TSI1 L`amplificateur opérationnel 1 L`amplificateur opérationnel idéal

TSI1
L’amplificateur opérationnel
Les premiers circuits intégrés sont apparus au début des années 60. Ils permettent de réaliser des fonctions complexes et présentent l’avantage d’être
de taille réduite. Ces éléments sont en outre très fiables, consomment peu
d’énergie, et sont très peu chers, en raison des quantités produites. L’amplificateur opérationnel est un circuit intégré qui contient de nombreux
transistors, diodes, résistors et condensateurs, et qui a été conçu pour
réaliser des opérations mathématiques telles que des sommations, multiplications par une constante, intégrations, comparaisons. . . Aujourd’hui,
outre son intérêt pédagogique, cet élément a vu son champ d’application
s’élargir considérablement.
Cette fiche a pour but de vous présenter les principaux montages utilisant
des amplificateurs opérationnels supposés idéaux. Certains défauts des
amplificateurs opérationnels réels sont abordés en exercice. Toute étude
de la réponse en fréquence des différents montages présentés est exclue de
cette fiche et sera l’objet d’une séance de travaux pratiques.
1
1.1
L’amplificateur opérationnel idéal
Présentation
L’amplificateur opérationnel (AO) idéal est un composant théorique ! Il
s’agit d’un amplicateur idéal de tension.
i+
ε
i−
+
−
vs
Comme on peut le voir sur le schéma ci-dessus, l’amplificateur comporte
trois bornes : l’entrée - inverseuse, l’entrée + non inverseuse et la sortie.
La résistance d’entrée de l’amplicateur opérationnel idéal est
infinie : les intensités des courants d’entrée sont donc nulles, dans le
modèle d’AO idéal :
i− = 0 et i+ = 0
Il faut faire attention au fait que le courant à la borne de sortie est en
général non nul : il dépend des circuits extérieurs à l’amplificateur opérationnel.
F. Vandenbrouck – TSI1 – L’amplificateur opérationnel
1
La résistance de sortie de l’amplificateur opérationnel idéal est
nulle.
Noter que sur le schéma ci-dessus, on n’a pas représenté l’alimentation de
l’amplificateur opérationnel. C’est grâce à cet apport d’énergie extérieur
que l’AO permet éventuellement d’amplifier un signal.
1.2
Schéma équivalent
Le schéma équivalent à l’amplificateur opérationnel idéal est le suivant :
i+ = 0
+
ε
i− = 0
µ0 ε
−
vs
On a la relation suivante entre vs et ε :
vs = µ 0 ε
où µ0 est le gain statique de l’amplificateur opérationnel. En raison
de sa valeur élevée (proche de 105 ), on pose que pour l’amplificateur
opérationnel idéal, ce gain est infini.
1.3
Régimes de fonctionnement
La caractéristique de transfert vs = f(ε) d’un amplificateur opérationnel
est la suivante :
F. Vandenbrouck – TSI1 – L’amplificateur opérationnel
2
vs
+Vsat
0
ε
−Vsat
À l’examen de la caractéristique statique de transfert, on distingue deux
régimes de fonctionnement :
• un régime linéaire pour lequel la condition ε = V + − V− = 0 est
imposée 1 et vs est fixé par les circuits extérieurs à l’amplificateur
opérationnel. Le régime de fonctionnement de l’AO reste linéaire
tant que la tension de sortie vs ne dépasse pas les valeurs des tensions
d’alimentation (−Vsat < vs < +Vsat ).
• un régime non linéaire ou de saturation pour lequel la tension de sortie vs atteint les valeurs de saturation ±V sat selon le signe
de la différence de potentiel ε qui n’est plus nulle dans ce régime :
vs = (signe de ε) · Vsat
soit vs = +Vsat lorsque ε > 0 et vs = −Vsat lorsque ε < 0. Dans ce
régime, la différence de potentiel ε est comparée à zéro. Le signe de
la tension de sortie vs exprime le résultat de cette comparaison. En
régime non linéaire, l’AO sert de comparateur.
En résumé, on doit retenir les résultats suivants :
Équation de fonctionnement
Condition de validité
Régime linéaire
Régime de saturation
ε=0
vs = (signe de ε) · Vsat
|vs | ≤ Vsat
ε 6= 0
1 Les potentiels des entrées inverseuses et non inverseuses sont respectivement notés
V− et V+ .
F. Vandenbrouck – TSI1 – L’amplificateur opérationnel
3
Il faut maintenant savoir identifier à la vue d’un montage dans quel régime
l’amplificateur opérationnel va fonctionner.
1.4
Points de fonctionnement d’un montage à amplificateur opérationnel
Un amplificateur utilisé tout seul, comme sur la figure suivante, fonctionne
nécessairement en régime de saturation.
+
−
ve
vs
Si ve > 0 alors vs = Vsat ; si ve < 0 alors vs = −Vsat . Dans ce cas, on dit
que l’amplificateur opérationnel fonctionne en comparateur. Ce montage
sera étudié plus tard dans ce fascicule. Pour que l’amplificateur opérationnel fonctionne en régime linéaire, il faut utiliser une chaı̂ne de retour
ou réaction depuis la sortie vers l’entrée de l’amplificateur opérationnel.
Comme toute théorie de la rétroaction est hors-programme, nous nous
contenterons d’étudier graphiquement l’influence d’une réaction résistive
sur l’entrée inverseuse et sur l’entrée non inverseuse.
1.4.1
Réaction sur l’entrée inverseuse
Considérons le montage ci-dessous :
+
−
ve
R1
S
vs
R2
F. Vandenbrouck – TSI1 – L’amplificateur opérationnel
4
Comme l’intensité qui rentre dans la borne inverseuse est nulle (modèle de
l’amplificateur opérationnel idéal), les deux résistances R 1 et R2 constituent un pont diviseur de tension. On a donc la relation :
V− =
R1
vs
R1 + R 2
1
vs . On en déduit que la chaı̂ne de retour
D’où ε = V+ − V− = ve − R1R+R
2
impose la relation suivante entre v s et ε :
R2
R2
vs = 1 +
ve − 1 +
ε
R1
R1
On obtient donc la représentation graphique suivante :
vs
+Vsat
L
0
ε
−Vsat
R2
2
La droite en tirets correspond à la relation v s = 1 + R
−
1
+
v
e
R1
R1 ε.
On voit que l’on obtient un seul point de fonctionnement
L qui correspond
2
au régime linéaire. On a alors ε = 0 et v s = 1 + R
R1 ve . On peut
juger de la stabilité de ce point de fonctionnement par un raisonnement
qualitatif. Envisageons une légère augmentation de v s par rapport à sa
valeur d’équilibre : vs > vs (L). Cette fluctuation entraı̂ne, via la chaı̂ne de
retour résistive, une diminution de ε. L’amplificateur opérationnel réagit
à cette diminution de ε par une diminution de v s 2 , qui vient contrarier
la fluctuation initiale de vs . Ce raisonnement montre que le point de
fonctionnement L est stable.
Il faut toutefois préciser que le point de fonctionnement obtenu correspond
au régime linéaire (ε = 0) à condition que |v e | ne soit pas trop grande,
sans quoi on obtient un point d’intersection des deux caractéristiques correspondant au régime de saturation de l’amplificateur opérationnel.
2 Ne
pas oublier qu’en régime linéaire, l’amplificateur opérationnel impose v s = µ0 ε.
F. Vandenbrouck – TSI1 – L’amplificateur opérationnel
5
Par conséquent, lorsqu’on utilise une réaction sur
l’entréeinverseuse, l’amplificateur opérationnel peut
fonctionner en régime linéaire.
Il faut bien retenir que l’utilisation d’une réaction sur l’entrée inverseuse
est une condition nécessaire mais non suffisante au fonctionnement en
régime linéaire.
1.4.2
Réaction sur l’entrée non inverseuse
Étudions maintenant le cas d’une réaction sur l’entrée non inverseuse,
conformément au schéma ci-dessous :
−
S
+
ve
vs
R2
R1
La chaı̂ne de retour résistive impose la relation suivante entre v s et ε :
R2
R2
vs = 1 +
ve + 1 +
ε
R1
R1
La représentation graphique associée à cette situation est, par exemple,
la suivante :
vs
+Vsat
S+
0
L
S−
ε
−Vsat
On obtient trois points de fonctionnement : d’une part, L correspondant
au régime linéaire, d’autre part S − et S+ correspondant au régime de
F. Vandenbrouck – TSI1 – L’amplificateur opérationnel
6
saturation. Un raisonnement analogue à celui mené dans le paragraphe
précédent montre que L est un point de fonctionnement instable. Une
fluctuation positive de vs à partir de vs (L) entraı̂ne, via la chaı̂ne de retour
résistive, une augmentation de ε que l’amplificateur opérationnel répercute comme une augmentation de vs . L’effet est cumulatif : la tension
de sortie vs s’éloigne irrémédiablement de la valeur v s (L) et arrive à la
valeur de saturation.
Par conséquent, lorsqu’on utilise une réaction sur
l’entrée non inverseuse, l’amplificateur opérationnel
fonctionne obligatoirement en régime de saturation.
2
Montages de base
2.1
Une question de méthode
L’analyse d’un montage à amplificateur opérationnel ne comporte pas de
difficulté majeure à condition de raisonner avec rigueur et méthode. Il
faut savoir identifier dans quel régime va fonctionner l’amplificateur opérationnel (bien souvent, cela sera même précisé. . . ). Il est donc nécessaire
de savoir écrire l’équation de fonctionnement de ce régime et sa condition
de validité (CDV).
On effectue ensuite un décompte des nœuds apparaissant dans le montage
étudié et l’on écrit aux nœuds indépendants la loi des nœuds en termes
de potentiels ou, de façon équivalente, le théorème de Millman. Il faut
cependant bien prendre garde aux deux points suivants :
• La masse M du montage est bien souvent imposée. On n’écrira pas
la loi des nœuds en M car on ne peut pas calculer l’intensité qui y
parvient : des courants, correspondant aux alimentations nécessaires
au fonctionnement de l’amplificateur opérationnel, non représentés
sur les schémas arrivent et partent de M.
• Il est inutile d’écrire la loi des nœuds à la sortie directe de l’amplificateur opérationnel car il n’y a aucun moyen d’évaluer le courant délivré en sortie par l’amplificateur opérationnel. Par ailleurs,
le potentiel de sortie de l’amplificateur opérationnel constitue bien
souvent une inconnue du problème.
F. Vandenbrouck – TSI1 – L’amplificateur opérationnel
7
2.2
Amplificateur non inverseur
i+ = 0
ve
+
S
is
−
A
R1
R2
vs
Remarquons qu’il existe une chaı̂ne de retour sur l’entrée inverseuse de
l’AO : celui-ci peut fonctionner en régime linéaire : ε = 0 à condition que
|vs | ≤ Vsat .
Ce circuit comporte trois nœuds : le point A, la sortie S et la masse.
Deux sont indépendants : il suffit d’écrire deux équations pour caractériser
complètement l’état électrique de ce circuit, c’est-à-dire connaı̂tre V A et
VS :
• l’équation de fonctionnement de l’amplificateur opérationnel donne :
ε = 0, soit V− = V+ , ce qui se traduit par VA = ve .
• il faut ensuite écrire la loi des nœuds en termes de potentiels (ou le
théorème de Millman) au nœud A.
Il faut insister sur le fait qu’un circuit amont attaque l’étage amplificateur,
représenté sur le schéma ci-dessus, qui est aussi connecté à un montage
aval (charge) qui fixe la valeur de is . Comme ce courant est inconnu de
façon générale, puisque la charge est elle-même inconnue, il n’est pas utile
d’écrire la loi des nœuds au point S.
Écrivons la loi des nœuds en termes de potentiels (ou théorème de Millman) au point A (on rappelle que le courant d’entrée i − est nul) :
VS − V A
0 − VA
+
=0
R1
R2
Sachant que VA = ve et VS = vs , on en déduit que :
H0 =
vs
R2
=1+
ve
R1
La résistance d’entrée de cet amplificateur est infinie (i e = i+ = 0) et sa
résistance de sortie est nulle (vs est indépendant de is ).
F. Vandenbrouck – TSI1 – L’amplificateur opérationnel
8
Le fonctionnement de l’amplificateur non inverseur restera linéaire tant
que |vs | ≤ Vsat , soit tant que :
|ve | ≤
2.3
R1
Vsat
R1 + R 2
Montage suiveur
−
+
vs
ve
Le montage suiveur est un cas particulier de l’amplificateur non inverseur
où R1 → ∞ et R2 → 0. L’amplificateur fonctionne en régime linéaire car
il existe une chaı̂ne de retour depuis la sortie jusqu’à l’entrée inverseuse.
Donc ε = 0. Ceci impose V− = V+ , soit vs = ve . On en déduit que la
fonction de transfert statique du montage suiveur est :
H0 =
vs
=1
ve
La valeur limite, lorsque R1 → ∞ et R2 → 0, de la fonction de transfert
de l’amplificateur non inverseur établie ci-dessus redonne bien le résultat
encadré ci-dessus.
Le principal intérêt de ce montage est qu’il est un adaptateur d’impédance : sa résistance d’entrée est infinie alors que sa résistance de sortie
est quasiment nulle. Nous l’utiliserons donc dans les circuits nécessitant
une grande impédance de charge. Ce montage est aussi un amplificateur
de puissance : la puissance absorbée en entrée est nulle (car i e = i+ = 0)
alors que la puissance en sortie est finie et non nulle.
F. Vandenbrouck – TSI1 – L’amplificateur opérationnel
9
2.4
Amplificateur inverseur
R1
A
R2
−
+
ve
vs
Ce montage amplificateur est connecté à un circuit amont (circuit d’attaque) et à un circuit aval (circuit de charge). On constate qu’il existe une
boucle de retour depuis la sortie de l’AO jusqu’à l’entrée inverseuse : l’AO
peut fonctionner en régime linéaire. Ce circuit contient 3 nœuds : A, la
sortie S et la masse. Il suffit donc d’écrire deux équations pour connaı̂tre
les deux potentiels VA et VS indépendants, et donc l’état électrique du
circuit.
Le régime de fonctionnement est linéaire, donc ε = 0, soit V − = V+ ,
ou encore VA = 0. On calcule aisément la fonction de transfert statique
H0 de ce montage en appliquant au point A, la loi des nœuds en termes
de potentiels (théorème de Millman) (le courant i − entrant dans l’entrée
inverseuse de l’AO est nul) :
ve − V A
vs − V A
+
=0
R1
R2
On en déduit que :
H0 =
vs
R2
=−
ve
R1
Ce montage est dit inverseur car les tensions v s et ve ont des signes opposés. La résistance d’entrée de cet amplificateur est R 1 (ie = Rve1 ) alors
que la résistance de sortie de cet amplificateur est nulle, puisque v s est
indépendante de is .
Il reste maintenant à exprimer la condition de validité du régime linéaire
(|vs | ≤ Vsat ) :
R1
|ve | ≤
Vsat
R2
Remarque : en pratique, on place une résistance convenablement choisie
entre l’entrée non inverseuse de l’AO et la masse afin de compenser la tension de décalage en entrée (input offset voltage) et le fait que les courants
i− et i+ ne sont pas rigoureusement nuls.
F. Vandenbrouck – TSI1 – L’amplificateur opérationnel
10
2.5
Montage sommateur (et amplificateur) de tension
R
R1
A
v1 v2
−
+
R2
vs
S’il est simple d’additionner deux intensités i 1 et i2 en reliant les deux fils
parcourus par ces intensités, il n’est, par contre, pas aisé d’additionner
deux tensions. Le montage à amplificateur opérationnel ci-contre permet
de réaliser cette fonction.
Cet amplificateur opérationnel peut fonctionner en régime linéaire car il
existe une boucle de retour sur l’entrée inverseuse. Ce circuit comporte
trois nœuds : A, la sortie S et la masse. Il faut donc écrire deux équations
pour déterminer les potentiels inconnus V A et VS .
Le régime est linéaire : on en déduit que V A = V− = V+ = 0 à condition
que |vs | ≤ Vsat. Par application de la loi des nœuds en termes de potentiels
au point A, on obtient que :
v1
v2
vs
+
+
=0
R1
R2
R
On en déduit que :
vs = −
R
R
v1 +
v2
R1
R2
Par l’intermédiaire de la sommation de courants, on réalise une somme
pondérée de tensions. Dans le cas particulier où l’on choisit R = R 1 = R2 ,
on obtient que vs = −(v1 + v2 ) : la tension de sortie est l’opposée de la
somme des tensions d’entrée.
Ce montage a le même défaut que l’amplificateur inverseur : ses résistances d’entrée sont finies, ce sont R 1 et R2 . Par contre, comme vs est
indépendant de is , la résistance de sortie de ce montage est nulle.
La condition de validité du régime linéaire s’écrit :
R
R
R1 v1 + R2 v2 ≤ Vsat
F. Vandenbrouck – TSI1 – L’amplificateur opérationnel
11
Remarque : comme pour l’amplificateur inverseur, on place , en pratique,
une résistance convenablement choisie entre l’entrée non inverseuse de
l’AO et la masse afin de compenser la tension de décalage en entrée (input
offset voltage) et le fait que les courants i − et i+ ne sont pas rigoureusement nuls.
2.6
Montage intégrateur
C
R
A
−
+
ve
vs
Le montage théorique ci-contre permet d’intégrer la tension d’entrée. L’interrupteur est placé de façon à pouvoir décharger le condensateur. L’amplificateur opérationnel peut fonctionner en régime linéaire car il existe
une chaı̂ne de retour sur l’entrée inverseuse. Par ailleurs, ce circuit comprend trois nœuds : A, la sortie de l’amplificateur et la masse. Par conséquent, deux équations suffisent à déterminer l’état électrique complet du
circuit.
En régime linéaire, le potentiel de l’entrée inverseuse de l’amplificateur
opérationnel est nul : VA = V− = V+ = 0.
En appliquant la loi des nœuds au point A, on obtient :
ve
dvs
=−
dt
RC
En pratique, ce montage ne fonctionne pas. Si l’on court-circuite l’entrée
(ve =0) et si l’on ouvre l’interrupteur à t = 0, on observe soit une croissance linéaire de vs avec le temps jusqu’à la saturation de l’amplificateur
opérationnel (vs = +Vsat ), soit une décroissance vers −Vsat. Cette dérive
est due aux défauts de l’amplificateur opérationnel : la tension de décalage et les courants de polaristion sont non nuls et contribuent à charger le
condensateur. Pour stabiliser le montage, il faudrait décharger régulièrement le condensateur. On choisit en pratique de remplacer l’interrupteur
F. Vandenbrouck – TSI1 – L’amplificateur opérationnel
12
par une résistance R0 . Si l’on suppose que l’amplificateur fonctionne en
régime linéaire (V− = 0), la loi des nœuds au point A s’écrit :
ve
dvs
vs
+C
+ 0 = 0,
R
dt
R
soit :
vs
ve
dvs
+ 0 =−
dt
RC
RC
Les graphes ci-dessous illustrent la réponse à un signal carré de période
T :
2
Cas où τ = R0 C T :
Signal d′entree
Signal de sortie
Amplitude du signal de sortie
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
0
2
5
15
20
Cas où τ = R0 C T :
Signal d′entree
Signal de sortie
1.5
Amplitude du signal de sortie
10
Temps
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
20
25
30
Temps
35
F. Vandenbrouck – TSI1 – L’amplificateur opérationnel
40
13
On constate qu’il n’y a intégration du signal d’entrée que dans le cas où
τ = R0 C T . Le montage est appelé hh pseudo-intégrateur ii.
2.7
2.7.1
Montages comparateurs
Comparateur simple
R
v−
−
v+
+
R0
Vs
Le montage ci-contre utilise un amplificateur opérationnel fonctionnant
en régime non linéaire (régime de saturation) puisqu’il n’existe aucune
chaı̂ne de retour sur l’entrée inverseuse. L’état de la tension de sortie v s
dépend du signe de ε = v+ − v− .
v+ > v −
v+ < v −
vs = +Vsat
vs = −Vsat
Examinons le cas où v+ = E et v− = v0 cos(ωt). Le montage compare
donc v− à la tension de référence E. On a les chronogrammes suivants :
8
Signal d′entree
Signal de reference
Signal de sortie
Amplitude des signaux
6
4
2
0
−2
−4
−6
−8
0
5
10
Temps
15
20
Chronogramme des différents signaux
F. Vandenbrouck – TSI1 – L’amplificateur opérationnel
14
2
Amplitude du signal de sortie
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−4
−2
0
2
Amplitude du signal d′entree
4
Caractéristique de transfert du comparateur simple
La vitesse finie de balayage de l’amplificateur opérationnel ( hh slew-rate ii)
fait que le montage à comparateur simple ne fonctionne pas lorsque la
fréquence du signal d’entrée est trop élevée (le signal n’a plus le temps de
s’établir).
2.7.2
Comparateur à hystérésis ou trigger de Schmitt
−
+
R1
ve
vs
u
R2
Un système physique présente un hystérésis, lorsque l’état de ce système
dépend de ses états antérieurs. Autrement dit, la système garde mémoire
de ses états antérieurs. Le montage à amplificateur opérationnel ci-contre
constitue un comparateur à hystérésis.
L’amplificateur opérationnel n’est pas bouclé sur son entrée inverseuse, il
fonctionne donc en régime non linéaire. Ce circuit comprend trois nœuds
(l’entrée + de l’amplificateur, la sortie et la masse). Il faut donc écrire
deux équations pour déterminer l’état électrique du circuit.
F. Vandenbrouck – TSI1 – L’amplificateur opérationnel
15
Comme le courant d’entrée i+ est négligeable, les deux résistances R 1
et R2 sont associées en série et constituent un pont diviseur de tension.
2
Donc, on peut écrire que : V+ = u = R1R+R
vs . Comme vs = ±Vsat , on
2
R2
2
obtient : V+ = u = ± R1 +R2 Vsat . Posons U0 = R1R+R
Vsat de sorte que :
2
V+ = u = ±U0
(1)
On choisit par exemple un signal d’entrée sinusoı̈dal : v e = v0 sin(ωt).
Comme ce comparateur garde mémoire de ses états antérieurs, il est nécessaire de définir un état initial afin d’établir un chronogramme des différents signaux. Supposons donc qu’à t = 0, v s = +Vsat, ce qui implique
que V− < V+ et que (selon la relation (1)) V+ = U0 . Le comparateur reste
dans cet état (vs = +Vsat) tant que V− < V+ , soit tant que ve < U0 .
Au moment où ve = U0 , on observe un hh basculement ii : la tension de
sortie vs bascule à la valeur −Vsat . Du coup, V+ = u = −U0 . Cet état
persiste tant que V− > V+ , soit ve = V− > −U0 .
Dès que ve = −U0 , on observe un nouveau basculement : v s = +Vsat ,
V+ = u = +U0 . Le comparateur reste dans cet état tant que V − < V+ ,
soit ve < U0 .
Et ainsi de suite. . . On en déduit les chronogrammes suivants :
6
v
e
u
Amplitude du signal
4
2
0
−2
−4
−6
0
5
10
Temps
15
20
Chronogramme des signaux ve et u
F. Vandenbrouck – TSI1 – L’amplificateur opérationnel
16
6
v
e
v
Amplitude du signal
4
s
2
0
−2
−4
−6
0
5
10
Temps
15
20
Chronogramme des signaux ve et vs
2
1.5
Vsat
1
vs
0.5
0
−U0
U0
−0.5
−1
−Vsat
−1.5
−2
−5
0
ve
5
Caractéristique de transfert du comparateur à hystérésis
Le cycle d’hystérésis ci-contre est parcouru toujours dans le même sens : la
branche supérieure (vs = +Vsat) est toujours parcourue depuis ve = −U0
vers ve = +U0 , où se produit un basculement. La branche inférieure
(vs = −Vsat) est toujours parcourue depuis ve = +U0 vers ve = −U0 ,
où se produit un nouveau basculement. L’avantage d’un comparateur à
hystérésis est que ses fronts de commutation sont bien marqués. Ce type
de comparateur est couramment utilisé dans les montages multivibrateurs.
F. Vandenbrouck – TSI1 – L’amplificateur opérationnel
17
Notons que ce comparateur génère un signal carré (v s ) à partir d’un signal
sinusoı̈dal (ve ). Les comparateurs sont couramment utilisés en électronique pour la génération de fonctions.
Enfin, il convient de signaler qu’il existe d’autres types de comparateurs
à hystérésis que celui que nous venons d’étudier.
2.8
Multivibrateurs
Un multivibrateur est un circuit qui possède deux états de fonctionnement.
Selon la stabilité de ces états, on distingue :
• les multivibrateurs astables à deux états instables. Le circuit ne
cesse d’osciller entre ses deux états de fonctionnement. Ces circuits
constituent des oscillateurs de relaxation 3
• les multivibrateurs monostables à un état de fonctionnement
stable, le second état de fonctionnement étant instable. Le basculement de l’état stable vers l’état instable doit être provoqué alors
que le retour de l’état instable vers l’état stable (relaxation) est
spontané.
• les multivibrateurs bistables dont les deux états de fonctionnement sont stables. Le basculement de l’un des deux états à l’autre
n’est jamais spontané : il faut le provoquer.
Nous envisagerons ici l’exemple d’un multivibrateur astable. Pour ce,
considérons le circuit suivant :
3 En physique, on désigne par relaxation, l’évolution en fonction du temps des propriétés d’un système physique écarté de sa position ou de sa configuration d’équilibre
par des actions extérieures et qui y revient une fois ces actions supprimées.
Une oscillation de relaxation désigne l’oscillation produite par un système ne possédant généralement pas une configuration d’équilibre, mais deux, le passage de l’une à
l’autre étant dû à une rupture brusque de l’équilibre interne. Le fonctionnement d’un
oscillateur à relaxation nécessite une source extérieure d’énergie continue. L’équation
qui détermine un oscillateur de relaxation n’est pas linéaire ; sa fréquence est arbitraire
dans de larges limites ; son amplitude est fixée par la constitution de l’oscillateur.
F. Vandenbrouck – TSI1 – L’amplificateur opérationnel
18
R
−
A
S
+
C
R1
ve
vs
R2
Le montage ci-dessus consiste en l’association d’un comparateur à hystérésis et d’un montage pseudo-intégrateur (circuit (R, C)) qui est alimenté
sous vs et qui délivre ve . On peut appliquer la loi des nœuds au point A
pour trouver l’équation suivante :
C
dve
vs − v e
dve
ve
vs
=
soit :
+
= ,
dt
R
dt
τ
τ
où τ = RC.
Pour analyser le fonctionnement de ce circuit, supposons que l’on ait les
conditions initiales suivantes : l’instant t = 0 correspond à un basculement
2
2
de vs = −Vsat à vs = +Vsat (alors V+ = R1R+R
vs = R1R+R
Vsat = +U0 ) .
2
2
Ce basculement se produit parce qu’à t = 0, v e (0) = −U0 .
On peut en déduire qu’alors :
t
ve (t) = Ke− τ + Vsat .
La constante d’intégration K est telle que : v e (0) = −U0 soit K = −U0 −
Vsat . D’où :
t
ve (t) = −(U0 + Vsat )e− τ + Vsat
Le condensateur se charge sous la tension constante v s = +Vsat et la
tension ve croı̂t dans le temps jusqu’à ce qu’elle atteigne, à l’instant t 1 ,
la valeur U0 . À cet instant-là, la tension vs bascule à la valeur −Vsat
t
− τ1
et V+ = −U0 . L’instant
t1 est
+ Vsat
tel que : U0 = −(U0 + Vsat )e
R2
et vaut : t1 = τ ln 1 + 2 R1 . Pour t immédiatement supérieur à t 1 ,
l’équation différentielle vérifiée par v e est :
ve
−Vsat
dve
+
=
dt
τ
τ
F. Vandenbrouck – TSI1 – L’amplificateur opérationnel
19
Compte tenu de ve (t1 ) = U0 , la solution de cette équation différentielle
est :
(Vsat + U0 )2 − τt
ve (t) =
− Vsat
e
(Vsat − U0 )
Le condensateur se décharge sous la tension constante −V sat et la tension
ve décroı̂t jusqu’à
l’instant
t2 où elle atteint la valeur −U0 . On trouve
R2
que : t2 = 2τ ln 1 + 2 R1
À l’instant t2 , le multivibrateur astable se retrouve dans le même état
qu’à l’instant t = 0. Le phénomène étudié se poursuit donc indéfiniment.
Les oscillations de ce multivibrateur sont caractérisées par une période T
égale à t2 :
R2
T = 2τ ln 1 + 2
R1
On caractérise aussi les oscillations de ce multivibrateur par son rapport
cyclique δ, qui est, par définition, le rapport de la durée de l’état à saturation positive t1 sur la période T :
δ=
t1
= 0.5
T
Il est possible d’améliorer le montage pour contrôler à la fois la période
d’oscillation et le rapport cyclique. Le chronogramme des signaux v e (t)
et vs (t) est le suivant :
10
v
s
v
Amplitude du signal
e
5
0
−5
−10
0
5
10
Temps
15
20
Le signal d’entrée ve (t) oscille entre les valeurs U0 et −U0 alors que le
signal de sortie bascule régulièrement de +V sat à −Vsat .
F. Vandenbrouck – TSI1 – L’amplificateur opérationnel
20
3
Exercices
Les exercices 1 et 2 sont des applications directes du cours. Les exercices
3,4 et 5 illustrent quelques défauts des amplificateurs opérationnels réels.
Les exercices 6 et 7 sont un peu plus difficiles.
1 L’amplificateur opérationnel, dans le montage ci-dessous, est supposé
idéal et fonctionne en régime linéaire. Exprimer V s en fonction de e1 et
e2 . Comment réaliser Vs = K(e2 − e1 ) ?
R1
R
e1
e2
−
+
R0
Vs
R2
2 Exprimer i en fonction de u1 , u2 et r. Quelle condition doit-on avoir
sur R1 , R2 , R3 et R4 pour que le montage ci-contre soit une source idéale
de courant pour la résistance r ? Donner alors l’expression de i. On
supposera que l’amplificateur opérationnel, idéal, fonctionne en régime
linéaire.
R2
R1
−
+
R1
u2
u1
R4
R3
i
r
3 Le montage ci-contre est un montage amplificateur non inverseur avec
une sortie à vide (is = 0). L’amplificateur opérationnel a pour tensions
de saturation ±Vsat (Vsat = 15 V), pour courants de saturation ±I sat
F. Vandenbrouck – TSI1 – L’amplificateur opérationnel
21
(Isat = 20 mA) et pour vitesse de balayage maximale ( hh slew-rate ii) :
dvs σ=
= 0.5 V · µs−1 .
dt max
+
is = 0
−
R2
ve
vs
R1
1. Quelle condition doivent vérifier R 1 et R2 pour que la saturation en
tension apparaisse avant la saturation en courant ? (on admettra,
pour la suite, que cette condition est vérifiée).
2. Déterminer l’amplitude maximale v s0 de vs , en régime linéaire, pour
un signal d’entrée sinusoı̈dal de fréquence f. Quelles sont les valeurs
de vs0 pour f = 100 Hz, 1000 Hz, 10 kHz, 100 kHz et 1 MHz ?
Représenter sur un graphe le domaine (f,v s0 ) correspondant à un
fonctionnement en régime linéaire.
4 Dans le montage intégrateur ci-contre, on tient compte d’une tension
de décalage vd (c’est un défaut de l’amplificateur opérationnel réel). L’amplificateur opérationnel dessiné sur le schéma ci-contre est idéal. Montrer
que la présence de cette tension de décalage conduit l’amplificateur opérationnel à la saturation (on fera les calculs en supposant que l’amplificateur
fonctionne en régime linéaire et on concluera que ce régime ne peut pas
perdurer.)
C
R
A
−
+
ve
vd
F. Vandenbrouck – TSI1 – L’amplificateur opérationnel
vs
22
5 Dans un amplificateur opérationnel réel, les courants i + et i− ne sont
pas nuls ainsi que la tension de décalage en entrée v d . On peut modéliser
un tel amplificateur comme indiqué dans le schéma ci-dessous. Pour l’amplificateur opérationnel µA741, on a I p+ ≈ Ip− ≈ 80 nA, A = 105 (gain de
l’amplificateur), |vd | = 2 mV.
−
ε
vd
Ip−
+
—–
Ip+ —–
Aε
Les sources de courant Ip+ et Ip− représentent les courants de polarisation
des transistors d’entrée de l’amplificateur opérationnel. Ces courants sont
toujours du même ordre de grandeur. On les supposera donc égaux :
Ip+ ≈ Ip− = Ip .
R2
R1
−
+
ve
vs
R
1. En utilisant le modèle d’amplificateur opérationnel réel, décrit cidessus, déterminer la tension de sortie v s en fonction de ve , vd et Ip ,
pour l’amplificateur inverseur représenté ci-contre avec R 1 = 10 kΩ
et R2 = 100 kΩ.
2. Comment doit-on choisir R pour que la tension de décalage en sortie
liée aux courants de polarisation soit éliminée ?
6 Déterminer la réponse vs du montage ci-contre, selon que la tension
d’entrée ve est positive ou négative (l’amplificateur opérationnel est idéal
et fonctionne en régime linéaire). Préciser dans chacun de ces cas, l’état
passant ou bloqué des diodes. Tracer la courbe v s = f(ve ).
F. Vandenbrouck – TSI1 – L’amplificateur opérationnel
23
R
R
D1
−
ve
vs
+
D2
7 On considère le montage ci-dessous, comportant trois amplificateurs
opérationnels supposés idéaux et des éléments passifs dont les valeurs
sont : R1 = 10 kΩ, R2 = 4.7 kΩ, R = 10 kΩ, C = 10 nF, R3 = 4.7 kΩ,
R4 = 10 kΩ.
R2
R1
C
−
R
+
−
−
+
v1
+
v2
R4
vs
R3
1. Identifier le rôle de chacun des trois amplificateurs opérationnels.
Les deux premiers amplificateurs opérationnels fonctionnent en régime linéaire alors que l’amplificateur opérationnel de droite fonctionne en régime non linéaire.
2. À l’instant t = 0, la tension de sortie est égale à +V sat = 15 V ;
le condensateur de capacité C n’est pas chargé. Étudier l’évolution ultérieure de la tension v2 (t) jusqu’au basculement de vs (t) (on
supposera les amplificateurs opérationnels idéaux ; en particulier on
négligera l’existence de défauts pouvant altérer le fonctionnement
de l’étage intégrateur.)
3. Tracer, en concordance de temps, pour deux périodes, les graphes
des fonctions vs (t), v1 (t) et v2 (t). Calculer la fréquence des signaux
obtenus.
F. Vandenbrouck – TSI1 – L’amplificateur opérationnel
24