Di usion et marche aléatoire

Diusion et marche aléatoire
1 Mouvement brownien et diusion
1.1 Modèle de la marche aléatoire discrète unidimensionnelle
On considère une particule qui, soumise à des chocs aléatoires, fait toutes les θ secondes un saut de ±∆L suivant
−
→
l'axe Ux . Le choix + ou − est aléatoire, déterminé à chaque instant avec une probabilité 21 et 12 .
Pour se familiariser avec ce modèle, on peut regarder quelques uns des résultats qu'il permet de prédire :
Position moyenne :
La position moyenne après un saut s'exprime en multipliant les valeurs possibles par la probabilité de les
obtenir :
hx0 i =
1
2
(+∆L) +
1
2
(−∆L) = 0.
Chaque saut étant indépendant, la valeur moyenne au bout de N saut vaut
hxN i = N hx0 i = 0.
En moyenne, la particule reste immobile puisqu'elle va aussi souvent à gauche qu'à droite.
Moyenne quadratique
La moyenne quadratique caractérise la distance moyenne de la particule à l'origine. Si on attend 1 saut, la
particule se trouve nécessairement à une petite distance de l'origine. Si on attend un grand nombre de saut,
la particule peut être bien plus éloignée (bien que si l'expérience était reproduite un grand nombre de fois, la
position moyenne vaille 0).
On dénit la moyenne quadratique après un saut par
2 1
2
2
2
x0 = 2 (+∆L) + 21 (−∆L) = ∆L2 6= hx0 i
Chaque saut étant indépendant, la moyenne quadratique au bout de N saut vaut
2
xN = N x20 = N ∆L2 .
Ainsi, si on attend une durée T , au cours de laquelle N = Tθ sauts auront lieu, on peut espérer trouver la
q
p
T
particule à une distance hx2N i =
θ ∆L. On retrouve déjà là une propriété de la diusion (la distance
√
parcourue vaut d ' DT ).
1.2 Equation de la diusion
On cherche à présent à déterminer la probabilité de trouver la particule en une position x à instant t. Pour ce
faire, on va commencer par raisonner à l'échelle microscopique avant de passer au continu.
1.2.1
Probabilité de présence
Quelle est la probabilité Pm,N de trouver la particule en xm = m∆L au bout de N sauts ? D'après les règles de
la combinatoire, cette probabilité est donnée par
Pm,N =
nombre de possibilites d0 obtenir xm =m∆L en N sauts
.
nombre de possibilites totales en N sauts
1
1.2 Equation de la diusion
Avec N sauts, on peut suivre 2N parcours diérents puisque chaque saut laisse deux possibilités.
Pour obtenir une position nale en xm , il faut avoir eectué p sauts vers la droite et N − p sauts vers la gauche,
N +m
de façon à obtenir p∆L − (N − p)∆L = m∆L, soit
p=
2 . L'ordre dans lequel sont eectués les sauts à gauche
N
et à droite n'ont pas d'importance. On a donc
façon d'obtenir la position nale xm au bout de N sauts.
p
On en déduit que

Pm,N =
1.2.2

N
p


1
N!
2N p!(N −p)!
=
2N
1
2N
=
N!
( N +m
)!( N −m
)!
2
2
.
Pour un grand nombre de sauts (attention, calculs moches)
Si on considère un grand nombre de sauts et une grande distance (N 1, m 1), on peut utiliser la formule
de Stirlong au premier ordre 1 :
1
1
1
+ ln
ln (Pm,N ) = ln 2N + ln (N !) + ln
( N 2+p )!
( N 2−p )!
en développant par la formule déjà évoquée,
= −N ln (2) + N lnN − N + 21 ln (2πN ) −
N +m
ln N +m + N +m
2
2
1 2
N −m
− 2 ln (π (N − m))
2
N −m
2
− 21 ln (π (N + m)) −
ln
N −m
2
+
en nettoyant l'équation
N +m
2
= −N ln (2) + N lnN + 12 ln (2πN ) −
N +m
2
ln
− 12 ln (π (N + m)) −
N −m
2
N −m
2
ln
− 21 ln (π (N − m))
en factorisant dans le logarithme
= −N ln (2) + N lnN + 21 ln (2πN ) −
N +m
2
1
1+ m
−2 ln πN 1 +
N
1
m
ln
πN
1
−
2
N
ln
N
2
m
N
N −m
2
−
ln
N
2
1−
m
N
−
puis en développant le logarithme du produit
1
= −N ln (2) + N lnN + 21 ln (2πN ) − N +m
lnN − ln2 + ln 1 + m
− 2 lnπN + ln 1 +
2
N
m
1
N −m
lnN − ln2 + ln 1 − N − 2 lnπN + ln 1 − m
2
N
en nettoyant l'équation
= 21 ln (2πN ) − N +m
ln 1 +
2
m
N
−
1
2
m
N
lnπN + ln 1 +
N −m
2
−
ln 1 −
m
N
−
1
2
m
N
−
lnπN + ln 1 −
m
N
en rassemblant les termes
=
1
2
(ln (2πN ) − 2lnπN ) −
N +m+1
2
ln 1 +
m
N
−
N −m+1
2
ln 1 −
m
N
soit nalement, par développement limité,
2
= 21 ln πN
−
N +m+1
2
m
N
−
m2
2N 2
N −m+1
2
−
−m
N −
m2
2N 2
,
d'où on tire enn (ouf !)
ln (Pm,N ) = 12 ln
2
πN
−
m2
2N
On en déduit donc l'expression
Pm,N =
q
2
πN exp
2
m
− 2N
1. James Stirling (1692-1770) est un mathématicien écossais resté célèbre pour sa formule
2
ln (N !) ' N lnN − N + 21 ln (2πN ).
Daniel Suchet
1.2.3
Passage au continu
La probabilité de trouver la particule entre les abscisses x et x+dx à l'instant t est donnée par la loi de probabilité
P (x, t)dx.
dx
x
, k = ∆L
et N = θt .
Or d'après l'analyse précédente, P (x, t)dx = Pm,N + Pm+1,N + ... + Pm+k,N avec m = ∆L
En considérant que Pm,N ne varie que peu entre Pm,N et Pm+k,N , on trouve
dx
P (x, t)dx = kPm,N = Pm,N ∆L
On a ainsi P (x, t) =
q
2
πN ∆L2 exp
m2
− 2N
, soit en remplaçant N et m par leurs expressions,
P (x, t) =
q
2θ
πt∆L2 exp
2
x θ
− 2t∆L
2
=
√ 1
exp
4πDt
2
x
− 4Dt
2
où D = ∆L
2θ est le coecient de diusion.
On retrouve ici la solution de l'équation de diusion d'une particule initialement placée en x = 0 :
(
∂2n
∂n
∂t − D ∂x2 = 0
n(t = 0, x) = δ(x)
2 Equation de Langevin
Pour l'ensemble de la partie suivante, on fera l'hypothèse de l'ergodicité du système : la moyenne sur un grand
¯ . Cette hypothèse
nombre de réalisation hX(t)i est équivalente à la moyenne sur le temps sur une réalisation X(t)
suppose que le système explore une grande partie de l'espace des phases.
On considère une particule mésoscopique plongée dans un uide (type colloïde). On doit alors tenir compte
Des frottements uides que génère le milieu
→
−
−
f = −αM →
v
Des collisions aléatoires des molécules de uide sur la particule mésoscopique. On modélise ces chocs pour une
force dite de Langevin, aléatoire et delta-corrélée (ie sans mémoire).
→
−
F (t)
D→
− E
F (t)
=
0
hFi (t)Fj (t + τ )i
=
2D δij δ(τ )
Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la particule mésoscopique s'exprime alors sous la forme
→
−
→
−
−
M ddtv = −αM →
v + F (t)
La résolution générique de cette équation diérentielle (obtenue par méthode de la variation de la constante par
exemple) donne l'expression de la vitesse
→
−
−
v (t) = →
v (0)e−αt +
1
M
´t→
−
F (u)eα(u−t) du
0
Vitesse moyenne
La vitesse moyenne à un instant t est donnée par
ˆ tD
E
→
→
−
1
→
−
−
−αt
h v (t)i =
v (0)e
+
F (u)eα(u−t) du
M 0
ˆ tD
E
→
−
1
→
−
−αt
= v (0)e
+
F (u) eα(u−t) du
M 0
→
−
−αt
= v (0)e
3
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Energie cinétique moyenne
L'énergie cinétique moyenne à un instant t est donnée par
1 →
M−
v (t)2
2
2 +
ˆ t
→
−
1
→
−
−αt
α(u−t)
F (u)e
v (0)e
+
du
M 0
*ˆ
2 + ˆ t
t
→
−
→
−
1
1 →
−
→
−
2 −2αt
α(u−t)
α(u−t)
−αt
+
F (u)e
du
F (u)e
du
M v (0) e
+ v (0)e
2
2M
0
0
ˆ tD
ˆ t ˆ t D
E
E
→
−
→
−
→
−
1 →
1
→
−
−
α(u+v−2t)
2 −2αt
−αt
F (u) eα(u−t) du
+ v (0)e
du
dv
F (u) F (v) e
M v (0) e
+
2
2M 0
0
0
ˆ t ˆ t 1 →
1
du
dv 2Dδ(v − u)eα(u+v−2t)
M−
v (0)2 e−2αt +
2
2M 0
0
ˆ
1 →
D t 2α(u−t) du e
M−
v (0)2 e−2αt +
2
M 0
1 →
D M−
v (0)2 e−2αt +
1 − e−2αt)
2
2M α
*
=
=
=
=
=
=
1
M
2
Au bout d'un temps long, l'énergie cinétique moyenne est donc donnée par
hEc i '
D
2M α
Le théorème d'équirépartition de l'énergie permet de relier ainsi au premier ordre le coecient de diusion à
la température d'équilibre
hEc i ' 3 ×
kB T
2
4
⇒ D = 3M αkB T
Daniel Suchet