TD n°1

TD n°1 : Physique des plasmas (session du 17/09/10)
Exercice 1 (variante du problème proposé en TD) :
Gaine de plasma, longueur de Debye et notion d’écrantage.
Un « demi-plasma » occupe initialement le demi-espace gauche ( x ≤ 0 ). Lorsqu’on laisse
les électrons se mouvoir, ils ont tendance à occuper l’espace situé à droite x > 0 de la
frontière initiale (interface plasma-vide) du fait de l’agitation thermique. Si on suppose
qu’une couche électronique d’épaisseur x se déplace d’une distance x, il se forme un
r
champ E au bord du plasma.
a) Que vaut le champ électrique
b) Que vaut l’énergie potentielle à la distance x ?
c) Pour quelle valeur de x cette énergie est égale à l’énergie thermique ?
Correction :
a) Le problème est unidimensionnel.
rr ρ
en
ne
dE
∇E =
⇒
=− e ⇒E= e x
ε0
dx
ε0
ε0
b) La force d’interaction dérive d’un potentiel.
r
ne e 2
ne e 2 2
F = −∇U p = −eE = −
x ⇒Up =
x
ε0
2ε 0
d) On en déduit la longueur de Debye :
Up =
ε k T
1
k B T ⇒ x 2 = 0 B2
2
ne e
λD =
ε 0 k BT
ne e 2
La longueur de Debye λ D est l’échelle spatiale caractérisant l’hypothèse de quasineutralité et les phénomènes d’écrantage électrique.
Exercice 4 :
Quasi-neutralité, fréquence plasma
Dans un plasma d’hydrogène infini homogène, la quasi-neutralité implique
que ne 0 = ni 0 = cste . Supposons qu’on établisse un défaut de quasi-neutralité sur une
couche infinie d’épaisseur L où à l’intérieur de la couche ( x < L / 2 ) on a
ne = 0, ni = ni 0 (Pour x > L / 2 , on a ne 0 = ni 0 .
a) Calculer le champ électrique maximal dans la couche. Calculer la différence de
potentiel entre x = 0 et x = L 2 . Application numérique : L = 1mm et ni 0 = 10 20 m −3 .
Commenter.
b) Ecrire l’équation du mouvement pour un électron de masse me se trouvant en
e 2 ni 0
.
2
ε 0 me
c) Nous allons effectuer le calcul complet de la fréquence plasma. Pour cela, on se place
dans le cadre de petites oscillations de plasma autour de l’équilibre sous la forme
d’ondes planes e i (ωt − kx ) . En utilisant les équations de quantité de mouvement, les
équations de continuité pour les électrons et les ions ainsi que l’équation de Poisson,
2
vous démontrerez que la fréquence plasma peut s’écrire sous la forme ω p2 = ω pe
+ ω pi2 .
x(t = 0) = L
avec une vitesse initiale nulle. Que représente le terme
Correction :
r
a) Le problème est symétrique par rapport à l’axe Oy et par conséquent le champ E est
nul sur cet axe. On obtient donc
rr ρ
ρ
∇E =
⇒ Ex =
x+c
ε0
ε0
E x ( x = 0) = 0 ⇒ c = 0 ⇒ E x =
en
ρ
x = i0 x
ε0
ε0
Calcul du potentiel électrique :
L/2
r
eni 0 L2
∆V = − ∫ Edl = − ∫ Edx = −
8ε 0
0
AN : ∆V = −2.26.10 5 V
On remarque que les grandeurs sont considérables pour une couche de seulement 1 mm
d’épaisseur. Ceci est dû à l’amplitude de la force électrique où, avec des densités de
charges relativement faible, on obtient des champs électriques énormes. Il est donc
difficilement imaginable d’avoir un plasma où les différences de potentiel sont à ce point
élevées et dans la mesure où le plasma est constitué d’électrons et ions il va évoluer
rapidement de manière à satisfaire à la quasi-neutralité.
b) L’équation du mouvement d’un électron soumis à la force de cette couche peut
s’écrire :
me
ni 0 e 2
d 2x
d 2x
=
F
=
−
eE
=
−
x
⇔
+ ω p x2 = 0
x
x
ε0
dt 2
dt 2
ωp =
ni 0 e 2
>0
me ε 0
Solution harmonique :
x(t ) = A cos(ω p t ) + B sin(ω p t )
Les conditions initiales nous donnent A = L / 2, B = 0
L
x(t ) = cos(ω p t )
2
La particule a donc un mouvement harmonique de fréquence f =
ωp
. Cette grandeur
2π
s’appelle la fréquence plasma électronique. L’onde correspondante (onde Langmuir) peut
se propager dans des plasmas non-magnétisés.
c) Calcul complet de la fréquence plasma :
Pour chaque espèce α :
rr ρ
∇E = α .( Poisson)
ε0
r
r
∂v
mα
= qα E.( Newton)
∂t
∂nα r
r
+ ∇(nα vα ) = 0.(Continuité )
∂t
Perturbation du système :
n = n0 + n1
v = v1
E = E1
Linéarisation :
rr
(n − Zni1 )e
∇E1 = − e1
ε0
r
r
∂v e1
me
= −eE1
∂t
r
r
∂vi1
mi
= ZeE1
∂t
∂ne1 r
r
+ ∇(ne 0 ve1 ) = 0
∂t
∂ni1 r
r
+ ∇(ni 0 vi1 ) = 0
∂t
r
r − eE1
 − e  r ne1 − Zni1
∂ 2 ne1
∂ 2 ne1
∇(−
+
∇
(
)
=
0
⇒
) = 0 (1)
n
+ ne 0 
e0
2
2
ε0
me
∂t
∂t
 me 
r
r ZeE1
 Ze  r ne1 − Zni1
∂ 2 ni1
∂ 2 ni1

∇(−
+
n
∇
(
)
=
0
⇒
+
n
) = 0 (2)
i
0
i
0
mi
ε0
∂t 2
∂t 2
 me 
En posant α = ne1 − Zni1 et en effectuant (1) – Z×(2) :
n e 0 e 2 ni 0 Z 2 e 2
∂ 2α
2
2
2
+ ω pα = 0 avec ω p = ω pe + ω pi =
+
ε 0 me
ε 0 mi
∂t 2
Exercice 2 : Mouvement d’une particule chargée
Partie 1 : Mouvement d’une particule chargée dans des champs E et B croisés uniformes
Considérons une particule de charge q soumise à un champ magnétique et à un champ électrique
r
constants et uniformes et perpendiculaires l’un à l’autre. On décompose la vitesse v de la particule
r r
r
r
suivant v = v D + vc , où v D est la vitesse de dérive électrique.
r
a) Montrer analytiquement, à partir de l’équation du mouvement, que vc représente le
mouvement qu’aurait la particule dans le champ magnétique seul.
Partie 2 : Mouvement d’une particule chargée dans un champ B statique et un champ E
variant lentement dans le temps
b) Considérons le mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique statique B
uniforme et constant, et dans un champ électrique E uniforme, dirigé perpendiculairement à B
r
et variant lentement dans le temps. Nous notons v , la vitesse de la particule.
c) Montrer
qu’en
exprimant
la
vitesse
r
v
selon
les
trois
vecteurs
vitesses
r
r r
r r
r
r
m ∂E
(dérive
suivants v = v D + vc + v P , où v D est la vitesse de dérive électrique et v P =
qB 2 ∂t
r
r
de polarisation), que vc et v P obéissent alors à l’équation du mouvement :
r
r
dv c
dv P
r r
m
+m
= q (v c × B )
dt
dt
d) Considérer que E(t) varie de façon périodique avec une pulsation ω . Montrer que si la
pulsation du champ ω est petite devant la pulsation de giration cyclotronique ω c , alors la
r
composante vc décrit le mouvement cyclotronique dans le champ B seul.
Correction (partie1) :
Equation du mouvement :
r
r
r r
dv
m
= q( E⊥ + v × B)
dt
r
r
r E⊥ × B
v=
B2
r
dv D
Or
= 0 car E et B constants.
dt
r
r
r
r
 E⊥ × B  r r r
dv c
 × B + vc × B)
m
= q ( E ⊥ + 
2

dt
 B 
r
dv c
r r
D’où finalement m
= q (v c × B )
dt
Il s’agit d’un mouvement d’une particule dans le seul champ magnétique.
Partie 2 : méthodologie similaire que partie 1.
Exercice 3 : Dérive gravitationnelle
Déterminer la densité de courant due à la dérive gravitationnelle des ions et des électrons de
l’ionosphère dans le champ magnétique terrestre à une altitude de 300 km. On supposera que le
vecteur induction magnétique B est perpendiculaire au champ gravitationnel terrestre.
La relation générale pour la force gravitationnelle s’exerçant entre la masse m et la masse M, séparées
d’une distance r est :
Fg = −
GMm
r2
Où G est la constante de gravitation universelle. Par définition à la surface de la terre (de masse M)
une masse m est soumise à la force :
GMm
= − g 0 m (R : rayon de la terre et M masse localisée au centre de la terre).
R2
AN : on considère des ions O+ de densité 1,8 × 1012 m −3 , densité égale à celle des électrons ;
Fgt = −
B = 1 gauss. Le rayon terrestre est
vaut g 0 = 9.8m.s −2 .
Correction : voir session TD
4 × 10 7
mètres et le champ de gravitation à la surface de la terre
2π