Ch11 – Equations_de_droites

Chapitre 11 - Équations de droites
2nde
2012-2013
Chapitre 11 - Équations de droites
Dans tout le chapitre, le plan est muni d’un repère (O, I, J).
I
Équations de droites
I.1
Droite parallèle à l’axe des ordonnées
TD : Équation d’une droite parallèle à l’axe des ordonnées
1. (a) Dans le repère (O, I, J) du plan, placer les points A(2 ; 0), B(2 ; −1) et C(2 ; 4).
(b) Justifier que les trois points A, B et C sont alignés. La droite (AB) est-elle la représentation
d’une fonction affine ?
(c) Soit M un point de coordonnées (x ; y).
Quelle relation portant sur les coordonnées de M permet d’affirmer que M appartient à la
droite (AB) ?
Réciproquement, si le point M appartient à la droite (AB) cette relation est-elle vérifiée ?
Justifier.
On dit que la relation x = 2 est une équation de la droite (AB), y ∈ R est sousentendu.
2. (a) Construire dans le repère (O, I, J) les droites d’équations : x = −1 ; x = 0 ; x =
7
2
(b) Soit k un réel et K le point de coordonnées (k ; 0).
Donner une équation de la droite d parallèle à l’axe des ordonnées passant par la point K.
Propriété 1
Une droite d, parallèle à l’axe des ordonnées, a pour équation x = k, où k est un réel.
Exemple :
d
J
b
b
O
b
b
K
I
Démonstration : Une droite d parallèle à (OJ) coupe l’axe (OI) en un point A(k ; 0). Un point
M (x ; y) appartient à d si et seulement si son abscisse x est égale à k, c’est-à-dire x = k.
-1-
Chapitre 11 - Équations de droites
2nde
I.2
2012-2013
Droite non parallèle à l’axe des ordonnées
TD : Équation d’une droite non parallèle à l’axe des ordonnées
On considère la droite (AB) où A(4 ; −1) et B(0 ; 5).
1. Déterminer la fonction affine f telle que : f (4) = −1 et f (0) = 5.
Quelle est sa courbe représentative ?
2. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour qu’un point M (x ; y) appartienne à la
droite (AB).
Propriété 2
◇ La représentation graphique de la fonction affine f ∶ x z→ ax + b est une droite d qui n’est pas
parallèle à l’axe des ordonnées.
◇ Réciproquement, toute droite d non parallèle à l’axe des ordonnées représente une fonction affine
f ∶ x z→ ax + b.
Démonstration : Soit d une droite non parallèle à l’axe des ordonnées.
1. Justifier qu’il existe un point A de d d’abscisse 0 et un point B de d d’abscisse 1. On note
A(0 ; yA ) et B(1 ; yB ).
2. Soit f la fonction affine définie par f (x) = (yB −yA )x+yA . Quelle est sa représentation graphique ?
3. Déterminer f (0) et f (1).
4. Conclure.
Propriété 3
Une droite d, non parallèle à l’axe des ordonnées, admet une équation de la forme y = ax + b où a
et b sont des réels.
Un point M (x ; y) appartient à d si et seulement si y = ax + b.
Exemple : Soit d ∶ y = −2x + 3
A(2 ; −1) appartient à d si et seulement si yA = −2xA + 3. Or −2xA + 3 = −2 × 2 + 3 = −1 = yA . On en
déduit que A ∈ d.
En revanche B(−1 ; 3) n’appartient pas à d car −2xB + 3 = 5 ≠ yB .
Démonstration : d représente une fonction f ∶ x z→ ax + b. Alors M (x ; y) appartient à d si et
seulement si y = f (x) soit y = ax + b. Donc y = ax + b est une équation de d.
-2-
2nde
Chapitre 11 - Équations de droites
2012-2013
Définition 1
Une équation de la droite d de la forme y = ax + b est appelée l’équation réduite de la droite d.
a est le coefficient directeur de la droite d et b est son ordonnée à l’origine, c’est-à-dire que
la droite d passe par le point de coordonnées (0 ; b).
Propriété 4
Soient A(xA ; yA ) et B(xB ; yB ) deux points tels que xA ≠ xB . Le coefficient directeur de la
droite (AB) est :
a=
yB − yA différence des ordonnées
=
xB − xA
différence des abscisses
Exemple : Soit la droite d passant par A(4 ; 0) et B(0 ; 2).
La droite d coupe l’axe des ordonnées ; d a donc une équation de la forme y = ax + b avec le coefficient
2
2−0
=
= −0, 5.
directeur a =
0 − 4 −4
Si x = 0, on a y = 2 ; d’où l’ordonnée à l’origine b = 2.
L’équation réduite de d est y = −0, 5x + 2.
Exercice : Interprétation graphique
Soit d une droite d’équation y = ax + b. M (xM ; yM ) est un point de d et N (xN ; yN ) est le point de
d tel que xN = xM + 1.
1. Montrer que yN = yM + a.
2. Comment interpréter graphiquement ce résultat ?
Soit d une droite de coefficient directeur a. Lorsque l’on passe d’un point de d à un autre en augmentant
l’abscisse de 1, l’ordonnée varie de a (si a > 0 l’ordonnée augmente, si a < 0 l’ordonnée diminue).
Exemple : Soit d d’équation y = 2x − 1.
2
J
1
2
O
I
1
Ici a = 2 : lorsque l’abscisse augmente de 1, l’ordonnée augmente de 2.
-3-
Chapitre 11 - Équations de droites
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Algorithme : Équation réduite d’une droite
Variables :
xA , yA , xB , yB , a, b sont des nombres réels
Initialisation, entrées :
Saisir xA
Saisir yA
Saisir xB
Saisir yB
Traitement :
yB − yA
a prend la valeur
xB − xA
b prend la valeur yA − a × xA
Sortie :
Afficher la valeur de a
Afficher la valeur de b
II
Positions relatives de deux droites
II.1
Droites parallèles
TP : Avec le logiciel GeoGebra
1.
(a) Créer la droite d ayant pour équation y = 2x + 1.
(b) Créer un point A puis la droite d′ parallèle à d passant par A.
(c) Mettre son équation sous la forme y = ax + b.
(d) Qu’observe-t-on sur ces équations ?
(e) Déplacer A. Ces observations restent-elles valables ?
(f) Énoncer la propriété que l’on peut conjecturer sous la forme Si . . .alors . . .
2.
(a) Proposer des équations de deux autres droites qui pourraient être parallèles à d.
Entrer chacune de ces équations dans la zone de saisie.
(b) Ces droites sont-elles parallèles à d ?
(c) Énoncer la propriété que l’on peut conjecturer sous la forme Si . . .alors . . .
3. Énoncer les deux propriétés conjecturées en une seule.
Propriété 5 (Admise)
Deux droites d’équations respectives y = ax + b et y = a′ x + b′ sont parallèles si et seulement si elles
ont le même coefficient directeur, c’est-à-dire si et seulement si a = a′ .
Exercice : Soient A(−2 ; −3), B(3 ; 6), C(−3 ; −4) et D(6 ; 11)
1. Les points A, B et C sont-ils alignés ?
2.
(a) Les points A, B et D sont-ils alignés ?
(b) Déterminer l’équation de la droite parallèle à (AB) passant par D.
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Algorithme : Alignement de trois points
Variables :
xA , yA , xB , yB , xC , yC , a, a′ sont des nombres réels
Initialisation, entrées :
Saisir xA
Saisir yA
Saisir xB
Saisir yB
Saisir xC
Saisir yC
Traitement :
yB − yA
a prend la valeur
xB − xA
yC − yA
a′ prend la valeur
xC − xA
Sortie :
Si a = a′ alors
Afficher "Les trois points sont alignés"
Sinon
Afficher "Les trois points ne sont pas alignés"
FinSi
II.2
Droites sécantes et intersection
TD :
Partie A : Dans un repère (O, I, J), on donne les points A(−1 ; −3), B(0 ; −1), C(4 ; 1) et D(−1 ; 6).
1. Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles ?
Propriété 6
Soient deux droites d et d′ d’équations respectives y = ax + b et y = a′ x + b′ . Les droites d et
d′ sont sécantes si et seulement si a ≠ a′ .
Remarque : Cette propriété est la négation de la propriété précédente.
2.
(a) Donner les équations réduites des droites (AB) et (CD).
(b) Représenter les droites (AB) et (CD) dans le repère ci-dessous.
-5-
Chapitre 11 - Équations de droites
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⃗
O
⃗ı
(c) Déterminer graphiquement les coordonnées de leur point d’intersection M .
(d) Retrouver les coordonnées de M par le calcul.
Propriété 7
Soient deux droites sécantes d et d′ d’équations respectives y = ax+b et y = a′ x+b′ . Les coordonnées
du point d’intersection de d et d′ est le couple (x ; y) solution du système :
⎧
⎪
⎪y = ax + b
⎨
′
′
⎪
⎪
⎩y = a x + b
Partie B : Dans un repère (O, I, J), on donne les points A(−2 ; 6), B(2 ; 4), C(1 ;
E(0 ; 5) et F (6 ; 2).
1.
3
), D(−2 ; 3),
2
(a) Déterminer les équations réduites des droites (AB) et (CD).
(b) Quelle est la position relative des droites (AB) et (CD) ?
(c) Combien y a-t-il de points d’intersection entre les droites (AB) et (CD) ?
⎧
⎪
⎪y = −0, 5x + 5
(d) Le système ⎨
admet-il une unique solution ? aucune solution ? une infinité
′
⎪
⎪
⎩y = −0, 5 x + 2
de solutions ?
2.
(a) Déterminer l’équation réduite de la droite (EF ).
(b) Quelle est la position relative des droites (AB) et (EF ) ?
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(c) Combien y a-t-il de points d’intersection entre les droites (AB) et (EF ) ?
⎧
⎪
⎪y = −0, 5x + 5
admet-il une unique solution ? aucune solution ? une infinité
(d) Le système ⎨
⎪
⎪
⎩y = −0, 5x + 5
de solutions ?
Algorithme : Compléter l’algorithme donnant la position relative de deux droites d et d′ d’équations
y = ax + b et y = a′ x + b′
Variables :
a, b, a′ , b′ sont des nombres réels
Initialisation, entrées :
Saisir . . .
Saisir . . .
Saisir . . .
Saisir . . .
Traitement :
Si . . . . . . . . . alors
Afficher "Droites sécantes"
Sinon Si . . . . . . . . . alors
Afficher "Droites confondues"
Sinon Afficher "Droites strictement parallèles"
FinSi
FinSi
Exercice : Résolution de systèmes d’équations linéaires
⎧
⎪
⎪−x + 2y = 7
Partie A : On considère le système ⎨
⎪
⎪
⎩2x + 3y = 16
1. A quelle type de courbe peut-on associer les équations −x + 2y = 7 et 2x + 3y = 16 ?
2. Le système admet-il une unique solution ? aucune solution ? une infinité de solutions ?
3. Méthode de résolution 1 : La substitution
(a) Exprimer y en fonction de x dans la première équation.
(b) Remplacer y par l’expression obtenue dans la deuxième équation.
(c) Déterminer la valeur de x.
(d) Remplacer x par sa valeur dans l’une des deux équations de départ et déterminer la valeur
de y.
4. Méthode de résolution 2 : La combinaison linéaire
(a) Multiplier la première équation par 2.
(b) Additionner membre à membre les deux équations.
(c) Déterminer la valeur de y.
(d) Remplacer y par sa valeur dans l’une des deux équations de départ et déterminer la valeur
de x.
Partie B : Généralisation.
⎧
⎪
⎪ax + by = c
Soit un système d’équations linéaires : ⎨ ′
.
′
′
⎪
⎪
⎩a x + b y = c
1. Écrire l’équation ax + by = c sous sa forme réduite. Faire de même avec l’équation a′ x + b′ y = c′ .
2. Quelles doivent être les conditions sur a, b, a′ et b′ pour que le système admette :
-7-
Chapitre 11 - Équations de droites
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2012-2013
(a) une unique solution ?
(b) aucune solution ou une infinité de solutions ?
Propriété 8
⎧
⎪
⎪ax + by = c
Un système d’équations linéaires ⎨ ′
admet :
′
′
⎪
⎪
⎩a x + b y = c
a a′
– une unique solution si et seulement si ≠ ′ , c’est-à-dire ab′ − a′ b ≠ 0 ;
b b
a a′
– aucune solution ou une infinité de solutions si et seulement si = ′ , c’est-à-dire ab′ − a′ b = 0.
b b
-8-