Seq 5 : équations cartésiennes

Seq 5 : équations cartésiennes
I. Equation cartésienne d'une droite
1.
vecteurs directeurs d'une droite
Définition : On appelle vecteur directeur
⃗u d'une droite (d) tout vecteur non nul dont la direction est celle de (d).
Conséquence :
• Si A et B sont deux points distincts d'une droite (d) , les vecteurs directeurs de (d) sont les vecteurs
…...................... au vecteur …...........
(d)
•
On peut définir une droite (d) de manière unique par la donnée d'un point A et d'un vecteur directeur
Exemple .
A y
La droite (d) d'équation y = …........................
passe par les points A(-1;3) et B(1,-1).
1
1
⃗u
2.
⃗u .
(d) admet comme vecteur directeur
(d)
⃗
AB
( −2 4 )
, ou
⃗u ( …
…)
B
équation cartésienne d'une droite
Propriété 1:
Dans un repère,
• toute droite (d) admet une équation de la forme ax+ by+ c=0 , avec a≠0, oub≠0 .
Cette équation est appelée équation cartésienne de la droite (d).
• Réciproquement, l'ensemble des points M du plan dont les coordonnées (x;y) vérifient ax+ by+ c=0 avec
(a ;b)≠( 0 ; 0) est une droite.
Preuve :
•
A( x A ; y A) , de vecteur directeur ⃗u α .
β
⃗ x − x A et ⃗u α sont colinéaires.
Pour tout point M(x;y) du plan, M ∈(d )⇔ AM
β
y − yA
⇔
⇔
⇔
Soit (d) une droite passant par
(
•
)
( )
( )
Réciproquement, on cherche l'ensemble des points M (x;y) tels que ax+ by+ c=0 avec
a≠0 ou
b≠0.
...
...
( on reconnaît l'équation réduite d'une droite).
x+
...
...
...
Si b=0, alors a≠0 et l'équation ax+ by+ c=0 équivaut à x=
: l'ensemble cherché est alors
...
Si
b≠0 , ax+ by+ c=0
⇔
y=
dans ce cas un droite parallèle à l'axe des …............................... ■
Exercice : Déterminer l'équation cartésienne de la droite (d) passant par A(-2;3) et de vecteur directeur
voir savoir faire p. 205.
⃗u
(25 )
.
Remarque : Une droite admet une infinité d'équations cartésiennes, dont les coefficients sont 2 à 2 proportionnels.
Propriété 2 : Toute droite (d) d'équation
Exemple : la droite (d) d'équation
ax+ by+ c=0 admet comme vecteur directeur ⃗u
( −ab )
.
3x + 4y −10=0 admet comme vecteur directeur ⃗u ( …
…) .
propriété 3 : Deux droites sont parallèles si et seulement si leur vecteurs directeurs sont colinéaires.
3.
lien entre équation réduite et équation cartésienne.
Propriété:Soit (d) une droite d'équation ax+ by+ c=0 avec ( a ; b)≠(0 ; 0) .
• Si b≠0 , alors (d) est une droite qui admet pour unique équation réduite
y=mx+ p , où m est le
coefficient directeur et p l'ordonnées à l'origine de la droite. Le vecteur de coordonnées
•
( 1m ) est alors un
vecteur directeur de la droite (d).
Si b =0 , alors (d) est une droite parallèle à l'axe des ordonnées qui admet une équation réduite de la forme
y=k , où k est un réel. Le vecteur de coordonnés 0 est alors un vecteur directeur de la droite (d).
1
()
preuve : grâce à la preuve de la propriété 1 du paragraphe IV.2.
interprétation graphique :
b≠0
Si
Si
b =0
x=k
(d)
y=mx+ p
.
------
0
0
On retrouve l'interprétation graphique du coeff. Directeur :
lorsqu'on augmente de 1 en abscisse, l'ordonnée varie de m.
Savoir faire p. 207
II. équation cartésienne d'un cercle
Propriété : Le plan est muni d'un repère orthonormal.
Soit C le cercle de centre Ω ( x O ; yO ) et de rayon
Alors tout point M de
Preuve : Par définition
2
2
C a ses coordonnées qui vérifient l’équation ( x−x O) + ( y− yO ) =r
2
Ω M =r ce qui équivaut à Ω M =r
Exercice :
1. Déterminer l'équation du cercle
2.
r .
2
, d'où l'équation.
C de centre Ω (2;−3) et de rayon r=5.
Préciser le centre et le rayon du cercle ayant pour équation
2
2
x + y −2y=4 .
2
.