Option de versement libre sur des produits d`épargne à taux
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Mémoire de Stage - année universitaire 2006/2007 - Serge DESFORGES Option de versement libre sur des produits d’épargne à taux minimum garanti Etablissement d’Accueil AGF Direction Résultats Vie et Santé Tour Neptune 20, place de Seine 92086 PARIS Maître de Stage Stéphanie PELLETIER [email protected] Période de Stage Du 10 avril 2007 au 28 septembre 2007 page 1 RÉSUMÉ Les contrats d'assurance vie de type épargne ont connu un fort développement ces dernières années. Ces contrats sont pourvus d'options et de garanties accordant au souscripteur à la fois une sécurité mais aussi une plus grande flexibilité dans la gestion de son contrat. Dans le cadre de l'élaboration des nouvelles normes comptables IFRS, et des normes de solvabilité Solvency II dans le secteur de l'assurance, diverses dicussions sont menées par les différents acteurs économiques. Ces discussions portent notamment sur la valorisation des options et garanties. Le « Discussion Paper » IFRS daté de mai 2007 expose des directives relatives à la valorisation des passifs d'assurance au titre des contrats en stock. Il stipule notamment que les primes futures ne doivent pas être comptabilisées à l'exception de trois cas précis: si l'assuré est obligé de payer pour rester couvert; si l'assureur peut forcer l'assuré à payer les primes; et enfin si les prestations qui seront payées à l'assuré viennent augmenter l'engagement de l'assureur. Les versements libres pourraient entrer dans ce 3ème critère. En effet, si un assuré effectue des versements libres sur un contrat à taux minimum garanti, et que le coût engendré par ce taux minimum garanti se révèle être supérieur à l'espérance de marge associée à l'épargne supplémentaire, alors le chiffre d'affaires futur que représentent les versements libres doit être pris en compte dans le calcul des passifs d'assurance. C'est ce dernier point qui s'ait agit d'étudier au travers de ce mémoire. L'étude s'attachera dans un premier temps à définir le contexte et les concepts fondamentaux sous-jacents à cette problématique. Puis il s'agira de présenter des méthodes de construction de lois d'émergence déterministes de versements libres sur la base de données historiques. Après avoir présenté deux méthodes d'évaluation d'options financières et leurs limites, il conviendra ensuite de développer le modèle de gestion actif passif retenu pour évaluer le coût de l'option de verserment libre. page 2 ABSTRACT Individual saving insurance contracts has experienced a strong development these last years. These contracts are provided with options and guarantees granting to the policyholder at the same time a safety but also a greater flexibility in the management of its contract. Within the framework of the development of new accounting standards IFRS, and Solvency II standards of solvency in the insurance sector, various dicussions are carried out by the economic actors. These discussions relate in particular to the valorization of the options and guarantees. The IFRS discussion paper published in May 2007 exposes directives on the measurement of insurance liabilities. In particular, it stipulates that futures premiums should not be taken into account except for three precise cases: if the policyholder is obliged to pay to remain covered; if the insurer can force the policyholder to pay the premiums; and finally if the future premiums lead to increase the insurer's engagement. Volontary additionnal premiums could be in the scope of this thied case. Actually, if a policyholder add volontary premium on a contract with a minimum guaranteed rate, and if the cost generated by this minimum guaranteed rate is higher than the expected margin, due to the increase of reserve, then the future volontary additionnal premiums must be taken into account in the calculation of the insurance liability. It is the latter point which is studied through this memory. The study will initially stick to define the context and the fundamental concepts subjacent with these problems. Then it will be presented methods of measurements of deterministic volontary additional premiums on the basis of historical data. After having presented two financial option valuation methods and their limits, it will then be advisable to develop the asset and liability management model wich could be retained to evaluate the cost of future volontary additional premium option. page 3 REMERCIEMENTS Je tiens à remercier dans un premier temps Stéphanie Pelletier, qui en m'intégrant dans son équipe dans le cadre de mon stage de fin d'étude, m'a accordé sa confiance, et m'a donné de précieuses orientations pour mener à bien mon mémoire. J'adresse mes remerciements à l'ensemble de l'équipe NoVa, qui m'a patiemment accompagné durant l'intégralité de mon stage, en me guidant dans les différentes missions qui m'ont été confiées. Grâce au concours des toutes ces personnes, j'ai pu réaliser un stage de qualité, en travaillant intensément dans une ambiance de travail des plus agréables. page 4 SOMMAIRE INTRODUCTION................................................................................................................................7 1. Présentation d'AGF...........................................................................................................................7 1.1. Le groupe AGF......................................................................................................................... 7 1.1.1. Une stratégie internationale.............................................................................................. 7 1.1.2 Un groupe solide................................................................................................................ 8 1.2. Activités et produits.................................................................................................................. 9 2. Présentation du département Normes et Valeurs (NoVa) au sein d'AGF Vie Individuelle............. 9 2.1. Activités ................................................................................................................................... 9 2.2. Les enjeux du service..............................................................................................................10 PARTIE 1 : CONTEXTUALISATION ET DÉFINITION DES CONCEPTS CLÉS 1. La réforme Solvency II...................................................................................................................12 1.1. La réforme Solvency I et ses insuffisances.............................................................................12 1.2. Le passage à Solvency II ....................................................................................................... 13 2. Les normes IFRS............................................................................................................................ 14 2.1. Le constat................................................................................................................................14 2.2. Le choix du référentiel............................................................................................................15 2.3. Les objectifs du nouveau référentiel.......................................................................................15 2.4. IFRS Phase II : les développements futurs............................................................................. 17 3. De l'EV à la MCEV........................................................................................................................ 19 3.1. L’arbre généalogique.............................................................................................................. 19 3.2. Les avantages de l’EV............................................................................................................ 20 3.3. L’European Embedded Values :............................................................................................. 20 3.4. Les critiques apportées à l’EEV.............................................................................................21 3.4.1. Le taux d’actualisation.................................................................................................... 21 3.4.2. Capital requis ................................................................................................................. 22 3.5. La MCEV ...............................................................................................................................23 3.6. Aperçu de la MCEV............................................................................................................... 23 4. Les options et garanties en assurance vie....................................................................................... 24 4.1. L'option de rachat................................................................................................................... 24 4.2. La garantie plancher................................................................................................................25 4.3. L'option de versement libre.................................................................................................... 26 4.4. La garantie de taux..................................................................................................................26 4.4.1 Les taux garantis.............................................................................................................. 27 Les taux techniques.............................................................................................................. 27 Les taux de rendement garanti..............................................................................................28 4.4.2. La participation aux bénéfices........................................................................................ 29 La nature des bénéfices distribués........................................................................................29 La répartition des bénéfices entre les assurés.......................................................................30 PARTIE 2: CONSTRUCTION DES LOIS D'ÉMERGENCE DES VERSEMENTS LIBRES DÉTERMINISTRES............................................................................................................................7 1. La construction des triangles de versements libres........................................................................ 31 2. Le calcul des clés de répartition de chiffre d'affaires..................................................................... 32 2.1. Les trois méthodes d'évaluation retenues............................................................................... 32 2.1.1. La méthode des taux de reversement par année de souscription – données non cumulées page 5 ...................................................................................................................................................32 2.1.2. La méthode des taux de reversement par rapport à la souscription................................ 33 2.1.3. La méthode de Chain-Ladder..........................................................................................34 2.1.3.1. Présentation de la méthode......................................................................................34 2.1.3.2 Application de la méthode de Chain-Ladder aux versements libres........................ 35 2.2. Le choix de la meilleure méthode pour l'évaluation des prévisions....................................... 35 2.3. Le calcul des clés de répartition..............................................................................................36 3. Les contrôles effectués................................................................................................................... 38 3.1. La loi Sorbanes Oxley (SOX).................................................................................................38 3.2. Le contrôle des données..........................................................................................................39 3.3. La pertinence de la méthode................................................................................................... 39 PARTIE 3: APPROCHE THÉORIQUE DE CONSTRUCTION DES LOIS DE VERSEMENTS LIBRES DYNAMIQUES..................................................................................................................41 1. Les versements libres comme des options......................................................................................41 1.2. De la théorie financière...........................................................................................................41 1.2. À son application aux versements libres.................................................................................41 2. Approche par la théorie des arbres binomiaux – Modèle de Cox-Ross-Rubinstein.......................42 3. Approche par le modèle de Black & Scholes................................................................................. 45 4. Limites de ces méthodes.................................................................................................................50 PARTIE 4: L'ALTERNATIVE RETENUE – LE MODÈLE ALIM.................................................51 1. Mise en évidence du coût d'options et garanties............................................................................ 51 2. Présentation du modèle ALIM....................................................................................................... 52 2.1. Le Best Estimate déterministe comme base de calcul............................................................ 53 2.2. L'intégration des 1000 scénarios d'actifs................................................................................ 53 2.3. Les règles de gestion Actif-Passif...........................................................................................55 2.3.1. La crediting strategy........................................................................................................55 2.3.2. L'investment strategy...................................................................................................... 58 2.3.2.1. Le module d'allocation dynamique des actifs (ADA)............................................. 58 2.3.2.2. Le module de transaction des actifs (TA)............................................................... 59 2.4. L'évaluation du coût des Options et Garanties sous ALIM.................................................... 60 2.4.1. Définition de la PVFP..................................................................................................... 60 2.4.2. Présentation du mode de calcul du coût des options et garanties................................... 61 2.5. L'évaluation de l'option de versement libre............................................................................ 62 2.5.1. L'intégration des versements libres au modèle ALIM.................................................... 62 2.5.2. La modélisation des versements libre ............................................................................ 63 PARTIE 5: PRÉSENTATION DES RÉSULTATS..........................................................................66 5.1 Résultats du calcul du coût de l'option de versement libre...........................................................66 5.2. Etude de sensibilité......................................................................................................................67 CONCLUSION..................................................................................................................................73 BIBLIOGRAPHIE.............................................................................................................................74 ABRÉVIATIONS UTILISÉES..........................................................................................................75 ANNEXES.........................................................................................................................................76 page 6 INTRODUCTION 1. Présentation d'AGF 1.1. Le groupe AGF La Société Anonyme des Assurances Générales a été créée en 1818 par Martin d’André, regroupant pour la première fois en France une société d’assurance incendie, une autre d’assurance maritime et une d’assurance-vie. Les Assurances Générales de France sont nées lors de la fusion en 1969 des groupes Assurances Générales et Phénix (groupe nationalisé par la loi du 25/04/1946). Devenu le groupe AGF, il constitue la plus ancienne compagnie d’assurance française. Après une privatisation réussie en 1996 et une OPA sur la société PFA du groupe Athéna en 1997, AGF fut racheté par le groupe allemand Allianz l’un des leader mondiaux dans le monde de l’assurance et de la finance. AGF regroupe plus de 30 000 collaborateurs dans le monde. En France, 19 900 collaborateurs, y compris 4750 commerciaux salariés, plus de 2800 agents généraux et près de 2500 courtiers partenaires sont au service de millions de clients : particuliers, petites et moyennes entreprises. AGF construit son organisation autour de l’expertise de ses réseaux commerciaux et favorise toutes les actions qui permettent une relation de qualité et de proximité avec ses clients. 1.1.1. Une stratégie internationale Depuis 1998, le groupe AGF est adossé au groupe Allianz qui détient aujourd’hui 100% du capital. Au même moment, trois sociétés ont fusionné : AGF, Allianz- France et Athéna, sous une marque unique AGF. Le groupe AGF constitue aujourd’hui un acteur majeur de l’assurance et des services financiers en France ainsi que dans plus d’une vingtaine de pays. page 7 1.1.2 Un groupe solide Re ve nu par zone gé ographique 4% 4% France Europe (hors France) Amérique du Sud 30% 62% Autres AGF réalise 62% de son activité en France et 38% à l’étranger selon la répartition suivante : 30 % en Europe 4 % en Amérique du Sud 4 % dans le reste du monde Le Groupe en Europe est essentiellement concentré aux Pays-Bas, en Espagne et en Belgique. Il est aussi présent en Amérique du Sud avec le Brésil et la Colombie, mais également en Afrique et au Moyen-Orient. Cette implantation internationale diversifiée permet au Groupe AGF de bénéficier d’un dynamisme de ces différents marchés et de relais de croissance importants. page 8 1.2. Activités et produits L’activité d’AGF s’étend à de nombreux domaines : assurance, de biens et de responsabilités, assurance de personnes, mais aussi gestion d’actifs et services bancaires et financiers. Le groupe AGF est également leader mondial en assurance-crédit avec Euler Hermès et en assistance/assurance voyage avec Mondial Assistance. Les produits et services proposés par AGF sont destinés à tout type de clientèle et niveau de patrimoine et représentent 17,3 milliards d'euros de chiffre d'affaires en 2005. On observe la répartition suivante des revenus par activité : Revenu par activité 3% 2% 12% 38% Assurance de biens et responsabilités Assurance de personnes Assurance-crédit Assistance 45% Banque et autres Les deux secteurs dominants sont clairement celui de l’assurance de bien et responsabilités ainsi que celui de l’assurance de personnes. 2. Présentation du département Normes et Valeurs (NoVa) au sein d'AGF Vie Individuelle Au sein de l'unité Assurances de Personnes et Produits Financiers, AGF Vie individuelle représente 35% du chiffre d'affaires. 2.1. Activités Le département valorise l’ensemble des travaux prospectifs liés aux arrêtés trimestriels, à la page 9 communication financière et au processus budgétaire sur le périmètre AGF Vie Individuelle. • Frais d’acquisition reportés (FAR), Differed acquisition costs (DAC), Provision globale de gestion (PGG), provisions mathématiques US GAAP sont autant de retraitements liés aux Normes de consolidation. • Valeur des affaires nouvelles, Embedded value, Market Consistent Embedded value et Value at risk sont des mesures de la Valeur du portefeuille d’AGF Vie Individuelle. L'ensemble des travaux repose sur la modélisation des risques inhérents à un portefeuille d'assurance vie, à savoir: • Risque de mortalité, de longévité, de rachats… • Risques financiers • Risques opérationnels Il est important de noter que les travaux de NoVa sont interdépendants avec ceux d’autres directions : • Direction de la Comptabilité et Direction du Pilotage et du Contrôle des Risque • Asset and Liability Management • Les autres entités intervenant sur le secteur de l'assurance de personnes (Collectives, Partenariats, Dom Tom) d’une part pour favoriser les échanges de meilleures pratiques et d’autre part, pour modéliser au mieux le portefeuille général. 2.2. Les enjeux du service Les enjeux principaux pour le service sont : • L’émergence à horizon 2010 des nouvelles normes de mesure du capital alloué, Solvency 2 qui définit le besoin en capital comme la différence entre la valeur du portefeuille selon le scénario médian et cette même valeur selon le scénario catastrophe lié au risque considéré. • Les concepts sont en pleine mutation avec des modélisations désormais : • Actif/Passif : les stratégies d’attribution de la participation aux bénéfices et de consommation des richesses latentes sont de nouveaux paramètres. page 10 • Stochastiques : les modèles reposent sur des générateurs de scénarios d’évolution des actifs et des corrélations entre le comportement des assurés et ces évolutions des actifs. page 11 PARTIE 1 : CONTEXTUALISATION ET DÉFINITION DES CONCEPTS CLÉS A l'initiative de la Commission Européenne, un projet d'envergure de réforme du secteur de l'assurance a été lancé, ayant pour objectif l'élaboration de nouvelles normes européennes de solvabilité. Ainsi, une consultation globale des différents acteurs de l'assurance a été mise en place par l'entremise du CEIOPS (Committee of European Insurrance and Occupational Pensions Supervisors). Cette consultation a engendré un processus de réformes destinées à l'ensemble des membres de l'Union Européenne que la Commission Européenne souhaite mettre en application d'ici l'année 2010. Ce nouveau système de solvabilité des sociétés d'assurances devra être en harmonie avec les nouvelles normes comptables IFRS, et se devra de répondre à l'ensemble des problématiques spécifiques des assureurs. 1. La réforme Solvency II 1.1. La réforme Solvency I et ses insuffisances La réforme Solvency I fixe un certain nombre de règles relatives à la solvabilité des sociétés d'assurance. Directement issues de la directive européenne datée de 1973, actualisée au cours de l'année 2002, il convient d'en donner les principes. Tout d'abord, Solvency I réglemente la couverture des engagements de l'assureur par des actifs spécifiques. Ainsi, à des engagements à longs termes ne seront pas à adossés les mêmes actifs que pour des engagements à plus courts termes. En outre, les sociétés d'assurance seront contraintes à présenter chaque année un rapport de solvabilité spécifique accompagné d'un rapport de réassurance. Parallèlement, l'entreprise est tenue de réaliser chaque trimestre des simulations normalisées visant à vérifier l'adéquation de l'actif au passif. Enfin, Solvency I oblige les assureurs à établir un niveau minimum de solvabilité. Cette directive concerne les différents produits d'assurance-vie et non vie. Dans le cas de l'assurance-vie, la marge de solvabilité est définie à travers l'indicateur d'exigence de marge de solvabilité, calculé par la somme de ces deux éléments suivants: - 4% des provisions mathématiques; page 12 - et un pourcentage variant de 0,1% à 0,3% des capitaux sous risque en fonction de la durée de l'engagement. Il est intéressant de noter que cet indicateur ne présente aucune distinction relative aux options et garanties adossées aux différents produits. Ainsi, une première faiblesse de la réforme Solvency I est ici mise en exergue, et il en existe bien d'autres, de nature à la fois quantitative mais aussi qualitative. Parmi elles, il convient de noter que: – Solvency I propose une vision prospective uniquement, en établissant les ajustements futurs sur la base de chiffres historiques; – Solvency I n'opère pas de distinction entre les risques au sein même d'une même branche; – Solvency I ne porte que sur le montant espéré des provisions techniques; – Aucune distinction entre assureur et réassureur n'est proposée; – Le niveau d'exigence de Solvency I n'est pas satisfaisant par rapport aux normes comptables internationales que sont les US GAAP ou IFRS. 1.2. Le passage à Solvency II La réforme Solvency II a pour vocation de développer un nouveau système de solvabilité destiné aux entreprises d’assurance vie et non vie, ainsi qu’aux sociétés de réassurance de l’ensemble de l’Union Européenne. Elles devront ainsi être en mesure de l’appliquer de façon harmonisée, robuste et pérenne, sans engendrer de perturbation de marché. A l’instar de la réforme « Bâle II » qui a profondément remanié la surveillance du secteur bancaire, les directives européennes de « Solvency II » devraient avoir un impact majeur sur le système de solvabilité des organismes assureurs. Ainsi, le système doit fournir aux autorités de contrôle les outils et la capacité d’évaluer la solvabilité générale des entreprises par le biais d’une approche prospective fondée sur deux mesures du risque. D’une part, les risques quantitatifs comme la couverture du programme de réassurance ou l’adéquation entre actifs et passifs ; d’autre part, les risques qualitatifs comme la fiabilité des systèmes de contrôle interne et de gestion des risques, la qualité du management ou la maîtrise des risques opérationnels. Solvency II s’articule autour de trois piliers. • Le premier pilier a pour objectif de définir des seuils quantitatifs aussi bien pour les provisions techniques que pour les fonds propres. Deux niveaux de fonds propres seront page 13 définis: MCR (Minimum Capital Requirement) et SCR (Solvency Capital Requirement) : MCR représente le niveau minimum de fonds propres en dessous duquel l'intervention de l'autorité de contrôle sera automatique. Le SCR représente le capital cible nécessaire pour absorber les chocs provoqués par la survenance exceptionnelle des risques, et ainsi réduire la probabilité de ruine de l'entreprise à un niveau fixé et sur un horizon de temps donné. La ruine d'une société d'assurance survient lorsque les actifs adossés aux provisions mathématiques sont insuffisants pour recouvrir les sinistres. Le SCR est calculé à l'aide de modèles internes ou de modèles standardisés au niveau européen. • Le deuxième pilier a pour objectif de fixer des normes qualitatives de suivi des risques en interne et de définir comment l'autorité de contrôle doit exercer ses pouvoirs de surveillance dans ce contexte. L'identification des sociétés les plus risquées est un objectif et les autorités de contrôle auront en leur pouvoir la possibilité de réclamer à ces sociétés de détenir un capital plus élevé que le montant suggéré par le calcul du SCR et de réduire leur exposition aux risques. • Le troisième pilier a pour objectif de définir l'ensemble des informations détaillées que les autorités de contrôle jugeront nécessaires pour exercer leur pouvoir de surveillance. 2. Les normes IFRS Depuis le 1er janvier 2005, toutes les entreprises européennes cotées doivent présenter leurs documents financiers consolidés selon les nouvelles normes comptables internationales IFRS. Un nombre important de sociétés françaises voient actuellement ou verront à l'avenir leur référentiel comptable évoluer pour converger progressivement vers les normes IFRS. Ce changement constitue une véritable révolution dans l'information financière des entreprises. 2.1. Le constat L'interdépendance des marchés financiers mondiaux est l'élément principal qui a rendu nécessaire une harmonisation des règles comptables. Le constat établi a été le suivant: • un manque de comparabilité de l'information financière dans le temps, et entre les page 14 différentes entreprises; • un niveau de subjectivité important dans l'établissement des comptes; • un langage financier très hétérogène et marqué par un manque de transparence des comptes et une faible qualité de l'information fournie. De là est née au sein des différents acteurs économiques la volonté d'établir un référentiel comptable unique. 2.2. Le choix du référentiel L'application des US GAAP, les normes comptables en vigueur aux Etats-Unis, au niveau mondial a été un temps envisagée devant l'influence des Etats-Unis et les obligations imposées par la SEC pour s'introduire sur le marché boursier américain. Cependant, l'Europe ne pouvait exercer aucune influence sur les normes américaines et parallèlement, les normes IASC (International Accounting Standards Commitee) commençaient à être reconnues dans de nombreux pays. Il a donc été décidé de ne pas adopter les US GAAP comme référentiel. L'IOSCO (International Organization of Securities Commission), instance fédérative regroupant les autorités de marchés financiers nationaux de référence, a procédé à l'homologation du référentiel IASB et a recommandé en mai 2000 à l'ensemble des autorités boursières dans le monde d'accepter l'utilisation des normes IFRS. En juin 2000, la Commission européenne s'est prononcée en faveur de la promotion de l'utilisation du référentiel comptable de l'IASB au sein de l'Union Européenne. Pour ce faire, elle a présenté un règlement rendant obligatoires les normes IFRS en 2005, et a engagé un processus de modernisation des directives européennes. En octobre 2002, un accord a été signé afin de faire converger les normes de l'IASB et du FASB, son homologue américain. Cet accord a débouché sur des révisions progressives des normes pour éliminer les points de divergence, et sur la coordination des programmes de travail des deux institutions. 2.3. Les objectifs du nouveau référentiel L’IASB ne veut donner comme normes que des principes, sans pour autant imposer des règles. Ces principes sont les piliers des normes IAS/IFRS, et forment des contraintes importantes à la constitution d'une comptabilité aux normes. page 15 En se fondant sur ces contraintes idéologiques, l’IASB a plusieurs objectifs : des comptes complets dans lesquels la substance prédomine sur la forme et des comptes neutres. En outre, ces principes veillent également à la satisfaction des investisseurs, la présentation de la réalité économique, la possibilité d'établir des comparaisons entre les entreprises, et enfin de coller à une certaine réalité économique • L’exhaustivité Il s’agit d’intégrer dans les comptes de l’entreprise l'ensemble des éléments constitutifs de son économie. Cela implique la disparition des postes affectés hors du bilan, et le rapport annuel devra être agrémenté d'annexes plus importantes qu'auparavant. Cela permettra aux analystes financiers de pourvoir prendre des décisions de recommandation d’achat ou de vente de manière plus rationnelle, les comptes et les annexes reflétant une situation économique globale et pertinente de l'entreprise Il s’agit également de traiter l’actionnaire comme un analyste financier en lui fournissant une information complète et totale lui assurant ainsi une information financière propice à une prise de décision optimale. • La neutralité La volonté de mettre en oeuvre la neutralité des comptes se traduit par une marge de manoeuvre réduite au maximum dans leur établissement. Ainsi, les sociétés ne disposeront que de très peu d'options pour le pilotage de leurs comptes, lesquels devront résulter d'opérations simples sans possibilité d'ajustements, afin que compte de résultats et bilan soient à la fois objectifs, complets et uniformisés. • La présentation de la réalité économique Avec la mise en place des normes IFRS, il a été décidé de fournir une information fidèle à la réalité. Le principe de la « fair value » (juste valeur) est privilégié, plus précis que le coût historique pour traduire la réalité économique. La norme IAS 39 définit la « faire value » comme étant le montant pour lequel un actif pourrait être échangé, ou un passif éteint, entre parties bien informées, consentantes, et agissant dans des conditions de concurrence normale. Cependant l’application de la juste valeur aux postes du bilan aura pour conséquence la réévaluation de tous les actifs et passifs d’une entreprise à leurs valeurs de marché actualisées à chaque clôture. De ce fait, refléter la réalité page 16 économique et les fluctuations de marché entraînera une plus grande volatilité des comptes des entreprises. Ceci engendrerait un plus grand nombre d’opérations et notamment un certain nombre de problèmes techniques : systèmes informatiques, formation des salariés, etc... • La comparaison entre les entreprises Les normes IFRS ont également comme objectif de pouvoir comparer la performance des entreprises sur la même base comptable. De plus ayant un pourcentage assez conséquent d’investisseurs étrangers, avoir un langage universel se révèle primordial. Pour l’instant la mise en place des normes IFRS n’étant pas encore finie, les entreprises des différents pays ont encore leur propre approche de la comptabilité, une comparaison n’est donc pas possible dans l’immédiat mais cela se fera au fur et à mesure de l’avancement de la convergence entre les normes IFRS et les référentiels nationaux. • La meilleure représentativité des évolutions de l'économie La comptabilité se voulant plus proche de l’économie et les marchés étant de plus en plus complexes, le nouveau référentiel se doit d’intégrer des théories et des notions sous- jacentes (cash flows futurs actualisés, évaluation des options avec les lois binomiales ou le modèle de Black & Scholes) quelque peu sophistiqués. Il faudra donc pour les intégrer fournir des efforts de compréhension. La réalité économique étant relativement complexe il en va de même pour la comptabilité. 2.4. IFRS Phase II : les développements futurs Le CFO Forum est un groupe composé de 20 leaders européens du secteur de l’assurance, issus de 8 pays différents. Il a été créé en 2002 pour poursuivre l’harmonisation du reporting financier avec l’IASB, la Commission européenne et d’autres parties intéressées pour accroître la stabilité, la cohérence et la transparence vis-à-vis des investisseurs. Le CFO Forum a présenté le 3 mars 2006 au CEA (Comité Européen d’Assurance) les principes qu’il souhaite voir adoptés pour la Phase II, lesquels sont présentés succinctement ci-après. • A- Le profit doit être reconnu comptablement en liaison avec le relâchement du risque. Le principe A traite de la cadence des profits. Il y est dit que la « marge totale » (Total page 17 Margin) comprend la « Marge de Risque » (Risk Margin), la « Marge de Profit » (Profit Margin), et la « Marge de Service » (Service Margin). Cette dernière est définie comme étant la marge que d'autres acteurs du marché de l'assurance exigeraient pour offrir des services additionnels au service d'assurance classique. Elle se mesure par une différence entre la PVFP nette de capital et des primes. La « Total Margin » ne peut pas être considérée séparément pour tous les contrats. • B- Le passif devrait être basé sur la valeur présente des cash flows futurs en prenant en compte le risque inhérent et l’incertitude. Les flux devraient refléter la vision best estimate du management. Pas de reconnaissance de gain ni de perte comptable à l’émission, mais reconnaissance des pertes économiques. Il traite du « Liability Measurement » (calcul du Passif). Il faut procéder en utilisant une méthode prospective. Tous les futurs cash flows sont pris en compte ce qui inclut les options et garanties. Il y est fait référence au marché et l’évaluation du passif inclut entre autre les valeurs actualisées. • C- L’évaluation devrait se faire sur une base de portefeuille. • D- Le comportement des assurés incluant les primes récurrentes et les rachats devraient être pris en compte dans l’évaluation des passifs. Les options de renouvellement ou les provisions qui obligent l’assureur à continuer de fournir une couverture devraient être reconnues dans la mesure où elles figurent au contrat. • E- Les passifs devraient inclure la valeur des options et garanties. • F- Le risque de crédit attaché à un contrat de réassurance ne devrait pas être considéré dans l’évaluation du passif. • G- Une approche, devrait être adoptée pour les contrats participatifs, tenant compte des différents modèles de participation discrétionnaire existants dans les pays. • H- Actifs et passifs devraient être évalués selon une approche consistante reflétant la façon dont les sociétés d’assurance gèrent leur risque. • I- Des évaluations fondées sur la valeur (par ex. MCEV) devraient être fournies à titre d’information complémentaire. Les bases utilisées pour établir ces évaluations devraient être décrites en annexe. page 18 3. De l'EV à la MCEV Depuis 2000, les conditions de marché ont eu un impact sans précédent sur les positions financières des sociétés d’assurance vie. La chute continue des marchés actions et des taux d'intérêts, combinée avec la discordance entre actifs et passifs ont déséquilibré les options et garanties, considérées auparavant comme non matérielles d'une part, et pour lesquelles les outils de calorisation étaient d'autre part peu répandus. De ce fait, la rentabilité et la solvabilité des sociétés d’assurance vie ont été remises en question. Il est alors apparu évident que les méthodes utilisées, notamment l’Embedded Value, en tant qu'outil de reporting financiers n'ont pas reflété les risques réels et les conditions de marché ces dernières années, entraînant une perte de confiance des investisseurs dans la robustesse de l’EV traditionnelle. 3.1. L’arbre généalogique L’ancêtre de l’EV est l’article « Gross Premium Calculations and Profit Measurements for Nonparticipating Insurance », publié par James Anderson en 1959. Révolutionnaire à son époque, cette publication militait pour une méthode d’évaluation basée sur la projection des cash flows futurs sous les hypothèses « Best Estimate », en valorisant les produits financiers par un taux d’actualisation correspondant au taux de rendement exigé par les actionnaires et au niveau de risque qu’ils supportent. Au cours des 45 années suivantes, les principaux développements dans l’EV ont été : • La généralisation de l’EV comme l’indicateur le plus robuste de la valeur des sociétés d’assurance vie. • Le développement de puissants modèles capables de valoriser d’importants portefeuilles en un laps de temps très réduit. • Le développement d’outils analytiques permettant de visualiser l’évolution de l’EV au cours du temps. page 19 3.2. Les avantages de l’EV La plupart des arguments et des conclusions énoncés par Anderson il y a plus de 45 ans sont encore applicables aujourd’hui, établissant l’EV comme la méthode d’évaluation la plus réaliste. Les principaux avantages de l’EV sont les suivants : • l’EV prend en compte la création de valeur au moment même de sa réalisation, ainsi que les impacts statistiques qu’elle implique ; • l’EV offre une base robuste d’évaluation des affaires nouvelles ; • l’analyse des variations d’EV sur une période définie donne un aperçu des facteurs de performance, et de l’impact des décisions managériales ; • la méthode de l’EV intègre dans le bilan les actifs nets et la valeur du stock des passifs d'assurance. Contrairement à de nombreuses autres industries, la valeur du stock peut avoir un impact significatif dans la valeur globale de la société ; • les groupes internationaux peuvent utiliser l’EV pour comparer les performances de leurs différentes filiales, car les valeurs sont moins dépendantes des normes utilisées dans chaque pays • l’EV fournit en avance un indicateur de performance d’exploitation, par opposition au cadre US GAAP, où la profitabilité des affaires nouvelles est cachée, et l’impact des changements statistiques est lissé dans le temps. Malgré tous ses avantages, la méthodologie d’EV qui s’est largement répandue sur le marché a vu certains de ses aspects remis en cause, notamment le fait qu’elle ne prenne pas en compte le risque de marché. C'est pourquoi les assureurs ont lancé au sein du CFO Forum une réflexion sur les outils d'analyse financière ayant abouti à l'établissement des méthodes d’European Embedded Values (EEV) et de Market Consistent Embedded Values (MCEV). 3.3. L’European Embedded Values : Le 5 mai 2004, les sociétés d’assurance vie européennes ont significativement amélioré la consistance (consistency) et la transparence de leur reporting financiers grâce au lancement des « EEV Principles ». Ces 12 principes ont été développés par le CFO Forum, un groupe de responsables financiers issus de 19 acteurs majeurs de l’assurance en Europe, et visent à améliorer la qualité des rapports édités page 20 par les sociétés adhérentes, notamment concernant les analyses de sensibilité, les analyses de variation d’EEV, les hypothèses et les résultats. De manière plus précise, les principes de l’EEV ont pour but de : • mettre en place des directives pour l’édition des rapports financiers supplémentaires sur les bases de l’EV • répondre aux critiques existantes sur l’EV, en veillant à ce que les directives □ soient crédibles, robustes, et applicables systématiquement, □ nécessitent l’inclusion des coûts des options et garanties, □ imposent un niveau minimal de déclarations, notamment d’analyses de sensibilité • s’assurer que la méthodologie reflète bien la valeur économique à long terme du portefeuille • considérer la mise en œuvre des process, notamment les notions d’échéance et de système d’information. 3.4. Les critiques apportées à l’EEV Les principes de l’EEV constituent une avancée majeure dans l’amélioration de la communication de l’information financière, en proposant une base de travail commune aux sociétés d’assurance européennes. En pratique, elles ont dû faire face à deux problématiques différentes : • comment déterminer le taux d’actualisation (risk discount rate)? • comment déterminer l’allocation appropriée pour le coût du capital ? 3.4.1. Le taux d’actualisation Traditionnellement, les compagnies sont confrontées à 3 problèmes majeurs : • le degré de subjectivité dans l’établissement des hypothèses, qui peut avoir un impact significatif dans l’estimation du résultat • l’absence de rapport direct entre le taux d’actualisation et la teneur des risques sur le marché • l’utilisation d’une seule et unique mesure reflétant l’ensemble des risques auxquels sont page 21 confrontés les actionnaires. Les principes édictés par le CFO Forum instaurent un cadre concernant le taux d’actualisation, au sein duquel les taux d’actualisation propres à chaque produit ou famille de produits peuvent être appliqués, en fonction des différents niveaux de risque considérés. Ainsi, le taux d’actualisation devrait être égal au taux sans risque plus une marge de risque (prime de risque), laquelle doit refléter les risques associés à l’émergence de revenus distribuables qui n’est pas prise en compte ailleurs dans l’évaluation. Il convient de noter que le taux d’actualisation n’est plus nécessaire pour couvrir le risque des options et garanties relatif aux flux futurs des actionnaires, dans la mesure où il est calculé explicitement. En pratique, l'EEV est devenue la MCEV. En effet, le changement de probabilité opéré (voir par après) évite de définir des primes de risque par type d'actif et de passif, et de ce fait doit faciliter la comparaison des MCEV d'une société à l'autre. 3.4.2. Capital requis Le concept de capital requis est bien établi dans le cadre traditionnel de l’EV. Son calcul a souvent été basé sur le capital minimum requis réglementaire, et a été déterminé comme la différence entre la valeur nominale des actifs adossés au capital réglementaire et la valeur actualisée des cash flows futurs générés par le stock. Selon les pays, de larges disparités existaient quant au montant de capital sur lequel le calcul était effectué. Le changement clé au sein des Principes de l’EEV est d’exiger des compagnies qu’elles adoptent une définition standard du « capital requis ». Celui ci devait : • correspondre au moins au capital de solvabilité sur lequel le manager peut agir • inclure les montants requis pour atteindre les objectifs internes. En passant de l'EEV à la MCEV, tous les risques financiers sont pris en compte dans les évaluations; la notion de capital requis ne recouvre donc plus que le capital nécessaire pour faire face à l'émergence des risques non financier. page 22 3.5. La MCEV De nombreuses compagnies sont déjà passées à l’étape suivante dans le développement de l’EV en calculant des MCEV. La MCEV, construite à partir des forces de l’EV, reconnaît cependant ses faiblesses et propose une mesure de performance basée sur la valeur, offrant par-là même aux décideurs une meilleure lisibilité de leur activité. Ainsi, dans le cadre de la MCEV, actifs, passifs et coût du capital sont valorisés en accord avec le marché, et de manière cohérente les uns par rapport aux autres. Chaque cash flows est valorisé au moyen d’un taux d’actualisation cohérent avec celui appliqué sur le marché des valeurs. Par conséquent, la valorisation des actifs correspond à la valeur marchande des actifs. La MCEV répond directement aux principales critiques traditionnellement adressées à l’EV et à l'EEV : • Le taux d’actualisation est déterminé de façon objective, et est basé sur des taux de rentabilité observables à la date d’évaluation • Les coûts des Options & Garanties sont estimés explicitement par le biais de techniques cohérentes avec les marchés. 3.6. Aperçu de la MCEV L’utilisation de la MCEV a offert aux sociétés une meilleure visibilité quant à leur création de valeur, et leur a permis de mieux mesurer l’impact d’un décalage entre actif et passif, car elles ont à présent plus conscience d’exercer à la fois deux activités : une activité d’assurance, mais aussi une activité d’investissement. La valeur créée par l’activité d’assurance devrait être estimée en supposant qu’aucun risque financier n’a été pris. L’activité d’investissement induit par la suite la décision de dévier de la position initiale dans le but de générer des bénéfices supplémentaires. Les sociétés ayant adopté cette vision y trouvent plusieurs avantages : • identifier la tarification des produits qui se fonde sur une tarification incorrecte du risque de marché • faciliter la détermination d’un niveau acceptable de décalage entre actif et passif pour atteindre un rendement cible • déterminer le coût des options & garanties au sein du portefeuille en stock page 23 4. Les options et garanties en assurance vie L'établissement de la MCEV, dans un contexte règlementaire articulé autour de Solvency II et IFRS a souligné l'importance de la valorisation des options et garanties. Il convient donc de présenter les diverses options et garanties existant sur le marché de l'assurance-vie. L'option de rente est une option de sortie à l'issue de la phase de constitution de l'épargne, et l'option d'arbitrage offre la possibilité de modifier l'allocation stratégique des différents supports d'un contrat multi supports. Enfin, la garantie plancher qui s'applique aux contrats en unités de compte garantie un capital minimum en cas de décès. Ces options ne feront pas l'objet d'une attention particulière, étant donné qu'elles ne rentrent pas dans le cadre du présent mémoire. 4.1. L'option de rachat L'option de rachat n'entre pas directement dans le périmètre de la présente étude mais, comme elle reflète le comportement symétrique de l'option de versement libre, il est interessant de s'attarder sur ses caractéristiques. Les contrats d'assurance-vie offrent la possibilité aux souscripteurs de racheter leur contrat, de façon partielle ou totale. Cette option de rachat est souvent modélisée par la cession d'une option américaine (call) gratuite à l'assuré dont la valeur du sousjacent, la provision mathématique, est variable. Afin de permettre une bonne adéquation entre les Modélisation de l'option de rachat Gain Taux de rendement du contrat Taux d'intérêts du marché échéanciers des flux à l'actif et au passif, et donc de maîtriser les risques de liquidité, la page 24 détermination d'un taux de rachat est nécessaire. Ce risque de rachat est accentué en cas de hausse des taux. En effet, le rendement de l'actif de la compagnie peut devenir inférieur au niveau des taux d'intérêts sur le marché, et par la même occasion le taux servi aux assurés aussi. Ces derniers seront alors tentés d'exercer leur option de rachat pour placer leur capital à un meilleur taux sur le marché (à l'image de l'option de versements libres – voir par après), contraignant l'assureur à vendre les titres qu'il détient s'il n'a pas assez de liquidités. Dans ce contexte, l'assureur peut être forcé à réaliser des moins values latentes pour faire face à ses engagements. Deux types de rachat de contrat peuvent être distingués: • Le rachat structurel Il est indépendant du niveau des taux de marché. Il s'agit d'un rachat récurrent et permanent. Il peut se modéliser en tenant compte de plusieurs facteurs exogènes tels que l'âge du souscripteur ou les échéances fiscales. • Le rachat conjoncturel Il correspond aux rachats effectués par les assurés afin de saisir des opportunités de marché. Ainsi, les rachats sont corrélés positivement avec les taux sur le marché. Si le rachat conjoncturel suppose par ailleurs la rationalité des souscripteurs, il est néanmoins limité par un certain nombre de facteurs tels que: - la perte de l'exonération des droits de succession; - l'existence de pénalités de sorties; - la perte éventuelle de primes de fidélité; - le comportement irrationnel des assurés du fait de la perception subjective qu'ils peuvent avoir entre le taux servi par le contrat et le taux de marché. En cela, les sociétés d'assurance se doivent d'évaluer dans une perspective IFRS le risque que représente l'option de rachat. 4.2. L'option de versement libre Certains contrats d'assurance-vie offrent la possibilité au souscripteur d'y effectuer des page 25 versements libres, afin d'augmenter le capital ou la rente qu'il percevra éventuellement au terme du contrat. Lorsque le versement libre a lieu sur des contrats d'épargne à taux minimum garanti sur toute la durée du contrat, la présence même de ce taux minimum garanti est constitutive d'une option au sens financier du terme. En effet, en fonction à la fois des fluctuations des taux d'intérêts sur le marché et du niveau du taux garanti par son contrat, le souscripteur choisira d'effectuer un versement sur son contrat ou non. Ainsi, au même titre que l'option de rachat ou que la garantie plancher, le versement libre est une option que l'assureur se doit de mesurer, dans le sens où celle-ci peut engendrer un risque de solvabilité, notamment s'il est amené à garantir un taux élevé alors que les taux d'intérêts sur le marché sont bas. Cependant, à ce stade des débats relatifs à Solvency II et IFRS, le chiffre d'affaires futur ne doit pas être pris en compte dans les évaluations. Pourtant, l'option de versement libre est contenue dans les contrats en stock. Pour sortir de cette contradiction, il est en général avancé des arguments de non matérialité: • les produits à taux minimum garanti sur toute la durée du contrat sont dorénavant fermés à la souscription; • les gains liés aux versements libres futurs devraient être supérieurs au coût de la garantie de taux. Il convient cependant de vérifier cette seconde hypothèse: c'est en effet l'objet de ce présent mémoire. 4.3. La garantie de taux Les taux servis ou garantis par les contrats d'assurance constituent un élément central d'arbitrage pour l'assuré dans son choix d'exercer ou non une option dont il dispose. Cette partie vise donc à présenter les réglementations régissant les taux d'intérêts sur le marché de l'assurancevie. Entre le moment où le souscripteur paie les primes d'assurance et celui où l'assureur procède, conformément à ses engagements, au versement des prestations, il s'écoule un temps variable en fonction de la durée du contrat. Durant cette période, l'assureur investit les primes perçues sur les marchés dans l'espoir d'en dégager des produits financiers. Certains contrats d'assurance sont dotés d'un taux minimum de rémunération, qui est pris en compte lors de la tarification du produit. Le page 26 taux de rendement effectif du contrat est finalement déterminé par la combinaison du taux garanti et du taux de participation aux bénéfices. 4.3.1 Les taux garantis Dans une optique prudentielle, le code des assurances limite strictement les taux d'intérêt que les assureurs sont autorisés à garantir. Jusqu'au 1er juillet 1993, le taux maximum autorisé était fixé à 4.5%. Les assureurs avaient toutefois la possibilité de garantir sous certaines conditions soit un taux de rendement global (incluant les participations aux bénéfices), soit dans le cas des contrats à prime unique, un taux majoré plafonné par référence au taux des émissions obligataires. Ce système conduisait les assureurs à investir principalement sur le marché obligataire au détriment du marché des actions, nuisant par la même aux intérêts des assurés qui ne profitaient que trop peu des opportunités offertes par ce type de marché. La réforme technique de l'assurance vie, entrée en vigueur au 1er juillet 1993 a largement modifié l'ancien dispositif, limitant en outre nombre de taux techniques à la baisse. Conformément aux articles A. 132-1 et A. 132-2 du Code des assurances, il subsiste désormais deux types de taux: les taux techniques et les taux de rendement garanti. Les taux techniques Le taux technique pouvant être garanti par l'assureur dans un contrat varie selon sa nature. L'article A. 132-1 du Code des assurances prévoit en effet des règles de plafonnement strictes selon qu'il s'agisse d'un contrat libellé en euros, en unités de compte (à capital variable) ou en devises étrangères. Ces dispositifs sont résumés dans le tableau suivant. NATURE DU CONTRAT TAUX TECHNIQUE MAXIMUM AUTORISE (= Taux minimum garanti) AVANT 8 ANS APRÈS 8 ANS 75% du TME 60% du TME dans la limite de 3.5% 60% du TME dans la limite de 3.5% 60% du TME dans la limite de 3.5% Contrats libellés en unités de compte 60% du TME dans la limite de 3.5% 60% du TME dans la limite de 3.5% Contrats libellés en devises 60% du TME Tau maximal du pays de la Contrats libellés en euros: - primes uniques et versements libres - primes périodiques page 27 NATURE DU CONTRAT étrangères TAUX TECHNIQUE MAXIMUM AUTORISE (= Taux minimum garanti) AVANT 8 ANS APRÈS 8 ANS du pays de la devise devise dans la limite de 60% du TME du pays de la devise TME: Taux moyen des emprunts de l'état français calculé sur une base semestrielle. Dans le cas des versements libres (versements non programmés), ces règles sont à apprécier au moment de chaque versement. Les taux de rendement garanti Aux termes de l'article A. 132-2 du Code des assurances, les assureurs sont autorisés à garantir dans leurs contrats un montant total d'intérêts techniques et de participations aux bénéfices. Ce taux de rendement global peut être fixé annuellement pour l'année suivante et/ou varier chaque année en fonction d'un indice de référence, ces deux systèmes pouvant être utilisés conjointement ou séparément. • Les taux fixés annuellement pour l'année suivante (Taux Garanti Annuel) Conformément à l'article A. 132-3 du Code des assurances, le taux pouvant être garanti par l'assureur pour l'année suivante est plafonné à 85% de la moyenne des taux de rendement des actifs de l'entreprise calculés pour les deux derniers exercices. • Les taux liés à une référence de marché Aux termes de l'article A. 132-3 du Code des assurances, l'assureur peut garantir un taux variable, en fonction d'une référence fournie par un marché réglementé et en fonctionnement régulier de valeurs mobilières ou de titres admis en représentation des engagements réglementés des entreprises d'assurance. Une telle garantie ne peut toutefois être donnée que pour une période maximale de 8 ans. Par ailleurs, l'assureur n'est autorisé à commercialiser cette garantie de taux que si la moyenne des taux de rendement de ses actifs calculés pour les deux derniers exercices est au moins égale aux 4/3 du taux qu'il propose de garantir la première année. page 28 4.3.2. La participation aux bénéfices D'après l'article L. 331-3 du Code des assurances, les entreprises d'assurance sur la vie ou de capitalisation doivent faire bénéficier les assurés des bénéfices techniques et financiers qu'elles réalisent. La participation aux bénéfices permet aux assurés de percevoir une rémunération supérieure à celle qui découlerait de la seule application du taux technique. Elle s'applique à tous les types de contrats sauf les contrats en unités de compte. En effet, ces contrats ayant pour objet d'associer les assurés au rendement des valeurs de référence choisies, la participation aux bénéfices qui leur est accordée réside dans les seules performances des actifs correspondants. La nature des bénéfices distribués Les bénéfices réalisés par les sociétés d'assurance-vie se décomposent en bénéfices techniques d'une part, et bénéfices financiers d'autre part. • Les bénéfices techniques Ceux-ci sont constitués des bénéfices de mortalité et des bénéfices de gestion. Il y a bénéfice de mortalité quand la mortalité réelle est inférieure à la mortalité théorique issue des tables de mortalités utilisées pour la tarification du contrat. I Il y a bénéfice de gestion lorsque les dépenses effectives de l'assureur sont inférieures au montant des chargements retenus pour le calcul de la prime commerciale. • Les bénéfices financiers Ceux-ci comprennent les bénéfices d'intérêt et les bénéfices sur plus-values. Les bénéfices d'intérêt résultent de la différence entre le taux des placements effectués par l'assureur et le taux d'intérêt garanti par le contrat. Les bénéfices sur plus-values dépendent de la réalisation de valeurs de placement, c'est à dire de la vente avec profit d'éléments d'actif. La répartition des bénéfices entre les assurés Conformément aux dispositions de l'article A. 331-4 du Code des assurances, les assureurs ont l'obligation de distribuer au minimum: – 90% des bénéfices techniques s'ils sont positifs, 100% s'ils sont négatifs page 29 – 85% des bénéfices financiers Le calcul de la participation globale est déterminé à partir d'un compte de résultats dont les éléments sont définis par l'article A. 331-4 du Code des assurances. En pratique, il est attribué aux contrats l'excédent dégagé par la gestion technique et financière déduction faite de l'intérêt technique déjà pris en compte pour le calcul des prestations garanties. L'affectation est faite par catégorie de contrats, et au sein de celle-ci, la part revenant à chaque assuré est généralement calculée au prorata de la provision mathématique du contrat. L'assureur dispose de huit années pour incorporer dans les provisions mathématiques la PB d'une année. Pendant cette période, elle est placée dans la provision pour excédents (PPE). page 30 PARTIE 2: CONSTRUCTION DES LOIS D'ÉMERGENCE DES VERSEMENTS LIBRES DÉTERMINISTRES Dans le cadre de l’établissement des prévisions 2008, 2009 et 2010, les réseaux de distribution fournissent un montant prévisionnel global de souscription et de versements libres pour chaque type de contrat. Il est alors nécessaire de répartir ces prévisions annuelles de chiffre d’affaires en fonction des années de souscription des contrats. Pour ce faire, il s’est agit dans un premier temps de définir un périmètre d’étude, lequel a été réduit aux produits d’épargne et multi-support. En l’espèce, la souscription de tels contrats est sujette au versement d’une prime unique. La base de données « GCP » a pu par la suite être requêtée afin d’en extraire l’ensemble des mouvements sur ces contrats. Après un traitement de la table ainsi établie sous SAS et une extraction sous Excel, les triangles de montants cumulés de versements libres ont pu être mis en place par le biais de tableaux croisés dynamiques, et la phase de construction des lois d’émergence déterministes des versements libres a pu être mise en place. 1. La construction des triangles de versements libres Familles de contrats concernées: Epargne et Multi Supports Les montants des primes uniques de souscription et des versements libres ont été extraits de la base GCP par le biais de l’outil Business Object. A chaque montant sont notamment associés le type d’événement, un code famille, la date d’événement, la date de souscription du contrat et le réseau de distribution. Un traitement sous SAS de la base de données ainsi constituée a permis de répartir ces différents montants pour chaque produit et chaque réseau, par année de souscription (lignes), et par année d’événement (colonnes). Les chiffres de l’année 2007 sont arrêtés à la fin du mois de mai, et ont été annualisés afin de servir de base de comparaison dans le choix de la meilleure méthode d’estimation de répartition des versements libres des années suivantes. L’hypothèse de répartition uniforme des versements libres au cours de l’année est ainsi présupposée. page 31 Exemple: 1 2002 2003 2004 2005 2006 2007 20 000 2 5 500 23 000 Triangle des montants non cumulés 3 4 5 6 800 4 900 5 200 6 900 7 100 5 875 19 000 6 980 7 150 23 250 8 000 24 500 2 2 3 3 2 10 375 679 000 792 917 417 6 6 annualisé 5 700 6 430 7 200 9 100 7 000 25 000 2. Le calcul des clés de répartition de chiffre d'affaires 2.1. Les trois méthodes d'évaluation retenues 2.1.1. La méthode des taux de reversement par année de souscription – données non cumulées Cette méthode est née d’un constat établi sur la base des triangles des taux de reversement d’une année d’événement à l’autre, construits de la manière suivante : Sur la base des triangles de versements établis auparavant, et pour chaque nœud (i , j ) du triangle, i < j, le taux T1(i,j) est déterminé par la formule : T1(i,j) = Montant(i,j) / Montant(i ,j-1) ∀ (i , j) ∈ [ 0;N] où N représente le nombre de lignes dans le triangle étudié. Le taux T1(I,j) peut-être assimilé à un coefficient de passage d’une année j à la suivante, pour la génération i. L’observation des triangles ainsi établis a montré une certaine constance des taux situés sur une même diagonale. De là, la méthode suivante a été mise en place : Les taux de reversement pour l’année à estimer sont calculés de la manière suivante: Ces taux sont tout simplement des moyennes des taux des années précédentes. page 32 i −1 T 1(i, j ) = I [i < N +1] N ∑ T1(i − k , j − k ) k =1 + I [i ≥ N +1] i −1 ∑ T1(i − k , j − k ) k =1 N Le dernier taux T1(1,N) est estimé par la formule suivante : T 1(1, N − j ) N −1 j =1 4 ∑ Une fois que ces nouveaux taux sont établis, une simple règle de trois permet de déterminer les montants estimés pour l’année N, ainsi que leur répartition en fonction des années de souscription. Montant(i,N) = T1( i,N) * Montant(i,N-1) Exemple: 1 2002 2003 2004 2005 2006 Méthode des taux de reversement 1an (T1) 2 3 4 5 28% 124% 72% 106% 30% 103% 83% 37% 102% 34% 6 6 T1 82% 4 281 106% 6 235 77% 5 534 110% 8 773 32% 7 880 Répartition 6 T1 13% 19% 17% 27% 24% 2.1.2. La méthode des taux de reversement par rapport à la souscription Sur la base des triangles de versements établis auparavant, et pour chaque nœud (i , j ), i < j, du triangle le taux T2(i,j) est déterminé par la formule: T2(i,j) = Montant(i,j) / Montant(i,i) Il est ici considéré que le premier versement traduit la capacité de l’assuré à en réaliser d’autres par la suite. Les taux de reversement pour l’année d’événement à estimer sont calculés par la formule suivante: i −1 T 2(i, j ) = I [i < N +1] ∑ T 2(i − k , j − k ) k =1 i −1 5 + I [i ≥ N +1] ∑ T 2(i − k , j − k ) k =1 N page 33 Ces taux sont tout simplement des moyennes des taux des années précédentes. Le dernier taux T1(1,N) est estimé par la formule: T 2(1, N − j ) N −1 j =1 N −1 ∑ Une fois que ces nouveaux taux sont établis, une simple règle de trois permet d’établir les montants de versements libres estimés pour l’année considérée, ainsi que leur répartition en fonction des années de souscription : Montant(i,N) = T1( i,N) * Montant(i,i) Exemple: 2002 2002 2003 2004 2005 2006 Méthode des taux de reversement p/r à la souscription (T2) 2003 2004 2005 2006 2007 2007 T1 28% 34% 25% 26% 28% 5 600 30% 31% 26% 26% 5 980 37% 38% 25% 4 754 34% 34% 7 944 32% 7 880 Répartition 2007 T1 17% 19% 15% 25% 25% 2.1.3. La méthode de Chain-Ladder 2.1.3.1. Présentation de la méthode La méthode de Chain-Ladder, basée sur des triangles de versements cumulés, est un modèle de développement par cadence. Elle se base sur deux hypothèses principales: • Les règlements de sinistres sont stables • Les facteurs de développement sont indépendants de l'année d'origine des sinistres page 34 2.1.3.2 Application de la méthode de Chain-Ladder aux versements libres Bien que cette méthode soit usuellement utilisée en assurance non-vie, il a été décidé de la mettre en œuvre dans le cadre de l’étude des versements libres. Cependant, il serait opportun de s’interroger à l’avenir sur la pertinence de ce choix. Dans un premier temps, il convient de remplacer en colonnes les années d’événement par des années contrats, de telle sorte que : année contrat = année d’événement – année de souscription Par après, les montants non cumulés sont remplacés par des montants cumulés. Les données ainsi obtenues constituent le triangle supérieur, et il s’agit à présent de compléter le triangle inférieur en appliquant la méthode de Chain-Ladder classique, après avoir calculé les coefficients de passage d’une année contrat à l’autre. Exemple: N 2002 2003 2004 2005 2006 Coefficients de 20 000 23 000 19 000 23 250 24 500 passage Méthode de Chain-Ladder (montants cumulés) N+1 N+2 N+3 N+4 N+5 25 500 32 300 37 200 42 400 47 600 29 900 37 000 42 875 48 868 25 980 33 130 38 281 43 632 31 250 39 333 45 449 51 802 32 369 40 741 47 076 53 656 1,321173 1,2586631 1,155483 1,1397849 2007 CL Répartition 2007 CL 5 200 16% 5 993 19% 5 151 16% 8 083 25% 7 869 24% Cette méthode s’apparente à la méthode utilisée auparavant lors du calcul du taux T1, à la différence du fait que nous utilisons des montants cumulés par année contrat. Le montant cumulé établi en N+5 est estimé en reportant la même variation constatée en N+4. Ainsi les montants estimés sont déduits pour l’année 2007 en calculant la différence entre les montants cumulés des années 2007 et 2006. 2.2. Le choix de la meilleure méthode pour l'évaluation des prévisions La base de comparaison retenue est la répartition des montants annualisés du chiffre d’affaires à fin mai 2007. De là, il s’agit d’évaluer la méthode délivrant une répartition des versements libres la plus proche de page 35 la base de comparaison, c’est à dire celle dont la somme des écarts absolus par rapport à 2007 annualisé est la plus faible. Exemple: 2002 2003 2004 2005 2006 Répartition 2007 annualisé Répartition 2007 CL Répartition 2007 T1 Répartition 2007 T2 16% 16% 13% 17% 18% 19% 19% 19% 20% 16% 17% 15% 26% 25% 27% 25% 20% 24% 24% 25% Somme des écarts absolus par rapport à 2007 annualisé 10,1% 12,8% 13,0% Ainsi, par l’application de ce critère, la méthode des taux de reversement T1 a été choisie pour évaluer la répartition de 9 produits, la méthode de Chain Ladder a été retenue pour 3 produits, et la méthode des taux de reversement par rapport à l’année de souscription n’a été retenue pour aucun produit. Même sans fondement théorique précis, la méthode de Chain Ladder est donc recevable. 2.3. Le calcul des clés de répartition La première étape consiste à récupérer les montants de chiffre d’affaires prévisionnels du réseau considéré pour chaque produit, et pour les années 2007 à 2010 (souscriptions + versements libres). Ces données sont issues du dossier budgétaire des réseaux. Dès lors, il s’agit de répartir successivement pour chaque année à évaluer ces montants prévisionnels grâce aux clés de répartition calculées précédemment. Ainsi, la somme des montants évalués (colonnes bleues) correspond aux montants prévisionnels des réseaux. Exemple avec la méthode de Chain-Ladder : page 36 Projec tions PU A FN 2007 25 000 2008 26 000 2009 28 000 2010 29 500 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 V L A FN 10 000 12 500 15 000 16 000 2002 20 000 Total 35 000 38 500 43 000 45 500 2003 5 500 23 000 2002 2003 2004 2005 2006 2004 6 800 6 900 19 000 Total 4 7 6 23 Répartition 2007 annualisé 16% 18% 20% 26% 20% Méthode de Chain-Ladder 2005 2006 2007 2008 projeté 2009 projeté 2010 projeté 900 5 200 1 609 880 642 494 100 5 875 1 815 928 665 509 980 7 150 2 032 1 685 783 499 250 8 000 2 568 2 313 1 990 786 24 500 1 976 3 037 2 389 1 733 25 000 3 658 4 006 2 655 26 000 4 525 4 293 28 000 5 031 29 500 35 000 38 500 43 000 45 500 Les trois dernières colonnes sont les résultats de la méthode, les détails des calculs sont présentés ci-après pour l’année 2008 : Calcul 2008 N 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Coef de passage 20 23 19 23 24 25 000 000 000 250 500 000 25 29 25 31 26 31 N+1 500 900 980 250 476 687 1,267 32 37 33 33 32 38 N+2 300 000 130 818 028 332 1,210 37 42 35 38 36 43 N+3 200 875 162 047 032 124 42 44 38 41 39 46 1,125 N+4 400 690 243 380 189 902 1,088 44 46 39 42 40 48 N+5 009 386 694 950 676 682 45 618 1 1 3 4 5 6 N+6 Répartition 2008 2008 projeté 609 7% 880 696 7% 928 080 13% 1 685 228 19% 2 313 552 24% 3 037 687 29% 3 658 26 000 1,038 Exemple avec la méthode des taux de reversement par année de souscription – données non cumulées: Projections PU AFN VL AFN Total Répartition 2007 annualisé 2007 25 000 10 000 35 000 2002 16% 2008 26 000 12 500 38 500 2003 18% 2009 28 000 15 000 43 000 2004 20% 2010 29 500 16 000 45 500 2005 26% 2006 20% Les trois dernières colonnes sont les résultats de la méthode, les détails des calculs sont présentés ci-après pour l’année 2008 : page 37 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 Total 2002 20 000 2003 5 500 23 000 2004 6 800 6 900 19 000 Méthode des 2005 4 900 7 100 6 980 23 250 taux de reversement 2006 2007 2008 projeté 2009 projeté 2010 projeté 5 200 1 609 1 241 819 526 5 875 1 815 521 370 224 7 150 2 032 1 291 355 241 8 000 2 568 1 455 896 239 24 500 1 976 1 654 914 549 25 000 6 339 5 197 2 812 26 000 6 449 4 767 28 000 6 642 29 500 38 500 43 000 45 500 Calcul 2008 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2002 28% 124% 72% 106% 31% 83% 2003 30% 103% 83% 31% 31% 2004 37% 102% 28% 69% 2005 34% 32% 61% 2006 8% 90% 2007 27% 2008 2008 Répartition 2008 2008 projeté 1 338 10% 1 241 561 4% 521 1 392 10% 1 291 1 569 12% 1 455 1 783 13% 1 654 6 835 51% 6 339 26 000 La clé de répartition de 2008 est appliquée au montant prévisionnel de chiffre d’affaires pour les versements libres effectués en 2008, le dernier montant étant le montant prévisionnel des primes de souscription. Le même raisonnement est mis en place pour les années 2009 et 2010. 3. Les contrôles effectués 3.1. La loi Sorbanes Oxley (SOX) AGF, membre du groupe Allianz, est soumis aux contraintes de transparence financière imposées par la loi Sorbanes Oxley, et à ce titre AGF se doit de démontrer la qualité de son contrôle interne lors de l'établissement de ses travaux. Il convient donc de présenter les principes de cette loi. La loi SOX a vu le jour à l'issue d'un certain nombre de fiascos financiers ayant touché quelques multinationales américaines cotées en bourse (notamment ENRON). Elle vise à améliorer l'intégrité des administrateurs, améliorer la transparence financière, et exige l'indépendance des commissaires et des comptes externes. Cette loi s'applique à toutes les entreprises américaines cotées en bourse, à leurs filiales et aux entreprises étrangères cotées aux Etats-Unis (c'est notamment le cas du groupe Allianz). Parmi ses articles majeurs, la loi SOX comprend l'article 404 qui contraint l'administrateur à surveiller et gérer ses processus informatiques et opérationnels. Les membres de la direction sont chargés de mettre en page 38 oeuvre et d'entretenir les processus et procédures cités et sont tenus dans le même temps d'introduire un rapport de contrôle interne chaque année. Dans ce contexte, il s'agit de mettre en place un certain nombre de contrôles relatifs aux données utilisées afin d'en garantir la pertinence. 3.2. Le contrôle des données Afin de valider l’extraction des données sous BO, les traitements effectués sous SAS, ainsi que leur extraction sous Excel, les montants de versements cumulés issus des triangles ont été comparés aux chiffres d’affaires provenant du contrôle de gestion. La maquette de chiffre d’affaires au 31 décembre 2006 a été choisie comme référence de validation. La correspondance entre la base de données GCP et les chiffres donnés par le contrôle de gestion n’a pas été facile à établir. Les montants de versements calculés pour certains produits étant en effet très proches de ceux donnés par la maquette de chiffre d’affaires (moins de 0.1% d’écart), la plupart des autres produits offraient quant à eux un écart compris entre 2 et 5%(positif ou négatif). Enfin, certains produits restaient assez inexplicablement très en dessous ou au dessus des chiffres attendus. Ces écarts peuvent être expliqués par le traitement effectué sur les chiffres avant leur communication au service de contrôle de gestion, qui induit un écart avec les données présentes dans la base GCP. En outre, il se peut que des légers écarts au niveau des dates d’événement aient des répercussions quant à la répartition du chiffre d’affaires par année de souscription. 3.3. La pertinence de la méthode La méthode de Chain-Ladder est une méthode usuellement appliquée au domaine de l’assurance non-vie, et se caractérise par sa simplicité, et le nombre réduit d’hypothèses mis en place. Basée sur les cadences de règlements, la méthode comporte deux principales hypothèses (cf paragraphe 2.1.3.1): • la stabilité des règlements des sinistres • l’indépendance des facteurs de développement par rapport à l’année d’origine des sinistres Par ailleurs, les éléments du triangle peuvent être : • des paiements cumulés de sinistres page 39 • des sinistres survenus • des primes reçues • des nombres de sinistres • des montants cumulés moyens Cette étude a pour vocation d’étudier la répartition de versements libres par année d’événement, qui peuvent être assimilés à des primes reçues de la part des souscripteurs. En outre, les deux principales hypothèses de la méthode semblent être acceptables dans notre situation. Au regard de ce constat, la méthode de Chain-Ladder s’avère pertinente du point de vue théorique quant à l’estimation des clés de répartition des versements libres. Il a été démontré dans le paragraphe 2.2 qu’elle est recevable d’un point de vue pragmatique. page 40 PARTIE 3: APPROCHE THÉORIQUE DE CONSTRUCTION DES LOIS DE VERSEMENTS LIBRES DYNAMIQUES 1. Les versements libres comme des options 1.2. De la théorie financière... Une option est un contrat réunissant un acheteur désirant acquérir certains droits et un vendeur, acceptant d'octroyer ces mêmes droits. Ce contrat a une valeur, le prix de l'option ou « prime » négociable tous les jours jusqu'à l'échéance. Un call (put) est une option d'achat (de vente) sur un titre sous-jacent qui confère à son détenteur le droit d'acheter (de vendre) ce titre à un prix fixé, à une date ou sur une période préalablement établie. Si ce droit peut être exercé à une date T unique (échéance de l'option), l'option est dite européenne. S'il peut être exercé à tout instant sur la période de vie de l'option, celle-ci est dite américaine. La prime (P) est égale au prix de l'option. Elle dépend de cinq paramètres fondamentaux: le cours du sous-jacent (S), le prix d'exercice (K), la date d'échéance (T), le taux d'intérêt sans risque (r) et la volatilité(σ). 1.2. À son application aux versements libres Avant de prendre la décision d’effectuer un versement libre, l’assuré se trouve confronté à un arbitrage. En effet, si le taux de rendement du marché (indice à déterminer) est supérieur au taux de revalorisation de son contrat (Taux minimum garanti + taux de PB)), l’assuré n’effectuera pas de versement, préférant placer son avoir à un meilleur taux. Il aura même tendance à considérer les pénalités fiscales pour envisager de racheter son contrat et placer cette épargne aux conditions de marché. Inversement, si le taux de rendement du marché est inférieur au taux de revalorisation, son contrat propose alors un rendement plus important que le marché, il va donc effectuer un versement et ne pas racheter. page 41 Ainsi, le taux de rendement servi par le contrat d’assurance peut être perçu comme le sousjacent d’une option (put), que l’assuré décide d’exercer ou pas en fonction du taux de rendement du marché. Ainsi perçue comme une option financière, il s'agit à présent de se pencher sur les possibilités de valoriser cette option par le biais des méthodes classiquement utilisées dans la théorie financière. 2. Approche par la théorie des arbres binomiaux – Modèle de CoxRoss-Rubinstein La théorie des arbres binomiaux a pour objectif principal d'évaluer le prix d'une option dans un univers à temps discret. Ainsi, il s'agit d'énoncer dans un premier temps les hypothèses du modèle. • Notations St: prix de l'actif sous-jacent à l'instant t i T: date de maturité de l'option n: nombre de périodes découpant l'intervalle [0,T] page 42 r: taux sans risque continu σ: volatilité de l'actif sous-jacent Ci: prix du call en date t i Pi: prix du put en date t i K: prix d'exercice de l'option θi: Valeur du portefeuille à la date t i Hypothèses du modèle • – les marchés sont complets, il n'y a pas d'opportunité d'arbitrage; – l'option porte sur une action ne versant pas de dividende; – la dynamique du cours de l'action suit un processus binomial multiplicatif: S – = S . u avec la probabilité p ou S . d avec la probabilité (1-p); i+1 i i les paramètres r, u, et d sont constants. L'évaluation s'établit dans un univers risque neutre, ce qui revient à supposer que la rentabilité espérée de tout actif échangé sur le marché est le taux d'intérêt sans risque, et que tout flux futur peut être évalué en actualisant sa valeur espérée au taux d'intérêt sans risque. Soit un marché financier composé d'une action et d'un placement sans risque dans un univers à une période et deux états du monde (n=1). Pour évaluer le prix d'un call, un portefeuille θo composé de α actions et d'un montant β placé au taux sans risque peut etre construit, de sorte qu'il duplique l'option. Ainsi, la valeur de ce portefeuille en période 1 sera égale au pay off qu'offre l'option en période 1. Les paramètres inconnus α et β vérifient: θ =αS +β 0 0 et θ = α S + β (1 + r) = max ( S - K; 0 ) 0 1 L'hypothèse suivante est posée: u S < K < d S 0 1 0 De là, les déductions suivantes peuvent être établies: page 43 α u S + β (1+r) = u S - K = C si S = u S 0 et 0 1u 1 0 α d S + β (1+r) = 0= C si S = d S 0 1d 1 0 Il vient alors : 1 dS 0 1 S 0 ( dC1u − uC1u ) β = r (u − d ) S ( K − uS 0 ) = r S 0 (d − u ) 0 ⇔ α = u ⋅ S 0 − K = C1d − C1u S 0 (u − d ) S 0 (u − d ) 1 d −r d −r ⇒ θ 0 = C1u + 1 − C1d r d −u d −u 1 = ( π ⋅ C1u + (1 − π )C1d ) = C 0 r S (d − r ) avec π = 0 S 0 (d − u ) Cette dernière relation représente le prix que l'investisseur est prêt à payer pour l'acquisition du call. A ce prix là, le call est équivalent au portefeuille θ , c'est à dire que l'investisseur est neutre par 0 rapport au risque. Ainsi, le prix du call est l'ésperance du gain à l'échéance par rapport à la probabilité neutre du risque actualisé au taux sans risque r. Il s'agit à présent de se placer dans un univers à n périodes. En appliquant le raisonnement précédent, il vient aisément: page 44 1 E[max(S n − K ;0)] rn 1 n j j ⇒ C0 = n ∑ Cn π (1 − π ) n − j max(S 0u j d n − j − K ;0) r j =a C0 = avec a tel que u a d t − a S 0 > K et u a −1d t − a +1S 0 ≤ K n = S 0 ∑ C π (1 − π ) j =a j n j Soit π ' = π ⋅ n− j n − ∑ K ⋅ Cnjπ j (1 − π ) n − j j =a u r De là, la formule de Cox-Ross-Rubinstein peut-être écrite de la manière suivante: C0 = S 0 ⋅ B (n, a, π ' ) − K ⋅ B( n, a, π ) n où B (n, a, p) = ∑ Cnj p j (1 − p) n − j j =0 La formule pour l'évaluation du prix d'un put est similaire. Ce modèle binomial permet d'évaluer les options américaines. Il suffit pour cela de placer à chaque noeud de l'arborescence un test permettant de déterminer le maximum entre la valeur intrinsèque de l'option et la valeur de l'option européenne pour ce noeud. 3. Approche par le modèle de Black & Scholes Les mathématiciens ont depuis longtemps essayé de résoudre les questions soulevées par le monde de la finance. Une des caractéristiques de ces questions – il suffit de penser à la bourse pour s’en convaincre – est qu’elles font apparaître des dynamiques d’apparence désordonnées et c’est pourquoi les modèles probabilistes semblent relativement bien adaptés à cette situation. En 1901, la thèse de Louis Bachelier, Théorie de la spéculation, portait déjà sur ce thème. Depuis de nombreux probabilistes se sont penchés sur ces questions raffinant sans cesse les modèles utilisés. Mais c’est sans nul doute grâce aux travaux de Black, Merton et Scholes que ces questions sont devenues si populaires en partie à cause de la simplicité des réponses qu’ils ont apportées. page 45 En 1973, Black et Scholes et Merton ont proposé un modèle constituant une avancée majeure en matière d’évaluation d’options. Celui ci a eu un très grand impact sur les méthodes utilisées par les traders, tant en matière d’évaluation d’options que dans la mise au point de techniques de couverture. Ces travaux ont constitué le point de départ du développement spectaculaire de l’ingénierie financière dans les années 1980 et 1990. La formule de Black et Scholes est très utilisée en pratique à tel point que la volatilité implicite qu’elle définit est devenue une véritable unité de mesure. En 1997, Merton et Scholes ont par ailleurs obtenu le prix Nobel d’économie pour leurs travaux en finance, Black étant malheureusement décédé en 1995. Le modèle mathématique qui décrit le marché financier est à la fois simple et efficace. Il s’inscrit dans une économie constituée de deux actifs : un actif risqué, typiquement une action (l’action sousjacente à l’option) et un actif sans risque pouvant être une obligation zéro coupon. • Les hypothèses du modèle Le modèle de B&S est un modèle à temps continu. Le marché est composé de deux actifs: un actif sans risque et un actif risqué. L'option évaluée est une option européenne. Le taux sans risque est positif et constant. La dynamique du cours de l'actif risqué suit un processus d'Itô: dSt= St dt St dZt où Zt est un mouvement brownien, et μ et σ sont constants. • Définitions et théorèmes □ Soit un espace probabilisé (Θ; B; P) Soit X une application de RxΘ→R page 46 (t; w) →X(t;w) = Xt(w) alors l'application Xt de Θ dans R est appelée processus stochastique. □ Un processus stochastique Xt (pour 0≤t≤T) est appelé mouvement brownien si et seulement si: - P(X0=0)=1 - Xt-Xs suit une loi normale centrée de variance t-s pour tout 0≤s≤t - Les accroissements de Xt sont indépendants pour tout découpage de [0,T] □ Un processus stochastique Xt est un processus d'Itô s'il existe μ et σ intégrable pour la mesure de Lebesgue tels que: dXt =t dt t dZt X 0= X0 □ Lemme d'Itô: Soit f un fonction appartenant à l'ensemble des fonctions continues bornées différentiables une fois par rapport à la première variable, et deux fois par rapport à la seconde. Soit Xt un processus d'Itô: dXt =t , St dtt , St dZt alors Yt = f(t, Xt) est un processus d'Itô vérifiant: dYt = • δf δf 1 δ² f dt + dXt + σ ²(t , St ) dt δt δx 2 δx ² Evaluation du prix d'un call Sous les hypothèses posées précédemment, le prix d'une option est l'espérance du gain que permet de réaliser cette option à l'échéance actualisé au taux sans risque. C (0) = exp(−rT ) × E[max(ST − K ;0)] D'après la cinquième hypothèse, l'équation suivante est vérifiée: page 47 dSt = μ St + σ St dZt En posant f(t,St) = ln (St) et en appliquant le lemme d'Itô à la fonction f, il vient: 1 d ln(ST ) = ( µ − σ ²)dt + σdZ t 2 1 ⇒ ln(St ) = ln( S0 ) + ( µ − σ ²)T + σW T 2 où W est une variable aléatoire centrée réduite. Ainsi, en développant cette dernière équation, il vient: 1 ST = S 0 ⋅ exp ( µ − σ ²)T + σW T 2 ⇒ E[ ST ] = S 0 exp( µT ) orE[ ST ] = S 0 exp(rT ) donc l'égalité μ = r en est directement déduite. Par ailleurs: C (0) = exp(−rT ) ⋅ E[max(ST − K ;0)] Il convient donc de calculer cette espérance: E[max(ST − K ;0)] = ∫ ( x − K )τ ( x)dx x≥ K où τ(x) est la densité de S au point x. T C (0) = exp(−rT ) ∫ x ⋅τ ( x) dx − K ⋅ P ( ST ≥ T ) x ≥K Il s'agit dans une étape intermédiaire de calculer la probabilité P(S ≥K): T page 48 1 P ( ST ≥ K ) = P S 0 exp (r − σ ²)T + σW T ≥ K 2 1 ln( K / S 0 ) − (r − σ ²)T 2 = P W ≥ ( σ T 1 ln( S 0 / K ) + (r − 2 σ ²)T = Φ σ T Il ne reste plus qu'à calculer l'intégrale suivante: ∫ xτ ( x)dx = E[ log N (m' ;σ '²)] ⋅ P[ N (m'+σ '²;σ '²) > ln(K )] x≥ K 1 = exp m'+ σ '²) ⋅ P[ N (m'+σ '²;σ '²) > K ] 2 1 ln(S 0 / K ) + (r + σ ²)T 2 = exp( rT ) ⋅ Φ σ T avec Φ(x) la fonction de répartition d'une variable normale centrée réduite, et: 1 m' = ln( S 0 ) + r − σ ² ⋅ T 2 σ '² = σ ² ⋅ T Il vient alors immédiatement que la formule d'évaluation d'un call s'écrit de la manière suivante: C (0) = S 0 Φ (d1) − K exp(−rt )Φ (d 2) 1 ln(S 0 / K ) + ( r + σ ²)T 2 avec : d1 = σ T d 2 = d1 − σ T De même pour un Put en appliquant le même raisonnement: P(0) = K exp(−rt )Φ (−d 2) − S 0 Φ (−d1) page 49 Si S est une action ne versant pas de dividende sur [0,T], les prix du call et du put américain à l'origine sont les mêmes que ceux du call et du put européen. En effet, le détenteur de l'option n'a pas intérêt à exercer prématurément son option car il perdrait dans ce cas toute la valeur temps. 4. Limites de ces méthodes Il a un temps été envisagé d'évaluer le prix de l'option de versement libre en utilisant les méthodes d'évaluation de produits dérivés classiques de la finance. Cependant, un certain nombre d'obstacles s'y est opposé ce qui a conduit à choisir une autre méthode d'évaluation décrite dans la dernière partie de ce mémoire. Tout d'abord, le prix d'exercice de l'option. Dans notre cas, le choix de l'assuré d'effectuer un versement libre dépend principalement du taux de revalorisation annuel de son contrat. Ce taux a deux composantes, le taux minimum garanti et le taux de participation aux bénéfices qui est variable et déterminé de manière discrétionnaire chaque année. Il aurait été possible d'effectuer des estimations en assimilant le prix d'exercice du put américain au seul taux minimum garanti. Cependant, cette hypothèse aurait été trop simplificatrice, étant donné que, dans un certain nombre de cas, la participation aux bénéfices représente une part importante de la valorisation du contrat de l'assuré. L'option de versement libre détenue par l'assuré s'assimile à une option américaine. En effet, celuici peut décider à tout moment d'exercer son option en effectuant un versement libre sur son contrat. Le modèle de Cox-Ross-Rubinstein permet d'évaluation facilement le prix d'une option américaine à chaque noeud. Il permettrait donc d'évaluer l'option du point de vue de l'assuré. Mais cette méthode n'offre pas la possibilité d'évaluer l'impact de l'exercice de l'option sur l'ensemble de portefeuille. En effet, les versements libres sur les contrats à taux minimum garanti ont deux effets distincts. D'une part, ils augmentent le chiffre d'affaires de la société, et augmente ainsi l'espérance de marge financière qu'elle pourra réaliser; d'autre part ils modifient l'adossement Actif/Passif et donc l'éspérance de revenus financiers de tous les contrats en stock. Par ailleurs, l'option de versement libre du point de vue de l'assureur est couverte par une marge. Cette marge ne peut être modélisée de façon simple au moyen d'un seul paramètre. Il a donc été décidé de s'orienter vers un outil interne de gestion actif passif, le modèle ALIM. page 50 PARTIE 4: L'ALTERNATIVE RETENUE – LE MODÈLE ALIM 1. Mise en évidence du coût d'options et garanties L'existence des coûts d'options et garanties réside dans l'asymétrie de la répartition des profits entre assurés et actionnaires comme le montre le graphique ci-dessous. Ainsi, dans le cas de scénarios favorables, c'est à dire les scénarios situés à droite du scénario moyen, l'assureur sera tenu de redistribuer 85% de son résultat financier en PB, et le gain des actionnaires s'élèvera alors à 15% des produits financiers. Plus le scénario est favorable, plus le montant de la PB et la marge financière seront élevés. En revanche, dans le cas des scénarios défavorables, c'est à dire lorsque les résultats financiers sont inférieurs au taux minimum garanti, l'intégralité des pertes (gains négatifs) est à la charge de l'assureur. L'assureur réalise donc d'avantage de perte dans les scénarios défavorables, que de gains dans les scénarios favorables. Cette asymétrie est caractéristique du coût d'options et garanties. page 51 La PVFP du scénario moyen représente l'estimation Best Estimate déterministe qui en général est supérieure à la PVFP moyenne stochastique. La différence entre les deux révèle le coût d'options et garanties. 2. Présentation du modèle ALIM ALIM est un modèle de gestion actif passif développé au sein d'AGF permettant d'effectuer des projections stochastiques de flux financiers. A ce titre, cet outil offre la possibilité de tester différentes allocations stratégiques, de mesurer le coût des options et garanties, mais aussi de mesurer les besoins en solvabilité de l'entreprise. Ainsi, il convient de préciser son mode de fonctionnement avant d'expliquer la manière dont la modélisation des versements libres y a été implémentée. Le modèle ALIM doit être alimenté par différents inputs, à commencer par un descriptif du portefeuille à l'actif et un état des lieux du passif. En outre, l'utilisateur intègre au modèle une « investment strategy » et une « crediting strategy » dont les modes de fonctionnement seront détaillés par la suite. page 52 2.1. Le Best Estimate déterministe comme base de calcul Dans le contexte du calcul de l'embedded value, le Best Estimate est défini comme la valeur actualisée de cash flows financiers. Elle se base sur la valeur actualisée des prestations (y compris les coûts de gestion) et des variations des provisions mathématiques, auxquelles il convient de soustraire la valeur actualisée des primes et des revenus financiers. Afin de mettre en place ce calcul, un certain nombre d'inputs doivent être établis. Dans un premier temps, un ensemble de données sur les contrats et les assurés sont agrégés au sein de « Model Points ». Ces derniers rassemblent les contrats regroupés en différentes familles homogènes. Ils intègrent des informations telles que l'age de l'assuré, la date de souscription du contrat, mais aussi le taux minimum garanti du contrat, les provisions mathématiques associées ou encore les versements (libres ou réguliers) effectués sur ces contrats. Parallèlement, un panel d'hypothèses est établi visant à paramétrer le comportement des assurés au travers de lois de rachats, de taux d'évolution des versements réguliers, ou encore de lois de mortalité. En outre, elles comportent toutes les informations relatives aux produits, mais aussi des hypothèses financières telles que le taux de rendement financier, ou les clauses de PB. Une fois ces paramètres définis, une première simulation est menée. Celle-ci est basée sur un jeu d'hypothèses financières prévisionnelles. De là, les cash flows du passif ainsi calculés sont retournés au département Asset Liability Management qui génère des chroniques financières Best Estimate. 2.2. L'intégration des 1000 scénarios d'actifs Les mille scénarios ALIM rassemblent toutes les variables économiques de base nécessaire au modèle. Ces scénarios se basent sur des données issues de cinq marchés différents: l'Europe, la Suisse, la Corée, le Japon et les Etats-Unis d'Amérique. Pour chacun de ces marchés sont intégrées des courbes relatives aux prix des zéros coupons, des capitaux et de l'immobilier, ainsi qu'une gamme de taux de change relatifs non seulement à ces pays, mais aussi à d'autres pays étrangers. La base de données ainsi constituée est exploitée par le générateur de scénarios économiques pour établir des scénarios monde réel (Best Estimate) et risque neutre (Market Consistent). Le modèle ALIM quant à lui exploite différents types de page 53 scénarios: • Les scénarios risque neutre: Ils sont fondés sur la propriété fondamentale d'absence d'opportunité d'arbitrage. De ce fait, les cash flows actualisés sont des martingales. En effet, si un euro est investi en actions, et si les cash flows qu'il génère sont actualisés au taux d'escompte, le résultat final doit être égal à l'euro initialement investi, ceci étant dû à l'absence de prime de risque. • Les scénarios monde réel: Ces scénarios sont basés sur des données historiques, et sont calibrés sur des obligations d'état, alors que les scénarios risque neutre le sont sur des taux swap. • Les scénarios EEV: Ils sont ajustés de sorte que les prix moyens des zéros coupons et leur rendement moyen total soient constants dans le temps. Par ailleurs, les rendements des dividendes sont supposés nuls. • Les scénarios « certainty equivalent » Le concept de certainty equivalent scenario remplace le concept de scénario moyen dans le cadre de la MCEV. Ainsi, étant donné un scénario déterministe satisfaisant la propriété d'absence d'opportunité d'arbitrage, alors la courbe des taux forward doit se vérifier au cours du temps. Cela signifie que la valeur d'un zéro coupon P(t,T) à la date t, de maturité T doit être égale à la valeur du taux forward correspondant, et satisfait ainsi la relation suivante: P t , T =P 0, T /P 0, t • Shifted scenarios Ils ont pour objet de mener des études de sensibilité. Ils sont construits à partir des scénarios de base, mais une déviation de plus ou moins 100 bp leur est appliquée. Les prix des obligations zéros coupons sont convertis en taux annualisés, lesquels sont altérés par la déviation et retransformés en prix d'obligations zéros coupons. Au passif, les rendements globaux des capitaux propres subissent une déviation correspondante. • Les scénarios d'analyse de mouvements: Il en existe de trois types différents: □ Unwinding scenarios page 54 Ces scénarios servent à vieillir les portefeuilles d'actif et de passif afin de mesurer les écarts d'expérience, a posteriori, au bout d'un an. Le principe est d'utiliser l'information disponible en date t = 0 afin d'estimer la valeur en date t = 1. Ainsi, les taux forward induits par la courbe des rendements initiales sont utilisés pour calibrer les taux d'intérêts en année une, et les autres inputs se comportent de la même façon que dans les scénarios certainty equivalent en année une. □ Les scénarios basés sur des taux d'intérêts observés Ces scénarios permettent d'isoler les écarts d'expérience sur les seuls produits de taux. L'idée directrice est ici d'utiliser uniquement l'information disponible sur les taux d'intérêts observée à l'issue de la première année. Pour la première année, les prix des obligations zéros coupons et les autres inputs sont générés de la même manière que dans le cas des Unwinding scenarios. A partir de la deuxième année et pour l'ensemble des années de projection suivantes, la courbe des taux d'intérêts se comporte d'après les calibrations effectuées pour l'année une, alors que les fonds propres se comportent comme à l'issue de l'année 0 sans qu'aucun ajustement n'y soit apporté. □ Les scénarios basés sur les taux d'intérêts et les capitaux propres observés: Il s'agit dans ce cas de considérer l'évolution des taux d'intérêts et des capitaux propres sur la base des données issues de la fin de la première année de projection. Ainsi, les données historiques sont utilisées pour les années 0 et 1, et les paramètres utilisés à partir de la deuxième année correspondent au scénario risque neutre. 2.3. Les règles de gestion Actif-Passif 2.3.1. La crediting strategy L'objectif principal de la crediting strategy est de déterminer le taux de participation aux bénéfices futurs accordés aux assurés ainsi que le dividende distribué aux actionnaires. Ceux-ci sont calculés après une série de traitements décrits par le schéma ci-dessous. page 55 Fonctionnement de la Crediting Strategy • Calculer et atteindre les montants minimums garantis Ce premier bloc a pour objet de calculer les revenus sur investissement nécessaires pour couvrir les montants minimums garantis aux assurés. Dans le cas où les produits des placements financiers se révéleraient insuffisants, des plus values latentes sont réalisées pour combler le déficit. • Calculer et atteindre le taux de produits financiers cible Le taux de produits financiers cible est calculé en prenant le maximum entre le taux de PB cible par produit défini par référence au marché, et le taux de rémunération cible de l'actionnaire. Ce taux cible est calculé relativement à des chroniques de taux benchmark externes et à la marge de bénéfices cible des actionnaires. Le taux benchmark cible est déterminé sur la base d'indices récents de taux de rendement d'obligations et d'actions, incluant divers profils de volatilité et de maturité. Si à l'issue de la première étape, le taux de produits financiers est supérieur ou inférieur au page 56 taux cible, les plus ou moins values latentes sont utilisées pour se rapprocher du taux cible. • Calculer la répartition des revenus entre assurés et actionnaires Dans un premier temps, les produits financiers sont répartis sur les différents produits, proportionnellement à la provision mathématique associée à chacun d'entre eux. Puis, l'intéressement des assurés et des actionnaires est calculé, en vérifiant par produit que celuici couvre le taux minimum garanti des assurés et que l'actionnaire ne réalise pas de pertes. Si en effet l'actionnaire réalise une perte, une part de l'intéressement des assurés est transférée vers celui des actionnaires, et vice vera. • Calculer les montants crédités L'objet de cette étape est de calculer un montant crédité cible et établir le transfert dans la provision pour participation aux excédents. Avant de transférer les fonds depuis la PPE, une partie de cette PPE peut être utilisée pour atteindre le taux de PB cible sans pour autant diminuer les marges permettant de rémunérer l'actionnaire. Rappel: Minimum de PB = 85% Produits financiers + 90% Résultats Techniques positifs + 100% Résultats Techniques négatifs La charge de PB est définie comme étant la somme de la PB totale par produit, et de la variation de PPE. Celle-ci intervient sous ALIM de la manière suivante: □ Si Charge de PB < Min PB, alors la dotation complémentaire à la PPE est égale à la différence Min PB – Charge de PB. □ Si Min PB < Charge de PB < x % Min PB, il n'y a pas de mouvement de PPE (on reste au-dessus du Min PB); où x % Min PB correspond à un montant minimum de prudence que l'assureur souhaite toujours conserver en PPE pour faire face à ses engagements futurs. □ • Si Charge de PB > x % Min PB: ° Si ΔPRE ≤ 0, la PPE est ponctionnée de l'écart Charge de PB – Min PB+x% Min PB. ° Si ΔPRE > 0, il n'y a pas de mouvement de PPE. Utiliser les paramètres d'urgence page 57 Si après toutes les étapes précédentes, des pertes sont constatées, alors le modèle utilise des paramètres définis pour ce seul usage. L'ensemble des résultats calculés à chaque étape de la crediting strategy est placé dans une matrice de stockage, qui sera utilisée par le modèle ALIM lors de la génération des outputs. 2.3.2. L'investment strategy L'investment strategy vise à déterminer une allocation stratégique d'actif qui, par le biais d'achats ou de ventes d'actifs sur les marchés financiers, permettra de satisfaire les conditions requises pour atteindre le taux de rendement financier cible. Son processus de développement peut être subdivisé en trois phases. Une première étape consistera à agréger les informations requises pour la suite des traitements en se basant sur les inputs du modèle (AgInf). Puis il s'agira d'établir une allocation dynamique d'actifs (ADA), avant de passer à l'étape de transaction effective de ces actifs (TA). 2.3.2.1. Le module d'allocation dynamique des actifs (ADA) Ce module opère en deux étapes: • Le calcul de la nouvelle allocation stratégique Dans un premier temps, une allocation stratégique cible est déterminée par la biais d'un processus de réaffectation. Afin d'éviter un déséquilibre excessif entre les différentes classes d'actif, des frontières supérieures et inférieures peuvent être définies. Le module anticipe par la suite quelles transactions par classe seraient nécessaires pour atteindre l'allocation stratégique spécifiée. • Le calcul des transactions par classe Sur la base des résultats calculés à l'étape précédentes, le module calcule les transactions par classe d'actif. Ces transactions peuvent être aisément calculées par différence entre l'allocation actuelle et la nouvelle. page 58 2.3.2.2. Le module de transaction des actifs (TA) Les transactions établies par le module ADA sont ici réalisées. Les ventes sont systématiquement effectuées avant les acquisitions. • Le calcul des actifs à vendre Le module parcourt l'ensemble des classes d'actif et détermine individuellement quels actifs doivent être vendus. Il est possible de déterminer un ordre pour les ventes au sein d'une classe d'actif. • Le calcul des actifs à acheter Les montants à acheter par classe d'actifs sont investis soit dans des actifs existants, soit dans des nouveaux actifs, selon le profil d'investissement défini pour chaque classe d'actif. • La réalisation des plus ou moins values latentes par ordre Le module reçoit un certain montant de plus ou moins values latentes à réaliser. Celui-ci classe individuellement les actifs selon des contraintes définies à la fois pour chaque actif, mais aussi pour chaque classe. Il convient de noter que l'investment strategy intervient après le calcul et l'actualisation des actifs, des passifs et des cash flows et avant la crediting strategy. En outre, et afin de permettre au modèle de réaliser des plus ou moins values latentes décrites lors de la crediting strategy, des transactions supplémentaires doivent être effectuées. Ceci explique le fait que le module de transaction des actifs (TA) est appelé deux fois au cours du processus global d'investment strategy; une première fois dans un module de réaffectation, une deuxième fois dans un module de réalisation. Ces deux modules sont schématisés au sein du graphique suivant. page 59 Les inputs introduits dans les deux modules de réaffectation et de réalisation sont issus du même module d'agrégation des informations (AgInf). Le processus de réaffectation est divisé en deux étapes. Tout d'abord, le module d'allocation dynamique d'actifs (ADA) calcule la nouvelle allocation cible par classe d'actifs. Cette nouvelle allocation est alors traitée par la module de transaction (TA) qui calcule au niveau de chaque actif les volumes à acheter ou à vendre afin de satisfaire aux critères déterminés par la crediting strategy. 2.4. L'évaluation du coût des Options et Garanties sous ALIM De façon générale le coût des O&G est obtenu en faisant la différence entre les PVFP (Present Value of Future Profits) du fond obtenues dans deux étapes différentes qui seront développées par la suite. Il convient dans un premier temps de définir le concept de PVFP, avant de s'attarder sur son exploitation. 2.4.1. Définition de la PVFP La PVFP se définit comme étant la valeur actuelle des résultats d'assurance futurs. Afin de mieux cerner sa nature, il convient de préciser la notion de résultat d'assurance. Ce dernier est calculé de la manière suivante: Primes - Prestations +/- Variation de provision + Participation aux bénéfices + IT Solde de souscription Résultat technique - Commissions Résultat avant impôt - Coûts/Frais d’assurance + Rétrocessions + Produits financiers - (Participation aux bénéfices + IT) Résultat financier - Impôts Ces différents indicateurs sont modélisés sous le modèle ALIM de la façon suivante. page 60 Les primes: Seules les primes futures raisonnablement prévisibles (épargne et prévoyance) pour les contrats en stock au 31/12/n sont prises en compte. Il s'agit des primes périodiques pour les contrats de prévoyance et les versements réguliers pour les contrats d'épargne, mais les versements libres futurs n'y sont pas inclus. Les prestations: Elles sont déterminées sous l'hypothèse « Best Estimate ». Les décès sont calculés sur la base de table de mortalité d'expérience, les rachats totaux ou partiels sont estimés par le biais des lois de rachats, et les termes sont projetés à partir des dates de terme des contrats regroupés par famille homogène au sein des model-points (inputs des projections déterministes). Les coûts/frais: Ils sont composés des coûts d'acquisition et des coûts de gestion. Afin d'évaluer leurs montants, il est nécessaire de déterminer quels sont parmi eux les coûts récurrents. Les produits financiers: Ils sont évalués en fonction des projections de taux de rendement futurs. Ces derniers sont estimés relativement aux flux futurs de chiffre d'affaires, aux prestations et aux provisions mathématiques. La participation aux bénéfices: (voir paragraphe sur la crediting strategy) Les impôts: Il s'agit des impôts sur les sociétés calculés sur les résultats d'assurance, et s'élèvent à 34.43%. La valeur du portefeuille au 31/12/n est donc l'actualisation des résultats d'assurance des années n+1, n+2, etc... PVFP31/ 12 / n = Rn +1 (1 + t ) 0.5 + Rn + 2 (1 + t ) 1.5 + Rn + 3 (1 + t ) 2.5 + Rn + 4 (1 + t ) 3.5 + La capitalisation d'une demi année supplémentaire revient à supposer que les flux ont lieux en milieu d'année. 2.4.2. Présentation du mode de calcul du coût des options et garanties Le modèle ALIM présente trois étapes de calculs appelées « Step ». La « Step 1 » se résume à un reformatage des cash flows, les inputs de passif du modèle, et exploite ainsi les résultats du calcul de l'EV déterministe décrite auparavant. Cette étape est indispensable à l'exécution des étapes suivantes. page 61 La « Step 2 » est une étape de calcul déterministe se basant sur un scénario moyen d'évolution d'actif. Elle a pour vocation de vérifier si les éléments d'actif et de passif sont bien adossés. Par ailleurs, elle a la particularité d'intégrer dans ses calculs des rachats dynamiques. Cependant, étant donnée la présence d'un seul scénario moyen, les rachats dynamiques ont un impact assez limité. A l'issue de cette étape, l'utilisateur est en mesure d'en extraire une évaluation de la PVFP. Les rachats de contrats par les assurés sont estimés dans le modèle par le biais des rachats dynamiques. Les rachats dynamiques sont calculés au moyen d'une fonction de déviation, qui si elle est activée, permettra de déterminer le montant de rachat à chaque instant de la projection. La « Step 3 » fonctionne de la même façon que la « Step 2 » à ceci près que le scénario moyen est remplacé par mille autres (voir précédemment). Ils comprennent des scénarios moyens mais également des scénarios à la hausse et la baisse. Il s’agit de mille courbes de taux, le but étant de tenir compte de toutes les évolutions possibles des actifs. La PVFP finale est égale à la moyenne des PVFP obtenues dans chacun des mille scénarios, ces derniers ayant par construction tous la même probabilité de se réaliser. Le coût des O&G est obtenu en faisant la différence entre la valeur de la PVFP obtenue dans la « Step 3 » et celle obtenue dans la « Step 2 ». Coût d'O&G = PVFP Step3 - PVFP Step2 Pour obtenir la valeur de la PVFP dans les deux étapes, le flux représentant le profit de l’actionnaire avant impôts est actualisé. Dans le cas de la « Step 2 », il suffit de l’actualiser en utilisant la courbe de taux centrale. En revanche dans la « Step 3 », les mille courbes de taux issues des scénarios sont intégrées aux calculs, afin d'obtenir mille VAN différentes pour chaque période. Il faudra ensuite faire la moyenne des VAN par période pour obtenir les PVFP en « Step 3 ». Le profit de l’actionnaire avant impôts est le résultat d’assurance avant impôts. 2.5. L'évaluation de l'option de versement libre 2.5.1. L'intégration des versements libres au modèle ALIM Jusqu'à présent, les versements libres n'ont pas été intégrés au modèle. Afin d'évaluer le coût de l'option de versement libre, il a été décidé de procéder en deux étapes. Dans un premier temps, il s'agit de calculer le coût d'options et garanties comme décrit précédemment, sans intégrer les versements libres. Puis, en gardant exactement les mêmes hypothèses, les versements libres sont page 62 intégrés au modèle, et le même calcul de coût d'options et garanties est effectué. La différence entre les deux montants ainsi obtenus représente le coût de l'option de versement libre. 2.5.2. La modélisation des versements libres L'idée directrice est de modéliser le fait qu'un assuré détenteur d'un contrat à taux minimum garanti va effectuer d'autant plus de versements sur son contrat que le taux de référence du marché est bas par rapport au taux de rendement de son contrat. Inversement, plus le taux de référence est élevé, moins il aura tendance à effectuer des versements libres. Dans cet optique, Il a été décidé de modéliser les versements libres effectués par les assurés comme du nouveau chiffre d'affaires (New Business). Afin de modéliser le comportement de l'assuré, une fonction de déviation a été mise en place. Cette fonction renvoie la correction du volume de versement libre volontaire espérée dans des conditions normales. Elle a la particularité de varier en fonction d'un écart de taux par rapport à un taux de référence, de sorte que plus cet écart de taux est important, plus l'ampleur de la déviation va être elle aussi importante. Sa valeur sera par conséquent comprise dans l'intervalle [-1, 0] dans le cas d'une baisse, et comprise dans l'intervalle [0, 1] dans le cas d'une hausse. La fonction de déviation des versements libres La fonction de déviation comprend différents paramètres qu'il s'agira de saisir lors de la simulation: – Increase_begin: valeur de la différence de taux à partir de laquelle la fonction de déviation page 63 augmente; – Increase_end: valeur de la différence de taux à partir de laquelle la fonction de déviation cesse d'augmenter, pour se stabiliser à un niveau max_increase; – Decrease_begin: valeur de la différence de taux à partir de laquelle la fonction de déviation décroît; – Decrease_end: valeur de la différence de taux à partir de laquelle la fonction de déviation cesse de baisser, pour se stabiliser à un niveau max_decrease. Dans notre cas, Increase_end < Increase_begin < Decrease_begin < Decrease_end. Le choix de cette modélisation a été calqué sur la modélisation effectuée pour les rachats dynamiques. En effet, ceux-ci réagissent de façon inverse aux versements libres. Plus les taux d'intérêts sur le marché est élevé, plus les rachats vont augmenter, et inversement. Il existe donc bien une symétrie entre ces deux phénomènes comme le montre le graphique de la fonction de déviation appliquée aux rachats dynamiques. La fonction de déviation appliquée aux rachats dynamiques Il s'agit dans un premier temps de définir le taux de référence (taux benchmark). Il est défini relativement à un panel d'obligations d'état de maturité 10 ans issues des scénarios ALIM décrits précédemment. page 64 A chaque instant, le taux benchmark est comparé au taux crédité actuel, incluant le taux minimum garanti, afin de modéliser de façon dynamique le comportement de l'assuré. Dans des conditions « normales », si la différence de taux est comprise entre les bornes de déclenchement de la déviation( increase_begin < rate_difference < decrease_begin), la fonction de déviation renvoie une valeur nulle, et il n'y a aucune déviation par rapport au comportement espéré de l'assuré. Si la différence de taux est supérieure à des conditions normales, c'est à dire que rate_difference > decrease_begin, il y aura moins de versements libres. C'est pourquoi, la fonction de déviation décroîtra linéairement jusqu'à un certain niveau (max_decrease) au delà duquel elle sera constante. Inversement, si la différence de taux est inférieure à des conditions normales, c'est à dire que rate_difference < increase_begin, il y aura plus de versements libres. C'est pourquoi, la fonction de déviation croîtra linéairement jusqu'à un certain niveau (max_increase) au delà duquel elle sera constante. Ainsi, il a été décidé de programmer la fonction de déviation de la manière suivante: • si increase_begin < rate_difference < decrease_begin; deviation = 0 • si increase_end < rate_difference < increase_begin; deviation = max_increase * (rate_difference-increase_begin)/(increase_end-increase_begin) • si rate_difference < increase_end deviation = max_increase • si decrease_end > rate_difference > decrease_begin; deviation = - max_decrease * (rate_difference – decrease_begin)/(decrease_end – decrease_begin) • si rate_difference > decrease_end; deviation = - max_decrease page 65 PARTIE 5: PRÉSENTATION DES RÉSULTATS 5.1 Résultats du calcul du coût de l'option de versement libre Comme cela a été décrit dans la partie précédente, deux modélisations ont été effectuées. Une première ne comprenant pas les versements libres, et une deuxième où ils ont été intégrés. Les chiffres ci-dessous ont été déterminés sur la base de données partielles représentatives du portefeuille général d'AGF Vie. Voici le tableau récapitulatif des résultats: Modélisation sans VL Modélisation avec VL PVFP Step 2 900 589 255 900 589 255 PVFP Step 3 824 381 669 825 247 456 Coût d'O&G -76 207 585 -75 341 798 Coût de l'option de VL 865 787 Tout d'abord, il convient de remarquer que les deux PVFP de Step 2 sont identiques. Ceci est dû au fait que la Step 2 est basée sur un scénario moyen, pour lequel ni les rachats dynamiques ni les versements libres dynamiques ne s'activent. Par ailleurs, le coût d'options et garanties, calculés par différence de PVFP entre les deux Steps baisse avec l'intégration des versements libres. L'enseignement qui en ressort est que les versements libres sur les contrats à taux minimum garanti ne sont globalement pas une charge pour la société d'assurance, mais plutôt un produit. page 66 5.2. Etude de sensibilité Afin de mieux expliquer l'impact de l'introduction des versements libres, deux autres profils de versements libres ont été construits. Le premier est fondé sur des hypothèses fortes de versements libres (profil 1), alors que le second est basé sur des hypothèses faibles (profil 2). Leur niveau a été défini relativement aux projections déterministes présentées dans deuxième partie de ce mémoire. Les modélisations ont été effectuées en conservant les mêmes paramètres de fonction de déviation. Le tableau suivant synthétise les résultats. Modélisation sans VL Profil 1 – Hypothèse forte Step 2 900 589 255 900 589 255 900 589 255 Step 3 824 381 669 825 398 159 825 156 159 Coût d'O&G -76 207 585 -75 191 096 -75 433 095 1 016 490 774 490 Coût de l'option de VL Profil 2 – Hypothèse faible Le premier constat réside dans le fait que dans les deux cas, le coût de l'option de versement libre reste positif. Par ailleurs, il convient de remarquer que plus les versements libres augmentent, plus le coût d'option et garantie diminue. Ce phénomène s'explique par l'effet double induit par la présence des versements libres sur un contrat à taux minimum garanti. D'une part, ces versements ont pour effet d'augmenter le volume de chiffre d'affaires, et par la même occasion le montant des marges financières futures. D'autre part, les versements libres induisent un coût de taux minimum garanti pour l'assureur. Les résultats ci-dessus montrent que l'effet volume de marge induit par l'augmentation du chiffre d'affaires est supérieur à l'effet coût du taux minimum garanti. Ainsi, la valeur actualisée des résultats est globalement sur l'ensemble des scénarios supérieure au coût du taux minimum garanti. Les graphiques présentés ci-après représentent les quantiles de différents niveaux relatifs aux résultats apportés par les mille scénarios sur les 40 années de projection. • Evolution de la PVFP page 67 Evolution de la PVFP - Simulation centrale (sans News Business Dynamic) 3000000000 2500000000 2000000000 Quantile 1 Quantile 5 Quantile 25 Quantile 50 Quantile 75 Quantile 95 Quantile 99 Moyenne Min 1500000000 1000000000 500000000 40 38 36 34 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0 -500000000 -1000000000 Evolution de la PVFP - Simulation Profile fort 3000000000 2500000000 2000000000 Quantile 1 Quantile 5 Quantile 25 Quantile 50 Quantile 75 Quantile 95 Quantile 99 Moyenne Min 1500000000 1000000000 500000000 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 -500000000 -1000000000 page 68 Le premier constat qui peut être établi est que le volume de chiffre d'affaires induit par les versements libres est très peu significatif, étant donné les grandes similitudes entres les deux graphiques. Les versements libres sont dilués sur tout le stock et ont un effet assez marginal. En outre, il est à noter que l'introduction des versements libres fait baisser la PVFP. Pour expliquer ce phénomène, il convient de rappeler la formule suivante: PVFP2 = PVFP1 + t . PVFP1 – Flux1 (avec t = taux d'actualisation) Ainsi, si la PVFP décroît avec le temps, c'est que les intérêts sont inférieurs au flux. Donc les scénarios pour lesquels la PVFP augmente sont des scénarios défavorables. Or il est visible (voir les points entourés) que la PVFP augmente moins dans le cas du profil fort. Cela souligne le fait que l'effet volume de chiffre d'affaires qui dilue les versements libres sur l'ensemble du stock l'emporte sur l'effet coût du taux minimum garanti. L'évolution du taux crédité • Evolution du taux crédité - Sans NBDyn 0.3 0.25 0.2 1 5 25 50 75 95 99 min Moyenne 0.15 0.1 0.05 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 page 69 Evolution du taux crédité - Profile 1 0.3 0.25 0.2 1 5 25 50 75 95 99 min Moyenne 0.15 0.1 0.05 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 L'observation graphique des courbes de taux crédités est renforcée par l'étude des chiffres, à savoir que les versements libres sont tellement dilués que cela n'a qu'un impact très marginal sur les taux crédités. L'évolution des primes • Evolution des primes - Sans NBDyn 140 000 000 120 000 000 100 000 000 1 5 25 50 75 95 99 min Moyenne 80 000 000 60 000 000 40 000 000 20 000 000 40 38 36 34 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 - - page 70 Evolution des primes - Profil 1 140000000 120000000 100000000 1 5 25 50 75 95 99 min Moyenne 80000000 60000000 40000000 20000000 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 La comparaison des deux graphiques montre que les primes versées sont fonction du déclenchement des versements libres. En effet, lorsque les scénarios de taux sont élevés, les versements libres augmentent car le taux de revalorisation des contrats augmente. Il est intéressant de noter que les versements libres s'estompent après environ douze ans de projection. Ceci s'explique par le fait que les taux crédités décroissent, car les versements libres sont réinvestis dans le modèle au taux sans risque, donc le taux de rendement du portefeuille converge vers le taux sans risque. Or par construction de la fonction de déviation, lorsque l'écart de taux entre le marché et le taux crédité baisse, les versements libres baissent eux aussi. Ainsi, lors des première années, les taux crédités sont supérieurs au taux benshmark, et les versements libres s'activent. Parallèlement, l'existence de flux de désinvestissement fait baisser les taux, ce qui enclenche par la même occasion des rachats. • L'évolution des taux de rachat Dans la continuité de l'analyse précédente, il convient de noter que les taux de rachat subissent l'effet inverse, étant donnée la symétrie existant entre les deux fonctions de déviation. page 71 Evolution du taux de rachat - Sans NBDyn 25% 20% 1 5 25 50 75 95 99 min Moyenne 15% 10% 5% 40 38 36 34 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 - 2 0% Evolution du taux de rachat - Profil 1 0.25 0.2 1 5 25 50 75 95 99 min Moyenne 0.15 0.1 0.05 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 page 72 Il serait cependant souhaitable de faire une étude spécifique sur le paramétrage de la fonction de déviation. En effet, cette fonction ne prend pour le moment en compte que des paramètres financiers. Des études statistiques pourraient permettre de mieux refléter le comportement des assurés, notamment par le biais de d'étude de scoring des assurés, afin de déterminer de façon plus précise les différents critères favorisant les versements libres, comme par exemple l'age de l'assuré, sa catégorie socioprofessionnelle, etc... page 73 CONCLUSION Le « Discussion Paper » IFRS daté de mai 2007 expose des directives relatives à la valorisation des passifs d'assurance au titre des contrats en stock. Il stipule notamment que les primes futures ne doivent pas être comptabilisées à l'exception de trois cas précis: si l'assuré est obligé de payer pour rester couvert; si l'assureur peut forcer l'assuré à payer les primes; et enfin si les prestations qui seront payées à l'assuré viennent augmenter l'engagement de l'assureur. Les versements libres pourraient entrer dans ce 3ème critère. En effet, si un assuré effectue des versements libres sur un contrat à taux minimum garanti, et que le coût engendré par ce taux minimum garanti se révèle être supérieur à l'espérance de marge associée à l'épargne supplémentaire, alors le chiffre d'affaires futur que représentent les versements libres doit être pris en compte dans le calcul des passifs d'assurance. C'est ce dernier point qui s'ait agit d'étudier au travers de ce mémoire. L'étude ainsi réalisée a pu mettre en évidence l'impact bilatéral des versements libres sur les contrats à taux minimum garanti. D'une part, ils permettent à l'assureur d'augmenter son chiffre d'affaires, et par la même occasion son espérance de marges financières futures. D'autre part, ils induisent un coût de taux minimum garanti, car ils viennent diminuer la revalorisation future de tous les autres contrats en portefeuille. Les résultats de l'étude ont montré que le coût de l'option de versement libre est finalement positif, ce qui prouve bien que l'effet de volume de marges financières est supérieur à l'effet de coût du taux minimum garanti. Les engagements de l'assureur ne sont donc pas supérieurs aux primes versées au titre de versements libres. Il convient donc de ne pas prendre en compte le chiffre d'affaires futur dans la mesure des passifs d'assurance selon les normes IFRS. Ce qui revient à ne pas prendre en compte l'option de versement libre contenue dans les passifs en stock. Cependant, afin d'affiner la pertinence des résultats, il conviendrait de développer la fonction de déformation utilisée pour modéliser les versements libres, notamment en y intégrant des paramètres relatifs au profil des assurés afin de modéliser de façon plus réaliste leur comportement. Parallèlement, il serait opportun de développer le paramétrage de la fonction de déformation. En effet, il serait intéressant d'étudier les paramètres plausibles permettant d'obtenir des coûts d'options et garanties négatif, afin de s'assurer que cette hypothèse est improbable. page 74 BIBLIOGRAPHIE • Solvency II – the risk margin calculation – Publication Watson Wayatt – Janvier 2007 • Le code des assurances - L’ARGUS ÉDITIONS (Mis à jour le 1er janvier 2006) • L’Argus de l’Assurance- Origines, Principes et enjeux des normes IAS / IFRS - mars 2005 • Le manuel de l'assurance vie – Jean-Antoine Chabannes et Nathalie Eymard-Gauclin 3ème édition – Editions l'Argus de l'Assurance • Discussion Paper : Preliminary views on insurrance contracts – International Accounting Standards Board – May 2007 • Bulletin francais d'actuariat Volume 4 n°13 – janvier juin 2007 – Approche financière de l'option de rachat - L'Institut des actuaires • S’initier aux IFRS - Alain Frydlender et Julien Pagezy - Édition Francis LEFEBVRE- juillet 2004 page 75 ABRÉVIATIONS UTILISÉES VL: Versements Libres EV: Embedded Value EEV: European Embedded Value MCEV: Market Consistent Embedded Value PVFP: Present Value of Futur Profits UC: Unité de Compte IAS: International Accounting Standards IASB: International Accounting Standards Board O&G: Options et garanties PB: Participation aux bénéfices page 76 ANNEXES Code SAS utilisé pour l'extraction des données sous GCP pour l'établissement des triangles de versement libre /*proc import DATAFILE="S:\VIE_INDIVIDUELLE\DTPV\DTVTravaux_Prospectifs\temp_SD\Donnees_completes.txt" OUT=donnees; run;*/ Data donnees; infile "S:\VIE_INDIVIDUELLE\DTPV\DTVTravaux_Prospectifs\temp_SD\Donnees_completes.txt" DLM='09'x missover firstobs=2; format V1 $5. V2 $3. V3 $7. V4 $17. V5 $6. V6 $4. V7 $23. V8 DDMMYY10. V9 DDMMYY10. V10 BEST12.; informat V1 $5. V2 $3. V3 $7. V4 $17. V5 $6. V6 $4. V7 $23. V8 DDMMYY10. V9 DDMMYY10. V10 BEST12.; input V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10; run; /* Renommer les variables */ DATA donnees_1; set donnees; RENAME V1=Code_nature V2=Libelle_famille V3=Famille_gestion_produit V4=Reseau V5=Libelle_periodicite_paiement V6=Type_evenement V7=Libelle_type_evenement V8=Date_effet V9=Date_effet_evenement V10=Cumul_montant; run; /* Renommer les types d'évènements */ DATA donnees_2; set donnees_1; if Type_evenement='SOUS' then Type_evenement='PU'; else Type_evenement='VL'; run; /* CREATION DE LA TABLE DE CORRESPONDACE */ PROC IMPORT OUT= WORK.corresp DATAFILE= "S:\VIE_INDIVIDUELLE\DTPV\DTVTravaux_Prospectifs\Embedded\EV07\Documentation\Grille\Grille_EV07_20070510.xls" DBMS=EXCEL2000 REPLACE; GETNAMES=YES; range="CN_prod$A1:D1016"; run; /* Uniformisation du nom des variables */ DATA corresp_1; set corresp; RENAME CDNAT=Code_nature CodeEv=Code_ev CDFAM=Code_famille; page 77 run; /* Selection des codes natures Epargnes et Multi Supports */ proc sql; create table corresp_2 as select Code_nature, Code_ev, Code_famille from corresp_1 where Code_famille in('EP','MS'); quit; proc sort data = corresp_2; by Code_nature ; run; proc sort data = donnees_2; by Code_nature ; run; /* Insertion du code_ev et du code_famille dans les données */ data donnees_3; merge donnees_2 (in=a) corresp_2 (in=b); by Code_nature; if a; run; /* non mod*/ data donnees_3; set donnees_3; where code_ev<>" "; run; /*Traitement de la table */ proc sql; create table donnees_4 as select Code_nature, Code_ev, Reseau, year(Date_effet) as an_effet, year(Date_effet_evenement) as an_effet_evt, Cumul_montant, Type_evenement from donnees_3 quit; /*Suppression de certains produits*/ proc sql; create table donnees_5 as select Code_nature, Code_ev, Reseau, an_effet, an_effet_evt, Cumul_montant, Type_evenement from donnees_4 where Code_nature not in (/* EPARGNE */ '24A','241','24B','239','240','238','236','235','234','222','008','005', '003','223','009','006','221','007','004','230','231','232','233','237','001','002','854' ,'1','2','3','4','5','6','7','8','9',/* Amplor */ 'B19','B27','B26','B2U','B2O','B05','B4Z','B02','B0K','B3B','B4X','B3D','B2N','B00',' B01', /* Orius capi */ 'B0V','B0U','B0S','B0Q','B0T','B0R','B0P','B0O','B0N','B0M', /* Uni8 */ 'UAC','UAD','UAE','UAG','UAH','UAI','UAJ','UAK', /* Sersec */ '169','850', 'B2I' /* Capipfa_echu */ page 78 /* MULTI SUPPORT */ 'D9A','D9B' /* ER2P */ '800','810','770','790', 'A5W','A2Q','A5F'/* Non modélisés */ ); quit; /* Vérif données manquantes */ proc freq data=donnees_1; tables Type_evenement; run; proc freq data=donnees_5; tables an_effet; run; proc freq data=donnees_1; tables Libelle_periodicite_paiement; run; proc freq data=donnees; tables V6; run; /* CALCUL PAR FAMILLE DE PRODUITS DES NOEUDS DU TRIANGLE */ proc sort data = donnees_5; by Code_ev Reseau an_effet Type_evenement an_effet_evt ; run; proc summary data = donnees_5 sum; var Cumul_montant; by Code_ev Reseau an_effet Type_evenement an_effet_evt; output out= Somme_famille sum= Cumul_montant; run; /* Exportation vers Excel */ PROC EXPORT DATA= Work.Somme_famille OUTFILE= "S:\VIE_INDIVIDUELLE\DTPV\DTV-Travaux_Prospectifs\t emp_SD\Triangle.xls" DBMS=EXCEL2000 REPLACE; RUN; run; page 79 Fonction d'activation des versements libres (new business) if (xint(top->proj_year(t)) <= 1 || t > maturity_period_w) return 0.0; if (dyn_nb_w == "N" || use_dyn_nb_rate_w == "N") return 0.0; double bm_nb_rate = bk_ret_rate(t); double cred_rate = cred_rate_fd(t); double nb_dev = 0.0; nb_dev = deviation(bm_nb_rate, cred_rate, "NB", nb_incr_begin_w, nb_incr_end_w, nb_incr_max_w, nb_decr_begin_w, nb_decr_end_w, nb_decr_max_w); return liab_data_info[t][NB_DYN_VOLUME][FINAL] * product_sold(t, bm_nb_rate) * (1 + nb_dev); page 80 Fonction de déviation double deviation (double bm_rate, double actual_rate, xstring dyn_type, double increase_begin, double increase_end, double max_increase, double decrease_begin, double decrease_end, double max_decrease) { double rate_diff = 0.; if (dyn_type == "ANN" || dyn_type == "NB") rate_diff = actual_rate - bm_rate; else rate_diff = bm_rate - actual_rate; if ((decrease_begin <= rate_diff) && (rate_diff <= increase_begin)) return 0.0; if ((increase_begin < rate_diff) && (rate_diff < increase_end)) return max_increase * (rate_diff - increase_begin) / (increase_end - increase_begin); if (rate_diff >= increase_end) return max_increase; if ((decrease_begin > rate_diff) && (rate_diff > decrease_end)) return - max_decrease * (rate_diff - decrease_begin) / (decrease_end decrease_begin); if (rate_diff <= decrease_end) return - max_decrease; return 0.0; } page 81
