1 Di raction sur des composés multiferroïques 2 Chaine

Master-1 et Magistère-2 de Physique Fondamentale
Centre Scientique d'Orsay
Université de Paris-Sud
Physique de la Matière Condensée
Session de Mars 2010
Durée: 3 heures.
Remarques:
• Les documents ne sont pas autorisés, mais les calculatrices le sont.
• Il est vivement conseillé de lire l'ensemble du texte avant de composer.
• Les exercices sont indépendants
1 Diraction sur des composés multiferroïques
Les composés multiferroïques de formule chimique RMn2 O5 où R est une terre rare, sont
des systèmes très prometteurs dans le domaine de l'électronique de spin car ils présentent
des ordres magnétiques et ferroélectriques couplés.
Ils cristallisent dans un système cristallin orthorhombique avec a = 2b et a = 3c. Dans
l'exercice, on étudie la structure du composé grâce à la diraction de Rayons X. Nous
considérerons uniquement les atomes de terre rare, ici R = Pr (Z = 59) qui occupent
les positions suivantes dans la maille :(x, y, 0); (−x, −y, 0) ; (1/2 − x, 1/2 + y, 0) ;
(1/2 + x, 1/2 − y, 0).
1. Dessiner la projection cotée de la maille dans le plan (a, b).
2. Justier brièvement qu'on puisse ne considérer que les atomes de Pr
3. Calculer le facteur de structure S en fonction de h, k et l. Calculer S(0kl) et S(h0l).
4. Donner les indices des 6 premières raies (dues uniquement aux atomes de Pr) observées en diagramme de poudre par ordre d'angles de diraction croissants.
2 Chaine linéaire polyatomique traitée en liaisons fortes
On considère une chaine linéaire constituée d'atomes A et B. Les atomes de type A sont
séparés par une même distance a. Les atomes B sont séparés par la même distance a.
Un atome B est au milieu de deux atomes A . Les orbitales atomiques des atomes A sont
toutes identiques et situées sur les sites d'indice pair et sont notées φ2n . Les orbitales
atomiques des atomes B sont toutes identiques et situées sur les sites d'indice impair et
sont notées φ2n+1 . Les éléments de matrice de l'hamiltonien sont tous nuls hormis :
1
hφ2n |H| φ2n±1 i = hφ2n±1 |H| φ2n i = −t
hφ2n |H| φ2n±2 i = hφ2n±2 |H| φ2n i = −t0
hφ2n+1 |H| φ2n+1±2 i = hφ2n+1±2 |H| φ2n+1 i = −t00
L'origine des énergies est choisie telle que:
hφ2n |H| φ2n i = hφ2n+1 |H| φ2n+1 i = 0.
On supposera t, t0 et t00 réels positifs. On suppose que les orbitales forment une base
orthonormée. On considère un état de Bloch, ψk de moment cristallin k et d'énergie E(k):
|ψk i =
X
cn |φ2n i + dn |φ2n+1 i
n
1. Préciser le pas du réseau puis la première zone de Brillouin.
2. Exprimer les coecients cn et dn en fonction de c0 et d0 .
3. Montrer que l'énergie des états propres, E(k), vérie l'équation :
E(k)2 + 2 E(k) (t0 + t00 ) cos ka − 2t2 (1 + cos ka) + 4t0 t00 cos2 ka = 0
4. On se place désormais dans la limite t00 << t0 < t. En déduire l'expression de E(k)
en fonction de t et t0 .
5. Dans cette question, on suppose t0 = 0. Déterminer l'expression de E(k) puis tracer
cette fonction dans la première zone de Brillouin. Montrez que la courbe obtenue
se déduit (par des opérations que l'on précisera) de l'énergie d'une chaîne d'atomes
tous identiques (dont on précisera le pas) et avec interaction uniquement entre plus
proches voisins (t 6= 0, mais t0 = t00 = 0).
6. On suppose que chaque atome A et que chaque atome B est monovalent, en déduire
la valeur du vecteur d'onde de Fermi, kF et la position du niveau de Fermi, EF .
7.
t0 6= 0 et t0 < t. Déterminer les valeurs de E(k) pour
k = 0, k = ±π/a et k = ±π/2a.
Dans la suite de l'exercice,
8. Déterminer la masse eective des électrons pour k = ±π/a .
9. Tracer la fonction E(k) dans la première zone de Brillouin. Commentez.
10. Rappeler la forme de la densité d'états électronique en bord de chaque bande. On
justiera l'approximation eectuée. Tracer l'allure de la variation de la densité
d'états en fonction de l'énergie.
2
11. On suppose que chaque atome A est monovalent et que chaque atome B est monovalent : en déduire la nouvelle position du niveau de Fermi, EF et la valeur du vecteur
d'onde de Fermi, kF . Le système est-il conducteur?
12. On suppose que chaque paire AB est monovalente, c'est à dire que la charge moyenne
fournie par chaque atome A est 0,5 électron et que la charge moyenne fournie par
chaque atome B est 0,5 électron. En déduire la nouvelle position du niveau de Fermi,
EF et la valeur du vecteur d'onde de Fermi, kF . Le système est-il conducteur?
3 Expérience de Little et Parks
Figure 1: Cylindre supraconducteur.
Dans ce problème, nous allons essayer d'expliquer l'expérience de Little et Parks1 qui
a montré une modulation de la température critique d'un cylindre supraconducteur en
fonction du champ magnétique appliqué.
Pour cela, nous considérons le cylindre supraconducteur (de type I) ci-contre, de rayon
intérieur R et d'épaisseur faible devant la longueur de pénétration de London. On va
chercher à déterminer la température critique Tc (B), au-dessus de laquelle l'état supraconducteur est détruit, en fonction du champ appliqué. Comme on se situe à la limite
de co-existence entre l'état supraconducteur et l'état normal, on peut considérer que le
champ magnétique à l'intérieur du supraconducteur B est égal au champ magnétique appliqué Ba . On considère par ailleurs que la fonction d'onde d'une paire de Cooper peut
s'écrire:
√
Ψ=
−
ns exp (iθ(→
r )) .
−
1. On rappelle que l'opérateur vitesse s'écrit : →
v =
1
m
→
−
→
−
→
−
−i~ ∇ + 2e A où A est le
potentiel vecteur correspondant au champ magnétique. Retrouver l'expression de
→
−
la densité de courant supraconducteur js .
→
−
−
2. Exprimer par ailleurs js en fonction de la vitesse des paires de Cooper →
vs .
3. Expliquer pourquoi on ne peut pas négliger les courants supraconducteurs qui parcourent la surface du cylindre.
1 W.A.
Little et R.D. Parks, Phys. Rev. Lett., v. 9, p. 9, 1962.
3
4. En intégrant les expressions
précédentes sur le périmètre du supraconducteur, monΦ
~
trer que vs = mR p + Φ0 où p est un nombre entier et Φ0 = 2eh est le quantum de
ux et Φ le ux associé au champ magnétique B .
−
5. Le champ magnétique étant imposé, le système est le plus stable lorsque vs = k→
vs k
est minimum. Tracer vs en fonction de Φ.
6. A T = Tc que devient la densité supraconductrice ns ?
7. On peut montrer que |Ψ| = α 1 −
0.55
2
T
c (B=0)
1− T
mvs ξ0 2
~
où α est une constante et
ξ0 est une longueur caractéristique du système. Exprimer
du ux magnétique et des données du problème et tracer
fonction de Φ.
en fonction
en
Tc (B)−Tc (B=0)
Tc (B=0)
c (B=0)
∆Tc = Tc (B)−T
Tc (B=0)
8. Expliquer qualitativement le diagramme de phase ci-dessous (tiré de l'article originel
de Little et Parks). En particulier, identier les deux phases. Que se passerait-il à
plus haut champ ?
Figure 2: Modulation de la Tc d'un cylindre supraconducteur en fonction du champ
magnétique appliqué
4