TD T1 - CPGE Brizeux

Rappels et compléments
T1
PC 2015-2016
Thermodynamique
Rappels et compléments
1
Exercices d'entraînement
1.1 Chauage d'une habitation
On désire chauer une pièce à l'aide d'une pompe à chaleur dont le fonctionnement est
supposé reversible. L'extérieur est à une température noté TF = 273 K.
On néglige dans un premier temps les pertes énergétiques.
1. Expliquer le fonctionnement d'une pompe à chaleur et retrouver l'expression de l'ecacité
maximale pour une pompe à chaleur idéale fonctionnant entre 2 sources SC et SF de
températures TC = 293 K et TF = 273 K.
2. La pièce passe d'une température TF à une température T0 = 293 K. On suppose que
la température dépend du temps, on la notera T (t). On note P la puissance du moteur
électrique entraînant la pompe à chaleur et C = 1,0 · 103 kJ · K−1 , la capacité calorique
de la pièce.
Appliquer les deux principes à la pompe à chaleur sur un cycle élémentaire où la température de la pièce passe de T (t) à T (t) + dT . En déduire que l'équation diérentielle vériée
par la température est
C dT
dt = e(t)P
où e(t) est l'ecacité instantanée de la pompe à chaleur e =
T (t)
T (t)−TF
.
3. On ne néglige plus les pertes énergétiques de la pièce. On cherche à déterminer la valeur
de P permettant de maintenir une température constante.
Pour étudier les échanges de chaleur entre l'extérieur et l'intérieur de la pièce, on débranche
la pompe à chaleur. La température intérieure initiale est T0 = 293 K.
Au bout d'une durée ∆t = 6 h, cette température passe à la valeur TF0 = 283 K.
La puissance échangée de la pièce vers l'extérieur est de la forme : Φ(t) = a C(T (t) − TF ) >
0.
(a) Préciser l'unité S.I. de la constante a.
(b) Montrer que l'équation diérentielle vériée par T (t) s'écrit :
dT
dt
+ a T = a TF
(c) En déduire la loi T (t).
(d) Compte tenu de la valeur de TF0 , déterminer la valeur numérique de a.
4. On se place en régime permanent : la température de la pièce est constante et égale à
TC = 293 K. La pompe à chaleur a une ecacité e = 6. En déduire l'expression et la
puissance à fournir au moteur.
1.2 Moteur avec pseudosources (Mines Ponts)
Un moteur thermique réversible fonctionne entre une masse m1 d'eau liquide initialement
à T1,0 = 373 K et une masse m2 = 1,0 kg de glace à la température de fusion TF = 373 K à
P0 = 1,0 · 105 Pa. L'évolution des deux masses se fait à P0 = cste.
Pendant une durée dt, on considère que le uide contenu dans le moteur subit un cycle
élémentaire et réversible. On note δQ1 et δQ2 les transferts thermiques reçus par le uide de la
part des deux masses.
On constate que la machine s'arrête de fonctionner lorsque la glace a totalement fondu et
T2,f = TF .
1. Représenter sur un schéma les échanges de chaleur et de travail. Appliquer les deux principes
pour un cycle élémentaire du moteur.
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2. Etablir la relation
lF dm2
TF
1
− m1 c dT
T1 = 0
3. Quelle est la température nale T1,f de m1 lorsque le moteur cesse de fonctionner ? En
déduire m1 .
4. Calculer le travail fourni par le moteur jusqu'à son arrêt ; vérier son signe.
5. Calculer le rendement global et le comparer avec le rendement théorique maximal que l'on
obtiendrait si les deux sources étaient maintenues à leurs températures initiales T1,0 et TF .
Commenter
Données :
capacité thermique de l'eau liquide c = 4,18 kJ · kg−1 ;
enthalpie de fusion de la glace lF = 330 kJ · kg−1 .
1.3 Mouvement de deux pistons
Soit un cylindre de section S calorifugé contenant deux pistons calorifugés de même masse
m qui ont un mouvement de translation sans frottement. On suppose que les compartiments
c
contiennent un gaz parfait caractérisé par γ = cvp et que les évolutions sont réversibles.
Figure 1 Déplacement de deux pistons
A l'équilibre, les trois compartiments sont à la même pression P0 et ont le même volume V0 .
Initialement les deux pistons sont écartés de x1,0 et x2,0 par rapport à l'équilibre, avec Sx1,0 ,
Sx2,0 << V0 .
1. Donner, sans calcul, le type de mouvement que vont avoir les pistons.
2. Soient x1 (t) et x2 (t) les positions des pistons par rapport à leurs positions d'équilibre.
Ecrire les équations régissant les mouvements.
3. Linéariser les équations dans le cas de mouvement de faible amplitude. Poser de nouvelles
variables adaptées et déterminer x1 (t) et x2 (t).
4. Proposer un moyen expérimental de récupérer la position x(t) au cours du temps. Quelle
est l'allure du spectre de x(t) ? Sous quelle condition ne contient-il qu'une seule raie ?
5. On cherche à s'assurer de ne récupérer, quelles que soient les conditions initiales, qu'un
signal sinusoïdal. Proposer un dispositif expérimental permettant de ltrer la composante
à plus haute fréquence de 12 dB au moins et de n'atténuer le signal à plus basse fréquence
que de 3 dB au maximum.
1.4 Machine frigorique
Un cycle idéal 1 − 2 − 3 − 4 − 1, décrit par de l'eau dans une machine frigorique, comprend
quatre étapes :
dans l'état 1, le uide est dans l'état de vapeur saturante à la pression P1 = 1 bar. Il subit
une compression adiabatique réversible qui l'amène à la pression P2 = 100 bar.
le uide sort à l'état liquide saturant (état 3) en traversant un condenseur isobare entouré
par un thermostat chaud à Tch = T3 .
il subit alors une transformation adiabatique 3-4 dans un détendeur, dont la pression de
sortie est P1 .
le uide est alors totalement vaporisé dans un évaporateur isobare entouré par un thermostat froid à Tf r = T4 = T1 .
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1. Représenter l'allure du cycle dans les diagrammes entropique et enthalpique en vous aidant
de ceux fournis, en justiant chacune des courbes.
2. Déterminer graphiquement, en justiant vos résultats, les grandeurs suivantes :
(a) le travail utile massique wcp reçu lors de la compression ;
(b) le transfert thermique massique qcd reçu dans le condenseur ;
(c) le transfert thermique massique qev reçu dans l'évaporateur ;
(d) le titre massique en vapeur x4 ;
(e) l'entropie massique créée sc,cd dans le condenseur ;
(f) l'entropie massique créée sc,ev dans l'évaporateur.
3. Dénir l'ecacité de la machine et déterminer sa valeur numérique.
4. Comparer cette ecacité à celle de la machine de Carnot associée.
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2
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Thermodynamique dans un réacteur à eau pressurisée (d'après
CCP PC 2014)
Les réacteurs nucléaires à eau pressurisée (REP) exploitent l'énergie libérée par la ssion de
noyaux d'uranium 235 provoquée par des ux de neutrons pour chauer l'eau d'un premier circuit
appelé circuit primaire. Ce dernier va transférer son énergie thermique, via un échangeur appelé
générateur de vapeur, à un deuxième circuit : le circuit secondaire. L'eau du secondaire subit
un cycle thermodynamique qui consiste en une vaporisation au niveau de la source chaude, une
détente de la vapeur dans une turbine (reliée à un alternateur qui va produire de l'électricité),
une condensation de la vapeur sortant à basse pression de la turbine et une compression de l'eau
condensée an de ramener cette eau à la pression initiale.
Ce problème a pour objectif d'étudier des aspects thermodynamiques du circuit secondaire
et ce, systématiquement, en régime permanent.
Données :
Pression de vapeur saturante (bar)
0, 05
10
70
h0 (kJ · kg−1 )
137, 8
762, 6
1267, 4
h00 (kJ · kg−1 )
2561, 6
2776, 2
2773, 5
s0 (kJ · K−1 · kg−1 )
0, 4763
2, 1382
3, 1219
s00 (kJ · K−1 · kg−1 )
8, 3960
6, 5828
5, 8162
2.1 Etude thermodynamique du circuit secondaire simplié
Le circuit secondaire est constitué du générateur de vapeur (G.V.), d'une turbine (T) reliée
à un alternateur, d'un condenseur (C) et d'une pompe d'alimentation secondaire (P), comme
précisé en gure 2.
Figure 2 Circuit secondaire simplié
Pour l'ensemble du problème, nous négligerons les frottements ainsi que les variations d'énergie cinétique et d'énergie potentielle du uide secondaire. Dans le condenseur et le générateur de
vapeur il n'y a pas de pièce mobile.
2.1.1 Questions préliminaires
1. Sur un diagramme de Clapeyron, représenter la courbe de saturation et les parties courbes
de rosée et d'ébullition. Indiquer également la position du point critique et les domaines
du liquide, du mélange diphasique et de la vapeur surchauée. Mentionner où se trouve le
liquide saturant et la vapeur saturante.
2. Sur le diagramme de Clapeyron de la gure 3, l'allure de l'isotherme correspondant à la
température T = 306 K a été représentée. Justier l'allure de cette isotherme pour chaque
domaine. On pourra, dans le domaine de la vapeur surchauée, se référer au modèle du
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gaz parfait. Tracer l'allure de l'isotherme correspondant à la température T = 559 K sur
un diagramme de Clapeyron que vous reproduirez et où apparaît l'allure de l'isotherme
correspondant à la température T = 306 K.
Figure 3 Isotherme dans le diagramme de Clapeyron
3. Démontrer qu'une transformation adiabatique réversible est une transformation isentropique.
4. En considérant que l'eau liquide dans une pompe est incompressible et de volume massique v = 1,0 · 10−3 m3 · kg−1 , calculer le travail massique indiqué wiP échangé par l'eau
circulant dans une pompe, en considérant la transformation adiabatique réversible et une
augmentation de pression de ∆P = 70 bar. On rappelle que la variation élémentaire de
l'enthalpie massique dh du uide peut s'écrire : dh = T ds + vdP .
Ce travail peut être considéré comme négligeable devant les autres échanges énergétiques ;
dans toute la suite du problème, le travail indiqué échangé par un liquide sera systématiquement considéré comme nul. En déduire alors, que l'enthalpie massique du liquide reste
constante lors de son passage dans une pompe.
2.1.2 Etude du cycle thermodynamique simplié
Le uide secondaire subit le cycle thermodynamique suivant :
1 → 2 : détente adiabatique réversible dans la turbine,
2 → 3 : liquéfaction isobare totale dans le condenseur,
3 → 4 : compression adiabatique réversible dans la pompe d'alimentation secondaire,
4 → 1 : échauement puis vaporisation isobare dans le générateur de vapeur saturante.
Le tableau ci-dessous précise l'état thermodynamique du uide secondaire en certains points
du cycle :
Point
Pression (bar)
Température (K)
1
2
3
4
70
0,05
0,05
70
559
306
état du uide secondaire
vapeur saturante
mélange diphasique
liquide saturant
liquide sous saturé
enthalpie massique (kJ · kg−1 )
entropie massique (kJ · K−1 · kg−1 )
2773,5
5,8162
137,8
0,4763
1. Tracer dans un diagramme de Clapeyron et un diagramme T − s l'allure du cycle thermodynamique subi par le uide secondaire. Placer sur les deux diagrammes les points 1, 2, 3
et 4.
2. Calculer, en sortie de turbine, le titre x2 et l'enthalpie massique h2 du uide. En déduire
le travail massique indiqué wiT échangé par le uide dans la turbine. On rappelle que le
titre correspond à la fraction massique de la vapeur dans le mélange liquide-vapeur.
Une vapeur humide est d'autant plus corrosive pour les pales de la turbine que son titre
est faible, que pensez-vous de la détente étudiée ?
3. Déterminer la température T3 et la valeur du titre x3 du uide en sortie du condenseur.
Calculer la chaleur massique qeC échangée par le uide avec le condenseur.
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4. Calculer la chaleur massique qeGV échangée par le uide dans le générateur de vapeur.
5. Calculer le rendement de ce cycle thermodynamique ηcycle puis celui de Carnot ηCarnot en
utilisant les mêmes sources chaude et froide. D'où provient la diérence de rendement entre
ces cycles ?
2.2 Etude thermodynamique du circuit secondaire réel
An d'optimiser la qualité de la vapeur utilisée (augmentation du titre en sortie de turbine),
l'industriel utilise un circuit secondaire plus complexe, représenté à la gure 4.
Figure 4 Circuit secondaire industriel
On rappelle qu'à chaque échangeur du circuit à plusieurs entrées/sorties, la conservation de
l'énergie impose un bilan de puissance sous la forme générale :
P
P
Dme he = Dms hs
où he et hs sont respectivement les enthalpies massiques d'entrée et de sortie de l'échangeur
concerné, Dme et Dms les débits massiques d'entrée et de sortie de l'échangeur concerné.
Les turbines haute pression (HP) et basse pression (BP) entraînent l'alternateur.
Le débit massique de vapeur en sortie du générateur de vapeur vaut Dm1 = 1500 kg · s−1 , le
débit massique de vapeur alimentant le surchaueur est Dm11 = 100 kg · s−1 .
Le tableau suivant précise l'état thermodynamique du uide secondaire en certains points du
cycle :
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T1
Point
Pression (bar)
Température (K)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
70
10
10
10
10
0,05
0,05
10
10
70
70
10
559
453
250
état du uide secondaire
vapeur saturante
mélange diphasique
vapeur saturante
liquide saturant
vapeur surchauée
mélange diphasique
liquide saturant
liquide sous-saturé
liquide sous-saturé
liquide sous-saturé
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enthalpie massique (kJ · kg−1 )
entropie massique (kJ · K−1 · kg−1 )
2773,5
5,8162
2943,0
6,9259
1. En considérant qu'une partie du uide primaire eectue une détente adiabatique réversible
dans la turbine haute pression (HP), déterminer les valeurs de l'entropie massique s2 , du
titre x2 et de l'enthalpie massique h2 au point 2.
Calculer le travail massique indiqué wiT HP échangé par le uide dans la turbine HP. En
déduire la puissance PHP développée par la turbine HP.
2. Un assécheur-séparateur permet la séparation du mélange diphasique obtenu au point 2
en, d'une part, de la vapeur saturante au point 3 et d'autre part, du liquide saturant au
point 4.
Ecrire deux relations vériées, au niveau de l'assécheur-séparateur, par les débits massiques
Dm2 , Dm3 , Dm4 et les enthalpies massiques h2 , h3 et h4 .
Donner l'expression, en fonction de Dm2 , h2 , h3 et h4 , des débits massiques Dm3 et Dm4
aux points 3 et 4. Calculer la valeur de ces débits massiques.
Exprimer les débits massiques Dm3 et Dm4 en fonction du titre x2 et du débit massique
Dm2 .
3. Une partie du uide issu du générateur de vapeur circule dans un surchaueur pour échanger une partie de son énergie à la vapeur saturée issue de l'assécheur-séparateur an de la
surchauer.
A partir d'un bilan de puissance sur le surchaueur, déterminer l'enthalpie massique du
uide h11 au point 11.
4. La puissance PBP développée par la turbine basse pression (BP) vaut PBP = 963 MW.
Calculer le travail massique indiqué wiT BP échangé par le uide dans la turbine BP.
Déterminer la valeur du titre x6 au point 6.
5. Calculer la chaleur massique qeC échangée par le uide au condenseur.
6. Un détendeur est un organe adiabatique qui ne présente pas de parois mobiles et qui permet
au uide d'abaisser sa pression. Montrer qu'une des grandeurs d'état reste constante lors de
l'écoulement d'un uide au travers d'un détendeur. Comment s'appelle ce type de détente ?
Est-elle réversible ?
7. A l'aide d'un bilan de puissance sur le réchaueur, déterminer l'enthalpie massique h9 au
point 9. Quel est le rôle du détendeur ?
8. Calculer la chaleur massique qeGV échangée par le uide dans le générateur de vapeur. En
déduire la puissance PGV générée par le générateur de vapeur.
9. Calculer le rendement de ce cycle thermodynamique ηcycle . Le comparer avec le rendement
du circuit simplié et en déduire quel pourrait être l'avantage principal du cycle réel.