Exemple fondamental : probabilité uniforme

EFREI – L’3
Probabilités
GENERALITES SUR LES PROBABILITES
1. Espace probabilisé
1.1. Expérience aléatoire, univers
Définition 1. 1. 1 : On appelle expérience aléatoire (ou épreuve aléatoire) une expérience
dont le résultat ne peut pas être prévu avant la réalisation de l’expérience.
Définition 1. 1. 2 : On appelle univers d’une expérience aléatoire l’ensemble noté Ω des
résultats possibles de l’expérience, parfois appelés issues.
Remarque : L’univers peut être fini, infini et dénombrable, infini et non dénombrable, à
deux dimensions…
1.2. Evénement
Définition 1. 2. 1 : Soit une expérience aléatoire d’univers Ω. Un événement est une
partie de l’univers.
L’ensemble des événements est noté par la suite A.
Propriété 1. 2. 1 : L’ensemble A est une -Algébre ou tribu sur  : un sous-ensemble
de P() vérifiant les propriétés suivantes :
 A
  A, A  A
A i A
 A i  famille dénombrable d’éléments de A,
iI
iI
 :
Remarque
 Lorsque Ω est fini, l’ensemble A est souvent égal à P().


 , tribu triviale
 P() tribu grossière
 Définition 1. 2. 2 : Le couple (Ω, A) est appelé espace probabilisable.
Définition 1. 2. 3 et vocabulaire : Soit A et B deux événements.
 Ω est l’événement certain ; ∅ est l’événement impossible ; {𝜔} est un événement
élémentaire.
 Si A⊂B, on dit que l’événement A implique l’événement B.
̅ de l’événement A est appelé événement contraire de A.
 Le complémentaire A
 Lorsque A ∩ B = ∅, on dit que A et B sont incompatibles ou disjoints.
Définition 1. 2. 4 : On appelle système complet d’événements toute partition de Ω, c’est –
à dire toute famille d’événements non vides, deux à deux incompatibles et dont l’union est
égale à l’univers.
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Probabilités
1.3. Probabilités
Définition 1. 3. 1 : Soit ( ; A) un espace probabilisable.
On appelle probabilité sur ( ; A) toute application P de A sur ℝ+ vérifiant les deux
conditions suivantes :
 P() = 1
 A i 
famille dénombrable d’éléments de A deux à deux disjoints,
iI
A i )   P(A i )
P(
iI


iI
Le triplet (,A ; P) est appelé espace probabilisé.
Propriétés 1. 3. 2 :
 (A, B) A2, A  B  P(A)  P(B)
 AA, P(A) 0 ; 1
 AA, P(A ) 1 P(A)
 P()  0

 A i  système complet d’événements,
iI
P(A )  1
i
iI


 (A, B) A2, P(AB)  P(A)  P(B)  P(AB)
 Exemple fondamental : probabilité uniforme

On suppose que  est un ensemble fini et que A = P(). On appelle probabilité

cardA
uniforme sur  la probabilité P définie par : A  , P(A) =
.
card 
(On rappelle que cardA est égal au nombre d’éléments de l’ensemble fini A)
2. Dénombrement
Un sac contient n objets. On extrait p de ces objets successivement.
2.1. Tirages successifs. p-listes d’un ensemble à n éléments.
Propriété 2. 1. 1 : Le nombre de tirages successifs de p éléments dans un ensemble de n
éléments (p-listes) avec remise est égal à np.
Propriété 2. 1. 2 : Le nombre de tirages successifs de n éléments dans un ensemble de n
éléments sans remise (permutations) est égal à n !.
Propriété 2. 1. 3 : Le nombre de tirages successifs de p éléments dans un ensemble de n
éléments sans remise (arrangement) est égal à :
𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) … . (𝑛 − (𝑝 − 1)) =
𝑛!
(𝑛 − 𝑝)!
Remarque : Dans la formule précédente, si p = n, on retrouve le nombre de
permutations.
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Probabilités
2.2. Tirages simultanés. Combinaisons.
Propriété 2. 2. 1 : Le nombre de tirages simultanés de p éléments dans un ensemble à n
éléments (combinaisons) est égal à :
𝑛
𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) … (𝑛 − (𝑝 − 1))
𝑛!
( ) = 𝐶𝑛𝑝 =
=
𝑝
𝑝!
𝑝! (𝑛 − 𝑝)!
Propriété 2. 2. 2 :
𝑛
𝑛
( )=( )=1
0
𝑛
𝑛
𝑛
( )=(
)=𝑛
1
𝑛−1
𝑛
𝑛
( )=(
)
𝑝
𝑛−𝑝
𝑛+1
𝑛
𝑛
(
)=( )+(
)
𝑝
𝑝
𝑝−1
3. Probabilité conditionnelle et indépendance
3.1. Probabilité conditionnelle
Définition 3. 1. 1 : Soit ( ;A, P) un espace probabilisé et A un événement de probabilité
non nulle. L’application PA :A  R 
B
PA (B) 
P(A  B)
P(A)


est une probabilité sur ( ;A) appelée probabilité conditionnelle sachant A.
 également PA (B)  P(A / B) .
Remarque : On note
Propriété 3. 1. 1 : Formule des probabilités totales : Soit ( ;A, P) un espace
probabilisé et
Ai iI un système complet d’événements, alors BA,
P(B)   P(B / A i )P(A i )
iI
Propriété
3. 1. 2 : Formule de Bayes : Soit ( ;A, P) un espace probabilisé et A i  un
iI

système complet d’événements, alors BA, i  I, P(A i / B) 
P(A i )P(B / A i )
P(B / A j )P(A j )
jI

3.2. Indépendance de deux événements
 espace probabilisé. On dit que deux événements A
Définition 3. 2. 1 : Soit ( ;A, P) un
et B sont indépendants si PB(A)=P(A)
Propriété 3. 2. 1 : A et B sont indépendants P(AB)  P(A)  P(B)

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