Vecteurs 1 Translation et vecteur × 2 Égalité de deux vecteurs × 3

Annexe A - Vecteurs
1 Translation et vecteur
Définition 1. Soient A et B deux points du plan.
• Un point D est l’image d’un point C par la translation qui transforme
A en B lorsque les segments [AD] et [CB] ont le même milieu.
B
×
A ×
×
La translation qui transforme A en B est appelée la translation de vecteur A B.
•
× D
×
C
Remarque.
B
×
Pour construire le point D, il suffit de construire le parallélogramme
AB D C (ABDC est éventuellement aplati).
•
A ×
× D
Si A B, on représente le vecteur AB par une flèche d’origine A et
d’extrémité B.
•
×
C
2 Égalité de deux vecteurs
Définition 2. Dire que AB = CD signifie que D est l’image de C par la translation qui transforme A en B.
Remarque.
• On peut appeler Qu l’unique vecteur associé à la translation qui
transforme A en B, on a alors :
~u
u
Q = AB = CD = RS
•
~u
~u
D
C
Ce vecteur « résume » ainsi le déplacement associé :
→
•
B
A
~u
direction : de la droite (AB)
→
sens : de A vers B
→
longueur : AB
S
R
AB est le représentant d’origine A du vecteur u
Q.
Propriété 1. AB = CD si, et seulement si, AB D C est un parallélogramme (éventuellement aplati).
Remarque. On peut donc utiliser toutes les caractérisations du parallélogramme, par exemple :
• AB = CD équivaut à AB = CD et AC = BD.
• AB = CD équivaut à [AD] et [CB] ont le même milieu.
B
B
~u
~u
A
×
A
~u
~u
D
C
C
Vecteurs particuliers.
→
Le vecteur AA est le vecteur nul. On note AA =Q0.
→
Le vecteur opposé au vecteur AB est le vecteur BA. On note BA = −AB .
D
~
AB
A
B
~
−AB
3 Coordonnées d’un vecteur dans un repère
Définition 3. On se place dans un repère (O ; I , J).
Soit Qu un vecteur donné et M l’image de O par la translation de vecteur Qu.
Q , les coordonnées du point M dans le repère (O ; I , J). On note
On appelle coordonnées d’un vecteur u
x
x
et u
M
Q
y
y
1re S1
Annexe A - Vecteurs
Remarque.
+3
On peut aussi noter les coordonnées des vecteurs horizontalement :
•
M (x; y) et
Qu (x; y)
J
Les coordonnées (x; y) correspondent au déplacement effectué sur le quadrillage.
Ici, « on avance vers la droite de 3 unités et on descend de 2 unités ».
On note :
3
Qu
ou Qu (3; −2)
−2
•
−2
~u
b
b
O
I
~u
b
M (3; −2)
Propriété 2. Coordonnées du vecteur A B
Dans un repère du plan,
si
A(xA ; yA) et B(xB ; yB )
alors
AB
xB − xA
yB − yA
Exemple 1. Soit C(4; −2) et D(3 ; 4) deux points du plan muni d’un repère (O ; I, J). Calculer les coordonnées du vecteur CD.
D
4
3
C
et D
d’où
−2
4
3−2=1
−1 − 3 = −4
C
x − xC
3−4
−1
J
CD
CD
CD D
yD − yC
4 − (−2)
6
b
b
b
b
O
donc le vecteur C D a pour coordonnées (−1; 6) .
I
Propriété 3. Égalité de deux vecteurs
Deux vecteurs Qu et Qv sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes coordonnées dans un repère du plan.
x = x′
x
x′
et Qv
,
u
Pour u
Q
Q
=
Q
v
⇔
′
y
y
y = y′
Exemple 2. Soient R(−3 ; 1) ; S(1; 2) et T (1 ; −3) trois points du plan muni d’un repère (O ; I, J).
Calculer les coordonnées du point U image de T par la translation de vecteur RS.
U est l’image de T par la translation de vecteur RS donc TU = R S
→
→
S
2
ces deux vecteurs ont pour coordonnées :
xU − xT
xS − xR
et R S
TU
yU − yT
yS − yR
xU − 1
4
TU
et RS
yU + 3
1
R
b
1
0
−4 −3 −2 −1 0 1
−1
b
2
3
4
−3
U
b
−2
ces deux vecteurs sont égaux donc ils ont les mêmes coordonnées :
xU − 1 = 4
xU = 5
yU + 3 = 1
yU = −2
5
b
T
−4
donc le point U a pour coordonnées (5; −2) .
Vecteurs particuliers.
→
→
Le vecteur nul Q0 a pour coordonnées (0; 0).
x
−x
Q
Le vecteur opposé au vecteur Qu
est le vecteur −u
y
−y
4 Somme de deux vecteurs
Définition 4. et Propriété.
B
En enchaînant la translation de vecteur Qu et la translation de vecteur Qv, on
obtient une nouvelle translation.
b
~u
~v
A
b
~u + ~v
Le vecteur qui lui est associé est appelé la somme des vecteurs u
Q et Qv et noté
b
~v
u
Q + Qv
~u
Remarque. L’ordre des translations n’a pas d’importance donc Qu + Qv = Qv + Qu
2
C
1re S1
Annexe A - Vecteurs
En pratique. Pour additionner deux vecteurs, on peut :
A) Disposer les vecteurs « bout à bout ».
Propriété 4. Relation de Chasles
Soient A, B et C trois points du plan,
B
b
~
AB
AB + BC = AC
~
BC
A
b
~ + BC
~ = AC
~
AB
b
Exemple 3. Soit ABCD un rectangle. Les points E et F sont les milieux respectifs de [AB] et [DC].
A
Déterminer et placer l’image de H par la translation de vecteur u
Q = AD + GE + CF .
•
E
B
On simplifie l’expression de Qu = AD + GE + C F :
→
G est le milieu de [DE] donc GE = DG
→
AECF est un parallélogramme donc C F = EA
G
par la relation de Chasles,
u
Q = AD + DG + EA
Q = EA + AD + DG
u
Q = EG
u
•
C
H
D
F
C
A
E
B
G
H
D
C
F
Qu = EG = HF donc l’image de H par la translation de vecteur u
Q est F
B) Disposer les vecteurs à partir de la même origine.
Propriété 5. Règle du parallélogramme
Soient Qu et Qv deux vecteurs du plan.
M
b
~u
On choisit deux représentants de u
Q et Qv de même origine A :
A
b
~u + ~v
u
Q = AM et Qv = AN
b
P
~v
La somme Qu + Qv est le vecteur AP tel que A M P N soit un parallélogramme.
b
N
C) Utiliser les coordonnées des vecteurs.
Propriété 6. Somme des coordonnées
Dans un repère du plan,
x
x
x + x′
et Qv
alors u
si Qu
Q + Qv
y
y
y + y′
5 Multiplication d’un vecteur par un réel
x
et k un nombre réel.
Définition 5. Dans un repère du plan, soit Qu
y
kx
.
Le vecteur k Qu est le vecteur de coordonnées
ky
Exemple 4. Soient M (1 ; 2), N (−3; 1) et P (−1 ; −1) deux points du plan muni d’un repère (O ; I, J).
1
Placer les points R et S tels que : NR = − 2 NM et PS = 1, 5 NM
1 − (−3)
4
NM
d’où NM
2−1
1
1
= −2

1
−2 × 4
NR
•
PS = 1, 5 NM donc PS
2
1, 5 × 4
1, 5 × 1
soit PS
-2
J
b
-0,5
b

 soit NR −2
NM donc NR 1
1
−2
− ×1
•
M
b
6
1, 5
!
O
b
N
1
4
b
1,5
b
P
3
S
R
I
6
1re S1
Annexe A - Vecteurs
Remarque. Soient A, B et C trois points tels que AC = k AB , avec k un nombre réel non nul.
C est le point de la droite (AB) tel que :
Si k > 0, AC = k × AB et les points B et C sont du même côté de A.
•
3
C
~
AC
Par exemple, AC = 4 AB
B
b
b
b
A
4
ou AB = 3 AC
b
~
AB
b
Si k < 0, AC = k × AB et les points B et C sont de part et d’autre de A.
•
~
AB
Par exemple, AC
1
= −3
~
AC
AB
C
ou AB = −3 AC
b
b
B
b
b
b
A
6 Milieu
Propriété 7.
• Le point I est le milieu de [AB] si, et seulement si, AI = IB
~
AI
A
I
b
~
IB
B
•
1
Le point I est le milieu de [AB] si, et seulement si, AI = 2 AB
ou AB = 2 AI
4
A
b
~
AI
I
b
~
AB
b
B
1re S1
Annexe A - Vecteurs
Exemple 5. Soit K(−5; 2) ; R(6; 4) ; A(−2; −2) et B(3 ; 8).
Montrer que le quadrilatère ARBK est un rectangle.
•
AR (xR − xA ; yR − yA)
et
AR(6 − (−2); 4 − (−2))
KB (xB − xK ; yB − yK )
KB (3 − (−5); 8 − 2)
AR (8 ; 6)
KB (8; 6)
les vecteurs AR et KB sont égaux donc le quadrilatère AR BK est un parallélogramme .
•
AK 2 = (xK − xA ; yK − yA)
AK 2 = (−5 + 2)2 + (2 + 2)2
AK 2 = 32 + 42
AK 2 = 25
donc AK = 5
√
de la même √
manière, on montre que : AR = 10 et RK = 125 .
2
2
RK = ( 125 ) = 125
AK 2 + AR2 = 52 + 102 = 125
donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AKR est rectangle en A .
•
ARKB est un parallélogramme qui a un angle droit, c’est donc un rectangle.
5