ENS CACHAN LOPEZ, M. BAUCHY ENS Cachan

ENS C ACHAN
61, avenue du Président Wilson
94235 CACHAN Cedex
M. B ÉTHERMIN , D.
L OPEZ , M. B AUCHY
ENS Cachan
2007
R APPORT DE PROJET EXPÉRIMENTAL
Étude et contrôle du chaos dans un système mécanique
Tuteur : Pierre Boissel
É COLE N ORMALE S UPÉRIEURE DE C ACHAN
Phytem
Table des matières
1
Introduction
1
2
Approche théorique
2.1 Modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Stabilité des modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3
3
Description du dispositif expérimental
3.1 Système mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Contrôle du vibreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Génération d’un signal sinusoïdal et d’un signal TTL
chronisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Amplification du signal en vue d’alimenter le vibreur .
3.3 Détection des chocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Acquisition des données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Visualisation des données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Schéma récapitulatif du montage . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5
5
6
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6
7
7
8
9
9
4
Observation des modes chaotiques
4.1 Approche numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Différents modes en représentation spatio-temporelle . . . . . . .
4.1.3 Diagramme de bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.4 Différents modes en représentation ϕn /ϕn−1 et attracteur étrange
4.2 Résultats expérimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Graphe de bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Représentation τn /τn−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
10
10
10
11
12
13
13
14
5
Contrôle du chaos
5.1 Introduction théorique . . . . . . . . . .
5.2 Méthode utilisée . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Mise en place expérimentale . . . . . . .
5.4 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Sélection du mode 1 . . . . . . .
5.4.2 Sélection du mode 2 . . . . . . .
5.4.3 Basculement d’un mode à l’autre
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16
16
17
17
17
17
19
19
Divergence vers le chaos
6.1 Coefficient de Lyapounov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Étude de la divergence du mode 1 dans sa zone instable . . . . . . . . .
6.2.1 Mise en place . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
20
20
20
6
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M. Béthermin, D. Lopez, M. Bauchy - ENS Cachan - 18 février 2007
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de
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syn. . .
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i
TABLE DES MATIÈRES
7
Conclusion
23
Annexes
24
A Programmes de simulation (en Fortran)
25
B Programmes de lecture des données (en Turbo Pascal)
32
Bibliographie
38
M. Béthermin, D. Lopez, M. Bauchy - ENS Cachan - 18 février 2007
ii
Chapitre 1
Introduction
Longtemps considérés comme une erreur de mesure ou comme la manifestation
de perturbations extérieures, les phénomènes chaotiques sont aujourd’hui de plus en
plus étudiés. Il est intéressant de constater que des manifestations chaotiques a priori
complexes peuvent être observées et étudiées sur des systèmes simples.
Le système que nous avons étudié peut en effet au premier abord être qualifié de
simple : on se propose d’étudier les rebondissements d’une bille sur un plateau horizontal animé d’un mouvement alternatif dans la direction verticale. Bien entendu, la
réalité est souvent loin d’être simple, aussi est-il nécessaire d’utiliser quelques astuces
pour que le système étudié corresponde effectivement bien à son modèle théorique.
F IG . 1.1 – Schéma de principe
Notre premier objectif fut d’observer les modes chaotiques sur notre système. Dans
un second temps, nous avons tenté d’effectuer un contrôle du chaos permettant d’isoler un des modes au sein d’une zone chaotique. Nous nous sommes enfin intéressés à
la divergence du système vers le domaine chaotique à partir d’un mode instable.
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1
Chapitre 2
Approche théorique
2.1
Modélisation
Le système est modélisé par une bille ponctuelle de masse m, assujettie à un mouvement unidimensionnel le long de l’axe vertical (noté z). Le mouvement de la bille
n’influe pas sur celui du plateau. La bille n’est soumise qu’à deux forces : son poids
et la force exercée par le vibreur lors des chocs. L’accélération de la pesanteur sera
prise égale à g = 9, 81m/s. L’amplitude du vibreur est sinusoïdale de pulsation ω :
A(t) = A0 cos(ωt).
On supposera que le choc est instantané sur le vibreur, c’est à dire que la bille ne
reste pas collée. Les différentes variables sont indicées par n, le numéro du choc. Au
contact du vibreur, la bille rebondit avec un coefficient de restitution noté µ et tel que :
vi,n − Ȧ(tn ) = −µ(vf,n − Ȧ(tn ))
(2.1)
où Ȧ est la dérivée temporelle de l’amplitude, soit la vitesse du vibreur. vi,n est la
vitesse après le choc et vf,n la vitesse après le choc. Le coefficient de restitution µ est
compris entre 0 et 1, en pratique il sera de l’ordre de 0, 5.
On s’intéresse au régime périodique de fonctionnement, les conditions initiales
de la trajectoire libre de la bille sont les mêmes après chaque choc. En particulier, la
hauteur du plateau z = z(τn ) étant invariante (τ étant, à une constante près, la durée
entre l’instant où le vibreur est à son maximum et l’instant du choc), la vitesse finale
vf,n doit être l’opposé de la vitesse initiale :
vi,n = −vf,n = vP =
gT
2
(2.2)
où g est l’accélération de la pesanteur et T = 2π
ω la période de la vibration, l’indice P caractérisant les grandeurs en régime périodique. Cette équation combinée à
l’équation du choc (2.1) , donne une condition sur la vitesse du plateau à l’instant tn :
Ȧ(tn ) = vP
1−µ
1+µ
(2.3)
Ceci impose une relation entre A0 et τP , τP étant le déphasage temporel commun
à tous les chocs :
A0 ωsin(ωτP ) = −vP
1−µ
gT 1 − µ
=
1+µ
2 1+µ
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(2.4)
2
Approche théorique
ce qui, en introduisant l’amplitude critique Ac =
A0 = −
gT 1−µ
2ω 1+µ ,
s’écrit :
Ac
sin(ωτP )
(2.5)
Cette courbe permet d’obtenir tous les modes de fonctionnement mais ne distingue
pas les branches stables des branches instables. On peut toutefois en extraire le diagramme de bifurcation qui montre très bien que la transition vers le chaos s’effectue
par doublement de période. Ce type de transition est très général dans les transitions
chaotiques et se retrouve dans de nombreux systèmes chaotiques qu’ils soient mathématiques ou physiques.
2.2
Stabilité des modes
Pour aller plus loin, il faut désormais s’intéresser à la stabilité des modes. Pour
cette analyse nous allons utiliser une section de Poincaré de la trajectoire.
Une section de Poincaré est une coupe de l’espace des phases contenant toute l’information utile sur le comportement du système. Ici l’espace des phases canonique
serait la position de la bille z en fonction de la vitesse ż. On dit alors, en physique non
linéaire, que le système comporte deux degrés de liberté. Toutefois en analysant plus
finement le problème, on s’aperçoit que l’on accède à toute l’information sur le système simplement en connaissant τn et vn , à savoir le déphasage et la vitesse à chaque
choc. On peut donc se contenter de tracer τn en fonction de vn : c’est une section de
Poincaré.
Cependant on utilisera par la suite une autre section de Poincaré, équivalente
à celle ci, beaucoup plus facile à mesurer expérimentalement : il suffit en effet de
connaître τn−1 et τn pour déterminer la vitesse vn . On peut donc étudier la section
de Poincaré τn en fonction de τn−1 qui contient également toute l’information sur le
système : c’est ce que nous ferons par la suite. Dans cette section de Poincaré chaque
point correspond à un choc.
−→
Pour simplifier
les
notations,
on
représentera
ce
point
par
le
vecteur
associé
Wn
τ
de composante n−1 . Les équations du mouvement de la bille et du rebond se réτn
sument alors, pour une valeur déterminée des paramètres ω, µ etdu paramètre
de
−→ τ
contrôle A0 , à une application qui fait correspondre au vecteur Wn n−1 le vecteur
τn
−−−→ τn
Wn+1
:
τn+1
−−−→
−→
Wn+1 = F (Wn )
(2.6)
−−→
Un régime périodique simple est possible pour les vecteurs WP qui sont inchangés
dans cette application, et donc solutions de :
−−→
−−→
WP = F (WP )
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(2.7)
3
Approche théorique
−−→
−→
−−→
Supposons qu’au choc n, le vecteur Wn diffère de δWn du vecteur WP : le vecteur
−−−−→
−−−→
−−→
caractérisant le choc suivant Wn+1 diffèrera de δWn+1 de WP . Le régime sera stable si,
−−−−→ −−−−→
en l’absence de perturbation ultérieure, les écarts successifs δWn+1 , δWn+2 ... tendent
vers 0 ; il sera instable si cet écart s’amplifie.
−−→
Comme on s’intéresse aux écarts faibles autour de WP , l’application F peut être
−−−−→
linéarisée autour de ce point. Le vecteur δWn+1 s’obtient alors en faisant simplement
−−→
le produit de δWn par une matrice [F ]
−−−−→
−−→
δWn+1 = [F ]δWn
(2.8)
Cette méthode s’appelle l’analyse de stabilité linéaire , la matrice [F ] est une matrice de Floquet. Le régime sera stable tant que les deux valeurs propres λ1 et λ2 de
−−−−→
la matrice de Floquet auront un module inférieur à 1, le module de δWn+1 étant alors
−−→
inférieur au module de δWn . Les valeurs critiques du paramètre de contrôle seront
celles pour lesquelles le module de l’une des valeurs propres devient supérieur à 1.
Dans le cas qui nous intéresse, pour le régime de période T , l’équation (2.8) s’écrit :
δτn
0
1
δτn−1
=
(2.9)
δτn+1
−µ2 1 + µ2 + π(1 − µ2 )cotg(ωτP )
δτn
L’équation aux valeurs propres correspondante est :
λ2 − λ[1 + µ2 + π(1 − µ2 )cotg(ωτP )] + µ2 = 0
(2.10)
L’analyse des solutions de l’équation (2.9) montre tout d’abord que, pour cotg(ωτP ) >
0( T2 < τP < 3T
4 ), une des valeurs propres est toujours supérieure à 1. La branche inférieure est donc bien instable. La limite de stabilité λ = 1 est obtenue pour τP = 3T
4
correspondant à l’amplitude critique Ac . La valeur propre −1 est obtenue pour :
cotg(ωτ2 ) = −
2 1 + µ2
π 1 − µ2
(2.11)
On peut donc extraire l’amplitude correspondant au doublement de période :
A2 = −
Ac
sin(ωτ2 )
(2.12)
On remarque que la seule détermination de Ac et A2 permet de déduire expérimentalement le paramètre µ, normalement difficile d’accès.
On pourrait pousser plus loin l’analyse en étudiant la stabilité des autres modes
de fonctionnement. Mais les calculs deviennent long et complexes car il faut étudier
alors de nouvelles matrices de Floquet, comme F 2 pour le mode de double période.
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Chapitre 3
Description du dispositif
expérimental
3.1
Système mécanique
Dans cette expérience, nous utilisons une bille d’acier qui va rebondir sur un plateau fixé au dessus d’un vibreur. Le support permet de contraindre la bille à effectuer
uniquement un mouvement vertical au dessus du plateau. La détection des rebonds
se fera grâce à un piézoélectrique placé sur le plateau.
F IG . 3.1 – Système mécanique
Remarque : Le support doit être suffisamment souple pour ne pas perturber le
comportement de la bille. La bille est accrochée à un support en plastique très léger
c Celui-ci est lui même attaché à une structure métallique liée au
avec de la Patafix.
vibreur grâce à du ruban adhésif. Le comportement du système est très sensible à la
position de ce ruban adhésif. Au cours de la semaine nous avons dû jouer sur cela
pour conserver un bon fonctionnement du système.
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5
Description du dispositif expérimental
3.2
Contrôle du vibreur
Lors de cette expérience, nous avons eu besoin de contrôler l’amplitude des vibrations du plateau. Pour cela nous avons utilisé un ordinateur muni d’une carte d’acquisition. Ceci nous a permis de contrôler l’amplitude plus facilement. Nous avons ainsi
pu programmer un asservissement de l’amplitude pour obtenir un contrôle du chaos.
3.2.1
Génération d’un signal sinusoïdal et d’un signal TTL de synchronisation
La carte d’acquisition que nous avons utilisé possède de nombreuses entrées et
sorties, analogiques et numériques. Le signal sinusoïdal est émis pas une des sorties
analogique. Le signal TTL est lui numérique.
Nous avons commandé les sorties de la carte grâce à un programme en turbo
Pascal, utilisant l’horloge interne de l’ordinateur. Ce programme est constitué d’une
boucle, qui recalcule à chaque itération la valeur du signal en fonction du temps et qui
met l’entrée analogique à cette valeur. Dans la même boucle, un signal de synchronisation est généré. Ce signal vaut 5V uniquement pendant le premier quart de période
de la sinusoïde et vaut 0V sinon.
F IG . 3.2 – Synchronisation TTL
Remarque : La sinusoïde ne sera pas parfaite. En effet, l’échantillonnage temporel
et en amplitude va induire un signal en marches d’escalier. L’amplitude est générée
par un CAN 1024 bits (Convertisseur Analogique Numérique). L’échantillonnage temporel vient lui de la durée de la boucle.
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6
Description du dispositif expérimental
3.2.2
Amplification du signal en vue d’alimenter le vibreur
Le signal de sortie de la carte d’acquisition ne permet pas d’alimenter directement
le vibreur. En effet, la carte d’acquisition ne peut pas délivrer un courant suffisant. De
plus, la tension de sortie est trop forte. Il faut donc l’atténuer. Pour fournir un courant
suffisant, on utilise une alimentation stabilisée commandée en tension par la sortie de
la carte d’acquisition. Pour atténuer le signal, on utilise un pont diviseur avec deux
boîtes de résistance AOIP.
F IG . 3.3 – Circuit d’amplification
3.3
Détection des chocs
Les chocs vont être détectés grâce au piézoélectrique. Ils vont provoquer un pic de
tension aux bornes de ce dernier. Toutefois, ce pic est très intense et très court. Nous
devons donc construire un dispositif piézoélectrique afin de transformer le pic aux
bornes du piézoélectrique en un court créneau TTL. Pour éviter d’abîmer le piézoélectrique nous utiliserons également un isolateur optique dans le circuit.
F IG . 3.4 – Schéma électronique du détecteur de choc
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7
Description du dispositif expérimental
La résistance de charge permet de décharger le piézoélectrique. En effet, il se charge
choc après choc. On choisira toutefois une résistance assez importante (nous avons
pris 560kΩ) pour que cela ne le perturbe pas. On place une résistance de 1kΩ au minimum afin de limiter à 15mA la tension aux bornes de la diode électroluminescente.
On place un potentiomètre afin de pouvoir sélectionner un seuil de détection afin que
du bruit ne soit pas détecté comme un choc.
F IG . 3.5 – Seuil de détection
3.4
Acquisition des données
On souhaite pouvoir mesurer l’intervalle de temps τn entre l’instant où le plateau
passe à son point haut après le choc n − 1 et l’instant du choc n (à un déphasage
constant près). Nous avons accès par l’intermédiaire de l’interface d’acquisition aux
signaux numériques TTL (O ou 5V) de synchronisation issu de l’ordinateur générateur
de signaux et de la tension de sortie du détecteur de choc. Ceci nous permet d’obtenir
avec précision la date de passage au point haut du plateau.
Pour calculer τ , on patiente jusqu’à ce que l’on détecte que l’entrée correspondant
à la tension aux bornes du vibreur, initialement dans 0, passe dans l’état 1. On enregistre alors la date de cet évènement t1 et la valeur numérique (en analogique) de
l’amplitude A de l’excitation. On patiente ensuite jusqu’à ce que l’on détecte que le signal correspondant à la sortie de la céramique piézoélectrique soit dans l’état 0 (choc).
On enregistre enfin la date de cet évènement t2 .
Cf programmes en annexe.
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8
Description du dispositif expérimental
3.5
Visualisation des données
Nous utiliserons principalement deux types de diagramme au cours de ce dossier :
– le diagramme de bifurcation :
On affiche sur ce graphique chaque τ mesuré en fonction de l’amplitude de l’excitation du vibreur.
– le diagramme τn /τn−1 :
On affiche sur ce diagramme chaque τ mesuré en fonction du τ mesuré au cycle
précédent.
3.6
Schéma récapitulatif du montage
F IG . 3.6 – Schéma global du montage
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9
Chapitre 4
Observation des modes chaotiques
4.1
4.1.1
Approche numérique
Méthode
Pour relier l’approche théorique à l’expérience, nous avons réalisé des simulations
numériques. Nous avons ainsi pu mettre en évidence la manière dont s’effectue la
transition vers le chaos pour ce système.
Pour réaliser cette simulation, nous avons utilisé un programme assez rudimentaire. Après avoir saisi les conditions initiales pour la bille (z0 et v0 ), le programme
calcule sa position après une durée dt. Cette position est connue de manière analytique en l’absence de choc. Le programme détermine si la bille est alors en dessous ou
au dessus du plateau. Si elle est au dessus, il calcule la position suivante. Si elle est en
dessous, une dichotomie détermine l’instant précis du choc, ainsi que la position et la
vitesse de la bille. Le programme détermine alors la nouvelle vitesse de la bille après
rebond. Puis, il calcule la position un temps dt après le rebond.
Voir programme traj.f95 en annexe.
4.1.2
Différents modes en représentation spatio-temporelle
On trace sous gnuplot le résultat obtenu pour plusieurs amplitudes. En abscisse,
on trace le temps en ms et en ordonnée la hauteur en mm. La courbe de la bille est en
rouge et celle et celle du plateau en vert. Ici, on réalise des tracé pour µ = 0, 5.
F IG . 4.1 – Courbe obtenue pour A = 0, 4
M. Béthermin, D. Lopez, M. Bauchy - ENS Cachan - 18 février 2007
10
Observation des modes chaotiques
F IG . 4.2 – Courbe obtenue pour A = 0, 46
F IG . 4.3 – Courbe obtenue pour A = 0, 475
F IG . 4.4 – Courbe obtenue pour A = 0, 5
On arrive ainsi à distinguer les différents modes du systèmes en fonction du paramètre de contrôle (l’amplitude de vibration). Lorsque l’amplitude augmente, on observe un doublement de période des modes jusqu’au chaos.
4.1.3
Diagramme de bifurcation
Pour tracer le diagramme de bifurcation, on réalise de légères modifications du
programme utilisé précédemment. D’abord, le programme n’écrit dans le fichier résultat que la phase de rebonds (défini par ϕ ≡ Tτ [1]) et l’amplitude de vibration lors
M. Béthermin, D. Lopez, M. Bauchy - ENS Cachan - 18 février 2007
11
Observation des modes chaotiques
de ce rebond. Ensuite, on modifie le programme pour qu’il réalise une série de simulation en modifiant l’amplitude pas par pas. Pour un meilleur résultat, on n’enregistre
pas les rebonds ayant lieu trop peu de temps après un changement d’amplitude.
cf annexe (bifurc.f95)
On trace ensuite les points obtenus sous gnuplot. En abscisse, on trace l’amplitude
des mouvements du vibreur en mm et en ordonnée la phase des rebonds. On prend
des phases entre 0, 3 et 1, 3 pour obtenir un graphique plus lisible, car la phase est
définie modulo 1 et pour que les points ne s’approchent pas trop de ces valeurs.
F IG . 4.5 – Diagramme de bifurcation
On observe bien une transition vers le chaos par doublement de période.
Remarque : A partir de A = 0, 5, on constate l’apparition de points que nous
n’avons pas observé expérimentalement. Nous n’avons pas réussi à comprendre leur
origine.
4.1.4
Différents modes en représentation ϕn /ϕn−1 et attracteur étrange
Il est également extrêmement intéressant d’étudier les différents modes dans un
graphique représentant pour un grand nombre de rebonds ϕn correspondants en abscisse et le ϕn−1 en ordonnée.
cf annexe (tautau).
Pour une amplitude A = 0, 5, on constate que les points se répartissent sur une
figure nommée attracteur étrange :
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12
Observation des modes chaotiques
F IG . 4.6 – Attracteur étrange
4.2
4.2.1
Résultats expérimentaux
Graphe de bifurcation
Pour obtenir le graphe de bifurcation, on génère aux bornes du vibreur une sinusoïde dont l’amplitude varie au cours du temps. Pour un meilleur résultat, cette
variation sera très lente. On passe dans le sens croissant, puis décroissant pour étudier d’éventuels hysteresis.
Les données sont obtenues grâce à l’ordinateur d’acquisition. L’amplitude indiquée sur le graphe en abscisse est la tension efficace aux bornes du vibreur mesurée
par la carte d’acquisition du PC. En ordonnée, on a τn qui correspond à T ϕ.
F IG . 4.7 – Diagramme de bifurcation
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13
Observation des modes chaotiques
On retrouve la transition vers le chaos par doublement de période obtenue en simulation numérique. On observe également des phénomènes non observés en simulation numérique. Il y a une boucle d’hysteresis pour les basses amplitudes entre un
mode où la bille "colle" sur le vibreur et le mode 1. On distingue aussi une fenêtre
d’ordre après 1, 9V .
F IG . 4.8 – Mode collé (obtenue pour A = 0, 4 et µ = 0, 25)
4.2.2
Représentation τn /τn−1
Avec le programme d’acquisition, on peut également tracer des diagrammes τn /τn−1
pour différentes amplitudes. On observe ainsi les différents modes.
F IG . 4.9 – Mode 1
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14
Observation des modes chaotiques
F IG . 4.10 – Mode 2
F IG . 4.11 – Mode 4
F IG . 4.12 – Mode chaotique
On observe bien l’attracteur étrange obtenu en simulation numérique.
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15
Chapitre 5
Contrôle du chaos
5.1
Introduction théorique
Intéressons-nous à la section de Poincaré (τn , τn−1 ). L’analyse de la stabilité linéaire
toute à l’heure nous a permis d’évaluer qu’au delà d’une certaine valeur de τP , et
donc de l’amplitude, le mode périodique cessait de devenir stable. Toutefois celui ci
ne cesse pas réellement d’exister, seulement une légère perturbation écarte définitivement le système de ce mode. Toute l’idée consiste à perturber le système en temps réel
pour que cet écart soit contrebalancé par une très légère perturbation. En fait tout se
passe comme si l’on modifiait le point de fonctionnement dans la section de Poincaré.
L’analyse de stabilité nous a montré qu’il existe deux valeurs propres l’une supérieure
à 1 et l’autre inférieure. Ces valeurs propres sont associées à des vecteurs propres, l’un
d’entre eux est donc associé à une direction où le système s’écarte de l’équilibre et une
direction où le système est ramené à l’équilibre. En sélectionnant judicieusement un
point de fonctionnement qui ramènerait le système vers son ancien point de fonctionnement via la direction de retour à l’équilibre, on obtiendrait une correction en temps
réel qui stabiliserait le mode périodique.
Une image plus facile à concevoir pour ce contrôle consiste à observer la trajectoire
de la bille. Si celle ci s’écarte légèrement de sa position, en atterrissant trop haut par
exemple lors d’un rebond, le caractère déstabilisant du système au delà de l’amplitude
critique fait que son prochain rebond aurait lieu plus bas que la position d’équilibre
tout en s’éloignant davantage. Pour remédier à cela on corrige l’erreur en diminuant
l’amplitude afin que le rebond qui devait l’amener plus bas ramène en fait la bille à sa
position d’équilibre. C’est une démarche analogue à celle que nous effectuons lorsque
nous tentons de tenir en équilibre un bâton à la verticale de notre main. Lorsque le
bâton penche sur la droite nous déplaçons la main vers la droite afin de stabiliser le
bâton. C’est ici la même idée sauf que le caractère oscillant de la déstabilisation dans
le cas de la bille implique une correction opposée à la déstabilisation.
Il serait tentant d’évaluer quelle serait la correction à effectuer en étudiant le diagramme de bifurcation, car nous connaissons après tout les vecteurs propres et les
valeurs propres de la matrice de Floquet. Mais ce calcul, même en ordre de grandeur,
s’avère relativement insoluble car il est très difficile d’évaluer analytiquement comment l’algorithme de correction influe sur l’évolution du système, car chaque itération
implique de très lourds calculs géométriques.
M. Béthermin, D. Lopez, M. Bauchy - ENS Cachan - 18 février 2007
16
Contrôle du chaos
5.2
Méthode utilisée
Nous avons choisi de nous inspirer de la méthode de Yorke, Ott, Grebogi : delayed
proportional feedback (réaction retardée). Cette méthode consiste à corriger à chaque
instant les erreurs commises. En pratique, on apporte de petites corrections sur l’amplitude des oscillations afin de la stabiliser.
5.3
Mise en place expérimentale
On ajoute au précédent programme de lecture des données une procédure permettant d’enregistrer les valeurs de τn et d’appliquer en direct une correction sur l’amplitude de l’excitation du vibreur. Ainsi, le premier PC utilisé jusqu’ici pour acquérir
les données calcule également la correction en amplitude à appliquer et l’envoie au
deuxième PC (sortie analogique). On modifie également le programme utilisé pour générer la tension aux bornes du vibreur afin que l’amplitude du signal de sortie prenne
compte de la correction générée.
Lorsque l’on veut tenter stabiliser la bille sur le mode mono-période, on applique
au cycle n + 1 la correction en amplitude suivante : dA = −K(τn − τn−1 ).
Lorsque l’on veut tenter de stabiliser la bille sur deux modes, on applique au cycle
n + 1 la correction suivante : dA = K(τn − τn−2 ).
La détermination théorique de K est extrêmement ardue. Nous avons donc déterminé K expérimentalement, par essais successifs, afin d’optimiser la stabilité de cet
asservissement.
5.4
5.4.1
Résultats
Sélection du mode 1
On se place initialement dans la zone chaotique . On observe alors le graphique représentant τn en fonction de τn−1 (voir le graphique 5.1, page 18). On active alors notre
procédure de contrôle par rétroaction. Après quelques secondes, on peut observer la
stabilisation sur le mode mono-période (voir le graphique 5.2, page 18). La meilleure
stabilité est obtnue pour K = 0, 05.
Le simple fait d’effacer l’écran sur lequel on affiche le graphique provoque un retard dans le traitement et des données, ce qui entraîne une déstabilisation. Il est donc
possible d’obtenir un graphique plus propre en ne commençant la mesure qu’après
un certain délai (voir le graphique 5.3, page 18).
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17
Contrôle du chaos
F IG . 5.1 – Mode chaotique obtenu en l’absence de correction
F IG . 5.2 – Stabilisation sur le mode 1 après activation de la correction
F IG . 5.3 – Avec correction et mesure retardée
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18
Contrôle du chaos
5.4.2
Sélection du mode 2
On se place maintenant initialement dans une zone chaotique (voir le graphique
5.4, page 19). On active alors la procédure de contrôle par rétroaction. Après quelques
secondes, on peut observer la stabilisation sur le mode 2 (voir le graphique 5.5, page
19). La meilleure stabilité est obtenue pour K = 0, 012. Toutefois, cette correction est
moins robuste que celle obtenue pour le mode 1. A forte amplitude, elle devient inefficace.
F IG . 5.4 – Mode chaotique obtenu en l’absence de correction
F IG . 5.5 – Stabilisation sur le mode 2 aprés activation de la correction
5.4.3
Basculement d’un mode à l’autre
Nous avons modifié le programme de façon a pouvoir basculer d’une correction à
l’autre. Ceci nous a permis de pouvoir sélectionner le mode de fonctionnement dans
la partie chaotique.
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19
Chapitre 6
Divergence vers le chaos
6.1
Coefficient de Lyapounov
Le coefficient de Lyapounov permet d’exprimer la divergence d’un mode instable.
Il est directement lié aux valeurs propres de la matrice de monodromie qui contient
les valeurs propres de la matrice de Floquet. La matrice de monodromie associe un
écart à la trajectoire au bout d’une période à une légère perturbation des conditions
initiales. On a donc Λ valeurs propres de la matrice de Floquet (on sélectionne celle
dont la valeur absolue est supérieure à 1 au delà de l’amplitude critique) obtenue
précédemment qui est égal à eλ , λ étant le coefficient de Lyapounov. L’analyse de la
matrice de monodromie montre que :
δϕn+1 = eλ ϕτn
(6.1)
avec δϕn , l’écart de déphasage. De ce fait, la divergence de l’écart de déphasage au
cours du temps s’effectue selon une loi exponentielle dont la constante de temps est
égale à l’inverse de λ, le coefficient de Lyapounov.
6.2
6.2.1
Étude de la divergence du mode 1 dans sa zone instable
Mise en place
Pour faire cette étude, on utilise le contrôle du chaos réalisé dans la partie précédente. On se place après la zone chaotique et on active le verrouillage du mode 1. On
applique ensuite un échelon d’amplitude au vibreur. L’acquisition des données (τ des
rebonds successifs) est alors déclenchée grâce à un front montant TTL venu de l’ordinateur générateur vers l’ordinateur d’acquisition.
On observe ainsi des oscillations amplifiées de manière exponentielle qui font passer du mode 1 devenu instable au chaos. Les oscillations sont dues au fait que la valeur
propre de la matrice de Floquet est ici négative.
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20
Divergence vers le chaos
F IG . 6.1 – Evolution de τ lors de la coupure de la correction
Pour déterminer le coefficient de Lyapounov, on soustrait à τ la moyenne de τ
avant la divergence. Puis, on prend la valeur absolue pour supprimer l’oscillation due
au coefficient négatif. On obtient alors une exponentielle que l’on ajuste.
F IG . 6.2 – Ajustement du coefficient de Lyapounov
1
P C = 2, 5V . Cette valeur évolue avec l’ampliOn a donc δτn+1 = e 2,44 δτn pour Uef
f
tude des oscillations du vibreur. On obtient l’évolution suivante pour la constante de
temps de divergence.
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21
Divergence vers le chaos
F IG . 6.3 – Evolution de la constante de temps de divergence en fonction de l’amplitude
On remarque que plus l’amplitude est importante (plus on va vers le chaos), plus
la divergence est rapide. Il est toutefois très difficile de comparer cette évolution à la
théorie vu que l’évolution de la valeur propre de la matrice de Floquet est donnée par
une formule très complexe qui semble difficile à linéariser dans la zone souhaitée.
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22
Chapitre 7
Conclusion
Cette expérience a permis dans un premier temps d’illustrer de très nombreux
concepts de physique non linéaire dans le cadre d’un montage assez simple à conceptualiser. Ainsi il nous a été possible de tracer des diagrammes expérimentaux de bifurcation et d’attracteur étrange de très bonne qualité alors que ceux ci sont généralement
issus de simulations numériques de fonctions mathématiques relativement abstraites.
La seconde partie portant sur le contrôle du chaos présente d’un point de vue fondamental un grand intérêt, en effet la sélection de mode instables permet de modifier
profondemment les caractéristiques de fonctionnement du système en changeant de
manière très fine les paramètres de contrôle. Nous avons pu ainsi obtenir un système
ou nous pouvions sélectionner le mode de fonctionnement par simple changement de
l’algorithme de correction en amplitude (l’amplitude de la correction en valeur absolue ne dépassant pas dans le pire des cas 10 du signal et devenant ensuite très faible
lorsque l’orbite est stabilisée).
Enfin la stabilisation du mode instable nous a permis de pouvoir observer précisément la divergence du mode instable pour diverses amplitudes. Nous avons ainsi pu
étudier expérimentalement un phénomène bien connu théoriquement mais a priori
difficile à observer.
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23
Liste des annexes
A Programmes de simulation (en Fortran)
25
B Programmes de lecture des données (en Turbo Pascal)
32
Bibliographie
38
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24
Annexe A
Programmes de simulation (en
Fortran)
A.1
Simulation de la trajectoire de la bille
program traj
implicit none
integer, parameter :: n=100000, m=20
double precision, dimension(1:n) :: z,v,t
double precision :: mu,a,w,g,zo,vo,pi
integer :: i,j,k
!pour test
double precision::dt
pi = acos(-1.)
open(1,file=’traj.res’)
! récupération des paramètres
g = 0.01
write(*,*) ’a=? (en mm)’
read(*,*) a
zo = a
w = 2*pi*30/1000
write(*,*) ’vo=? (en mm/s)’
read(*,*) vo
vo = vo/1000
mu = 0.5
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25
Programmes de simulation (en Fortran)
dt = 2*pi/w/n*m
v(1) = vo
z(1) = zo
t(1)= 0
write(1,*) t(1),z(1),v(1)
do i = 2,n
v(i) = v(i-1) - g*dt
z(i) = z(i-1) + v(i-1)*dt-0.5*g*dt*dt
t(i) = (i-1)*dt
!prise en compte d’un éventuel rebond
if ( z(i) .le. a*cos(w*t(i)) ) then
call rebond(t(i),v(i),z(i),g,w,a,mu,dt)
end if
write(1,*) t(i),z(i),a*cos(w*t(i))
end do
close(1)
end
A.2
Diagramme de bifurcation
program bifurc
implicit none
integer, parameter :: n=100000, m=100, na=1000
double precision, dimension(1:n) :: z,v,t
integer :: i,j,k,l,c,c1,c2,c3
double precision :: mu,a,w,g,zo,vo,pi,da,amin,amax,phi,phio
double precision::dt
pi = acos(-1.)
open(1,file=’bifurc.res’)
! récupération des paramètres
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26
Programmes de simulation (en Fortran)
g = 0.01
da=0.001
amax=0.55
amin=0.4
da=(amax-amin)/na
a = amin
zo = a
w = 2*pi*30/1000
vo=0.05
mu = 0.5
dt = 2*pi/w/n*m
v(1) = vo
z(1) = zo
t(1)= 0
do k=1,na
a= a+da
write(*,*) ’a=’,a
do i = 2,n
v(i) = v(i-1) - g*dt
z(i) = z(i-1) + v(i-1)*dt-0.5*g*dt*dt
t(i) = (i-1)*dt
!prise en compte d’un éventuel rebond
if ( z(i) .le. a*cos(w*t(i)) ) then
call rebond(t(i),v(i),z(i),g,w,a,mu,dt,c)
c3=c2
c2=c1
c1=c
if (i.gt.n/4) then
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27
Programmes de simulation (en Fortran)
phi=t(i)*w/2/pi
do l=1,10*m
phi=phi-1
if ((phi .lt. 1.3) .and. (phi .ge. 0.3) .and. (c1*c2*c3.eq.1)) then
phio=phi
end if
end do
write(1,*) a,phio
end if
end if
end do
end do
close(1)
end
A.3
Diagramme τn /τn−1
program tautau
implicit none
integer, parameter :: n=100000, m=100,r=100
double precision, dimension(1:n) :: z,v,t
integer :: i,j,k,l,c,c1,c2,c3,p
double precision :: mu,a,w,g,zo,vo,pi,da,amin,amax,phi,phin,phinmun
double precision::dt
pi = acos(-1.)
open(1,file=’tautau.res’)
! récupération des paramètres
g = 0.01
write (*,*) ’a=?’
read(*,*) a
zo = a
w = 2*pi*30/1000
vo=0
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28
Programmes de simulation (en Fortran)
mu = 0.5
do p=1,r
vo = vo + 1./r
dt = 2*pi/w/n*m
v(1) = vo
z(1) = zo
t(1)= 0
write(*,*) ’a=’,a
do i = 2,n
v(i) = v(i-1) - g*dt
z(i) = z(i-1) + v(i-1)*dt-0.5*g*dt*dt
t(i) = (i-1)*dt
!prise en compte d’un éventuel rebond
if ( z(i) .le. a*cos(w*t(i)) ) then
call rebond(t(i),v(i),z(i),g,w,a,mu,dt,c)
c3=c2
c2=c1
c1=c
if (i.gt.n/4) then
phi=t(i)*w/2/pi
do l=1,n
phi=phi-1
if ((phi .lt. 1.3) .and. (phi .ge. 0.3) .and. (c1*c2*c3.eq.1)) then
phin = phi
write(1,*) phinmun,phin
end if
end do
phinmun = phin
end if
end if
end do
end do
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29
Programmes de simulation (en Fortran)
close(1)
end
A.4
Procédures communes
double precision function f(dt,ti,vi,zi,g,w,a)
implicit none
double precision dt,ti,vi,zi,g,w,a
f = zi + vi*dt - 0.5*g*dt**2 - a*cos(w*(ti+dt))
end
subroutine rebond(ti,vi,zi,g,w,a,mu,dt)
implicit none
double precision :: ti,vi,zi
double precision :: g,w,a,mu,dt
double precision :: tcol,s,f
integer :: n,nmax
!detérmination de tcol par dichotomie
nmax = 10000
call zero(-dt,0,nmax,tcol,ti,vi,zi,g,w,a)
!nouvelle ci (tcol<0)
ti = ti + tcol
!vitesse de la chute au moment du contact
vi = vi - g*tcol
!vitesse après rebond
vi = -(1+mu)*a*w*sin(w*(ti)) -mu*vi
!hauteur
zi = a*cos(w*ti)
if (abs(zi-a*cos(w*ti)) .gt. 0.0001) then
write(*,*) ’attention abs(zbille(tcol)-zvibreur(tcol))=?’,abs(zi-a*cos(w*t
end if
if (abs(tcol).gt.1) then
write(*,*) ’attention tcol=?’,tcol
end if
end subroutine
subroutine zero(x1,x2,n,xo,ti,vi,zi,g,w,a)
implicit none
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30
Programmes de simulation (en Fortran)
double precision:: ti,vi,zi,g,w,a
double precision::x1,x2,f,xo
integer::n
integer::i
real::sens,sx2
double precision::x,dx
dx=x2-x1
x=(x2+x1)/2
if (f(x2,ti,vi,zi,g,w,a).ge.0) then
sx2=1.
else
sx2=-1.
end if
do i=1,n
if (f(x,ti,vi,zi,g,w,a) .lt. 0) then
sens= +sx2
else
if (f(x,ti,vi,zi,g,w,a) .eq. 0) then
sx2=0
sens=sx2
else
sens=- sx2
end if
end if
dx=dx/2
x=x+sens*dx/2
end do
xo=x
end
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31
Annexe B
Programmes de lecture des données
(en Turbo Pascal)
B.1
Diagramme de bifurcation
Le programme suivant permet d’afficher à l’écran le diagramme de bifurcation (τ
en fonction de l’amplitude A). Pour obtenir un tel résultat, on fait varier linéairement
l’amplitude de l’excitation du vibreur à l’aide du PC utilisé comme générateur.
{chargement des packages nécessaires}
Uses CRT, Typedef, Util, PCMES2, Graph, GrafPlus, GrafPlot;
{déclaration des variables}
var t1, t2, A, tau, X, Y : SFloat;
chMouse : char;
{programme principal}
begin
startclock;
{initialisation des paramètres pour le graphe}
ClrScr;
InitGraphic;
StandardView;
XScale(1,2,Lin);
YScale(0, 70, lin);
XAxis(1,2,1,1,10,’Axe X’);
YAxis(0, 70,50,1,5,’Axe Y’);
SetColor(Blue);
RMoveto(0,0);
Repeat
{lecture des données}
repeat until ((Port[IOIn] AND 1) = 0 );
A := tension(0);
repeat until ((Port[IOIn] AND 1) <> 0 );
t1 := time;
repeat until ((Port[IOIn] AND 2) = 0 );
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32
Programmes de lecture des données (en Turbo Pascal)
t2 := time;
tau := t2-t1;
{affichage des données}
Plot(A,tau,yellow);
Message(’Enter: reticule,
Escape pour sortir ’);
{diverses options}
ch := #0;
if keypressed then ch := ReadKey;
case ch of
del : clearviewport;
’ ’ : readln;
end;
until ch = esc;
LeaveGraphic;
end.
B.2
Contrôle du chaos
Le programme suivant affiche à l’écran le diagramme τn /τn−1 et d’appliquer la
correction permettant de se stabiliser sur un mode ou la correction permettant de se
stabiliser sur deux modes.
{chargement des packages nécessaires}
Uses CRT, Typedef, Util, PCMES2, Graph, GrafPlus, GrafPlot;
{déclaration des variables}
const iMax = 3300;
const filename : string =’graph.txt’;
var t1, t2, dA, tau, tau2, tauref, tauref2, tauref3, fenetre, K : SFloat;
correction, mode, correction2, dyn : byte;
i, idelai, idelai2 : longint;
tauTab, amplTab, corTab : Array[0..iMax] of Sfloat;
tautau : Array[0..3] of Sfloat;
{procédure permettant d’initialiser les paramètres de graphe}
Procedure AffichGraph;
begin
InitGraphic;
SquareView;
XScale(25,70,Lin);
YScale(25, 70, lin);
XAxis(25, 70,5,1,5,’tau n-1’);
YAxis(25, 70,5,1,5,’tau n’);
SetColor(Blue);
RMoveto(0,0);
RLineTo(70,70);
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33
Programmes de lecture des données (en Turbo Pascal)
end;
{procédure permettant d’enregistrer les données dans un fichier}
Procedure WriteFile;
var PathW : String;
ASCFile : Text;
iPts : Word;
ASCLine : String;
begin
settext;
ClrScr;
GotoXY(21,10);
Writeln(’Ecriture d’’un fichier’);
InvertString(19,10,31);
SelectFile(FileName, FWrite);
If FileOK then
begin
Message(’Ecriture de ’+ WordStr(i,4)+’ points’);
PathW := DefDir+FileName;
Assign(ASCFile, PathW);
Rewrite(ASCFile);
For iPts := 0 to i-1 do
begin
AscLine := RealStr(tauTab[iPts],10,4)+’
’
+RealStr(amplTab[iPts],10, 4)+’
’
+RealStr(corTab[iPts],10,4);
Writeln(AscFile, AscLine);
end;
Close(AscFile);
end;
AffichGraph;
end;
{programme principal}
begin
defDir := ’C:\TP7\chaos\’;
startclock;
ClrScr;
AffichGraph;
{Initialisation des paramètres}
tauref := 40;
tauref2 := 53;
tauref3 := 47;
fenetre := 10;
K := 0.01;
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34
Programmes de lecture des données (en Turbo Pascal)
{initialisation des variables}
tau2:=0;
correction:=0;
correction2:=0;
dyn:=0;
mode:=0;
idelai:=101;
idelai2:=11;
i := iMax;
sortir(2,5);
Repeat
{lecture des données}
repeat until ((Port[IOIn] AND 1) = 0 );
repeat until ((Port[IOIn] AND 1) <> 0 );
t1 := time;
repeat until ((Port[IOIn] AND 2) = 0 );
t2 := time;
tau := t2-t1;
{enregistrement dans le cache des données}
tautau[3]:=tautau[2];
tautau[2]:=tautau[1];
tautau[1]:=tautau[0];
tautau[0]:=tau;
{options diverses}
if (idelai2<12) then inc(idelai2);
if (idelai2=10) then correction:=abs(correction-1);
{Stabilisation sur deux modes}
if (mode=1)
then begin
if (((abs(tau-tauref) < fenetre) OR (abs(tau-tauref2) < fenetre)) AND (c
then begin
dA:=K*(tautau[0]-tautau[2]);
sortir(2,5-(dA/2)*10);
end;
if ((abs(tau-tauref) > fenetre) OR (correction=0))
then begin
dA:=0;
sortir(2,5-(dA/2)*10);
end;
end;
{Stabilisation sur un mode}
if (mode=0)
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35
Programmes de lecture des données (en Turbo Pascal)
then begin
if ((abs(tau-tauref3) < fenetre) AND (correction=1))
then begin
dA:=-K*(tautau[0]-tautau[1]);
sortir(2,5-(dA/2)*10);
end;
if ((abs(tau-tauref3) > fenetre) OR (correction=0)) then
begin
dA:=0;
sortir(2,5-(dA/2)*10);
end;
end;
{affichage des données}
if(idelai>100) then
begin
Plot(tautau[1],tautau[0],yellow);
if(dyn=1) then Plot(tautau[2],tautau[1],black);
end;
if(idelai<102) then inc(idelai);
{enregistrement des données}
if (i<iMax) then
begin
amplTab[i]:=tension(0);
tauTab[i]:=tau;
corTab[i]:=dA;
inc(i);
inc(idelai);
end;
if(i=iMax-1) then message(’Enregistrement terminé’);
tau2:=tau;
{gestion des options}
ch := #0;
if keypressed then ch := upcase(ReadKey);
case ch of
del :
begin
clearviewport;
SetColor(Blue);
RMoveto(0,0);
RLineTo(70,70);
end;
’L’ : i:=0;
’D’ : idelai:=0;
’M’ :
begin
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Programmes de lecture des données (en Turbo Pascal)
mode:=abs(mode-1);
if (mode=1) then K:=0.0120;
if (mode=0) then K:=0.0500;
message(’K ’+ realStr(K,8,4)+’
end;
’ ’ :
begin
correction:=abs(correction-1);
message(’K ’+ realStr(K,8,4)+’
end;
’T’ : dyn:=abs(dyn-1);
return :
begin
i:=0;
idelai2:=0;
end;
’+’ :
begin
K:=K+0.001;
message(’K ’+ realStr(K,8,4)+’
end;
’-’ :
begin
K:=K-0.001;
message(’K ’+ realStr(K,8,4)+’
end;
’A’ : message(’K ’+ realStr(K,8,4)+’
’W’ : writefile;
end;
correction2 := correction;
until ch = esc;
correction :’+ intStr(correctio
correction :’+ intStr(correctio
correction :’+ intStr(correctio
correction :’+ intStr(correctio
correction :’+ intStr(correctio
sortir(2,5);
end.
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Bibliographie
– La bille qui rebondit : une expérience simple pour aborder la physique du chaos
Pierre BOISSEL
Bulletin de l’union des physisiens N˚741 (Février 1992)
– Using small perturbations to control chaos
Troy Shinbrot, Celso Grebogi, Edward Ott, James A.Yorke
Nature VOL 363 (Juin 1993)
– Continuous control of chaos by self-controlling feedback
K. Pyragas
Physics Letters A (Novembre 1992)
Ce rapport a été produit avec LATEX.
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