Partie 1 - Le site de Kifouche Rezki

Cours technologie des systèmes II
LACA09
Rappel du cours technologies de systèmes II (Partie 1)
Sommaire :
1 Mesure des grandeurs mécaniques :
1.1 Importance et intérêt.
1.2 Mesure de position et de déplacement
1.2.1 Méthodes indirects (par variation d'impédance)
1.2.1.1 Capteur potentiomètrique : à fil bobiné, à couche résistive
1.2.1.2 Capteur inductif : à entrefer, à noyau plongeur
1.2.1.3 Capteur capacitif : à armature mobile, à variation de surface.
Introduction
Objet et importance de la mesure industrielle :
Les capteurs et la chaîne d'acquisition sont au cœur de beaucoup de systèmes industriels. Un
capteur est un élément déterminant de la chaîne d'information et un mauvais choix de capteurs
peut avoir de sérieuses conséquences économiques.
Les capteurs sont les premiers éléments rencontrés dans une chaîne de mesure. Ils
transforment les grandeurs physiques ou chimiques d’un processus ou d’une installation en
signaux électriques au départ presque toujours analogiques. Cette transformation doit être le
reflet aussi parfait que possible de ces grandeurs. Cet objectif n’est atteint que si l’on maîtrise
en permanence la réponse des capteurs qui peut être affectée par des défauts produits par les
parasites qui se superposent aux signaux, par les conditions d’utilisation, par le processus luimême et par le milieu qui l’entoure.
La grandeur électrique et ses variations, délivrée par le capteur, apporte toute l’information
nécessaire à la connaissance du mesurande.
Ils contribuent :



A la sécurité des personnes et des équipements lors de l'exécution des opérations
Au bon déroulement des taches, étant au cœur des systèmes de commande et de
régulation.
A l'augmentation de la productivité et à l'amélioration de la qualité des produits finis.
Classification des grandeurs industrielles :
On peut classer les grandeurs physiques en 6 familles, chaque capteur s’associant à l’une de
ces 6 familles :






Mécanique : déplacement, force, masse, débit etc…
Thermique : température, capacité thermique, flux thermique etc...
Electrique : courant, tension, charge, impédance, diélectrique etc…
Magnétique : champ magnétique, perméabilité, moment magnétique etc…
Radiatif : lumière visible, rayons X, micro-ondes etc...
(Bio)Chimique : humidité, gaz, PH, sucre, hormone etc…
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I. Mesure des grandeurs mécaniques :
I.1 Capteurs de position et de position
I.1.1. Utilisation des capteurs de position et de déplacement :
Ces capteurs sont utilisés pour mesurer la position linéaire ou angulaire d'un mobile par
rapport à un point de référence connu, essentielles dans certaines applications (ex. machines
outils)
De nombreuses grandeurs physiques sont aussi mesurables par les déplacements qu'elles
imposent à des corps d'épreuve :





force
pression
accélération
température
Mesure de position :
Les capteurs utilisés pour ces types de mesure sont très fréquemment des capteurs passifs.
I.1.2 Méthodes indirects (par variation d'impédance)
I.1.2.1 Capteurs potentiométriques :
L'objet dont on désire mesurer la position ou le déplacement, est rendu solidaire
mécaniquement du curseur du potentiomètre.
Ce type de capteur, facile à mettre en œuvre et bon marché donne une mesure absolue du
déplacement linéaire ou angulaire. Ils génèrent un signal (tension) qui est directement
exploitable par une unité de contrôle commande. Cependant ils sont relativement fragiles et
les plages de mesure sont limitées.
Si on applique une tension continue E aux bornes du potentiomètre, la tension V mesurée est
proportionnelle au déplacement de l'objet.
𝑉=
𝑅𝑑
𝑅𝐷−𝑑 +𝑅𝑑
.𝐸 =
𝑅𝑑
𝑅𝐷
𝑑
.𝐸 =
𝜌𝑆
𝑑
𝜌𝑆
𝑑
.𝐸 = .𝐸
𝐷
𝑑
𝑉 = .𝐸
𝐷
d : est le déplacement de l'objet.
Figure 2: Schéma d'un potentiomètre de
déplacement rectiligne
2
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𝑉=
𝛼
𝛼𝑀
.𝐸
α : est l'angle de déplacement de l'objet.
Figure 3: Schéma d'un potentiomètre de
déplacement angulaire
I.1.2.2 Avantages et inconvénients des capteurs potentiométriques :
Avantage :
-
simplicité
peu coûteux
angle de mesure 10° à 360°
la sortie est indépendante de R => stable par rapport à la température
Inconvénients :
-
charge mécanique
usure par frottements
influence de la source
influence de l'appareil de mesure. solution : amplificateur suiveur pour garantir
la validité de l'utilisation du diviseur de tension
I.1.2.3 Capteurs inductifs :
Le déplacement que l'on veut mesurer est imposé à un des éléments d'un circuit magnétique
entraînant une variation de flux dans un enroulement de mesure.
Le coefficient d'auto-induction L d'une bobine de N tours de fl s'exprime en fonction de la
réluctance R du circuit magnétique associé :
𝐿=
𝑁2
𝑅
ou
𝑅=∫
𝑑𝑙
𝜇𝑠
= 𝑅𝑓 + 𝑅0 = ∫
𝑑𝑙𝑓
𝜇𝑓 𝑠𝑓
+∫
𝑑𝑙0
𝜇0 𝑠0
μ étant la perméabilité magnétique et s la section du circuit.
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Quand les sections des différents tronçons du circuit magnétique sont constantes :
𝑅 = 𝑅𝑓 + 𝑅0 =
𝑙𝑓
𝜇0 .𝜇𝑟 .𝑠𝑓
+
𝑙0
𝜇0 .𝑠0
avec :
 𝑙𝑓 et 𝑙0 sont respectivement la longueur moyenne d'une ligne de force dans le matériau
ferromagnétique et dans l'air;
 𝑠𝑓 et 𝑠0 sont les sections droites du circuit magnétique et de l'entrefer
 𝜇𝑟 la perméabilité magnétique relative du matériau ferromagnétique
 𝜇0 = 4𝜋. 10−7 (MKSA)
On distingue plusieurs familles selon le principe utilisé :



Capteur de variation d'entrefer d'un circuit magnétique,
Capteur à noyau plongeur
Capteur par variation de mutuelle inductance entre deux circuits;
Les deux premiers cas vont donner des capteurs de proximité et de déplacement. Le troisième
principe est utilisé par les capteurs dit à transformateur différentiel (LVDT)
I.1.2.3.1 Capteurs inductifs à variation d'entrefer :
Un circuit magnétique comporte une partie fixe C et une culasse mobile M susceptible de se
déplacer par translation et de modifier l'entrefer 𝑙0
Entrefer variable
Figure 4: Principe d'un capteur à entrefer variable
L'expression du coefficient d'auto-induction, ou l'inductance, est : 𝐿
=
𝑁2
𝑅
𝑁2
𝑁2
𝐿=
=
𝑙𝑓
(𝑙𝑓 𝜇0 𝑠) + (𝑙0 𝜇0 𝜇𝑟 𝑠𝑓 )
𝑙0
+
𝜇0 𝜇𝑟 𝑠𝑓 𝜇0 𝑠
(𝜇0 𝜇𝑟 𝑠𝑓 )(𝜇0 𝑠)
Si 𝑠𝑓
= 𝑠 donc : 𝐿 =
(𝜇0 𝜇𝑟 𝑠𝑓 )
𝑙𝑓 +𝑙0 𝜇𝑟
𝑁 2 , on divisant sur 𝜇𝑟
on obtient :
4
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1
2
𝐿 = 𝜇0 𝑁 . 𝑠.
𝑙0 +
𝑙𝑓
𝜇𝑟
𝑙𝑓
L'inductance devant être sensible à la variation d'entrefer, il faut choisir 𝑙0 >>
𝜇
𝑟
,
alors
l'expression de cette même inductance devient :
𝜇0 . 𝑁 2 . 𝑠
𝐿=
𝑙0
Un déplacement Δx de l'armature entrainant une variation 𝛥𝑙0 = 2𝛥𝑥 de l'entrefer,
l'inductance prend une nouvelle valeur :
𝜇0 . 𝑁 2 . 𝑠
𝜇0 . 𝑁 2 . 𝑠
𝐿 + 𝛥𝐿 =
=
𝑙0 + 2. 𝛥𝑥 𝑙 (1 + 2. 𝛥𝑥)
0
𝑙0
𝜇0 . 𝑁 2 . 𝑠
1
𝐿 + 𝛥𝐿 =
.
2. 𝛥𝑥
𝑙0
1+
𝑙0
Soit :
∆𝐿 =
−2𝜇0 𝑁2 𝑠
2
𝑙0
.
∆𝑥
2∆𝑥
1+
𝑙0
et
∆𝐿
∆𝑥
1
= −2 .
𝐿
𝑙0 1 + 2∆𝑥
𝑙0
Si ∆𝑥 ≪ 𝑙0 on a pratiquement :
2
∆𝐿 =
−2𝜇0𝑁 𝑠
2
𝑙0
2
2∆𝑥
2∆𝑥
. ∆𝑥 (1 −
+(
) − ⋯)
𝑙0
𝑙0
Et la sensibilité capteur peut s'écrire :
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2
2
∆𝐿 −2𝜇0 𝑁 𝑠
2∆𝑥
2∆𝑥
𝑆=
=
(1 −
+(
) + ⋯)
2
∆𝑥
𝑙
𝑙
0
0
𝑙0
La sensibilité dépend de la position initiale 𝑙0 de l'armature : elle est d'autant plus élevée que
𝑙0 est plus petite. En outre elle ne peut être considérée constante que si le déplacement est très
petit par rapport à 𝑙0 . Ceci limite l'utilisation de ces capteurs à des déplacements très faibles.
La sensibilité et la linéarité peuvent être améliorées si on associe à l'inductance précédente un
bobinage et un noyau identiques placés symétriquement par rapport à l'armature mobile et
dont l'entrefer subit donc des variations opposées.
Δx
Figure 5: Circuit magnétique à variations d'entrefer
opposées.
La variation du coefficient d'auto-induction 𝐿′ du second bobinage s'écrit :
2𝜇0 𝑁 2 𝑠
∆𝑥
∆𝐿 =
.
2∆𝑥
𝑙02
1−
𝑙0
Soit pour 𝑥 ≪ 𝑙0 :
2𝜇0 𝑁 2 𝑠
2∆𝑥
2∆𝑥 2
∆𝐿 =
. ∆𝑥 (1 +
+(
) + ⋯)
𝑙0
𝑙0
𝑙02
′
Les inductances 𝐿 et 𝐿′ sont placées dans deux branches contigües d'un pond, la tension de
déséquilibre est alors proportionnelle à ∆𝐿′ − ∆𝐿 soit :
4𝜇0 𝑁 2 𝑠
2∆𝑥 2
∆𝐿 − ∆𝐿 =
. ∆𝑥 (1 + (
) + ⋯)
𝑙0
𝑙02
′
La sensibilité de cette association d'inductance est doublée et la non-linéarité est réduite.
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I.1.2.3.2 Capteurs inductifs à noyau plongeur:
Une bobine de N spires comporte un noyau mobile, se déplaçant en translation, solidaire de la
pièce dont on veut mesurer le déplacement ou situer la position.
Figure 6: Circuit magnétique à noyau plongeur
Pour une position donnée du noyau, l'inductance L est fonction de l'enfoncement du noyau à
l'intérieur de la bobine. Le calcul de L est effectué en considérant l'inductance comme
l'association en série d'une inductance à air, de longueur 𝑙0 , de coefficient d'auto-induction 𝐿0
et d'une inductance à noyau de fer de longueur 𝑙𝑓 , le coefficient d'auto-induction 𝐿𝑓 , le
coefficient de mutuelle induction étant M :
On a :
𝐿 = 𝐿0 + 𝐿𝑓 + 2𝑀
Avec :
𝑀 = 𝑘√𝐿0 . 𝐿𝑓
k : est le coefficient de couplage supposé constant : 0 ≤ 𝑘 ≤ 1
Le déplacement ∆𝑙𝑓 du noyau entraine une variation ∆𝐿 de l'inductance qui dépend de 𝑙𝑓 et
qui est une fonction non linéaire.
II.1.2.4 Mesure des inductances :
Selon que les pertes dans les bobines du capteur sont mieux représentées par une résistance
série ou par une résistance parallèle, on peut utiliser respectivement le pond de Maxwell ou le
pond de Hay.
Ls
Rs
Deux représentations possibles de
pertes dans une inductance
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ie
ie
Re
Re
k
R
k
R
Ce
ic
ic
V
m
e
Ce
V
m
e
s
s
Rc
Rc
R
R
Lc
Lc
Mesure des inductances avec le pond de Maxwell
Mesure des inductances avec le pond de Hay
A l'équilibre on a, pour les deux montages :
𝑈𝑘𝑅 = 𝑈𝑒
𝑘𝑅. 𝐼𝑐 = 𝑍𝑒 . 𝐼𝑒
=>
𝑈𝑐 = 𝑈𝑅
𝑘𝑅.𝐼𝑐
𝑍𝑐 .𝐼𝑐
=

𝑍𝑒 .𝐼𝑒
=>
𝑅.𝐼𝑒
𝑍𝑐 =
𝑘𝑅
𝑍𝑐
=
𝑍𝑒
=> 𝑍𝑐 . 𝑍𝑒 = 𝑘𝑅 2
𝑅
c'est la condition d'équilibre.
Pour le pond de Maxwell on a :
𝑍𝑐 = 𝑅𝑐 + 𝑗𝐿𝑐 𝑤

𝑍𝑐 . 𝐼𝑐 = 𝑅. 𝐼𝑒
𝑍𝑒 =
et
𝑅𝑒
1+𝑗𝑅𝑒 𝐶𝑒 𝑤
Pour le pond de Hay, on a :
𝑗𝐿𝑐 𝑅𝑐 𝑤
et
𝑅𝑐 +𝑗𝐿𝑐 𝑤
𝑍𝑒 =
1+𝑗𝑅𝑒 𝐶𝑒 𝑤
𝑗𝐶𝑒 𝑤
Il est facile à démontrer que :
𝑅𝑐 =
𝑘𝑅 2
𝑅𝑒
et
𝐿𝑐 = 𝑘𝑅2 𝐶
Comme Il est aussi facile à de déduire la valeur de Vm :
𝑉𝑚 = 𝑒𝑠 .
𝑘𝑅∆𝑍𝑐
1
.
∆𝑍𝑐
(𝑘𝑅 + 𝑍𝑐0 )2
1+
𝑘𝑅 + 𝑍𝑐0
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I.2.5 Capteur capacitif à armature mobile:
Il s'agit soit de condensateur plan dont l'une des armatures subit le déplacement à traduire
entrainant une variation de la capacité :
𝐶=
𝜀𝑟 . 𝜀0 . 𝐴
𝐷
𝜀𝑟 : permetivité relative du milieu placé entre les armatures. 𝜀0 = 8,85. 10−12 est celle du l'air.
A et D : respectivement, la surface en regard des armatures et la distance les séparant.
Le Déplacement de l'armature peut s'effectuer soit :


Dans son propre plan, donc : A variable, D constant.
Perpendiculairement à son plan, donc : A constant, D variable.
I.2.5.1 Condensateur à surface variable :

Condensateur simple à surface variable :
Il s'agit d'un condensateur plan avec armature tournante.
On a dans ce cas de condensateur simple :
αmax
𝐶(𝑥) = 𝑘. 𝑥
Tel que :
α
𝑘=
𝜀0 .𝜋.𝑟 2
360.𝐷
x est l'angle α en degré (x = α).
Condensateur simple

Condensateur double différentiel à surface variable :
Ces types de condensateurs contiennent une armature mobile "A1" entre deux armature fixes.
La position prise comme origine des déplacements "x" est celle ou l'armature mobile est
placée symétriquement par rapport aux deux armatures fixes.
Deux capacités sont à mesurer C21 entre la surface A1 et A2
et C31, entre la surface A1 et A3. A1 étant la surface mobile.
αmax
α
A1
A2
Condensateur double
différentiel
A3
Ces deux capacités s'expriment donc comme suit :
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Avec : 𝑋
=
𝛼𝑚𝑎𝑥
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𝑥
𝑥
𝐶21 = 𝑘(𝑋 + 𝑥) = 𝑘𝑋 (1 + ) = 𝐶0 (1 + )
𝑋
𝑋
𝑥
𝑥
𝐶31 = 𝑘(𝑋 − 𝑥) = 𝑘𝑋 (1 − ) = 𝐶0 (1 − )
𝑋
𝑋
et 𝑥 = 𝛼 : le déplacement angulaire.
I.2.5.1 Condensateur à écartement variable :

Condensateur simple à écartement variable :
d
Armature mobile
D0
Armature fixe
D0 : est la position d'origine, d : est le déplacement.
L'expression de la capacité devient :
𝐶(𝑑) =

Condensateur double différentiel à écartement variable :
A2
D0
𝜀0 . 𝐴
𝐷0 + 𝑑
A1
Armature fixe
d
D0
Armature mobile
A3
𝐶21 =
𝜀0 . 𝐴
1
= 𝐶0 .
𝐷0 − 𝑑
1 − 𝑑⁄𝐷
0
𝐶31 =
𝜀0 . 𝐴
1
= 𝐶0 .
𝐷0 + 𝑑
1 + 𝑑⁄𝐷
0
10