Chapitre-III Dynamique dans un référentiel non galiléen
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Chapitre-III Dynamique dans un référentiel non galiléen A- Changements de référentiels – Aspect Cinématique I. Introduction L’objet de ce paragraphe est d’établir, d’un point de vue cinématique, les lois permettant d’obtenir les expressions de la vitesse et de l’accélération dans un référentiel connaissant leur expression dans un autre référentiel et le mouvement du nouveau référentiel par rapport à l’ancien. Référentiel R’ Référentiel R Le référentiel absolu : Il s’agit du référentiel ! , considéré comme fixe, constitué du repère d’espace (O,i , j ,k ) auquel on lie une horloge qui mesure le temps. On notera (x,y,z ) les coordonnées du point matériel M et t le temps associé. Le référentiel relatif : Il s’agit du référentiel ! ', considéré comme mobile, constitué du repère d’espace (O’,i’ , j’ ,k’) auquel on lie une horloge qui mesure le temps. On notera (x ',y ',z ') les coordonnées du point matériel M et t le temps associé. Le temps étant absolu en mécanique classique, les deux horloges mesurent le même temps. Ces appellations sont formelles et n’ont pas de significations intrinsèques. Les deux référentiels jouent des rôles parfaitement symétriques, le seul point important est l’existence d’un mouvement relatif de l’un par rapport à l’autre. Le mouvement quelconque de R’ peut se décomposer de la manière suivante : - une translation du centre O’ (dans le référentiel R) : ce mouvement peut être quelconque (éventuellement suivre un cercle) 1 - une rotation des axes O’x, O’y’ et O’z’ (par rapport aux axes Ox, Oy et Oz) : La rotation de R’ par rapport à R est le changement de direction des seuls axes O’x, O’y’ et O’z’ par rapport aux axes Ox, Oy et Oz (sans rapport avec la trajectoire du point O’) Vecteur rotation instantané de R’ par rapport à R II. Définition Dans le cas d’une rotation des axes O’x, O’y’ et O’z’ par rapport aux axes Ox, Oy et Oz ( les origines O’ et O confondues), on définit le vecteur-rotation instantanée : = est la vitesse angulaire de rotation en rad/s le vecteur unitaire autour duquel se fait la rotation Exemple = , = , = , Dans le cas d’une rotation quelconque, on peut écrire le vecteur-rotation instantanée : = III. + + Dérivée dans le référentiel R d’un vecteur exprimé dans le référentiel R’ Soit £A un vecteur quelconque exprimé dans R’, on montre que la dérivée de £A dans le référentiel R est donnée par la formule : = + 2 La démonstration est effectuée en classe. Cette relation va permettre de donner des relations entre les vitesses relatives et absolues en remplaçant £A par le vecteur-position, puis dans un second temps entre les accélérations en remplaçant £A par les vecteurs vitesses. IV. Composition des mouvements Composition des vitesses a) Position du problème Soient R et R’ les deux référentiels précédemment définis. On note le vecteur-rotation instantanée de R’ par rapport à R. Soit M un point de masse m en déplacement par rapport aux référentiels R et R’. Nous allons utiliser les notations suivantes : Le référentiel absolu: Il s’agit du référentiel R, considéré comme fixe, constitué du repère d’espace ( , , On notera (x,y ,z ) les coordonnées du point matériel M dans R. Le référentiel relatif (mobile) : Il s’agit du référentiel R’, considéré comme mobile, constitué du repère d’espace ( , On notera (x ',y ',z ') les coordonnées du point matériel M dans R’. On notera aussi = la vitesse absolue de M dans R = la vitesse relative de M dans R’ = De même = = £a(M)/R l’accélération absolue de M dans R = = £a(M)/R’ l’accélération relative de M dans R’ = L’objet de ce paragraphe est d’établir, d’un point de vue cinématique, les lois permettant d’obtenir les expressions de la vitesse et de l’accélération dans un référentiel connaissant leur expression dans un référentiel mobile R’ et le mouvement du référentiel R’ par rapport à au fixe R. 1) Composition des vitesses le vecteur-position exprimé dans le référentiel relatif R’ Soit + ’+ = = + = + 3 = + + +y + = x’ Or x’ = = = + = + + + +y = + dans R’ + ]= + ]= dans R’ + = dans R’ + = +y +y car + + + )= + Finalement = = = + + Avec + = + + + = + = = + + c’est la loi de composition des vitesses vitesse relative vitesse d’entraînement + : effet de la translation de R’ par rapport à R ( déplacement de l’origine O’) : effet de la rotation de R’ par rapport à R Donc : + 2) Mouvements particuliers a) Translation pure Cs où le référentiel relatif R' est en mouvement de translation par rapport au référentiel absolu. Cela signifie que, à chaque instant, les vecteurs de base £i',£ j' et £k' gardent une direction fixe dans l’espace. Il y a deux types de translation comme cela est illustré sur la figure cidessous. 4 La loi de composition des vitesses Avec = et = = + D’où + + il n’y a pas de rotation. car = b) Rotation pure La loi de composition des vitesses Avec = et = + = + il n’y a pas de - car rotation, O’ est fixe dans R. D’où + = c) Retour sur le vecteur-rotation instantanée Soient R et R’ les deux référentiels précédemment définis. On note instantanée de R’ par rapport à R. = + le vecteur-rotation (I) On a aussi = + = (II) Par identification de (I) et (II), on a : = Donc la dérivée de = car = 0 ne dépend pas du référentiel dans lequel on l’effectue. = Soit un vecteur £A et R0, R1 et R2 trois référentiels en mouvement relatif les uns par rapport aux autres. On note : le vecteur-rotation instantanée de R1 par rapport à R0. 5 le vecteur-rotation instantanée de R2 par rapport à R0. le vecteur-rotation instantanée de R2 par rapport à R1. = + = + et = + + = +( + (I ) (II) Or Par identification de (I) et (II) on a: + 3) Composition des accélérations Soit M un point de masse m en déplacement par rapport aux référentiels R et R’. Par définition des accélérations, on peut écrire : On cherche l’accélération absolue de M dans R : £a(M)/R = = La loi de composition des accélérations s’obtient en dérivant la loi de composition des vitesses : = + = + = = + + + = + + ’ ’ + ’ ’ a loi de composition des accélérations s’écrit : = + Avec : = : Accélération relative + 6 ] ’ ’ + = = £a(M)/R’ ’ ’ + + = ’ + ’ + = + ’ + = = ’ ’ ’ ’ ] ’ ] + ’ = : Accélération d’entraînement ’ : Accélération de Coriolis Mouvements particuliers Si le référentiel R’ est en mouvement de translation (pas nécessairement rectiligne) par rapport à R : = 0, on a alors tout simplement = £a(M)/R = = = £a(M)/R’ + + Si le référentiel R’ est en mouvement de translation rectiligne uniforme par rapport à R (c’est à dire qu’en plus, le point O’ n’a pas d’accélération) : = £a(M)/R = = £a(M)/R’ = Soient R1 et R2, deux référentiels Galiléens, un point M de masse m pseudo-isolée en mouvement dans R1 et R2.Le principe d’inertie s’applique : une masse pseudo-isolée suit un mouvement rectiligne uniforme, donc £a(M)/R1 = £a(M)/R2 = £0 . Ce principe reste valable quelle que soit la vitesse du point M, donc quelle que soit £VM /R2. On peut donc en conclure que = = 0 ’ + est vérifiée quelque soit la vitesse donc ’ = 0 si ’ alors On conclue que R1 et R2 sont galiléens : Conclusion : Un référentiel en translation rectiligne par rapport à un autre référentiel galiléen est lui même galiléen. Alors on peut écrire que pour tout point M’en mouvement dans R1 et R2 : £a(M)/R1 = £a(M)/R2 7 B- Changements de référentiels – Aspect Dynamique I. Forces d’inerties 1) Le PFD dans un référentiel non galiléen Soit un point matériel M de masse m, soumis à la résultante des forces £F = £Fext. Le Principe Fondamentale de la Dynamique dans un référentiel R galiléen (référentiel dit absolu) s’écrit : m£aa = m£ a(M)/R = £F £F étant la résultante des forces extérieures Soit maintenant un référentiel R' (référentiel dit relatif) en mouvement quelconque par rapport à R. 2) Comment écrire le PFD dans le référentiel R’ ? Dans R', l’accélération relative de la particule £ar est donnée par la loi de composition des accélérations : = + On peut donc écrire dans R’ la relation fondamentale de la dynamique comme suit : - - )= - - = - - - 3) Forces d’inertie La relation encadrée précédente montre qu’un observateur lié à R' doit ajouter à termes pour décrire le mouvement de la particule : Force d'inertie d'entrainement : Force d'inertie de Coriolis : deux = = - Ces termes, homogènes à des forces, sont appelés forces d’inertie du fait de leur proportionnalité à la masse inerte m. D’une autre manière, on peut dire que la relation fondamentale de la dynamique sous sa forme galiléenne m£a(M)/R = £F restera valable dans un référentiel non galiléen à condition d’inclure dans les forces appliquées également les forces d’inerties. Le PDF dans R’ s’écrit aussi : = Remarque Pour que la force d’inertie de Coriolis soit présente, ’ deux conditions doivent être satisfaites : - Il faut d’une part que le référentiel relatif en mouvement ait un mouvement de rotation par rapport au référentiel absolu fixe, dans ce cas : ’ 8 - Si la condition précédente est satisfaite, il faut encore que la particule ait une vitesse non nulle dans le référentiel relatif, c’est-à-dire : Si la particule est au repos dans le référentiel relatif, II. Théorème du moment cinétique Soit O un point fixe de R en mouvement quelconque par rapport à R galiléen et £F la résultante des forces s’exerçant sur un point matériel M Dérivons le moment cinétique en O du point M dans R £ Lo(M/ R ) = _O’M m£V (M/ R ) ) = =0 D’après le PDF dans R’ : = , on a ) Dans R non galiléen, on peut donc appliquer le théorème du moment cinétique en rajoutant les moments des forces d’inertie d’entraînement et de Coriolis. III. Mouvement de rotation, à la vitesse angulaire = Cte On considère, dans le cadre du programme, le cas ou le référentiel mobile R’ à un mouvement de rotation, à la vitesse angulaire , par rapport au référentiel fixe R autour de l’axe commun z = z ' avec les origines confondues (O = O ' à chaque instant). Le vecteur-rotation instantanée est : = Le référentiel R, considéré comme fixe, constitué du repère d’espace ( , , d’origine O. Le référentiel R’, considéré comme mobile, constitué du repère d’espace ( , d’origine O’ confondu avec O en rotation autour de Oz. 9 Bien sûr on suppose que R est galiléen. R’ est en rotation, ne l’est pas. = Le vecteur-rotation instantanée est = Force d’inertie d’entraînement : Avec : + ’ ’ = 0 car O’ est confondu avec O 1er terme : 2ème terme : car 3ème terme : ’ ’ = )= )= D’où La force d’entraînement est : Interprétation physique Pour un mouvement circulaire, l’accélération est centripète dirigée vers le centre de rotation. La force d’inertie d’entraînement est appelée force centrifuge et dirigée de H vers M : elle fuit le centre de rotation H. IV. Exemple : 1) Pendule simple de longueur l accroché au plafond d’un camion animé d’un mouvement de translation uniformément accéléré. Le système à étudier est le point matériel M de masse m Référentiels R(O,£i, £j, £k), terrestre galiléen, R’(O’,£i’,£j’,£k’), lié au camion Bilan des forces : £P = m£g Tension du fil : £T = -T£ur Forces d’inertie : £fie = - m£ae = -m £a(O’)/R’ = -ma £i £fic = - 2m £ R’/R £Vr = 0 ( R’est en translation par rapport à R : £ R’/R = Le PFD dans R’ : m£a = £P +£ T +£fie + £fic A l’équilibre de la masse m par rapport au camion : 0 = £P +£ T +£fie On déduit On obtient ainsi l’inclinaison par rapport à la verticale de la direction d’équilibre du fil : tan o = 10 0)
