06 - Planètes et sat..

Cours n°6 : Planètes et satellites
Introduction
Les hommes observaient déjà le ciel il y a des dizaines de milliers d’années. Des phénomènes tels que
le déplacement du soleil dans le ciel ou les changements d’aspect de la lune leur étaient familiers.
Peu à peu, ils commencèrent à utiliser ces phénomènes à leur avantage.
Par exemple, le mouvement du soleil dans le ciel pouvait leur servir à mesurer le temps.
Le cycle des phases de la lune leur permettait d’établir un calendrier lunaire très utile pour fixer la
date des fêtes religieuses.
Les anciens avaient également compris que le mouvement de révolution de la terre autour du soleil
était lié au cycle des saisons.
C’est en 1609 que Johannes Kepler décrivit en premier le mouvement des planètes en étudiant
l’orbite de Mars avec l’énoncé de ses deux premières lois.
La troisième loi fut énoncée en 1618.
1) Mouvement des planètes
1.1) Choix du référentiel
Pour pouvoir définir le mouvement des planètes, il est nécessaire de définir un référentiel d’étude
choisi comme étant galiléen.
1.1.1) Référentiel héliocentrique
Etoile lointaine
𝑁
Référentiel
héliocentrique
Etoile lointaine
𝑁
Etoile lointaine
Référentiel
géocentrique
Le référentiel héliocentrique est un repère imaginaire ayant pour centre le centre du soleil et dont
les trois axes sont donnés par les centres de trois étoiles lointaines considérées comme fixes sur des
durées de plusieurs années.
C’est un référentiel galiléen pour des durées de l’ordre de la période de révolution des planètes dont
on étudie le mouvement.
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Le référentiel héliocentrique est donc le soleil privé de sa rotation propre. Il convient pour l’étude du
mouvement des planètes autour du soleil.
1.1.2) Référentiel géocentrique
Le référentiel géocentrique est un repère imaginaire ayant pour centre le centre de la terre.
Ses trois axes sont donnés par des étoiles lointaines considérées comme fixes sur des durées de
quelques années.
C’est un référentiel supposé galiléen sur des durées faibles devant un an.
Il convient pour l’étude du mouvement des satellites terrestres.
1.2) Description du mouvement : lois de Kepler
Les lois de Kepler sont des lois empiriques qui décrivent le mouvement des centres des planètes du
système solaire dans le référentiel héliocentrique.
1.2.1) Première loi de Kepler : loi des orbites (1609)
Dans le référentiel héliocentrique, le centre de chaque planète décrit, dans le sens direct, une
trajectoire elliptique dont le soleil est l’un des foyers.
Approximation des orbites circulaires
En première approximation, on considérera que les orbites des planètes sont circulaires et le centre
de ce cercle coïncide avec le centre du soleil.
Effectivement, à l’exception de Mercure, les ellipses que décrivent les centres de gravité des planètes
ont une très faible excentricité orbitale, et leur trajectoire est quasi-circulaire.
1.2.2) Deuxième loi de Kepler : la loi des aires (1609)
𝑃′2
𝑃2
𝒜2
𝑃′1
𝑃3
𝐴′𝑆
𝑃′3
𝒜1
𝒜3
𝐴
𝑆
𝑃1
𝐴′ = aphélie
𝐴 = périhélie
Soit 𝑆 la position du centre du soleil et 𝑃 la position d’une planète quelconque.
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⃗⃗⃗⃗ balaye des aires proportionnelles au temps mis pour les parcourir.
Le rayon vecteur 𝑆𝑃
On a :
𝒜1 𝒜2 𝒜3
=
=
∆𝑡1 ∆𝑡2 ∆𝑡3
La vitesse n’est donc pas constante le long de la trajectoire : elle est maximale au périhélie (point le
plus proche du soleil) et minimale à l’aphélie (point le plus lointain du soleil).
Cas des orbites circulaires
En présence d’une orbite circulaire, la 2ème loi implique que l’orbite est parcourue à vitesse
constante. Le mouvement sera donc circulaire uniforme.
1.2.3) Troisième loi de Kepler : loi des périodes (1618)
Le carré de la période de révolution 𝑇 de chaque planète (durée mise pour décrire sa trajectoire
complète autour du soleil) est proportionnelle au cube du demi grand axe 𝑎 de la trajectoire
elliptique de la planète.
𝑏
2
𝑎
𝑇
= 𝐾 = 𝑐𝑠𝑡𝑒
3
𝑎
𝐾 est une constante identique pour toutes les planètes.
!
La constante 𝐾 est propre à chaque corps autour duquel gravite une planète ou un objet. C’est une
constante relative.
Cas des orbites circulaires
La loi des orbites s’écrit pour une orbite circulaire de rayon 𝑟 :
𝑇2
=𝐾
𝑟3
1.3) Etude du mouvement de la terre
La terre a un mouvement complexe qui résulte de la composition des mouvements de rotation
autour du soleil et de rotation autour de l’axe de ses pôles.
1.3.1) Mouvement du centre de la terre autour du soleil
La terre tourne autour du soleil selon un mouvement circulaire uniforme.
La période de rotation de la terre autour du soleil est de 365,25 jours, soit environ une année.
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1.3.2) Rotation de la terre sur elle-même
Dans le référentiel géocentrique, la terre a un mouvement de rotation autour de l’axe de ses pôles.
Cet axe est incliné d’un angle de 23,27° par rapport au plan de l’écliptique (plan qui contient les
orbites des différentes planètes).
Cette position est fixe à notre échelle, mais varie sur des durées de quelques dizaines de milliers
d’années ⇒ mouvement de précession de période 25868 ans (mouvement analogue à celui d’une
toupie).
Actuellement, l’axe pointe à peu près vers l’étoile polaire, mais cela n’a pas toujours été le cas. Au
temps d’Homère, l’étoile Kochab de la petite ourse était l’étoile la plus proche du pôle nord céleste.
A ce mouvement s’ajoute un mouvement dit de nutation qui est un balancement périodique de l’axe
de rotation de la terre autour de sa position moyenne.
Ce mouvement est dû à l’action de l’attraction conjuguée du soleil et de la lune. Il peut se traduire
par une oscillation de l’axe de rotation de la terre pouvant aller jusqu’à 17,2’’ (secondes d’arc) avec
une période de 18,6 années.
𝑅 = rotation
𝑃 = précession
𝑁 = nutation
𝑁
Sens de rotation de la terre
La rotation 𝑅 de la terre autour de son axe se fait d’ouest en est.
Période de rotation
𝑊
𝐸
𝑆
La période de rotation correspond à la durée mise par un astre pour faire un tour sur lui-même.
Il existe deux types de période :
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-
Le jour solaire correspond a temps au bout duquel la planète retrouve la même orientation
par rapport au soleil (pour la terre 𝑇 = 24ℎ)
-
Le jour sidéral est le temps entre deux passages consécutifs d’une étoile éloignée dans le
plan méridien d’un lieu ( 𝑇𝑆 = 86164 𝑠 = 23 ℎ 56 min 4 𝑠 ).
𝑡 = 𝑡0 + 𝑇 ⇒ jour solaire
vers l’étoile lointaine
𝑡 = 𝑡0 + 𝑇𝑆 ⇒ jour sidéral
vers le soleil
vers le soleil
La terre fait 360° en
un jour sidéral
𝑡 = 𝑡0
vers l’étoile lointaine
2) La gravitation universelle
2.1) Champ gravitationnel
2.1.1) Champ créé par une masse ponctuelle
Le champ gravitationnel créé par une masse ponctuelle 𝑀 placée en un point 𝑂 crée en un point 𝑃
de l’espace tel que 𝑂𝑃 = 𝑟 est :
𝑔𝑀 (𝑟) = −𝐺
𝑀
𝑢
⃗
= −𝑔𝑀 (𝑟) 𝑢
⃗ 𝑂𝑃
𝑟 2 𝑂𝑃
𝐺 = constante de gravitation universelle
= 6,67 ∙ 10−11 𝑚3 𝑠 −2 𝑘𝑔−1
𝑟 = 𝑂𝑃
𝑢
⃗ 𝑂𝑃 = vecteur unitaire porté par la droite (𝑂𝑃)
avec 𝑢
⃗ 𝑂𝑃 =
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑃
𝑟
𝑃
𝑔𝑀 (𝑃)
𝑂
(𝑀)
𝑢
⃗ 𝑂𝑃
2.1.2) Champ créé par un objet à répartition sphérique de masse
Le champ créé par un objet à répartition sphérique de masse est égal à celui d’une masse ponctuelle
situé au centre de l’objet sphérique et de masse égale à la masse globale de l’objet sphérique.
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2.1.3) Le cas du champ gravitationnel terrestre
La terre est supposée sphérique de centre 𝑂, de masse 𝑀𝑇 = 5,97 ∙ 1024 𝑘𝑔, de rayon
𝑅𝑇 = 6,37 ∙ 106 𝑚
L’expression du champ gravitationnel en un point 𝑃 tel que 𝑂𝑃 ≥ 𝑅𝑇 est :
𝑔(𝑟) = −𝐺
𝑀𝑇
𝑢
⃗
𝑟 2 𝑂𝑃
Champ créé à la surface de la terre
A la surface de la terre 𝑟 = 𝑅𝑇 et 𝑔(𝑃) = 𝑔0
⇒ 𝑔0 = −𝐺
𝑀𝑇
𝑢
⃗
= −𝑔0 𝑢
⃗ 𝑂𝑃
𝑅𝑇2 𝑂𝑃
On a :
𝑔0 = 𝐺
𝑀𝑇
= 9,81 𝑁⁄𝑘𝑔
𝑅𝑇2
ce qui correspond bien à la valeur connue de l’accélération de la pesanteur 𝑔.
Champ créé à une altitude 𝑧
On a 𝑟 = 𝑅𝑇 + 𝑧 .
𝑔(𝑧) = −𝐺
𝑀𝑇
2
𝑇 +𝑧)
donc 𝑔(𝑧) = 𝐺 (𝑅
𝑀𝑇
𝑢
⃗
(𝑅𝑇 + 𝑧)2 𝑂𝑃
correspond à l’intensité du champ à l’altitude 𝑧.
𝑔(𝑧) = 𝐺
𝑀𝑇
𝑅𝑇2
𝑅𝑇2 (𝑅𝑇 + 𝑧)2
𝑔(𝑧) = 𝑔0
𝑅𝑇2
(𝑅𝑇 + 𝑧)2
A partir de la relation précédente, on peut écrire :
𝑔(𝑧) = 𝑔0
1
𝑧 2
(1 + 𝑅 )
𝑇
𝑧
Pour des altitudes telles que 𝑧 ≪ 𝑅𝑇 , on a 𝑅 ≪ 1 ⇒ 𝑔(𝑧) ≈ 𝑔0
𝑇
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Le champ de pesanteur peut être considéré comme uniforme pour des altitudes de zéro à quelques
kilomètres ( 𝑧⁄𝑅𝑇 < 10−3 ).
2.2) L’interaction gravitationnelle
2.2.1) Masse placée dans un champ de gravitation
Une masse ponctuelle 𝑚 placée dans un champ de gravitation 𝑔 subit une force dite « force de
Newton »
𝐹 =𝑚𝑔
2.2.2) Loi de la gravitation universelle
Si l’on considère deux objets à symétrie sphérique de taille négligeable devant la distance entre les
deux objets.
Les centres d’inertie des objets sont situés en 𝐴 et 𝐵.
L’objet 𝐴 crée en 𝐵 un champ de gravitation 𝑔𝐴 tel que :
𝑔𝐴 (𝐵) = −𝐺
𝑚𝐴
𝑢
⃗
𝑟 2 𝐴𝐵
où 𝑟 = 𝐴𝐵
L’objet 𝐵 subit l’action :
𝐹𝐴⁄𝐵 = 𝑚𝐵 𝑔𝐴 (𝐵)
𝐹𝐴⁄𝐵 = −𝐺
𝑚𝐴 𝑚𝐵
𝑢
⃗ 𝐴𝐵
𝑟2
De même, 𝐵 crée en 𝐴 un champ de gravitation 𝑔𝐵 (𝐴) tel que :
𝑔𝐵 (𝐴) = −𝐺
𝐹𝐵⁄𝐴 = −𝐺
𝑚𝐵
𝑢
⃗
𝑟 2 𝐵𝐴
𝑚𝐴 𝑚𝐵
𝑢
⃗ 𝐵𝐴 = −𝐹𝐴⁄𝐵
𝑟2
Loi de la gravitation
Deux objets 𝐴 et 𝐵 de masses respectives 𝑚𝐴 et 𝑚𝐵 exercent l’un sur l’autre une force telle que :
𝐹𝐴⁄𝐵 = −𝐹𝐵⁄𝐴 = −𝐺
𝑚𝐴 𝑚𝐵
𝑟2
𝑢
⃗ 𝐴𝐵
𝐵
𝑢
⃗ 𝐴𝐵
𝐴
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𝐹𝐴⁄𝐵
𝐹𝐵⁄𝐴
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2.2.3) Aspects énergétiques
La force de gravitation étant une force conservative, elle dérive d’un potentiel 𝐸𝑝 (𝑟) tel que l’on ait :
𝐸𝑝 (𝑟) = −𝐺
𝑚𝐴 𝑚𝐵
+ 𝑐𝑠𝑡𝑒
𝑟
Par convention, on choisit 𝐸𝑝 (∞) = 0.
L’énergie mécanique s’exprimera alors pour le corps de masse 𝑚𝐴 comme :
1
𝑚𝐴 𝑚𝐵
𝐸𝑚 (𝑟) = 𝑚𝐴 𝑣 2 − 𝐺
2
𝑟
3) Satellites de la terre
3.1) Etude dynamique (cas de l’orbite circulaire)
𝑣
𝑆
ℎ
𝐹𝑆
𝑎
Référentiel géocentrique supposé galiléen
Système = satellite 𝑆
Bilan des forces sur 𝑆 :
𝑅𝑇
𝑂
𝑀 𝑚
𝐹𝑆 = −𝐺 (𝑅 𝑇+ℎ)𝑆2 𝑢
⃗ 𝑂𝑆
𝑇
Terre
𝑟
2nde loi de Newton :
𝐹𝑆 = 𝑚𝑆 𝑎
Dans le repère de Frenet, on a :
𝑑𝑣
𝑑𝑡
{
𝑣2
𝐹𝑆 = 𝑚𝑆 𝑎𝑛 = 𝑚𝑆
𝑟
0 = 𝑚𝑆 𝑎𝑡 = 𝑚𝑆
𝑑𝑣
On en déduit donc que 𝑑𝑡 = 0 ⇒ 𝑣 = 𝑐𝑠𝑡𝑒. La vitesse est donc constante. Le mouvement est ainsi
circulaire uniforme.
On retrouve donc la 2ème loi de Kepler pour les orbites circulaires ⇒ 𝑎 = 𝑎𝑡 =
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𝑣2
𝑟
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𝐹𝑆 = 𝑚𝑆
𝐺
𝑣2
𝑟
𝑀𝑇 𝑚𝑆
𝑣2
=
𝑚
𝑆
(𝑅𝑇 + ℎ)2
𝑟
𝐺 𝑀𝑇
⇒𝑣=√
𝑟
𝐺 𝑀𝑇
⇒𝑣=√
𝑅𝑇 + ℎ
D’où l’expression de la période de révolution du satellite :
𝑇=
2𝜋 2𝜋 2𝜋 𝑟
=𝑣 =
⁄𝑟
𝜔
𝑣
𝑇 = 2𝜋 𝑟√
𝑟
𝑟3
= 2𝜋√
𝐺 𝑀𝑇
𝐺 𝑀𝑇
(𝑅𝑇 + ℎ)3
𝑇 = 2𝜋√
𝐺 𝑀𝑇
L’énergie cinétique du satellite est :
1
𝐸𝑐 = 𝑚𝑆 𝑣 2
2
1
𝐺 𝑀𝑇 𝐺 𝑚𝑆 𝑀𝑇
𝐸𝑐 = 𝑚𝑆
=
2
𝑟
2𝑟
𝐸𝑐 =
𝐺 𝑚𝑆 𝑀𝑇
2(𝑅𝑇 + ℎ)
L’énergie mécanique du satellite sera :
𝐸𝑚 =
𝐸𝑚 = −
𝐺 𝑚𝑆 𝑀𝑇
𝑚𝑆 𝑀𝑇
−𝐺
2𝑟
𝑟
𝐺 𝑚𝑆 𝑀𝑇
𝐺 𝑚𝑆 𝑀𝑇
=−
2𝑟
2(𝑅𝑇 + ℎ)
Remarque : la vitesse du satellite ne dépend pas des caractéristiques du satellite mais de son altitude
uniquement.
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3.2) Satellite géostationnaire
Un satellite est dit géostationnaire s’il reste en permanence à la verticale d’un même point de la
terre.
Son orbite est située dans le plan équatorial, circulaire et parcourue dans le sens de rotation de la
terre.
La période de révolution du satellite est égale à la période de rotation de la terre, soit un jour sidéral.
𝑇 = 𝑇𝑆 = 86164 𝑠
(𝑅𝑇 + ℎ)3
2𝜋 √
= 𝑇𝑆
𝐺 𝑀𝑇
3
𝑇𝑆 2
ℎ = √𝐺 𝑀𝑇 ( ) − 𝑅𝑇
2𝜋
𝐴. 𝑁. ⇒ ℎ = 3,57 ∙ 107 𝑚
Les satellites géostationnaires sont tous sur l’orbite géostationnaire située à une hauteur d’environ
36000 𝑘𝑚 .
4) Détermination de la masse d’une planète et 3ème loi de Kepler
Pour un satellite gravitant autour d’un corps de masse 𝑀 sur une orbite circulaire de rayon 𝑟, on a :
𝑟3
𝑇 = 2𝜋√
𝐺𝑀
On retrouve la loi de Kepler pour les orbites circulaires :
𝑇 2 4𝜋 2
=
𝑟3 𝐺 𝑀
Le rapport
𝑇2
𝑟3
ne dépend donc que de la masse de l’attracteur.
On peut ainsi déduire la masse d’un astre si l’on connait les caractéristiques de l’orbite d’un satellite
de cet astre :
𝑀=
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4𝜋 2 𝑟 3
𝐺 𝑇2
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