DS n 2 de Mathématiques - Tivomaths

Premières S2 & S3
Mercredi 14 Octobre 2015
DS n°2 de Mathématiques
Thèmes : Second degré & Fonctions de référence.
Durée : 50 minutes
L’usage de la calculatrice est autorisé.
La qualité et la clarté de la rédaction entreront pour une part importante dans l’évaluation de la copie.
Exercice 1
(≈ 3 points)
Cet exercice est constitué d’un questionnaire à choix multiples et de deux questions (cf page 2).
Exercice 2
(≈ 4 points)
1. Soit f la fonction construite par l’enchaı̂nement de fonctions de référence donné en annexe (page 2).
Compléter les pointillés du schéma afin de déterminer f (x).
2. Soit g la fonction définie sur R+∗ par :
Ç
å2
1
g(x) = 2 − √
.
x
a) Compléter sur l’annexe (page 2) le schéma donnant la construction de g(x) à l’aide de fonctions de référence.
ò
ï
1
b) Étudier le sens de variation de g sur l’intervalle 0 ;
.
4
Exercice 3
(≈ 5 points)
Résoudre dans R les équations et l’inéquation suivantes.
(E1 ) : |8 − 3x| = 11
;
(E2 ) : |2x − 5| = |5 + 7x|
Exercice 4
;
(I1 ) : 4 < |4 − 3x| 6 7.
(≈ 4 points)
Soit ϕ la fonction définie sur R par ϕ(x) = −2x2 + 5x + 3 − |2x + 1|.
1. Déterminer les éventuelles racines du trinôme P (x) = −2x2 + 5x + 3.
2. À l’aide d’un tableau, exprimer ϕ(x) sans valeur absolue, selon les valeurs de x.
Exercice 5
(≈ 2 points)
Cet exercice est à traiter exclusivement sur l’annexe. Aucune justification n’est attendue.
Soit un polynôme du second degré f : x ∈ R 7→ ax2 + bx + c.
En annexe (page 3), on donne un algorithme incomplet. On souhaite qu’à partir de la donnée des cœfficients a, b
et c du trinôme f et d’un entier naturel n, cet algorithme affiche le nombre d’entiers compris entre 0 et n qui sont
des racines de f .
1. Compléter les lignes 4, 5 et 9 de cet algorithme.
2. Sur l’annexe, préciser les valeurs possibles que peut retourner cet algorithme.
Exercice 6
(≈ 2 points)
Cet exercice est à traiter exclusivement sur l’annexe. Aucune justification n’est attendue.
On considère une fonction f définie par l’algorithme donné en annexe (page 3) qui, à partir de la donnée d’un
réel x, renvoie f (x), son image par f .
1. Compléter le tableau en annexe (page 3) par l’état des variables au cours de l’exécution de l’algorithme pour
x = −1 puis pour x = 4.
2. Sur l’annexe (page 3), exprimer f (x) à l’aide d’une valeur absolue.
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LATEX 2ε
Nom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Annexe de l’exercice 1
Pour chaque question, une seule des trois affirmations proposées est exacte. Une case correctement cochée
rapporte 0,5 point. Aucun point n’est enlevé en l’absence de réponse ou en cas de réponse fausse. Aucune
justification n’est attendue.
Questions
Réponses
1. On note i la fonction définie sur R∗ par i(x) =
1
.
x
i est strictement décroissante sur [ 1 ; 10 ]
i est strictement croissante sur ] −∞ ; 0 [
i(−2) > i(3)
2. On note r la fonction racine carrée.
r est strictement décroissante sur R−
Si x > 100 alors r(x) > 10
Si x ∈ ] 0 ; 1 [, alors r(x) < x
3. Parmi les configurations suivantes, laquelle est correcte ?
4. Si x est un réel appartenant à l’intervalle ] 0 ; 1 [, alors :
Indication. On pourra s’aider de la question précédente.
|
|
0
x
|
|
0
1
√
|
|
x2
√
|
x
x
|
|
x2
x
|
|
x2
√
|
1
|
x
1
|
x
x2 − x > x
√ √
x2 − x < |x − x|
√
x − x2 > x2 − x
√
√
5. Rappeler la transformation de la différence a − b sous la forme d’un quotient utilisée dans la preuve du sens
de variation de la fonction racine carrée (une étape intermédiaire est attendue) :
√
a−
√
b =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Déterminer (sans justifier) les entiers n vérifiant |n − π| 6 2 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Annexe de l’exercice 2
1. Schéma de construction de f (x) à partir de x par enchaı̂nement de fonctions de référence :
x
X7→2X+1
.................
√
X7→ X
.................
1
X7→ X
f (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. a) Schéma de construction de g(x) à partir de x par enchaı̂nement de fonctions de référence :
x .......................................................................................................
Tournez SVP. . .
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LATEX 2ε
Annexe de l’exercice 5
1. Algorithme à compléter :
1
Entrées :
2
3
Initialisation :
4
Traitement :
Saisir a, b et c
Saisir un entier naturel n
r prend la valeur 0
Pour i allant de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
r prend la valeur r + 1
7
Fin du Si
8
Fin du Pour
9
Sortie :
Afficher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Valeurs possibles en sortie de cet algorithme : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Annexe de l’exercice 6
Algorithme de l’exercice 6
1
Entrée :
2
3
4
5
6
7
8
Traitement :
9
Saisir un réel x
y prend la valeur x2
z prend la valeur 2 − y
Si z 6 0
k prend la valeur −z + 1
Sinon
k prend la valeur z + 1
Fin du Si
Afficher ”f (x) = ”, k
Sortie :
1. État des variables au cours de l’exécution de l’algorithme pour x = −1 puis pour x = 4 :
x
y
z
k
−1
4
2. Expression de f (x) à l’aide d’une valeur absolue : f (x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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LATEX 2ε