Chapitre 7 - physique

Chapitre 7
La centrifugeuse
La centrifugeuse exploite le principe d’inertie exprimé par la première loi de Newton
(voir section 2.2) appliqué au mouvement circulaire. Le nom fait référence à la force
centrifuge telle que peuvent la ressentir les passagers du Rotor de la figure 7.1.
Nous verrons cependant que la description physique de la centrifugeuse fait abstraction de cette force ressentie et que le diagramme de forces d’un observateur du
Rotor dans un référentiel inertiel sera différent de celui de ses passagers.
Dans ce chapitre nous étudierons le mouvement circulaire uniforme et comment
les lois de Newton s’y appliquent.
Figure 7.1 – Une force apparente fait coller des personnes à la paroi d’un manège. 1
1. Photo reproduite avec l’aimable autorisation de urban75.com.
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Physique des mécanismes
7.1
Le mouvement circulaire uniforme
Soit une particule effectuant un mouvement circulaire de rayon r à une vitesse dont
la grandeur v est constante (figure 7.2). Sur un tour complet, la particule franchit
une distance d = 2fir et le temps T , appelé période, pour effectuer ce tour complet se
calcule en utilisant la définition de la vitesse scalaire donnée par l’équation (1.3)
v=
d
2fir
=
t
T
2fir
.
v
La fréquence, quant à elle, correspond au nombre de tours par seconde
1 tour
f
1
=
∆ f= .
T
1s
T
T =
7.2
(7.1)
(7.2)
L’accélération centripète
Lors d’un mouvement circulaire uniforme la grandeur de la vitesse de la particule en
rotation ne change pas. Par contre, la direction de sa vitesse change à chaque instant.
Comme il y a un changement de vitesse (en direction), il y a accélération. La particule
est accélérée vers le centre du cercle de rotation.
En étudiant la figure 7.3, on constate que les triangles formés par les vecteurs
rayons et vitesses sont équivalents. On en déduit donc que
| ˛r|
| ˛v |
=
.
r
v
Et puisque
r = v t et
(7.3)
v = ac t,
v t
ac t
= lim
tæ0 r
tæ0
v
lim
v2
.
(7.4)
r
Cette accélération radiale ac est appelée accélération centripète. Elle est toujours
ac =
perpendiculaire au vecteur vitesse et dirigée vers le centre du cercle.
Chapitre 7. La centrifugeuse
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v
v
r
r
r
v
Figure 7.2 – Mouvement circulaire uniforme.
vf
Δv
θ
rf
vi
θ
ri
Δr
vi
Figure 7.3 – Variation de ˛r et ˛v lors du mouvement circulaire uniforme.
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Physique des mécanismes
7.3
La force centripète
Si on multiplie l’accélération centripète par la masse de la particule accélérée, on
obtient la force centripète
mv 2
Fc = mac =
.
r
(7.5)
La figure 7.4 montre un moyen simple de mesurer la force centripète en utilisant
un dynamomètre et une ficelle au bout de laquelle on fait tourner un écrou. La seule
force appliquée sur l’écrou est la tension dans la ficelle, donc Fc = T .
On peut vérifier la validité de l’équation (7.5) en comptant le nombre de tours
n effectués par l’écrou dans un intervalle de temps fixe t pour différentes valeurs de
tension T . En utilisant
v=
d
2firn
=
,
t
t
(7.6)
on obtient
m=
kg, r =
m, t =
s.
Tableau 7.1 – Mesure du nombres de rotations pour différentes tensions.
T (N)
nprévu (tours)
±
±
±
±
±
±
nobservé (tours)
Chapitre 7. La centrifugeuse
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r
Fc
v
dynamomètre
Fc
Figure 7.4 – Une mesure de la force centripète.
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Physique des mécanismes
Exemple 7.1
Lorsqu’on fait tourner avec le bras un seau d’eau dans le plan vertical, quelles doivent
être les grandeurs minimales de la vitesse du seau et de l’accélération donnée par le
bras pour que l’eau reste dans le seau ?
Solution
L’eau subit l’accélération gravitationnelle g à tout moment. Pour que l’eau décrive
un mouvement circulaire uniforme et reste dans le seau lorsque le seau est renversé,
à la position la plus haute, il faut que
Puisque l’accélération centripète peut être produite par la gravité et le bras, à
la position la plus haute on obtient comme accélération donnée par le bras pour une
valeur minimale de ac
À la position la plus basse l’accélération gravitationnelle est toujours vers le bas,
mais l’accélération centripète doit être vers le haut (centre du cercle). L’accélération
donnée par le bras doit donc compenser l’accélération gravitationnelle pour maintenir
une accélération centripète résultante de g vers le haut.
L’accélération donnée par le bras varie donc entre 0 et 2g pour maintenir le
mouvement circulaire uniforme (figure 7.5).
Chapitre 7. La centrifugeuse
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g
abras = 0
abras = g
ac = g
abras = g
g
g
abras = 2g
g
Figure 7.5 – Seau d’eau en rotation.
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Physique des mécanismes
7.4
Forces centripète et centrifuge
Aux sections 7.2 et 7.3 nous avons décrit le mouvement circulaire uniforme en termes
d’accélération et de force centripètes. Pourtant, les passagers du Rotor de la figure
7.1 vous diront qu’ils ne sont nullement attirés vers le centre mais comprimés sur la
paroi par une force centrifuge. Pourquoi ?
La première loi de Newton stipule qu’un corps en mouvement sur lequel n’agit
aucune force persévèrera dans son mouvement rectiligne à vitesse constante. C’est le
principe d’inertie. On dit que ce corps est dans un référentiel inertiel, c’est-à-dire que
ses axes de références ne subissent aucune accélération.
Les passagers du rotor ne sont pas dans un système inertiel. S’ils se sentent
comprimés, c’est que leur corps tend à poursuivre son mouvement en ligne droite, par
inertie, alors qu’il est contraint de tourner. La force exercée par la paroi du Rotor
sur les corps pour les faire se déplacer sur une trajectoire circulaire est réelle. C’est la
force centripète. Par contre, la force ressentie par les passagers est une force inertielle
ne correspondant pas à une action réelle sur les corps, c’est la force centrifuge.
Exemple 7.2
Un tramway prend un virage horizontal d’un rayon de 9, 1 m à 16 km/h. Quel angle
les poignées qui pendent librement du plafond forment-elles avec la verticale à cet
instant ?
Solution
Les seules forces réelles agissant sur les poignées sont la gravité et la tension au point
d’attache. La décomposition de ces forces selon x et y donne
Chapitre 7. La centrifugeuse
73
mv
Fapparente
Fc=N
Figure 7.6 – La force centrifuge est la force ressentie par les corps en rotation. Dans
le Rotor, elle est égale et opposée à la force centripète qui est produite par la force
normale de la paroi sur le passager.
T
Fapparente
Fc
mg
Figure 7.7 – Dans un tramway en virage, les poignées semblent s’incliner sous l’action
d’une force. Cette force apparente est la force centrifuge et est causée par l’inertie de
la masse des poignées.
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Physique des mécanismes
Exemple 7.3
Une voiture prend un virage relevé sur une chaussée glissante (figure 7.8). Le rayon de
courbure du virage est R = 100 m, l’angle de relèvement est ◊ = 10¶ et le coefficient de
frottement statique µs = 0, 1. Déterminez la vitesse maximale pour laquelle la voiture
ne dérape pas vers le haut du virage.
Solution
Puisque la voiture effectue un virage circulaire uniforme la force horizontale résultante
doit être égale à Fhorizontale = mv 2 /r, alors que la résultante de la force verticale doit
être nulle. Afin de simplifier les calculs, on choisira l’axe x selon l’horizontale même
si la voiture est sur un plan incliné.
De plus, puisque l’on cherche la vitesse maximale pour laquelle la voiture ne
dérape pas vers l’extérieur du virage, c’est donc que la force de frottement statique
doit retenir la voiture sur le plan incliné et est dirigée vers le bas du plan. (Si l’on
cherchait la vitesse minimale, le frottement serait orienté vers le haut du plan incliné.
Pourquoi ?)
On peut maintenant faire la décomposition des forces en x et y
Chapitre 7. La centrifugeuse
75
N
θ
y
x
Frésultante
mv 2
=
r
fs
θ
R
mg
Figure 7.8 – Diagramme des forces agissant sur une automobile dans un virage incliné.
76
7.5
Physique des mécanismes
Exercices
7.1 Déterminez l’accélération d’une particule décrivant un cercle de 3 m de rayon à
une vitesse constante de 6 m/s.
7.2 Un pneu de 0,5 m de rayon tourne à une fréquence constante de 200 tours par
minutes. Déterminez la vitesse et l’accélération d’une petite pierre logée dans
la bande extérieure du pneu.
7.3 Un ventilateur exécute 1 200 tours à la minute. Considérez l’extrémité d’une
pale ayant un rayon de 0,15 m.
(a) Quelle distance parcourt cette extrémité pendant un tour ?
(b) Quelle est sa vitesse ?
(c) Quelle est son accélération ?
(d) Quelle est la période de son mouvement ?
7.4 Le TGV français a une vitesse moyenne de 300 km/h.
(a) S’il s’engage dans une courbe à cette vitesse et que l’accélération subie par
les passagers ne doit pas dépasser 0,05g, quel est le plus petit rayon de
courbure acceptable pour la voie ferrée ?
(b) Quelle est la vitesse à laquelle le train doit prendre un virage ayant un
rayon de 1 km pour se maintenir à la limite d’accélération ?
7.5 Supposez que le coefficient de frottement statique entre la piste et les pneus
d’une voiture de Formule 1 est de 0,6 lors d’une course du Grand-Prix. Quelle
est la vitesse maximale que la voiture peut atteindre lorsqu’elle effectue un
virage dans un tournant horizontal de 30 m de rayon sans qu’elle dérape ?
7.6 Une personne pesant 667 N est la passagère d’une grande roue qui tourne de
façon régulière (la personne est toujours assise à la verticale). Au point le plus
élevé de la roue, la grandeur de la force normale N que son siège exerce sur elle
est de 556 N.
Chapitre 7. La centrifugeuse
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(a) La personne se sent-elle plus légère ou plus lourde à ce point ?
(b) Quelle est la force centripète résultante ?
(c) Quelle est la valeur de N au point le plus bas ?
7.7 Un avion décrit un cercle horizontal en volant à une
vitesse de 480 km/h. Si ses ailes forment un angle
d’inclinaison de 40¶ par rapport à l’horizontale,
(a) quel est le rayon du cercle qu’il parcourt ?
(b) Combien de fois leur poids les passagers
ressentent-ils ?
40°
7.8 Un virage d’autoroute a un rayon de 150 m et est conçu pour des véhicules se
déplaçant à 65 km/h.
(a) Si le virage n’est pas relevé, déterminez le coefficient de frottement minimal
entre les pneus et la chaussée pour que les véhicules roulent sans déraper.
(b) À quel angle devrait-on relever le virage si la force de frottement était
nulle ?
7.9 Le manège de la figure 7.1 a un rayon de 4 m et le coefficient de frottement
statique entre les passagers et la paroi est de 0,4.
(a) Déterminez la valeur maximale de la période de rotation T pour éviter la
chute des passagers.
(b) Combien de révolutions par minute le cylindre effectue-t-il ?
§
§
§