Chauffage par induction électromagnétique : principes

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17/09/2008
Chauffage par induction
électromagnétique : principes
par
Gérard DEVELEY
Ingénieur IEG. Docteur ès sciences
Ancien professeur à l’Université de Nantes
1.
Principe et spécificités...........................................................................
2.
2.1
2.2
2.3
Quelques rappels théoriques ................................................................
Transfert électromagnétique entre inducteur et charge...........................
Effets thermiques.........................................................................................
Effets mécaniques .......................................................................................
—
—
—
—
4
4
10
12
3.
3.1
3.2
3.3
Modélisation numérique des phénomènes couplés .......................
Généralités ...................................................................................................
Diverses méthodes numériques de résolution .........................................
Algorithmes de couplage............................................................................
—
—
—
—
14
14
14
15
4.
4.1
4.2
4.3
4.4
Électronique de l’installation ...............................................................
Système inducteur-charge ..........................................................................
Circuit oscillant ............................................................................................
Alimentation électrique...............................................................................
Convertisseurs statiques à semi-conducteurs
(basse et moyenne fréquence) ..................................................................
Générateurs à tube (haute fréquence) .......................................................
—
—
—
—
15
15
16
19
—
—
20
21
Références bibliographiques .........................................................................
––
22
4.5
Pour en savoir plus ............................................................................
D 5 935 - 3
Doc. D 5 937
L
e chauffage par induction électromagnétique fait partie des techniques électrothermiques qui permettent de chauffer un matériau sans contact direct
avec une source d’énergie électrique. Il consiste à plonger le corps à chauffer
dans un champ électromagnétique variable dans le temps, et à dissiper sous
forme de chaleur l’énergie entrant dans le corps. Il se distingue cependant nettement des autres techniques (infrarouge et micro-ondes) par la nature des matériaux chauffés et par la bande de fréquence électrique utilisée, c’est-à-dire par la
profondeur de pénétration et par les densités de puissance de chauffage obtenues. En effet, de par son principe, il ne s’applique qu’aux matériaux conducteurs de l’électricité, c’est-à-dire aux matériaux de résistivité électrique comprise
entre 10 –8 Ω.m (cuivre) et 10 –1 Ω.m (verres fondus). La bande de fréquence
employée est comprise entre la fréquence industrielle de 50 Hz et quelques
mégahertz, si bien que les profondeurs de pénétration s’étagent entre quelques
micromètres et quelques centimètres. Les densités de puissance surfacique
peuvent atteindre 10 5 kW/m 2.
■ On peut caractériser les performances de cette technique de chauffage par le
produit fréquence-puissance et en suivre ainsi l’évolution. Depuis l’époque
où le chauffage par induction faisait appel aux groupes tournants, ce produit a
notablement augmenté. En effet, ces premiers générateurs ont été peu à peu
remplacés par des convertisseurs statiques et, jusqu’à ces dernières années, le
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produit fréquence-puissance était classiquement de 100 à 1 000 kHz.kW. Actuellement, la tendance forte est d’augmenter la fréquence et la puissance des installations. On peut arriver ainsi à des valeurs fréquence-puissance de l’ordre de
250 000 kHz.kW !! (comme c’est le cas, pour le soudage au défilé des tubes
d’acier ou des torches à plasma inductif de forte puissance).
Tout cela suppose un développement parallèle des matériels électrotechniques nécessaires tels que les condensateurs, les transformateurs, les inducteurs
refroidis par l’eau, le câblage anti-inductif dit couramment « aselfique », etc, qui
constituent la technologie moderne du chauffage par induction.
■ Comme dans tout problème de chauffage, la puissance nécessaire au type
de traitement thermique recherché est imposée par la masse à chauffer, la température à atteindre et le temps de chauffe. Pour l’ingénieur chargé de concevoir
ou de conduire une installation de chauffage par induction, les questions à
résoudre sont d’ordre électromagnétique pour optimiser le transfert de puissance entre la source et le matériau, puis d’ordre thermique pour connaître le
champ de température et son évolution dans le temps.
■ Une fois définie la puissance nécessaire, trois étapes sont en général à franchir.
En premier lieu, se pose la question du choix de la fréquence de travail. En
effet, ce choix conditionne la profondeur de pénétration et permet donc de localiser la source thermique plus ou moins au voisinage de la surface du matériau.
De ce choix dépend la nature du générateur à utiliser.
En second lieu, il faut assurer la maîtrise du transfert entre l’inducteur et le
matériau de façon à obtenir la puissance injectée nécessaire au traitement
recherché. Cette étape permet de définir la forme et la constitution de l’inducteur, puis l’adaptation correcte de l’inducteur au générateur.
Enfin, il faut s’assurer que l’évolution des températures et leurs répartitions
dans le matériau correspondent bien au but recherché. Bien que cette dernière
étape relève plus de considérations thermiques qu’électromagnétiques, elle ne
doit pas être négligée. La réussite de l’opération de chauffage en dépend.
L’article « Chauffage par induction électromagnétique » fait l’objet de deux fascicules :
D 5 935 Principes
D 5 936 Technologie
Les sujets ne sont pas indépendants les uns des autres.
Le lecteur devra assez souvent se reporter à l’autre fascicule.
D 5 935 − 2
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Notations et Symboles
Symbole
Unité
Définition
Symbole
Unité
a
B
m2.s–1
diffusivité thermique
T
c
J.kg–1.K–1
C
F
d
D
E
m
m
V/m
p
P
m
profondeur de pénétration
induction magnétique
W
puissance active électrique
(symbole général) (P = V I cosϕ)
capacité thermique massique
Q
var
capacité du condensateur
(symbole général)
diamètre de l’inducteur
diamètre de la charge
S
m2
puissance réactive électrique
(P = V I sinϕ)
surface du matériau
T
v
V
K
m/s
température (symbole général)
vitesse de déplacement de la charge
volt
fréquence (symbole général)
facteur de transmission de puissance
active (F ) et réactive (G)
coefficient d’échange superficiel
ϕ0
λ
W.m–2
W.m–1.K–1
tension électrique d’alimentation
(valeur efficace) (symbole général)
flux thermique surfacique
conductivité thermique
f
F et G
Hz
nombre
h
W.m–2.K–1
µ
H/m
H
I
A/m
ampère
champ magnétique
courant électrique d’alimentation (valeur
efficace) (symbole général)
densité de courant électrique (symbole
général)
µr
ρ
nombre
kg/m3
J
A/m2
σ
S/m
conductivité électrique ;
1
σ = --- où ρ (Ω.m) est la résistivité
ρ
électrique
L
H
inductance (symbole général)
ω
rad/s
pulsation (ω = 2πf)
champ électrique
Définition
perméabilité magnétique ;
dans le vide : µ0 = 4π10–7
perméabilité relative ( µ r = µ ⁄ µ 0 > 1 )
masse volumique
1. Principe et spécificités
La figure 1 montre le schéma de principe d’une installation de
chauffage par induction. On trouve, à partir du réseau électrique
(50 Hz), un convertisseur permettant de créer les courants électriques à la fréquence souhaitée, un adaptateur nécessaire à l’ajustement des tensions, un inducteur générant le champ électromagnétique dans lequel est placée la charge à chauffer.
■ Quelques ordres de grandeur sur le chauffage par induction
permettent de mieux cerner ses spécificités.
● Fréquences
Il est habituel de distinguer les plages de fréquences suivantes :
— basse fréquence :
de 50 Hz à 1 000 Hz ;
— moyenne fréquence :
de 1 000 Hz à 35 kHz ;
— haute fréquence :
de 35 kHz à 5 MHz.
● Puissances
On les caractérise par la puissance surfacique Ps, puissance
injectée dans la pièce rapportée à la surface du matériau.
— Chauffage pénétrant :
• fréquence : de 1 à 50 kHz pour les métaux et de 0,1 à 4 MHz
pour les semi-conducteurs ;
• puissance : 102 kW/m2 < Ps < 103 kW/m2 ;
• exemples d’applications : forge, fusion.
— Chauffage superficiel :
• fréquence : de 10 à 500 kHz pour les métaux ;
• puissance : 5 103 kW/m2 < Ps < 5 104 kW/m2 ;
• exemples d’applications : trempe superficielle, brasage.
— Chauffage pelliculaire :
• fréquence : de 10 à 1000 kHz pour les métaux ;
• puissance : Ps < 105 kW/m2 ;
• exemples d’applications : soudages de tubes, thermoscellage.
Corps à chauffer
Réseau
Convertisseur
Adaptateur
Figure 1 – Schéma général d’une installation de chauffage
par induction
L’utilisation d’une fréquence autre que 50 Hz impose de disposer
de générateurs dont le fonctionnement et l’adaptation à la charge
doivent être maîtrisés pour fournir la puissance demandée.
■ Les performances du chauffage par induction se définissent
ainsi par l’association des grandeurs électriques fréquence et
puissance :
● Pour la grosse métallurgie (fusion, réchauffage de brames,
etc.), l’introduction des GTO, des IGBT et la constitution de modules
en parallèle permettent d’obtenir des convertisseurs statiques délivrant quelques mégawatts pour des fréquences allant jusqu’à quelques dizaines de kilohertz.
● Pour les applications de plus faible puissance et nécessitant des
fréquences plus élevées, l’usage de transistors MOS conduit à quelques centaines de kilowatts à quelques centaines de kilohertz.
● Pour les applications sur des matériaux peu conducteurs
(plasma, oxydes métalliques, etc.), le générateur à triode reste
irremplaçable. Les fréquences peuvent être très élevées (typiquement de l’ordre du mégahertz), et les puissances sont limitées à
quelques centaines de kilowatts. Les rendements de ces générateurs sont faibles ( < 70 %), ce qui pénalise le rendement global de
l’installation.
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Inducteur
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2. Quelques rappels
théoriques
avec
= –1,
ω pulsation de B (= 2πf ).
La résolution des relations (5) ou (6), associée aux conditions aux
limites de la charge à chauffer, donne la répartition spatiale de
l’induction. La répartition de la densité des courants induits s’en
déduit par les relations (2) et (4).
Il n’est possible de trouver des solutions analytiques que pour des
formes simples (plan, plaque, cylindre ou tube) et pour des matériaux de perméabilité magnétique constante. Dans les autres cas, il
faut avoir recours aux méthodes numériques de résolution de ces
équations (§ 3).
2.1 Transfert électromagnétique
entre inducteur et charge
2.1.1 Physique du phénomène
Elle est décrite par les équations de Maxwell dont on donne ici les
formulations adaptées au propos de cet article [1] [2] [3]. Toute
variation d’induction magnétique (B ) appliquée à un matériau
entraîne la création d’un champ électrique (E) qui entraîne à son
tour la création d’un courant électrique (de densité J ) si le matériau
est conducteur de l’électricité.
■ La formulation des équations de Maxwell permet de déterminer les diverses grandeurs utiles. Ces dernières sont solutions des
relations suivantes.
● Entre champ électrique E et induction B :
∂B
rot E = – --------- + rot ( v ∧ B )
∂t
j2
(1)
La variation de B sinusoïdale de fréquence f est un cas fréquent et nous le supposerons vérifié dans la suite des développements.
2.1.2 Courants induits dans la charge
(cas d’une plaque semi-infinie)
2.1.2.1 Densité de courant
Dans le cas d’une plaque plane semi-infinie dans la direction Oz,
soumise à un champ dirigé suivant Oy, la relation (6) s’écrit :
2
2
d H (z )
------------------ = j k H (z )
2
dz
avec v vitesse relative de déplacement du matériau par rapport à
l’induction.
Pour une pièce en mouvement lent (chauffage au défilé), le terme
( v ∧ B ) est nul ou négligeable.
●
La densité de courant s’en déduit par :
Entre champ magnétique H et densité de courant J :
rot H = J
et a pour module :
■ Leur sont associées les relations liées aux propriétés des
matériaux :
● Entre champ électrique et densité de courant :
J = σE
(3)
où σ est la conductivité électrique du matériau.
Rappelons que conductivité et résistivité électriques sont des
grandeurs inverses. Les électriciens utilisent généralement la
résistivité électrique et la représentent par le symbole ρ. Ce dernier est également celui de la masse volumique et, pour éviter
toute ambiguïté, les formulations sont faites avec la conductivité électrique σ (exprimée en S/m).
B = µH
(4)
où µ est la perméabilité magnétique du matériau.
■ Par combinaison de ces équations, et dans le cas simple où la
perméabilité magnétique est constante, on obtient :
1
∂B
--------- = ------- ∆ B + rot ( v ∧ B )
µσ
∂t
(5)
où ∆B représente le Laplacien de l’induction.
Dans le cas où la variation de B est sinusoïdale de fréquence f et
pour des corps immobiles, cette relation s’écrit :
D 5 935 − 4
kz
J x = J 0 exp – ------- 
2
(7)
ce qui traduit une variation exponentielle du module de J à partir de
la surface de la plaque.
J0 est la densité maximale de courant à la surface du matériau
avec :
J 0 = kH 0 =
H0
2 ------- ,
p
où p est la profondeur de pénétration définie au paragraphe 2.1.2.2.
2.1.2.2 Profondeur de pénétration
Pour le cas de la plaque semi-infinie, cette profondeur de pénétration représente la distance comptée depuis la surface pour laquelle
la densité de courant est égale à J0/e (e = 2,718). Elle s’exprime par :
Entre induction et champ magnétique :
∆ B = j ωσµB
dH(z)
J x = – ---------------- ,
dz
(2)
en négligeant les courants de déplacement.
●
avec k2 = ωσµ et où H représente le module du champ à la cote z.
(6)
2
p = ------- =
k
1
------------π fσµ
Une formule pratique est :
1
p = 503, 3 ----------σµ r f
dans laquelle µr est la perméabilité magnétique relative du maté–7
µ
riau, définie par µ r = ------ avec µ 0 = 4π10 H/m.
µ0
Le tableau 1 donne quelques valeurs de p pour divers matériaux
et diverses fréquences.
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Tableau 1 – Quelques valeurs de la profondeur de pénétration p exprimées en mm, pour une perméabilité relative m r = 1
(sauf acier à 20 °C)
acier
acier
cuivre
cuivre
aluminium
aluminium
graphite
(800 °C)
(20 °C)
(800 °C)
(20 °C)
(500 °C)
(20-1 300 °C)
(µr = 100)
(20 °C)
f (Hz)
50
3,18
67,2
9,35
19,4
11,9
19,4
201
100
2,25
47,5
6,61
13,4
8,4
13,4
142
103
0,71
14,6
2,09
4,26
2,66
4,26
45
104
0,225
4,75
0,661
1,34
0,84
1,34
14,2
105
0,071
1,46
0,209
0,426
0,266
0,426
4,5
106
0,0225
0,475
0,066
0,134
0,084
0,134
1,42
107
0,007
0,146
0,021
0,043
0,0266
0,043
0,45
2.1.2.3 Calcul du courant induit pour une plaque
semi-infinie
Au champ inducteur Hs (valeur efficace de H à la surface du matériau) correspond le courant induit Ix, perpendiculaire au plan de la
figure 2. Considérons un trajet fictif ABCD, de largeur unité < = 1
défini en bordure du matériau. Ce trajet englobe l’épaisseur p,
parcourue par le courant Ix ; l’application du théorème d’Ampère le
long d’ABCD conduit à la relation :
Hs = I x .
Le calcul de la puissance active dans la profondeur de pénétration
montre qu’elle représente environ 87 % de la puissance totale
induite dans la plaque. Cela montre bien la localisation des sources
thermiques dans la profondeur de pénétration et donne tout son
sens physique à cette dimension a priori arbitraire.
① À partir de la relation (9), on peut voir que la puissance
active transférée au matériau dépend de sa surface externe, de
ses caractéristiques électriques et magnétiques et de la fréquence. Si on remplace p par son expression (8) :
1
p = 503, 3 ---------------- ,
σ µr f
2.1.3 Puissances induites dans la charge
on trouve que la puissance s’exprime par la relation
Elles peuvent se calculer à partir du théorème de Poynting :
P = ( Es ∧ H s ) S
–3
1
--- µ r f S
σ
2
P = 2 ⋅ 10 H s
où P est la puissance traversant la surface S du matériau, Es étant la
valeur (efficace) du champ électrique à la surface du matériau.
En courant alternatif sinusoïdal, le calcul de P conduit à une
expression complexe de la forme P + jQ où P et Q sont les puissances active et réactive mises en jeu dans le matériau.
qui permet un calcul rapide.
② À partir de la relation (9), et en remarquant que le champ
magnétique de surface est donné dans un solénoïde inducteur,
en première approximation, par le théorème d’Ampère
Pour la plaque semi-infinie, ces puissances s’expriment par la
relation
2
1 Hs
P = Q = --- --------- S
σ p
(9)
(10)
Hs = n I
où n est le nombre de spires par mètre et I le courant dans
l’inducteur, on établit que :
2
1 n
2
P = Q = --- ------ S I .
σ p
La charge dans la plaque semi-infinie apparaît comme une
résistance
,=1
Hs
A
2
B
Ix
D
C
1 n
R c = --- ------ S
σ p
associée à une inductance
2
p
Figure 2 – Calcul du courant induit Ix
1 n
1
L c = --- ------ S --------- ,
σ p 2 πf
soit encore comme une impédance de résistance Rc et de réactance Lcω égales.
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2.1.4 Cas des matériaux magnétiques
z
Les matériaux magnétiques présentent la difficulté supplémenB
taire d’avoir une perméabilité magnétique µ = ---- non constante.
H
Compte tenu de la décroissance du champ magnétique H depuis la
surface du matériau, la perméabilité µ varie constamment. La solution rigoureuse des équations de Maxwell passe alors obligatoirement par une résolution numérique. On peut cependant définir une
perméabilité équivalente par
D = 2b
I
O
x
y
Hs
B
µ = ------S- ,
HS
courants induits dans la plaque
a géométrie de la plaque
où BS et HS sont des valeurs liées à la saturation du matériau.
En pratique, pour un acier courant placé dans un champ H, on
2, 3
prend µ = --------- .
H
Moyennant cette simplification, il est possible de conserver la
même expression (8) pour la profondeur de pénétration. On
remarque que cette dernière est beaucoup plus faible que dans le
cas des matériaux amagnétiques. On peut en tirer quelques conséquences. La relation (10) montre qu’il est plus facile de chauffer un
matériau magnétique qu’un matériau amagnétique équivalent. La
perte du magnétisme à la température de Curie se traduit par une
brusque augmentation de la profondeur de pénétration et donc par
une brusque diminution de la puissance active injectée au matériau.
x
x
x
x
x
x
x
Inducteurs
H
0
0
0
0
0
0
0
b coupe verticale selon Oyz
Figure 3 – Plaque épaisse en flux longitudinal
Exemple : pour un acier de perméabilité relative équivalente
µr = 500, p varie brusquement, au passage de la température de Curie,
d’un facteur 500 = 22 .
1,5
2.1.5 Influence de la forme de la charge [4] [5]
G
F
G
Les relations donnant la profondeur de pénétration et les puissances transmises ont été établies dans le cas d’une plaque semiinfinie. Pour d’autres formes simples, il est possible de conserver les
expressions (8) et (9) de p, de P et de Q, en adjoignant, pour les puissances, des coefficients correcteurs F et G, soit par exemple :
1
F
Asymptote
(fréquences élevées)
0,5
2
1 Hs
P = --- --------- SF
σ p
0
0
2
4
6
2.1.5.1 Cas de la plaque épaisse en flux longitudinal
Considérons une plaque d’épaisseur D = 2b placée dans un inducteur (figure 3), créant une induction longitudinale. La combinaison
des chauffages par chaque face conduit à exprimer le facteur F par :
sh m – sin m
F ( m ) = -----------------------------------ch m + cos m
Figure 4 – Valeur des coefficients de transfert de puissance active F
et réactive G pour une plaque
(11)
2.1.5.2 Cas de la plaque en flux transverse
où m = D/p.
La figure 4 montre les variations du facteur F (ainsi que de G) avec
m.
On peut constater que :
— pour m faible, F et G sont faibles ; en particulier, il n’y a pas de
chauffage à fréquence nulle ! C’est aussi le cas des plaques de faible
épaisseur ou en matériau très conducteur (cuivre, aluminium etc.) ;
— F et G passent par un maximum pour une valeur particulière
de m ; pour la puissance active, m doit être supérieur à 3 pour que F
soit supérieur ou égal à 1 ; cela signifie qu’il y a, pour un matériau
donné (σ et µ étant fixés), une fréquence minimale permettant un
bon transfert de puissance ; au-delà de la valeur m = 6, les puissances actives et réactives sont égales et la plaque est équivalente à
une résistance et une réactance d’égales valeurs.
D 5 935 − 6
8
m = D /p
Dans ce cas (figure 5), le facteur F a pour expression :
sh m + sin m
F ( m ) = ----------------------------------- .
ch m – cos m
La figure 6 représente les variations de F avec m. Elle montre
également que, pour les plaques de faible épaisseur, le chauffage en
flux longitudinal est peu efficace tandis qu’il l’est en flux transverse.
Ce mode de chauffage sera donc intéressant pour les tôles minces.
2.1.5.3 Cas d’un cylindre
Pour un cylindre de diamètre D = 2b (figure 7), la solution de la
relation (6) en coordonnées cylindriques fait appel aux fonctions de
Bessel. Pour plus de détails, on pourra se référer aux ouvrages
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x
0
x
0
x
0
0
F 1,5
G 1,3
Inducteurs
H
1,2
G
1,1
0,9
x
x
0
0
x
0
x
F
0,8
0,6
Figure 5 – Coupe d’une plaque selon Oyz en flux transverse
0,4
0,3
0,1
0
4
0
1
2
3
4
5
6
7
F
Flux transverse
8
9 10
m = D /p
Figure 8 – Variation des coefficients de transfert de puissance F et G
en fonction de m pour un cylindre
2
Flux longitudinal
1
0
0
5
10
m = D /p
Gv
Figure 6 – Variation du coefficient de transfert de puissance active F
en fonction de m pour une plaque
0,5
Fv
Hs
b
D
0
0
Hs
3
5
8
10
m = D /p
Figure 9 – Variation des coefficients de transfert de puissance
volumique pour un cylindre
Figure 7 – Cylindre plein
spécialisés traitant du sujet. Cette solution montre toujours une
décroissance des grandeurs électriques à partir de la surface du
cylindre. Cependant, la notion de profondeur de pénétration (p),
établie dans le cas d’une plaque à partir de la décroissance exponentielle du champ ou de la densité de courant, n’est applicable ici
que lorsque le rapport D/p est supérieur à 1. Comme on le verra plus
loin [cf. § 2.1.8], cette condition est en général remplie.
volumiques de puissance au lieu des densités surfaciques, on peut
voir, sur la figure 9, les variations des facteurs Fv et Gv. Il apparaît
ainsi une valeur de m pour laquelle le transfert de puissance active
est optimal, et un intervalle 3 < m < 5 délimitant un bon transfert.
Cette condition sur m est communément retenue comme critère de
« bon chauffage ».
2.1.5.4 Cas des tubes
Toutefois, il faut faire attention au cas du chauffage de matériaux
de forte résistivité (oxydes-plasma) pour lesquels on peut être
amené à choisir des fréquences de chauffage ne vérifiant plus cette
relation.
La solution des équations de Maxwell fait appel aux fonctions de
Bessel et de Kelvin. Comme pour le cylindre, dans les cas usuels, on
peut conserver la même expression pour la profondeur de pénétration.
En général, on se contente donc d’utiliser la même définition de
la profondeur de pénétration. Comme précédemment (§ 2.1.5.1), on
peut calculer les facteurs F et G pour les puissances active et réactive. Les courbes de la figure 8 montrent leurs variations avec
m = D /p .
La puissance active transmise au creuset peut encore s’exprimer
comme précédemment par la relation :
Contrairement au cas de la plaque, on ne constate pas de
maximum pour le facteur F. En fait, si on fait intervenir les densités
2
1 Hs
P = --- --------- SF
σ p
où F est le facteur de transmission de puissance active.
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6
a = épaisseur/diamètre du tube
a = 0,005
F
4
Vers
F=0
Vers
F=1
1.104
σ
=
a = 0,01
0,005
2.104
10 4
S/
m
P (unités arbitraires)
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a = 0,05
5 000
2
a = 0,1
5 S/ m
σ = 10
6
σ = 10 S/m
0
0
0
0,5
1
Figure 10 – Variation du coefficient de transfert de puissance active
F en fonction du rapport épaisseur/profondeur de pénétration
pour un tube
La figure 10 montre les variations de F pour différents tubes non
magnétiques et caractérisés par le rapport a = épaisseur/diamètre,
en fonction du paramètre e/p = épaisseur/profondeur de pénétration. On peut déduire de ces courbes que le facteur F est maximal
pour de faibles valeurs de e/p et ce d’autant plus que le tube est peu
épais (a petit). En particulier, F est beaucoup plus grand que la
valeur correspondante (figure 8) pour un cylindre de même
diamètre (le cylindre correspond à a = 0,5). Il est donc plus facile
d’injecter de la puissance dans un tube que dans un cylindre de
même diamètre et donc de même surface externe.
Pour les formes quelconques des matériaux à chauffer, il
est impossible d’obtenir une solution analytique des équations
de Maxwell, c’est-à-dire de connaître la répartition des courants
induits et de la puissance transférée. La résolution des équations ne peut se faire qu’à l’aide de méthodes numériques plus
ou moins complexes. Celles-ci permettent de prendre également en compte les non-linéarités des propriétés des matériaux, que ce soit la perméabilité magnétique (µ ) variable avec
le champ et avec la température, ou la conductivité électrique
(σ) ou encore la capacité thermique massique (c ) variables avec
la température.
2.1.6 Influence des divers paramètres
De l’expression de puissance active (10) on tire :
–3
2
P = 2 ⋅ 10 H s
1
--- µ r f SF .
σ
2.1.6.1 Influence de la fréquence
2
3
4
f (en 105 Hz)
Figure 11 – Variation de la puissance transmise à la charge
en fonction de la fréquence
m < 1 et m >> 1. Le compromis généralement retenu est tel que
3 < m < 5, ce qui correspond à une profondeur de pénétration de
l’ordre du quart de l’épaisseur du matériau.
2.1.6.2 Influence de la perméabilité
Ce paramètre intervient comme la fréquence. La puissance transférée au matériau est beaucoup plus importante lorsqu’il est
magnétique. Il est ainsi facile de chauffer un acier en-dessous de sa
température de Curie (µr >> 1) qu’au dessus (µr = 1).
2.1.6.3 Influence de la conductivité électrique
La figure 12 montre les variations de la puissance injectée dans la
charge pour le cas d’une plaque constituée de matériau de conductivités différentes et ce pour diverses fréquences de fonctionnement. Cette puissance passe par un maximum pour une certaine
valeur de la conductivité. Ce maximum est d’autant plus élevé que
la fréquence est elle-même élevée. C’est ainsi que les matériaux à
faible conductivité, comme les verres, les oxydes et les plasmas,
exigent une haute fréquence pour chauffer dans de bonnes conditions.
4 000
Vers
F=0
Vers
F=1
3 000
f = 105 Hz
2 000
1 000
La figure 11 montre les variations de la puissance active injectée
en fonction de la fréquence pour des matériaux amagnétiques
(µr = 1) de conductivités diverses. La puissance augmente toujours
avec la fréquence :
— soit en f 2 pour le chauffage profond (m < 1 ou F < 1) ;
— soit en f 1/2 pour le chauffage superficiel (m >> 1 ou F = 1).
Rappelons que le choix de la fréquence pour un chauffage efficace en volume résulte d’un compromis entre les deux situations
D 5 935 − 8
1
1,5
e /p
P (unités arbitraires)
0
0
102
f = 104 Hz
103
104
105
106
108
σ (S/m)
Figure 12 – Variation de la puissance transmise à la charge
en fonction de sa conductivité
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107
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2.1.7 Rendement de l’inducteur
Si on appelle Pi les pertes joule de l’inducteur, le rendement ηe est
défini par le rapport de la puissance transférée à la charge Pc à la
puissance totale fournie à l’inducteur (Pc + Pi).
■ Les pertes de l’inducteur peuvent se calculer directement par
1 < 2
P i = ----- ------- I ,
σi S
où σ i est la conductivité de l’inducteur (en général du cuivre), < est
la longueur totale des N spires, S leur section de passage et I le courant circulant dans l’inducteur. Le calcul de Pi se heurte généralement à deux difficultés : les estimations de S et de I.
● Estimation de S
Du fait que l’inducteur est lui-même plongé dans le champ
magnétique qu’il crée, le courant n’occupe pas toute la surface du
cuivre. On considère, en pratique, qu’il passe de façon privilégiée
dans la partie du métal en regard de la charge et dans une profondeur sensiblement égale à la profondeur de pénétration pi
(figure 13).
● Estimation de I
En général, le courant dans l’inducteur est inconnu. On peut
cependant estimer les pertes de l’inducteur à partir de l’expression
générale en fonction du champ Hs, soit :
b
pi
Charge
Figure 13 – Section d’une spire de l’inducteur
hi
2
1 H s Si
P i =  ---  ----------------k
σi pi
hc
d
où k est le coefficient de remplissage des spires de l’inducteur, en
pratique compris entre 0,6 et 0,8.
■ La puissance dans la charge s’exprime par l’expression déjà indiquée au paragraphe 2.1.5 :
D
Figure 14 – Inducteur et charge
2
H s FS c
P c = --------------------- ,
σc pc
où le champ H est exprimé en fonction des ampères-tours par :
αN I
H = ----------- ,
hi
α étant un coefficient correcteur inférieur à 1 qui tient compte du fait
que l’inducteur n’est pas infiniment long.
Pour l’inducteur solénoïdal, représenté sur la figure 14, formé de
N spires de largeur b (figure 13) et présentant un coefficient de
remplissage :
Nb
k = -------- ,
hi
on obtient :
1
ηe
σ = 106 S/m
0,8
σ = 107 S/m
0,6
σ = 108 S/m
0,4
0,2
Pi
1 d σ c µ ri 1 h i
----- ------- ,
------- = ----- ----- ----------------F D σ i µ rc k h c
Pc
0
d’où découle le rendement :
1
1
η e = -----------------P
1 + -------iPc
10
102
103
104
f (Hz)
Figure 15 – Variation du rendement avec la fréquence
7
Exemple : pour un inducteur en cuivre ( σ i = 6, 25 ⋅ 10 S/m ,
µ ri = 1) et une charge tels que :
F = 1 ; hi = hc ; k = 0,8 ; d = 1,1 D
on trouve :
(a) pour une charge en cuivre :
ηe = 0,42 ;
(b) pour une charge en acier magnétique (σc = 106 S/m, µrc = 100) :
η e = 0,98 ;
(c) pour une charge en acier amagnétique (σc = 106 S/m, µrc = 1) :
ηe = 0,85.
■ Le rendement d’inducteur est d’autant meilleur (Pi /Pc petit) que le
matériau chauffé est résistif et magnétique. On retrouve ici la
conclusion qu’il peut être difficile de chauffer des matériaux très
bons conducteurs, alors qu’il est facile et intéressant (en terme de
rendement) de le faire pour des matériaux magnétiques.
La figure 15 montre les variations du rendement d’inducteur en
fonction de la fréquence pour des matériaux de diverses conductivités. On constate que, à conductivité constante, le rendement croît
avec la fréquence pour atteindre un palier. À chaque valeur de
conductivité correspond ainsi une valeur minimale de la fréquence
au dessous de laquelle le rendement baisse.
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1
10
R /p
ηe
8
6
0,8
4
2
0,6
Verre
fondu
0,4
102
0
103
Semi-conducteurs
fondus
Plasma Oxydes
Graphite
103
104
105
104
105
106
107
106
107
108
σ (S/m)
M
Métaux
étaux fondus
108
Figure 17 – R/p en fonction de la conductivité
σ (S/m)
Figure 16 – Variation du rendement avec la conductivité
fréquence, arriver à introduire une puissance très grande dans une
épaisseur très mince. C’est, par exemple, le cas des traitements
thermiques superficiels. Il faut alors limiter le temps de chauffe afin
d'éviter la fusion superficielle de la pièce.
Par ailleurs, le rendement maximal est d’autant plus faible que la
conductivité est élevée.
Exemple : chauffer du cuivre avec un inducteur en cuivre ne permet pas un rendement supérieur à 42 %.
En reportant pour chaque conductivité la valeur du rendement
maximal, on peut tracer la courbe (figure 16), sur laquelle sont
rassemblées les principales catégories de matériaux chauffant par
induction. Il est clair que les rendements sont d’autant meilleurs que
le matériau est résistif. En particulier, les plasmas comme les verres
fondus conduisent à des rendements excellents. Il ne faut cependant pas oublier que cela s’accompagne d’une augmentation
correspondante de la fréquence du courant inducteur. Ainsi, pour
ces matériaux résistifs, cette fréquence peut dépasser le mégahertz.
2.1.8 Choix de la fréquence de chauffage
Il est toujours conditionné par la nature du chauffage désiré. Si on
recherche un chauffage dans le volume de la charge, il existe une
plage de fréquence optimale, répondant au critère
Sous l’influence du courant électrique induit, le matériau
s’échauffe par effet Joule. On a vu [cf. (§ 2.1.3)] que 87 % de la puissance induite l’est dans la profondeur de pénétration p. On peut
donc, en première approximation, considérer la source thermique
comme localisée dans la zone superficielle d’épaisseur p.
L’échauffement du matériau dépend ensuite de la propagation de
la chaleur dans tout le matériau, des échanges avec l’extérieur et du
temps durant lequel est injectée la puissance. La partie chauffée
constitue la zone de pénétration thermique.
L’étude générale de l’évolution de la température du matériau est
complexe et relève d’ouvrages spécialisés [6]. Elle n’est possible
sous forme analytique que pour des cas simples dont nous proposons quelques exemples classiques. Dans les autres cas, il est généralement nécessaire de passer par des solutions numériques.
Nous n’aborderons donc ici que le cas d’une plaque, en nous
limitant au régime permanent.
3 < m = D/p < 5.
La valeur m = 3 correspond à la fréquence minimale de chauffage.
On peut également choisir la fréquence correspondant à l’obtention
du rendement maximal. Dans ce dernier cas, la fréquence peut être
trop élevée, en particulier pour des matériaux très résistifs. On peut
alors se contenter d’un rendement inférieur.
Exemple : on donne pour un cylindre de rayon R, la courbe liant le
rapport R/p à la conductivité du matériau, pour un rendement égal à
90 % du rendement maximal. De cette courbe (figure 17), on peut
extraire aisément la fréquence de chauffe. Pour les métaux, ce rapport
est compris entre 2 et 3, tandis que pour les verres et oxydes, il est de
l’ordre de 1. Ainsi, pour chauffer des oxydes par induction, à condition
de se contenter d’un rendement légèrement inférieur au rendement
maximal, il est suffisant d’utiliser une fréquence telle que la profondeur
de pénétration soit de l’ordre du rayon du cylindre.
Si le chauffage doit être superficiel, il est impératif de travailler à
une fréquence telle que m soit supérieur à 6. Dans ces conditions,
les facteurs de transfert de puissance sont égaux à 1 et le rendement
est toujours maximal. Plus la fréquence est élevée et plus la puissance injectée est grande, alors que la profondeur de pénétration
diminue (elle varie comme f –1/2). On peut ainsi, en augmentant la
D 5 935 − 10
2.2 Effets thermiques
2.2.1 Formulation
On pourra se reporter à l’ouvrage référencé [6].
2.2.1.1 Cas général
■ La répartition des températures à chaque instant est solution
de l’équation de la chaleur :
∂T
ρc  ------- + v grad T  = div ( λ grad T ) + p v
∂t
avec
λ, ρ et c
respectivement conductivité thermique, masse
volumique et capacité thermique massique du
matériau,
v
vitesse de déplacement du matériau (cas de
chauffage au défilé),
pv
densité volumique de puissance électromagnétique induite dans le matériau (W/m3).
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(13)
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À l’équation (13), il convient d’ajouter la condition initiale de
température
T (x, y, z, 0) = T0(x, y, z )
et les conditions aux limites du matériau ; celles-ci peuvent être de
différente nature selon le type d’échange superficiel avec
l’extérieur :
— la température de surface est fixée :
où <
est « l’épaisseur du corps ».
Avec l’hypothèse que < ⁄ p est très grand devant 1, le terme e
peut être négligé et la densité de flux a pour valeur :
– ( 2< ⁄ p )
1 p 2
ϕ = --- ----- J .
σ 4 0
ce cas ne se rencontre que rarement en chauffage par induction ;
— la surface du matériau échange, par convection avec l’ambiance (à la température Ta), un flux thermique :
H0
2 --------- (§ 2.1.2), on peut également
p
l’exprimer à partir de la valeur efficace du champ magnétique
H
H s  H s = ------0- régnant à la surface par la relation (9) :
2
dT
ϕ = h ( T – T a ) = – λ --------dn
1H s
ϕ = --- ----------- .
σ p
T s = T (x , y , z , t )
où h est le coefficient d’échange convectif et n le vecteur normal à la
surface.
Il convient de faire deux remarques au sujet du coefficient h.
● La connaissance de h conditionne les valeurs du champ de
température. Or, il n’est pas aisé de connaître avec exactitude la
valeur à attribuer à h. Il est donc indispensable pour l’électrothermicien d’avoir une bonne connaissance des valeurs
« classiques » d’échange avec le milieu ambiant, généralement
constitué d’une atmosphère gazeuse à la pression atmosphérique. Dans le cas où l’échange a lieu avec des gaz à grande
vitesse, en écoulement turbulent, comme par exemple pour les
plasmas d’induction, la connaissance de h est quasi impossible.
Il est alors indispensable d’avoir recours aux équations de la
mécanique des fluides ou à des simulations numériques (§ 3)
pour évaluer correctement h.
● Lorsque la température de surface devient élevée,
l’échange avec l’ambiance devient principalement rayonnant.
Les relations ne sont alors plus linéaires, ces échanges faisant
intervenir T 4. Les solutions analytiques ne sont plus possibles et
là encore, il faut avoir recours aux solutions numériques (§ 3).
■ Par ailleurs, la fréquence du champ électromagnétique est suffisamment élevée pour que l’on puisse considérer la réponse thermique du corps comme très lente par rapport à celle relative aux
phénomènes électriques. La densité volumique de puissance injectée pv figurant dans la relation (13) peut alors être remplacée par sa
valeur moyenne sur une période électrique et, de ce fait, être indépendante du temps. Si on prend l’hypothèse d’une décroissance
exponentielle de la densité de courant depuis la surface, on a vu que
le courant induit peut être approximé par [cf. relations (7) et (8)] :
J x = J 0e
( – z ⁄ p)
.
La densité de puissance électrique moyenne induite s’exprime
alors par :
1 2 ( –2 z ⁄ p )
p v = ------- J 0 e
.
2σ
2.2.1.2 Cas des faibles profondeurs de pénétration
Dans l’hypothèse courante où la fréquence est assez élevée pour
que la profondeur de pénétration p soit petite par rapport aux
dimensions du corps, cette densité de puissance concentrée au
voisinage de la surface du corps peut être remplacée par une
densité de flux (W/m2) définie par :
1 2
ϕ = ------- J 0
2σ
∫
<
0
e
 2
1 p 
dz = --- -----  1 – e –( 2< ⁄ p )  J 0
σ4 

( –2 z ⁄ p )
Compte tenu de J 0 =
2
2.2.2 Cas du chauffage d’une plaque
2.2.2.1 Plaque semi-infinie sans échange surfacique (h = 0)
et recevant un flux constant (ϕ = ϕ0).
C’est un cas théorique qui peut cependant s’appliquer lorsque les
dimensions du matériau sont grandes devant la profondeur de
pénétration. La température dans le matériau T(z, t ) croît continuellement, à partir de la surface par diffusion thermique. Celle-ci est
caractérisée par la diffusivité thermique (m2.s–1) :
λ
a = ------ .
ρc
La température de surface correspond à
2 ϕ 0 at
T ( 0, t ) – T a = ---------- ----- ,
λ
π
où Ta est la température ambiante.
On définit alors la profondeur de pénétration thermique ∆ pour
T ( ∆, t ) – T a
laquelle le rapport -------------------------------- est constant :
T ( 0, t ) – T a
— pour un rapport de 5 %, on trouve
∆ = 2, 4 at ;
— pour un rapport de 1 %, on trouve
∆ = 3, 2 at .
2.2.2.2 Plaque d’épaisseur finie (2b) sans échange
surfacique (h = 0) et recevant un flux constant
(ϕ = ϕ0)
On rencontre ce cas lors du chauffage d’une pièce isolée thermiquement. Ici encore, la température de la plaque augmente continuellement [cf. (§ 2.2.2.1)], la surface étant plus chaude que le
centre. Après un régime transitoire, les températures évoluent
linéairement, selon la loi :
ϕ0 b
1 z 2 1
T ( z, t ) – T a = ---------- Fo + ---  ---  – --- ,
2 b
λ
6
(15)
at
où Fo est le nombre de Fourier défini par Fo = ------2 .
b
L’écart entre la surface (z = b) et le centre (z = 0) est constant et
défini par
ϕ0 b
T ( b, t ) – T ( 0, t ) = ---------.
2λ
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2.2.2.3 Plaque avec échange avec l’ambiance (h connu).
Régime permanent
Ensuite, les températures de surface et du centre tendent à se
rejoindre vers la température d’équilibre Te telle que :
En reprenant le cas de la plaque d’épaisseur 2b, étudiée au paragraphe 2.1.5.1, (figure 3), on peut établir que la densité volumique
de puissance induite est donnée en fonction de la cote z par :
2z
2z
2 ch  ------  – cos  ------ 
p 
p 
2H s
-----------------------------------------------------p v = -----------2
b
2b
σp ch  2
-------  + cos  ------- 
 p 
 p 
ϕ 0at 0
T e – T a = -------------λb
(21)
le temps « d’homogénéisation » étant donné par
2
b
θ = -----a
(17)
On pose :
m = 2 b /p
et
w = z /b .
La température en tout point de la plaque est donnée en régime
permanent par l’expression :
2
2H s
1
T – T a = ------------- f ( w, m ) + ------ g ( m ) ,
λσ
Bi
hb
où Bi est le nombre de Biot défini par Bi = ------- .
λ
(22)
Exemple : on veut chauffer au défilé, durant un temps de 3 minutes, une brame d’acier d’épaisseur 12 cm, de conductivité thermique
λ = 45 W/ (m ⋅ K ) , de diffusivité thermique a = 1,1.10–5 m2/s, avec
une densité surfacique de puissance ϕ0 = 0,65 MW/m2.
À la surface (z = b) et à la sortie de l’inducteur (t = t 0 ) on a :
— l’écart de température avec l’ambiante, calculée à partir de la relation (19) : 766 °C ;
— l’écart de température entre la surface et le cœur [relation (20)] :
433 °C ;
— la température d’équilibre [relation (21)] : 477 °C ;
— le temps d’homogénéisation [relation (22)] : 327 s.
2.2.3 Cas du cylindre
Les fonctions f et g sont définies par :
Les solutions analytiques sont difficiles du fait des fonctions des
expressions de Bessel qui régissent le calcul des courants induits.
Cependant, dans le cas simplifié où la fréquence est assez élevée
pour que la profondeur de pénétration soit petite devant le rayon du
cylindre, on retrouve globalement les résultats donnés dans le cas
de la plaque .
1
ch mw – cos mw
f ( w, m ) = ---  1 – ---------------------------------------------- 
4
ch m + cos m
et
m sh m – sin m
g ( m ) = -----  ------------------------------------  .
4 ch m + cos m
L’examen de ces fonctions montre que :
— pour m petit (m < 0,5), ce qui correspond au cas des plaques
minces ou des fréquences basses, f (w,m) et g (m) sont pratiquement nulles ; T – Ta reste voisin de 0 ; le chauffage est inefficace ;
— pour m > 5, g(m) équivaut à m/4 et f (m) vaut au maximum
0,25 ; on peut négliger le terme f (w,m) devant g (m)/Bi. Il en résulte
que :
2
2.3 Effets mécaniques
2.3.1 Action de la force sur la charge
Dans le matériau, les courants induits de densité J et l’induction B
régnant créent une force de Laplace, de densité volumique (N/m3) :
F = J ∧B
2
Hs m
1 Hs
T – T a = --------- --------- = --- ----------λσ 2 Bi
σ ph
(23)
(18)
Orthogonale au plan formé par J et B , elle tend toujours à
écarter les courants inducteurs et induits (figure 18). Sa présence
engendre des effets différents selon que l’on traite un solide ou un
fluide.
La température de la plaque est constante en tous points.
2.2.2.4 Plaque au défilé sans échange avec l’extérieur
(h = 0)
La plaque d’épaisseur 2b défile dans un inducteur de longueur < ,
à la vitesse v. Elle reçoit le flux constant ϕ0 de l’inducteur durant le
<
temps de passage t 0 = --- . Sous l’inducteur, les températures
v
augmentent, celle de la surface augmentant plus vite que celle du
cœur. Si on néglige la diffusion axiale, à la sortie de l’inducteur, la
température à la surface (z = b) est donnée par
ϕ 0b  at 0 1
T ( b, t 0) – T a = ----------  ---------- + ---
λ  b 2 3
(19)
B
I inducteur
I induit
H
F
Matériau
La différence de température entre la surface et le centre est
donnée par
ϕ 0b
T ( b, t 0 ) – T ( 0, t 0 ) = --------2λ
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(20)
Figure 18 – Force mécanique agissant sur la charge
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_______________________________________________________________________________ CHAUFFAGE PAR INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE : PRINCIPES
t
Dôme
Liquide
F
Solide
Écoulement
Bs
a lévitation
b brassage
,
n
p
Figure 19 – Divers effets mécaniques
n normale
Pour un solide présentant une symétrie (plaque plane, cylindre ou
tube) placé dans une induction uniforme, les forces élémentaires
s’annulent et l’effet mécanique est nul. Si l’induction n’est plus
uniforme, on peut alors obtenir une force résultante d’entraînement,
qui, si elle est verticale, conduit à la lévitation électromagnétique
(figure 19).
Dans le cas d’un liquide, la force résultante n’est pas nulle et
provoque la déformation et la mise en mouvement du liquide. Il en
résulte le phénomène soit de formage électromagnétique dû à la
pression électromagnétique engendrée, soit de brassage électromagnétique (figure 19). Ce dernier est largement utilisé pour assurer le
mélange des matériaux fondus. Il doit cependant être bien contrôlé
car il accélère l’usure des parois du creuset et en diminue la durée
de vie.
Figure 20 – Domaine baigné dans une induction
2.3.3 Effet de pression
Il se traduit par la déformation des surfaces libres du corps. La
forme de la surface libre, donnée par sa cote z, s’obtient en égalant
la pression sur la surface du liquide à la pression ambiante, c’est-àdire par la relation :
2
B
ρgz + ------s- + γK = Cte .
2µ
Le terme γ représente la tension superficielle du liquide (en N/m),
K la courbure de l’interface et g l’accélération de la pesanteur.
Plusieurs applications industrielles en découlent, parmi lesquelles
on peut citer la lévitation électromagnétique, la déformation des
surfaces libres et de jets, l’effet de dôme dans les fours à creuset,
etc. À titre d’illustration, on donne ici deux exemples.
2.3.2 Décomposition spatiale des forces
B
En combinant F = J ∧ B et la relation (2) rot ------ = J , on trouve
µ
que la force F se décompose en deux termes :
1
2 1
F = – ------- ∇ B + --- ( B . ∇ ) B
µ
2µ
(24)
Le premier terme représente la force de pression magnétique et
contribue aux déformations des surfaces du matériau.
2.3.3.1 Déformation d’une surface plane par un conducteur
rectiligne
Un conducteur rectiligne parcouru par un courant alternatif de
valeur efficace I est placé à une distance d de la surface d’un métal
liquide (figure 21). La pression magnétique exerce un effet de creusement. En supposant que la surface libre n’est pas déformée pour
x infini, sa forme est définie par :
2 2
d I
1
z = ---------------------2 ----------------------------2
2 µρg π ( x 2 + d 2 )
Le second terme, à rotationnel non nul en général, est responsable du mouvement du fluide.
Considérons, sur la figure 20, un volume baigné dans une induction en surface Bs de module B0. Soit p la profondeur de pénétration. Le premier terme peut, en première approximation, s’écrire :
2
t tangente
Le creusement maximal obtenu sur l’axe a pour valeur :
2
I
z max = ---------------------------2 2
2 µρgd π
2
B
1 ∂B s
------- ------------- ≈ ------0- ,
µp
2µ ∂n
tandis que le second, toujours en première approximation s’écrit :
On utilise ce procédé pour empêcher un métal de couler (soudure
au plafond). En disposant plusieurs conducteurs de façon adéquate,
on peut réaliser des opérations destinées à obtenir des formes particulières lors de coulée de métal.
2
B
∂B
1
--- B s ------------s ≈ ------0 .
µ
∂t
µ<
Le rapport des deux composantes (déformation/mouvement) est
de l’ordre du rapport des longueurs < ⁄ p . Ce rapport est voisin de 1
lorsque la profondeur de peau p est de l’ordre des dimensions du
domaine, ce qui est le cas des basses fréquences. Il devient très
grand lorsque p devient faible devant < , c’est-à-dire pour les hautes
fréquences. Les effets de pression deviennent donc prépondérants
pour les fréquences élevées (lévitation, formage), alors que les
effets de mouvement sont importants à basse fréquence (brassage).
d
I
x
Métal liquide
z
Figure 21 – Déformation de la surface
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2.3.3.2 Effet de dôme dans les fours à creuset
L’effet répulsif des forces électromagnétiques entraîne un effet de
dôme dans les fours d’élaboration des métaux.
La hauteur de dôme peut être estimée à partir de l’induction par
la relation
2
Bs
h d = -------------2 µρg
où Bs est la valeur efficace de l’induction en surface et g l’accélération de la pesanteur.
Exemple : pour un lingot d’acier fondu (ρ = 7 200 kg/m3 et µr = 1)
placé dans une induction Bs = 5.10–2 T, la hauteur de dôme est
hd = 14 mm.
On peut également exprimer hd à partir du champ magnétique
par
–8
6, 4 ⋅ 10
2
h d = -------------------------- H s ,
ρ
ou à partir de la puissance spécifique Ps = P/S [cf.(§ 2.1.5)] par :
h d = 3, 2 ⋅ 10
–5
Ps
-----ρ
σ
--- .
f
Le développement des méthodes numériques (différences finies,
volumes finis, éléments finis, intégrales de frontière, etc.) est
heureusement accompagné par les avancées du matériel informatique. Des programmes qui nécessitaient autrefois des calculateurs
complexes et onéreux tournent à présent sur les PC d’un coût
modeste. Cela a contribué à faciliter la mise au point de logiciels
performants dont on cite quelques exemples français, comme
FLUX2D, FLUX3D, PHI3D de CEDRAT, FLUXEXPERT de DT2I, ainsi
que l’émergence de logiciels dédiés développés dans les laboratoires spécialisés. D’autres concepteurs étrangers proposent des
logiciels utilisant une méthode particulière [souvent la méthode des
éléments finis (MEF)] et comportant des modules permettant de
traiter des problèmes physiques de nature différente (mécanique,
thermique, électromagnétique, mécanique des fluides etc. ). Dans
ce cas, l’utilisateur n’a pas le choix de la formulation et doit
s’adapter à celle existant. À lui de connaître les avantages et
inconvénients de chacune des formulations et méthodes possibles.
C’est pourquoi la tendance future est de réaliser des progiciels
capables de choisir la meilleure méthode en fonction des spécificités du problème posé et des données fournies par l’utilisateur, et
de lui fournir la possibilité de traiter le problème du chauffage par
induction dans son intégralité. L’ingénieur aura alors en main un
excellent d’outil d’aide à la décision et de conception assistée par
ordinateur (CAO), et pourra se consacrer aux données physiques de
son problème en étant déchargé de la technique de résolution
numérique des équations.
2.3.4 Mise en mouvement d’un fluide
Les forces électromagnétiques entraînent un effet d’écoulement
lorsqu’il y a variation spatiale du champ magnétique dans le
domaine liquide. Il s’agit là d’un domaine très spécialisé de la MHD
(magnéto-hydro-dynamique) qui nécessite souvent une approche
numérique difficile. Signalons simplement quelques résultats
simples :
— la convection naturelle (d’origine thermique) est négligeable
dans les métaux ;
— la mise en mouvement d’un liquide peut être estimée, dans
une première approche, par la vitesse d’Alfvèn UA définie par la
relation :
B0
U A = ----------,
µρ
où B0 est la valeur maximale de l’induction.
En fait, on peut, dans la plupart des cas, considérer que la vitesse
réelle est égale à celle d’Alfvèn corrigée d’un facteur de l’ordre de
0,3 ou 0,4.
3. Modélisation numérique
des phénomènes couplés
3.1 Généralités
La complexité des phénomènes entrant en jeu dans le chauffage
par induction a imposé de recourir aux méthodes numériques pour
permettre le dimensionnement des installations. La maîtrise des
techniques de résolution des équations aux dérivées partielles
couplées (électromagnétisme, thermique, mécanique des fluides,
etc.) a fait de nombreux et spectaculaires progrès. Un arsenal de
méthodes numériques a été développé pour adapter la meilleure au
type de problème à résoudre. Ainsi, par exemple, le chauffage d’un
matériau amagnétique en haute fréquence ne se traite pas comme
celui d’un lopin d’acier en sidérurgie.
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3.2 Diverses méthodes numériques
de résolution
Elles consistent toutes à transformer la ou les équations aux dérivées partielles (EDP) en un système d’équations algébriques dont la
solution donne les valeurs des grandeurs recherchées. On propose
ici un aperçu de ces méthodes. D’une façon générale, un système de
chauffage par induction se compose de trois domaines interconnectés qui sont :
— l’inducteur (en général un conducteur en cuivre) ;
— le corps à chauffer, de géométrie plus ou moins complexe et
constitué d’un matériau solide, liquide ou gazeux aux propriétés
souvent non linéaires ;
— l’espace entourant l’ensemble.
La ou les méthodes de résolution mises en jeu sont fortement
dépendantes des résultats recherchés.
3.2.1 Méthodes des éléments finis (MEF)
La méthode consiste à mailler l’espace en régions élémentaires
dans lesquelles on représente la grandeur recherchée X par une
approximation polynomiale. Le maillage peut être constitué de
triangles ou de rectangles aux sommets desquels on recherche les
valeurs de X en supposant que, dans ce domaine, X varie linéairement en fonction des coordonnées. Une telle méthode nécessite
donc de mailler tout l’espace étudié (y compris l’espace environnant).
Elle conduit à des tailles importantes pour la mémoire des calculateurs et à des temps de calcul longs qui nécessitent souvent des
stations de travail pour la résolution des problèmes industriels.
3.2.2 Méthode des intégrales de frontière
Elle est très utile lorsque le matériau est homogène et linéaire.
Elle ramène le traitement de l’EDP dans l’ensemble du matériau à
celui limité à la frontière du domaine. Ne nécessitant pas le maillage
volumique ni du matériau ni de l’espace, elle est « économique » en
taille mémoire et temps de calcul. Elle est souvent couplée à la MEF.
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3.2.3 Méthode des différences finies (MDF)
et des volumes finis (MVF)
La fonction recherchée est calculée à partir d’un développement
en série de Taylor aux nœuds d’un maillage (MDF) ou dans des
volumes élémentaires entourant les nœuds (MVF). L’EDP est ainsi
transformée en équation algébrique à chacun des nœuds ou intégrée dans chacun des volumes élémentaires.
Ces méthodes s’adaptent mal à des géométries complexes et aux
non-linéarités des propriétés des matériaux.
3.2.4 Méthode intégrale (MI) et méthode
des circuits couplés (MCC)
Ces deux méthodes sont utiles si on s’intéresse plus particulièrement aux problèmes électriques du système.
Pour la MI, la solution de l’EDP est trouvée sous la forme d’une
expression intégrale (par exemple loi de Biot et Savart pour le calcul
de l’induction). Cette méthode permet de calculer l’impédance d’un
système.
La MCC consiste à subdiviser l’inducteur et l’induit en spires
élémentaires. Par application des lois de Kirchhoff à ces circuits
élémentaires, on peut calculer la distribution des courants. Lorsque
la profondeur de pénétration est très faible (c’est par exemple le cas
pour le cuivre de l’inducteur), seule la surface des spires est subdivisée.
3.3 Algorithmes de couplage
placée dans l’inducteur, il faut mettre en place le générateur capable
de fournir ces grandeurs électriques à l’inducteur. Celui-ci apparaît
aux bornes du générateur comme une impédance qui doit être
correctement adaptée à celle du générateur.
Nous supposerons toujours dans ce qui suit que le régime
électrique est alternatif sinusoïdal.
4.1 Système inducteur-charge
4.1.1 Présentation
Considérons une pièce à chauffer placée dans un inducteur de N
spires parcourues par un courant. L’ensemble inducteur et charge
forme le circuit électrique représenté sur la figure 22. L’inducteur et
la charge sont équivalents chacun à une résistance et une inductance en série. L’espace entre inducteur et charge (entrefer), qui
n’est le siège d’aucune puissance active, équivaut à une inductance
pure. Le système inducteur-charge apparaît donc comme une résistance R = Rc + Ri associée à une inductance L = Li + Le + Lc.
On donne ici quelques valeurs classiques d’inductance de
l’inducteur :
— solénoïde de section S et de longueur h grande devant le diamètre d :
N 2S
L ( en H ) = µ 0 ----------- ;
h
— solénoïde court monocouche :
2 2
Comme on l’a dit, les EDP à résoudre sont couplées entre elles par
l’intermédiaire de certains termes. La température est en premier
lieu une grandeur intervenant dans les diverses EDP par le biais des
propriétés des matériaux (capacité thermique massique, masse
volumique, résistivité électrique, perméabilité magnétique, viscosité etc.). Par ailleurs, certains termes d’une EDP sont solution d’une
autre EDP. Par exemple, dans l’équation de la chaleur, le terme
source provient de l’équation électromagnétique. On peut ainsi
schématiser les couplages sous deux formes principales.
3.3.1 Couplage direct ou fort
Il consiste à résoudre simultanément les EDP. Bien que, en
général, le nombre d’itérations soit important, c’est le type de
couplage préféré.
3.3.2 Couplage alterné ou faible
Chacune des EDP est résolue séparément, ce qui impose le transfert des résultats d’une EDP sur l’autre. Cela demande, en général,
l’écriture d’un programme spécialisé, la « surveillance » des pas de
temps utilisés pour chaque résolution et pose des problèmes
d’interpolation lorsque les maillages des problèmes sont différents.
4. Électronique
de l’installation
Une fois définies la fréquence et les puissances active et réactive
nécessaires pour réaliser l’opération de chauffage de la charge
39, 5 N d
L ( en µH ) = --------------------------- ;
9 d + 10 h
— ou encore :
2
N S 1
L ( en H ) = µ 0 -------------- ---- ,
h K
d
K = 1 + 0, 44 --- .
h
avec
Dans l’inducteur et la charge se développent des puissances
actives (Pi et Pc) et réactives (Qi et Qc).
L’entrefer, dans lequel règne le champ magnétique, est également « consommateur » de puissance réactive (magnétisante) dont
la valeur est donnée par :
2
Q e = 2π f µ 0 H 9
où 9 est le volume de l’entrefer.
En général, Qe représente une part très importante de la puissance réactive à fournir. On comprend bien ainsi que cet entrefer
doive être réduit à sa plus juste valeur compatible avec le fonctionnement du système.
Alimenté à la fréquence définie pour le chauffage par induction,
cet inducteur apparaît toujours comme une impédance dont la réactance Lω peut être très grande devant la résistance R. Il constitue
une charge de mauvais cos ϕ.
Ri + Li
(inducteur)
Le
(entrefer)
Rc + L c
(charge)
Figure 22 – Schéma équivalent de l’inducteur et de la charge
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Son coefficient de qualité défini par
● Si le matériau est magnétique, on combine l’expression précédente avec celles donnant pc [relation (8)] et µc (§ 2.1.4) soit :
Lω
Q = ------R
1
---
est en général grand (5 ; 10, jusqu’à 25) et le déphasage entre courant
et tension de l’inducteur peut souvent être proche de 90°.
Les valeurs de tension et courant relatives à l’inducteur peuvent
être obtenues, dans une première approche, de la façon donnée aux
paragraphes 4.1.2 et 4.1.3.
2
1
p c =  ------------------ 
πfσ c µ c
et
2, 3
µ c = --------- ,
Hs
ce qui conduit à :
4.1.2 Calcul des ampères-tours N I de l’inducteur
2⁄3
σ
P c ------c
f
H s = 0, 517 -----------------FS
D’après le théorème d’Ampère appliqué à l’inducteur, on sait que
le champ magnétique H et le courant inducteur I sont liés par :
H < = αN I
où < et N sont la longueur et le nombre de spires de l’inducteur.
Le coefficient α, inférieur à 1, dépend des dimensions respectives
de la charge et de l’inducteur.
On donne à titre d’exemple (figure 23), les valeurs de α pour une
charge cylindrique de diamètre D et de longueur < , placée dans un
inducteur solénoïdal de même longueur et de diamètre d.
■ Par ailleurs, le champ magnétique Hs est connu à partir de la
puissance active dans la charge Pc, par la relation (§ 2.1.5) :
2
H sSF
P c = --------------.
σ cp c
Si la charge n’est pas magnétique, on utilise la relation précédente avec µr = 1, ce qui conduit à :
●
σ
P c ------c
f
H s = 22, 4 ------------------- .
FS
■ En général, le coefficient F n’est pas connu. Dans un premier
temps, on prend F = 1, et on calcule Hs, µc et pc.
À partir de pc, on peut obtenir F d’après les abaques figures 4, 8
et 10 donnant F en fonction de m = D/pc. Si la valeur de F est différente de celle choisie a priori, on reprend le calcul avec la nouvelle
valeur de F jusqu’à convergence.
On obtient ainsi la valeur du champ magnétique Hs et donc celle
des ampères-tours N I de l’inducteur.
4.1.3 Calcul de la puissance apparente
de l’inducteur
Elle est obtenue à partir du bilan des puissances totales que l’on
tire du paragraphe 4.1.1, c’est-à-dire par la puissance active totale
Pt = Pc + Pi
et la puissance réactive totale
Qt = Qc + Qi + Qe.
La puissance apparente totale est alors donnée par :
St =
α
1
d /, = 0,2
2
d /, = 0,4
0,7
0,6
2
Pt + Q t .
Elle est par ailleurs égale à V I, où V et I sont la tension et le courant
de l’inducteur. On dispose ainsi des ampères-tours N I et de la puissance apparente V I. En général, le nombre de spires de l’inducteur
est imposé par la géométrie du système, ce qui définit les valeurs de
V et de I.
d /, = 0
0,9
0,8
.
4.2 Circuit oscillant
d /, = 0,6
d /, = 0,8
0,5
4.2.1 Principe
d /, = 1
0,4
Pour fournir à l’inducteur la puissance réactive demandée, on
intercale entre le générateur et l’inducteur un système formant, avec
ce dernier, un circuit oscillant. L’inducteur apparaissant comme une
inductance L, il convient de lui associer une capacité C.
0,3
0,2
La fréquence d’oscillation du générateur peut être fixe (cas des
convertisseurs rotatifs à vitesse fixe ou 50 Hz pour une alimentation
par le réseau), ou fixée par le choix du condensateur à partir de la
résonance du circuit LC.
0,1
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
D /d
Figure 23 – Valeur du coefficient a pour une charge cylindrique
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■ Dans le premier cas (fréquence constante), C sert à relever le
cos ϕ de l’installation. Lors de toute variation de la charge (sous
l’effet de la température par exemple), on est amené à modifier les
valeurs de C pour ajuster la puissance réactive.
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■ Dans le second cas (condensateur C constant), les variations de
la charge s’accompagnent d’une variation de la fréquence de résonance, ce qui impose une variation de la fréquence d’oscillation du
générateur.
À la résonance, Z est maximal en module.
Un cas simple (fréquent en chauffage par induction) est celui où
la résistance R de l’inducteur est faible devant sa réactance Lω.
Dans ces conditions, on peut dire que si la condition de résonance
(1 – LCω 2 = 0) est vérifiée, on a
L
Z = -------- = R e .
RC
4.2.2 Montages
4.2.2.1 Montage série
Le condensateur est placé en série avec l’inducteur (figure 24).
Un tel circuit résonne à la fréquence
1
f 0 = ------------------- ,
2π LC
4.2.2.3 Comparaison de ces deux schémas
On tire les conclusions suivantes de la comparaison des
montages.
pour laquelle l’impédance
2
1 2
R +  Lω – --------
Cω
Z =
L’impédance du circuit est alors réelle (Re). Le courant fourni par
le générateur (Ig) est minimal, en phase avec la tension et égal à
Vg / Re. Le courant dans l’inducteur I a pour valeur Q Ig. Il est très
important par rapport au courant du générateur.
■ Générateur : dans les deux cas, à la résonance, il débite sur une
résistance pure.
■ Montage série
se réduit à R.
Le courant dans l’inducteur
Le courant est maximal, en phase avec la tension du générateur
Vg et égal à Vg/R.
Lω
La tension aux bornes de l’inducteur est égale à QVg ( Q = ----------0
R
étant la valeur du coefficient de qualité), et donc très supérieure à
Vg .
4.2.2.2 Montage parallèle
La résonance a toujours lieu sensiblement pour la fréquence
1
f 0 = ------------------- .
2π LC
L’impédance complexe de l’ensemble inducteur-capacité (figure 25)
est :
(I = Vg/R)
est fourni intégralement par le générateur. Il traverse le condensateur et les liaisons électriques, ce qui entraîne une chute de tension
et des pertes en ligne importantes.
Les tensions aux bornes de l’inducteur (QVg) comme de la capacité sont fortes par rapport à celle du générateur Vg .
Un tel montage s’applique naturellement aux cas des faibles puissances et en haute fréquence, car l’impédance de l’inducteur est
alors élevée (elle vaut environ Lω ), ce qui nécessite une forte
tension.
■ Le courant dans l’inducteur I est fourni pour sa (faible) part
active (Vg/Re) par le générateur et pour sa (forte) part réactive par le
condensateur. Du fait que le courant du générateur est faible (I/Q ),
il y a moins de pertes en ligne.
La tension aux bornes de l’inducteur est celle du générateur Vg.
Un tel montage s’applique au cas des fortes puissances et aux
fréquences basses ou moyennes pour lesquelles l’impédance de
l’inducteur ne demande pas une forte tension.
R + j Lω
Z = --------------------------------------------2
1 – LCω + j RCω
soit
2
Z =
2
R + ( Lω )
-----------------------------------------------------------2 2
2
( 1 – LCω ) + ( RCω )
4.2.3 Adaptation d’impédance
Quel que soit le montage utilisé, il faut ajuster l’impédance du
circuit résonnant (R ou Re selon le montage) à celle du générateur
(Rn), pour que le générateur puisse délivrer sa puissance nominale.
Si Vn et Pn sont la tension et la puissance nominale du générateur,
on a :
2
I
C
Vn
R n = --------.
Pn
R+L
Vg
L’adaptation à Rn peut se faire par interposition soit d’un transformateur, soit d’un pont capacitif élévateur.
Figure 24 – Circuit série
4.2.3.1 Adaptation par transformateur
L’impédance de la charge d’un transformateur (Zc ) ramenée au
primaire du transformateur a pour valeur
Vg
Figure 25 – Circuit parallèle
Z ′c = k Z c
2
Ic
Ig
C
R+L
I
k étant le rapport de transformation défini par le rapport des
tensions primaire et secondaire. L’insertion du transformateur dans
le circuit se traduit souvent par une variation de la fréquence
d’oscillation, car le transformateur introduit une inductance parasite
supplémentaire et il convient donc d’en tenir compte pour chaque
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type de montage possible. La détermination de k dépend du type de
montage employé.
■ Montage série
Ig
Il est représenté sur la figure 26.
L’impédance de l’inducteur ramenée au primaire est composée
d’une résistance k 2R et d’une inductance k 2 L.
Cs
R+L
Vc
Vi
Cp
■ Montage en parallèle
Vg
Deux montages sont possibles et sont représentés sur la
figure 27.
● Dans le premier cas (montage aval), le transformateur doit
véhiculer toute la puissance apparente (active et réactive). Il doit
donc être dimensionné pour la puissance apparente de la charge, ce
qui nécessite un surdimensionnement de ses éléments par rapport
au cas suivant.
● Dans le second cas (montage amont), il ne transporte que la
puissance active et est donc plus petit.
● La valeur du condensateur, avec Q puissance réactive demandée par l’inducteur, est donnée par
Q
C = ------------2
ωV c
Figure 28 – Pont capacitif élévateur de tension
Son schéma de principe est indiqué sur la figure 28. Soit C la
valeur théorique du condensateur donnant avec l’inductance L de la
charge, une résonance d’oscillation à la fréquence choisie f0 et telle
1
que f 0 = ------------------- . En choisissant
2π LC
Cp = nC
et
n
C s = ------------- C
n–1
avec V c tension aux bornes du condensateur.
Dans le premier cas, C supporte la tension du générateur, alors
que, dans le second, C ’ supporte la tension Vg/k.
Par exemple, dans le cas où le transformateur est abaisseur
(k > 1), comme c’est souvent le cas en basse et moyenne fréquence,
le montage aval conduit à choisir un condensateur C plus petit que
celui (C ’) qui serait nécessaire pour un montage amont.
Le choix du montage résulte donc de considérations économiques, ainsi que de considérations électriques liées à la structure du générateur employé.
on obtient, à la résonance, une impédance du pont Zp telle que :
Z
Z p = ------2c
n
avec
L
Z c = -------- = R e
RC
La tension aux bornes de l’inducteur est
Vi = nVg
4.2.3.2 Adaptation d’impédance par pont capacitif
élévateur
Le générateur ne débite que la puissance active nécessaire pour
l’impédance de charge Zc.
L’utilisation d’un transformateur pour adapter l’impédance se
heurte à des difficultés techniques lorsque les fréquences utilisées
deviennent importantes. Les culasses magnétiques en tôles d’acier
magnétique ne fonctionnent que jusqu’à 10 kHz. Au delà, il faut
employer des ferrites dont la mise en œuvre est plus délicate.
Actuellement, les fréquences maximales permettant d’utiliser un
transformateur de puissance sont de l’ordre de 100 kHz. Encore les
pertes qui s’y développent commencent-elles à être prohibitives, ce
qui nécessite un refroidissement énergique du circuit magnétique.
Pour des fréquences plus élevées, on peut utiliser un pont capacitif.
Exemple : soit un inducteur d’inductance et de résistance en
charge L = 0,58 µH et R = 54 mΩ.
La fréquence de travail choisie est 346 kHz. L’impédance nominale
du générateur est Zn = 10 Ω.
La mise en parallèle de l’inducteur et d’un condensateur conduit à
choisir :
1
C = --------------------------- = 365 nF .
2
L ( 2π f )
L’impédance équivalente, vue du générateur est alors
L
R e = ------RC = 30Ω ,
C
très supérieure à la valeur nominale du générateur Zn ( = 10 Ω).
Pour ajuster Re à Zn, on constitue un pont capacitif de rapport n tel
R+L
Figure 26 – Transformateur en série avec un condensateur
que n =
R
------e =
Zn
3.
Les condensateurs constituant le pont ont pour valeur :
C p = C 3 = 632 nF
Vg
C
R+L
a montage aval
Vg
C'
R+L
b montage amont
Figure 27 – Transformateur en parallèle avec un condensateur
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et
3
C s = ----------------- = 864 nF
3 –1
La tension aux bornes de l’inducteur est 1,73 fois celle du générateur.
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L’analyse du pont élévateur montre qu’il existe ainsi deux
fréquences de résonance correspondant l’une au circuit série
(L + Cs) et l’autre au circuit parallèle Cp. Si Q est le facteur de surtension de l’inducteur (Q = Lω0/R), les pulsations série (ωs) et parallèle
(ωp) sont définies par les relations suivantes :
2
2n(2n – 1) n 

1 – ---------------------------- + -------4 

2
1
Q
Q
1
2
2 
ω s = ω 0  1 – ------- – -----------2 + --------------------------------------------------------- 
2n
2n 2Q




4.3.1.2 Forte puissance. Pont de Steinmetz
On doit alimenter l'inducteur à partir du réseau triphasé. Un
montage classique est celui du pont de Steinmetz. Celui-ci est
constitué entre phases (S, R, T) de l'inducteur et de sa capacité C de
compensation, d'une inductance L’ et d'une capacité C ’ servant à
l'équilibrage des phases.
La figure 30 indique le montage. Si le condensateur C est bien
ajusté, le courant JST est en phase avec la tension UST. Les courants
JTR et JRS sont en quadrature avant et arrière par rapport aux
tensions UTR et URS.
Les courants de ligne sont donnés à partir de
et
I S = J ST – J RS
2
2n(2n – 1) n 

- + -------4 
1 – ---------------------------
2
Q
Q
1
1
2
2 
ω p = ω 0  1 – ------- – -----------2 – --------------------------------------------------------- 
2n
2n 2Q




Lorsque la résistance apparente de l’inducteur R est très petite
(Q grand), ces deux fréquences sont pratiquement confondues.
Lorsque R croît, ces deux fréquences se décalent, ce qui impose de
bien les contrôler pour éviter tout mauvais fonctionnement.
Il existe également une valeur critique de R au-delà de laquelle il
n’y a plus d’oscillations. Cette résistance critique RC est caractéristique du coefficient n du pont. Elle s’exprime par
IT et IR étant obtenus par permutation circulaire. Les trois courants
de ligne sont équilibrés, si la condition suivante est réalisée :
J ST
J RS = J TR = -------------,
3
et l’on a J RS = J TR si
1
L ′ ω = ---------C ′ω
Les trois courants de ligne IR, IS et IT ont alors pour valeur :
J ST
I = -------------.
3
La puissance active consommée au réseau est :
L
2
---- [ 2 n – 1 – ( 2 n – 1 ) – 1 ] .
C
RC =
P = U ST J ST =
Le coefficient de surtension critique qui en découle est donné
par :
n [2n – 1 + 2 n(n – 1)] .
QC =
Exemple : avec les valeurs numériques précédentes, on trouve :
— une résistance critique : Rc = 580 mΩ ;
— un coefficient de surtension critique : Qc = 2,86.
3UI
et les puissances réactives dans l'inductance et la capacité d’équilibrage sont :
P
Q L ′ = U RS J RS = Q C ′ = U TR J TR = ------- .
3
Exemple : avec les puissances suivantes dans l’inducteur :
P = 260 kW et Q = 392 kVAR
et la tension U = 380 V, le courant du réseau a pour valeur
260 000
I = ---------------------------- = 395A .
3 × 380
C’est aussi le courant dans L’ et C ’.
Les puissances réactives mises en jeu dans L’ et C’ sont :
QL’ = QC’ = 150 kvar.
4.3 Alimentation électrique
4.3.1 Alimentation à 50 Hz
À partir du réseau électrique à 50 Hz, on peut distinguer deux
montages selon les puissances (faible ou forte) mises en jeu.
On a aussi pour les autres courants :
J ST = I S
3 = 684 A ,
et dans la capacité de compensation :
4.3.1.1 Faible puissance
Dans ce cas, l'inducteur est alimenté en monophasé par le réseau
(figure 29a), directement ou à travers un transformateur. Le cos ϕ
d’une telle installation est en général très mauvais. Le rétablissement du déphasage se fait par des condensateurs placés en série ou
en parallèle sur l’inducteur.
La figure 29b donne le diagramme de Fresnel des courants pour
un montage parallèle.
392 000
I C = --------------------- = 1032A ,
380
d’où dans l’inducteur :
2
2
I B = 684 + 1032 = 1238 A .
On remarque que le courant consommé au réseau (395 A) est très
sensiblement inférieur à celui passant dans l’inducteur (1238 A).
S
IR
Réseau
C
L'
α
IC
Inducteur
IB
IB
IC
b diagramme de Fresnel
des courants
Figure 29 – Alimentation monophasée de faible puissance
JRS
R
C
Inducteur
JTR
T
IT
Figure 30 – Schéma du pont de Steinmetz
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IB
IR
C'
a schéma avec condensateur
en parallèle
IC
JST
IS
IR
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Transformateur
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Coffret
Inducteur
d'adaptation (L + R)
Redresseur
Onduleur
Filtre
Commande
Figure 31 – Schéma de principe d’un générateur à induction
4.3.2 Alimentation à fréquence supérieure à 50 Hz
Dès que la profondeur de pénétration l'exige, la fréquence doit
être supérieure à 50 Hz. Dans ce cas, il faut utiliser un convertisseur
générant cette fréquence à partir du réseau. On distingue plusieurs
sortes de générateurs dont le principe est rappelé ci-après.
4.3.2.1 Convertisseurs rotatifs
L’association en parallèle de plusieurs composants est relativement simple, ce qui conduit à des modules allant jusqu'à plusieurs
centaines d’ampères. Les puissances maximales n’excèdent pas
quelques centaines de kilowatts.
● Au-delà de 100 kHz : les seuls semi-conducteurs utilisables sont
les transistors MOS. Les fréquences les plus élevées sont actuellement de 400 kHz, mais on peut penser que cette limite sera rapidement doublée. Les tensions sont couramment de 500 V et peuvent
atteindre 800 V pour des fréquences inférieures à la valeur précédente.
Les puissances fournies n’excèdent pas quelques centaines de
kilowatts pour les fréquences les plus élevées. Le rendement de ces
générateurs est en général très bon ( > 90 %), les pertes dues aux
semi-conducteurs étant très limitées. De ce fait, la tendance est de
les utiliser pour des fréquences de plus en plus élevées.
La figure 32 donne un résumé de ces considérations [7].
Ce sont des alternateurs entraînés par un moteur tournant à
vitesse fixe et délivrant une fréquence fixe en général limitée à
10 kHz. De ce fait, la résonance avec des charges d’inductances
différentes impose l’utilisation d’une batterie de condensateurs
ajustables. La tension du générateur est facilement réglée par l’excitation de la machine. Ces groupes convertisseurs sont des ensembles monoblocs à axe vertical refroidis à eau. Leur rendement global
est compris entre 75 % et 85 % selon la fréquence délivrée.
D’un maniement aisé, d’un rendement très acceptable, ils sont
cependant peu à peu délaissés au profit des convertisseurs statiques.
4.3.2.2 Convertisseurs statiques
Leur principe est donné par la figure 31. La tension du réseau est
ajustée, puis redressée de façon à obtenir une grandeur continue,
puis découpée à la fréquence voulue pour alimenter l'inducteur
formant ainsi un onduleur. L’inducteur est associé à une capacité de
façon à former un circuit accordé à la fréquence cherchée. Cette
résonance est détectée et sert, grâce au circuit de commande, à
piloter l’onduleur. La fréquence de fonctionnement est ainsi variable
et ajustée aux conditions de résonance de la charge. De
nombreuses variantes existent qu'on peut séparer en catégories
suivant la nature des composants et celle du circuit accordé. Selon
les fréquences délivrées, les générateurs utilisent comme interrupteurs soit des semi-conducteurs, soit des tubes électroniques.
4.4 Convertisseurs statiques
à semi-conducteurs
(basse et moyenne fréquence)
4.4.1 Zones d’utilisation
Les composants constituant les interrupteurs de l’onduleur sont à
base de semi-conducteurs.
■ Bien que les limites indiquées ci-après soient susceptibles de
changement en fonction des progrès accomplis dans la fabrication
des composants, on distinguera les zones suivantes.
● Jusqu'à 1 kHz et quelques mégawatts : le thyristor et le GTO
(thyristor blocable par la gâchette) sont utilisés.
● Jusqu’à 20 kHz : les générateurs emploient classiquement les
thyristors rapides. Les appareils correspondants couvrent une
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gamme très étendue de puissance, depuis quelques kilowatts
jusqu’à plusieurs centaines de kilowatts ;
● Entre 10 kHz et 100 kHz : les générateurs utilisent des transistors IGBT (Insulated Gate Bipolar Transistor). Ce composant
s’impose progressivement en milieu de gamme. Constitué sous
forme de puces élémentaires, il supporte des tensions supérieures à
2 000 V pour les plus puissantes. Les vitesses de commutation sont
excellentes.
■ En général les onduleurs sont constitués de quatre interrupteurs
et les montages du circuit oscillant sont en série ou en parallèle.
Chacun de ces montages présente des inconvénients et des avantages. Il semble actuellement que la préférence aille au montage
parallèle pour les générateurs de forte puissance.
4.4.2 Onduleur de tension
L’inducteur est en série avec le condensateur C (figure 33). La
source E fournit la tension continue réglable grâce à un redresseur
à thyristors ou à diodes filtré avec hacheur à MLI (modulation de
largeur d’impulsion).
La tension continue est appliquée au circuit RLC série, par la
fermeture simultanée des interrupteurs T1 et T2 (T3 et T4 étant
ouverts), puis par la fermeture simultanée des interrupteurs T3 et T4
(T1 et T2 étant ouverts).
Du fait de la forte sélectivité du circuit série, le courant I qui circule
est quasi sinusoïdal, la tension U étant constituée de créneaux
rectangulaires de valeur ± E. La puissance est réglée à partir de la
tension continue.
4.4.3 Onduleur de courant
L’inducteur est ici en parallèle avec le condensateur (figure 34). La
source continue réglable est une source de courant obtenue comme
précédemment mais avec une forte inductance de lissage. Ce
courant circule de façon alternative dans le circuit par ouverture des
interrupteurs T’1 et T’2 puis T’3 et T’4, selon le même processus que
précédemment (§ 4.4.2). Du fait de la forte sélectivité du circuit
parallèle, la tension qui apparaît aux bornes du circuit est quasi
sinusoïdale. La puissance est réglée à partir de la source de courant
continu.
Ce type d’onduleur nécessite un système de démarrage permettant d’établir le courant continu. La figure 35 montre le principe
d’un tel circuit de démarrage. À la fermeture des interrupteurs K1 et
K2, le courant s’établit dans l’inductance de lissage Ld, le courant Id
étant nul. La commande des interrupteurs T permet d’établir le
courant dans l’onduleur, K1 étant alors ouvert. Le circuit rd,Cd limite
la variation de tension lors de l’ouverture de K1 et la présence de Rd
limite la valeur de la tension en cas d’échec du démarrage (les
quatre interrupteurs T restant ouverts). Si le démarrage est réussi,
K2 est alors ouvert.
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10 MW
Puissance
Fusion
5 MW
Thyristors
Tubes à vide
Billette
(petite sidérurgie)
2 MW
Fusion
1 MW
MOS
Bandes
IGBT
500 kW
Réacteur
chimique
Forge
Traitement
thermique
200 kW
Bipolaires
Réacteur
chimique
Soudage
tubes
100 kW
50 kW
20 kW
10 kW
50 Hz 100 Hz
1 000 Hz
10 kHz
50 kHz 100 kHz
500 kHz
1 MHz
Fréquence
Figure 32 – Chauffage par induction : les composants de puissance et leurs applications [7]
T1
U
I
E
T3
+
Ld
Id
I
Cd
L+R
C
T4
K1
Rd
T'1
Charge
L
R
T'3
rd
T2
I1
Figure 33 – Onduleur de tension
K2
T'4
T'2
C
–
Figure 35 – Circuit de démarrage d’un onduleur de courant
Is
T'1
T'3
C
I
T'4
Figure 34 – Onduleur de courant
4.5 Générateurs à tube (haute fréquence)
U
L+R
T'2
L’usage de semi-conducteurs à haute fréquence se heurte aux
difficultés de commutation de ces composants. En effet, à chaque
commutation, le composant supporte la puissance V I et on considère qu’on ne peut le faire fonctionner correctement sans échauffement que si la durée de commutation est inférieure à 1 % de sa
période de récurrence.
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Un composant qui commute en 1 µs ne peut ainsi fonctionner
qu’à une fréquence inférieure à 10 kHz (T = 100 µs). Au-delà de
400 kHz (actuellement!), la commutation des semi-conducteurs est
impossible pour des puissances importantes.
Ld
Cd
C1
■ Les générateurs utilisent alors un seul tube électronique (triode
ou tétrode à vide) comme interrupteur (figure 36) et fonctionnent en
amplificateurs de classe C (régime pulsé). Une part de la tension
d’oscillation de l’anode A est réinjectée en opposition de phase dans
le circuit de grille G du tube assurant ainsi une oscillation accordée
à la résonance de la charge (auto-oscillation).
■ Il existe de nombreux types de montages oscillateurs dont on
donne deux exemples classiques.
● Le premier correspond à une réaction par transformateur de
grille (figure 37). Une partie de la tension sinusoïdale de l’anode est
réinjectée en opposition de phase sur la grille. Du fait de la présence
du transformateur, les fréquences d’oscillation sont limitées par la
nature du circuit magnétique du transformateur.
● Le second montage, dit de Colpitts (figure 38), utilise un diviseur capacitif. Les fréquences produites ne sont plus limitées et on
trouve ce type de montage dans les applications nécessitant des fréquences supérieures à 200 kHz.
Ld
Cd
HT
A
G
K
Réaction
C
L
Circuit de
contre-réaction
Cd condensateur de découplage
Figure 36 – Schéma de principe d’un générateur à tube triode
Ld
Cd
L
C2
Figure 38 – Montage Colpitts
● Une variante intéressante de ce dernier montage est donnée
sur la figure 39. Le circuit oscillant présente un point milieu à la
masse. La tension de grille est prise entre C2 et C3. En choisissant les
valeurs des condensateurs telles que la valeur série de C2 + C3 soit
égale à C1, on symétrise le potentiel des deux extrémités de l’inducteur. Ce dernier a son point milieu à la masse. Ce montage se révèle
intéressant lorsqu’on veut que la charge soit portée au potentiel
zéro, comme, par exemple, dans le cas des plasmas d’induction.
Malgré leur souplesse de fonctionnement, les tubes à vide
présentent deux inconvénients majeurs :
— ils nécessitent une haute tension pour fonctionner (une
dizaine de kilowatts) ;
— leur rendement est au mieux d’environ 70 % (fonctionnement en classe C), ce qui affaiblit le rendement global.
Cela conduit à limiter l’utilisation de tels générateurs à certaines applications particulières de chauffage par induction, pour
des fréquences qui n’excèdent pas quelques mégahertz et des
puissances inférieures à quelques centaines de kilowatts (cas
des plasmas d’induction de moyenne puissance).
,
Anode
C1
Masse
L
C
C2
C
L+R
Grille
Figure 37 – Montage à réaction par transformateur de grille
C3
Figure 39 – Variante du montage Colpitts avec point milieu
à la masse
Références bibliographiques
[1]
FOURNET (G.). – Électromagnétisme à partir
des équations locales. Masson - 1985 - ISBN
2-225-80651-9
[3]
Collectif. – Induction, Conduction élastique
dans l’industrie. DOPEE 85-1996-ISBN 286995-022-5
[2]
METAXAS (A.-C.). – Foundations of electroheat. WILEY et SONS - 1986 - ISBN 0-47195644-9
[4]
Collectif. – Enseignement d’électrothermie.
DOPEE 85- 1987 -(p. 155-199) ISBN 2-86995005-5
D 5 935 − 22
[5]
Collectif. – Exercices d’électrothermie.
DOPEE 85 - 1991 - ISBN 2-85995-016-0
(p. 109-163)
[6]
DE VRIENDT (A.). – La transmission de la
chaleur. G. Morin - 1982 - ISBN 2-89105-104-1
[7]
Chauffage par induction. REE n° 4 oct. 1995
p. 95
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