UNIVERSITE KASDI MERBAH OUARGLA Faculté des Sciences Appliquées Département de Génie Electrique Mémoire MASTER ACADEMIQUE Domaine : Sciences et technologies Filière : Génie électrique Spécialité : Matériaux électrotechnique Présenté par : Amoumene Manel Naima Benras Imane Thème: Modélisation des phénomènes électromagnétiques d’une micro pompe magnétohydrodynamique à conduction à conduction (MHD) Le : 02/06/2016 Devant le jury : MrAyad Ahmed nour el islam MA (A) Président UKM Ouargla Mme Bouali Khadidja MC (B) Encadreur/rapporteur UKM Ouargla MrBen Alia Khaled MC (B) Examinateur UKM Ouargla Année universitaire 2015/2016 Dédicace En ce jour solennel qui vient couronner mes efforts je profiter l'occasion pour exprimer tous mes gratitude en vers ma famille, pour les deux êtres, qui m'ont vu grandir, qui m'onttransmis tout le savoir et qui étaient pour moi uncœurveillant pendant toute ma vie, les deux que je nepourrais jamais assez remercier, A ma mère Noura et mon père Belkhire Ames très cher frère AbdeldjaliletSidahmed , et ma chère Hanaae t son marie Raid , Sans oublier ma chéri Madjid A toutes la famille Amoumene et Bey Pour celles et ceux qui ont partagé mes joies et mespeines, qui m'ont tant aidé et soutenu, Â toutes mes tantes et mes oncles et à toute ma grandefamille je dédie ce travail Pour mon binômeImane,et mes amis de toujours : Sana , Radia , Narimane , Mouhieddine Manel II Dédicace Avant tout l’éloge a dieu tout puissant pour tout ce qu’il madonné et Accorder la force, le courage et la santé à fin de pouvoir accomplir ce travail. Je dédie ce mémoire à : À la plus belle créature que Dieu a créée sur terre, À cette source de tendresse, de patience et de générosité, À ma mère !Pour son amour est inestimable, la confiance et le soutien, et les sacrifices, et toutes les valeurs inculquées en moi. A ma très chère sœur, pour ses encouragements et mon frère. A mon fiancéM.lakhdar. A mes tantes et à mes oncles. A chaque cousins et cousines. A tous la famille. A tous les amis et collègues. En fin je dédie cette mémoire à mes collègues de promotion et tousceux qui me sont chers Imane III Tout d’abord, nous tenons à remercierAllah, le tout puissant pour de nous avoir donné la force et la volonté d’accomplir ce modeste travail. Nous remercions également nos familles pour les sacrifices qu’elles ont faites pour que nous terminions nos études J’adresse mes sincères remerciements à Mme vertueuse BOUALI KHADIDJA maître de conférences à l’université d’Ouargla, pour son encadrement , pour sa contribution, sa patience et son aide tout au long de ce travail. Ainsi que pour les orientations et les conseils qu’elle a su nous prodiguer durant l’évolution de notre projet. Nous tenons à exprimer notre gratitude envers l’ensemble des membres de jury qui ont accepté de lire et juger notre travail : Mr.Ayad Ahmed nourel islam, maitre assistante à l’université KasdiMerbah d’Ouargla, pour avoir accepté de présider le jury. Mr. BEN Alia Khaled , docteure l’université Kasdi Merbah d’Ouargla, pour nous avoir honorés par sa présence. Nous exprimons toutes nos profondes reconnaissances à tous ceux etcelles qui de près ou de loin pour l’aide et l’encouragement qu’ils nousont apporté. Qu’ils trouvent ici l’expression de notre profondegratitude. IV Notation et symboles Symbole Unité Description 𝐴⃗ A/m Potentiel magnétique vecteur ⃗B⃗ Tesla Induction magnétique ⃗D⃗ C/𝑚2 Induction électrique (Déplacement électrique) ⃗⃗ E V/m Champ électrique ⃗⃗⃗⃗⃗ Fele N/𝑚3 Force volumique Lorenz ⃗H ⃗⃗ A/m Intensité du champ magnétique I A V m/s Vitesse d’écoulement Vz m/s La composante de la vitesse suivant (OZ) U V Potentiel scalaire électrique ⃗ji A/𝑚2 Densité des courants induits ⃗ja A/𝑚2 Densité des courants d’électrodes (source) ε0 F/m Ρ Kg/𝑚3 𝜇𝑟 - Perméabilité relative 𝜎 S/m Conductivité électrique Courant électrique Permittivité électrique du vide Densité volumique V Nomenclature Abréviation MHD DC Description Magnétohydrodynamique Courant continu MEF Méthode des éléments finis MIF Méthode des intégrales de frontière MDF Méthode des différences finies MVF Méthodes des volumes finis 2D Bidimensionnel 3D Trois dimension VI Liste Des Figures N° Titre de figure Page (1.1) Barre mobile sur deux rails. 7 (1.2) Générateur MHD à gaz ionisé. 9 (1.3) Pompe électromagnétique à conduction à courant continu. 11 (1.4) Schéma d’une pompe MHD AC. 12 (1.5) Courant induits dans un inducteur de section rectangulaire. 13 (1.6) Pompe magnétohydrodynamique annulaire. 14 (1.7) Générateur MHD à Conduction (tuyère linéaire) 16 (1.8) Générateurs à induction 17 (1.9) Le yamato1 dans la baie de KÖBE 19 (1.10) Micro pompe à conduction (à aimant permanent). 21 (2.1) Configuration proposée de pompe MHD à conduction. 25 (3.1) Maillage du domaine d’étude. 39 (3. 2) Discrétisation avec la méthode des volumes finis. 39 (4.1) Configuration proposée de pompe MHD à conduction 44 (4.2) Géométrie de la pompe MHD à conduction. 45 (4.3) Algorithme du modèle électromagnétique par la méthode des volumes finis. 46 VII (4.4a) Lignes équipotentielles dans la pompe MHD. 47 (4.4b) Distribution du potentiel magnétique dans la pompe. 48 (4.5a) Induction magnétique dans la pompe MHD . 48 (4.5b) Induction magnétique dans la pompe MHD. 49 (4.6) Force électromagnétique dans le canal de la pompe MHD. 49 (4.7) Géométrie de la pompe MHD avec noyau ferromagnétique. 50 (4.8a) Lignes équipotentielles dans la pompe MHD avec noyau ferromagnétique. 51 (4.8b) Potentiel vecteur magnétique dans la pompe MHD avec noyau ferromagnétique. 51 (4.9) Induction magnétique dans la pompe avec noyau ferromagnétique. 52 (4.10) la force électromagnétique avec noyau ferromagnétique. 53 VIII Sommaire Sommaire Sommaire Notation et symboles V Nomenclature VI Liste de fugure VII Introduction générale Introduction ………………………………………………………………………. 04 Problématique ………………………………………………………………….. 05 Objectif ……………………………………………………………………….... 05 Présentation du mémoire ……………………………………………………… 05 Chapitre un Généralité sur les pompes magnétohydrodynamique (MHD) 1-1 Introduction …………………………………………………………………... 06 1-2 Les origines de la magnétohydrodynamique ………………………………… 06 1-3 Définition de la MHD ………………………………………………………... 07 1-4 Principe de la propulsion MHD ……………………………………………... 07 1-5 Principe de pompage de la pompe MHD ……………………………………. 08 1-6 Les convertisseurs MHD ……………..……………………………………… 08 1-6-1 Les convertisseurs MHD linéaires ………………………………………… 09 1-6-2 Les convertisseurs MHD linéaires à conduction ………………………….. 10 a. Pompes à conduction……………………………………………………… 10 a-1 Pompe à courant continu ………………………………………………... 11 a-2 Pompe à conduction à courant alternatif ……………………………….. 11 b- Pompe à induction ………………………………………………………... 12 b-1 Pompes plates …………………………………………………………… 13 b-2 Pompes à induction annulaires ………………………………………….. 13 1-7 Applications de la magnétohydrodynamique …………………………........... 15 1-7-1 Génération de l’électricité par la MHD……………………………….. 15 1-7-1 -1 Générateurs à conduction ……………………………………………. 16 -1- Sommaire 1-7-1 -2 Générateurs à induction ……………………………………………… 17 1-7-2 Propulseurs MHD……………………………………………………... 18 1-7-2-1 Propulseurs à plasma ………………………………………………… 18 1-7-2-2 Canon électromagnétique …………………………………………...... 18 1-7-2-3 La Propulsion navale ……………………………………………….. 18 1-8 Applications de la magnétohydrodynamique à la métallurgie……………….. 20 1-8-1 Brassage électromagnétique……………………………………………... 20 1-8-2 Lévitation………………………………………………………………... 20 1-8-3 Formage…………………………………………………………………. 20 1-8-4 Pulvérisation…………………………………………………………….. 21 1-9 Application biomédical……………………………………………………….. 21 1-10 Conclusion ………………………………………………………………….. 22 Chapitre deux Formulations Mathématiques Des Phénomènes Electromagnétiques 2-1 Introduction …………………………………………………………………... 24 2-2 Analyse des phénomènes électromagnétiques ……………………………….. 24 2-2-1Phénomènes électromagnétiques……………………………………………. 24 2-3 Equations générales de Maxwell ……………………………………………. 24 2-3-1 Equation de Maxwell-Gauss …………………………………………… 25 2-3-2 Equation de Maxwell-Faraday ………………………………………….. 26 2-3-3Equation de conservation du flux magnétique …………………………... 26 2-4 Hypotheses simplificatrices ………………………………………………….. 28 2-5 Formulation des équations électromagnétiques ……………………………… 28 a. Le Modèle électrostatique ……………………………………………..……. 28 b. Le Modèle électrocinétique ………………………………………………… 29 c. Modèle magnétostatique …………………………………………………… 29 d. Modèle magnétodynamique ………………………………………………… 29 2-6 Formulation en termes de potentiel vecteur ………………………………….. 30 2-7 Formulation en coordonnées cylindriques axisymétriques …………………... 32 2-8 Conclusion …………………………………………………………………… 33 -2- Sommaire Chapitre Trois Modélisation Numérique De La Pompe à Conduction Par La Méthode Des Volumes Finis 3-1 Introduction …………………………………………………………………... 35 3-2 Méthodes numériques ………………………………………………………... 35 3-2-1 Méthodes des différences finies (MDF) ………………………………... 35 3-2-2 Méthode des éléments finis (MEF) ……………………………………... 36 3-2-3 Méthode des intégrales de frontières (MIF) …………………………….. 36 3-2-4 Méthode desvolumes finis (MVF) ……………………………………… 36 3-3 Conditions aux limites et conditions d’interfaces ……………………………. 37 3-3-1 Conditions aux limites ………………………………………………...... 37 3-3-2 Conditions d’interfaces …………………………………………………. 38 3-4 Mise en œuvre de la méthode des volumes finis …………………………….. 39 3-5 Etude du modèle électromagnétique par volume finis ……………………….. 40 3-6 Conclusion …………………………………………………………………… 42 Chapitre Quatre Application et résultats de la simulation numérique 4-1 Introduction …………………………………………………………………... 44 4-2 Description du prototype MHD à conduction ……………………………….. 44 4-3 Application et résultats de la modélisation numérique (volumes finis) ……… 46 4-3-1 Potentiel vecteur magnétique…………………………………………... 47 4.3.2 Présentation de l’induction magnétique ………………………………… 48 4-3-3 Distribution de la force électromagnétique …………………………... 49 4-4 Introduction d’un noyau ferromagnétique à l’intérieur du canal ……………. 50 4-4-1 Distribution du potentiel vecteur ……………………………………… 51 4-4-2 Présentation de l’induction magnétique …………………………….. 52 4-4-3 Distribution de la force électromagnétique…………………………… 53 4-5 Conclusion …………………………………………………………………… 53 -3- Sommaire Conclusion générale ……………………………………………………………… 55 Références bibliographiques ……………………………………………………... 57 Résumé …………………………………………………………………………… -4- Introduction Générale IntroductionGénérale Introduction Générale La magnétohydrodynamique (MHD) est l’étude de l’interaction des champs magnétiques et des écoulements de fluide conducteurs. Cette discipline s’attache à des phénomènes très variés de l’échelle du laboratoire (pour les métaux liquides et les gaz ionisés) à l’échelle planétaire (champ magnétique terrestre). La conversion MHD est l’une des applications de cette discipline. Elle concerne la conversion de l’énergie mécanique du mouvement d’un fluide en énergie électrique. Ce mécanisme permet de transformer directement le mouvement d’un fluide en électricité sans passer par des turbines comme dans les centrales classiques. Ceci est un avantage par rapport aux machines classique connues. La conversion peut également s’effectuer en sens inverse ; on utilise l’énergie électrique pour mettre un fluide en mouvement, on obtient ainsi des pompes électromagnétiques [1]. Ces pompes sont conçues dans le but de n’avoir aucune partie mobile et sont ainsi débarrassées de problèmes d’usure et de fatigue provoqués par la basse pression à travers les pièces mécaniques. Comparées à d’autres types de pompes non mécaniques, les pompes magnétohydrodynamiques montrent plusieurs avantages ; à savoir la simplicité de fabrication et des forces continues de pompage [2], [3]. L’application première des pompes électromagnétiques a été le pompage du sodium pour le refroidissement des réacteurs nucléaires. Dès les années 1970, ces pompes ont été utilisées pour le pompage des métaux liquides à haute température comme le zinc et l’aluminium. Aujourd’hui elles sont utilisées dans d’autres domaines comme le domaine médical ou la microélectronique (électrolytes, plasmas) (Baker et Tessier 1987). Elles sont l’une des applications de la magnétohydrodynamique (MHD) qui est à la frontière de deux sciences, la mécanique des fluides et l’électromagnétisme [4]. Les applications de la magnétohydrodynamique sont très larges et dans des échelles très variées, dans l’industrie métallurgique, le transport ou le pompage des métaux liquides enfusion par des pompes électromagnétiques. Il existe aussi des vannes et des débitmètres électromagnétiques. -4- IntroductionGénérale L’élaboration d’un système passe en premier lieu par la connaissance de son comportement, c’est la phase d’analyse. Celle-ci doit déboucher sur une description mathématique des phénomènes physiques qui régissent le comportement des éléments du système, c’est la phase de modélisation. Cette dernière sert de support à la conception car elle permet de prédire les performances du système en fonction de ses caractéristiques [5]. Problématique : Nous sommes donc confrontés à un problème de conception d'une nouvelle structure de pompe MHD à conduction alimentée par un courant continu. Il est donc indispensable d'effectuer sa modélisation. Objectif L’objectif essentiel de ce travail, est la modélisation numérique du modèle électromagnétique de la pompe sous environnement MATLAB. Différentes caractéristiques telles que le potentiel vecteur magnétique, l’induction magnétique, let la force électromagnétique sont déterminées. Présentation du mémoire Le travail exposé dans ce mémoire s’articule autour de quatre principaux chapitres : Dans le premier chapitre, nous intéressons à la présentation des généralités sur les pompes magnétohydrodynamiqueune description générale des convertisseurs MHD ainsi que leurs principes defonctionnement. Le deuxième chapitre est consacré à la formulation mathématique des phénomènes électromagnétiques présents dans les dispositifs électrotechniques. La description des différentes méthodes numériques et le choix de la méthode des volumes finis pour la modélisation numérique des phénomènes électromagnétiques fera l’objet du troisième chapitre. Le quatrième chapitre, est consacré à la présentation du code du calcul développé sous environnement MATLAB. Des résultats électromagnétiques sont présentés. Le mémoire est clôturé par une conclusion générale -5- de modélisation des phénomènes Chapitre I Généralité sur les pompes magnétohydrodynamique(MHD) Chapitre I Généralité sur les pompes magnétohydrodynamique (MHD) 1-1 Introduction La magnétohydrodynamique (MHD) est à la frontière de deux sciences, la mécanique desfluides et l’électromagnétisme. Elle consiste en l’étude de l’interaction entre un écoulement de fluide conducteur et des champs magnétiques. Sa naissance remontre au 19éme siècle, lorsque Faraday écrivit les lois de l’induction magnétique (1831). Elles montrent l’existence d’une force électromotrice induite dans un écoulement soumis à un champ magnétique. Cette force est susceptible de créer des courants qui peuvent agir avec le champ magnétique pour donner naissance à des forces 0de Laplace [3]. 1-2 Les origines de la magnétohydrodynamique La magnétohydrodynamique (MHD) est un domaine vaste de la physique lié à l’interaction entre un champ magnétique et un fluide conducteur d’électricité. La notion de la conversion MHD remonte à l’époque de Faraday qui en plaçant des électrodes dans une rivière d’eau, convenablement orientées par rapport au champ magnétique terrestre, recueillit un faible courant électrique induit [6]. Le phénomène de MHD a été observé par W. Richie en 1833. Les premières expériences sur les effets du champ magnétique sur les systèmes électrochimiques remontent il ya plus d’un siècle et ont été crédités à M. Faraday. Cependant, le développement de la MHD comme une discipline scientifique indépendante commencé lors de la première moitié du 20ème siècle, lorsque les astrophysiciens ont réalisé comment les champs magnétiques et les plasmas sont omniprésents dans tout l'univers. En 1940, H. Alfvén a formulé les grands principes de la MHD, et en 1970 a reçu le prix Nobel pour son travail de pionnier dans MHD. Les scientifiques dans plusieurs domaines sont intéressés à la MHD, à savoir pour la physique des plasmas, de la géophysique, et l'écoulement de métal [7]. -6- Chapitre I Généralité sur les pompes magnétohydrodynamique (MHD) 1-3 Définition de la MHD La Magnétohydrodynamique (MHD) est l'étude du mouvement des fluides conducteurs de l'électricité à la présence des champs magnétiques. Effets de telles interactions peuvent être observés dans les liquides et les gaz. Un certain nombre de recherches ont étudié l'écoulement d'un fluide conducteur de l'électricité à travers des canaux en raison de ses applications importantes dans des générateurs MHD, des pompes, des accélérateurs, des débitmètres et des mesures de la circulation sanguine. Le pompage du métal liquide peut avoir recours à un dispositif électromagnétique, ce qui induit des courants de Foucault dans le métal. Ces courants induits et leur champ magnétique associé génèrent la force de Laplace dont l'effet peut être effectivement le pompage du métal liquide [8]. 1-4 Principe de la propulsion MHD Une expérience simple à réaliser, une petite barre mobile et un aimant en U nous ⃗⃗»(dite de Laplace) à permet de comprendre le phénomène. On peut générer une force « F ⃗⃗» perpendiculaire àcelle- ci ainsi qu’un courant l’aide d’un champ magnétique «B ⃗⃗»et «B ⃗⃗». (figure d’intensité « I » lui aussi perpendiculaire auxdeux autres vecteurs «F 1 .1)Si on inverse le sens du vecteur⃗⃗⃗⃗ B, la force ⃗F⃗ s’inverse aussi [9]. Figure (1.1) : Barre mobile sur deux rails [10]. -7- Chapitre I Généralité sur les pompes magnétohydrodynamique (MHD) 1-5 Principe de pompage de la pompe MHD Ce type de pompe repose sur le principe de la loi de Laplace(un conducteur parcouru par un courant électrique et plongé dans un champ magnétique est le siège d’une force électromagnétique motrice dite force de Laplace suivant la règle des trois doits). Si ce conducteur est un fluide (liquide ou gaz) placé dans les mêmes conditions, c à d parcouru par un courant électrique et plongé dans un champ magnétique, alors une force motrice agis sur ce fluide et provoque son déplacement sans qu’il y est un contact physique, le déplacement d’un fluide sous l’effet d’une force électromagnétique s’appelle la MHD (Magnétohydrodynamique) [10]. 1-6 Les convertisseurs MHD Le convertisseur MHD assure la conversion de l’énergie mécanique du mouvement d’un fluide conducteur en énergie électrique. Ce mécanisme permet de transformer directement le mouvement de fluide en électricité sans passer par des turbines comme dans le cas des centrales classiques. Elle peut également s’effectuer en sens inverse, c’est à dire qu’il est possible d’utiliser l’énergie électrique pour mettre un fluide conducteur en mouvement. On réalise ainsi des pompes magnétohydrodynamiques [3]. Un convertisseur MHD est réversible comme toute machine électromagnétique, il permet de : - Convertir l’énergie mécanique présente dans le mouvement d’un fluide en énergie électrique, c’est le cas d’un générateur MHD. - Convertir l’énergie électrique en énergie mécanique par la mise en mouvement d’un fluide conducteur dans un champ magnétique, c’est le cas d’un accélérateur MHD [1], [6], [10]. -8- Chapitre I Généralité sur les pompes magnétohydrodynamique (MHD) Figure (1.2) : Générateur MHD à gaz ionisé [10]. 1-6-1 Les convertisseurs MHD linéaires Le système le plus simple est celui du convertisseur à induction. Il est constitué d’un canal dans lequel s’écoule un fluide électriquement conducteur à la vitesse⃗⃗⃗⃗ V, le fluide ⃗⃗ qui induit un courant ⃗J collecté par des électrodes en traverse un champ magnétique B contact avec le fluide. La première expérience de la conversion MHD avec un liquide comme fluide a été réalisée par Arago qui eut l’idée d’utiliser les propriétés conductrices d’un fluide en mouvement dans un champ d’induction magnétique, après la découverte par Faraday des lois de l’induction. Ce n’est qu’en 1955 qu’une application industrielle a été envisagée mais dans laquelle le liquide fut remplacé par un gaz conducteur. L’étude fut alors qualifiée de magnétohydrodynamique ce qui parut de prime abord surprenant. Mais le paradoxe n’est qu’apparent, cette appellation était légitime puisque les recherches menées au début sur ces milieux (plasma) faisant intervenir des équations semblables à celles de l’hydrodynamique [11]. La magnétohydrodynamique des plasmas a fait l’objet de travaux conséquents, mais cela n’empêche pas d’évoquer la MHD des métaux liquides dont les avantages ne sont pas négligeables. En effet, à cause des problèmes associés à la température élevée des plasmas, plusieurs approches sont apparues utilisant le métal liquide comme fluide conducteur. Les systèmes à métaux liquides semblent être particulièrement très demandés et beaucoup de travaux ont été élaborés aux USA et en URSS et un grand programme est établi en France [1], [11]. -9- Chapitre I Généralité sur les pompes magnétohydrodynamique (MHD) Les convertisseurs MHD sont principalement utilisés dans l’industrie sous forme de pompes électromagnétiques, dans les aspects propulsifs de véhicules de haute technologie ainsi que pour certains types d’armes militaires. En général, il existe deux catégories de machines MHD linéaires : Convertisseurs MHD linéaires à conduction. Convertisseurs MHD linéaires à induction. 1-6-2 Les convertisseurs MHD linéaires à conduction Lesconvertisseurs MHD linéaires à conduction peuvent fonctionnent principalement comme moteur (pompe). Dans ce type de pompe, le courant électrique est fourni par une source extérieure et le champ magnétique est imposé. Une limitation essentielle est le manque d’adhérence du métal sur les parois, ce qui augmente les pertes [11]. Il existe plusieurs formes de pompes à conduction, parmi lesquelles on peut citer : Les pompes à conduction à courant continu . Les pompes à conduction à courant alternatif. a. Pompes à conduction Les pompes liquides à conduction en métal, ou les pompes de "Faraday", se composent d'un canal rectangulaire dans d'un aimant ( ou électroaimant) où un courant électrique est translaté par le liquide passe de manière perpendiculaire aux lignes de ⃗⃗ conduit à l'écoulement. champ. La force résultante de Laplace ⃗J∧B Il existe plusieurs formes de pompes à conduction, parmi lesquelles on peut citer. Les pompes à conduction à alimentation continue (figure 1.3) Les pompes à conduction à courant alternatif. La différence entre ces deux types de pompes se situe au niveau de l’alimentation du bobinage qui peut être soit en courant continu soit encourant alternatif [3]. - 10 - Chapitre I Généralité sur les pompes magnétohydrodynamique (MHD) a-1 Pompe à courant continu Dans ce type de pompe, le courant électrique est fourni par une source extérieure (figure1.3). On impose des champs magnétiques, pour des gains de pression de plusieurs atmosphères et des débits de quelques dizaines de m3/h [3]. Figure (1.3) : Pompe électromagnétique à conduction à courant continu [3]. Une limitation essentielle est le manque d’adhérence du métal sur les parois, qui augmente la résistance interne et par suite les pertes [3]. a-2 Pompe à conduction à courant alternatif Au lieu d’alimenter le bobinage en courant continu, on peut leur appliquer un courant alternatif (monophasé), sinusoïdal dans le cas le plus simple. Posons donc pour le courant : I (t)=I0sin wt (1.1) et pour le champ : B(t) = B0 sin (wt+ϕ0) (1.2) On établit facilement l’expression de la force de Laplace moyenne par unité de longueur. - 11 - Chapitre I Généralité sur les pompes magnétohydrodynamique (MHD) Si ce mode de fonctionnement a l’avantage d’être moins coûteux, il présente les inconvénients suivants : Création de tourbillons dans l’écoulement par turbulence, d’où dissipation visqueuse. Création des courants de Foucault dans les parois, d’où dissipation résistive (effet Joule). Risque de cavitation si la pression d’entrée est inférieure à 1. Vibrations produites par l’emploi d’une phase unique. Ce dernier inconvénient disparaîtra dans le cas des pompes à induction, puisque alors trois phases sont utilisées, [3]. Figure (1.4) : Schéma d’une pompe MHD AC [11]. b- Pompe à induction Une alternative de la pompe à conduction est la pompe à induction, où les courants électriques sont induits dans le métal liquide au moyen d'un champ magnétique, ⃗⃗ avec le champ instantané pour assurer l'écoulement. Plusieurs produisant une force 𝐽⃗∧𝐵 types de pompes à induction sont possibles. Ici on s’intéresse à la pompe linéaire plate à induction et la pompe annulaire à induction[3]. - 12 - Chapitre I Généralité sur les pompes magnétohydrodynamique (MHD) Les inconvénients typiques sont les pertes de puissance et le besoin d’isolations électriques hautes températures. b-1 Pompes plates Le principe est celui du générateur à induction, utilisé en moteur. Des enroulements polyphasés créent un champ glissant B(x, t) = 𝐵0 sin ( wt – kx) (1.3) Qui accélère le fluide par le couplage avec les courants électriques induits. Les inconvénients propres à ce type de pompe sont la mauvaise étanchéité des raccords entre section circulaires (tuyauterie) et rectangulaires (pompe). Le type annulaire est plus performant que le type rectangulaire car les courants induits sont toujours perpendiculaires à la direction de l’écoulement. Ainsi, la force a partout la même direction que celle de l’écoulement. Par contre, dans le cas à une machine de section rectangulaire, les courants induit se reforment de manière moins favorable aux échanges d’énergie mécanique à énergie électrique et provoquent d’avantage des pertes joule. La forme approximative des lignes de courant induit est dessinée sur la figure (1.5) [3]. Figure (1.5) : Courant induits dans un inducteur de section rectangulaire [3]. b-2 Pompes à induction annulaires La conception de ces pompes remonte à 1929 (Einstein et Szilard). Le conduit est annulaire entre deux tubes coaxiaux dont l’intérieur contient un noyau de fer doux,et - 13 - Chapitre I Généralité sur les pompes magnétohydrodynamique (MHD) l’extérieur est couvert de bobines triphasées( figure (1.6)). On atteint des pressions de quelques atmosphères, des débits de l’ordre de 102𝑚3 /h. Il existe un modèle analytique d’écoulement dans un tube cylindrique soumis à champ radial glissant .Il considère un fluide incompressible, visqueux, un écoulement non turbulent et à symétrie de révolution. En outre, le nombre de Reynolds magnétique ordinaire est supposé petit [3]. Figure (1.6) : Pompe magnétohydrodynamique annulaire [11]. Les avantages de ces pompes sont les suivants [10] : Les courants électriques se referment dans la masse du fluide, ce qui rend inutile l’adhérence de celui- ci sur la paroi ; La forme est simple et l’encombrement est économique ; Le démontage est facile. Le courant des enroulements primaires produit un champ magnétique dedéplacement qui produit un courant induit dans le métal liquide. Les équations décrivant le processus de pompe dans le canal sont les équations deMaxwell, la loi de l'Ohm et l'équation de conservation pour des écoulements incompressibles laminaires [3]. - 14 - Chapitre I Généralité sur les pompes magnétohydrodynamique (MHD) Conservation du flux magnétique : ⃗⃗ =0 𝑑𝑖𝑣𝐵 (1) ⃗⃗ = ∇ ⃗⃗˄ 𝐴⃗ Avec :𝐵 (2) Qui donnent le champ magnétique, et loi d’Ohm : ⃗ 𝜕𝐴 ⃗⃗ ) 𝐽⃗ = 𝜎 (− 𝜕𝑡 + 𝜗⃗˄𝐵 (3) Le vecteur de densité de courant𝐽se compose à deux composantes :𝐽⃗ = 𝐽⃗0 + 𝐽⃗𝑖 Où 𝑗⃗𝑖 : densité de courant induit de le flux. 𝑗⃗𝑜 : densité de courant d’excitation des les enroulements. 1-7 Applications de la magnétohydrodynamique La MHD offre un potentiel d’applications industrielles et de recherches considérables. 1-7-1 Génération de l’électricité par la MHD Les recherches approfondies de génération d'électricité par MHD ont débuté au XXe siècle, tout d'abord avec le physicien BelaKarlovitz pour le compte de la société Westinghouse de 1938 à 1944. Ce générateur MHD était de type "Hall annulaire" et utilisait un plasma issu de la combustion du gaz naturel ionisé par faisceaux d'électrons. Cette expérience ne fut pas convaincante car la conductivité électrique du gaz était aussi limitée que les connaissances de l'époque en physique des plasmas. Une seconde expérience menée en 1961 au même laboratoire, utilisant un liquide composé d'un combustible fossile enrichi en potassium, excédent 10 kW. La même année, une puissance identique fut générée aux laboratoires Avco Everett par ledocteur Richard Rosa, en utilisant de l'argon enrichi par pulvérisation d'une poudre de carbonate de potassium (substance donnant facilement des électrons libres, ce qui augmente la conductivité électrique du plasma) et ionisé par arcs électriques à 3000°K [11]. - 15 - Chapitre I Généralité sur les pompes magnétohydrodynamique (MHD) Les années 1960 virent un effort international très important en vue de créer les premières centrales MHD électriques industrielles, avec un gaz ionisé à très haute vitesse comme fluide conducteur. En 2007, un ensemble d'expériences concluantes réalisées aux États-Unis pour le compte de l'armée américaine, avec un fluide simulant une sortie de tuyère d'un avion hypersonique a permis d'obtenir une puissance générée supérieure à 1 MW. Ce type d'expérience est susceptible de relancer l'intérêt (notamment militaire) de la MHD, après une "mise en sommeil" de cette technique pendant de nombreuses années. 1-7-1 -1 Générateurs à conduction Un générateur MHD (magnétohydrodynamique) est un convertisseur MHD qui transforme l'énergie cinétique d'un fluide conducteur directement en électricité. Le principe de base est fondamentalement le même que pour n'importe quel générateur électrique. Les deux types de générateurs utilisent un inducteur (électroaimant ou aimant permanent) générant un champ magnétique dans un induit ou canal. Dans le cas d'un générateur conventionnel, cet induit est solide : c'est une pièce métallique portant des bobines en cuivre. Dans le cas d'un générateur MHD, cet induit est fluide : liquide conducteur (eau salée, métal liquide) ou gaz ionisé (plasma). Les générateurs MHD n'utilisent donc pas de pièce mécanique mobile, contrairement aux générateurs traditionnels. Le fluide est mis en mouvement dans le champ magnétique, ce qui génère un courant électrique, recueilli aux bornes d'électrodes immergées et connectées à une charge [11]. Figure (1.7) : Générateur MHD à Conduction (tuyère linéaire) [11]. - 16 - Chapitre I Généralité sur les pompes magnétohydrodynamique (MHD) 1-7-1 -2 Générateurs à induction Le générateur à induction ne comporte pas d’électrodes car le courant est produit par un champ magnétique induit par le couplage champ- vitesse. C’est un premier avantage. De plus, le courant produit est alternatif, ce qui élimine le besoin d’un convertisseur comme dans le cas des générateurs à conduction [11]. Ce générateur MHD fonctionne sans électrodes avec des champs magnétiques variables. Classiquement, une "onde magnétique" se déplace dans le fluide, émise par des courants électriques alternatifs circulant dans plusieurs électroaimants successifs, avec la même amplitude mais en déphasage. La variation du champ magnétique génère des courants induits dans le gaz, qui eux-mêmes génèrent des champs magnétiques induits dont les lignes de champ coupent les enroulements en spires des bobines. Si la vitesse du gaz est supérieure à la vitesse de déplacement de l'onde magnétique, les courants induits seront tels que les forces de Lorentz générées auront tendance à ralentir l'écoulement et à générer par induction un courant dans les bobinages triphasés analogue à celui des moteurs asynchrones ou linéaires. Figure (1.8) Figure (1.8) : Générateurs à induction [11] - 17 - Chapitre I Généralité sur les pompes magnétohydrodynamique (MHD) 1-7-2 Propulseurs MHD 1-7-2-1 Propulseurs à plasma Ces dispositifs également appelés MPD (Magneto Plasma Dynamique) utilisent des gaz tels que Argon comme propergol. Pour des puissances développées de 4 à 10 MW, les rendements de ces appareils sont de l’ordre de 30% à 40%. Ce type de propulseur, bien adapté aux changements d’orbites, offre l’avantage chimique de consommer 3 à 10 fois moins de propergol qu’un propulseur chimique habituel [2],[11]. L’inconvénient majeur est du à l’érosion des surfaces isolantes par le fluide chaud, comme pour le générateur MHD. Il en résulte une perte de masse qui limite la durée de vie du matériel. Leur principe de fonctionnement est le suivant : le propergol est injecté entre les électrodes et traversé par un courant électrique. Celui-ci induit dans le plasma un champ magnétique qui par couplage avec le courant électrique produit une force de Laplace qui accélère le plasma [11]. 1-7-2-2 Canon électromagnétique Le canon électromagnétique est tout à fait analogue à un moteur linéaire à courant continu, le plasma joue le rôle de l’armature et les rails celui d’enroulement. Il a comme caractéristique principale de garder une pression à peu près constante pendant l’accélération du projectile. Ce dispositif inventé par le géophysicien K. Birkeland a des applications variées [11]. Lancement de charges spatiales ; déchets nucléaires. Armes militaires ; destruction de missiles en vol. Fusion nucléaire ; initiation des réactions par impact (150 Km/s). 1-7-2-3 La Propulsion navale Ces dernières années la MHD a connu un regain d’intérêt dans le domaine de la propulsion des bateaux dont le fluide conducteur (eau de mer) utilisé est de conductivité électrique basse. Ceci est du à l’avènement des supraconducteurs qui a engendré le renouveau des recherches sur cette technique. Et avec l’augmentation des inductions - 18 - Chapitre I Généralité sur les pompes magnétohydrodynamique (MHD) magnétiques au environ de 10 Teslas, les rendements ont nettement augmenté en passant de 8% à 60%. Des systèmes à induction et à conduction sont à envisager [2]. Le principe de base de la propulsion MHD navale est simple. Il consiste à utiliser des forces électromagnétiques pour propulser des navires. Ces forces de Laplace sont issues de l’interaction entre un champ magnétique, crée par des bobines supraconductrices et des courants électriques circulant dans l’eau de mer. Ainsi, l’énergie électrique, fournie par des groupes électrogènes embarqués à bord, est directement transformée en énergie mécanique [11]. La magnétohydrodynamique (MHD) permet une propulsion directe des navires par réaction en supprimant l’hélice et toute pièce mécanique mobile d’entraînement. L’action combinée dans l’eau de mer, d’un champ magnétique et d’un champ électrique développe un champ de forces électromagnétiques volumiques que l’on appellera force MHD. Le Yamato 1 est un démonstrateur technologique civil japonais de navire à propulsion électromagnétique (utilisant les principes de la magnétohydrodynamique) conçu à partir de 1985 et réalisé au début des années 1990. Il se déplace silencieusement jusqu'à une vitesse de 8 nœuds (15 Km/h) par réaction et sans hélice, grâce à un accélérateur MHD aspirant à l'avant l'eau de mer, naturellement conductrice de l'électricité, et la rejetant à l'arrière Figure (1.9) [11]. Figure (1.9) : Le yamato1 dans la baie de KÖBE [11] - 19 - Chapitre I Généralité sur les pompes magnétohydrodynamique (MHD) 1-8 Applications de la magnétohydrodynamique à la métallurgie Dans ce cas, les forces magnétiques doivent être suffisantes (proportionnelles à la conductivité) pour mettre le métal liquide en mouvement (brassage), le maintenir en sustentation (lévitation), le façonner (formage), le pulvériser (pulvérisation). Le champ magnétique fluctuant agit sur le fluide par l’intermédiaire de la force de ⃗⃗en fonction de l’application désirée [12], [11]. Laplace 𝐽⃗𝐵 1-8-1 Brassage électromagnétique Les brasseurs électromagnétiques, tout comme les pompes électromagnétiques, ont la particularité de ne pas posséder de parties mobiles. Par brassage, ils entraînent l’élimination de bulle, d’impuretés et aussi l’accélération du mélange (par turbulence) lors de réactions métallurgiques (fabrication d’alliages). 1-8-2 Lévitation Les procédés de lévitation utilisés par la MHD permettent de résoudre trois problèmes à la fois 1) L’absence de contact entre la charge et le creuset évite la contamination du métal par la paroi 2) L’échauffement de la charge par effet Joule peut en causer la fusion 3) Le brassage interne du fluide formé produit un mélange efficace des constituants (alliages) [10]. 1-8-3 Formage Le formage électromagnétique consiste à façonner des masses métalliques en lévitationmagnétique par l’action de champs magnétiques qui modèlent la surface libre désirée. Cette technique a l’avantage d’éviter le chauffage et le reformage après solidification. - 20 - Chapitre I Généralité sur les pompes magnétohydrodynamique (MHD) 1-8-4 Pulvérisation La technique électromagnétique permet la fabrication de poudres de tailles moyennes (≈100m) avec un débit massique élevé. De plus, l’ajustement de la granulométrie est facile et automatique. Le freinage des métaux peut être aussi assurée par des convertisseurs linéaires à induction appelés vannes électromagnétiques ou robinets électromagnétiques. Il en est de même pour lamesure des vitesses d’écoulement qui peut être effectuée à l’aide des débitmètres électromagnétiques [10]. 1-9 Application biomédical La MHD a permet de développer une technique nouvelle permettant de bouger des espèces ioniques en présence à la fois de champs magnétique et électrique. Les micros pompes MHD contrôlent le flux à l’intérieur du système micro fluidique en générant une différence de pression le long du micro canal, proportionnelle à l’intensité du courant électrique et au champ magnétique. Pomper des solutions électrolytiques avec la MHD implique la génération de courants continu (DC) dans tels environnements [9]. Figure (1.10) : Micro pompe à conduction(à aimant permanent) [10]. - 21 - Chapitre I Généralité sur les pompes magnétohydrodynamique (MHD) 1-10 Conclusion Une description générale des convertisseurs MHD ainsi que leurs principes defonctionnement ont été donnés dans ce chapitre. Les phénomènes électromagnétiques et leur formulation fera l’objet du deuxième chapitre. - 22 - Chapitre II Formulations Mathématiques Des Phénomènes Electromagnétiques Chapitre II Formulations Mathématiques Des Phénomènes Electromagnétiques 2-1 Introduction Les phénomènes électromagnétiques étudiés au sein des dispositifs électrotechniques sont régis par les équations de Maxwell et les équations caractéristiques du milieu. La connaissance du champ électromagnétique permet d’avoir accès au calcul des performances globales et au détail des conditions de fonctionnement de tout appareil électromagnétique que ce soit en régime permanent ou transitoire[1]. Les équations de la physique fondamentale qui régissent un tel domaine sont appelées équations de Maxwell. Elles sont constituées par un ensemble des équations différentielles linéaires, appliqués à un certain nombre de grandeurs physiques appelées électromagnétiques [3]. 2-2 Analyse des phénomènes électromagnétiques 2-2-1 Phénomènes électromagnétiques L’effet du champ électrique ou magnétique (ou de leur combinaison) détermine le fonctionnement des machines tournantes, des pompes et des transformateurs. En effet, on peut déduire du champ magnétique les valeurs des flux, des forces électromotrices (dans les générateurs), des couples d’entrainement (dans les moteurs) et des forces d’évacuation du fluide dans les pompes[11]. 2-3 Equations générales de Maxwell Les quatre équations de Maxwell sont à la base de tout phénomène électrique et magnétique. Elles sont aussi fondamentales en électromagnétismes que les lois de Newton en mécanique[1]. Quatre grandeurs vectorielles caractérisent le champ électromagnétique. Ces grandeurs, qui dépendent de l’espace et du temps sont le champ électrique⃗⃗⃗⃗ E, le champ ⃗⃗ et l’induction électriqueD ⃗⃗. magnétique⃗⃗⃗⃗ H, l’induction magnétiqueB - 24 - Chapitre II Afin Formulations Mathématiques Des Phénomènes Electromagnétiques d’expliquer le principe opérationnel de base des pompes magnétohydrodynamique, la structure schématique de la pompe proposée est montrée dans (figure (2.1)). Elle est constituée d’un circuit magnétique sous forme de tore, deux bobines, deux électrodes et un canal où circule un fluide supposé incompressible. Dans la pompe les forces de pompage proviennent des forces de Laplace induites par l’intermédiaire entre un champ magnétique appliqué et des courants électriques [7]. Figure (2.1) : Configuration proposée de pompe MHD à conduction [9]. Dans le domaine des machines électriques, les équations de Maxwell ont été intégrées de manière très simplifiée. Sous forme différentielle elles peuvent être décrites comme suit[9]: 2-3-1 Equation de Maxwell-Gauss div ⃗D⃗ = ρ (2.1) Une charge électrique est source d’un champ électrique ; autrement dit, les lignes de champs électriques commencent et se terminent autour des charges électriques [9]. - 25 - Chapitre II Formulations Mathématiques Des Phénomènes Electromagnétiques 2-3-2 Equation de Maxwell-Faraday ⃗⃗⃗ ∂B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ rot⃗E = − ∂t (2.2) Cette équation exprime le couplage électrique et magnétique en régime dynamique et où la variation temporelle de ⃗B⃗ détermine le⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ rot⃗⃗⃗⃗⃗ E, mais ceci ne suffit pas pour déterminer complètement⃗⃗⃗⃗ E[9]. 2-3-3 Equation de conservation du flux magnétique ⃗⃗ = 0 divB (2.3) Cette relation traduit mathématiquement le fait que les seules sources de champ magnétique sont les courants électriques, et il n’existe pas de charge magnétique ; c’est pourquoi les lignes du champ sont toujours fermées sur elles-mêmes. Elles forment des boucles. Ces boucles n’ont ni point de départ, ni point d’arrivée, ni point de convergence, d’où la nomination d’induction conservative (champ conservatif) [9]. ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ = ⃗JC + ∂D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗H rot ∂t (2.4) Où : ⃗D⃗ :Vecteur induction électrique (déplacement électrique) [C/m2], ⃗ : Vecteur champ électrique [V/m]. E ⃗B⃗: Induction magnétique [T]. ⃗H ⃗⃗ : Vecteur champ magnétique [A/m]. ⃗JC : Densité de courant de conduction électrique [A/𝑚2 ]. ⃗⃗⃗ ∂D Le terme ∂t exprime la densité de courant de déplacement négligeable [A/𝑚2 ]. Pour définir complètement les phénomènes électromagnétiques à l’intérieur d’un milieu, on rajoute les lois de comportement des milieux ainsi que la loi d’ohm généralisée: [3] . - 26 - Chapitre II Formulations Mathématiques Des Phénomènes Electromagnétiques ⃗⃗ = μH ⃗⃗⃗ B (2.5) ⃗⃗⃗ = εE ⃗⃗ D (2.6) ⃗⃗ ⃗ji = σE (2.7) σ : Conductivité électrique [(Ω.m) −1]. Ji : Densité des courants induits [A/𝑚2 ]. ε : Permittivité électrique [F/m]. (ε = εo. εr). μ : Perméabilité magnétique [H/m], (μ = μo. μr). A ces équations, doit être associée la loi d’Ohm généralisée : ⃗Jc = ⃗Jex + σE ⃗⃗ + σ(v ⃗⃗) ⃗⃗˄B (2.8) ⃗⃗ : Vecteur vitesse du fluide [m/s]. v ⃗Jex : densité surfacique éventuelle de courant ⃗⃗) : Densité des courants induits par mouvement [A/𝑚2 ]. σ(v ⃗⃗˄B La loi d’ohm généralisée régit la densité du courant électrique dans un milieu en mouvement soumis à un champ électromagnétique. D’après les équations de Maxwell et la loi d’Ohm généralisée, il apparaît que le champ ⃗⃗ est une grandeur électromagnétique fondamentale, puisque les autres magnétique Β ⃗⃗etJ⃗ s’en déduisent simplement. grandeurs comme Ε Il est possible d’exprimer avec une seule équation, l’évolution du champ magnétique en prenant en compte le champ électrique et la densité du courant [3]. - 27 - Chapitre II Formulations Mathématiques Des Phénomènes Electromagnétiques 2-4 Hypotheses simplificatrices Pour déterminer le modèle mathématique qui régit les phénomènes électromagnétiques dans la pompe MHD à conduction, certaines hypothèses simplificatrices sont à proposer : Les matériaux à utiliser sont à propriétés isotropes donc ⃗D⃗ est lié à⃗⃗⃗⃗ E, ⃗Β⃗ est lié ⃗⃗ et la source de courant ⃗J est liée à ⃗E⃗ avec la direction du champ dans à ⃗H chaque paire est aligné. Les courants de déplacement ⃗⃗ 𝜕𝐷 𝜕𝑡 ⃗⃗⃗ dans le cadre ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗H sont négligés devant⃗⃗⃗Jc et rot de l’approximation quasi-statique. La densité volumique de charge est considérée nulle [3]. 2-5 Formulation des équations électromagnétiques Les équations de Maxwell décrivent globalement tous les phénomènes électromagnétiques, mais, suivant les dispositifs que l’on étudie, on peut avoir plusieurs modèles. a. Le Modèle électrostatique ⃗⃗est produit par des charges stationnaires qui ne varient Dans ce modèle, le champ E pas en termes de répartition. Ce modèle est régit par les équations suivantes [3] ⃗⃗) = 0 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(E rot {div(D ⃗⃗⃗) = ρ (2.9) ⃗D ⃗⃗ = εE ⃗⃗ Car : ⃗⃗⃗ ∂B ∂t =0 ⃗⃗) = 0 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(E La relation : rot permet de définir une fonction auxiliaire U appelée ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗U potentiel scalaire électrique, tel que: ⃗E⃗ = −grad Ce modèle se ramène alors à l’équation suivante : - 28 - Chapitre II Formulations Mathématiques Des Phénomènes Electromagnétiques ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ U) + ρ = 0 div(ε grad b. (2.10) Le Modèle électrocinétique Ce modèle est utilisé dans l’étude de la répartition du courant électrique de conduction dans des conducteurs isolés soumis à des différences de potentiel continues. Il est régit par les équations[3]. ⃗⃗) = 0 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(E rot {div (J⃗) = 0 (2.11) ⃗J = σ E ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ La relation: rot E = 0 montre qu’il existe encore un potentiel électrique scalaire U ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗U ⃗⃗ = −grad (tension électrique), tel que : E Le modèle se ramène alors à [9] ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(U)) = 0 div(σgrad c. (2.12) Modèle magnétostatique Dans ce modèle, le terme 𝜕𝐵 𝜕𝑡 est nul. Ceci s’explique par le fait que le champ magnétique est produit par des sources indépendantes du temps, [3]. d. Modèle magnétodynamique Ce modèle s’applique aux dispositifs électromagnétiques dans lesquels les sources de courant ou de tension varient dans le temps. C’est à dire que le terme ⃗⃗⃗ ∂B ∂t n’est pas nul, les champs électriques et magnétiques sont alors couplés par la présence des courants induits[3], [11]. Pour représenter l’état électromagnétique en un point, on doit alors faire recourt au ⃗⃗ = 0 ; les avantages présentés par ce type de formulation potentiel vecteur⃗⃗⃗⃗ A car div B sont nombreux : - 29 - Chapitre II Formulations Mathématiques Des Phénomènes Electromagnétiques C’est la plus utilisée et elle réduit le nombre d’inconnues Elle permet d’imposer des sources électriques par les bobines La connaissance de toute autre grandeur physique peut être déduite [3,11]. ⃗⃗ est un champ La première équation indique que l’induction magnétique B rotationnel. Ceci implique qu’il existe un potentiel vecteur magnétique⃗⃗⃗⃗ A tel que [11] : B = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ rot⃗⃗⃗⃗ A ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ { rotH = ⃗J ⃗⃗⃗ ⃗ = − ∂B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗E rot (2.13) ∂t A ces équations, nous ajoutons les lois caractéristiques par le milieules équation (2.5) et (2.6) C’est à partir de ces équation de base de ce modèle que nous pouvons déterminer l’équation décrivant l’évolution des prénomment électromagnétique. L’utilisation de ce modèle est très répondue dans l’étude des machines électriques, des transformateurs, etc.……. [3]. 2-6 Formulation en termes de potentiel vecteur magnétique A partir de l’équation du flux magnétique, on définit le potentiel vecteur magnétique ⃗A⃗par l’équation suivante [3]. ⃗⃗. ⃗⃗⃗⃗ = rot ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗A B En effet, puisque le rotationnel du gradient de toute fonction scalaire U est nul, donc, ⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗A⃗ , d’où la nécessité d’imposer tout vecteur (A grad U) satisfait la relation⃗⃗⃗⃗ B = rot une condition de Jauge afin d’assurer l’unicité de la solution. Nous proposons d’utiliser ⃗⃗ = 0. la Jauge de Coulombdiv A Dans le cas général, il existe une infinité de vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ A pouvant satisfaire la relation ⃗⃗. ⃗⃗ = rot ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗A B ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ∂B ∂(rotA) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (∂A) rot⃗E⃗ = − ∂t = − ∂t = −rot ∂t (2.14) - 30 - Chapitre II Formulations Mathématiques Des Phénomènes Electromagnétiques Ce qui implique que : ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ + ∂A) = 0 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗E⃗ + rot ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∂A = 0 rot ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (E rot ∂t ∂t ⃗⃗⃗ ⃗⃗ + ∂A) Le champ (E ∂t (2.15) de l’équation (2.15) est conservatif, donc a partir de cette relation, on peut définir un potentiel scalaire U tel que: ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗U ⃗⃗ + ∂A = −grad E ∂t (2.16) On a aussi : ⃗⃗⃗ ∂A ⃗J = ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ Donc σE ⃗⃗ = ⃗J − ⃗⃗⃗⃗⃗ Jex + σE Jex = −σ( ∂t + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ grad U) (2.17) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D’autre part, on a : rot H = ⃗J ⃗⃗⁄μ ) = ⃗J = 1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗A⃗) Mais⃗⃗⃗⃗ H = ⃗B⃗⁄μ rot rot (rot μ (2.18) ⃗⃗⃗ ∂A 1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗U) + σ(V ⃗⃗) = ⃗Jex − σ( + grad ⃗⃗˄B ⃗⃗) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(rot ⃗⃗⃗⃗⃗⃗A Donc :μ rot ∂t (2.19) ⃗⃗⃗ 1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗U ⃗⃗˄B ⃗⃗) = ⃗Jex − σgrad ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗A⃗) + σ ∂A − σ(V μ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ rot(rot ∂t (2.20) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + σ(V ⃗⃗˄ B ⃗⃗)J⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ Jind = σE Jex + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Jind (2.21) ⃗⃗⃗ ∂A ⃗⃗˄B ⃗⃗) représentent les densités des courants induits. Ils Les termes σ ( ∂t ) et σ(V traduisent le caractère dynamique dans le temps et dans l’espace des phénomènes électromagnétiques; pour la pompe MHD à conduction proposée, le champ magnétique imposé est constant ; donc le premier terme ’annule. ⃗⃗⃗ ∂A ∂t = 0 Puisque la pompe est alimente avec courant continu [11]. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗U) = ⃗⃗⃗ Le terme −σ(grad Ja décrit la densité du courant imposée à travers les électrodes. U représente le potentiel scalaire électrique en Volts [11]. - 31 - Chapitre II Formulations Mathématiques Des Phénomènes Electromagnétiques Pour pouvoir résoudre l’équation (2.20), on ajoute une autre équation pour que la ⃗⃗ (jauge de Coulomb) : solution soit unique. On fixe la divergence de A div ⃗A⃗ = 0 (2.22) Le modèle électromagnétique de la pompe sera comme suit : { ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗U − σ(V ⃗⃗) + σgrad ⃗⃗˄B ⃗⃗) = ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (1 rot ⃗⃗⃗⃗⃗⃗A rot Jex μ (2.23) div ⃗A⃗ = 0 2-7 Formulation en coordonnées cylindriques Une grande partie des problèmes magnétiques peut être traitée en bidimensionnel, ce qui est le cas pour notre problème, l’existence des deux types de systèmes bidimensionnels : ceux infiniment longs alimentés suivant une direction (oz), ceux à symétrie de révolution alimentés selon la direction (oφ). Dans une configuration axisymétrique (coordonnées cylindriques (r, φ, z)), la formulation utilisant le potentiel vecteur offre l’intérêt suivant: Lorsque le courant d’excitation est orienté suivant la direction φ, le système présente une seule inconnue, la composante ortho radiale (𝐴𝜑 ) du vecteur⃗⃗⃗⃗ 𝐴. Dans une telle configuration, les courants sont perpendiculaires au plan d’étude [11] Les composantes des différentes grandeurs électriques et magnétique sart : 0 0 0 Br Hr ⃗J [Jφ ] ; ⃗E⃗ [Eφ ] ; ⃗A⃗ [Aφ ] ; B ⃗⃗ [ 0 ] ; ⃗H ⃗⃗ [ 0 ] ; Bz Hz 0 0 0 (2.24) Sachant qu’en coordonnées cylindriques, les coordonnées de⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟𝑜𝑡 𝐴⃗ sont : − ⃗⃗ = { ⃗⃗⃗⃗⃗⃗A rot ∂Aφ ∂z 0 (2.25) 1 ∂(rAφ ) r ∂r - 32 - Chapitre II Formulations Mathématiques Des Phénomènes Electromagnétiques Après développements en coordonnées cylindriques, l’équation (2.23) devient : 1 − [ ∂ ∂Aφ μ ∂z ∂z + ∂ ( 1 ∂(rAφ ) ∂r r ∂r σ ∂(rAφ ) r ∂z )] + vz = 𝑗𝑒𝑥 + j𝑎 (2.26) En introduisant la transformation 𝐴 = 𝑟𝐴𝜑 , on obtient : 1 [ ∂ 1 ∂A μ ∂z r ∂z + ∂ ( 1 ∂A ∂r r ∂r σ ∂A r ∂x )] − vz = −𝑗𝑒𝑥 − j𝑎 (2.27) C’est une équation aux dérivées partielles, décrivant le comportement d’un dispositif cylindrique axisymétrique. Sous l’hypothèse que les matériaux sont linéaires et que les sources d’alimentation sont constantes [11]. 2-8 Conclusion Ce chapitre a été consacré aux formulations mathématiques des phénomènes électromagnétiques présents dans les dispositifs électrotechniques. Des modèles mathématiques ont été établis dans leurs formes générales. Dans notre travail, nous avons opté pour le modèle électromagnétique avec la formulation en potentiel vecteur magnétique ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴 pour des raisons cité précédemment. Dans le chapitre suivant on présentera la modélisation de la pompe à conduction par la modélisation des volumes finis. - 33 - Chapitre III Modélisation Numérique De La Pompe à Conduction Par La Méthode Des Volumes Finis Chapitre III Modélisation Numérique De La Pompe à Conduction Par La Méthode Des Volumes Finis 3-1 Introduction Dans le chapitre précédant, nous avons établi les équations aux dérivées partielles décrivant les systèmes électromagnétiques. La résolution de ces équations par les méthodes analytiques est impossible dans le cas général où la géométrie des dispositifs étudiés est complexe, et où les matériaux ont des propriétés magnétiques non linéaires. Seules des méthodes numériques sont possible. Parmi ces méthodes on peut citer : La méthode des différences finies MDF, la méthode des éléments finis MEF et la méthode des volumes finis MVF. Dans ce cas, au lieu de résoudre l’équation de façon continue, on discrétise le potentiel vecteur en un nombre fini de points dans le domaine d’étude. L’objectif de ce chapitre est la modélisation de la pompe à conduction par la méthode des volumes finis. 3-2 Méthodes numériques Les méthodes numériques sont utilisées avec succès dans la plupart des problèmes de la physique. Néanmoins chacune d’elles a son domaine d’application privilégié. Une description rapide de ces méthodes numériques va nous permettre de déterminer les liens qui existent entre les caractéristiques de ces dernières. C’est sur cette base que s’est effectué notre choix des méthodes numériques pour la modélisation des phénomènes électromagnétique de la pompe MHD [11]. 3-2-1 Méthodes des différences finies (MDF) La MDF est basée sur la discrétisation du domaine d’étude et le développement limitéen série de Taylor de la fonction à déterminer en chacun des nœuds du maillage. Ainsi,l’équation différentielle est transformée en équation algébrique en chacun des nœuds. L’écriture de cette transformation pour tous les nœuds du maillage conduit à un système algébrique dont la solution permet d’obtenir la distribution de l’inconnue dans le domaine d’étude. Cette méthode s’adapte mal aux objets de géométries complexes à cause de la rigidité du maillage. D’autre part, la mise en compte des conditions de symétrie, de - 35 - Chapitre III Modélisation Numérique De La Pompe à Conduction Par La Méthode Des Volumes Finis passage d’un milieu physique à un autre (fer, air, etc.,..) et des non linéarités (saturation) nécessite un traitement spécifique [14,15,16]. 3-2-2 Méthode des éléments finis (MEF) La méthode des éléments finis (MEF) est utilisée pour la résolution des équationsdifférentielles dans le domaine des sciences des ingénieurs.Le principe de la méthode consiste à subdiviser le domaine d’étude en régions élémentaires (éléments finis) et à représenter l’inconnue par une approximation polynomiale dans chacune de ces régions, ensuite, l’erreur due à l’approximation doit être minimisée. La MEF est une méthode très puissante pour la résolution des équations différentielles surtout dans les géométries complexes. Sa mise en œuvre par contre, est assez compliquée et demande une place mémoire assez importante [17,18 ,19]. 3-2-3 Méthode des intégrales de frontières (MIF) Lorsqu’on utilise la MDF ou la MEF, on calcule les variables inconnues dans tout le domaine. La MIF permet de ramener le maillage à la frontière du domaine. Ainsi, le calcul des valeurs de l’inconnue sur les frontières du domaine suffit pour obtenir la solution en tout point du domaine. Pour ramener le problème sur les frontières, la MIF utilise le théorème d’Ostrogorski - Green. Cette méthode peut être intéressante pour l’étude de structure en 3D ou lorsque l’air ou les milieux passifs occupent une grande partie du domaine d’étude. Cependant, cette méthode a l’inconvénient de conduire à un système algébrique àmatrice pleine (pas de termes nuls). Ceci augmente le temps utilisateur [20, 21, 22]. 3-2-4 Méthode des volumes finis (MVF) La méthode des volumes finis (MVF) est très appliquée pour les problèmes de la mécanique des fluides. La discrétisation des équations aux dérivées partielles s’opère à partir d’une forme conservative pour chaque volume de contrôle par une technique qui ressemble à la méthode des différences finies. Donc le principe de conservation est imposé au niveau de chaque volume de contrôle contrairement à la méthode des éléments finis où les principes de conservation sont vérifiés uniquement de manière - 36 - Chapitre III Modélisation Numérique De La Pompe à Conduction Par La Méthode Des Volumes Finis globale. Cette méthode est simple à développer et moins coûteuse que la méthode des éléments finis [23]. Le domaine d’étude dans cette méthode est subdivisé en volumes élémentaires de telle manière que chaque volume entoure un nœud du maillage. L’équation est intégrée sur chacun des volumes élémentaires. Pour calculer l’intégrale dans ce volume élémentaire, la fonction inconnue est représentée à l’aide d’une fonction d’approximation entre deux nœuds consécutifs. Ensuite, la forme intégrale est discrétisée dans le domaine d’étude. Cela conduit à une solution plus précise que la méthode des différences finis (MDF). Ces méthodes sont particulièrement bien adaptées à la discrétisation spatiale des lois de conservation [23, 24]. 3-3 Conditions aux limites et conditions d’interfaces Pour que le problème soit complètement défini, il faut déterminer les conditions aux limites sur les frontières du domaine, ainsi que les conditions de passage entre les différents milieux constituant ce domaine. 3-3-1 Conditions aux limites On distingue essentiellement deux types de conditions aux limités, dans les problèmes de champs électromagnétiques formulés en termes de vecteur potentiel: Conditions aux limites de Dirichlet (A=A0) : dans ce cas, le vecteur potentiel magnétique A est constant sur la frontière, ce qui veut dire que l’induction magnétique est parallèle à ce contour qui présente alors une équipotentielle. Cette condition auxlimites peut se présenter aussi sur les plans ou les axes polaires(dans ce cas on se limite à mailler une partie du domaine). Elle est utilisée dans le cas où le système à étudier présente des plans de symétrie. La condition de Neumann homogène (∂A/∂n=0) : on la trouve sur les plans où les axes de symétrie magnétique (axes inter polaires par exemple). Sur cette frontière, les lignes de l’induction magnétique sont normales. De même, lorsque ce type de conditions aux limites apparait sur des axes d’antisymétrie, le maillage est limité à une portion du domaine. - 37 - Modélisation Numérique De La Pompe à Conduction Par La Méthode Des Volumes Finis Chapitre III 3-3-2 Conditions d’interfaces Dans le cas général, un dispositif électrotechnique comporte des milieux différents (fer, air, cuivre, …etc.). Alors, avant d’aborder la résolution du problème, il est nécessaire de connaitre le comportement des champs électromagnétiques à travers l’interface entre les différents milieux. Les conditions de passage aux frontières de l’interface 12 entre deux milieux de propriétés physiques différentes d’indices 1 et 2 portent sur les continuités et discontinuités des différentes composantes normales et tangentielles des grandeurs électromagnétiques : Conservation de la composante tangentielle du champ électrique : ( E2 E1 ) n 0 (3.1) Conservation de la composante normale de l’induction magnétique : ( B2 B1 ). n 0 (3.2) Discontinuité de la composante tangentielle du champ magnétique due aux courants surfaciques s’ils existent : ( H 2 H1 ) n J ex (3.3) Discontinuité de la composante normale de l’induction électrique due aux charges surfaciques si elles existent : ( D2 D1 ). n s (3.4) avec n : normale à la surface; J ex : densité surfacique éventuelle de courant; s : densité de charge surfacique à l’interface. - 38 - Modélisation Numérique De La Pompe à Conduction Par La Méthode Des Volumes Finis Chapitre III 3-4 Mise en œuvre de la méthode des volumes finis La méthode des volumes finis a été choisie pour la résolution des équations électromagnétiques. Le domaine d’étude est divisé en un nombre d’éléments figure (3.1).Chaque élément contient quatre nœuds du maillage. Un volume fini entoure chaque nœud du maillage. Dans cette méthode, chaque nœud principal ‘P’( le centre du volume de contrôle) est entouré par quatre nœuds N,S,E, et W qui sont les centres des volumes de contrôles adjacents situés respectivement au Nord, Sud, East et Ouest de celui contenant ‘P’, [23]. Figure (3.1) : Maillage du domaine d’étude [11] L’équation différentielle est intégrée sur chaque volume. Un profil choisi exprimant la variante ⃗A⃗ entre les nœuds est utilisé pour évaluer l’intégrale. Le résultat de ⃗⃗d’un ensemble de nœuds. discrétisation est une équation qui lie les valeurs deA L’équation discrétisée de cette façon exprime le principe de conservation pour ⃗A⃗ dans l’élément de volume. La solution obtenue est constituée uniquement par les valeurs nodales, figure (3.2). Figure (3.2) : Discrétisation avec la méthode des volumes finis [11] - 39 - Chapitre III Modélisation Numérique De La Pompe à Conduction Par La Méthode Des Volumes Finis La méthode des volumes finis consiste donc à : Décomposer la géométrie en mailles élémentaires (élaborer un maillage) . ⃗⃗ sur le domaine de calcul. Initialiser la grandeur A Lancer le processus d’intégration temporelle jusqu’à la convergence. 3-5 Etude du modèle électromagnétique par la mèthode des volume finis Pour discrétiser l’équation (2.27), le domaine d’étude est subdivisé en un nombre fini de nœuds. Ce domaine est ensuite divisé en mailles rectangulaires dont chacune contient un nœud, comme il est indiqué sur la figure (3.2). La projection de l’équation (2.26) sur une base de fonction de projection βi et son intégration sur le volume fini, correspondant au nœud P, donne z r i A 1 1 A 1 A [ ( ) ( )]rdrdz i [ ( z )]rdrdz i ( J ex J a )rdrdz r r r r z z r z r z r z (3.5) 1 βi est la fonction de projection choisie égale à . Après substitution de r l’expressionde β i , l’équation (3.5) se présente sous la forme suivante : 1 1 A z A 1 A [ z ( r z ) r ( r r )]drdz [ ( r z r z r z )]drdz ( J ex J a )drdz (3.6) z r L’intégrale de l’équation (3.5) sur le volume fini, délimité par les frontières(e, w, n et s) est 1 1 A 1 A A [( ) ( )]drdz [ ( z )]drdz ( J ex J a )drdz z r z r r r r r z s w s w s w n e n e n e (3.7) Après intégration, et on prenant un profil linéaire, l’équation algébrique finale est de la forme : a P AP a E AE aW AW a N AN a s AS (a N' AN a S' AS ) d 0 - 40 - (3.8) Chapitre III Modélisation Numérique De La Pompe à Conduction Par La Méthode Des Volumes Finis z a E r ( ) E r E z aW r ( ) W r W Avec : r a N z N ( z ) N r a S z S ( z ) S (3.9) aP aE aW aN aS (3.10) d 0 ( J ex J a )rz (3.11) L’équation obtenue est une équation algébrique reliant l’inconnue au nœud principal ‘P’ aux inconnues aux nœuds voisins «W», «E», «S», «N». Si le problème est linéaire, le système d’équations peut être résolu par une méthode itérative. La forme matricielle de ce système d’équation s’écrit sous la forme : M LA F (3.12) Où : M L: Matrice coefficients, A: Vecteur inconnu, F : Vecteur source. L’écoulement d’un fluide est influencé par les phénomènes électromagnétiques via les forces de Laplace. Ces dernières expriment l’interaction entre les champs magnétiques et les courants électriques [25]: F J in B J in J a (V B ) (3.13) En tenant compte des conditions aux limites dont les plus courantes sont les conditions de Dirichlet et de Neumann données sur les frontières du domaine à étudier. Pour le problème traité, l’équation électromagnétique est résolue en posant A = 0 sur les frontières du domaine de résolution et celle de Neumann. - 41 - Chapitre III Modélisation Numérique De La Pompe à Conduction Par La Méthode Des Volumes Finis 3-6 Conclusion Le présent chapitre a été consacré à la présentation de quelques méthodes numériques d’approximation pour la résolution des problèmes électromagnétiques en tenant compte du type de problème. Dans le cadre de notre travail, la méthode numérique retenue est celle des volumes finis et cela pour deux raisons : la première est qu’elle est facile à concevoir contrairement à la MEF et la deuxième est qu’elle peut être appliquée à des géométries complexes contrairement à la MDF. - 42 - Chapitre IV Application et résultats de la simulation numérique Chapitre IV Application et résultats de la simulation numérique 4-1 Introduction Après avoir exposé les formulations mathématiques des problèmes électromagnétiques dans les pompes MHD, on présente dans ce qui va suivre les résultats de simulation du modèle électromagnétique à partir d’un code de calcul bidimensionnel (2D). Le code en question permet d’étudier les phénomènes électromagnétiques dans la pompe magnétohydrodynamique (MHD) par l’application de la méthode des volumes finis. 4-2 Description du prototype MHD à conduction Afin d’expliquer le principe opérationnel de base des pompes magnétohydrodynamiques, la structure schématique de la pompe proposée est montrée dans les figures (4.1) et (4.2). Elle est constituée d’un circuit magnétique sous forme de tore, deux bobines, deux électrodes et un canal où circule un fluide supposé incompressible. Dans la pompe les forces de pompage sont les forces de Laplace induites par l’intermédiaire d’un champ magnétique appliqué et des courants électriques. En raison de la symétrie géométrique, seulement le quart du domaine a été pris en compte pour le calcul numérique. Le principe de fonctionnement est basé sur l’application d’un champ magnétique permanent et constant, (produit par un enroulement inducteur), et croisé par un courant continu qui est amené dans le fluide par des électrodes pour créer une force de La place qui assure le pompage et le déplacement du fluide. Figure (4.1) : Configuration proposée de pompe MHD à conduction - 44 - Chapitre IV Application et résultats de la simulation numérique 0.18 0.16 A=0 0.14 0.12 ⃗⃗ 𝛛𝐀 =𝟎 𝛛𝐧 Electrode 0.1 Circuit magnétique 0.08 A=0 0.06 Canal 0.04 Bobines A=0 0.02 0 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 [cm] Figure (4.2) : Géométrie de la pompe MHD à conduction la longueur du canal 0.18 m le rayon du canal 0.03m la largeur de l’électrode 0.01m la longueur du l’inducteur 0.1m la largeur du l’inducteur 0.07m la longueur de la bobine 0.03m la largeur de la bobine 0.03m le nombre d’électrodes : 2 le nombre de bobines : 2 la densité du courant d’excitation Jex= 4.106 A/ 𝑚2 la densité du courant injectée par les électrodes Ja = 4.106 A/ 𝑚2 Les paramètres caractéristiques du mercure sont : 1- Conductivité σ = 1.07.106 (Ω. 𝑚)−1 2- Perméabilité relative 𝜇𝑟 = 1.55 - 45 - Chapitre IV Application et résultats de la simulation numérique 4-3 Application et résultats de la modélisation numérique (volumes finis) Un code de calcul à base des volumes finis 2D est établi pour simuler le comportementd’une pompe magnétohydrodynamique à conduction. La figure (4.3) donne l’organigramme de la méthode des volumes finis. Données physiques Données numériques •Pas de discrétisation •Nombres de nœuds Résolution de l’équation électromagnétique Par la méthode des volumes finis Test de non Convergence Oui Calcul de : Potentiel vecteur magnétique Induction magnétique Force électromagnétique Fin Figure (4.3) : Algorithme du modèle électromagnétique par la méthode des volumes finis - 46 - Chapitre IV Application et résultats de la simulation numérique 4-3-1 Potentiel vecteur magnétique L’étude électromagnétique est consacrée à des simulations qui nous permettent de donner une appréciation sur les grandeurs électromagnétiques précédemment décrites à partir du modèle en potentiel vecteur magnétique développé au cours de ce chapitre. Les figures (4.4a), (4.4b) représentent respectivement les lignes équipotentielles (la distribution des lignes de champ) et le potentiel vecteur dans la pompe MHD. Sur chacune de ces figures, on voit clairement que les valeurs maximales se trouvent aux voisinages des deux bobines (sources d’excitations) ; le potentiel vecteur est moins significatif à l’entrée de l’électrode qu’à la sortie. Cela s’explique par les équipotentielles qui se concentrent à la sortie de l’électrode ; c’est à dire pour la bobine d’entrée, les lignes de champs créées par l’électrode et cette dernière se retranchent par contre les lignes de champs créées par l’électrode et la bobine de sortie s’additionnent. Figure (4.4a) : Lignes équipotentielles dans la pompe MHD - 47 - Chapitre IV Application et résultats de la simulation numérique Figure (4.4b) : Distribution du potentiel magnétique dans la pompe 4.3.2 Présentation de l’induction magnétique Les figures (4.5a) et (4.5b) représentent respectivement l’induction magnétique dans la pompe en 3D et 2D. Elle présente des pics aux lieux de disposition des bobines. Figure (4.5a) : Induction magnétique dans la pompe MHD - 48 - Chapitre IV Application et résultats de la simulation numérique Induction magnétique B[T] 1.5 1 0.5 0 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 Z[m] Figure (4.5b) : Induction magnétique dans la pompe MHD 4-3-3 Distribution de la force électromagnétique La figure (4.6) montre la distribution de la force électromagnétique dans la pompe MHD 5 7 x 10 3 Force électromagnétique [N/m ] 6 5 4 3 2 1 0 -1 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 Z[m] Figure (4.6) : Force électromagnétique dans le canal de la pompe MHD - 49 - Chapitre IV Application et résultats de la simulation numérique 4-4 Introduction d’un noyau ferromagnétique à l’intérieur du canal Dans le but d’améliorer les performances de la pompe MHD, on a introduit un noyau ferromagnétique à l’intérieur du canal. Une étude électromagnétique a été effectuée et les résultats des simulations obtenus sont présentés : La figure (4.7) représente la géométrie avec un noyau ferromagnétique. 0.18 0.16 A=0 0.14 Electrode 0.12 0.1 Circuit magnétique 𝜕𝐴 =0 𝜕𝑛 A=0 0.08 0.06 Canal 0.04 A=0 Bobines 0.02 Noyau ferromagnétique 0 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 [cm] Figure (4.7) : Géométrie de la pompe MHD avec noyau ferromagnétique - 50 - 0.18 Chapitre IV Application et résultats de la simulation numérique 4-4-1Distribution du potentiel vecteur magnetique Les figures (4.8a) et (4.8b) représentent les lignes équipotentielles et la répartition du potentiel vecteur dans la pompe en présence d’un noyau ferromagnétique. 0.18 0.16 0.14 z[m] 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 r[m] Figure (4.8a) : Lignes équipotentielles dans la pompe MHD avec noyau ferromagnétique Figure (4.8b) : Potentiel vecteur magnétique dans la pompe MHD avec noyau ferromagnétique - 51 - Chapitre IV Application et résultats de la simulation numérique 4-4-2 Présentation de l’induction magnétique La figure (4.9) représente l’induction magnétique dans la pompe MHD avec noyau ferromagnétique. On constate une augmentation de l’induction électromagnétique dans la pompe avce noyau ferromagnétique. Figure (4.9) : Induction magnétique dans la pompe avec noyau ferromagnétique - 52 - Chapitre IV Application et résultats de la simulation numérique 4-4-3 Distribution de la force électromagnétique La figure (4.10) représente la force électromagnétique avec noyau ferromagnétique Figure (4.10) : la force électromagnétique avec noyau ferromagnétique 4-5 Conclusion Ce chapitre a été consacré à la présentation du code du calcul développé sous environnement MATLAB. Des résultats de modélisation des phénomènes électromagnétiques sont présentés. Une étude des performances de la pompe, a été faiteétudiée en introduisant un noyau ferromagnétique à l’intérieur du canal. Les résultats obtenus montrent une amélioration des performances de la pompe. - 53 - Conclusion générales Conclusion générales Conclusion générales La magnétohydrodynamique (MHD) est une discipline scientifique qui décrit le comportement d'un fluide conducteur du courant électrique (liquide ou gaz ionisé appelé plasma) en présence de champs électromagnétiques. C'est une généralisation de l'hydrodynamique (appelée plus communément mécanique des fluides, définie par les équations de Navier-Stokes) couplée à l'électromagnétisme (équations de Maxwell). Entre la mécanique des fluides « classique » et la magnétohydrodynamique, se situe l'électro hydrodynamique ou mécanique des fluides ionisés en présence de champs électriques (électrostatique), mais sans champ magnétique. Dans ce travail on va étudie les phénomènes électromagnétique en 2D dans une micro pompe MHD à conduction. Différentes caractéristiques telles que le potentiel vecteur magnétique, l’induction magnétique la densité de courant, force magnétique sant présenté Une étude des performances de la pompe, a été étudiée en introduisant un noyau ferromagnétique à l’intérieur du canal. Les résultats obtenus montrent une amélioration des performances de la pompe. Les perspectives : Faire le modèle thermique et magnétohydrodynamique par volume finis et élément finis -55- Références bibliographiques Références bibliographiques [1] L. Leboucher, « Optimisation des Convertisseurs MHD à Induction : Problème Inverse en Electromagnétisme », Thèse de Doctorat, Université de Grenoble, 1992. [2] R. Berton, « Magnétodynamique », Editions Masson, Paris, 1991. [3] N. Bergoug, « Etude de l’influence des Matériaux ferromagnétiques sur les performances d’une machine MHD par la Modélisation Numérique 2d », Thèse de Magister, Université de BATNA .2006. [4] M. 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Abstract : The workpresented in thismemory, is an electromagneticstudy of a micro pump MHD conduction. The essential objective of thisworkis the numericalmodeling of electromagnetic model of the pump by the finite volume methods in MATLAB simulation software. Variousfeaturessuch healthpresented. Keywords:Canal, Electrode, MHD (MHD), finite volume method (FVM), MATLAB. : الملخص MHD العمل المقدم في ھذه األطروحة یتكون منالدراسة الكهرومغناطيسي لمضخة صغيرة التوصيل لنموذج الرقمية العمل ھو النمذجة لمختلف, MATLAB الهدف الرئيسي من ھذا.magnétohydrodynamique باستخدام برنامج المحاكاة كهرومغناطيسي للمضخة بطریقة الحجم المحدود . وأخيرا القوة الكهرومغناطيسية, التحریض المغناطيسي,الخصائص مثل ناقالت المغناطيسي ,(MVF( طریقة الحجم المحدود, قطب الكهربائي, قناة,)MHD( كهرودیناميكية: الكلمات المفتاحية .MATLAB -60-