TD n˚13 - Ondes électromagnétiques dans les conducteurs 1

Physique
TD n˚13 - Ondes électromagnétiques dans les conducteurs
TD n˚13 - Ondes électromagnétiques dans les
conducteurs
1 Communication sous-marine
1. Question préliminaire : Sachant que la taille caractéristique d’une antenne permettant d’émettre un
signal est de l’ordre de grandeur de la longueur d’onde émise (voir cours sur le rayonnement dipolaire),
déterminer la taille d’une antenne utilisée pour la radio FM (f ≃ 100 M Hz), ou pour le wifi ou la
téléphonie mobile (f ≃ 2 GHz).
2. On cherche maintenant à déduire des conséquences de cette propriété générale pour la communication
sous-marine.
a) En utilisant les données ci-dessous, déterminer l’ordre de grandeur
de la fréquence des ondes électromagnétiques qui permettraient de
communiquer avec un sous-marin ? Quelle est la taille de l’antenne
correspondante ? Commenter.
b) Qu’en est-il dans un lac ?
Données : La conductivité électrique de l’eau de mer est d’environ 1S.m−1 ,
et celle de l’eau pure d’environ 5 × 10−6 S.m−1 .
2 Effet de peau
Un milieu conducteur de conductivité γ = 5,6.107 Ω−1 .m−1 , caractérisé par la permittivité diélectrique
1
SI et par la perméabilité magnétique µ0 = 4π.10−7 SI, occupe le demi-espace x > 0 et est
ϵ0 =
36 π.109
limité par le plan x = 0.
ω
Ce conducteur est placé dans un champ électromagnétique sinusoïdal de fréquence f =
et invariant
2π
par translation selon les axes Oy et Oz.
On se placera dans tout le problème aux fréquences f < f0 , fréquence pour laquelle le module du courant
de déplacement est égal au millième du module du courant de conduction.
1. Calculer la fréquence f0 . Commenter.
−
→
2. Établir l’équation différentielle vérifiée par le champ électrique E (M, t) en M (x, y, z) à l’instant t à
l’intérieur du conducteur.
3. Les lignes de courant dans ce conducteur sont parallèles à l’axe Oy.
a) Montrer qu’au point M (x, y, z), la densité de courant volumique est de la forme :
(
)
x
−
→
j (x, t) = j0 exp −
δ
cos(2πf t − kx) ⃗uy
où les coefficients δ et k seront exprimés en fonction de f et γ.
4.
b) Justifier la dénomination d’"épaisseur de peau" attribuée à δ.
→
−
a) Exprimer
le champ magnétique B (x, t) dans le conducteur en M . On donne sin(a) − cos(a) =
√
2 sin(a − π/4).
b) En déduire la puissance moyenne PR rayonnée à travers une surface plane S située dans le plan
d’abscisse x, en fonction de S, j0 , x, δ et γ.
5. Exprimer la puissance moyenne PJ dissipée par effet Joule dans le paralléllépipède délimité par les
plans x = 0 et x = 5 δ et de section S.
MP2 - Année 2016/2017
1
Lycée Janson de Sailly
Physique
TD n˚13 - Ondes électromagnétiques dans les conducteurs
6. Comparer PR et PJ . Conclure.
√
(
)
−
→
√
∂E
j0 2 −x/δ
π
−
→
−
→
−
→
2
1
Réponses : 1. f0 ≃ 10 Hz, 2. ∆ E −µ0 γ
= 0 , 3a. δ =
et k = δ , 4a. B =
e
cos 2πf t − kx −
⃗
uz ,
µ0 γ 2πf
∂t
γδω
4
j02 S δ −2x/δ
j02 S δ
4b. ⟨Pray ⟩ =
e
, 5. ⟨PJ ⟩ =
.
4γ
4γ
15
3 Transparence ultraviolette des métaux
Un métal est éclairé sous incidence normale par une onde électromagnétique plane, progressive, harmonique. On adopte le modèle de conduction de Drude dans un métal : la force exercée par le réseau sur les
−
→
v
électrons de conduction est de la forme −m . On note n∗ le nombre volumique d’électrons libres.
τ
1. Montrer que le métal possède une conductivité complexe :
σ=
σ0
1 + iωτ
avec
σ0 =
n ∗ e2 τ
m
Quelle convention a-t-elle été choisie pour la notation complexe du champ électrique pour obtenir cette
expression ?
2. On rappelle que le métal est localement neutre. En déduire la relation de dispersion des pseudo-OPPH :
k2 =
ω2
− µ0 iσω
c2
3. Comment se simplifie-t-elle pour ωτ ≫ 1 ? Interpréter alors le fait que certains métaux sont transparents dans l’ultra-violet, sachant que n∗ ≃ 1028 m−3 , m = 9.10−31 kg, e = 1, 6.10−19 C et τ ≃ 10−14 s.
4. Expliquer pourquoi les métaux bons conducteurs sont aussi des miroirs.
4 Cage de Faraday
1. Montrer que le champ électromagnétique est nul à l’intérieur d’une
cavité creusée dans un conducteur fermé. On pourra supposer que
le matériau est un conducteur parfait.
2. Une telle cavité constitue une "cage de Faraday". Citer quelques
applications de ce type de dispositif.
3. En pratique, il est suffisant que la cage soit constituée d’un grillage
ajouré. Quelle est la taille maximale des trous de manière à conserver la propriété de "cage de Faraday" pour une onde de fréquence
ν?
MP2 - Année 2016/2017
2
Lycée Janson de Sailly