Identification par la Méthode du Modèle des paramètres d`une

SETIT 2005
3rd International Conference: Sciences of Electronic,
Technologies of Information and Telecommunications
March 27-31, 2005 – TUNISIA
Identification par la Méthode du Modèle des
paramètres d’une machine à courant continu
M. Zegrari, A. Badri et B. Oukarfi
LATSI, Faculté des Sciences et Techniques de Mohammedia – BP 146, Maroc
[email protected]
[email protected]
[email protected]
Résumé: Le but de cette étude est de déterminer le modèle d’une machine à courant continu en vue d’élaborer une
commande optimale et performante. Cette identification est basée sur la méthode du Modèle où l’on compare les
réponses du moteur (objet) et du modèle à la même excitation. L’étude de la distance objet-modèle (ou fonction erreur)
permet d’adapter les paramètres du modèle prédéterminé jusqu’à vérification du critère de validation du modèle. La
procédure de l’identification a été conçue afin de répondre aux aspects spécifiques de la machine à courant continu en
tenant compte des différents régimes dynamiques imposés par l’environnement, ainsi que des liens fonctionnels qui
caractérisent son fonctionnement.
Mots clés: Espace paramétrique, Identification, Iso-distance, Modèle, Programmation non-linéaire.
1 Introduction
Les techniques de l’identification des systèmes ont
fait l’objet de nombreuses études, les voies de recherche
et de perfectionnement sont multiples et émanent de la
diversité et la complexité des systèmes à identifier. Si
les méthodes classiques d'identification, basées sur la
théorie de l'estimation, sont directes et simples à mettre
en œuvre, leurs performances demeurent insuffisantes
pour des systèmes complexes et dont la structure
présente une dynamique très variable (Adersa, 1991).
L'emploi des méthodes non linéaires permet d'optimiser
la phase de l'identification d'un système tout en tenant
compte de la représentation globale de sa structure.
2 Techniques de Modélisation
La modélisation doit mettre en évidence deux
concepts fondamentaux :
- ETAT : qui fait intervenir l’ensemble des
variables. Celles-ci étant des mesures effectuées sur le
processus physique.
- STRUCTURE : lien fonctionnel entre les
variables, il est traduit par une représentation
mathématique globale.
La procédure de modélisation passe par les étapes
suivantes :
2.1 Caractérisation
Il s’agit d’établir une structure pour le modèle
mathématique ; cette étape peut être plus ou moins
complexe suivant que l’on cherche à s’orienter vers un
modèle de connaissance ou de représentation.
2.2 Identification
Elle traduit une identité de comportement entre le
processus et le modèle, cette opération est réalisée par
l’étude de la fonction erreur entre les réponses du
processus et du modèle à un même type d’excitation.
2.3 Validation du modèle
Quelle que soit la procédure d’identification, la
fonction erreur ne sera en général pas nulle à cause des
erreurs de caractérisation et des perturbations de
mesure. Le modèle est validé si l’essai s’avère
compatible avec la distance Objet-Modèle optimale
prédéfinie.
SETIT 2005
La minimisation du critère est obtenue par des
algorithmes itératifs de programmation non-linéaire. La
direction de recherche varie à chaque itération en
fonction du résultat de l'itération précédente.
3 Méthode du Modèle
3.1 Principe
La caractérisation du modèle fait apparaître une
structure dépendant d’un vecteur de paramètres θ. Il est
représenté dans un espace paramétrique Rk dont les
vecteurs de base sont significatifs de k paramètres.
Dans cet espace, le système est représenté par le
point objet O dont les paramètres forment le vecteur θ0 ;
le modèle est représenté par un point modèle M dont les
paramètres forment le vecteur θM (Richalet, Rault &
Pouliouen, 1997).
Si l’identification est parfaite, les points O et M se
trouvent confondus. En pratique, ce résultat étant
impossible, on analyse la distance objet-modèle D(O,M)
afin de définir une topologie pour l’étude du voisinage
du point objet O.
L’analyse de la distance objet-modèle fait intervenir
les éléments suivants :
- Distance de structure qui traduit l’écart entre les
paramètres (O,M)
- Distance d'état qui est une fonction de l’écart
entre les sorties (O,M).
- Iso-distance qui est une surface de l’espace
paramétrique Rk sur laquelle la distance d’état a une
valeur fixe D*.
La procédure de l’identification consistera donc à la
recherche du niveau minimum de D* au lieu de la
distance d elle-même.
Ces algorithmes ont la forme suivante :
θm+1 = θm + λm dm
θm : vecteur paramètres après m itérations.
dm : direction de recherche au cours de l’itération m+1.
λm : scalaire défini afin de minimiser D le long de dm :.
La minimisation de la distance D est régie par
l’équation suivante :
D(θm + λm dm ) ≤ D(θm + λ dm )
3.3.1 Méthode du gradient
Au voisinage de θm la distance D développée au
premier ordre s’écrit :
D(θ + ∂θ) = D(θ) + G (θ)T ∂θ
Le schéma synoptique de cette méthode est donné
sur la figure 1 :
Cet algorithme explore la direction de la plus grande
pente. L’illustration de cette procédure est représentée
dans un espace paramétrique bidimensionnel à titre
d’exemple sur la figure 2 :
θ2
-
u
+
Modèle
Identification
Ligne de la plus
grande pente
θm
d
θm+1
θ2op
θm+2
dm+1
Surfaces iso-D
θ1op
θ1
Figure 2. Convergence non-linéaire.
Le vecteur paramètres θ lors de l’itération (m+1) est
donné par l’équation suivante :
bruit
y
Entrée
(3)
G représente le vecteur gradient de D.
Point
optimal
La méthode du Modèle est basée sur la comparaison
des comportements du modèle et du système à identifier
suite à une même excitation. C'est une méthode très
puissante puisqu'elle s'applique à des systèmes non
linéaires par rapport aux paramètres recherchés
(Landaui, 1989).
(2)
3.3 Méthodes d’analyse
3.2 Elaboration de la méthode
Système
(1)
ε
θm+1 = θm - λm G (θm)
Critère
yM
Minimisation
du critère
Figure 1. Schéma synoptique de la méthode du Modèle.
(4)
L’identification consiste à analyser la distance objetmodèle D(O,M) et étudier le voisinage du point objet O
afin de déterminer la position du point minimum : c'est
une identification locale par analyse des iso-distances.
3.3.2 Méthode de Gauss-Newton
On développe à présent au 2ème ordre l’expression de
la distance D au voisinage de θ :
D(θ+∂θ) = D(θ)+G(θ)T∂θ+ (1/2) + ½ ∂θTA(θ)∂θ (5)
A(θ) : matrice hessien de θ
SETIT 2005
La variation de D est maximale lorsque la dérivée
de ∂D = D(θ+∂θ) – D(θ) par rapport à θ est nulle, soit :
∂θ = - A(θ)-1 G(θ)
(6)
4.2.1 Equation électrique
Le circuit équivalent de l'induit de la machine cc est
donné sur la figure 3 :
i(t)
+
La variation des paramètres suit la loi généralisée :
θm+1 = θm - λm A(θm)-1 G(θm)
R
(7)
L
u(t)
3.4 Choix de la méthode
Ce choix inclut les phases suivantes (Flaux, 1994) :
3.4.1 Phase d’initialisation
L’estimation de la valeur initiale des paramètres peut
être donnée par une connaissance à priori de la réalité
physique du système (Najim & Muratet, 1987). On peut
également utiliser une méthode directe d’estimation
telle que les moindres carrées.
3.4.2 Phase de minimisation
On cherche à minimiser l’iso-distance à partir du
point initial, pour cela on utilise la méthode du 1er ordre
caractérisée par sa rapidité et sa forte pente.
3.4.3 Recherche au voisinage du minimum
L’étape précédente permet d’aboutir à un point de
l’espace paramétrique où la distance est relativement
faible. Afin de favoriser la convergence de l’algorithme,
on effectue une recherche au voisinage du minimum par
le biais de la méthode de Gauss-Newton.
4 Procédure de l’identification
4.1 Mise en œuvre
La machine à courant continu est l’un des
convertisseurs électromécaniques les plus complexes.
En effet, elle est sujette aux phénomènes de
commutation provoqués par la rotation de l’arbre de la
machine, en plus du phénomène de la réaction
magnétique de l’induit (Seguier & Notelet, 1994). La
réversibilité de fonctionnement entraîne également des
états transitoires qui affectent son fonctionnement.
La machine cc est un convertisseur autorégulateur en
puissance. De ce fait, la variation de la tension
d’alimentation ainsi que les à-coups du couple de charge
mécanique entraînent une variation brusque du courant
dans l’induit et de la vitesse de rotation. On établit deux
modèles échantillonnés de la machine (Charbanou, 1998):
- Modèle électrique : pour le contrôle du courant
induit et du couple moteur dans la machine.
- Modèle mécanique : pour le contrôle de la vitesse
de rotation de la machine.
4.2 Mise en équation
Le comportement électrique et mécanique de la
machine cc est décrit par les équations suivantes :
e'(t)
M
–
Figure 3. Circuit équivalent de l'induit
R : résistance de l’enroulement induit.
L : inductance de fuite de l’induit.
e'(t) : force contre-électromotrice.
u(t) : tension aux bornes de l'induit .
i(t) : courant dans l’induit de la machine.
L’équation des tensions s’écrit :
u ( t ) = R i( t ) + L
di( t )
+ e' ( t )
dt
(8)
Pour un fonctionnement stable, la commande est
effectuée à couple moteur constant, donc à flux
constant. La f.c.é.m. développée par la machine s’écrit :
e'(t) = ke.φ.Ω(t) = k.Ω(t)
(9)
L’équation électrique globale peut alors se mettre
sous la forme suivante :
u ( t ) = R i( t ) + L
di( t )
+ k Ω( t )
dt
(10)
Soit en variable de Laplace :
U(p) = (R + Lp).I(p) + k.Ω(p)
(11)
4.2.2 Equation mécanique
L'équation de mouvement appliqué au système
d’ensemble "moteur + charge mécanique" définit les
limites de stabilité de l’entraînement :
C m (t ) − C r (t ) = J
dΩ ( t )
dt
Cm(t) : couple moteur appliqué par la machine.
Cr(t) : couple résistant appliqué par la charge.
J : moment d’inertie des parties tournantes.
Ω(t) : vitesse angulaire de rotation.
dΩ/dt : accélération angulaire.
(12)
SETIT 2005
Le point d’équilibre de l’entraînement correspond à :
Ω = Cte.
Cm(t) = Cr(t) ⇔
TE (p) =
Le couple moteur est généré par la puissance
électromagnétique transmise au rotor de la machine
(Braun, 1998). A
flux constant, ce couple est
directement proportionnel au courant induit I :
C m (t) =
Pm ( t ) e' ( t ).i( t )
=
= k.i( t )
Ω( t )
Ω( t )
(13)
Le couple résistant dépend de la charge mécanique
entraînée et de la nature du frottement :
Cr(t) = Cch(t) + Cf(t)
(14)
Le couple de frottement Cf(t) relatif aux essais
usuels varie linéairement avec la vitesse (Taghezout,
1998). Cette application correspond à un frottement de
type sec :
Cf(t) = C0 + f.Ω(t) ≈ f.Ω(t)
C ch ( t ) = k.I ch = k
E
k²
=
.Ω( t )
R ch R ch
(16)
L'équation mécanique globale peut alors se mettre
sous la forme :
dΩ( t )
k²
= k.i( t ) − f .Ω( t ) −
.Ω( t )
dt
R ch
k²
R ch
k ² + (Lp + R ).(Jp + f +
k²
)
R ch
(19)
Cette fonction peut être mise sous la forme :
TE (p) = A
(1 + τ m .p)
(1 + τ e .p) . (1 + τ em .p)
(20)
4.3.2 Modèle mécanique
Il est caractérisé par la fonction de transfert TM(p) où
l’on élabore la loi de variation de la vitesse Ω(p) en
fonction de la commande U(p) :
TM (p) =
(15)
Dans les essais, la charge mécanique est représentée
par une génératrice à courant continu, débitant un
courant Ich à travers une résistance de charge Rch. Le
couple résistant est proportionnel au courant Ich :
I( p )
=
U ( p)
J.p + f +
Ω( p )
U(p)
(21)
Cette fonction peut être mise sous la forme :
TM (p) =
Km
1 + (Tcm + µ.Tc ).p + Tc Tm .p ²
(22)
5 Expérimentation
L’alimentation du moteur est assurée par un pont
redresseur suivi d’un hacheur, le courant fourni est
facile à lisser et cette structure présente un facteur de
puissance acceptable.
(17)
Pour des applications ou la récupération d’énergie
est possible (levage, traction), on peut utiliser un
hacheur réversible en courant, la machine fonctionne
alors en moteur (quadrant 1) avec freinage par
récupération (quadrant 4).
(18)
Le dispositif expérimental est représenté sur la
figure 5. Il assure les fonctions liées à l’identification,
au transfert de données en plus des fonctions de contrôle
et de protection. Il comprend :
Les équations [11] et [18] permettent de décrire les
fonctions de transfert des modèles électrique et
mécanique :
- Un pont redresseur double triphasé à diodes PD3.
- Un hacheur série non réversible commandé.
- Un moteur cc lié mécaniquement à une génératrice
à courant continu associée au même arbre.
- Une bobine pour le lissage du courant dans
l’induit.
- Des capteurs pour la mesure du couple moteur et
de la vitesse de rotation sur l’arbre de la machine.
- Des modules de mesure des différentes grandeurs
électriques et mécaniques ;
- Un dispositif d'acquisition de données ;
- Un calculateur permettant le traitement et l'analyse
des différentes mesures.
J
Soit en variable de Laplace :
J p.Ω(p) = kI(p) − f .Ω(p) −
k²
Ω( p)
R ch
4.3 Identification de la machine
4.3.1. Modèle électrique
Il est régi par la fonction de transfert TE(p), celle-ci
met en évidence la loi de la commande agissant sur le
courant induit I :
SETIT 2005
Hacheur
Redresseur
Source
triphasée
L
T
D1
vAN
D2
I
D3
U
vBN
N
Machine CC
E
D
M
vCN
D4
D5
Ω
C
D6
Carte
d'acquisition
Commande
Calculateur
MOD.ELE
MOD.MEC
PE; U; I
PM; N; Ω
Figure 5. Schéma du dispositif expérimental
Un modèle n’est réellement valable que si la
machine est soumise aux différentes contraintes
dynamiques imposées par son service (démarrage,
accélération, à-coups de charge, perturbations de la
tension, etc.).
On choisit l’entrée la plus "sensibilisante" afin
d’exciter la machine dans le maximum de sa bande de
fréquence (Zegrari & Badri, 2004). Le signal
d’excitation est une succession d’impulsions modulées
en largeur et pratiquées sur un grand horizon de
temps. Il s’agit d’une Séquence Binaire PseudoAléatoire (SBPA), illustrée sur la figure 4.
L'analyse de l’écart Objet-Modèle permet une
identification aisée des paramètres de la machine. Les
phases de convergence présentées sur la figure 6
montre l’évolution de la recherche du niveau
minimum de l’iso-distance.
Excitation :
Modèle – Mesure
5.1 Signal d'excitation
Réponse :
Modèle
convergent:
Modèle
Amplitude
(V)
Fig. 6 – Résultats expérimentaux
+5
0
Temps
discret
(T)
-5
0
5
10
15
20
Figure 4. Excitation SBPA.
5.2 Relevés graphiques
Après le démarrage et une fois la vitesse de
consigne atteinte, on applique un couple de charge
pour étudier le comportement dynamique du système.
Figure 6. Résultat de l’identification.
SETIT 2005
Conclusion
La méthode présentée dans cette étude met en
évidence les techniques de programmation nonlinéaire dont la représentation répond parfaitement aux
structures des systèmes complexes telles que les
machines électriques. La modélisation de ces
dispositifs tient compte également de la réversibilité
de la machine cc, laquelle permet la récupération de la
puissance lors du fonctionnement en quatre quadrants.
Dans la même voie de recherche, la méthode du
Modèle peut également être utilisée pour la
modélisation de la machine asynchrone et développer
ainsi une stratégie performante de commande sans
capteur.
Références
J. Adersa :Pratique de l'identification, 1991.
F. Braun : Développement pour la conception d’ASIC de
commande des machines électriques, 1998.
A. Charbanou : Commande intelligente d’un moteur cc,
Thèse de Doctorat 1998.
J. M. Flaux : Régulation industrielle, 1994.
D. Landaui : Identification et commande des systèmes, 1989.
K. Najim et G. Muratet : Optimisation et commande en génie
de procédés , 1987.
J. Richalet, A. Rault et Pouliouen : Identification des
processus par la méthode du Modèle , 1997.
G. Seguier et F. Notelet : Electrotechnique industrielle,
1994.
D. Taghezout : Simulation de systèmes hétérogènes,
Revue de l'evied, 1998.
M. Zegrari et A. Badri : Identification des systèmes par la
méthode du Modèle - Optique et Traitement
d’information- FST Fès, 2004.