Rayons X
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2 Interaction Quanton-Matière « Element of modern x-ray physics » J. Als-Nielsen et D. McMorrow « Processus d’interaction entre photons et atomes » C. Cohen-Tannoudji,… • Quantons : sondes • Deux processus d’interaction Absorption et diffusion dz dW I0 kd I ki l 2q Caractéristiques des quantons Trois types de quantons sont utilisés en matière condensée • • Les rayons X tendres et durs : 3-100 keV • Les électrons lents ou rapides : 150 eV-100 keV • Les neutrons chauds, thermiques ou froids : 120-25-10 meV • Effets d’interférences : Leur longueur d’onde doit être plus petite que les distances interatomiques 2𝑑 sin 𝜃 = 𝑚𝜆 𝜆 ≤ 2𝑑 Caractéristiques des quantons Description Photons X Neutrons Électrons Champ électromagnétique Particule Particule 𝑬 = 𝑬0 𝑒 𝑖(𝒌∙𝒓−𝜔𝑡) Énergie E Impulsion kBT/E E=hn=hc/l l(Å)=12398/E(eV) l=1 Å, E=12,4 keV n=3.1018 Hz (EHz) p p=hk=hn/c 300K 3.10-6 << 1 y ~ exp(i k.r) y ~ exp(i k.r) E2=p2c2+mn2c4; E=p2/2mn E=p2/2me l(Å)=0,286/E0.5(eV) l(Å)=12,265/E0.5(eV) l=1 Å, E=81,8 meV l=1 Å, E=150 eV vn = 4000 m/s ve = 7274 km/s p=hk (=mv) ~ 1 p=hk (=mv ~ 10-5 Interaction Charge sth ~ Z2 barn Moments magnétiques sd ~ 10-6 barn Noyaux (forte) sd ~ 5 barn Moments magnétiques sd ~ 3 barn Potentiel electrostatique sd ~ 108 barn Absorption 4700 barn (Z=28, 1,5 Å) Typique : 0,1-1 barn - Section efficace d’absorption • Élément de matière d’épaisseur dz, l’intensité diminue de dI dz 𝑑𝐼 = −𝐼 𝑧 𝜇𝑑𝑧 ⟹ 𝐼 = 𝐼0 𝑒 −𝜇𝑙 I0 • m coefficient linéïque d’absorption (cm-1) • Loi de Beer-Lambert • F0 flux de quantons incidentes (s-1/cm2), F = I/S le nombre de particules absorbées dNq par l unité de temps 𝑑𝑁𝑞 = 𝜙 𝑧 𝑁(𝑑𝑧)𝜎𝑎 • sa : section efficace d’absorption, unité le barn = 10-24 cm2 La section efficace dépend du type d’atome, de son environnement (RX) et de l’énergie du quanton Ex : Réseau 2D maille 0.3 nm Surface par atome s~10-15 cm2 I 𝑁 𝑑𝑧 = 𝜌𝑎 𝑆𝑑𝑧 𝜇 = 𝜎𝑎 𝜌𝑎 Section efficace de diffusion • Processus de diffusion dW • Nombre de quantons diffusés q 𝑑𝜎 𝑑𝑁𝑑 = 𝜙𝑑Ω 𝑑Ω ki Section efficace différentielle de diffusion • Fonction d’onde du quanton diffusé 𝑒 𝑖𝑘𝑑 𝑟 𝜓𝑑 𝒓 = −𝑏(𝒒) 𝑟 𝑏(𝒒) : longueur de diffusion Neutrons : b indépendant de q • Section efficace différentielle 𝑑𝜎 𝑑Ω 𝑑𝑖𝑓 𝑘𝑑 = 𝑏 𝑘𝑖 2 𝑑𝜎 𝑑Ω = 𝑏 𝑑𝑖𝑓 2 kd 2q Caractéristiques des quantons Description Photons X Neutrons Électrons Champ électromagnétique Particule Particule E=E0 exp(i(k.r-wt)) Énergie E Impulsion kBT/E E=hn=hc/l l(Å)=12398/E(keV) l=1 Å, E=12,4 keV n=3.1018 Hz (Ehz) p p=hk=hn/c 300K 3.10-6 << 1 y ~ exp(i k.r) y ~ exp(i k.r) E2=p2c2+mn2c4; E=p2/2mn E=p2/2me l(Å)=0,286/E0.5(eV) l(Å)=12,265/E0.5(eV) l=1 Å, E=81,8 meV l=1 Å, E=150 eV vn = 4000 m/s ve = 7274 km/s p=hk (=mv) ~ 1 p=hk (=mv ~ 10-5 Interaction Charge sth ~ Z2 barn Moments magnétiques sd ~ 10-6 barn Noyaux (forte) sd ~ 5 barn Moments magnétiques sd ~ 3 barn Potentiel electrostatique sd ~ 108 barn Absorption 4700 barn (Z=28, 1,5 Å) Typique : 0,1-1 barn - Longueur de diffusion (particules) Résoudre l’équation de Schrödinger d’un quanton en présence d’un potentiel d’interaction 𝑉 𝒓 ℏ2 𝑘 2 Etats stationnaire d’énergie : 𝐸 = 2𝑀 « Mécanique quantique 2, chap.VIII » Cohen-Tannoudji, Diu, Laloë avec 𝑉 𝑟 = ℏ2 𝑈(𝒓) 2𝑀 Approx. de Born + 𝑘𝑟 ≫ 1 Longueur de diffusion = TF du potentiel ℏ2 ℏ2 𝑘 2 ∆+𝑉 𝒓 𝜑 𝒓 = 𝜑 𝒓 2𝑀 2𝑀 ∆ + 𝑘 2 − 𝑈(𝒓) 𝜑 𝒓 = 0 𝑖𝑘𝑟 𝑒 𝜑 𝒓 ~𝑒 𝑖𝒌𝑖 ∙𝒓 + 𝑏(𝒒) 𝑟 𝑏 𝒒 =− 𝟏 𝟒𝝅 𝑈(𝒓)𝑒 −𝑖𝒒∙𝒓 𝑑 3 𝒓 Longueur de diffusion Rayons X : TF de la densité é 𝑏 𝒒 = −𝑟0 𝑓 𝒒 = −𝑟0 𝜌 𝒓 𝑒 −𝑖𝒒∙𝒓 𝑑3 𝒓 Rayons X Déphasage 𝜋 … r0 = 2,82 10-15 Å Neutrons : TF du pseudo-potentiel de Fermi. C’est une constante car (𝓥 𝒓 ~ δ 𝒓 ) 𝑀 𝑏 𝒒 =𝑏= 𝓥 𝒓 𝑒 −𝑖𝒒∙𝒓 𝑑3 𝒓 2 2𝜋ℏ Déphasage 0 ou 𝜋 … Electrons : TF du potentiel 𝑉(𝒓) 𝑀 −𝑖𝒒∙𝒓 𝑑 3 𝒓 𝑏 𝒒 =− 𝑉(𝒓)𝑒 2𝜋ℏ2 Électron 𝑏 𝒒 dépend de l’énergie Déphasage 𝛿(q) Fadley, Physica Scripta, T17,39,1987 Théorème optique Mécanique quantique II, p. 940 C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, Frank Laloë 𝜎𝑡𝑜𝑡 = 𝜎𝑎 +𝜎𝑑 = − 4𝜋 Im(𝑏 𝑘 0 ) 𝑒 𝑖𝑘𝑑 𝑟 𝜓𝑑 𝒓 = −𝑏(𝜃) 𝑟 Ombre : 𝜓𝑖 𝒓 = 𝐴𝑒 𝑖𝑘𝑖𝑟 Interférence entre onde incidente et onde diffusée Absorption Origine de l’absorption des neutrons • Neutrons faiblement absorbés • Absorbés par l’intermédiaire de réactions nucléaires 3He+n 3H-+p sa Ni Pb Gd 520 2100 74000 4.6 0.17 6Li 10B Détecteurs et écrans 𝑘0 Dépendance en énergie : 𝜎 𝑘 = 𝜎 𝑎 𝑎 𝑘 𝑘0 = 34,947 nm−1 Origine de l’absorption des photons Énergie d’un électron libre 𝐸 2 = 𝑚2 𝑐 4 + 𝑝2 𝑐 2 𝑣 ≪ 𝑐 𝐸 = 𝑝2 /2𝑚 Énergie d’un photon (p,E) 𝐸𝑝ℎ = 𝑝𝑐 E E ? EO=511 keV EO=511 keV EO-EL Dp.Dr p Électron libre Pas d’absorption p Électron lié Absorption possible L’absorption des rayons X Aux énergies considérées < 1000 keV X durs UV VUV XUV X mous • Absorption totale Gamma PLOMB Z=82 Effet photoélectrique L’absorption des rayons X À E < 1000 keV l’effet photo-électrique est dominant • Effet photoélectrique • Photon absorbé si hn > EI (EI énergie de liaison de l’e-) • Excitation : Photo-électron émis ( E=hn - EI -F ) F : travail de sortie ~1 eV • Désexcitation : photon de fluorescence (hn = EI -EII ) : électron Auger ( E= EI -EII -EIII) Photon de fluorescence Photo-électron Continuum Niveau de Fermi Électron Auger -EF M (2p3/2)4 L (2p1/2)2 (2s)2 hn Ka Niveaux de cœur -EII Kb K (1s)2 Excitation Absorption des électrons -EI Désexcitation Ordre de grandeur Rayons X : l = 1.542 Å sa Ni Pb Li B Gd 5,7 36 78300 4760 79800 Neutrons : 1.8 Å sa Ni Pb Gd 520 2100 74000 4.6 0.17 6Li 10B Libre parcours moyen des électrons Distance parcourue entre deux collisions inélastiques avec • les plasmons • les électrons de Valence From A. Zangwill, ‘Physics at Surfaces’, Cambridge Univ. Press. Après cette longeur (longueur d’atténuation), les électrons perdent leur phase. La diffraction des électrons (DEL) est une technique de surface Seuls les photoélectrons ou les électrons Auger de surface sortent avec leur énergie initiale Importance en XAS… Diffusion Diffusion : Système atome-particule change d’état Etat initial, ei Etat final, ef Diffusion élastique : Ne change ni la nature ni l’état interne du quanton et de la cible Diffusion des photons • Diffusion Rayleigh : • Diffusion élastique à basse énergie • hn << EI , EI -EII ; Fi = Ff ; diffusion de la lumière, le bleu du ciel • Diffusion Raman/Brillouin : • Diffusion inélastique à basse énergie (phonon optique/acoustiques) • hn << EI ; Fi Ff ; diffusion phonon optique/acoustiques Diffusion Thomson : • Diffusion élastique à haute énergie • hn >> EI ; Fi = Ff ; diffusion des rayons X • Diffusion Compton : • Diffusion inélastique à haute énergie • hn >> EI ; Fi Ff ; diffusion des rayons X Diffusion des photons (pi ,Ei ) (pf ,Ef ) E 𝑝2 𝐸𝑒 = 𝑚 EO E EO EO-EL p Électron libre (e- masse m) Diffusion Compton 𝑝2 𝐸𝑒 = 𝑀 p Électron lié (atome, cristal masse M»m) Diffusion Thomson Diffusion Compton Réfraction C’est une conséquence de la diffusion Traversée d’une plaque d’épaisseur Δ 𝑅 𝑟 𝑆 𝐷 Phase supplémentaire : 𝑛𝑘Δ-𝑘Δ 𝑃 𝑅0 Δ 𝑅2 = 𝑅0 2 + 𝑟 2 𝑅𝑑𝑅 = 𝑟𝑑𝑟 𝜓 𝑃 = 𝜓0 𝑃 𝑒 𝑖 𝑛−1 𝑘Δ = 𝜓0 𝑃 (1 + 𝑖 𝑛 − 1 𝑘Δ) ∞ 𝑖𝑘𝑅 𝑒 𝜓 𝑃 = 𝜓0 𝑃 +𝜓0 (𝑆)𝑒 𝑖𝑘𝐷 −𝑏 (2𝜋𝑟𝑑𝑟Δ)𝜌𝑑 𝑅 0 ∞ 2𝜋𝑏Δ𝜌𝑑 𝑖𝑘𝐷 𝑖𝑘𝑅 = 𝜓0 𝑃 −𝜓0 𝑆 2𝜋𝑏Δ𝜌𝑑 𝑒 𝑒 𝑑𝑅 = 𝜓0 𝑃 (1 − 𝑖 ) 𝑘 𝑅0 2𝜋𝑏𝜌𝑑 𝑛 =1− 𝑘2 Absorption 𝑅Δ −1 𝜌𝑑 ~1𝑒Å−3 , 𝑏~ 𝑍 3. ∞ 10−5 k~4 Å −𝜇Å, 𝑒 𝑅0 𝑒 𝑖𝑘𝑅 𝑑𝑅 −5 𝛿 ~ 10 𝑅0 Réfraction a n ki Indice de réfraction 𝑛 = 𝑛𝑟 + 𝑖𝛽 kr kt a’ Déphasage et absorption 𝑒 𝑖𝑛𝑘𝑧 = 𝑒 𝑖𝑛𝑟𝑘𝑧 𝑒 −𝛽𝑘𝑧 Pour les rayons X et les neutrons 2𝜋𝑏𝜌𝑑 𝜇 𝑛 =1− + 𝑖𝛽 = 1 − 𝛿 + 𝑖 2 𝑘 2𝑘 Loi de Snell 𝑛𝑟 cos 𝛼′ = cos 𝛼 Existence d’un angle critique Au-delà duquel on a réflexion totale 𝛼𝑐 = 2𝛿 ac ki kr Onde stationnaire Mesure du signe de b (holographie) Techniques expérimentales ÉMISSION : Rayons X EMISSION (par rayons X) : •Fluorescence (Analyse chimique) Rayons • X Électrons Fluorescence • (Analyse chimique) Electrons • Photo-électrons, électrons Auger (analyse) Photo-électrons, • électrons Auger (Spectrométrie, analyse) Diffraction dephoto-électrons photo-électrons (structure locale) Diffraction • de (structure locale) Photo-émission • (Structure de bande, surface Fermi de ) Photo-émission (structure de bande) ONDES/PARTICULES Rayons X Neutrons Electrons Cristal Liquide, cristal liquide Polymère Surface RÉFRACTION : Rayons X, neutrons Réflectromètrie (surface, interface) Diffraction de surface (surfaces) Onde stationnaires (surfaces) ABSORPTION : Rayons X XAS, EXAFS, XANES (ordre local) Dichroïsme (Magnétisme, surfaces) DIFFUSION Rayons X DIFFUSION :Diffusion diffuse (Désordres, liquides, matière molle) • Diffraction (Structures); Rayons • X Diffusion Compton (Structure électronique) Diffraction • (Etude des structures) Diffusion • diffuse (Etude du désordre dans les cristaux, liquides, cristaux liquides) Diffusion aux petits angles (Polymères, cristaux liquides, agrégats) Diffusion • Compton (Structure électronique) Diffusion magnétique, cohérente… (synchrotrons) Diffusion •inélastique, aux petits angles (Polymères, cristaux liquides, agrégats, grandes mailles) Diffusion • magnétique, inélastique, cohérente… (synchrotrons) Neutrons Neutrons • Diffraction, Diffusion (Structures, Hydrogène, Diffraction, •diffuse Diffusion diffuse (Structures, Hydrogène,contraste) contraste différent) Inélastique • (Excitations élémentaires, phonons, dynamique) Diffusion inélastique (phonons, dynamiques, excitations élémentaires) Magnétique • (Structures magnétique, magnons) Diffusion magnétique Electrons • (Structures magnétiques, magnons) Diffraction, • LEED, RHEED (Etude des surfaces) Electrons Diffraction d’électrons lents, rapides (surfaces)
