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PARTIE 3
MAGNÉTOSTATIQUE
GB
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7/ Energie. Effet Joule
a – Forme locale
Action de E ⇒ charges mobiles (densité volumique nq) dans dτ soumises à df e = nq dτ E
Déplacement élémentaire dl de dτ à vitesse v durant dt : dl = v dt
Travail élémentaire effectué par dF : dT = df e • dl = nq dτ E • v dt
Avec j = nq v ⇒ dT = j • E dτ dt
2
Par unité de temps et de volume ⇒ Densité de puissance : p = j • E = γ E =
j
γ
2
Positive ⇒ puissance reçue par le conducteur
C’est le générateur (en soumettant les extrémités du conducteur à une ddp) qui fournit de
l’énergie aux charges
- Ces charges se déplacent en luttant contre les forces de frottement
- Le travail des forces de frottement est dissipé en chaleur
- Cet effet calorifique est l’effet Joule
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b – Forme intégrale
Conducteur de volume V et ddp VA − VB aux bornes
Puissance totale dissipée dans le conducteur : P = ∫∫∫ j • E dτ
dl
V
Élément de tube de courant entourant j : longueur dl , surface de base dS
(
⇒Volume dτ = dl • dS ⇒ P = ∫∫∫ j • E dl • dS
)
dS
dτ
V
dS
j
dl
( )
Puisque j // dl ⇒ P = ∫∫∫E • dl j • dS
V
P=
∫
C
A→B


 j • dS  E • d l
 ∫∫

S

B
= I ∫ E • dl = I (VA − VB )
A
2
Avec VA − VB = RI ⇒ Puissance totale dissipée dans le conducteur P = RI
Unité : watt (W)
C’est la forme intégrale de l’effet Joule
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Chapitre II
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INDUCTION MAGNÉTIQUE CRÉÉE
PAR LES COURANTS
1/ Historique et premières définitions
a – Observations
Jusqu'au début des années 1820, on ne connaissait que le magnétisme des
aimants naturels à base de magnétite. Par hasard, Hans Christian Ørsted
(1821) montra qu'un courant électrique parcourant un fil influence
l'aiguille d'une boussole située à proximité
Il fut incapable d'expliquer ce phénomène
André-Marie Ampère pressentit que si un courant dans un fil exerçait une force
magnétique sur une aiguille de boussole, deux fils parcourus chacun par un courant
devraient interagir
Dans une série d'expériences, il montra que cette interaction était simple : des courant
parallèles s'attirent, des courants de sens contraire se repoussent. La force entre deux
courants est inversement proportionnelle à la distance qui les séparent et proportionnelle à
l'intensité
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b – Force magnétique
Deux fils parcourus par des courants ⇒ soumis à une force
Intensité de la force : dépend de la distance entre les fils, de la longueur de ceux-ci
et de l’intensité des courants
Sens : dépend de la direction relative des courants
• Fils // ∈ plan ⇒ force maximum
Courants de même sens ⇒ attraction
i2
i1
i1
i2
i1
i2
Sens inversé ⇒ répulsion
• Fils ⊥ ⇒ force nulle
Attraction
Répulsion
Forces maximum
Force nulle
- Champ E : Rend compte de l’action à distance entre charges statiques (loi de Coulomb)
- Comportement des forces ici observées ⇒ champ vectoriel : induction magnétique B
que crée un circuit au voisinage du second
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c – Champ d’induction magnétique – Loi de Laplace
Force magnétique sur le circuit C1 : proportionnelle à
Idl
dFm
i
- Longueur de C1
C0
C1
- Intensité I du courant qui traverse C1
- Intensité i du courant qui traverse C0
⇒ Caractérisation d’un élément de courant :
vecteur élémentaire I dl colinéaire et de même sens que I qui parcourt C
 I dl x
 B11


Soit Idl =  I dl y
Force magnétique sur Idl x : dF1 = I dl x  B12
B
 I dl
 13
z

 B31
 B21


De même pour Idl y et Idl z : dF2 = I dl y  B22
dF3 = I dl z  B32
B
B
 23
 33
B ij caractérisent le champ d’induction magnétique créé en I dl par le circuit C0
 B11 dl x + B21 dl y + B31 dl z

⇒ force dF m = dF1 + dF 2 + dF 3 ⇒ dF m = I B12 dl x + B22 dl y + B32 dl z
 B dl + B dl + B dl
23
y
33
z
 13 x
 B11 B21 B31  dl x 



⇒ dFm = I [B] dl ⇒ Matrice [B] caractérise
⇒ dF m = I  B12 B22 B32  dl y 
l’induction magnétique
B


 13 B23 B33  dl z 
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Expérimentalement : dF m ⊥ dl ⇒ dF m • dl = 0
I dl
⇒ ∀ dl :
dF m
B11 dl 2x + B 22 dl 2y + B33 dl 2z + (B12 + B 21 ) dl x dl y + (B 23 + B32 ) dl y dl z + (B31 + B13 ) dl x dl z ≡ 0
 B11 = B22 = B33 = 0
B = − B
21
⇒  12
 B13 = −B31

 B23 = −B32
 0

⇒ [B] =  − Bz

 By
Bz
0
− Bx
 Bx

Notation : B =  B y
B
 z
B21
 0

⇒ [B] =  − B21
0
 B
 13 − B32
− B13 

B32 
0 
B x = B32
On pose  B y = B13
 Bz = B21
B
− By 

Bx 

0 
 Bz dl y − B y dl z

⇒ dFm = I  B x dl z − Bz dl x
 B dl − B dl
x
y
 y x
 dl x   B x 

  
⇒ dFm = I  dl y  ∧  B y 
 dl   B 
 z  z
Idl
C
dF m
⇒ dF m = Idl ∧ B
⇒ Loi de Laplace
B est le champ d’induction magnétique en I dl
Traduit l’observation : dF m ⊥I dl , I dl change de sens ⇒ dF m change de sens
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d – Nature du vecteur champ d’induction magnétique B
I dl et B // ∈ P
dF m et I dl : vecteurs polaires, P plan de symétrie
dF m
B//
P
I dl
B'//
Symétrie ⇒
P
I dl
'
'
dF m
Si B'// = −B // alors dF'm = −dF m
Composante // plan de symétrie change de signe
dF m ∈ P , B ⊥ P
dF m = dF'm ⇒ Sens de B⊥ inchangé
B⊥
α
P
B'⊥
I dl
dF m
dFm = Idl B⊥ sin α
Symétrie ⇒
dFm' = dFm = Idl B'⊥ sin(π − α )
= Idl B'⊥ sin α
P
⇒ B'⊥ = B ⊥
'
dF m
Composante ⊥ plan de symétrie inchangée
α
I dl '
⇒ Vecteur induction magnétique : vecteur antisymétrique
(vecteur transformé en l’opposé de son symétrique) Vecteur axial
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e – Force de Laplace
Remarques préliminaires
1. - Tube élémentaire de courant : Section dS , Longueur dl ,Vecteur densité de courant j
En tout point de ce tube I = j • dS
dl
(
)
⇒ I dl = j • dS dl
dS
(
j
)
Puisque dl // j ⇒ Idl = dl • dS j ⇒ Idl = j dτ
2. - De plus j dτ = nqdτ v = dQv ( dQ : charge de conduction dans dτ )
⇒ dF m = Idl ∧ B ou dFm = j ∧ B dτ ou dFm = dQ v ∧ B (non relativiste v <<c)
⇒ Charge Q animée d’une vitesse v ⇒ soumise à la force de Laplace Fm = Q v ∧ B
v ∧ B : même rôle que le champ E c’est le champ de Lorentz
Fm = Q v ∧ B
Fe = Q E
REMARQUES :
- Puisque F m ⊥ v ⇒ F m n’effectue aucun travail ⇒ ne peut servir à faire varier l’énergie
cinétique de la particule
- Unité de l’induction magnétique : le Tesla (T)
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2/ Forces sur les électrons de conduction – Magnétorésistance
a – Définitions : Champ électromagnétique – Force de Lorentz
( )
- Lorsque E et B co-existent dans une région ⇒ E, B : champ électromagnétique
( )
- Particule de charge Q placée dans une région ou règne E, B :
⇒ soumise à une force totale F = Q E + v ∧ B : Force de Lorentz
(
)
b – Magnétorésistance
Conducteur :
porteurs mobiles : électrons de conduction
nq : densité de charge des porteurs mobiles
(n : densité des porteurs, q : charge d’un porteur - Pour un électron q = −e)
( )
Conducteur soumis à E , B : charges mobiles dans dτ soumises à :
(
)
- Force de Lorentz dFL = nq E + v ∧ B dτ ( v: vitesse des charges)
- Interaction avec ions fixes ⇒ force de frottement fluide dFf = −a v dτ
(a ≡ coefficient de frottement par unité de volume)
Régime stationnaire ( v : vitesse limite constante) ⇒ dFL + dFf = 0
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a
⇒ v doit satisfaire à : E =
v−v∧B
nq
a
⇒E+v∧B=
v
nq
Vecteur densité de courant : j = nq v
n 2q 2
Conductivité du milieu (en l’absence de champ ) : γ =
a
⇒E=
j
1
−
j ∧B
γ nq
⇒ j n’a plus la direction de E ⇒ conductivité du matériau modifiée : magnétorésistance
B
1
j ∧B
nq
•
P
E // =
j
γ
nq (<0)
E⊥
E
E,
j
1
j ∧ B et ∈ P
γ
nq
⇒ Introduction de deux champs
– l’un // à j (champ ohmique) : E // =
j
γ
– l’autre ⊥ à j : Champ de Hall E ⊥ = −
//
1
j ∧B
nq
⇒E =E +E
⊥
Magnétorésistance longitudinale et magnétorésistance transverse
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B
c – Champ de Hall
Ruban conducteur parcouru par un courant suivant sa longueur
Régime stationnaire : courant caractérisé par j
Charges mobiles nqdτ (< 0)
B ⊥ plan du ruban
(
)
dτ soumis à dF = nq v ∧ B dτ = j ∧ B dτ
+
j
+ +
+
+
+
dF H
dτ
_
_
EH
l _
dF
_
L
⇒ Polarisation du conducteur : Accumulation d’électrons (charges < 0) sur la face Face , dépeuplée d’électrons, se charge > 0
⇒ Apparition d’un champ induit E H (champ de Hall)
⇒ E H exerce à son tour sur dτ une force dFH = nq E H dτ qui s’oppose à dF
Régime permanent : dFH + dF = 0 ⇒ nq E H + j ∧ B = 0
⇒ EH = −
1
j ∧B
nq
Exemple d’application :
ddp V entre et : V = L E H
En norme : j B = ne E H
courant qui traverse la plaque : I = jlL
⇒ Densité des porteurs de charges : n =
IB
l Ve
_
_