Chapitre V – Trigonométrie 1 Angles orientés Définition 1. et Propriété J M Soit M un point image du réel x par enroulement de la droite réelle sur le cercle trigonométrique C. • L’angle orienté (OI , OM ) a pour mesures, en radians, x + k × 2 π avec k ∈ Z. • L’angle orienté (OI , OM ) possède une mesure unique dans l’intervalle ] − π ; π]. Cette mesure s’appelle la mesure principale de l’angle orienté. x x I O La longueur de l’arc IM est égale à x. Remarque. Un angle géométrique est toujours positif. Un angle orienté dépend de l’orientation choisie, il peut être négatif. Exemple 1. Mesures d’un angle orienté (OA , OB ) = Qv A π 3 5π (OA , OB ) = − 3 = π 3 π 3 Ici (OA , OB ) = (u Q , Qv ) = • π 3 −2π La mesure principale de l’angle orienté (OA , OB ) est : π (OA , OB ) = 3 C’est l’unique mesure de (OA , OB ) appartenant à l’intervalle ] − π ; π]. • O − 5π 3 I Q u π 3 Exemple 2. Déterminer la mesure principale des angles 74 π 6 B L’angle (OA , OB ) a une infinité de mesures, en radians, on aurait pu écrire : π (OA , OB ) = 3 + k × 2 π avec k ∈ Z. • 74 π 6 et − 81 π 4 86 π 37 ≈ 6,17 (il y a un peu plus 6 2π 74 π 74 π 72 π π d’où 6 − 6 × 2 π = 6 − 6 = 3 = 74 π ) 6 de 6 fois 2 π dans La mesure principale de l’angle orienté 74 π 6 est donc π 3 . − 4 43 86 π = − 4 = −10,75 (il y a presque −11 fois 2 π dans − 4 ) 2π 86 π 86 π 88 π π d’où − 4 + 11 × 2 π = − 4 + 4 = 2 La mesure principale de l’angle orienté − 86 π 4 est donc π 2 . Propriété 1. Relation de Chasles avec les angles Pour tous vecteurs non nuls Qu, Qv, w Q : Q , Qv ) + (v Q ,w Q ) = (u Q ,w Q) (u Exemple 3. On considère l’hexagone régulier direct AB CDEF inscrit dans le cercle trigonométrique de centre O. Donner la mesure principale, en radians, des angles orientés : (OA ; FO) • (OA ; FO) = (OA ; OC ) = • (AO ; DE ) = (AO ; DO ) + (DO ; DE ) = (OD ; OA) + (DO ; DE ) = π − → • (DO π ; DE ) = − 3 (AO ; DE ) (DE ; FD ) = (DE ; FA) + (FA ; FD ) = (DE ; DC ) + π 3 = 2π 3 , D π 2 = 2π 3 + π 2 = 4π 6 + 3π 6 π 2 = 7π 6 ou (FA ; FD ) = en effet, A C D F est un quadrilatère dont les diagonales ont la même longueur et se coupent en leurs milieux, c’est donc un rectangle → (DE ; DC ) = 2 × 2π 3 Propriété 2. Pour tous vecteurs non nuls Qu, Qv : Q ,u Q ) = −(u Q , Qv ) (v (−u Q , −v Q ) = (u Q , Qv ) (−u Q , Qv ) = (u Q , Qv ) + π A O −5 π 6 → = B C car ODE est un triangle équilatéral direct π 3 (DE ; FD ) 2π 3 E F 1re S1 Chapitre V – Trigonométrie 2 Trigonométrie Définition 2. J sin (x) Si M un point du cercle trigonométrique C tel que x soit une mesure en radian de l’angle orienté (OI , OM ), alors dans le repère (O; OI , OJ ), • • M x le cosinus de x : cos (x) est l’abscisse de M cos (x) I O le sinus de x : sin (x) est l’ordonnée de M Le cosinus d’un angle orienté (u Q , Qv) est le cosinus d’une mesure, en radians, de cet angle orienté. De même pour le sinus. Valeurs particulières du cosinus et du sinus π π π π x 0 6 4 3 2 √ √ 1 3 2 cos (x) 1 0 2 2 2 √ √ 1 2 3 sin (x) 0 1 2 2 2 2π 3 3π 4 5π 6 π 2 J π 3 √ 3 2 √ 2 2 π 4 π 0 O − = 1 − cos2 2π 3 or sin 2π 5 > 0 car 2π 5 q √ π ∈ 0; 2 donc sin 2 π = + 5 + 5 = 8 5 q √ 2π 5 !2 5−1 4 √ 5−2 5 +1 = 1− √ 16 10 + 2 5 = 16 √ 5+ 5 = 8 = 1− √ 5+ 5 √ 2 2 . 2 I 3 2 − √ 2π 2π 5−1 Exemple 4. Sachant que cos 5 = , calculer sin 5 . 4 2π 2π On sait que cos2 5 + sin2 5 = 1 on en déduit donc que 2 2 3π 4 Propriété 3. propriétés élémentaires du sinus et du cosinus Pour tout x ∈ R et pour tout k ∈ Z, cos (x + 2 k π) = cos (x) cos2(x) + sin2 (x) = 1 sin (x + 2 k π) = sin (x) 2π 5 1 2 √ − − √ 5π 6 − sin2 + π 6 1 2 − π 2 − π 6 π 4 π 3 −1 6 cos (x) 61 −1 6 sin (x) 61 1re S1 Chapitre V – Trigonométrie Propriété 4. propriétés des angles associés Pour tout réel x, cos (−x) = cos (x) sin (−x) = −sin (x) cos (π − x) = −cos (x) sin (π − x) = sin (x) π−x x cos (π + x) = −cos (x) sin (π + x) = −sin (x) x x −x π+x π − x = sin (x) 2 π sin − x = cos (x) 2 cos π + x = −sin (x) 2 π sin + x = cos (x) 2 π 2 cos π 2 −x +x x Exemple 5. Sachant que cos • 7π 5 = 5π 5 d’où • 9π 10 = 5π 10 d’où 2π 5 = √ x 5−1 , 4 calculer cos 7π 5 2π 2π =π+ 5 5 √ 2π 2π 5−1 7π cos 5 = cos π + 5 = −cos 5 = − 4 + 4π π 2π =2+ 5 10 9π π sin 10 = sin 2 + = et sin 9π 10 . (on a décomposé + = cos 2π 5 = √ pour obtenir une somme faisant intervenir 2π ) 5 1− 5 4 (on a décomposé 2π 5 7π 5 √ 9π 10 pour obtenir une somme faisant intervenir 2π 5 soit 4π ) 10 5−1 4 3 Formules d’addition et de duplication Propriété 5. Formules d’addition cos (a − b) = cos a cos b + sin a sin b cos (a + b) = cos a cos b − sin a sin b 13 π Exemple 6. Calculer sin 12 . 13 π π • sin 12 = sin π + 12 = −sin 4π 3π π π π 12 = 12 − 12 = 3 − 4 π (étant donné le dénominateur égal à 12, on a décompose 12 pour obtenir une somme faisant intervenir π π π − = sin sin 4 3 12 π π π π cos − sin cos = sin 4 4 3 3 √ √ √ 3 2 2 1 = × − × 2 2 √2 √2 6− 2 = 4 √ √ − 6+ 2 13 π On en déduit donc que sin = 4 12 or • π 12 sin (a − b) = sin a cos b − sin b cos a sin (a + b) = sin a cos b + sin b cos a = 4π 12 et π 4 = 3π ) 12 Dans cet exemple, on aurait pu aussi utiliser les formules de linéarisation de la propriété 7. Propriété 6. Formules de duplication cos (2 a) = cos2 a − sin2 a cos (2 a) = 2 cos2 a − 1 cos (2 a) = 1 − 2 sin2 a Exemple 7. Sachant que cos • π 3 4π 5 =2× 2π 5 cos 2π 5 4π 5 = √ 5−1 , 4 = 2 cos2 calculer cos sin (2 a) = 2 sin a cos a 4π 5 . (ceci nous incite à utiliser une formule de duplication car ici on connaît a et on cherche 2 a) !2 √ √ √ √ 5−1 2π 5−2 5 +1 6−2 5 8 −1=2 −1=2× −1= − = −1 − 5 5 4 16 8 8 4 3 1re S1 Chapitre V – Trigonométrie Propriété 7. Formules de linéarisation (conséquences directes des formules de duplication) cos2 a = Exemple 8. Calculer cos • 2× 3π 8 = 3π 4 d’où 3π 8 . 3π 8 > 0 car 3π 8 et sin2 a = 1 − cos (2 a) 2 (ceci nous incite à utiliser une formule de linéarisation car ici on connaît cos (2 a) et on cherche cos (a)) cos2 or cos 1 + cos (2 a) 2 3π 8 1 + cos (2 × = 2 π ∈ 0; 2 donc cos 3π ) 8 3π 8 1 + cos ( = 2 =+ r 3π ) 4 √ 1− = 2 2 2 = √ √ 2− 2 1 2− 2 × = 2 4 2 √ p √ 2− 2 2− 2 = 4 2 4 Équations trigonométriques Propriété 8. Soit a un nombre réel, cos (x) = cos (a) ⇔ x = a + k × 2 π ou x = −a + k × 2 π a avec k ∈ Z −a sin (x) = sin (a) ⇔ x = a + k × 2 π ou x = π − a+k ×2π avec k ∈ Z π −a a Exemple 9. Pour résoudre une équation trigonométrique, on se ramène à une équation du type sin (a) = sin (b) ou cos (a) = cos (b). À l’aide du cercle trigonométrique, on trouve les solutions dans ] − π ; π] puis on ajoute les multiples de 2 π. • ◦ ◦ • √ 3 2 dans R puis dans l’intervalle ] − π ; π] : √ π 2π 3 ⇔ x = − + k × 2 π ou x = − +k ×2π sin (x) = − 3 3 2 Résoudre sin (x) = − avec k ∈ Z n o L’ensemble des solutions sur R est S = − π3 + k × 2 π ; − 23π + k × 2 π ; k ∈ Z . n o 2π π L’ensemble des solutions sur ] − π ; π] est S = − 3 ; − 3 . π Résoudre cos 2 x + 6 = sin (x) dans R puis dans l’intervalle ] − π ; π] : π π π cos (2 x + ) = sin (x) ⇔ cos (2 x + ) = cos −x remarquez la ruse 6 6 2 π π π π − x + k × 2 π avec k ∈ Z ⇔ 2 x + = − x + k × 2 π ou 2 x + = − 6 2 6 2 π π π π ⇔ 3x= − +k ×2π ou 2 x + = − + x + k × 2 π avec k ∈ Z 2 6 6 2 3π π 3π π − +k ×2π ou x=− − − x + k × 2 π avec k ∈ Z ⇔ 3x= 6 6 6 6 π 2π ⇔ 3x= +k ×2π ou x=− + k × 2 π avec k ∈ Z 3 3 2π 2π π ou x=− + k × 2 π avec k ∈ Z ⇔ x= +k× 9 3 3 n o π 2π 2π ◦ L’ensemble des solutions sur R est donc S = 9 + k × 3 ; − 3 + k × 2 π ; k ∈ Z . ◦ o n 2π 5π π 7π . L’ensemble des solutions sur ] − π ; π] est S = − 3 ; − 9 ; 9 ; 9 4 − 2π 3 π −3 π 9 − 2π 3