Physique : Optique1 : Lois de Descartes

Introduction à l’optique géométrique
Lois fondamentales
L’optique étudie les phénomènes lumineux, c’est à dire principalement les phénomènes perçus par l’œil. La cause de
ces phénomènes est la lumière car pour être visible un objet doit faire parvenir de la lumière à l’œil. Un tel objet
est source de lumière ou éclairé par une source. On distingue les corps transparents des corps opaques suivant
qu’ils laissent ou pas passer la lumière.
On distingue deux branches de l’optique : géométrique ou ondulatoire :

L’optique géométrique traite des rayons lumineux

L’optique ondulatoire traite des phénomènes vibratoires : diffraction, interférence …
I. Généralités
1. Présentation historique

Les lois de la réflexion de la lumière par un miroir étaient connues des grecs (Euclide (-300 notion de
rayon lumineux propagation rectiligne ..), celles de la réfraction ne furent établies qu’en 1621 par Snell
puis re formalisées par Descartes en 1637.
En 1657, Fermat retrouve ces lois à partir du principe dit « de Fermat ».

En 1876, Maxwell énonce que la lumière est une onde électromagnétique  E , B  qui vibre à une fréquence de
l’ordre de 5.1014 Hz et qui se propage à la vitesse c de l’ordre de 3.10 8 m.s-1, dans le vide et v= c/n dans un
mileu d’indice n. La lumière blanche est constituée d’une superposition de radiations monochromatiques
correspondant chacune à une fréquence ou longueur d’onde donnée. Chaque fréquence correspond à une
couleur donnée . Relations entre la longueur d’onde  , la fréquence f et la période :
T
1 2
v

et    vT
f

f
Pour le domaine visible :   0.8 µm : rouge    0.4 µm : violet
À cette époque l’aspect ondulatoire de la lumière ne fait aucun doute.

Seul reste inexpliqué l’effet photoélectrique : au début du 20e siècle la théorie quantique introduit la
dualité onde – corpuscule : la lumière est composée de particules (les photons) auxquelles sont associées
des ondes.
Quand on étudie l’optique géométrique, il n’est fait aucune hypothèse sur la nature de la lumière, on s’appuie sur
quelques principes et lois simples utilisant la notion de rayon lumineux.
2. Notion de rayon lumineux
Définition : un rayon lumineux est le trajet suivi par la lumière, plus précisément le trajet suivi par l’énergie
lumineuse.
À partir d’une source de lumière, on peut réaliser un ensemble de rayons lumineux, c’est à dire un faisceau
lumineux.

Il existe trois types de faisceau :
o les faisceaux divergents : tous les rayons lumineux sont issus d’un même point
o les faisceaux convergents tous les rayons lumineux se dirigent vers un point donné
o les faisceaux parallèles : tous les rayons lumineux sont parallèles, donc se rencontrent à
l’infini.
Propriétés :

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

Dans un milieu homogène, les rayons lumineux issus d’une même source ou de deux sources différentes se
propagent indépendamment les uns des autres.
Phénomène de diffraction :
On éclaire une ouverture circulaire de rayon r avec un faisceau parallèle. Deux cas se présentent :
o
r  : le faisceau reste parallèle
o
r
 : le faisceau s’élargit. À grande distance d sa trace devient une tache de taille
d
proportionnelle à


r
: il y a diffraction.
En optique géométrique, on ne tient pas compte du phénomène de diffraction. Les dimensions
caractéristiques du système doivent grandes devant grandes devant  .
L’optique géométrique a pour but de caractériser la propagation de la lumière en utilisant uniquement des
constructions géométriques. Cela revient donc à négliger le caractère ondulatoire donc à faire tendre
 vers 0.
L’optique géométrique est la limite de l’optique ondulatoire où la longueur d’onde tend vers 0. Elle est
donc valable lorsque les dimensions des obstacles sont grandes devant .
II. Le principe de Fermat et ses conséquences
Notion d’indice
Dans le vide la lumière se propage à la vitesse : c  299792458 m.s 1 . Dans un autre milieu la lumière se propage à
une vitesse v , proche mais toujours inférieure à c . On définit l’indice n du milieu par
ds :
n
c
v
n est un nombre sans dimension.
B

A
Principe de Fermat

Énoncé de 1657 : La lumière se propage d’un point à un autre sur une trajectoire telle que la durée de
parcours soit minimale.

Énoncé moderne :
o
Le chemin optique dans un milieu homogène de A à B est : L( AB)  nAB
o
Le rayon lumineux est la trajectoire qui réalise le minimum de L.
Conséquences

Dans un milieu homogène la lumière se propage en ligne droite.

Le trajet suivi par la lumière ne dépend pas du sens de parcours : principe de retour inverse de la
lumière. L( AB)  L(BA)

Dans un milieu homogène, les rayons lumineux se propagent indépendamment les uns des autres.
III. Les Lois de Descartes (Snell)
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1. Vocabulaire

Dioptre : surface de séparation de deux milieux transparents d’indices différents. Exemple :
surface de l’eau …
Rayon
réfléchi
Rayon
incident
r
i1
n1
n2
Normale
au dioptre
 i1 : angle d'incidence

i2 : angle de réfraction
 r : angle de réflexion

dioptre
i2
Rayon
réfracté
Le point où le rayon incident rencontre le dioptre est le point d’incidence
Le plan contenant le rayon incident et la normale au dioptre au point d’incidence est le plan
d’incidence

Un miroir est une surface totalement réfléchissante.
2. Lois de la réflexion




Les rayons incidents et réfléchis appartiennent au plan d’incidence.
L’angle de réflexion et l’angle d’incidence sont égaux : i1  r
3. Lois de la réfraction


Les rayons incidents et réfracté appartiennent au plan d’incidence.
On a la relation suiva,nte entre l’angle d’incidence et l’angle de réfraction :


Ces lois peuvent être démontrées à partir du principe de Fermat
Si n2  n1 alors : i2  i1

Si n1  n2 alors : i1  i2

Construction d’un rayon réfracté
n1 sin i1  n2 sin i2
Rayon
incident
On trace un cercle de rayon n1 centré sur le point
Cas où n2  n1
i1
d’incidence O : le prolongement du rayon incident
coupe ce cercle en A. La projection de A sur le
dioptre donne le point H. On a :
n1


OH  n1 cos   i1   n1 sin i1 . On trace de même un
2

n2
dioptre
cercle de rayon n2 centré sur le point d’incidence. La
droite (AH) coupe ce cercle en B :


OH  n1 sin i1  n2 cos   i2   n2 sin i2 . Donc le rayon
2

réfracté est la demi droite [OB).
4. Réfraction limite et réflexion totale
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La loi de la réfraction nous donne : sin i2 

n1
sin i1 . De plus on a : 0  sin i2  1
n2
Si n2  n1 (i2  i1 ) il existe toujours un rayon réfracté. Si l’angle d’incidence est

alors i2 est maximal
2
et vaut :
n 
i2lim  arcsin  1 
 n2 
i2lim
: angle limite de réfraction
n1  n2
i1
n1
Rayon
incident
dioptre
n2
Rayon
réfracté
i2lim

Si n2  n1 (i1  i2 ) il n’existe pas toujours de réfracté. On doit avoir : sin i2  1 soit : sin i1 
n2
. On définit :
n1
n 
i1lim  arcsin  2 
 n1 
Si i1  i1lim : « sin i2  1 » donc il n’existe pas de rayon réfracté : il y a réflexion totale.
Rayon
réfléchi
Rayon
incident
i1lim
r
n2  n1
n1
dioptre
n2
n2
n1

Exemple : prisme à réflexion totale :
On a : n1  1.5 et n2  1 , donc n2  n1 .
n 
i2lim  arcsin  2 
 n1 
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41.8 On a i1  i1lim , donc réflexion totale.
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