Partiel_2014

Licence de Physique et Applications
Année 2014-2015
Partiel de thermodynamique
(Uniquement une fiche de synthèse et une calculatrice sont autorisées pendant l’épreuve)
Porter une attention particulière à la qualité de la rédaction
Durée : 2h
Partie A : Pompe à chaleur (barème provisoire 10 pts/20)
On souhaite augmenter la température à Teau = 297 K d’un volume d’eau important à partir d’une
température d’air à Tair = 285 K.
Pour cela on utilise une pompe à chaleur, à base d’un fluide caloporteur modélisé par un gaz parfait,
dont la température critique se trouve au-dessus des températures de sources froides et chaudes. Le
fonctionnement est le suivant :
-
A l’état initial, on part d’un mélange liquide-gaz à la température de l’air Tair (Etat 1).
Ce mélange traverse un évaporateur qui l’amène à un état de vapeur saturante au contact de
Tair (Etat 2)
Cette vapeur est ensuite comprimée de manière adiabatique réversible (Etat 3).
La vapeur alors surchauffée au-delà de Teau se refroidit jusqu’à Teau (Etat 4), puis jusqu’à l’état
de liquide saturé (Etat 5) suivant une transformation isobare
Une soupape de détente permet ensuite de faire chuter la pression du fluide et sa
température pour l’amener à l’état 1.
1- On représente les transformations subies par le fluide sur un diagramme T(S).
a- Reproduire la figure T(S) ci-dessous et préciser les points singuliers de la courbe
représentée. Quel nom porte-elle ? A quoi correspond la courbe en cloche ? Préciser les
différents domaines.
b- Placer les températures et le point de départ 1 du cycle en fonction des informations
données.
T
S
c- Représenter sur le graphe les transformations subies par le fluide en précisant leur sens
de parcours.
2- a- Pourquoi utilise-t-on un fluide avec un changement d’état dans ces pompes à chaleur ?
b- Quelles limites et contraintes cela impose-t-il sur la température des sources utilisables
dans une pompe à chaleur ?
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3- Dans l’étape de compression la température du gaz est fortement augmentée jusqu’à T3.
a- La valeur de  pour le gaz utilisé est de 1,2. Pour un gaz monoatomique cette grandeur
vaut 5/3 et 7/5 pour un gaz diatomique. Comment interprétez-vous ce point ?
b- Calculer l’expression analytique de cette température et déterminer sa valeur numérique
avec les données du problème sachant que la pression de départ est de 3 bars et la
pression finale de 9 bars, pour le gaz utilisé on a  = 1.2
c- En déduire le travail mécanique nécessaire pour faire passer le gaz entre les états 2 et 3.
On donne Cp = 576 J.K-1.kg-1
4- Calculer la quantité de chaleur échangée dans le condenseur. On donne : L(Teau) = 175 kJ.kg-1
5- On suppose l’étape de détente isenthalpique. Calculer la fraction massique de gaz à la sortie
du détendeur. On donne CL = 1,38 kJ.K-1.kg-1
6- La transformation dans l’évaporateur permet au liquide d’être ré-évaporé. Déterminer la
quantité de chaleur requise. Comment est apportée cette quantité de chaleur ? On donne :
L(Tair) = 205 kJ.kg-1
7- Calculer l’efficacité du système comme le rapport de la chaleur communiquée à la masse
d’eau, au travail mécanique fourni en alimentant une pompe dont le rendement global est
de 82%. Cette évaluation vous semble-t-elle cohérente ?
8- Comment peut-on augmenter l’efficacité de ce type d’installation ?
I-
Machine de Carnot (barème provisoire : 8 pts/20)
La machine de Carnot est construite avec un gaz parfait enfermé dans une chambre avec un piston
autour de quatre étapes alternant deux types de transformations :
- deux étapes de compression : une isotherme suivie d’une transformation adiabatique
- deux étapes de détente : une isotherme suivie d’une transformation adiabatique
1- Décrire le fonctionnement de la machine de Carnot en régime moteur en précisant
comment évoluent les grandeurs volume, pression et température.
2- Les quantités de chaleur échangées dans la machine de Carnot sont obtenues pour quels
types de transformations ? Discuter l’aspect isotherme ou monotherme d’une
transformation.
3- Exprimer les variations d’énergie interne et d’entropie pour le cycle de Carnot et montrer
que le rendement, défini par le travail fourni par la machine et la chaleur extraite de la
source chaude, peut s’exprimer en fonction du rapport des températures.
4- Le terme :
QC TC

permet de considérer le thermomètre de William Thomson.
QF TF
a- Rappeler les éléments qui permettent de définir l’échelle de degrés Celsius. Cette
échelle dans sa construction est-elle une échelle relative ou absolue ?
b- On pose : T  TC  TF . Exprimer le rendement de Carnot en fonction de de T et de
TF .
c- Le rendement théorique d’une machine thermique fonctionnant entre 0 °C et 100 °C
est de 26,8%. En déduire la valeur de TF associée à partir de la relation établie à la
question précédente. Que pouvez-vous en conclure ?
5- Le rendement établi permet de calculer le travail maximum. Qu’en est-il de la puissance
produite par la machine en considérant les arguments développés à la question 3.
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6- Dans quelle partie du cycle de Carnot les transformations sont susceptibles d’être
irréversibles ?
II- Rendement de Curzon-Alhborn (partie complémentaire plus difficile)
Les questions 1 et 2 comptent pour 2 pts/20
Les questions de 3 à 8 sont des questions additionnelles
Pour modéliser les échanges avec les sources (chaude et froide) on considère des résistances
thermiques d’accès entre la source chaude (respectivement entre la source froide) qui
modélisent les contacts thermiques sur la machine de Carnot. Ces contacts thermiques, décrits
sur la figure 2, font que la puissance thermique P entrante ou sortante est proportionnelle à la
différence des températures amont et aval du contact et à l’inverse de la résistance thermique
exprimée par Rt ce qui conduit à l’écriture de la relation : P =1/Rt (T1-T2)
P
Rt
h
T2
T1
Figure 2 : Modélisation des contacts thermiques par une résistance thermique d’accès
Afin de prendre en compte ces contacts dans la modélisation de la machine proposée sur la figure 3,
on notera TC > TC1 et TF1 > TF. La figure ci-dessous donne une représentation de la machine.
T
TC
QC
TC1
1
TF1
QF
TF
1
S
Figure 3 : Machine de Curzon-Alhborn
1- Exprimer la variation d’entropie S du cycle réversible compris entre TC1 et TF1. De même
exprimer la variation d’énergie interne U.
2- En déduire les expressions des quantités de QC et QF en fonction du rendement  du fluide et
du travail fourni W.
------------------------------------ fin de la partie notée sur 20 -----------------------------
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3- Les quantités de chaleur QC et QF, transmises ou reçues, le sont à des moments différents sur
le cycle et peuvent aussi présenter des durées différentes. On notera tC la durée nécessaire
pour que le système reçoive la quantité de chaleur QC, et tF le temps requis pour évacuer la
quantité QF. Exprimer QC et QF en fonction de Rt, des températures concernées et des temps
caractéristiques. En déduire l’écriture de tC et tF en fonction de W, de Rt et des températures
concernées. Exprimer la durée totale, TC, du cycle en supposant négligeables les temps des
transformations adiabatiques devant les temps des transformations isothermes.
4- Déduire de la question précédente la puissance mécanique fournie par le moteur.
5- Pour des températures de source chaude et froide fixées, que pouvez-vous dire de la
puissance mécanique fournie si on a TC=TC1 et TF=TF1 ?
6- En déduire que la puissance mécanique s’exprime par :
Pméca




TC1  TF 1 
1


TF 1
 TC1

Rt
 T  T   T  T  
C1
C2
F 
 C
7- A quelles conditions la puissance mécanique est-elle maximale ? Faire le calcul et montrer
que : Pmax 
1
4 Rt

TC  TF

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8- Déterminer l’efficacité lorsque la puissance est maximale. Comparer à l’efficacité de Carnot.
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