SÉRIES ENTIÈRES I. NOTION DE SÉRIE ENTIÈRE

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SÉRIES ENTIÈRES
Chapitre 10
I. NOTION DE SÉRIE ENTIÈRE
1. Cadre
On considère (a n ) une suite de réels ou
X de complexes.
X
On s’intéresse à la série (numérique) a n z n pour z ∈ C ou z ∈ R. On parle de série entière a n z n :
Ù cette série converge pour certains z dans un domaine D,
Ù on définit alors la fonction S : z 7→
+∞
X
a n z n sur D, appelée fonction somme de la série.
n=0
2. Rayon de convergence
Proposition 1 Lemme d’Abel
Soit z 0 ∈ C∗ tel que la suite (a n z 0n )n∈N estXbornée.
Pour tout z ∈ C tel que |z| < |z 0 |, la série a n z n converge absolument.
démo : La suite (a n z 0n )n∈N est supposée bornée : il existe M ∈ R tel que ∀n ∈ N, |a n z 0n | É M .
¯ ¯n
¯ ¯n
¯ z ¯
¯ z ¯
n
n
¯
¯
Soit z ∈ C tel que |z| < |z 0 | (on suppose que z 0 6= 0). On a pour tout n ∈ N, |a n z | É |a n z 0 | ¯ ¯ É M ¯¯ ¯¯ .
z
z0
0
¯ ¯
X
¯ z ¯
n
¯
¯
Or x = ¯ ¯ ∈ [0, 1[ donc la série M x converge (série géométrique).
z0
X
Par théorème de comparaison des séries à termes réels positifs, on conclut que a n z n converge absolument, donc converge.
Proposition 2
X
n
Soit
z 0 ∈ C∗ .
X a nnz une série entière.
X Soit
n
Si a n z 0 converge, alors a n z converge absolument pour tout z ∈ C tel que |z| < |z 0 |.
démo : Le fait que
X
a n z 0n converge implique que la suite (a n z 0n ) converge vers 0 donc est bornée.
a z n une série entière. Il existe un unique réel R tel que,
X n n
• Si |z| < R alors
a n z converge (absolument),
nÊ0
X
• Si |z| > R alors
a n z n diverge (grossièrement).
Définition 1 : Soit
X
nÊ0
On appelle R le rayon de convergence de la série entière.
démo : â Existence : on pose E = {ρ ∈ R+ / (a n ρ n ) est bornée}.
X
Si cet ensemble n’est pas majoré, on pose R = +∞ et on prouve que la série a n z n converge pour tout z ∈ C.
Si cet ensemble est majoré, c’est une partie non vide majorée de R donc elle admet une borne supérieure R.
On prouve alors le résultat énoncé.
â Unicité : Si R 1 et R 2 vérifient les conditions énoncées avec R 1 6= R 2 , on prend ρ ∈]R 1 , R 2 [ pour trouver une contradiction.
Remarque
a. On a défini R par R = sup{ρ ∈ R+ / (a n ρ n ) est bornée} (borne
supérieure dans R).
R
0
b. À l’intérieur du disque de convergence, la série converge
absolument. À l’extérieur la série diverge grossièrement.
Pour |z| = R, on ne peut rien dire de général, cela dépend de la
série étudiée.
Exemple 1
a. La série
X
z n a pour rayon de convergence 1. C’est aussi le cas de la série entière
nÊ0
X
z 2n
nÊ0
X zn
a pour rayon de convergence 1 : utiliser le critère de D’Alembert pour le montrer.
nÊ0 n + 1
X zn
c. La série
a pour rayon de convergence 2.
n
nÊ0 2
X zn
d. La série
a pour rayon de convergence +∞.
nÊ0 n!
b. La série
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X
n
Remarque 1 : Pour chercher le rayon de convergence d’une
X sérien a n z :
Ù On peut remarquer que c’est le même rayon pour |an |z .
z0
Ù Si ∃z 0 ∈ C tel que
∗
X
a n z 0n
O
CV alors R Ê |z 0 |.
z0
Ù Si ∃z 0 ∈ C∗ tel que
X
O
a n z 0n DV alors R É |z 0 |.
Comparaison des rayons de deux séries
Proposition 3
X
X
Soit a n z n et b n z n deux séries entières. Soit R a et R b leurs rayons respectifs.
• Si ∀n ∈ N, |a n | É |b n | alors R b É R a .
• Si |a n | ∼ |b n | alors R a = R b .
démo
3. Opération sur les séries entières
Proposition 4 Produit par un scalaire
X
Soit a n z n une série
Soit λ ∈ C ou R.
X entière.X
Les séries entières a n z n et λa n z n ont le même rayon de convergence, et dans le disque de conver+∞
+∞
X
X
gence, on a
λa n z n = λ
an z n .
n=0
n=0
Proposition 5 Somme
X
X
Soit a n z n et b n z n deux séries entières.X
Soit R a et R b leurs rayons respectifs.
On note enfin R le rayon de la série entière (a n + b n )z n .
Alors on a R Ê min(R a , R b ) et si R a 6= R b alors R = min(R a , R b ).
+∞
+∞
+∞
X
X
X
Et pour tout z ∈ C tel que |z| < mi n(R a , R b ), on a
(a n + b n )z n =
an z n +
bn z n .
n=0
n=0
n=0
Proposition 6 Produit de Cauchy
X
X
Soit a n z n et b n z n deux séries entières. Soit R a et R b leurs rayons respectifs.
n
X
On pose pour tout n ∈ N, c n =
a k b n−k .
k=0
X
Le rayon R de la série entière c n z n vérifie R Ê min(R a , R b ).
+∞
+∞
+∞
X
X
X
Pour tout z ∈ C tel que |z| < mi n(R a , R b ), on a
cn z n = (
a n z n )(
b n z n ).
n=0
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2
n=0
n=0
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Proposition 7
X
Soit a n z n une série entière de rayon R.
X
X
• Les séries a n z n+1 et
a n z n−1 ont pour rayon R.
nÊ1
• Les séries
X
na n z n et
X an n
z ont pour rayon R.
n +1
démo â Fixons z ∈ C et considérons v n = |a n z n+1 |. On a v n = |z||a n z n |.
| {z }
un
X
X
On peut donc affirmer, grâce aux résultats sur les séries que v n converge si et seulement si u n converge.
Cela permet de conclure que les séries entières ont le même rayon de convergence car les séries numériques à z fixé convergent ou divergent pour les mêmes z.
1
Le raisonnement est le même avec w n = a n z n−1 en remarquant que pour tout z ∈ C∗ , w n =
un .
|z|
X
n
â Notons R 0 le rayon de la série entière nan z .
On remarque d’abord que ∀n ∈ N, |a n | É |na n |, donc R 0 É R.
Il reste à prouver que R É R 0 . Pour cela prenons ρ ∈ R∗
+ et z ∈ C tel que |z| < ρ < R (cela n’est possible que pour R 6= 0 mais
dans ce cas, on a fini !).
µ ¶n
|z|
an ρ n .
On écrit, pour tout n ∈ N, |na n z n | = n
µ µ ¶nρ¶
|z|
|z|
Puisque 0 É
est bornée, par un réel M positif. C’est un résultat de croissance comparée :
< 1, on sait que n
ρ
ρ
n∈N
n
lim
= 0 si a > 1 donc lim nb n = 0 pour 0 < b < 1.
n→+∞ a n
n→+∞
X
X
Donc ∀n ∈ N, |na n z n | É M a n ρ n . Or
a n ρ n converge car ρ < R. Donc na n z n converge absolument.
P
Ainsi, ∀z ∈ C, |z| < R =⇒ na n z n converge absolument. Cela prouve que R É R 0 .
II. SOMME D’UNE SÉRIE ENTIÈRE D’UNE VARIABLE RÉELLE
1. Cadre réel
On considère (a n ) une suite de réels
X ou de complexes.
On s’intéresse à la série entière a n x n pour x ∈ R.
On note R le rayon de convergence de la série entière. ] − R, R[ est l’intervalle de convergence.
On appelle (fonction) somme de la série entière l’application définie, sur ] − R, R[, par S : x 7→
+∞
X
a n x n . C’est
n=0
une fonction à valeurs dans R ou C (suivant que la suite (a n ) est dans RN ou CN ).
Exemple 2
x n a pour rayon de convergence 1. La fonction somme associée est
1
→ R
. On peut montrer que ∀x ∈] − 1, 1[, S(x) =
.
1−x
+∞
X n
7→
x
a. La série entière
S : ] − 1, 1[
x
X
n=0
b. Soit θ ∈ R fixé. La série entière
S : ] − 1, 1[
x
→
7→
C
+∞
X
e i nθ x n
e i nθ x n a pour rayon de convergence 1. La fonction somme associée est
1
.
. On peut montrer que ∀x ∈] − 1, 1[, S(x) =
1 − eiθ x
X
X n=0 2n
(−1)x a pour rayon de convergence 1. La fonction somme associée est
1
S : ] − 1, 1[ → R
. On peut montrer que ∀x ∈] − 1, 1[, S(x) =
.
1 + x2
+∞
X
x
7→
(−1)n x 2n
n=0
X
d. La série entière nx n a pour rayon de convergence 1. La fonction somme associée est
S : ] − 1, 1[ → R
. Peut-on donner une expression simple de S(x) pour x ∈] − 1, 1[ ?
+∞
X
nx n
x
7→
c. La série entière
n=0
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2. Continuité
X
Soit une série entière a n x n de rayon de convergence R.
Proposition 8
(Admis)
La fonction somme S : x 7→
+∞
X
a n x n est continue sur ] − R, R[.
n=0
Remarque 2 :
Le résultatX
suivant et horsXprogramme mais il répond à une question naturelle : que dire en R et −R ?
Si la série a n R n (resp.
a n (−R)n ) est convergente, alors la fonction somme est prolongeable par continuité
en R (resp. en −R).
3. Dérivation
Proposition 9 (Admis)
X
Soit une X
série entière a n x n de rayon de convergence R.
na n x n−1 admet pour rayon R.
La série
nÊ1
La fonction somme S est dérivable sur ] − R, R[ et ∀x ∈] − R, R[, S 0 (x) =
+∞
X
na n x n−1 .
n=1
On déduit de ce premier théorème :
Proposition 10
X
Soit une série entière a n x n de rayon de convergence R.
Sa fonction somme S est de classe C ∞ sur ] − R, R[ et
∀k ∈ N, a k =
S (k) (0)
.
k!
démo : on démontre par récurrence sur k que f est de classe C k pour tout k ∈ N,
+∞
X
et que ∀x ∈] − R, R[, S (k) (x) =
n(n − 1) . . . (n − k + 1)a n x n−k .
n=k
Exemple 3
S : x 7→
+∞
X
x n est définie sur ] − 1, 1[.
n=0
â S est dérivable sur cet intervalle et ∀x ∈] − 1, 1[, S 0 (x) =
+∞
X
nx n−1 .
n=1
On sait de plus que sur ] − 1, 1[, S coincide avec la fonction x 7→
égales sur ] − 1, 1[, donc ∀x ∈] − 1, 1[,
+∞
X
n=1
nx n−1 =
1
.
(1 − x)2
1
. Les dérivées de ces deux fonctions sont
1−x
â S est de classe C ∞ . Dérivez encore une fois pour obtenir une expression simple de
+∞
X
n(n − 1)x n , valable
n=0
pour tout x ∈] − 1, 1[.
X
â Utiliser ce qui précède pour donner une expression simple de la somme de la série entière
n(n + 2)x n
nÊ0
(en précisant son rayon de convergence et donc sur quel intervalle la somme est définie).
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4. Intégration
Proposition 11 (Admis)
X
Soit une série entière a n x n de rayon de convergence R.
X a n n+1
x
admet pour rayon R.
La série entière
n +1
+∞
X a n n+1
La fonction F : x 7→
x
est la primitive de S sur ] − R, R[ qui s’annule en 0.
n=0 n + 1
Exemple 4
X
• Le rayon de convergence de la série x n est 1.
+∞
X n
La fonction S : x 7→
x est continue sur ] − 1, 1[.
n=0
On peut donc affirmer que
X x n+1
n +1
tive sur ] − 1, 1[ la fonction F : x 7→
admet un rayon de convergence égal à 1 et que S admet pour primi-
x n+1
.
n=0 n + 1
+∞
X
1
sur ] − 1, 1[ et
1−x
x 7→ − ln(1 − x) en est une primitive s’annulant en 0. Par unicité de la primitive s’annulant en 0 pour cette
+∞
X x n+1
= − ln(1 − x) .
fonction, on conclut que ∀x ∈] − 1, 1[,
n=0 n + 1
F est l’unique primitive de S s’annulant en 0. Or S coincide avec la fonction x 7→
• Par un raisonnement similaire, montrer que
X (−1)n
n +1
x n+1 admet un rayon de convergence égal à 1 et que
(−1)n n+1
x
= ln(1 + x).
n=0 n + 1
X (−1)n 2n+1
• Montrer que la série entière
x
admet un rayon de convergence égal à 1 et que ∀x ∈] −
2n + 1
n
+∞
X (−1) 2n+1
1, 1[,
x
= arctan(x).
n=0 2n + 1
∀x ∈] − 1, 1[,
+∞
X
III. FONCTIONS DÉVELOPPABLES EN SÉRIES ENTIÈRES AUTOUR DE 0
1. Définition
Définition 2 : Soit f : I → K où I est un intervalle ouvert de R contenant 0.
X
On dit que f est développable en série entière autour de 0 s’il existe une série entière a n x n de rayon de conver+∞
X
gence R 6= 0 et un réel r ∈]0, R[ tels que ∀x ∈] − r, r [, f (x) =
an x n .
n=0
Aurement dit, f est DSE(0) s’il existe un voisinage de 0 sur lequel f coincide avec une somme de série entière.
Exemple :
+∞
X n
1
est DSE autour de 0 car ∀x ∈] − 1, 1[, f (x) =
x .
1−x
n=0
+∞
X (−1)n n+1
• f : x 7→ ln(1 + x) est DSE autour de 0 car ∀x ∈] − 1, 1[, f (x) =
x
.
n=0 n + 1
+∞
X
1
1
• f : x 7→
est DSE autour de 0 car ∀x ∈] − 1, 1[,
=
(−1)n x 2n .
2
2
1+x
1+x
n=0
+∞
X (−1)n 2n+1
• f : x 7→ arctan x est DSE autour de 0 car ∀x ∈] − 1, 1[, arctan x =
x
.
n=0 2n + 1
• f : x 7→
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Proposition 12
Soit f une fonction DSE autour de 0, et
• f est de classe C
∞
X
a n x n la série dont f est la somme sur ] − r, r [.
sur ] − r, r [.
• Les coefficients a n sont uniquement déterminés par ∀n ∈ N, a n =
f (n) (0)
.
n!
On dit que le développement en série entière de f est unique.
démo : Il existe un voisinage ] − r, r [ de 0 tel que ∀x ∈] − r, r [, f (x) =
+∞
X
a n x n . On note R le rayon de convergence de la
n=0
série entière.
Or on sait que la fonction S : x 7→
+∞
X
a n x n est de classe C ∞ sur ] − R, R[, donc sur ] − r, r [.
n=0
De plus, ∀n ∈ N, S (n) (0) = n!a n . Le résultat annocé s’ensuit car S = f sur ] − r, r [.
2. Opérations
Proposition 13
Soient f , g deux fonctions DSE(0). Soit λ ∈ K.
Les fonctions λ f , f + g et f g sont DSE(0).
démo
3. Fonctions usuelles
a. Fonctions du type x 7→
1
et leurs primitives
1−x
+∞
X n
1
1
est DSE(0) et ∀x ∈] − 1, 1[,
=
x .
1−x
1 − x n=0
+∞
X 2n
1
1
• x 7→
est
DSE(0)
et
∀x
∈]
−
1,
1[,
=
x .
2
2
1−x
1−x
n=0
+∞
X
1
1
est DSE(0) et ∀x ∈] − 1, 1[,
=
(−1)n x 2n .
• x 7→
2
2
1+x
1+x
n=0
Par intégration, on obtient
+∞
X x n+1
• x 7→ ln(1 − x) est DSE(0) et ∀x ∈] − 1, 1[, ln(1 − x) = −
.
n=0 n + 1
+∞
X
x n+1
• x 7→ ln(1 + x) est DSE(0) et ∀x ∈] − 1, 1[, ln(1 + x) =
(−1)n
.
n +1
n=0
+∞
X
x 2n+1
• x 7→ arctan x est DSE(0) et ∀x ∈] − 1, 1[, arctan(x) =
(−1)n
.
2n + 1
n=0
• x 7→
b. Fonctions du type x 7→ e x
xn
.
n=0 n!
+∞
X x 2n
• x 7→ chx est DSE(0) et ∀x ∈ R, chx =
.
n=0 (2n)!
+∞
X x 2n+1
• x 7→ shx est DSE(0) et ∀x ∈ R, shx =
.
n=0 (2n + 1)!
• x 7→ e x est DSE(0) et ∀x ∈ R, e x =
+∞
X
c. Fonctions trigonométriques
• x 7→ cos x est DSE(0) et ∀x ∈ R, cos x =
• x 7→ sin x est DSE(0) et ∀x ∈ R, sin x =
+∞
X
n=0
+∞
X
(−1)n
n=0
Magali Hillairet
(−1)n
6
x 2n
.
(2n)!
x 2n+1
.
(2n + 1)!
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Chapitre 10
d. Fonctions du type x 7→ (1 + x)α où α ∈ R
α(α − 1) . . . (α − n + 1) n
x .
n!
n=0
+∞
X
p
p
3 × 5 × · · · × (2n − 3) n
(−1)n−1
x .
• x 7→ 1 + x est DSE(0) et ∀x ∈] − 1, 1[, 1 + x =
2n n!
n=0
+∞
X
3 × 5 × · · · × (2n − 1) n
1
1
(−1)n
• x 7→ p
est DSE(0) et ∀x ∈] − 1, 1[, p
=
x .
2n n!
1+x
1 + x n=0
• x 7→ (1 + x)α est DSE(0) et ∀x ∈] − 1, 1[, (1 + x)α =
+∞
X
Remarque 3 : Le développement de la fonction exponentielle (et des fonctions cosinus et sinus) se démontre au
moyen de la formule de Taylor avec reste intégrale. Le développement de x 7→ (1 + x)α se démontre grâce à la
méthode de l’équation différentielle.
IV. EXPONENTIELLE COMPLEXE
Proposition 14
La série entière complexe
X zn
est de rayon infini.
nÊ0 n!
Définition 3 : Sa somme est appelée fonction exponentielle complexe, et notée exp.
∀z ∈ C, e z =
zn
.
n=0 n!
+∞
X
Proposition 15
0
Pour tout (z, z 0 ) ∈ C2 , e z × e z = e z+z
0
démo : Avec un produit de Cauchy et la formule du binôme de Newton.
Proposition 16
La fonction exp vérifie
• t 7→ e i t est surjective de R sur le cercle unité et ∀t ∈ R, e i t = cos t + i sin t ,
• pour z = x + i y avec (x, y) ∈ R2 , e z = e x × e i y ,
1
• ∀z ∈ C, e z 6= 0 et z = e −z ,
e
• Pour tout z ∈ C, e z = e z et |e z | = e Re(z) et arg(e z ) = Im(z),
• La fonction exp est 2i π−périodique et ∀z ∈ C, e z = 1 ⇐⇒ z ∈ 2i πZ.
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