Variations des fonctions dérivables. Signe de la dérivée et sens de variation d'une fonction Nous admettrons sans démonstration les théorèmes suivants: Théorème 1: f est une fonction dérivable sur un intervalle I. • Si f est croissante sur I, alors pour tout x ∈ I , on a: f ' x 0 .))> • Si f est décroissante sur I, alors pour tout x ∈ I , on a: f ' x 0 . • Si f est constante sur I, alors pour tout x ∈ I , on a: f ' x = 0 . (Voir démonstration p 88 du livre) Théorème 2: f est une fonction dérivable sur un intervalle I. • Si, pour tout x ∈ I , on a: f ' x 0 , alors f est croissante sur I. • Si, pour tout x ∈ I , on a: f ' x 0 , alors f est décroissante sur I. • Si, pour tout x ∈ I , on a: f ' x = 0 , alors f est constante sur I. Théorème 3: f est une fonction dérivable sur un intervalle I. • Si, pour tout x ∈ I , on a: f ' x 0 ( sauf peut-être en des points isolés où f ' x = 0 ), alors f est strictement croissante sur I. • Si, pour tout x ∈ I , on a: f ' x 0 ( sauf peut-être en des points isolés où f ' x = 0 ), alors f est strictement décroissante sur I. En particulier: f est une fonction dérivable sur un intervalle [ a ; b ] . • Si, pour tout x ∈ ] a ; b [ , on a f ' x 0 , alors f est strictement croissante sur. [ a ; b ] • Si, pour tout x ∈ ] a ; b [ , on a f ' x 0 , alors f est strictement décroissante su . [ a ; b ] Exemples: 1) Soit la fonction f définie sur ℝ par f x = x 2 . f est dérivable sur ℝ et f ' x = 2 x pour tout x ∈ ℝ . • Pour tout x ∈ ]∞ ; 0 ] , on a f ' x 0 , donc f est décroissante sur ]∞ ; 0 ] . • Pour tout x ∈ [ 0 ;∞ [ , on a f ' x 0 , donc f est croissante sur [ 0 ;∞ [ . Bien que f ' 0 =0 , on a de façon plus précise : • Pour tout x ∈ ]∞ ; 0 [ , on a f ' x 0 , donc f est strictement décroissante sur ]∞ ; 0 ] . • Pour tout x ∈ ] 0 ;∞ [ , on a f ' x 0 , donc f est strictement croissante sur [ 0 ;∞ [ . 2) Soit la fonction f définie sur ℝ par f x = x 3 . f est dérivable sur ℝ et f ' x = 3 x 2 pour tout x ∈ ℝ . • Pour tout x ∈ ℝ , on a f ' x 0 , donc f est croissante sur ℝ . • Pour tout x ∈ ]∞ ; 0 [ ∪ ] 0 ; ∞ [ , on a f ' x 0 , donc f est strictement croissante sur ℝ. En effet, la dérivée est strictement positive pour tous les réels, sauf en 0 , point isolé où elle s’annule. 3) Soit la fonction f définie sur ℝ par f x = 2 . f est dérivable sur ℝ et f ' x = 0 pour tout x ∈ ℝ . • Pour tout x ∈ ℝ , on a f ' x =0 , donc f est constante sur ℝ. B.Sicard E:\math\Cours\1S\dérivation\derivee_variations.odt 1 Changement de signe de la dérivée et extremum d'une fonction Rappels : Les notions d’extremum local, majorant et minorant, déjà étudiées en début d’année (Rappels et compléments sur les fonctions : voir polycopié), sont rappelées dans le livre page 90. Nous admettrons sans démonstration les théorèmes suivants: Théorème 1: Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I, Et si f admet un maximum local ou un minimum local en x = a différent des extrémités de l'intervalle I, Alors: f ' a =0 . Cas particulier où f est dérivable sur un intervalle ouvert: Si f est une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I, Et si f admet un maximum local ou un minimum local en a ∈ I , Alors: f ' a =0. Théorème 2: Si f est une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I, Et si a∈ I et si f ' x s'annule pour x = a en changeant de signe, Alors f(a) est un extremum local de f sur I. Exemples: 1) Soit la fonction f définie sur ℝ par f x = x 2 . f est dérivable sur ℝ avec f ' x =2 x . f ' x s'annule en x =0 en changeant de signe, donc f 0 = 0 est un extremum local de f. Cet extremum est un minimum absolu, car f est strictement décroissante sur ]∞ ;0 ] et strictement croissante sur [ 0 ;∞ [ . Graphiquement, la courbe représentative de f est située « au-dessus » de sa tangente au point d’abscisse 0. 2) Soit la fonction f définie sur ℝ par f x = x 3 . f est dérivable sur ℝ avec f ' x = 3 x 2 . f ' x s'annule en x =0 sans changer de signe. Il n'y a donc pas d'extremum en x =0 . Graphiquement, la courbe représentative de f « traverse » sa tangente au point d’abscisse 0 : elle est « au-dessous » sur x ∈ ]∞ ; 0 [ , « au-dessus » sur x ∈ [ 0 ;∞ [ et la « coupe » en 0. On dit que la courbe a un point d’inflexion en x =0 . 3) Soit la fonction f définie sur I = [ 0 ; 1 ] par f x = x 2 . f est dérivable sur I avec f ' x =2 x . Pour tout x ∈ I , on a : f ' x 0 , donc f est strictement croissante sur I. Donc, pour tout x ∈ I , on a f x f 1 =1. Ceci prouve que 1 est le maximum de f sur I. Cependant, f ' 1 = 2 ≠0. On voit donc bien que le théorème 1 ne s’applique pas aux extrémités d’un intervalle fermé ! B.Sicard E:\math\Cours\1S\dérivation\derivee_variations.odt 2 4) Soit la fonction f définie sur ℝ par f x = 2 x 3 3 x 2 12 x 5 . f est dérivable sur ℝ avec f ' x = 6 x2 6 x 12=6 x 1 x 2 . f ' x s’annule pour x =1 et x = 2 en changeant de signe, car : pour x ∈ ]∞ ;1 [ , on a : f ' x 0. Donc f est strictement croissante sur ]∞ ;1 ] . pour x ∈ ]1 ; 2 [ , on a : f ' x 0 . Donc f est strictement décroissante sur [1 ;2 ] . pour x ∈ ] 2 ;∞ [ , on a : f ' x 0 . Donc f est strictement croissante sur [ 2 ;∞ [ . f possède donc un maximum local en x =1 et un minimum local en x = 2. Toute cette étude peut être résumée dans le tableau ci-dessous : x f ' x −∞ + −1 0 12 − 2 0 +∞ + +∞ f x −∞ − 15 Voici un morceau des représentations graphiques de f et de f ' : Observez le lien entre les variations de f et le signe de f '. B.Sicard E:\math\Cours\1S\dérivation\derivee_variations.odt 3