MagnElecPro Electromagnétisme - Corrigé de Chapitre 6 Exercice 7 - 1 - Corrigé de : Chapitre6. Exercice 7 « Transformateur monophasé usuel en régime alternatif sinusoïdal » Informations concernant le transformateur: i1 i2 u1 N1 N2 u2 Section droite du circuit magnétique: S = 30 cm2. Nombre de spires primaire: N1 = 276. Conditions nominales: Tension primaire U1n = 220 V, 50 Hz (1). Courant secondaire I2n = 16 A. Résultats d'un essai à vide: Tension primaire U1v = U1n = 220 V, 50 Hz. Tension secondaire U2v = 33,5 V. Courant primaire I1v = 0,32 A. Puissance primaire P1v = 29 W. Résultats d'un essai en court-circuit (sous tension primaire réduite): Tension primaire U1cc = 20 V, 50 Hz. Puissance primaire P1cc = 43 W. Courant secondaire I2cc = I2n = 16 A. En régime alternatif sinusoïdal, on peut retenir le modèle suivant : m.i2 i1 r1 u1 m RF LH 1 e1 i1 L fs m e2 = m.e1 r2 i2 u2 a) Par définition, le courant secondaire est nul « à vide », donc u 2 (t ) = m.e1 (t ) . Le courant primaire à vide est faible par rapport au courant nominal (en charge « nominale »), donc pour un transformateur industriel usuel : à vide : u1 ( t ) = r1 .i1 ( t ) − e1 ( t ) ≈ − e1 ( t ) . En conclusion : à vide : ⇒ U 2 eff à vide U1eff à vide =m= N u 2 (t ) m.e1 (t ) = = −m =− 2 N1 u1 (t ) − e1 (t ) N 2 33,5 N = = 0,152 = 2 N1 220 276 Donc N 2 = 42 spires (1) Si rien n'est spécifié, il s'agit des valeurs efficaces. MagnElecPro Electromagnétisme - Corrigé de Chapitre 6 Exercice 7 - 2 - b) Avec l’hypothèse de Kapp, on modifie légèrement le modèle du transformateur (voir le cours) i1 u1 r1 m LH 1 RF i1 L fs m m.i2 r2 e2 = m.e1 e1 i2 u2 On peut ensuite établir un « modèle équivalent ramené au secondaire » (voir le cours) : I1 j .L fs .ω r 2 r1 .m 2 m I2 Ce modèle est représenté en complexe car le régime est alternatif sinusoïdal. Zs m .U1 E 2 = m.E1 U2 charge Si on établit un court-circuit au secondaire : ( ) U 2 = 0 ⇔ m.U 1 = r1 .m 2 + j .L fs .ω + r2 . I 2 = Z s . I 2 ⇒ En court-circuit : Z s = c) Z s = ⇒ (r1 )2 m. U1 I2 . On en déduit : Z s = 0,152 . 20 = 0,19 Ω 16 (r1 .m 2 + r2 )2 + (L fs .ω )2 = 0 ,19 Ω > (r1 .m 2 )2 = m 2 . (r1 )2 < 0 ,19 m2 = 0 ,19 0 ,152 2 = 8 ,22 Ω ⇒ (r1 )2 = r1 < 0,19 m2 Donc lors de l’essai à vide r1 .I 1eff 2 < 8 ,22 . 0 ,32 2 = 0 ,84 W v et = 0,19 0,152 2 = 8,22 Ω r2 .I 2 eff 2 = 0 . Les pertes Joule sont donc inférieures à 0,84 W. La puissance absorbée par le transformateur (Pertes fer + pertes Joule) est de 29 W, donc lors de l’essai à vide les pertes Joules sont négligeables devant les pertes fer. Donc lors de cet essai : P fer ≈ 29 W d) Cette question reprend la démonstration de la « formule de Boucherot » : Si B (t ) = Bmax sin(ω .t ) : ⇒ u1 (t ) = r1.i1 (t ) + d (S .Bmax sin(ω.t ) ) dφ1 (t ) d (ϕ (t ) ) d (B(t ).S ) ≈ N1 . = N1. = N1 . = N1.S .Bmax .ω. cos(ω.t ) dt dt dt dt MagnElecPro Electromagnétisme - Corrigé de Chapitre 6 Exercice 7 - 3 - ⇒ U1max = N1.S .Bmax .ω = N1.S .Bmax .2π . f ⇒ U1eff = Bmax = U1max 2 = U1eff 4,44.N1. f .S N1.S .Bmax .2π . f 2 = ⇔ U1eff = 4,44.N1. f .S .Bmax 220 4,44.276.50.30.10 − 4 e) Lors de l’essai en court-circuit: P fer ≈ = 1,2 T 29 . 20 2 = 0,24 W << P1cc = 43 W . 220 2 On en déduit que lors de l’essai en court-circuit les pertes fer sont négligeables devant les pertes Joule: PJoule ≈ 43 W (r1 .m 2 + r2 + j.L fs .ω ) = Z s = rs + j.L fs .ω Sachant que I 1eff ≈ m.I 2eff : ( ) PJoule = r1.I1eff 2 + r2 .I 2 eff 2 = r1m 2 + r2 .I 2 eff 2 = rs .I 2cceff 2 = rs .16 2 ≈ 43 W . On en déduit : rs ≈ ( 43 16 2 = 0,168 Ω ) ( ) ( ) Z s = 0 ,19 = r1 .m 2 + r2 + j . L fs .ω = rs + j .L fs .ω = rs 2 + L fs .ω 2 L fs .ω = 0 ,19 2 − 0 ,168 2 = 0 ,089 Ω f) En fonctionnement nominal : U1eff = 220 V ⇒ P fer = P1v = 29 W ; I 2 eff = 16 A ⇒ PJoule = P1cc = 43 W La chute de tension en charge obtenue par la formule approchée du cours est : ∆U 2 = m.U1eff − U 2 eff = Rs .I 2 eff . cos(ϕ 2 ) + X s .I 2 eff . sin(ϕ 2 ) = 0,168 . 16 . 1 + 0,089 . 16 . 0 = 2,69 V Donc U 2 eff = m.U1eff − ∆U 2 = 0,152.220 − 2,69 = 30,75 V en charge nominale résistive. Le rendement du transformateur vaut donc : U 2 eff .I 2 eff . cos(ϕ 2 ) Psec ondaire = η= Psec ondaire + PJoule + P fer U 2 eff .I 2 eff . cos(ϕ 2 ) + PJoule + P fer η= 30,75 . 16 . 1 = 0,872 = 87,2 % 30,75 . 16 . 1 + 43 + 29 Rappelons que le rendement des transformateurs de forte puissance apparente (quelques 100 kVA à quelques 100 MVA) est plutôt de l’ordre de 97% à 99%.