Loi de Stefan

Université Joseph Fourier, Grenoble, MMXIV
C. E. S. I. R. E.
Plateforme TTE
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1. Principe
Le dispositif présenté dans ce livre rouge permet de vérier la loi de Stefan, qui exprime la densité
de ux électromagnétique rayonné à la surface d'un corps de température
ϕ = σT
où
σ = 5, 675.10−8 W.m−2 .K −4
T
:
4
est la constante de Stefan et
l'émissivité de sa surface, égale à
la valeur maximum 1 pour un corps noir (au sens thermodynamique du terme, c'est à dire un
corps qui absorbe la totalité du rayonnement incident).
Pour ceci, on dispose d'une sphère de cuivre thermostatée peinte en noir (voir couverture), que
l'on assimilera à un corps noir. Le ux émis sera mesuré à l'aide d'une thermopile, ou bolomètre.
Le schéma du dispositif expérimental est représenté sur la gure suivante :
2
2. Régulation en température de la sphère
Le dispositif de contrôle de température de la sphère comporte deux acheurs :
- en vert (écran PV) : température mesurée
- en rouge (écran SV) : indication de la température de consigne.
Modication de la température de consigne :
- Appuyer sur SET : 0 apparaît en surbrillance sur l'écran SV.
- Sélectionner le digit à modier avec la èche R/S ; le modier avec les èches
∧
ou
∨.
- Modier de la même façon les autres digits.
- Entériner la modication en appuyant sur SET.
Ne pas aller au-delà de 160°C, ce qui limite le rayonnement aux fréquences infrarouges, invisibles
à l'oeil humain.
Important : une fois les expériences réalisées, remettre la consigne sur 20°C.
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Figure 3.1. Principe de fonctionnement d'une thermopile
3. Thermopile
Une thermopile est un détecteur thermique constitué d'un disque noir faisant oce de corps
noir absorbant tout le rayonnement électromagnétique dans une fenêtre en longueur d'onde
allant de 0,2 à 50 µm. Le rayonnement absorbé échaue les soudures chaudes d'une succession de
thermocouples mesurés en série ; la référence de température est donnée par la monture extérieure,
qui est à la température d'ambiance
Text .
Lorsque l'équilibre est atteint, on mesure - par eet
Seebeck - une tension proportionnelle à la diérence de température entre le disque noir et
la monture extérieure. Le constructeur fournit un certicat d'étalonnage donnant le facteur de
proportionnalité entre le surplus d'irradiance (par rapport à l'irradiance à température ambiante)
et la diérence de potentiel mesurée (voir tableau 2).
Réponse en temps de la thermopile. Le principe de fonctionnement d'une thermopile peut
être succinctement décrit à partir du schéma de la gure 3.1 :
Le récepteur de la thermopile est constitué d'une masse métallique revêtue d'une ne couche
noire absorbant totalement le rayonnement électromagnétique (ux
Φray ).
On considérera qu'à
tout moment la température du récepteur est homogène.
∆T = T −Text est la diérence de températures qui s'établit entre le récepteur et le corps de la
Pe est la puissance de rayonnement électromagnétique absorbée par la thermopile,
si K est la conductance du pont thermique (qui permet de conduire la chaleur entre le récepteur et
le corps de la thermopile) et si C est la capacité calorique du récepteur, écrire le bilan énergétique
Si
thermopile, si
pour le système constitué par le récepteur (1er principe) . On supposera ici que les pertes par
rayonnement du récepteur sont négligeables devant les pertes par conduction. Par ailleurs, on
considérera que
K
est constante sur la gamme de température en question. Dans un premier
dt,
temps, on pourra écrire ce bilan sur un instant innitésimal
par
dt.
On considérera que durant
supposant que
Pe
dt,
la diérence de températures
∆T
évolue de
d (∆T ).
En
est constante, on peut alors montrer que :
∆T (t) =
avec
puis diviser l'équation obtenue
Pe 1 − e−Kt/C
K
∆T (t = 0) = 0.
Pour établir ce résultat, on peut également utiliser l'analogie entre un circuit électrique et un
circuit thermique : un ux d'énergie joue le même rôle qu'un courant électrique (gure 3.2). Le
tableau 1 rappelle les équivalences entre grandeurs électriques et grandeurs thermiques.
Que vaut
K/C
si
∆T
atteint 95% de son maximum en
4
18 s,
comme l'indique le constructeur ?
Figure 3.2. Circuit électrocinétique équivalent au chauage d'un corps
qu'il existe une résistance de fuite
C
lors-
1/K
électrocinétique
thermique
I (A) : intensité = débit d'électrons
Φ (W ) : ux = débit de chaleur (global)
→
−
→
−
2
j (A/m ) : vecteur densité de courant
j (W/m2 ) : vecteur densité de ux de chaleur (local)
R = ρL/S (résistance, en Ohm)
R = e/ (λS) (résistance thermique, en K/W )
λ = 1/ρ : conductivité électrique, en Ω.m
λ : conductivité thermique en K.W −1 .m
U : tension = densité d'électrons (V )
T : température (K )
→
−
→
−
− ∇T : gradient de température (K/m)
E : champ électrique (V /m)
−1
C : capacité électrique (Coulomb.V olt )
C : capacité thermique (J/K )
q : charge (C )
Q : chaleur (J )
P = U I : puissance électrique (W att)
Pas d'équivalent (*).
Table 1. Analogies électrocinétique - thermique. (*) : et ne pas confondre avec
la puissance calorique
Φ!
# thermopile
α
2
(µV /(W/m )
117
136
46,89
39,20
......
.....
.....
.....
.....
.....
Table 2. Facteurs de conversion en ux large pour diérentes thermopiles
4. Prise en main et premières manipulations :
Les tensions délivrées par la thermopile seront mesurées grâce à la fonction voltmètre du multimètre Agilent 34405A réglé sur le calibre DC 100 mV (attention à la polarité lors du branchement !).
Quelle est l'inuence de la fenêtre d'entrée en verre et quand doit-elle être enlevée ? Pour chacune
des manipulations qui suivent, attendre au préalable que la thermopile soit revenue à l'équilibre
en délivrant une tension nulle.
Mettre votre main sur la monture extérieure et mesurer la tension ; comment expliquez-vous ce
que vous observez ? Mesurer le rayonnement de votre peau avec et sans la fenêtre en verre. Que
constatez-vous ? Comment expliquez-vous ce que vous observez ? Faire quelques autres mesures
sur diérentes zones de la salle, le vitrage extérieur.
Pensez bien à remettre la fenêtre d'entrée en verre après toute manipulation.
Pour des mesures quantitatives de la densité de ux, vous avez besoin du facteur de conversion
α
: consultez la che des données techniques de la thermopile fournie par le constructeur ou
consultez le tableau 2.
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5. Vérification de la loi de Stefan
5.1. Dispositif. Réaliser le dispositif expérimental de la gure ??, en plaçant la sphère à une
trentaine de centimètres de la cellule, et en prenant bien garde que la sphère et la thermopile sont
à la même hauteur, et que la thermopile (sans fenêtre de protection) pointe bien en direction de
la sphère.
5.2. Mesures. Mesurer la température ambiante
Text , et la distance d entre la sphère et l'entrée
de la thermopile.
Faire varier la température
T
de la sphère (par exemple une quinzaine de points entre 20°C
et 160°C), pour chaque température relever les tensions
∆U
correspondantes aux bornes de la
thermopile.
5.3. Exploitation. Exprimer le rapport théorique
Φthermopile /Φsphere
surface de la sphère et sur le disque noir de la thermopile en fonction de
et de la distance
d0
des densités de ux à la
d, du rayon r de la sphère
r = 2, 5 cm et
entre l'entrée de la thermopile et le disque noir. On prendra
d0 = 4 cm.
A l'aide d'un tableur, tracer
modier facilement
Attention
Text .
4
T 4 − Text
en fonction de
∆U , en
σ.
ménageant une possibilité de
En déduire la constante de Stefan
: l'inertie thermique de la sphère fait que celle-ci n'est pas toujours à la même tem-
pérature que le reste de la pièce (et donc que la thermopile) en début d'expérience. Il peut alors
être nécessaire, pour l'exploitation, de jouer sur le choix de
manière à ce que
4
T 4 − Text
en fonction de
U
Text
dans une limite raisonnable, de
soit bien linéaire (i.e. l'extrapolation aux grandes
températures passe par l'origine).
5.4. Conclusion ? A-t-on bien observé la relation suivante :
6
2
r
4 − T4
×σ
T
?
U (T ) = α× r+d+d
ext
0