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Ministère de l’Enseignement Supérieur, de la Recherche Scientifique et de la Technologie
Université Virtuelle de Tunis
Physique - électricité : TC1
Les condensateurs
Concepteur du cours:
Jilani Lamloumi et Monjia Ben Braiek
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Physique électricité : TC1
Université Virtuelle de Tunis
Les condensateurs
I. DEFINITIONS
I.1. Définition d’un condensateur
On appelle condensateur, un
système de deux conducteurs en
influence totale : l’un des
conducteurs est creux et entoure
Q 2e
Q2i
complètement l’autre. Ces deux
conducteurs sont appelés armatures
du condensateur (Fig.1). L’espace
séparant les deux armatures peut
être vide ou rempli d’un isolant
appelé diélectrique.
D’après les propriétés de l’influence
totale, les charges en regard sur les
deux armatures sont égales mais de
signes opposés(Qi = - Q1).
Q1
C1C1
Diéléctrique
C2
Armature
interne
Armature externe
Fig.1
I.2. Notion de capacité
Si on désigne par (V1-V2), la différence de potentiel entre les armatures du
condensateur et par Q la charge portée par l'une des armatures. La capacité d'un
condensateur est définie par :
C
2
Q
V1  V2
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Les condensateurs
Ce coefficient C, appelé capacité du condensateur, est un coefficient toujours positif
et s’exprime en Farad (F). Ce coefficient de capacité dépend de la géométrie du système et
du matériau qui remplit éventuellement l’espace entre les armatures.
Le signe des charges portées par les deux armatures dépend du signe de la différence
de potentiel qui leur est appliquée.
II. EXEMPLES DE CALCUL DE CAPACITES
Pour déterminer la capacité d’un condensateur, il faut calculer le rapport
Q
V1  V2
On se donne en général Q et on calcule la d.d.p (V1-V2), pour cela on utilise souvent le

théorème de Gauss pour calculer E , on en déduit ensuite la d.d.p (V1-V2) par la circulation
du champ électrique le long d’une ligne de force qui va de l’armature (1) à l’armature (2)
puis on en déduit C.
On peut étudier aussi une capacité élémentaire dC et intégrer par la suite pour avoir
C.
A titre d’exemple, on va calculer les capacités des condensateurs plan, cylindrique et
sphérique.
I.1. Capacité d'un condensateur plan
Considérons deux portions de plans parallèles
distants de e et de surface S, en regard l’une de l’autre.
Ce système constitue un condensateur plan ( Fig.2 )
E
e
Fig.2
Si nous négligeons les effets de bord, nous pouvons supposer que la charge Q est
Q
uniformément répartie sur chaque armature avec la densité superficielle   .
S
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Le champ électrostatique est alors uniforme entre les armatures et donné par le

 Q 
théorème de Coulomb :
E n
n
0
 0S

 

La relation locale E   grad V , nous permet d’écrire dV   E . d  E d .
La circulation du champ électrostatique est :
V1  V2 
Qe
 0S
D’où l’expression de la capacité :
C
 0S
e
Dans la pratique, on interpose souvent un diélectrique entre les armatures; dans le cas
fréquent d’un diélectrique linéaire homogène et isotrope, la capacité C du condensateur est
:
C
 S  r  0S

e
e
 = 0r : permittivité absolue du diélectrique, avec:
r : permittivité relative du diélectrique et 0 : permittivité du vide.
On représente les condensateurs par le symbole suivant ( Fig.3 ) :
C
Fig.3
Cas d'un Condensateur formé par deux plaques planes légèrement inclinées l’une
par rapport à l’autre.
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a

b
e(x)
e(0)
dx
dx
e(0)
e(x)
b
x
x
a
x
dx
Fig.4b
Fig.4a
Pour l’élément de condensateur situé à la distance x, on peut appliquer l'expression obtenue
S
pour un condensateur plan : C  0
e
L’expression de la capacité élémentaire est : dC 
Avec :
e( x )  e(0)  x tg ; tg 
Ce qui donne :
C
 dC 

a
0
e( x )  e(0)
x
 0 b dx
e 0  x tg
On pose u  e 0  x tg  du  tg dx
D'où :
C
Soit:
C
0 b
tg

e0 a tg
e0
 0 dx b
e(x)
du
u
( tg  Cte car   Cte ) .
;
avec : e 0  u  e 0  a tg
 a tg 
0b

Log1 
tg
e 0 

 0S
 a tg 
 b a
a
Si  Log1 
  tg et C  0
tg 
e0
e0  e0
tg e 0

On retrouve la formule du condensateur plan.
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II.2. Capacité d’un condensateur sphérique
On considère un condensateur formé par
deux sphères concentriques minces de rayons
R1 et R2 avec R1 < R2 .
R1
O
R2
Soit Q1 la charge de l’armature interne
Q1
( Fig.5 ).
r
-Q1
L’expression du champ électrostatique
qui est radial à une distance r (R1 < r < R2 ) du
centre est déterminée à partir du théorème de
Gauss.


 E . dS 

ce qui donne :
E
Q
Fig.5
i
0
Q1 
ur
4 0 r ²

Calculons ( V1 - V2 ) en faisant circuler E le long d’un rayon, d’une armature à l’autre:
( V1 - V2 ) > 0.
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V1  V2   RR21 Edr 
Soit Q1  4 0
Q1 R 2 dr
Q
 1
R1
4 0
r ² 4 0
 1
1 



 R1 R 2 
R 1R 2
V1  V2 
R 2  R1
D’où l'expression de la capacité :
C  4 0
R 1R 2
R 2  R1
Remarque Si R2 = R1 + e (e <<R1, R2)
C  4 0
On obtient :
R 1 R 1  e
e
C
avec eR 1  0 et 4R 12  S
 0S
e
II. 3. Capacité d’un condensateur cylindrique


dS
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S
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
r
dS
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On considère deux cylindres « infinis »
coaxiaux, de rayon R1 et R2 avec R1 < R2 , on
veut calculer la capacité d’une tranche de
longueur h de ce système; on désigne par Q1
la charge portée par l’armature interne sur la
longueur h.

Le calcul de E (qui est radial) à une
distance r (R1 < r < R2) de l’axe, se fait par
application immédiate du théorème de Gauss
à un cylindre de rayon r fermé à ses deux
extrémités ( Fig.6 ). (   SL  Sb1  Sb 2 )








 E . dS  Sb1 E . dS  Sb2 E . dS  SL E . dS


 


 0 car E  dS


 E . dS  ESL 

Ce qui donne :
E


E // dS
Q1
avec SL  2rh
0
Q1 
ur
2 0 r h


La relation E   grad V(M) permet de déterminer ( V1 - V2 ) avec ( V1 - V2 ) > 0.
V1  V2  RR12
C
Remarque
8
Q1 dr
Q1
R

Log 2
2 0 h r
2 0 h
R1
Q1
 2 0 h
V1  V2
1
R
Log 2
R1
Si R2 = R1 + e.
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1
1
 2 0 h
R e

e 
Log 1

Log1 
R1
R 1 


e
e 
e
 
comme
 0 et Log1 
R1
R1  R1

C  2 0 h
C
L'expression de C devient :
 0S
e
III. GROUPEMENT DES CONDENSATEURS
III.1. Condensateurs en série
L’ensemble des condensateurs en série de la Fig.7a représente un ensemble de
conducteurs en influence totale, initialement neutres. On applique une différence de
potentiel VA-VB.
C1
A
+Q1
C2
F
- Q1 ++Q1
C3
D
- Q1
+Q1
B
- Q1
C
A
+Q1
B
- Q1
Fig.7b
Fig.7a
S’il apparaît la charge Q1 sur l’armature interne du condensateur C1, à cause de
l’influence totale il apparaît la charge - Q1 sur l’armature externe.
A cause de la conservation de la charge il apparaîtra une charge +Q1 sur l’armature interne
de C2 et donc - Q1 sur son armature externe, etc ... on écrira alors:
VA  VF 
Q1
Q
Q
; VF  VD  1 ; VD  VB  1
C1
C2
C3
Le condensateur équivalent au système ayant une capacité C ( Fig.7b ), maintenu
sous la d.d.p. VA-VB , a même charge Q1:
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Q1 Q1 Q1 Q1



C C1 C 2 C3
1
1
1
1
Soit



C C1 C 2 C3
VA  VB 
Pour n condensateurs en série :
n
1
1

C i1 Ci
III. 2. Condensateurs en parallèle
L’ensemble des trois condensateurs de capacité C1, C2 et C3 ( Fig.8a ) est alimenté
sous la même d.d.p. ( VA-VB ). La charge totale Q en A est la même qu’en B et se compose des
charges partielles Q1, Q2 et Q3.
A
Q1
C1- -Q1
Q2
C2- -Q2
B
C
A
Q
Q3
B
-Q
C3
- -Q3
Fig.8a
Fig.8b
En remplaçant ce système par un condensateur unique de capacité C ( Fig.8b ), de
charge Q et maintenu au potentiel VA-VB , on obtient:
VA  VB 
Q1 Q2 Q3


C1 C2 C3
La charge totale : Q  Q1  Q 2  Q 3  VA  VB C1  C 2  C 3   C VA  VB  .
Ce qui donne : C  C1  C 2  C 3
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Pour n condensateurs en parallèle :
n
C   Ci
i 1
Remarques
1. Influence du diélectrique : Permittivité relative r - Expérience de Faraday.
Faraday a chargé un condensateur plan à air sous une tension U et a mesuré la
charge qu’il a emmagasiné. Soit Q0 = C0 U cette charge. Il a remplacé ensuite l’air par un
diélectrique de permittivité diélectrique absolue . En chargeant le condensateur sous une
d.d.p. U, il a constaté que la nouvelle charge Q = C U est supérieure à Q 0 et que le rapport
Q
 1 est constant pour un diélectrique donné et indépendant de la d.d.p.
Q0
D’autre part pour un condensateur isolé et chargé, la d.d.p. diminue quand on insère un
diélectrique entre les armatures du condensateur.
Dans les deux cas la capacité a augmenté.
Par définition :  r 
C
Q

C0 Q 0
: Permittivité relative du diélectrique
2. Rigidité diélectrique
En augmentant la tension aux bornes d’un condensateur, sa charge augmente (Q = CU). Mais
il existe une limite Ud dite d.d.p. explosive (Tension de rupture) pour laquelle une étincelle
jaillit entre les armatures du condensateur. Il y a décharge du condensateur à travers le
diélectrique. Ud dépend de la nature et de l’épaisseur du diélectrique. On définit alors la
rigidité diélectrique Ed: c’est la différence de potentiel explosive pour une épaisseur de 1 cm,
donnée en kV/cm. Ed ne dépend que de la nature du diélectrique et constitue la limite
supérieure du champ électrostatique à partir de laquelle il y a claquage du condensateur.
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C’est une constante du diélectrique. Le tableau suivant donne quelques caractéristiques de
certains diélectriques
Diélectrique
Constante diélectrique relative
Rigidité diélectrique en kilovolts /
r
cm
1.000 6
30
2.5
150
Ebonite
3
500
Alumine
4.5 à 8.5
600
6à9
350
Quartz
3.5 à 4.1
125
Verre
5 à 12
160
2.103 à 104
40
2
800
Air
Papier sec
Mica
Céramique
(Titanate
de
baryum)
Téflon
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