Nombres complexes 1. TS Nombre complexe – Représentation • Définition un nombre complexe est un nombre de la forme x + i y , où x et y sont deux nombres réels et i est un nombre imaginaire vérifiant i2 = – 1 . • L’ensemble des nombres complexes est noté ℂ . dans le plan muni d’un repère orthonormal direct ( O ; u , v ) à tout point M correspond un couple ( x ; y ) de réels, celui de ses coordonnées. Réciproquement, à tout couple de réels correspond un unique point de ce plan. ainsi, on peut établir une correspondance entre les points du plan et les nombres complexes, souvent notés avec la lettre z. • Représentation géométrique le nombre complexe x + i y est l’affixe du point M( x ; y ) ou du vecteur OM on écrit : x + i y = zM = zOM ou M( x + i y ) on lit : « le point M d’affixe x + i y » le point M( x ; y ) est l’image de x + i y . le vecteur OM est le vecteur image de x + i y . le plan muni d’un repère orthonormal direct dans lequel on représente les nombres complexes est appelé plan complexe . tout point de l’axe des abscisses est l’image d’un nombre réel x + i 0 , avec x réel noté simplement x . –3 + 0 i = –3 et 0 + 0 i = 0 , ainsi l’ensemble des complexes ℂ contient l’ensemble des nombres réels R . tout point de l’axe des ordonnées est l’image d’un nombre complexe 0 + i y , avec y réel, noté simplement i y et dit imaginaire pur. 0 + 5 i = 5i , ainsi l’axe des abscisses (Ox) est l’axe réel et l’axe des ordonnées (Oy) est l’axe imaginaire • Forme algébrique des nombres complexes tout nombre complexe z admet une écriture unique de la forme x + i y , où x et y sont deux nombres réels cette écriture est la forme algébrique de z avec : x , la partie réelle de z , notée Re(z) ; y , la partie imaginaire de z , notée Im(z) . la partie imaginaire d’un nombre complexe est un réel ; 3 + i ( 5 + 2i ) n’est pas sous forme algébrique, car 5 + 2i n’est pas un réel. soit z un nombre complexe, alors : z est réel si, et seulement si, sa partie imaginaire est nulle ; z est imaginaire pur si, et seulement si, sa partie réelle est nulle . deux nombres complexes, z et z’ sont égaux si, et seulement si, ils ont même partie réelle et même partie imaginaire : Re ( z ) = Re ( z ' ) z = z’ ⇔ Im ( z ) = Im ( z' ) en particulier, un nombre complexe est nul si, et seulement si, sa partie réelle et sa partie imaginaire sont simultanément nulles. • Nombres complexes conjugués Pour tout nombre complexe le point M1 ( z de forme algébrique x + i y , le conjugué de z est le nombre complexe x – i y , noté z z ) est le symétrique de M ( z ) par rapport à l’axe des abscisses (Ox) un nombre complexe et son conjugué ont même partie réelle et des parties imaginaires opposées. Ex : Le conjugué de 2 + 3i est 2 – 3i . • Module et argument d’un nombre complexe soit z un nombre complexe non nul , d’image M dans le plan muni d’un repère orthonormal direct ( O ; u , v ) ; M ayant pour coordonnées polaires ( ρ ; θ ) dans ( O ; u ) . ρ est le module de on dit que : z . z , noté z , noté arg z . θ est un argument de ainsi le rayon polaire OM vérifie z = ρ = OM l’angle polaire ( u , OM ) vérifie arg z = ( u , OM ) = θ + 2k π où k ∈ Z arg z = θ [ 2 π ] qui se lit : « θ modulo 2 π on note aussi : si M est un point de coordonnées polaires ( ρ ; θ ) , ses coordonnées cartésiennes sont : z =ρ= on a les relations : si x = ρ . cos θ et y = ρ . sin θ z = x + i y , s’écrit aussi : z = ρ ( cos θ + i sin θ ) forme trigonométrique du nombre complexe z . ainsi l’affixe de M , » x 2 + y2 ; x cos θ = x 2 + y2 et sin θ = y x 2 + y2 z = 0 , alors M est en O . La distance OM est nulle . On définit le module de 0 par 0 = 0 . 0 n’a pas d’argument . tout point M ( cos θ + i sin θ ) est un point du cercle trigonométrique : cosθ + i sinθ = 1 et arg ( cos θ + i sin θ ) = θ [2 π ] 2. Calculer avec les nombres complexes on munit l’ensemble ℂ d’une addition et d’une multiplication qui ont les mêmes propriétés que dans l’ensemble des nombres réels R. • Addition si Ex : si z = x + i y et z’ = x’ + i y’ alors z + z’ = ( x + x’ ) + i ( y + y’ ) Si z=4+i et z’ = 2 + 3i , Interprétation géométrique z + z’ = 6 + 4i z et z’ sont les affixes des points M et M’ ( ou des vecteurs OM et OM ' ) , z + z’ est l’affixe du point S ( ou du vecteur OS ) telle que OS = OM + OM ' l’opposé d’un nombre complexe z = x + i y est le nombre noté –z = –x – i y . . z et –z sont symétriques par rapport à O . les points d’affixes respectives -z = z et arg (–z) = arg z + π [2 π ] si A et B sont deux points d’abscisses respectives zA et = z – z du vecteur AB est l’affixe z AB z B A AB soit M le point tel que OM = AB , alors : zB , . la longueur AB vérifie : OM = AB = z B − z A ) = arg ( z l’angle orienté vérifie : ( u , OM ) = ( u , AB ) = arg ( z B AB Ex : Si zA = 4 + i et zB = 2 + 3i AB = zB − zA =2 – zA ) ( u , AB ) = arg ( zB 2 • Addition et nombres complexes conjugués z + z' = z + z' si z est non nul de module ρ et d’argument θ : z = ρ et arg ( z ) = – θ [2 π ] z + z = 2.Re(z) z – z = 2i. Im(z) – zA ) = 3π [2 π ] 4 • Multiplication Ex : z = x + i y et (1+i)(1–i)=2 ; si 1 2+i = 2 − i 5 ; z’ = x’ + i y’ alors z z’ = ( x x’ – y y’ ) + i ( x y’ + x’ y ) k z = k x + i k y si k ∈ R ( 5 – 2i ) ( –3 + i ) = –13 + 11 i ; tout nombre complexe non nul Ex : si z=x+iy 1 x −i y 1 = = 2 = x + i y x + y2 z admet un inverse 1 + 2i (1 + 2i )( 3 + i = 3 − i 10 ) = 1 + 7i 10 ; le quotient z z 2 z' 1 = z' × z z z et z’ non nuls , ont pour forme trigonométrique respective z = ρ ( cos θ + i sin θ ) et z’ = ρ’ ( cos θ’ + i sin θ’ ) , alors : z z’ = ρρ’ [ cos ( θ + θ’ ) + i sin ( θ + θ’ ) ] on a : z z' = z . z' et arg ( z z’ ) = arg ( z ) + arg ( z’ ) [2 π ] . preuve : Ex : soit z tel que z = 2 et arg ( z ) = si (1) (2) (3) . si (4) 3 [ 2π ] z z ' = 2 2 et arg ( z z’ ) = alors π π 12 ; −π [ 2π ] 4 π π ] ainsi z z’ = 2 2 cos + i sin 12 12 z’ tel que z ' = [ 2π 2 et arg ( z’ ) = z et z’ sont des nombres complexes non nuls , alors : 1 1 1 = et arg ( ) = – arg ( z ) [2 π ] z z z z' z' = z z zn = z n z' ) = arg ( z’ ) – arg ( z ) [2 π ] z et arg ( et arg ( z ) = n. arg ( z ) [2 π ] n A , B et C sont trois points distincts du plan, d’affixes zC − z A zB − z A = AC et AB arg ( ; ; pour n ∈ N ; zA , zB et zC , alors : zC − z A ) = ( AB , AC ) zB − zA [2 π ] ; preuve : on peut aussi écrire : • Multiplication et nombres complexes conjugués z× z= z si 2 ; z≠0: Ex : (z) n z z' = z × z' ; zn = 1 1 = z z et z' z' = z z où n ∈ N . Si z=3–2i , z z = 9 + 4 = 13 . 3 + 7 i 3 + 7 i 3−7 i = = −2 − 3i −2 − 3i −2 + 3i z=z • Forme algébrique et formes trigonométriques Re ( z ) = Re ( z ' ) z = z’ ⇔ Im ( z ) = Im ( z' ) z = z ' z = z’ ⇔ arg ( z ) = arg ( z' ) [ 2π ] z ∈ R ⇔ Im (z) = 0 ⇔ z – z = 0 ⇔ z = z z ∈ R ⇔ arg ( z ) = 0 ou π [2 π ] ⇔ arg ( z ) = 0 [ π ] z ∈ iR ⇔ Re (z) = 0 ⇔ z + z = 0 ⇔ z = -z z ∈ iR ⇔ arg ( z ) = ou π 2 cos θ + i sin θ = eiθ Forme exponentielle des nombres complexes pour tout nombre réel θ , on pose: tout nombre complexe −π π [2 π ] ⇔ arg ( z ) = [ π ] 2 2 z non nul , de module ρ et d’argument θ , admet une forme trigonométrique ( appelée forme exponentielle de z ) de la forme z = ρ.eiθ remarque : π Ex : si Ex : i 3 1 + i=e 6 ; 2 2 3 + i = 2. e i π 6 ; –1 – 3 i = 2. e −i 2π 3 ; ; z et z’ non nuls , ont pour forme exponentielle respective z = ρ eiθ et z’ = ρ’ eiθ’ , alors : ; • Equations du second degré à coefficients réels Formules de résolution : a , b et c étant trois réels donnés, avec a non nul, on pose ∆ = b2 – 4 a c , ∆ est le discriminant de a z2 + b z + c . Dans ℂ , l’équation a z2 + b z + c = 0 admet toujours deux solutions ( confondues si ∆ = 0 ; conjuguées si ∆ < 0 ) . z1 = −b − δ 2a et z2 = −b + δ 2a où δ est un nombre complexe dont le carré est le discriminant preuve : Ex : = z2 – 4 z + 15 2 z – 2 Re( z1 ) z + z1 2 = ( z – z1 ) ( z – z1 ) = δ2 =∆. • Nombres complexes et géométrie Distances , angles orientés preuve : remarque : • Transformations du plan preuve : preuve : preuve :