteurs logiques sont les opérations qui permettent de construire de nouvelles propositions
composées à partir de propositions simples.
Les connecteurs sont définis par une table qui donne la valeur de la proposition composée selon les
valeurs possibles des propositions simples qui la composent. La table qui définit les valeurs d’un
connecteur s’appelle une table de vérité.
§ I.3
Connecteurs logiques
I.3.1.
Négation
Ce connecteur unaire échange la valeur de vérité. Il se note ¬.
p ¬p ¬¬p
V
F
V
F
V
F
r
Le symbole p désigne n’importe quelle proposition simple ou composée. Remarquer que ¬¬p
est une proposition composée qui a la même valeur que la proposition p.
La négation de hh il pleut ii est hh il ne pleut pas ii. Dans la langue naturelle, la négation s’exprime
par la forme négative ne . . . pas, ou bien en préfixant l’énoncé par hh il est faux que . . . ii
I.3.2.
Conjonction
La conjonction est le connecteur hh et ii et se note ∧. La proposition p ∧ q est vraie lorsque p et
q sont toutes les deux vraies, et fausse dans le cas contraire. La conjonction s’exprime aussi en
langue naturelle par hh mais ii, hh bien que ii.
hh
Il est parti malgré le froid mais il a oublié ses gants.
ii
q p∧q
p
V V
V
V F
F
F V
F
F F
F
Commutativité : La proposition p ∧ q a la même valeur que la proposition q ∧ p.
I.3.3.
Disjonction
La disjonction est le connecteur hh ou ii et se note ∨. La proposition p ∨ q est vraie si l’une ou l’autre
des propositions p ou q est vraie, et est fausse si les deux propositions p et q sont fausses.
p q p∨q
V V
V
V F
V
F V
V
F F
F
Exemple. Vous rencontrez quelqu’un à une soirée et vous savez qu’il déteste marcher sous la pluie.
Le hh ou ii de la phrase suivante correspond à une disjonction :
hh
.
q
qqAA
Il ne pleut pas ou il a pris son parapluie
Parfois la disjonction s’exprime par un
hh
hh
et
ii
ii
dans la langue naturelle.
Réduction aux étudiants et aux chômeurs
ii
La réduction s’applique si l’on est un étudiant ou si l’on est un chômeur.
Commutativité : La proposition p ∨ q a la même valeur que la proposition q ∨ p.
La disjonction est rare en langue naturelle.
7
8
Le calcul propositionnel
Une personne vient d’apprendre que le femme de son ami logicien vient d’accoucher.
hh - alors, c’est un garçon ou une fille ? ii demande-t-il.
hh - oui. ii répond son ami logicien.
I.3.4.
Ou exclusif
Le hh ou ii de la langue naturelle correspond le plus souvent au ou exclusif de la logique. Ce dernier
se note ⊕. La proposition p ⊕ q est vraie si l’une des deux propositions p ou q est vraie, mais pas
les deux.
hh
Fromage ou dessert
ii
q p⊕q
p
V V
F
V F
V
F V
V
F F
F
Commutativité : La proposition p ⊕ q a la même valeur que la proposition q ⊕ p.
I.3.5.
Implication logique
L’implication logique est un connecteur logique, noté =⇒ défini par :
Définition I.2 [implication logique]
la formule p =⇒ q a la même valeur que la formule ¬p ∨ q.
p
q p =⇒ q
V V
V F
V
F
F V
V
F F
V
L’implication logique p =⇒ q s’exprime dans la langue mathématique par :
hh Être divisible par 6 implique être pair ii
– hh p implique q ii
h
h
i
i
hh Si un nombre est divisible par 6, alors il est pair ii
– si p alors q
h
h
i
i
h
h Un nombre est divisible par 6 seulement s’il est pair
– p seulement si q
h
h
i
i
h
h
Être divisible par 6 est suffisant être pair ii
– p est suffisant pour q
h
h
i
i
h
h
– q est nécessaire pour p
Être pair est nécessaire pour être divisible par 6 ii
ii
La proposition
hh
S’il pleut, alors Jean reste à la maison
ii
est fausse si Jean sort sous la pluie, et est vraie dans les autres cas, c’est à dire
– s’il ne pleut pas
– s’il pleut et que Jean reste à la maison.
q
L’implication logique =⇒ est un connecteur entre deux propositions. Il ne signifie pas
qqAA
forcément un lien de causalité entre les propositions qu’il connecte.
La causalité peut exister :
hh
S’il pleut alors le sol est mouillé
ii
§ I.3
Connecteurs logiques
La causalité peut s’exprimer par d’autre locutions que si . . . alors . . . .
hh
Jean boit toujours du vin avec son fromage
ii
Mais elle peut aussi être inversée :
hh
Si Thomas a gagné à la loterie, alors il a joué
ii
Les deux assertions peuvent avoir une cause commune et être indépendantes entre elles :
hh
Si les feuilles des arbres commencent à tomber, alors je branche mon
chauffage ii
Parfois, il peut n’y avoir aucun lien de causalité :
hh
Si 2 + 2 = 5 alors Paris est la capitale de l’Italie
ii
L’implication peut être utilisée pour appuyer un avis :
hh
q
qqAA
Si Michel chante bien, alors je veux être pendu !
ii
Un énoncé commençant par la conjonction si. . . peut ne pas correspondre à une implication.
À quel connecteur correspond-elle dans les énoncés suivants ?
I.3.6.
hh
Si les mathématiques sont une science, elles ne sont ni un art, ni un
jeu ii
hh
Si tu as soif, il y a une bière dans le frigo
ii
Contraposée et réciproque
Définition I.3 [contraposée]
La contraposée de l’implication p =⇒ q est l’implication ¬q =⇒ ¬p.
Considérons l’implication
hh
Si Pierre vient à la soirée, alors il ne restera pas de vin
ii
La contraposée de cette implications est :
hh
S’il reste du vin, alors Pierre n’est pas venu à la soirée
ii
Définition I.4 [réciproque]
La réciproque de l’implication p =⇒ q est l’implication q =⇒ p.
La réciproque de l’implication ci-dessus est :
hh
S’il ne reste pas de vin, alors Pierre est venu à la soirée
p
ii
q p =⇒ q ¬p ¬q ¬q =⇒ ¬p q =⇒ p
V V
V
F
F
V
V
V F
F
F
V
F
V
F V
V
V
F
V
F
F F
V
V
V
V
V
L’examen de la table ci-dessus permet d’énoncer :
9
10
Le calcul propositionnel
Proposition I.5
[propriété de la contraposée]
Une implication a toujours la même valeur que sa contraposée.
q
qqAA
L’examen de la table montre aussi qu’une implication n’a pas toujours la même valeur que
sa réciproque. L’opérateur =⇒ n’est pas commutatif.
I.3.7.
Équivalence logique
L’équivalence logique se note ⇐⇒.
h
i
Définition I.6 Équivalence logique
La proposition p ⇐⇒ q a la même valeur que la conjonction :
(p =⇒ q) ∧ (q =⇒ p).
En langue naturelle, l’équivalence p ⇐⇒ q correspond à
mathématique, cela se dit souvent hh p si et seulement si q ii.
p
hh
p équivaut à q ii. En langage
q p =⇒ q q =⇒ p p ⇐⇒ q
V V
V
V
V
V F
F
V
F
F V
V
F
F
F F
V
V
V
r
L’équivalence p ⇐⇒ q est vraie lorsque p et q ont la même valeur de vérité, et est fausse
dans le cas contraire. Finalement, l’équivalence p ⇐⇒ q a une valeur contraire de celle du ou
exclusif p ⊕ q.
Commutativité : La proposition p ⇐⇒ q a la même valeur que la proposition q ⇐⇒ p.
I.3.8.
Barre de Sheffer
La barre de Sheffer se note ↑. Il correspond au connecteur hh non. . . et. . . ii, que les électroniciens
nomment porte nand.
p q p↑q
V V
F
V F
V
F V
F F
V
V
La proposition p ↑ q est vraie lorsque p et q ne sont pas simultanément vraies, et faux dans le
cas contraire. Ce connecteur exprime que les propositions qu’il connecte sont incompatibles. Pour
cette raison, ce connecteur s’appelle aussi connecteur d’incompatibilité.
r
Tous les autres connecteurs binaires peuvent s’exprimer à l’aide de la barre de Sheffer, par
exemple :
– ¬p a la même valeur que p ↑ p.
– p ∧ q a la même valeur que (p ↑ q) ↑ (p ↑ q).
§ II.1
Formule bien construite
II – LE LANGAGE DES FORMULES PROPOSITIONNELLES
Dans cette section, on décrit le langage formel du calcul des propositions. Ce formalisme permet
un traitement automatique et élimine toute ambiguı̈té.
Comme tout langage, celui des formules propositionnelles comprend deux aspects :
– L’aspect syntaxique correspond à la façon de bien construire les formules de ce langage, et de
reconnaı̂tre les formules bien construites.
– L’aspect sémantique décrit sa signification. La signification d’une formule correspond à une
interprétation qui permet d’en établir la valeur de vérité.
§ II.1
Formule bien construite
L’alphabet du langage des propositions comprend :
– des symboles p, q, r, s, etc. qui représentent des propositions simples.
– des symboles V (ou >) et F (ou ⊥) qui représentent les constantes hh vrai ii et hh faux ii.
– les symboles des connecteurs logiques ¬, ∧, ∨, ⊕, =⇒, ⇐⇒, ↑.
– les parenthèses ( et ).
Cet alphabet constitue l’ensemble des symboles terminaux du langage des propositions.
Une formule du langage des propositions est un mot construit à l’aide de cet alphabet. Mais toutes
les combinaisons ne sont pas permises. Pour décrire ce qu’est une formule bien construite, on utilise
une grammaire qui décrit les règles de construction de formules correctes.
Pour décrire la grammaire, on utilise un symbole non terminal F qui représente une formule en
cours de construction. Les règles de construction d’une formule décrivent comment la construire.
Pour le traitement automatique, les règles se transcrivent facilement en programme de traitement.
Règle 1. Une formule peut être une variable propositionnelle.
Cette règle se note F −→ p | q | r | s | V | F . Cela signifie que la formule en cours de construction
1
F peut simplement être une proposition simple représenté par un symbole p, q, r ou s, ou bien
encore une constante hh vrai ii ou hh faux ii.
Règle 2. Une formule peut être la négation d’une formule.
Cette règle se note F −→ ¬F. Elle signifie qu’une formule peut être obtenue à partir d’une autre
2
formule en ajoutant le symbole ¬ pour signifier la négation de la formule F.
La formule ¬p s’obtient en appliquant successivement ces deux règles par la dérivation :
F −→ ¬F −→ ¬p
2
1
La première flèche est une dérivation qui utilise la règle 2, et la deuxième flèche est une dérivation
qui utilise la règle 1.
Voici un autre exemple de dérivation pour la construction de la formule ¬¬p.
F −→ ¬F −→ ¬¬F −→ ¬¬p
2
2
1
Règle 3. Une formule peut être la connexion de deux formules.
Cette règle se note F −→ ( F op F ), où op représente n’importe quel connecteur logique binaire,
3
∧, ∨,⊕, =⇒, ⇐⇒ ou ↑.
Ce langage s’appelle un langage infixe car on note le connecteur entre les deux formules qu’il
connecte. Ces deux formules sont les opérandes du connecteur.
La formule (p ∧ q) s’obtient par la dérivation suivante :
F −→ (F ∧ F) −→ (p ∧ F) −→ (p ∧ q)
3
1
1
11
12
Le langage des formules propositionnelles
Une formule est bien construite si elle peut s’obtenir à partir du symbole F par une succession
d’applications de ces trois règles de ré-écriture.
La formule (¬(p ∨ q) =⇒ r) est bien construite.
Par contre, la formule p =⇒ q =⇒ r n’est pas bien construite. D’ailleurs elle est ambiguë. Elle
pourrait signifier (p =⇒ q) =⇒ r ou p =⇒ (q =⇒ r) selon qu’on décide d’appliquer l’une ou l’autre
des implications en priorité.
r
Les parenthèses sont nécessaires autour d’un connecteur binaire pour lever toute ambiguı̈té
concernant l’ordre d’application des connecteurs.
§ II.2
Représentation par arbre
L’application de chacune des règles de construction d’une formule peut se représenter par un arbre,
appelé arbre syntaxique de la formule. Le point de départ de la construction de l’arbre est l’unique
symbole non terminal F.
Règle 1. La réécriture F −→ p se représente en remplaçant le symbole F, présent dans un arbre
1
F
en cours de construction, par la branche
p
Règle 2. La réécriture F −→ ¬F se représente en remplaçant le symbole F, présent dans un arbre
2
F
en cours de construction, par la branche
¬F
Règle 3. La réécriture F −→ F ⊕ F, par exemple, se représente en remplaçant le symbole F,
3
⊕
présent dans un arbre en cours de construction, par le sous-arbre
@
F
F
Une formule bien construite peut ainsi toujours se représenter par un arbre, en remplaçant
successivement le symbole non terminal F par le sous-arbre qui correspond à la règle de dérivation
qui a conduit à cette formule.
La formule :
(¬r ∧ (p ⇐⇒ q)
(1)
est construite par la dérivation suivante :
F −→ (F ∧ F) −→ (F ∧ (F ⇐⇒ F)) −→ (¬F ∧ (F ⇐⇒ F))
3
3
2
−→ (¬r ∧ (F ⇐⇒ F)) −→ (¬r ∧ (p ⇐⇒ F)) −→ (¬r ∧ (p ⇐⇒ q))
1
1
1
En appliquant la réécriture par des arbres, en partant de l’unique symbole F , et jusqu’à n’obtenir
que des symboles terminaux, on obtient finalement l’arbre suivant pour cette formule :
∧
@
¬ ⇐⇒
@
r p
q
Cette représentation montre bien que cette formule est une conjonction, dont les deux termes sont
¬r et p ⇐⇒ q.
§ II.3
§ II.3
Évaluation d’une formule
Évaluation d’une formule
Évaluer une formule signifie lui attribuer une valeur hh vrai ii ou hh faux ii, selon les valeurs des
variables qui la composent.
Les règles d’évaluation suivent les règles de construction de la formule.
Règle 1. La valeur d’une formule réduite à une proposition simple est celle de la proposition qui
la constitue. La valeur d’une constante est elle-même.
Règle 2. Pour une formule F, la valeur de ¬F est
valeur hh faux ii si F a pour valeur hh vrai ii.
hh
vrai
ii
si F a pour valeur
hh
faux ii, et a pour
Règle 3. La valeur de la formule F1 op F2 est obtenue en appliquant le connecteur op aux valeurs
des formules F1 et F2 .
Exemple. Dans la formule (1), si r a pour valeur V, p a pour valeur V et q a pour valeur F , on
peut attribuer les valeurs suivantes dans son arbre :
∧(= F )
@
¬(= F ) ⇐⇒ (= F )
@
r=V p=V q=F
Avec ces valeurs pour r, p et q, la valeur de la formule (1) est
hh
faux ii.
Exercice. Faire une représentation arborescente de la formule :
((¬p =⇒ (r ∨ (p ⇐⇒ q))) ∧ ¬r)
puis l’évaluer avec p = F , q = V et r = F .
§ II.4
Évaluation partielle d’une formule
Une formule peut se simplifier si on a une connaissance partielle des variables qui la constituent.
Les règles données dans le tableau suivant se vérifient aisément par un examen des tables de vérité :
Formule
p∨q
p∧q
p⊕q
p ⇐⇒ q
p =⇒ q
p↑q
Connaissance
Formule simplifiée
vrai
p=
hh
vrai
ii
p=
hh
faux
ii
q
p=
hh
vrai
ii
q
p=
hh
faux
ii
p=
hh
vrai
ii
¬q
p=
hh
faux
ii
q
p=
hh
vrai
ii
q
p=
hh
faux
ii
¬q
p=
hh
vrai
ii
p=
hh
faux
ii
hh
vrai
ii
q=
hh
vrai
ii
hh
vrai
ii
q=
hh
faux
ii
¬p
p=
hh
vrai
ii
¬q
p=
hh
faux
ii
q=
hh
vrai
ii
q=
hh
faux
ii
hh
hh
faux
ii
ii
q
hh
vrai
ii
¬p
hh
vrai
ii
13
14
Le langage des formules propositionnelles
Ainsi, avec la connaissance p =
hh
faux ii, la formule (1) se simplifie en
¬r ∧ ¬q
§ II.5
Notation polonaise préfixe
La notation polonaise préfixe a été mise au point par le mathématicien polonais Lukasiewiecz
en .
Elle présente l’avantage de ne pas nécessiter de parenthèse pour établir une écriture non ambiguë.
Elle est facilement utilisable pour un traitement automatique sur ordinateur. Elle est également
intuitive pour un utilisateur humain légèrement entraı̂né et est encore utilisée sur certaines
calculatrices H.P.
Les règles de dérivation sont les suivantes :
Règle 1. Une formule peut être une variable : F −→ p | q | r | · · ·
1
Règle 2. Une formule peut être une négation : F −→ ¬F.
2
Règle 3. Une formule peut être une formule composée par un connecteur op : F −→ op F F
3
Les deux première règles sont identique à celles l’écriture infixe usuelle, mais pour écrire une formule
composée en notation polonaise préfixe, on note d’abord le connecteur, suivi des deux opérandes
du connecteur. Cette façon de faire permet de se passer des parenthèses.
Considérons la formule en notation polonaise préfixe :
⇐⇒ ¬ ∨ p q ∧ ¬p ¬q
Elle a été obtenue par la succession de règle suivante :
F −→ ⇐⇒ F F −→ ⇐⇒ ¬F F −→ ⇐⇒ ¬ ∨ F F F −→ ⇐⇒ ¬ ∨ F F ∧ F F
3
2
3
3
−→ ⇐⇒ ¬ ∨ F F ∧ ¬F F −→ ⇐⇒ ¬ ∨ F F ∧ ¬F ¬F
2
−→ ⇐⇒ ¬ ∨ p q ∧ ¬p ¬q
2
1
La dernière dérivation est une abréviation qui regroupe en fait quatre dérivations de la règle 1 de
réécriture d’une formule en une variable. En appliquant les règle similaires de la notation usuelle
infixe, cette formule se traduit en :
(¬(p ∨ q) ⇐⇒ (¬p ∧ ¬q))
L’arbre de cette formule est :
⇐⇒
HH
¬
∨
p
r
@
q
∧
@
¬ ¬
p
q
L’arbre d’une formule est représente la suite des règles qui sont appliquées pour produire cette
formule. Il représente la signification de la formule, indépendamment de la notation utilisée,
quelle soit préfixe ou infixe.
§ III.1
Définitions
III – TAUTOLOGIES ET CONTRADICTIONS
§ III.1
Définitions
Définition III.1
[Tautologies et contradictions]
Une tautologie est une formule propositionnelle dont la valeur est toujours
que soient les valeurs des variables qui la composent.
Une formule dont la valeur est toujours
hh
faux
ii
hh
vrai ii, quelles
s’appelle une contradiction.
Exemples. Compléter la table de vérité suivantes :
p ¬p ¬¬p p ∨ ¬p p ∧ ¬p p =⇒ p p ⇐⇒ p p ∧ p p ⇐⇒ (p ∧ p) p ∨ p p ⇐⇒ (p ∨ p)
V
F
L’examen des tables de vérité fait apparaı̂tre des formules dont la valeurs est toujours
toujours hh faux ii.
Premières tautologies
– Principes d’identité :
– Principe du tiers exclus :
– Principe de non-contradiction :
– Principe de la double négation :
– Idempotence du hh et ii :
– Idempotence du hh ou ii :
– V est neutre pour hh et ii :
– F est neutre pour hh ou ii :
– V est absorbant pour hh ou ii :
– F est absorbant pour hh et ii :
hh
vrai
ii
ou
p =⇒ p et p ⇐⇒ p
p ∨ ¬p
¬(p ∧ ¬p)
p ⇐⇒ ¬¬p
p ⇐⇒ p ∧ p
p ⇐⇒ p ∨ p
(p ∧ V ) ⇐⇒ p
(p ∨ F ) ⇐⇒ p
p∨V
¬(F ∧ p)
Donner un sens à une formule, c’est donner une signification aux variables qui la composent, et la
signification conduit à leur attribuer une valeur de vérité.
Une interprétation d’un ensemble de variables est une valeur attribuée à chacune d’elles. Une variable a deux interprétations possibles, hh vrai ii et hh faux ii. Deux variables ont quatre interprétations
possibles, trois variables ont huit interprétations possibles, etc. Une tautologie est une formule qui
est vraie pour toutes les interprétations des variables qui la composent.
Si une formule est toujours vrai alors sa négation est toujours fausse, et réciproquement, ce qui
permet d’énoncer :
Proposition III.2
Les deux énoncés suivants sont équivalents :
hh
p est une tautologie
ii
et
hh
¬p est une contradiction
ii
Par conséquent, toute tautologie permet d’énoncer une contradiction, simplement en la niant. On
ne s’intéressera donc qu’aux tautologies.
q
La proposition III.2 n’est pas un énoncé du langage des proposition, mais un énoncé de la
qqAA
langue naturelle qui traite de propriétés du langage des propositions.
r
Les symboles V et > désignent des tautologies, c’est-à-dire des formules qui sont toujours
vraies. Les symboles F et ⊥ désignent des contradiction, c’et-à-dire des formules qui sont
toujours fausses.
15
16
Tautologies et contradictions
§ III.2
Définition des principaux connecteurs
La définition d’un nouveau connecteur énonce une tautologie par équivalence avec une formule qui
ne comprend que des connecteurs déjà définis. Les propositions ci-après sont donc des tautologies
par définition.
–
–
–
–
Définition
Définition
Définition
Définition
§ III.3
de l’implication :
de l’équivalence
du hh ou exclusif ii.
de la barre de Sheffer.
(p =⇒ q) ⇐⇒ (¬p ∨ q)
(p ⇐⇒ q) ⇐⇒ (p =⇒ q) ∧ (q =⇒ p)
(p ⊕ q) ⇐⇒ ¬(p ⇐⇒ q)
(p ↑ q) ⇐⇒ ¬(a ∧ b)
Méthode sémantique
Une première méthode pour montrer qu’une formule est une tautologie est de calculer sa table de
vérité et de vérifier que la valeur est toujours hh vrai ii.
Cette méthode montre qu’une formule est une tautologie en calculant toutes les valeurs possibles.
Il s’agit d’une méthode sémantique, car elle établit la vérité d’une formule pour toutes les
interprétations possibles des variables.
Par exemple, montrons la loi de De Morgan qui énonce que
(2)
¬(p ∨ q) ⇐⇒ (¬p ∧ ¬q)
est une tautologie
Pour cela, complétons la table de vérité suivante :
p q p ∨ q ¬(p ∨ q) ¬p ¬q ¬p ∧ ¬q
V V
V F
F V
F F
De même, montrons l’associativité de la loi ∨. Pour cela, compléter la table de vérité suivante :
p q r (p ∨ q) (p ∨ q) ∨ r (q ∨ r) p ∨ (q ∨ r)
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
r
Cette méthode peut devenir rapidement impraticable si le nombre de variables devient trop
grand. Ajouter une seule variable multiplie par deux le travail pour effectuer une vérification
complète.
Exercices. Montrer, par une méthode sémantique, que les formules suivantes sont des tautologies
– commutativité de ∨ :
(p ∨ q) ⇐⇒ (q ∨ p)
– commutativité de ∧ :
(p ∧ q) ⇐⇒(q ∧ p)
– associativité de ∧
(p ∧ q) ∧ r ⇐⇒ p ∧ (q ∧ r)
– distributivité de ∨ sur ∧ :
(p ∧ q) ∨ r ⇐⇒ (p ∨ r) ∧ (q ∨ r)
– distributivité de ∧ sur ∨ :
(p ∨ q) ∧ r ⇐⇒ (p ∧ r) ∨ (q ∧ r)
§ III.4
Méthode syntaxique
§ III.4
Méthode syntaxique
Une tautologie apparaı̂t comme une vérité universelle, indépendante du contexte, de la valeur ou
de l’interprétation des variables qui la composent.
La vérité d’une tautologie doit apparaı̂tre dans la formule elle-même et non pas dans les valeurs
particulières de ses variables.
Par exemple, une formule comme (p ∨ ¬p) est une tautologie du fait même de la définition du
connecteur ∨. Elle est vraie en raison de son écriture même, sans avoir à préjuger d’une signification
pour la variable p.
Les méthodes syntaxiques s’appuient sur l’écriture de la formule pour établir son caractère
tautologique ou contradictoire. Elles reposent sur le principe de substitution, qui est une règle
de ré-écriture.
Proposition III.3 [principe de substitution]
Soient A, B et C trois formules propositionnelles.
Si A ⇐⇒ B est une tautologie et si A apparaı̂t comme une sous-formule de C, alors la
formule obtenue en remplaçant toute occurrence de A par B dans la formule C est une
formule qui a la même valeur que C.
Exemple. La définition du connecteur =⇒ stipule que la formule suivante est une tautologie :
(p =⇒ q) ⇐⇒ (¬p ∨ q)
| {z }
| {z }
A
B
La formule C, égale à ¬(p =⇒ q), est de la forme ¬A. Elle a donc la même valeur que ¬B qui est
¬(¬p ∨ q).
Pour montrer qu’une formule est une tautologie par une méthode syntaxique, on applique le
principe de substitution à cette formule pour en déduire une formule équivalente à hh vrai ii.
Exemples. 1. Montrons que la formule C, égale à (p∧¬q)∨(¬p∨q) est une tautologie. Remplacer
p par ¬p dans la loi de De Morgan (2) montre que la formule suivante est une tautologie :
(¬p ∨ q) ⇐⇒ ¬(¬¬p ∧ ¬q)
Par la double négation, on a ¬¬p ⇐⇒ p, ce qui permet de remplacer ¬¬p par p dans cette formule
et d’établir que la formule suivante est une tautologie :
(¬p ∨ q) ⇐⇒ ¬(p ∧ ¬q)
Remplaçons maintenant (¬p ∨ q) par ¬(p ∧ ¬q) dans la formule C. Cela montre que C a la même
valeur que
(p ∧ ¬q) ∨ ¬(p ∧ ¬q)
Cette formule est de la forme A ∨ ¬A qui est une tautologie par le principe de non contradiction.
2. Montrons que la formule p =⇒ (q =⇒ p) est une tautologie. Pour cela, écrivons des formules
équivalentes par substitution et montons que la formule vaut V :
– définition de la première implication
¬p ∨ (q =⇒ p)
– définition de la deuxième implication
¬p ∨ (¬q ∨ p)
– commutativité de ∨
¬p ∨ (p ∨ ¬q)
– associativité de ∨
(¬p ∨ p) ∨ ¬q
– principe de non contradiction
(V ∨ ¬q)
– élément absorbant
V
17
18
Tautologies et contradictions
3. Montrons le principe de contraposition qui énonce que la formule (p =⇒ q) =⇒ (¬q =⇒ ¬p)
est une tautologie. On procède par substitution comme ci-dessus.
– définition des implications
¬(¬p ∨ q) ∨ (¬¬q ∨ ¬p) – loi de De Morgan
(¬¬p ∧ ¬q) ∨ (¬¬q ∨ ¬p)
– double négation
(p ∧ ¬q) ∨ (q ∨ ¬p)
– associativité du ∨
((p ∧ ¬q) ∨ q) ∨ ¬p
– distributivité du ∨ sur le ∧
((p ∨ q) ∧ (¬q ∨ q)∨ ¬p
– principe du tiers exclus
((p ∨ q) ∧ V ) ∨ ¬p
– élément neutre pour ∧
(p ∨ q) ∨ ¬p
– associativité et commutativité du ∨
(p ∨ ¬p) ∨ q
– principe du tiers exclus
(V ∨ q)
– élément absorbant
V
§ III.5
Quelques tautologies usuelles
III.5.1.
Lois classiques
– Double négation
– Principes d’identité
– Principe du tiers exclus
– Principe de non-contradiction
p ⇐⇒ ¬¬p
(p =⇒ p)
(p ∨ ¬p)
¬(p ∧ ¬p)
(p ⇐⇒ p)
III.5.2.
Tautologies concernant ∨ et ∧
– Idempotence
p ⇐⇒ (p ∧ p)
p ⇐⇒ (p ∨ p)
– Commutativité
(p ∨ q) ⇐⇒(q ∨ p)
(p
∧ q) ⇐⇒ (q ∧ p)
– Associativité
(p ∨ q) ∨ r ⇐⇒ p ∨ (q ∨ r)
(p ∧ q) ∧ r ⇐⇒ p ∧ (q ∧ r)
– Distributivité
p ∨ (q ∧ r) ⇐⇒ (p ∨ q) ∧ (q ∨ r)
p ∧ (q ∨ r) ⇐⇒ (p ∧ q) ∨ (q ∧ r)
– Lois de De Morgan
¬(p ∨ q) ⇐⇒ (¬p ∧ ¬q)
¬(p ∧ q) ⇐⇒ (¬p ∨ ¬q)
(p ∧ q) ⇐⇒ ¬(¬p ∨ ¬q)
(p ∨ q) ⇐⇒ ¬(¬p ∧ ¬q)
– Absorption
(p ∨ V ) ⇐⇒ V
(p ∧ F ) ⇐⇒ F
– Élement neutre
(p ∧ V ) ⇐⇒ p
(p ∨ F ) ⇐⇒ p
III.5.3.
Définition des principaux connecteurs
– Implication
(p =⇒ q) ⇐⇒ (¬p ∨ q)
– Équivalence
(p ⇐⇒ q) ⇐⇒ (p =⇒ q) ∧ (q =⇒ p)
– Barre de Sheffer
(p ↑ q) ⇐⇒ ¬(p ∧ q)
III.5.4.
Tautologies concernant l’implication
– Contraposition
(p =⇒ q) ⇐⇒(¬q =⇒ ¬p)
– Modus ponens
p ∧ (p =⇒ q) =⇒ q
– Modus tollens
¬q ∧ (p =⇒ q) ⇐⇒ ¬p
– Réfutation par l’absurde
(p =⇒ ¬p) =⇒ ¬p
(p =⇒ q) ∧ (p =⇒ ¬q)
=⇒ ¬p
– Transitivité
(p =⇒ q) ∧ (q =⇒ r) =⇒ (p =⇒ r)
Certaines de ces tautologies correspondent aux définitions des connecteurs et n’ont pas à être
démontrées.
D’autres peuvent se déduire de tautologies précédemment établies par une démonstration syntaxique utilisant le principe de substitution.
Un problème de la logique est de définir un ensemble minimal de tautologies admises qui permet
de déduire toutes les autres.
§ IV.1
Ensemble consistant de formules
IV – RAISONNEMENTS ET INFÉRENCES
Ce paragraphe présente les façons de construire de nouvelles propositions à partir de propositions
qui sont admises. Un des objet de la logique est de savoir si des déductions sont valides ou non.
§ IV.1
Ensemble consistant de formules
Considérons les trois témoignages suivants concernant un fait divers au cours duquel un des
protagoniste est coupable d’on ne sait quel méfait :
– Philippe :
– Quentin :
– Roger :
–
–
–
Quentin est coupable, Roger n’a rien à voir là dedans. ii
Si Philippe a fait le coup, alors Roger est innocent. ii
hh Je suis innocent, mais l’un des deux autres est coupable.
hh
hh
ii
Traduisons tout d’abord les trois propositions énoncées dans ces témoignages.
– p : hh Philippe est coupable ii
– q : hh Quentin est coupable ii
– r : hh Roger est coupable ii
Les trois témoignages peuvent s’exprimer à l’aide de formules propositionnelles. Notons P le
témoignage de Philippe, Q celui de Quentin et R celui de Roger. Les informations récoltées
s’expriment par les formules :

 P : q ∧ ¬r
Q : p =⇒ ¬r

R : ¬r ∧ (p ∨ q)
Le problème de l’enquêteur est de trouver s’il peut trouver un ou plusieurs coupables qui soient
compatibles avec ces trois témoignages.
En d’autres termes, peut-il attribuer une valeur aux trois propositions simples p, q et r de telle
sorte que les trois formules P , Q et R soient vraies ?
Définition IV.1 [Interprétation]
Pour une liste de variables (p1 , . . . pn ) de propositions, une interprétation de ces variables
est une attribution d’une valeur hh vrai ii ou hh faux ii à chacune d’elles.
r
La notion d’interprétation permet de reformuler les définitions de tautologie, de contradiction
et de formules équivalentes.
Une tautologie est une formule qui prend la valeur hh vrai ii pour toute interprétation des variables
qui la composent.
Une contradiction est une formule qui prend la valeur hh faux ii pour toute interprétation des
variables qui la composent.
Deux formules sont équivalentes si elles prennent la même valeur pour toute interprétation des
variables qui la composent.
Ce que cherche l’enquêteur est finalement une interprétation à ses trois propositions simples qui
désignent un coupable.
Dressons la table de vérité de ces variables :
19
20
Raisonnements et inférences
P = q ∧ ¬r Q = p =⇒ ¬r R = ¬r ∧ (p ∨ q)
p
q
r
V
V
V
F
F
F
V
V
F
V
V
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
V
V
F
V
V
F
V
F
F
V
F
V
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
F
F
V
F
On observe que deux des lignes de cette table rendent vrais tous les témoignages. L’inspecteur, s’il
fait confiance aux trois témoignages, ne peut retenir que deux hypothèses :
– Philippe et Quentin sont coupables et Roger est innocent, ou
– Quentin est coupable, Philippe, Roger sont innocents
Cet exemple illustre la définition suivante :
Définition IV.2 [Ensemble consistant de formules]
On dit qu’un ensemble de formules est consistant s’il existe au moins une interprétation qui
donne la valeur hh vrai ii à toutes les formules ;
Cette définition peut se formuler différemment.
Proposition IV.3
[Propriété caractéristique d’un ensemble consistant de formules]
Dire qu’un ensemble de formule est consistant revient à dire, de manière équivalente, que
leur conjonction n’est pas une contradiction.
Preuve. Dire que leur conjonction n’est pas une contradiction signifie qu’il existe une interprétation
qui ne donne pas la valeur hh faux ii à cette conjonction, et donc que toutes les formules sont vraies
pour cette interprétation.
Exemple. Considérons les formules (¬p ∧ q) et (p ⇐⇒ q). Compléter la table suivante.
p
q (¬p ∧ q) (p ⇐⇒ q) (p ⇐⇒ q) ∧ (¬p ∧ q)
V V
V F
F V
F F
L’ensemble de ces formules est-il consistant ?
§ IV.2
Inférences et déductions
Une inférence est une opération qui consister à tirer une conclusion à partir d’un ensemble de
propositions tenues pour vraies qui sont appelées prémisses.
Une inférence se note ainsi :
A1 , . . . , A n
| {z }
prémisses
B
|{z}
conclusion
§ IV.2
Inférences et déductions
On dit indifféremment :
hh
B est une conséquence de A1 ,. . . et An
hh
B se déduit de A1 ,. . . et An
hh
A1 ,. . . et An infèrent B
ii
ii
ii
La question est de savoir quand une telle déduction est valide, et quand elle ne l’est pas.
Définition IV.4 [Inférence valide]
On dit que l’inférence A1 , . . . , An
B est valide si pour toute interprétation qui rend
vraies les prémisses A1 , . . . , An , la formule B est vraie.
On dit également que B est une conséquence valide de A1 ,. . . et An .
Exemples. En reprenant l’exemple de Philippe, Quentin et Roger, on peut affirmer que si les trois
témoignages P , Q et R sont vrais alors Quentin est coupable et Roger est innocent. Les inférences
suivantes sont donc valides :
q
P, Q, R
P, Q, R
¬r
Par contre, l’inférence P, Q, R
p n’est pas valide, car l’interprétation p = hh faux ii, q = hh vrai ii
et r = hh faux ii rend vrai les prémisses, mais fausse la conclusion.
r
Lorsqu’on note A1 , . . . , An
B, sans autre précision, on sous-entend toujours que l’inférence
est valide, et donc que la conclusion B est une conséquence valide des prémisses A1 , . . . , An .
On peut peut étendre la définition des inférences avec un ensemble vide de prémisses.
Définition IV.5 [tautologie]
Dire que l’inférence sans prémisse :
T
est valide signifie que la formule T est une tautologie.
Le théorème qui suit donne une façon simple et générale de vérifier qu’une inférence est valide. Il
permet de vérifier la validité d’un raisonnement à partir d’un calcul sur une formule propositionnelle.
Théorème IV.6 [caractérisation des inférences valides]
Dire que l’inférence A1 , . . . , An
B est une tautologie.
B est valide signifie que l’implication (A1 ∧ · · · ∧ An ) =⇒
En d’autres termes, dire qu’une inférence est valide signifie que la conjonction des prémisses
implique toujours la conclusion.
Preuve. Supposons que l’inférence A1 , . . . , An
B est valide et une interprétation quelconque.
Si tous les Ai sont vrais, alors, l’inférence étant valide, B est vrai, et pour la même raison, si l’un
des Ai est faux, alors B est faux. Dans les deux cas, l’implication (A1 ∧ · · · ∧ An ) =⇒ B est vraie.
Réciproquement, si l’implication (A1 ∧ · · · ∧ An ) =⇒ B est une tautologie, alors il n’existe aucune
interprétation qui rend vraie la conjonction A1 ∧ · · · ∧ An et faux B, ce qui signifie par définition
que l’inférence A1 , . . . , An
B est valide.
21
22
Raisonnements et inférences
§ IV.3
Règles d’inférence
IV.3.1.
Modus ponens
Rappelons que la formule suivante est une tautologie :
(p ∧ (p =⇒ q) =⇒ q.
(3)
On en déduit que l’inférence suivante :
p, (p =⇒ q)
q
est valide.
Cette inférence signifie que si on admet p, et que q découle de p, alors on doit admettre q. Ainsi
la tautologie (3) conduit à une règle d’inférence. Cette règle s’appelle le modus ponens, expression
latine qui signifie le mode qui affirme.
IV.3.2.
Modus tollens
Le formule suivante est également une tautologie :
¬q ∧ (p =⇒ q) =⇒ ¬p
Cette tautologie permet d’établir que l’inférence suivante est valide :
¬q, (p =⇒ q)
¬p.
Cela s’interprète en énonçant que si on réfute q et si q est une conséquence de p, alors on doit
réfuter p. Cela est également intuitif, car en effet, si p était avéré, alors, d’après le modus ponens,
la proposition q le serait aussi, ce qui contredit notre supposition.Cette règle d’inférence s’appelle
le modus tollens, expression latine qui signifie le mode qui réfute.
IV.3.3.
Autres règles
Toute tautologie qui fait intervenir l’implication conduit à une façon de construire une inférence
valide.
Chacune des formules suivante est une tautologie et conduit à une règle d’inférence :
tautologie
inférence
(p =⇒ ¬p) =⇒ ¬p
p =⇒ (q =⇒ p)
¬p =⇒ (p =⇒ q)
(¬p =⇒ p) =⇒ p
(p ⇒ q) ∧ (p ⇒ ¬q) =⇒ ¬p
(¬p ⇒ q) ∧ (¬p ⇒ ¬q) =⇒ p
(p =⇒ ¬p)
p
¬p
interprétation
¬p
Si p entraı̂ne sa propre négation,
alors il doit être réfuté
(q =⇒ p)
Si p est admis, il découle de tout
(p =⇒ q)
¬p =⇒ p
Si p est réfuté, il entraı̂ne tout
p
(p ⇒ q), (p ⇒ ¬q)
(¬p ⇒ q), (¬p ⇒ ¬q)
Si p découle de sa propre négation c’est qu’il est vrai.
¬p
p
Si q et son contraire découlent
de p, alors on doit réfuter p.
Si la négation de p entraı̂ne le
vrai comme le faux, c’est que p
est vrai.
§ V.1
Fonction booléenne
V – FORMES NORMALES
§ V.1
Fonction booléenne
Rappelons qu’une variable propositionnelle est une variable qui peut prendre deux valeurs : hh vrai
ou hh faux ii. En logique, la valeur d’une variable propositionnelle s’appelle une interprétation.
ii
Un ensemble de n variables propositionnelles admet 2n interprétations possibles.
Définition V.1 [Fonction booléenne]
Une fonction booléenne de n variables propositionnelles est un procédé, qui à chacune des
2n interprétations possibles de ces n variables, associe une valeur hh vrai ii ou hh faux ii.
Se donner une fonction booléenne de n variables revient à se donner une table de vérité de 2n
valeurs.
Exemple :
p
§ V.2
q
r f (p, q, r)
V V V
F
V V F
V
V F V
F
V F F
F
F V V
F
F V F
V
F F V
F
F F F
V
Logique et nombres
Les calculs numériques sur ordinateurs sont réalisés avec des circuits logiques. En électronique
numérique, toute valeur numérique se représente à l’aide de 0 et de 1. Les nombres entiers se
représentent en numération binaire comme une séquence de 0 et de 1. Par exemple :
610 = 1102
L’indice indique la base de numération
510 = 1012
5 + 6 = 1110 = 10112
Lorsqu’on fait correspondre la valeur hh vrai ii au chiffre 1 et la valeur hh faux
connecteurs logiques s’interprètent comme des opérations numériques.
a b a∧b a⊕b a∨b a⇒b a⇔b
0 0
0
0 1
0
1 0
0
1 1
1
ii
au chiffre 0, tous les
23
24
Formes normales
Les connecteurs peuvent s’écrire avec une formule numérique faisant intervenir les opérations
arithmétiques usuelles, addition, soustraction, multiplication :
a∧b=a×b
a ⊕ b = a + b − 2ab
a ∨ b = a + b − ab
a ⇒ b = 1 − a + ab
= 1 si et seulement si a ≤ b
a ⇔ b = 1 − (a − b)2
A contrario les opérations numériques peuvent trouver une interprétation logique :
a b a + b 2a + b 3(2a + b)
0 0
00
00
0000
0 1
01
01
0011
1 0
01
10
0110
1 1
10
11
1001
Ainsi on peut observer que le premier chiffre de la somme a + b vaut a ∧ b et que le deuxième chiffre,
celui des unités, vaut a ⊕ b.
Exercice. Trouver une interprétation logique des chiffres binaires du résultat de 2a + b et de
3(2a + b).
§ V.3
Forme normale disjonctive
Étant donnée une formule propositionnelle, on peut dresser sa table de vérité et ainsi définir une
fonction booléenne qui lui correspond. Ce paragraphe répond à la question inverse :
– Existe-t-il une formule propositionnelle qui prend les mêmes valeur qu’une fonction booléenne
donnée ?
– Peut-on réaliser une fonction booléenne avec les connecteurs ∧, ∨ et ¬ ?
La suite du paragraphe répond par l’affirmative à ces deux questions. Cela permet de conclure
tous les calculs numériques peuvent se réaliser avec des fonctions booléennes, et que ces fonctions
peuvent se réaliser à l’aide de circuits logiques.
Définition V.2 [conjonction de variables]
Une conjonction de variables est une formule où n’apparaissent que des variables ou leur
négation, reliées par le connecteur ∧.
Par exemple p ∧ q ∧ ¬r est une conjonction de variables.
r
Noter que, comme le connecteur ∧ est associatif, on peut sans ambiguı̈té omettre les
parenthèses.
La formule p ∧ q ∧ ¬r n’est vraie que si p = V , q = V et r = F .
Reprenons la fonction booléenne du paragraphe V.1. En considérant toutes les lignes où cette
fonction prend la valeur hh vrai ii, il est possible d’exprimer la valeur de f (p, q, r) comme un ou
entre autant de conjonctions de variables :
f (p, q, r) = (p ∧ q ∧ ¬r) ∨ (¬p ∧ q ∧ ¬r) ∨ (¬p ∨ ¬q ∨ ¬r).
Une telle écriture s’appelle une forme normale disjonctive (FND) de la fonction booléenne f .
§ V.4
Méthode syntaxique
Définition V.3 [Forme normale disjonctive]
Une forme normale disjonctive est une formule constituée d’une disjonction de zéro, une ou
plusieurs conjonctions de variables ou de leur négation.
Un usage est de simplifier les notations. L’opérateur ∧ est omis, comme le signe × est omis dans
un produit, et la négation de p se note p. Ainsi, l’écriture simplifiée de la forme normale disjonctive
de la fonction f est :
f (p, q, r) = p q r ∨ p q r ∨ p q r
Une forme normale disjonctive peut n’être formée que d’une seule conjonction : pqr.
Dans une forme normale disjonctives, les conjonctions peuvent n’être constituées que d’une seule
variable : p ∨ q ∨ r.
La méthode exposée ci-dessus, qui consiste à écrire une formule comme une disjonction de
conjonctions qui correspondent aux lignes de la table de vérité où la formule est vraie, est toujours
applicable, ce qui permet d’énoncer :
Proposition V.4
Toute formule est équivalente à une forme normale disjonctive.
q
qqAA
La forme normale disjonctive n’est pas unique. Par exemple, la forme normale disjonctive
a b ∨ a b se simplifie par distributivité en a ∧ (b ∨ b) = a ∧ > = a, qui est aussi une forme
normale disjonctive.
De manière similaire, on peut vérifier que les deux formules p q ∨ p q ∨ p q et q ∨ p q sont deux formes
normales disjonctives équivalentes.
r
Les formes normales disjonctives les plus intéressantes du point de vue pratique sont les plus
courtes, car elles permettent de réaliser des calculs de manière plus efficace. Le problème de
trouver la forme la plus compacte est un problème difficile et est l’objet de nombreuses recherches.
§ V.4
Méthode syntaxique
La méthode des tables de vérité peut s’avérer très lourde dès que le nombre de variables
propositionnelles dépasse quatre ou cinq. La table comporte alors respectivement 16 et 32 lignes.
On présente ci-après une méthode syntaxique sur un exemple.
Exemple : Trouver une forme normale disjonctive de la formule :
¬ (p ⇒ q) ⇒ r .
La méthode comprend trois étapes :
1) En utilisant les définitions des connecteurs, traduire en une formule qui n’utilise que ∧, ∨ et ¬.
¬ ¬(¬p ∨ q) ∨ r
2) Utiliser les lois de De Morgan jusqu’à ce que toutes les négations ne portent que sur des
variables. On simplifiera les doubles négations.
¬ (p ∧ ¬q) ∨ r
¬(p ∧ ¬q) ∧ ¬r
(¬p ∨ q) ∧ ¬r
3) Appliquer la distributivité pour
hh
faire sortir
ii
les ∨ et
hh
faire rentrer
(¬p ∧ ¬r) ∨ (q ∧ ¬r) = p r ∨ q r
ii
les ∧.
25
26
Méthode des arbres
VI – MÉTHODE DES ARBRES
§ VI.1
Construction graphique d’une forme normale disjonctive
La méthode des arbres est une méthode graphique pour trouver une forme normale disjonctive
d’une formule.
Cette méthode permet également de décider si une formule donnée est ou non une contradiction.
En appliquant la méthode à la négation d’une formule, on peut également décider si elle est ou
non une tautologie.
La disjonction A∨B de deux formules se représente par une ramification de deux branches ouvertes :
A
@
@
B
La conjonction A ∧ B de deux formules se représente par une branche unique sur laquelle figurent
les deux formules A et B.
A
B
Exemple. La forme disjonctive F = p q ∨ p q se représente par l’arbre :
p
q
@
@
p
q
La valeur d’une formule se lit sur l’arbre en appliquant la règle suivante :
hh
Pour qu’une formule soit vraie, il suffit que toutes les variables d’une
branche soient vraies, en tenant compte d’une éventuelle négation. ii
Réécriture des connecteurs.
A⇒B
@@
B
¬(A ∨ B) ¬(A ∧ B) ¬(A ⇒ B) A ⇔ B
A
B
@
@
B
A
B
@
@
A
B
A
B
Exemples. 1. Développer l’arbre de la formule A = ¬ p ∨ (q ∧ ¬r) .
La méthode consiste à développer successivement toutes les formules conformément au tableau
ci-dessus jusqu’à n’obtenir que des variables ou leur négation.
A
A
p
¬(p ∧ ¬r)
@
@
q
r
Une conjonction de la forme normale disjonctive correspond à une branche dans l’arbre depuis la
racine jusqu’à une feuille. Cet arbre correspond à la forme normale disjonctive :
A = p q ∨ p r.
§ VI.2
L’arbre de réfutation
2. Développer l’arbre de la formule B = p ∧ (p ∨ q).
p
p∨q
p
×
@
@
q
Une branche qui contient une variable et sa négation est appelé une branche fermée. Cela correspond
à une contradiction p ∧ ¬p. Elle peut être supprimée de la forme normale disjonctive.
B = pq
3. Développer la formule C = ¬(p ∧ (q ⇔ r) =⇒ q ∨ ¬(r ⇒ p) .
XXX
X
p ∧ (q ⇔ r)
q ∨ ¬(r ⇒ p)
p
q⇔r
q
r
q
@
@
¬(r ⇒ p)
@@
q
r
r
p
Cet arbre conduit à la forme normale disjonctive suivante :
C = pqr ∨ pqr ∨ q ∨ rp
r
Si toutes les branches de l’arbre d’une formule sont fermées, alors cette formule est une
contradiction. Ainsi, pour vérifier qu’une formule est une contradiction, il suffit de vérifier
que son arbre ne comprend que des branches fermées.
Si toutes les branches ne sont pas fermées, c’est qu’il existe une interprétation des variables qui
rend vraie la formule. On dit dans ce cas que la formule est satisfiable.
Pour vérifier qu’une formule est une tautologie, il suffit vérifier que sa négation est une contradiction.
Conseil. Traiter en priorité les formules qui n’ouvrent pas de branche.
§ VI.2
L’arbre de réfutation
La méthode des arbres peut s’appliquer pour vérifier la validité d’un raisonnement.
Prenons par exemple le raisonnement suivant :
hh
– Quand un accident survient sur la course, les journalistes en parlent.
– Si il y a un accident sur la course et que les journalistes en parlent, alors les sponsors sont
inquiets.
– Un accident survient.
– Donc les sponsors sont inquiets. ii
Ce raisonnement comprend trois prémisses et une conclusion. Notons les propositions simples de
ce raisonnement :
p : hh Un accident survient. ii
q : hh Les journalistes en parlent. ii
r : hh les sponsors sont inquiets. ii
27
28
Méthode des arbres
Les trois prémisses sont :
A : p =⇒ q
La conclusion est :
D = r.
B : (p ∧ q) =⇒ r
C : p
Le raisonnement s’écrit :
(4)
A, B, C
D.
Pour vérifier sa validité, il faut montrer que la formule :
(5)
A ∧ B ∧ C =⇒ D
est une tautologie. Cela revient à montrer que la négation de cette formule est une contradiction.
Or la négation de la formule (5) est :
(6)
A ∧ B ∧ C ∧ ¬D
Finalement, pour montrer qu’un raisonnement est valide, il suffit de montrer que la conjonction
des prémisses et de la négation de la conclusion est une contradiction. L’arbre construit à partir
de ces formules s’appelle un arbre de réfutation. Montrer qu’il s’agit d’une contradiction revient à
montrer qu’il n’existe aucune interprétation qui rend les prémisses vraies et qui rend la conclusion
fausse. On ne peut pas réfuter la conclusion. La conclusion s’impose donc.
Construisons cet arbre :
p⇒q
(p ∧ q) ⇒ r
p
¬r
@
@
¬p
q
×
@
@
¬(p ∧ q)
r
×
@
@
¬p
¬q
×
×
Dans cet arbre, toutes les branches sont fermées. La formule (6) est bien une contradiction. Le
raisonnement (4) est valide.
§ VII.1
Introduction
VII – DÉDUCTION NATURELLE
§ VII.1
Introduction
Rappelons que la validité d’un raisonnement A1 , . . . , An
B se montre en vérifiant que la formule
(A1 ∧· · ·∧An ) =⇒ B est une tautologie. Si le nombre de variables n’est pas trop important, vérifier
qu’une formule est une tautologie peut se faire en construisant sa table de vérité. On peut aussi
chercher à réfuter la négation et construire l’arbre de la formule A1 ∧ · · · ∧ An ∧ ¬B par la méthode
des arbres.
Dans les deux cas, on ne peut que valider ou réfuter un raisonnement, et la méthode n’aide pas à
construire le raisonnement.
La déduction naturelle a été introduite de manière indépendante en  par le logicien polonais
Stanislaw Jáskowski et le logicien allemand Gehard Gentzen. Elle a pour objet de trouver des
conclusions à partir d’un ensemble de prémisses, en suivant le modèle du raisonnement humain.
Le système de la déduction naturelle consiste en un ensemble de règles qui permettent de construire
des déductions valides à partir d’autres déductions valides déjà connues.
Il existe plusieurs systèmes de règles qui permettent de construire des déductions. La déduction
naturelle est un des plus intuitif.
Les propriétés attendues d’un système de règles sont :
– La consistance : les règles permettent de démontrer la validité de tous les raisonnements valides.
– La non-contradiction : il n’est pas possible, à partir de prémisses données, de démontrer à la fois
une conclusion et son contraire.
Lors d’une construction déductive, on dispose au départ d’un certain nombre de propositions
A1 , . . . , An qu’on suppose vraies pour démarrer le raisonnement. Ces propositions s’appellent des
axiomes.
Si à partir de ces axiomes, on a élaboré une conclusion C par une inférence valide :
A1 , . . . An
C,
on dit que la proposition C a été démontrée.
Une formule qui est vraie parce qu’on en a exhibé une preuve s’appelle un théorème.
Cette conclusion peut maintenant servir de prémisse pour élaborer une nouvelle conclusion
A1 , . . . , A n , C
|
{z
}
Γ
C1
Pour abréger, on note Γ l’ensemble des prémisses. Les prémisses consistent en un ensemble de
propositions qui sont vraies, soit parce que ce sont des axiomes qui sont supposés vrais dès le
départ, soit parce que ce sont des théorèmes qui ont été démontrés.
Un raisonnement consiste en une liste d’inférences valides qui permettent de proche en proche
d’élaborer la preuve d’une conclusion visée. Chaque nouvelle inférence du raisonnement est ajoutée
en appliquant une règle.
29
30
Déduction naturelle
§ VII.2
Trois règles de base
Trois règles ne sont pas liées à un connecteur particulier.
Règle de répétition. La première règle, est la règle de répétition qui énonce que toute
proposition qui fait partie des prémisses est une conséquence valide de cet ensemble de prémisses.
Pour toute liste de prémisses Γ, alors :
Γ, A
A
est une inférence valide.
Règle d’affaiblissement. Si on a une preuve de B, alors on a aussi une preuve de B si on
ajoute une prémisse. On note :
B
Γ
Γ, A
B
Cette règle exprime que si l’inférence Γ
B est déjà établie comme valide, alors l’inférence
Γ, A
B est également valide et peut être ajoutée au raisonnement.
Règle d’élimination. Si on a une preuve de B avec une prémisse A et avec sa négation ¬A,
alors, on peut éliminer cette formule des prémisses. On note :
B; Γ, ¬A
Γ
B
Γ, A
§ VII.3
B
Traitement des connecteurs
Chaque connecteur est défini par une règle d’élimination, qui permet d’obtenir un énoncé où le
connecteur est éliminé, et une règle d’introduction qui permet d’obtenir un énoncé dans lequel est
ajouté le connecteur.
VII.3.1.
Conjonction
Règle d’introduction. Si on a une preuve de la formule A et si on a aussi une preuve de la
formule B, alors cela constitue une preuve de la formule A ∧ B. On note :
Γ
Γ
A; Γ
B
A∧B
p ∧ p.
Exemple. Montrer la validité du principe d’identité p
1. p
2. p
p
p∧p
règle de répétition
règle d’introduction du ∧ appliquée à l’inférence 1
Règle d’élimination. Si une formule A ∧ B est une conséquence valide des prémisses, alors A,
ainsi que B sont aussi des conséquences valides de ces prémisses.
Γ
Γ
A∧B
A
et
Exemple. Montrons la validité de l’inférence p ∧ p
1. p ∧ p
2. p ∧ p
p∧p
p
Γ
Γ
A∧B
B
p.
règle de recopie
règle d’élimination du ∧ appliquée à l’inférence 1
§ VII.3
Traitement des connecteurs
VII.3.2.
Implication
Règle d’élimination La règle d’élimination est le modus ponens. Si on a une preuve de A et de
A ⇒ B, alors cela constitue une preuve de B.
Γ
A⇒B
A; Γ
Γ
B
Règle d’introduction. L’implication A ⇒ B est établie si, en ajoutant la formule A aux
prémisses, on peut en déduire la formule B.
B
Γ, A
Γ
A⇒B
Pour montrer l’implication A ⇒ B, on suppose que la formule A est vraie, et on démontre que la
formule B peut s’en déduire.
q
qqAA
La formule A n’est pas forcément vraie. Elle est une hypothèse d’un raisonnement qui cherche
à démontrer B.
Exemples. 1. Montrer que la formule p ⇒ p est une tautologie. Rappelons qu’une tautologie est
une formule qui se déduit d’un ensemble vide de prémisses. Il faut donc montrer que la déduction
p ⇒ p est valide.
1. p
2.
p
p⇒p
règle de recopie
règle d’introduction de ⇒ avec l’inférence 1.
2. Montrer la transitivité de l’implication, c’est-à- dire montrer la validité de l’inférence
p ⇒ q, q ⇒ r
p ⇒ r.
|
{z
}
Γ
Le principe est de supposer p vrai et démontrer r, puis de conclure avec la règle d’introduction de
l’implication.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
VII.3.3.
Γ,
Γ,
Γ,
Γ,
Γ,
Γ
p
p
p
p
p
p⇒q
p
q
q⇒r
r
p⇒r
répétition, p ⇒ q fait partie des prémisses Γ.
répétition.
modus ponens avec 1 et 2.
répétition
modus ponens avec 3 et 4.
introduction de ⇒ avec 5.
Négation
Règles d’élimination. Le règle d’élimination repose sur la double négation, sur le fait que ce
qui n’est pas vrai est faux et sur le fait que ce qui n’est pas faux est vrai.
¬¬A
A
¬>
⊥
¬⊥
>
Règle d’introduction. Si une formule et son contraire se déduisent de A, alors A doit être
réfutée.
Γ, A
B;
Γ
Γ, A
¬A
¬B
La règle d’introduction de ¬ correspond au raisonnement par l’absurde. Pour réfuter la conclusion,
on la suppose vraie et on cherche une contradiction.
31
32
Déduction naturelle
Exemple. Montrer la validité de l’inférence p, ¬p
q. hh Tout se déduit d’une chose et son
| {z }
Γ
contraire ii.
1. Γ, ¬q
p
répétition
¬p
répétition
2. Γ, ¬q
3. Γ
¬q ⇒ p
introduction de ⇒ avec 1.
¬q ⇒ ¬p
introduction de ⇒ avec 2.
4. Γ
5. Γ
¬¬q
introduction du ¬ avec 3. et 4.
q
élimination du ¬ avec 5.
6. Γ
Cette inférence exprime que tout se déduit d’une formule et de sa négation. Elle peut être
utilisée comme règle, maintenant démontrée, d’introduction de toute formule à partir d’hypothèses
contradictoires : si avec des prémisses, on peut établir une formule et son contraire, alors toute
formule est une conséquence valide de ces prémisses.
Γ
¬A
A; Γ
Γ
B
VII.3.4.
Disjonction
Règle d’introduction. Si on a une preuve de la formule A, alors cela constitue une preuve de
A ∨ B pour n’importe quelle formule B :
Γ
Γ
A
A∨B
¬p.
Exemple Montrer la validité de l’inférence ¬(p ∨ q)
| {z }
Γ
1. Γ, p
p
répétition
2. Γ, p
p∨q
introduction du ∨ avec 1
3. Γ, p
¬(p ∨ q)
répétition
¬p
introduction du ¬ avec 2 et 3.
4. Γ
Règle d’élimination. Si la formule C se déduit de A comme de B et si de plus a une preuve de
A ∨ B, alors cela établit une preuve de la formule C.
Cette règle d’élimination s’écrit :
Γ
A ∨ B; Γ, A
Γ
C; Γ, B
C
C
Exemple. (une application directe de l’élimination du ∨) Montrer la validité de l’inférence :
p ⇒ r, q ⇒ r, p ∨ q
{z
}
|
Γ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Γ, p
Γ, p
Γ, p
Γ, q
Γ, q
Γ, q
Γ
Γ
p⇒r
p
r
q⇒r
q
r
p∨q
r
r.
répétition
répétition
modus ponens avec 1 et 2
recopie
répétition
modus ponens avec 4 et 5
répétition
élimination du ∨ avec 3, 6 et 7
§ VII.4
Exemples
§ VII.4
Exemples
Tout comme pour l’apprentissage des démonstrations, la pratique des déductions naturelles est
nécessaire à leur maitrise.
1. Montrer la validité de l’inférence p, q ⇒ (p ⇒ r)
q ⇒ r.
|
{z
}
Γ
p
répétition
1. Γ
q ⇒ (p ⇒ r)
répétition
2. Γ
3. Γ, q
q
répétition
p⇒r
modus ponens avec 2 et 3.
4. Γ, q
5. Γ, q
r
modus ponens avec 1 et 4.
q⇒r
introduction de l’implication avec 5
6. Γ
2. Montrer la validité de l’inférence p ∧ q, p ⇒ (q ⇒ r)
r.
|
{z
}
Γ
1. Γ
p∧q
répétition
p
élimination du ∧
2. Γ
3. Γ
q
élimination du ∧
p ⇒ (q ⇒ r)
répétition
4. Γ
5. Γ
q⇒r
modus ponens avec 2 et 4.
6. Γ
r
modus ponens avec 3 et 5.
3. Montrer la validité de l’inférence p ⇒ ¬q
¬(p ∧ q).
| {z }
Γ
Si la conclusion comprend une négation, on peut chercher une contradiction en ajoutant sa négation
aux prémisses.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Γ,
Γ,
Γ,
Γ,
Γ,
Γ
p∧q
p∧q
p∧q
p
p∧q
p ⇒ ¬q
p∧q
¬q
p∧q
q
¬(p ∧ q)
répétition.
élimination du ∧ dans 1.
répétition
modus ponens avec 2 et 3
élimination du ∧ dans 1
introduction du ¬ avec 4 et 5
4. Montrer la validité de l’inférence p ∨ q, ¬q
p.
| {z }
Γ
1. Γ
p∨q
répétition.
2. Γ, p
p
répétition.
3. Γ, q
q
répétition
¬q
répétition
4. Γ, q
5. Γ, q
p
introduction de p avec 3 et 4
6. Γ
p
élimination du ∨ avec 1, 2 et 5
r
Cette inférence exprime que si la disjonction p ∨ q est établie et si q est réfuté, alors c’est que
p est vrai. Elle exprime une règle plus faible d’élimination du ∨, mais parfois plus facile à
appliquer.
Règle faible d’élimination du ∨ :
(7)
Γ
(A ∨ B); Γ
Γ
A
¬B
33
34
Déduction naturelle
5. a) Montrer la validité de l’inférence ¬(p ∨ ¬p)
¬p.
| {z }
Γ
La conclusion comprend une négation. Cherchons une contradiction en ajoutant p aux premisses
pour conclure avec l’introduction du ¬.
1.
2.
3.
4.
Γ, p
Γ, p
Γ, p
Γ
p
p ∨ ¬p
¬(p ∨ ¬p)
¬p
répétition
introduction du ∨
recopie
introduction du ¬ avec 2 et 3
b) En déduire le principe du tiers exclu. c’est-à-dire montrer que l’inférence sans prémisse
est valide. Pour cela, essayons de trouver une contradiction en supposant sa négation.
1. ¬(p ∨ ¬p)
¬(p ∨ ¬p)
¬p
2. ¬(p ∨ ¬p)
3. ¬(p ∨ ¬p)
p ∨ ¬p
¬¬(p ∨ ¬p)
4.
5.
p ∨ ¬p
répétition
d’après le a)
introduction du ∨ avec 2
introduction du ¬ avec 1 et 3
élimination du ¬ dans 4
p∨¬p
§ VIII.1
Les limites du calcul des propositions
VIII – PRÉDICATS
§ VIII.1
Les limites du calcul des propositions
Considérons les raisonnements suivants exprimés en langue naturelle.
hh
Si tous les humains sont mortels et que Socrate est un humain, alors
Socrate est mortel. ii
hh
Les riches ne payent pas assez d’impôts. Or les fils de riches sont riches.
Donc les fils de riches ne payent pas assez d’impôts. ii
Ces raisonnements sont intuitivement valides, mais si on veut les exprimer dans le langage des
propositions, on ne peut écrire que des implications de la forme
(A ∧ B) =⇒ C,
(8)
avec par exemple A : hh Tous les humains sont mortels ii, B :
hh Socrate est mortel ii.
La formule (8) ne correspond à aucune tautologie.
hh
Socrate est un humain
ii
et C :
La validité de ces raisonnements est liée à des expressions comme hh tous les. . . ii, qui font référence
à des classes d’objets, comme la classe des mortels, ou la classe de ceux qui ne payent pas assez
d’impôts.
Ils utilisent également des relations entre les objets, comme
relation ne fait pas partie du langage des propositions.
hh
. . . est le fils de . . . ii, et ce type de
Pour étudier ces raisonnements, il est donc nécessaire d’enrichir le langage des propositions. C’est
précisément cela l’objet du langage des prédicats.
§ VIII.2
Prédicat
Définition VIII.1 [prédicat]
Un prédicat est un énoncé qui peut contenir un ou plusieurs symboles, appelés symbole de
variable, et tels que si on remplace ce symbole par un objet convenable, on obtient une
proposition, c’est-à-dire un énoncé sur lequel on peut dire qu’il est vrai ou faux.
Exemples.
hh
x est un nombre premier
hh
x est le père de y
hh
a tourne autour de b
hh
u aime v
hh
a est à l’est de b
ii
ii
ii
ii
ii
Un prédicat devient une proposition lorsqu’on remplace les symboles de variable par les objets
appropriés.
q
qqAA
hh
12 est un nombre premier
hh
La terre tourne autour du soleil
hh
Jean aime le chou
ii
ii
ii
On ne peut pas dissocier un prédicat du ou des domaines dans lesquels il faut choisir les
objets qui vont remplacer les variables, afin que l’énoncé ait un sens.
35
36
Prédicats
Définition VIII.2 [domaine d’interprétation]
Le domaine d’interprétation d’un prédicat est l’ensemble des valeurs possibles pour les
symboles de variable qui donnent un sens à l’énoncé.
Par exemple, le domaine d’interprétation du prédicat
entiers.
hh
x est pair
ii
est l’ensemble des nombres
Définition VIII.3 [arité]
L’arité d’un prédicat est le nombre de symboles de variables distincts qu’il comprend.
Voici quelques exemples :
prédicat
unaire
arité 1
p est mûre ii
h est mortel ii
hh x mesure 1,80 m. ii
hh x est le double de y
hh x mange y ii
hh a + b = x ii
hh a donne b à c ii
hh
hh
binaire
arité 2
ternaire
arité 3
ii
r
Un prédicat qui ne comprend aucune variable, c’est-à-dire un prédicat d’arité zéro est une
proposition.
§ VIII.3
Les prédicats unaires
Les prédicats qui n’ont qu’une seule variable sont simples à décrire.
Considérons un prédicat p(x). Son domaine d’interprétation E peut se partager en deux sousensembles :
– le sous-ensemble de E où p(x) est vrai,
– le sous-ensemble de E où p(x) est faux.
Par exemple p(x) est le prédicat hh x est pair ii, dont le domaine d’interprétation est l’ensemble N
des entiers naturels, partage l’ensemble N en deux sous-ensembles :
– le sous-ensemble des entiers pairs, où p(x) est vrai,
– le sous-ensemble des entiers impairs, où p(x) est faux.
Entiers impairs,
p(x) est faux
N
Entiers pairs,
p(x) est vrai
r
Il est équivalent de se donner un sous-ensemble du domaine d’interprétation et un prédicat
unaire définit sur ce domaine.
Pour un prédicat p(x) défini sur le domaine E, notons Ap le sous-ensemble de E constitué des
éléments x de E pour lesquels le prédicat p(x) prend la valeur hh vrai ii.
§ VIII.3
Les prédicats unaires
Définition VIII.4 [Prédicat satisfiable, quantificateur existentiel]
On dit que le prédicat p(x), défini sur E est satisfiable, si le sous-ensemble Ap de E où p(x)
est vrai et non vide. Dans ce cas, on écrit
∃x p(x)
On dit dit
hh
il existe au moins un x vérifiant p(x).
Le symbole ∃ s’appelle le quantificateur existentiel. Cela vient de l’allemand Ein qui signifie un.
Un prédicat qui n’est pas satisfiable s’appelle un prédicat inconsistant.
Définition VIII.5 [Quantificateur universel]
Avec les même notation que dans la définition VIII.4 ci-dessus, si le sous ensemble Ap est
l’ensemble E tout entier, on note
∀x p(x)
Cela signifie que tous les éléments de l’ensemble E, c’est-à-dire tous les objets du domaine
d’interprétation, satisfont le prédicat p(x).
On dit hh tous les x satisfont le prédicat p(x) ii, ou hh quel que soit x, le prédicat p(x) est satisfait.
ii
Le symbole ∀ s’appelle le quantificateur universel. Il vient de l’allemand Alle qui signifie tous.
Donnons quelques exemples de phrases de la langue naturelle qu’on peut traduire dans le langage
des prédicats.
hh
Tous les hommes sont mortels
∀x h(x) ⇒ m(x) ,
ii
avec pour domaine domaine d’interprétation l’ensemble E des êtres, h(x) qui signifie
homme ii et m(x) qui signifie hh x est mortel ii
hh
Un homme est sage
avec s(x) qui signifie
hh
x est sage
hh
ii
x est paresseux
ii
hh
x change d’avis
ii
∀x p(x) ⇒ ¬r(x) ,
ii
et r(x) qui signifie
Il n’y a que les imbéciles qui ne changent pas d’avis
avec c(x) qui signifie
x est un
∃x h(x) ∧ s(x) ,
ii
Aucun paresseux n’a réussi l’examen de logique
avec p(x) qui signifie
hh
hh
hh
hh
ii
∀x ¬c(x) ⇒ i(x) ,
ii
et i(x) qui signifie
x réussit l’examen de logique
hh
x est un imbécile
ii
Les connecteurs appliqués aux prédicats unaires peuvent s’interpréter comme des opérations sur
les sous-ensembles associés.
Ap∨q = Ap ∪ Aq
réunion
Ap∧q = Ap ∩ Aq
intersection
Ap ⊂ Aq
signifie p(x) ⇒ q(x)
A¬p = Ap ,
où Ap désigne le complémentaire de Ap dans E
37
38
Le langage des prédicats
IX – LE LANGAGE DES PRÉDICATS
Dans cette section, nous définissons le langage des prédicats de manière formelle, comme le langage
des propositions a été défini dans la section II, page 11. Le langage des prédicats étant plus riche,
la définition formelle est un peu plus complexe.
§ IX.1
La grammaire du langage
Alphabet. L’alphabet terminal du langage des prédicats est constitué de six types de symboles :
– les signes de ponctuation ( , ) et ,.
– les symboles de variable x, y, z, u, v. Ces symboles de variable désignent un élément général du
domaine d’interprétation, par exemple hh un homme ii.
– les symboles de constante a, b, c, d, e. Ces symboles de constante désignent un élément particulier
du domaine d’interprétation, par exemple hh Pierre ii.
– les symboles de prédicat n–aires p, q, r, s. Par exemple p(x) =hh x est pair ii, ou q(x, y) =hh x
aime y ii.
– les connecteurs logiques ¬, ∧, ∨, =⇒, etc.
– le signe égal =.
– les symboles de quantificateur ∀ et ∃.
Élements du langage et règles de formation. Une formule est bien formée si elle a été
produite en suivant les règles de formation qui définissent la grammaire du langage des prédicats.
Une formule du langage des prédicats, qu’on appelle aussi un énoncé, peut être :
– un énoncé simple,
– un énoncé composé,
– un énoncé général.
Chaque élément est défini par un symbole non terminal, noté en majuscule et d’une règle de réécriture pour le générer. Il y a deux symboles non terminaux dans la grammaire du langage des
prédicats : le symbole T pour désigner un terme, et le symbole F pour désigner une formule.
– Un terme T peut être :
1. un symbole de variable : T −→ x.
1
2. un symbole de constante : T −→ a.
2
– Un énoncé simple peut être :
3. un symbole de prédicat 0–aire : F −→ p
3
4. un symbole de prédicat n–aire suivi de ses paramètres : F −→ q(T1 , . . . , Tn ), où T1 , . . . , Tn
4
sont des termes.
5. une égalité de deux termes : F −→ (T1 = T2 ), où T1 et T2 sont des termes.
5
– Un énoncé composé consiste en des formules connectées par un connecteur logique.
6. F −→ ¬F1 | (F1 ∧ F2 ) | (F1 ∨ F2 ) | (F1 =⇒ F2 ), ainsi de suite avec tous les connecteurs
6
logiques, où F1 et F2 sont des formules du langage des prédicats.
– Un énoncé général est un énoncé avec quantificateur :
7. F −→ ∀x F1 | ∃x F1 , où x est un symbole de variable, et F1 est une formule.
7
Deux exemples.
1. Considérons la formule :
∃x ∀y p(y) ⇒ (x = y) .
§ IX.2
Variables
L’ensemble des règles qui conduisent à cette formule peut directement se représenter par un arbre
de dérivation, appelé aussi arbre syntaxique de la formule :
F
?règle 7
∃x F1
?règle 7
∀y F1
règle 6
?
F1 ⇒ F2
règle 4 ? @
R règle 6
@
p(T1 )
règle 1 ?
y
(T1 = T2 )
? ?
x y
r
Cette formule signifie hh il existe au plus un x qui satisfait le prédicat p(x) ii. En effet, la
formule énonce que tout élément y qui satisfait p(y) est égal à x.
2. Soit la formule
∃x p(x) ∧ ∀y p(y) ⇒ (x = y) .
F
?règle 7
∃x F1
?règle 6
F1 ∧ F2
règle 4
AAU règle 7
∀y F1
p(T1 )
règle 1 ?
?
x
F1 ⇒ F2
règle 4 ? @
R règle 6
@
p(T )
règle 1 ?
y
(T1 = T2 )
? ?
x y
r
Cette formule signifie hh Il existe exactement un élément x qui satisfait le prédicat p(x) ii. En
effet, un tel élément existe, et tout autre élément y qui satisfait également p(y) est égal à x.
§ IX.2
Variables
Portée d’un quantificateur. La portée d’un quantificateur désigne la partie d’une formule où
ce quantificateur a un effet.
Dans un énoncé général ∀ x F1 , la portée du quantificateur ∀ est x F1 .
|{z}
De même, dans un énoncé général ∃ x F1 , la portée du quantificateur ∃ est x F1 .
|{z}
Par exemple, dans la formule :
∀ x p(x, y) ∧ q(x) ,
|
{z
}
39
40
Le langage des prédicats
la portée du quantificateur ∀ est la partie soulignée par une accolade qui est x p(x, y) ∧ q(x) .
De même, dans la formule :
∀ x p(x, y) ∧ ∀ x q(x),
| {z }
| {z }
la portée du premier quantificateur ∀ est x p(x, y) et la portée du second quantificateur ∀ est x q(x).
Occurrence d’une variable. On dit que la variable x a une occurrence dans un énoncé A
lorsque :
– l’énoncé A est bien formé ;
– la variable x apparaı̂t dans l’écriture de A.
Par exemple, dans l’énoncé suivant, la variable x a trois occurrences et la variable y a deux
occurrences :
p(y) ∧ q(x) ⇒ ∀x x = y
Définition IX.1 [variable muette, variable libre]
– Une occurrence de la variable x est muette lorsque x est dans la portée d’un quantificateur.
– Une occurrence de la variable x est libre lorsque x n’est dans la portée d’aucun quantificateur.
Exemples. Dans les formules suivantes :
∀ x p( x , y ) ∧ q(x )
↑
↑ ↑
↑
m m `
`
∀x p( x , y ) ∧ q( x )
↑ ↑
↑
m `
m
(9)
(10)
les variables indiquées m sont muettes, celles indiquées ` sont libres.
r
Lorsqu’une variable est muette, le quantificateur par lequel est elle est liée est le quantificateur
le plus proche dans l’écriture de cette variable. Par exemple, dans la formule suivante, les deux
occurrences de la variable x sont muettes, et la flèche indique le quantificateur par lequel la variable
x est liée.
∀x ∀x q(x) ∧ p(x, y)
6 6
Par contre, la variable y est libre.
Définition IX.2 [énoncé clos]
Un énoncé est clos si toutes ses variables sont muettes.
Exemples. L’énoncé :
∀x ∃y p(x, y) ∧ q(x)
est clos.
Par contre celui-ci ne l’est pas :
∀x ∃y p(x, y) ∧ q(x),
car la dernière occurrence de la variable x est libre.
§ IX.2
Variables
Définition IX.3 [arité d’un énoncé]
L’arité d’un énoncé est le nombre de variables libres qu’il contient.
Par exemple, la formule (9) est d’arité 2, car les variables x et y sont libres. La formule (10) est
d’arité 1, car seule la variable y est libre.
Une formule d’arité 0 est un énoncé clos. Il s’agit d’une proposition.
q
Dans la formule
qqAA
∀x p(x, y) ∧ q(y),
il y a une seule variable libre qui est y mais deux occurrences de cette variable. L’arité de cette
formule est 1.
41
42
Interprétation, validité
X – INTERPRÉTATION, VALIDITÉ
Dans cette section, on s’intéresse à la manière dont un énoncé du calcul des prédicat peut être
qualifiée de hh vrai ii ou hh faux ii.
Cette question ne se pose que pour des énoncés clos.
§ X.1
Interprétation
L’objet d’une interprétation est de donner un sens aux symboles de constantes, de variables et
de prédicat. Une interprétation d’une formule, ou d’un ensemble de formule est constituée de la
donnée des éléments suivants :
1. Un ensemble non vide D qui est le domaine du discours auquel appartiennent les constantes et
les variables, par exemple :
– Les nombres entiers N,
– Les humains,
– Les objets,
– Un groupe de personnes {Pierre, Marie, Gérard}.
2. Une attribution d’un élément du domaine D à chaque symbole de constante, par exemple
a est Pierre,
b est Marie,
c est Gérard.
3. Une attribution à chaque symbole de prédicat d’une manière d’en décider la vérité. Cela dépend
de l’arité du prédicat.
– pour les prédicat 0–aires p, qui sont les propositions, il s’agit simplement d’une valeur hh vrai
ou hh faux ii.
ii
– Pour les prédicats unaires p(x), il s’agit d’un sous-ensemble du domaine d’interprétation qui
contient tous les éléments x pour lesquels p(x) est vrai. Par exemple si D = N et p(x) est le
prédicat hh x est pair ii, le sous-ensemble de D qui décrit le prédicat p(x) est le sous ensemble
Ap des entiers pairs, Ap = {0, 2, 4, 6 . . .}.
– Pour les prédicats binaires q(x, y), il s’agit d’un ensemble de couples ordonnés (x, y), où x
et y sont des éléments du domaine D tels que q(x, y) est vrai.
Par exemple, considérons le domaine
D = {a = Pierre, b = Marie, c = Gérard}.
On cherche à décrire le prédicat binaire q(x, y) qui signifie hh x apprécie y ii. On sait que Pierre et
Marie s’aiment l’un l’autre, que Marie est contente d’elle-même, que Pierre apprécie Gérard
et que Gérard apprécie Marie. L’ensemble des couples qui décrit cette situation est :
(a, b), (b, a), (b, b), (a, c), (c, b) .
Une représentation graphique de cette situation est donnée par le schéma suivant qu’on appelle un
graphe :
q
a ZZ
?
-q
>
b
ZZ
~ q
c
§ X.2
§ X.2
Vérité d’une formule
Vérité d’une formule
La vérité d’une formule du calcul des prédicats dépend d’une interprétation et des valeurs qu’on
attribue aux variables.
Considérons par exemple l’interprétation donnée par le domaine D = {1, 2, 3} avec le prédicat
p(x, y) qui signifie x ≤ y. Ce prédicat est schématisé par le graphe suivant :
?
q
1 ZZ
?
-q
>
3
ZZ
~ 2q 6
Ce diagramme permet d’attribuer une valeur lorsque toutes les variables du prédicat p(x, y) sont
attribuées. Ainsi par exemple, la valeur de p(1, 1) est hh vrai ii et la valeur de p(2, 1) est hh faux ii.
Vérité d’une formule existentielle. La formule ∃x A est vraie s’il y a une attribution de x
qui rend vraie la formule A. Elles est fausse dans le cas contraire, c’est-à-dire si aucune attribution
de x ne rend vraie la formule A.
Par exemple, dans l’interprétation ci-dessus, la formule ∃x p(x, 2) est satisfaite lorsque la valeur 1
est attribuée à x. La formule ∃x p(x, 2) est donc vraie.
Considérons sur le même domaine D = {1, 2, 3} le prédicat q(x, y) qui signifie x < y. La formule
∃x q(x, 1) est fausse, car q(1, 1), (q(2, 1) et q(3, 1) sont tous faux.
Vérité d’une formule universelle. Une formule ∀x A est vraie lorsque toutes les attributions
de la variable x rendent vraie la formule A. Elle est fausse dans le cas contraire, c’est-à-dire
lorsqu’une attribution de x rend fausse la formule A.
Par exemple, la formule ∀x p(x, 3) est satisfaite pour toutes les attributions de x, pour x = 1, pour
x = 2 et pour x = 3. La formule ∀x p(x, 3) est donc vraie.
Par contre, la formule ∀x p(x, 2) est fausse, car l’attribution x = 3 ne rend pas vraie cette formule.
Exemples.
1. La formule ∀x ∃y p(x, y) est vraie, car pour toutes les attributions de x, la formule ∃y p(x, y)
est vraie. En effet :
– pour x = 1, la formule ∃y p(1, y) est vraie, par exemple pour y = 2,
– pour x = 2, la formule ∃y p(1, y) est vraie, par exemple pour y = 2,
– pour x = 3, la formule ∃y p(1, y) est vraie, par exemple pour y = 3,
2. La formule ∀x ∀y p(x, y) est fausse, car p(2, 1) est fausse.
3. La formule ∃x ∃y p(x, y) est vraie, par exemple pour les attribution x = 1 et y = 2.
Définition X.1 [modèle]
Un modèle pour une formule est une interprétation qui la rend vraie.
Considérons par exemple la formule :
∀x ∀y
p(x, y) ∧ p(y, x) ⇒ (x = y)
Cette formule est vraie pour le modèle suivant :
43
44
Interprétation, validité
– Le domaine D est l’ensemble N des entiers naturels.
– Le prédicat p(x, y) a l’interprétation x ≤ y.
r
Noter qu’une formule peut-être vraie pour une interprétation et fausse pour une autre
interprétation. La vérité d’une formule dépend de l’interprétation.
§ X.3
Formules valides
Les formules valides du calcul des prédicats sont l’équivalent des tautologies du calcul des
propositions. Ce sont des vérités universelles, indépendamment de toute interprétation.
Définition X.2 [formule valide]
Une formule du calcul des prédicats est dite valide si elle est vraie pour toute interprétation.
En d’autres termes, toute interprétation est un modèle pour une formule valide.
Exemples intuitifs. Les formules suivantes sont vraie pour toutes les interprétations :
∀x p(x, a) =⇒ p(a, a)
1)
Une interprétation est par exemple donnée par
s’aime ii.
2)
hh
Si tout le monde aime Marie, alors Marie
∀x p(x) ⇒ q(x) ∧ p(a) =⇒ q(a)
Si pour tout x, la vérité de q(x) découle de celle de p(x) est si le prédicat p(x) est vrai pour a,
alors on doit admettre que q(x) est vrai pour a.
q
Contrairement au calcul des propositions, il n’existe pas de méthode générale pour déterminer
qqAA
la validité d’une formule. Il existe cependant :
– des méthodes qui fonctionnent dans certains cas seulement ;
– des méthodes qui fonctionnent toujours, mais à condition que tous les prédicats soient unaires.
§ X.4
Équivalences classiques en calcul des prédicats
Proposition X.3
[négation d’une formule]
Les formules suivantes sont valides :
(11)
¬∀x p(x) ⇐⇒ ∃x ¬p(x)
¬∃x p(x) ⇐⇒ ∀x ¬p(x)
Ces équivalences montrent que la distribution de la négation nécessite d’inverser le quantificateur.
q
Selon l’équivalence (11), l’énoncé hh toutes les licornes sont bleues ii n’est faux que si hh il existe
qqAA
une licorne non bleue ii.
Preuve. Montrons la première équivalence. Pour cela, montrons que les deux formules à gauche et
à droite de l’équivalence ont la même valeur de vérité.
On considère une interprétation quelconque. Si la formule ¬∀x p(x) est vraie, c’est que ∀x p(x)
est faux. Le prédicat p(x) n’est donc pas satisfait pour une attribution de x. Cela signifie que la
formule ∃x ¬p(x) est vraie.
§ X.4
Équivalences classiques en calcul des prédicats
Supposons maintenant que la formule ¬∀x p(x) est fausse. La formule ∀x p(x) est donc vraie.
Pour toute attribution de x, le prédicat p(x) a la valeur hh vrai ii, donc ¬p(x) a la valeur hh faux ii. Il
n’existe aucune attribution de x qui rend vrai le prédicat p(x). Cela signifie que la formule ∃x ¬p(x)
est fausse.
La deuxième équivalence se prouve de façon tout à fait similaire. Si la formule ¬∃x p(x) est vraie,
c’est que la formule ∃x p(x) est fausse. Il n’existe aucune attribution de x qui rend vrai le prédicat
p(x), donc pour toute attribution de x, la valeur de p(x) est hh faux ii, ce qui signifie que la formule
∀x ¬p(x) est vraie.
Si maintenant la formule ¬∃x p(x) est fausse, alors la formule ∃x p(x) est vraie. Il existe une
attribution de x qui rend p(x) vrai. Il est donc faux que toute attribution de x rend p(x) faux, ce
qui signifie que la formule ∀x ¬p(x) est fausse.
Les propositions qui suivent peuvent se démontrer comme la proposition X.3, mais nous verrons
au chapitre suivant une méthode graphique qui permettra d’établir la validité des formules.
Proposition X.4
[Distribution des quantificateurs]
Les équivalences suivantes sont valides :
∀x p(x) ∧ q(x) ⇐⇒ ∀x p(x) ∧ ∀x q(x)
∃x p(x) ∨ q(x) ⇐⇒ ∃x p(x) ∨ ∃x q(x)
Ces équivalences expriment que le quantificateur universel se distribue sur le et et le quantificateur
existentiel se distribue sur le ou.
q
Le quantificateur universel ne se distribue pas sur le ou et le quantificateur existentiel ne se
qqAA
distribue pas sur le et. On a seulement une implication dans un sens :
Proposition X.5
[Distribution des quantificateurs]
Les implications suivantes sont valides
∃x p(x) ∧ q(x) =⇒ ∃x p(x) ∧ ∃x q(x)
∀x p(x) ∨ ∀x q(x) =⇒ ∀x p(x) ∨ q(x)
Noter que la contraposée de la première implication est la deuxième implication, appliquée aux
négations des prédicats p et q.
q
Les réciproques ne sont pas valides. La valeur à attribuer à x pour rendre p(x) vrai dans la
qqAA
première implication peut ne pas être la même que pour rendre q(x) vrai.
Proposition X.6
[Permutation des quantificateurs identiques]
Les équivalences suivantes sont valides :
∀x ∀y p(x, y) ⇐⇒ ∀y ∀x p(x, y)
∃x ∃y p(x, y) ⇐⇒ ∃y ∃x p(x, y)
q
qqAA
Les quantificateurs non identiques ne commutent pas ! Avec des quantificateurs différents, il
existe seulement une implication :
45
46
Interprétation, validité
Proposition X.7
[Permutation des quantificateurs]
La formule suivante est valide
∃x ∀y p(x, y) =⇒ ∀y ∃x p(x, y)
q
qqAA
La réciproque est fausse, car la valeur à attribuer à x pour rendre la valeur de p(x, y) vraie
peut dépendre de y. Considérons par exemple l’interprétation où le domaine est l’ensemble N
des entiers naturels, et où p(x, y) signifie x ≥ y. La formule :
∀y ∃x p(x, y)
signifie que tout entier en admet un qui lui est supérieur, ce qui est vrai. Il suffit par exemple de
considérer l’entier suivant. Par contre, la formule :
∃x ∀y p(x, y)
signifie qu’il existe un entier qui est supérieur à tous les autres, et cette affirmation est fausse.
§ XI.1
Règles de développement
XI – MÉTHODE DES ARBRES EN CALCUL DES PRÉDICATS
La méthode des arbres est une méthode graphique qui permet de trouver, lorsqu’elle existe, une
interprétation qui satisfait une formule close donnée.
Elle permet aussi de montrer qu’il n’existe aucun modèle pour la formule.
r
L’algorithme peut ne jamais s’arrêter. Il s’arrête lorsqu’un modèle avec un domaine
d’interprétation fini existe pour la formule donnée.
Cela permet ainsi
– de montrer qu’une formule est valide, lorsque sa négation n’admet aucun modèle,
– de montrer la validité d’un raisonnement en construisant son arbre de réfutation.
§ XI.1
Règles de développement
Le principe est le même que celui présenté en calcul des propositions dans la section VI, page 26.
L’arbre d’une formule est développé en suivant les deux principes suivants :
1. Le long de chaque branche, toutes les énoncés sont vrais. Leur conjonction est vraie.
2. L’ouverture, la ramification d’une branche exprime que un des énoncés au moins de l’une des
branche qui suit est vrai. Leur disjonction est vraie
Le développement des formules composées avec des connecteurs est le même que pour le calcul des
propositions.
Le développement des formules générales, contenant des quantificateurs, se fait en même temps
que la construction d’un domaine d’interprétation par adjonction successive d’éléments. On
suppose qu’un domaine D, nécessairement non vide, est provisoirement composé d’éléments rendus
nécessaires pour constituer un modèle pour la formule. Le développement des formules peut ajouter
des éléments à D.
Règle pour ∀ : La formule ∀x p(x) est vraie lorsque tous les éléments du domaine D satisfont le
prédicat p(x).
En raison de la règle de négation d’un prédicat, la règle de développement est la même pour la
formule ¬∃x p(x), qui est équivalente à ∀x ¬p(x).
∀x p(x)
¬∃x p(x)
p(a)
p(b)
..
.
¬p(a)
¬p(b)
..
.
où les éléments a, b, · · · sont les éléments déjà constitués du domaine D = {a, b, · · ·}.
r
Un domaine d’interprétation n’est jamais vide. Lorsque le domaine D est initialement vide,
il faut lui adjoindre un premier élément a.
Règle pour ∃ : La formule ∃x p(x) est vraie si le prédicat p(x) est vrai pour au moins un des
éléments du domaine D. Il peut être vrai pour l’un des termes déjà existant dans D, mais pas
forcément pour ceux-là. Il faut toujours adjoindre un autre élément pour signifier que l’élément
qui existe peut-être ce nouvel élément.
Soit D = {a, b, . . .} le domaine construit au moment du développement de la formule.
∃x p(x)
X
XXXX
p(a) p(b) · · ·
p(d)
{z
}
|
I
@
éléments initialement dans D @
nouvel élément à ajouter à D
47
48
Méthode des arbres en calcul des prédicats
Après le développement de cette formule, le nouveau domaine d’interprétation est D = {a, b, . . . , d}.
r
En raison de l’équivalence entre les formules ¬∀x p(x) et ∃x ¬p(x), le développement de cette
formule est similaire :
¬∀x p(x)
X
XXXX
¬p(a) ¬p(b) · · ·
¬p(d)
|
{z
}
I
@
éléments initialement dans D @
nouvel élément à ajouter à D
Un modèle est obtenu lorsqu’une branche de l’arbre est complètement développée.
q
Avant de conclure qu’une branche de l’arbre décrit un modèle, il faut s’assurer que toutes les
qqAA
formules universelles ∀x A ont été développées avec toutes les constantes. Lorsqu’on ajoute
une constante lors du développement d’une formule existentielle ∃x A, il faut revenir en arrière
pour développer les formules universelles antérieures avec cette nouvelle constante.
C’est ce retour arrière qui peut empêcher l’algorithme de se terminer.
§ XI.2
Exemples
1. Trouver un modèle pour la formule ∃x ∀y p(x, y) ∧ ∃x ∀y ¬p(x, y).
∃x ∀y p(x, y) ∧ ∃x ∀y ¬p(x, y)
Cette formule se développe
comme une conjonction
∃x ∀y p(x, y)
∃x ∀y ¬p(x, y)
(1)
(2)
∀y p(a, y)
!aa
!
aa
!!
∀y ¬p(a, y)
∀y ¬p(b, y)
p(a, a)
¬p(a, a)
×
p(a, a)
p(a, b)
¬p(b, a)
¬p(b, b)
a est un nouveau terme pour (1)
b est un nouveau terme pour (2)



développement de ∀ pour tous

 les termes existants
La branche gauche est fermée, car elle contient les deux propositions contradictoires p(a, a) et
¬p(a, a).
Le domaine d’interprétation contient deux éléments : D = {a, b}.
Le prédicat p est défini par l’ensemble des couples pour lesquels il est vrai, qui est {(a, a), (a, b)}.
Cela est illustré par le graphe :
?
q
a
- qb
2. Trouver un modèle pour la formule ∀x ∃y p(x, y) ∧ ∃x¬p(x, x).
q
Ne pas oublier de traiter les formules ∀x A lors de l’ajout d’une nouvelle constante lors du
qqAA
développement d’une formule existentielle.
§ XI.3
Tester la validité d’une formule
∀x ∃y p(x, y) ∧ ∃x¬p(x, x)
∃x ¬p(x, x)
∀x ∃y p(x, y)
(1)
¬p(a, a)
∃y p(a, y)
HH
H
p(a, a)
p(a, b)
×
∃y p(b, y)
@
@
p(b, b) . . .
a, nouveau terme pour (1)
(2)
nouveau terme pour (2)
Ré-appliquer la règle ∀
avec la nouvelle constante b
Une fois qu’une branche est obtenue pour décrire le modèle, il est inutile de poursuivre le
développement.
Le domaine d’interprétation est D = {a, b} et le prédicat p(x, y) défini par l’ensemble de couples
{(a, b), (b, b)}, illustré par le graphe :
q
a
§ XI.3
?
-q
b
Tester la validité d’une formule
Une formule est valide si toutes les interprétations sont des modèles pour cette formule, ou, ce qui
est équivalent, qu’aucun modèle ne convient pour sa négation. Pour tester la validité d’une formule,
on peut donc développer l’arbre de sa négation et vérifier qu’il ne contient que des branches fermées.
Exemples : 1. Montrons la validité de la formule suivante ∀x p(x, x) ⇒ ∃y p(y, x) . hh si quelqu’un
s’aime, alors il aime quelqu’un ii. Pour cela, développons l’arbre de sa négation.
∃x p(x, x) ∧ ∀y¬p(x, y)
p(a, a)
∀y ¬p(a, y)
¬p(a, a)
×
nouveau terme pour ∃
et développement direct de la conjonction (1)
application de ∀ de (1) avec y = a
2. Montrons la proposition X.7 page 46 qui énonce validité de l’implication ∃x ∀y p(x, y) ⇒
∀y ∃x p(x, y). hh si une personne aime tout le monde, alors chacun est aimé par quelqu’un ii. Pour
cela, développons l’arbre de la négation qui est la conjonction ∃x ∀y p(x, y) ∧ ∃y ∀x ¬p(x, y) :
49
50
Méthode des arbres en calcul des prédicats
∃x ∀y p(x, y)
∃y ∀x ¬p(x, y)
∀y p(a, y)
@
@
∀x ¬p(x, a) ∀x ¬p(x, b)
p(a, a)
¬p(a, a)
×
q
qqAA
r
p(a, b)
p(b, b)
¬p(a, b)
¬p(b, b)
×
(1)
(2)
nouveau terme pour (1)
développement de (2) avec un nouveau terme


 développement des ∀
avec les termes existants


La réciproque est fausse. Si chacun est aimé par une personne, ce n’est pas forcément la même
qui aime tout le monde.
Simplification de la méthode. On peut remarquer que la branche de gauche est identique
à la branche de droite en remplaçant b par a. Le développement de la branche gauche est
similaire à celui de la branche droite. Si la branche droite est fermée, alors la branche gauche l’est
aussi. Cela suggère une simplification pour tester si toutes les branches sont fermées. Il suffit de ne
développer les formules existentielles du type ∃x A qu’avec un nouveau symbole de constante.
3. Montrons la proposition X.5 page 45 qui énonce la distributivité
de ∃ sur le ∧, c’est-à-dire la
validité de la formule ∃x p(x) ∧ q(x) ⇒ ∃x p(x)∧ ∃x q(x) . Cette formule
est une implication
dont la négation est la conjonction ∃x p(x) ∧ q(x) ∧ ∀x ¬p(x) ∨ ∀x ¬q(x) .
∃x p(x) ∧ q(x)
∀x ¬p(x) ∨ ∀x ¬q(x)
p(a)
q(a)
@
@
¬p(a)
¬q(a)
×
×
Exercice. Montrer la validité des équivalences des propositions X.4 et X.6, page 45.
§ XI.4
Vérifier la validité d’un raisonnement
Rappelons qu’un raisonnement, ou une inférence, est une succession d’énoncés de la forme :
A1 , . . . , A n
B,
où les Ai constituent les prémisses et B est la conclusion. Dire que cette inférence est valide signifie
que l’implication :
A1 ∧ · · · ∧ An ⇒ B
est une formule valide du calcul des prédicats, et donc que sa négation :
A1 ∧ · · · ∧ An ∧ ¬B
n’admet aucun modèle. Ceci suggère la méthode de l’arbre de réfutation pour vérifier la validité
d’une inférence.
§ XI.5
Complément : une formule qui n’admet aucun modèle fini
Proposition XI.1
[Validation d’une inférence]
Pour vérifier la validité d’une inférence, il suffit de vérifier que la formule construite avec la
conjonction des prémisses et la négation de la conclusion n’admet aucun modèle.
En d’autres termes, l’arbre de la conjonction des prémisses et de la négation de la conclusion n’a
que des branches fermées.
À titre d’exemple, vérifions le raisonnement d’Aristote :
donc
∀x h(x) ⇒ m(x)
h(s)
m(s)
Tous les hommes sont mortels
Socrate est un homme
Socrate est mortel
Il s’agit donc de vérifier que la formule
∀x h(x) ⇒ m(x) ∧ h(s) ⇒ m(s)
est valide. Pour cela, vérifions que sa négation n’admet aucun modèle. Dans le processus de
réfutation de la négation, le domaine contient une constante : D = {s}.
§ XI.5
∀x h(x) ⇒ m(x)
h(s)
¬m(s)
(1)
h(s) ⇒ m(s)
@
@
¬h(s)
m(s)
×
×
développement de (1) avec s
Complément : une formule qui n’admet aucun modèle fini
La méthode des arbres ne permet de trouver de modèle que s’il en existe sur des domaines finis.
Dans le cas contraire, l’algorithme boucle. Dans ce paragraphe, on donne un exemple d’une formule
pour laquelle la méthode ne s’arrête jamais. Considérons la formule :
∀x ∀y ∀z p(x, y) ∧ p(y, z) ⇒ p(x, z) ∧ ∀x ∀y p(x, y) ⇒ ¬p(y, x) ∧ ∀x ∃y p(x, y)
{z
}
|
{z
} |
{z
} |
(c)
(a)
(b)
Cette formule est la conjonction de trois formules.
– La première formule (a) signifie que le prédicat p(x, y) définit une relation transitive.
– La deuxième formule (b) signifie que la relation définie par le prédicat p(x, y) n’opère que hh dans
un sens ii, interdisant tout retour en arrière dans le graphe qui la représente.
– Si on appelle le prédicat p(x, y) hh x suit y ii, la troisième formule (c) signifie que tout élément
du domaine est suivi par un autre.
Lors du développement de l’arbre, si on ajoute les constantes dans le domaine dans l’ordre
alphabétique, le prédicat p(x, y) sera toujours vrai si x est avant y dans l’alphabet et faux dans le
cas contraire.
Le développement complet de l’arbre prendrait trop de place. On opère ici des simplifications aidées
par les significations des formules énoncée dessus.
51
52
Méthode des arbres en calcul des prédicats
.
∀x ∀y ∀z p(x, y) ∧ p(y, z) ⇒ p(x,
y)
∀x ∀y p(x, y) ⇒ ¬p(y, z)
∀x ∃y p(x, y)
(1)
∃y p(a, y)
(2) nouveau terme pour (1)
@
@
p(a, a)
p(a, b)
nouveau terme pour (2)
..
.
¬p(a, a)†
∃y p(b, y)
(3) re-développent du ∀ de (1) avec b
H
×
H
H
p(b, c)
nouveau terme pour (3)
p(b, a) p(b, b)
..
. . . . ...
.
.
.
.
.
¬p(a, b) ¬p(b, a)† ¬p(b, b)† ∃y p(c, y) re-développement du ∀ avec c‡
..
×
×
×
.@
@
× p(c, d)
..
.
† Le développement de la formule (b) conduit à une ramification contenant les négations qui
ferment les branches.
‡ Dans cette branche, on a p(a, b) et p(b, c). Le développement de la formule (a) conduit à la
présence de p(a, c), ce qui fermera toutes les branches où apparait p(c, a), du au développement
de la formule (b). Dans cette branche, la seule ouverture sera toujours l’introduction d’une
nouvelle variable d, e, etc.
On voit qu’à chaque étape, on doit ajouter un élément dans le domaine et que cet élément ne
convient pas pour achever le modèle, ce qui oblige à en ajouter encore un. . .
Une interprétation en langue naturelle de la formule est hh tout élément a un successeur ii. Le graphe
qui a commencé à être construit est la fermeture transitive du graphe suivant :
a
q
- bq
- cq
- ...
§ XII.1
Règle sur ∀
XII – DÉDUCTION NATURELLE EN LANGAGE DES PRÉDICATS
Le calcul des prédicats est une extension du calcul des propositions. On reprend les mêmes notations
et le même principe que celles présentées dans la section VII, page 29 qui traite de la déduction
naturelle en calcul propositionnel.
Les règles d’introduction et d’élimination des connecteurs du calcul des propositions s’appliquent
aux formules des prédicats.
On ajoute dans cette section les règles pour les énoncés généraux du calcul des prédicats qui
contiennent des quantificateurs.
Comme les autres connecteurs, les quantificateurs ont chacun une règle d’introduction et une règle
d’élimination.
§ XII.1
Règle sur ∀
Règle d’introduction du ∀. Si on a montré une formule pour un objet quelconque, alors on
l’a montré pour tous les éléments du domaine. Un objet quelconque est représenté par un symbole
de variable.
A(x)
Γ
Γ, ∀x A(x)
Règle d’élimination du ∀. Si on a montré la formule ∀x A(x), alors on a montré A(x) pour
toute constante du domaine d’interprétation, et on l’a montré aussi pour un objet quelconque.
Γ
Γ
∀x A(x)
A(a)
Γ
et
Γ
∀x A(x)
A(x)
Exemple : Montrons la validité de la formule ∀x p(x) ∧ q(x)
∀x p(x) ∧ ∀x q(x) qui énonce
|
{z
}
Γ
la distributivité du ∀ sur le ∧.
1. Γ
p(x) ∧ q(x)
élimination de ∀.
p(x)
élimination du ∧ dans 1.
2. Γ
3. Γ
∀x p(x)
introduction du ∀.
∀x q(x)
même procédé que pour p.
4. Γ
5. Γ
∀x p(x) ∧ ∀x q(x)
introduction de ∧ avec 3 et 4
§ XII.2
Règle sur ∃
Règle d’introduction du ∃. Si une formule est montrée pour une constante a, alors la formule
∃x A(x) est montrée.
Γ
A(a)
Γ
∃x A(x)
Exemple. Montrer la validité de la formule ∀x p(x)
| {z }
Γ
1. Γ
2. Γ
∃x p(x).
élimination de ∀.
introduction de ∃.
p(a)
∃x p(x)
Règle d’élimination du ∃. Si une formule ∃x A(x) est une conséquence valide des prémisses, et
si en ajoutant la formule A(a), pour une constante a, aux prémisses on infère la formule B, alors
la formule B est une conséquence valide des prémisses.
Γ
∃x A(x);
Γ
Γ, A(a)
B
B
53
54
Déduction naturelle en langage des prédicats
Exemple. Montrons une version faible de la règle d’élimination du ∃. Si la formule ∃x p(x) est
vraie, c’est qu’il existe une constante a du domaine d’interprétation qui rend vrai le prédicat p(x).
Ce qui peut se traduire par l’inférence ∃x p(x)
p(a), appelée règle d’élimination faible de ∃.
| {z }
Γ
1. Γ
∃x p(x)
p(a)
2. Γ, p(a)
3. Γ
p(a)
recopie.
recopie.
élimination de ∃ avec 1 et 2.
q
qqAA
Il est entendu que dans cette inférence, la constante a ne peut pas être n’importe quelle
constante du domaine d’interprétation, mais seulement un élément particulier dont l’existence
est assuré par la prémisse. Le symbole a ne doit pas entrer en collision avec d’autres symboles de
constante. Pour cette raison, bien qu’intuitive, cette règle reste rarement applicable.
§ XII.3
Exemples
1. Permutation de ∃ et de ∀.
Montrer la validité de la formule ∃x ∀y p(x, y)
{z
}
|
Γ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Γ
Γ,
Γ,
Γ,
Γ,
Γ
∀y
∀y
∀y
∀y
∃x ∀y p(x, y)
p(a, y)
∀y p(a, y)
p(a, y)
p(a, y)
p(a, y)
∃x p(x, y)
p(a, y)
∀y ∃x p(x, y)
∀y ∃x p(x, y)
∀y ∃x p(x, y).
recopie.
recopie, en vue d’une élimination du ∃
élimination de ∀ dans 2.
introduction de ∃ dans 3.
introduction de ∀ dans 4.
élimination de ∃ avec 1 et 5.
q
qqAA
L’inférence dans le sens contraire n’est pas valide. Par exemple, si le domaine d’interprétation
est l’ensemble N des entiers et le prédicat p(x, y) signifie x ≤ y, la formule ∀y ∃x x ≤ y
est vraie. Elle signifie que tout entier admet un entier qui lui est supérieur. Par contre la formule
∃x ∀y p(x, y) est fausse. Elle signifierait qu’il existe un entier supérieur à tous les autres, ce qui est
faux.
2. Négation d’une formule.
Montrer la validité de la formule ∃x ¬p(x)
¬ ∀x p(x).
| {z }
Γ
Une technique classique est d’ajouter la négation de la conclusion aux prémisses en vue d’une
contradiction.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
∃x ¬p(x)
Γ
Γ, ∀x p(x), ¬p(a)
∀x p(x)
Γ, ∀x p(x), ¬p(a)
p(a)
Γ, ∀x p(x), ¬p(a)
¬p(a)
Γ, ¬p(a)
¬ ∀x p(x)
Γ
¬ ∀x p(x)
recopie.
recopie. ¬p(a) est ajouté en vu de l’élimination de ∃.
élimination de ∀ avec 2.
recopie.
introduction de ¬ avec 3 et 4.
élimination de ∃ avec 1 et 5.
∃x ¬p(x).
3. Montrer la validité du raisonnement réciproque du précédent, qui est ¬ ∀x p(x)
| {z }
Γ
Cet exemple montre comment éliminer un quantificateur universel sous une négation.
On introduit la négation de la conclusion pour une contradiction. Introduisons également
l’hypothèse ¬p(x) pour un élément x général, de manière à trouver la contradiction avec la prémisse.
§ XII.3
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Exemples
Γ,
Γ,
Γ,
Γ,
Γ,
Γ,
Γ,
Γ,
Γ
¬
¬
¬
¬
¬
¬
¬
¬
∃x ¬p(x), ¬p(x)
∀x ¬p(x)
∃x ¬p(x), ¬p(x)
¬p(a)
∃x ¬p(x)
∃x ¬p(x), ¬p(x)
∃x ¬p(x), ¬p(x)
¬ ∃x ¬p(x)
∃x ¬p(x)
¬¬p(x)
∃x ¬p(x)
p(x)
∃x ¬p(x)
∀x p(x)
¬ ∀x p(x)
∃x ¬p(x)
∃x ¬p(x)
introduction du ∀.
élimination du ∀ dans 1.
introduction du ∃ avec 2.
recopie.
introduction du ¬ avec 3 et 4.
élimination du ¬ dans 5.
introduction du ∀ dans 6.
recopie.
introduction du ¬ avec 7 et 8.
4. Montrer l’équivalence des deux formules ∃x p(x) ⇒ q(x) et ∀x p(x) ⇒ ∃x q(x). Cette
équivalence exprime une règle de distributivité de ∃ sur l’implication.
Montrer cette équivalence revient à montrer que l’une est conséquence de l’autre et vice versa. Il
faut donc montrer la validité de ces deux inférences :
(12)
∃x p(x) ⇒ q(x)
(13)
∀x p(x) ⇒ ∃x q(x)
∀x p(x) ⇒ ∃x q(x)
∃x p(x) ⇒ q(x)
Montrons tout d’abord la première inférence (12) et notons Γ ses prémisses. On rappelle que pour
montrer une implication A ⇒ B, une méthode est d’ajouter A aux prémisses et d’établir B comme
conséquence valide.
1.
2.
3.
4.
5.
Γ,
Γ,
Γ,
Γ,
Γ
∀x
∀x
∀x
∀x
p(x)
p(a) ⇒ q(a)
p(x)
p(a)
p(x)
q(a)
p(x)
∃x q(x)
∀x p(x) ⇒ ∃x q(x)
élimination faible de ∃ dans la prémisse.
élimination de ∀.
élimination de ⇒ avec 1 et 2 (modus ponens).
introduction de ∃.
introduction de ⇒ avec 4.
Montrons maintenant la validité de la second inférence (13), et notons Γ ses prémisses. Une manière
de procéder est de supposer la négation de la conclusion et chercher une contradiction.
Notons que, en raison des résultats montré dans
les exemples 2 et 3, la négation de la conclusion
est une formule équivalente à ∀x p(x) ∧ ¬q(x) .
1. Γ, ∀x p(x) ∧ ¬q(x)
p(x) ∧ ¬q(x) élimination de ∀.
p(x)
élimination de ∧.
2. Γ, ∀x p(x) ∧ ¬q(x)
3. Γ, ∀x p(x) ∧ ¬q(x)
¬q(x)
élimination de ∧ dans 1.
4. Γ, ∀x p(x) ∧ ¬q(x)
∀x p(x)
introduction de ∀ avec 2.
5. Γ, ∀x p(x) ∧ ¬q(x)
∃x q(x)
modus ponens avec les prémisses et 4.
6. Γ, ∀x p(x) ∧ ¬q(x)
q(a)
élimination faible de ∃ dans 5.
7. Γ, ∀x p(x) ∧ ¬q(x)
∀x ¬q(x)
introduction de ∀ dans 3.
8. Γ, ∀x p(x) ∧ ¬q(x)
¬q(a)
élimination de ∀ dans 7.
9. Γ
¬ ∀x p(x) ∧ ¬q(x)
introduction
de ¬ avec 6 et 8.
10. Γ
∃x p(x) ⇒ q(x)
application de l’exemple 3.
55
56
Index alphabétique
Index alphabétique
–A–
absorbant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
affaiblissement
règle d’— . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
arbre
— syntaxique d’une formule . . . . 12,
— de réfutation . . . . . . . . . . . . . . . .
méthode des —s . . . . . . . . . . . . . 26,
Aristote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6,
arité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
— d’un énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . .
axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.
30.
39.
27.
47.
51.
36.
41.
29.
–B–
barre de Sheffer . . . . . . . . . . . 10, 16, 18.
binaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.
branche fermée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.
–C–
clos
énoncé — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.
composée
proposition — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.
conjonction . . . . . . . . . . . . . . 7, 24, 26, 30.
consistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29.
consistant
ensemble — de formules . . . . . . . . . . 19.
contradiction . . . . . . . . . . . . . . . . . 15, 19.
contraposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9, 18.
–D–
déduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
— naturelle . . . . . . . . . . . . . . . . 29,
De Morgan . . . . . . . . . . . . . . . . . 16,
disjonction . . . . . . . . . . . . . . . . . 7, 26,
domaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36,
double négation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
principe de la — . . . . . . . . . . . . . . . .
20.
53.
18.
32.
42.
18.
15.
–E–
écriture simplifiée . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.
élimination
règle d’— . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
règle d’— de ∧ . . . . . . . . . . . . . . . . .
règle d’— de ∨ . . . . . . . . . . . . . . . . .
règle d’— de ⇒ . . . . . . . . . . . . . . . .
règle d’— de ∨ . . . . . . . . . . . . . . . . .
règle d’— de ∀ . . . . . . . . . . . . . . . . .
règle d’— de ∃ . . . . . . . . . . . . . . . . .
équivalence logique . . . . . . . . . . . . . . . .
évaluation d’une formule . . . . . . . . . . .
–F–
faible
règle d’élimination — du ∨ . . . . . . . .
règle d’élimination — du ∃ . . . . . . . .
fonction booléenne . . . . . . . . . . . . . . . .
forme
— normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
— normale disjonctive . . . . . . . . . . .
formule
— bien construite . . . . . . . . . . . . . . .
évaluation d’une — . . . . . . . . . . . . . .
ensemble consistant de — . . . . . . . . .
—s équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . .
— valide
30.
30.
32.
31.
32.
53.
53.
10.
13.
33.
54.
23.
23.
24.
11.
13.
19.
19.
–G–
Gentzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29.
–I–
identité
principe d’— . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.
implication . . . . . . . . . . . . . . . . . 16, 18, 31.
— logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.
incompatibilité
opérateur d’— . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.
inconsistant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37.
inférence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19, 20.
— valide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.
interprétation . . . . . . . . . . . . . . . . . 19, 42.
Index alphabétique
introduction
règle d’— de
règle d’— de
règle d’— de
règle d’— de
règle d’— de
règle d’— de
Jáskowski
∧
¬
⇒
∨
∀
∃
.................
.................
................
.................
.................
.................
30.
31.
31.
32.
53.
53.
–J–
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29.
–L–
langage
— des propositions . . . . . . . . . . . . . . 11.
— des prédicats . . . . . . . . . . . . . . . . 38.
–M–
méthode des arbres . . . . . . . . . . . . 26,
modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
modus ponens . . . . . . . . . . . . . . . 18, 22,
modus tollens . . . . . . . . . . . . . . . . . 18,
47.
43.
31.
22.
–N–
nand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
négation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7, 31,
neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15,
nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
non-contradiction . . . . . . . . . . . . . . . . .
principe de — . . . . . . . . . . . . . . . . 6,
notation polonaise . . . . . . . . . . . . . . . .
10.
54.
18.
23.
29.
15.
14.
occurrence
ou exclusif
–O–
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8, 16.
–P–
polonaise
notation — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.
portée
— d’un quantificateur . . . . . . . . . . . . 39.
prédicat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.
prémisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.
principe
— de composition . . . . . . . . . . . . . . . . 6.
proposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.
–Q–
quantificateur
distribution des —s . . . . . . . . . . . . . .
— existentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
permutation des —s . . . . . . . . . . . . .
portée d’un — . . . . . . . . . . . . . . . . .
— universel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45.
37.
46.
39.
37.
–R–
raisonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . 19, 50.
réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.
réfutation par l’absurde . . . . . . . . . . . . 18.
règle d’inférence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.
–S–
satisfiable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27, 37.
sémantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.
Sheffer
barre de — . . . . . . . . . . . . . . . 10, 16, 18.
simple
proposition — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.
Socrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35, 51.
substitution
principe de — . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.
syntaxique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17, 25.
–T–
tautologie . . . . . . . . . . . . . . . 15, 18, 19,
théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
tiers exclus
principe du — . . . . . . . . . . . . . . . 6,
transitivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18,
21.
29.
15.
31.
–U–
unaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36, 42.
–V–
validation d’une inférence . . . . . . . . . . . 51.
validité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.
variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39.
— libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.
— muette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.
vérité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5, 43.
table de — . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.
57
58
Bibliographie
Bibliographie
[1]
Jean-Pierre Desclés, Brahim Djioua, Florence Le Priol, Logique et langage :
déduction naturelle, Hermann, .
[2]
Jean-Yves Girard, Le point aveugle I, cours de logique, vers la perfection, Hermann, .
[3]
Jean Largeault, La logique, Presses universitaires de France, collection
.
[4]
François Lepage, Élements de logique contemporaine,
Montréal, .
hh
Que sais-je ? ii,
Les presses de l’Université de

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