INSA 1 ER C YCLE I NGÉNIEUR INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUÉES CENTRE VAL DE LOIRE DE L’ENSI DE Campus deBourges L'école de la maîtrise des risques B OURGES UE S CIENCE A PPLIQUÉES S UPPORT DE C OURS D ’É LECTRO C INÉTIQUE David FOLIO II <[email protected]> http://perso.ensi-bourges.fr/dfolio/Teaching.php L’objet de se support de cours n’est pas de fournir le cours complet d’électrocinétique. Il s’agit plutôt d’un guide pour vous aider à suivre et comprendre le cours. Il vous appartient de le compléter et de l’enrichir des différents éléments abordé en cours et en TD. Année Universitaire : 2013–2014 ii Cycle 1, INSA-CVL, ÉlectroCinétique II Table des matières IV Régime sinusoïdal IV.1 Les signaux électriques . . . . . . . . . . . IV.2 Représentation d’une grandeur sinusoïdale IV.3 Circuits en régime sinusoïdal forcé . . . . IV.4 Puissances en régime alternatif . . . . . . . . . . 1 1 3 5 11 V Réponses fréquentielles V.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.2 Réponse en fréquence des circuits linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.3 Filtrage analogique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 17 19 25 VI Amplificateurs VI.1 L’Amplification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.2 L’Amplificateur Opérationnel (AOP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 31 33 A Références Bibliographiques 41 iii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TABLE DES MATIÈRES iv Cycle 1, INSA-CVL, ÉlectroCinétique II Chapitre IV LE RÉGIME VARIABLE SINUSOÏDAL L’objectif est d’étudier le comportement des circuits linéaires lorsqu’ils sont soumis à un signal électrique variable. Plus particulièrement, on s’intéressera aux signaux alternatifs sinusoïdaux. IV.1 Les signaux électriques Un signal électrique peut être caractérisé par sa forme : continue ou variable, périodique ou non, unidirectionnel ou alternatifs, etc. On distingue également : les signaux analogiques : variation continue dans le temps des signaux électriques ,→ Information : valeurs instantanées des grandeurs électriques les signaux numériques : variation binaire des signaux électriques ,→ Codage de l’information IV.1.1 Le régime variable Contrairement au régime continu où les grandeurs électriques sont constantes par rapports aux temps, les grandeurs du régime variable évoluent en fonction du temps. exp(-t/τ) Sinus Carré Triangle Sinc Train d'impulsion Dents de scie τ T Fig. IV.1 – Quelques exemples de signaux variables IV.1.2 Les signaux périodiques Parmi la multitude de signaux variables, on s’intéresse principalement aux signaux électriques périodiques. Définition 1 (Signaux périodiques). Un signal temporel est périodique de période T ssi : x(t + kT ) = x(t), ∀t ∈ R+ , ∀k ∈ N (IV.1) 1 t IV.1 Les signaux électriques 2 Caractéristiques des signaux périodique : 1 La fréquence f = s’exprimant en Hertz (Hz) ; T ,→ Toutefois, on préfère souvent raisonner en termes de pulsation (aussi appelée fréquence angulaire) : ω = 2πf = 2π (rad/s). T b = max(x) − min(x) La valeur crête à crête : Xpp = X Caractéristiques des signaux périodique : La composante continue qui représente la grandeur moyenne : Z 1 T hxi = X = Xmoy = x(t)dt (IV.2) T 0 t La valeur moyenne est une grandeur algébrique, est indépendante de la période T du signal. Elle est nulle pour un signal symétrique. La valeur efficace (ou RMS – Eng.: Root Mean Square) : s Xeff = X = 1 T Z T x2 (t)dt = p (IV.3) hx2 i 0 La valeur efficace Ueff d’une tension u(t), correspond à la valeur de la tension continue constante U0 qui produirait les mêmes effets (eg. même dégagement de chaleur) sur un dipôle purement résistif. Exercice IV.1. Pour les différents signaux du tableau ci-dessous, retrouver les résultats correspondants (NB : le tracé des signaux peut aider). Signaux Sinus : Carré : x(t) A sin(2πf t) ( A t ∈ [0, T2 ] −A t ∈ [ T2 , T ] 1 Dents de scie : 2A f t − − ft −A 2 1 2A f t − Triangle : − f t − A 2 hxi 0 Xeff 0 A 0 A √ 3 0 A √ 3 A √ 2 ,→ avec t le temps, A l’amplitude, f = 1/T la fréquence, et bxc la partie entière de x . IV.1.3 Le régime harmonique Grâce aux outils d’analyse de Fourier, on sait que tous les signaux périodiques x(t) (et sous certaines conditions que l’on supposera valides ici) peuvent se décomposer en somme de sinus Cycle 1, INSA-CVL, ÉlectroCinétique II 3 Chap. IV Régime sinusoïdal et cosinus de fréquences multiples de la fréquence fondamentale f0 , soit : x(t) = c0 + = c0 + ∞ X k ∞ X {ak cos(kωt + αk ) + bk sin(kωt + βk )} {e xk (t)} k où c0 représente la composante continue (valeur moyenne), et {e xk (t)} la k ième harmonique. Ainsi, tout signal électrique périodique de valeur instantanée x(t) peut être décomposée en une composante continue hxi et une composante alternative (ou ondulation) x e(t) de valeur moyenne nulle : X x(t) = hxi + x e(t), avec x e(t) = {e xk (t)} (IV.4) k Le théorème de superposition permet alors d’utiliser les principaux termes de cette décomposition afin de décomposer l’étude d’un circuit linéaire alimenté en régime périodique quelconque en somme de circuit alimenté par des signaux alternatifs sinusoïdaux. IV.2 Représentation d’une grandeur sinusoïdale Un signal alternatif sinusoïdal x(t) se définit par : x(t) = A sin(ωt + ϕ) A l’amplitude, ϕ la phase (eg. en rad) ω la pulsation (eg. en rad/s). (IV.5) Caractéristiques des signaux alternatifs sinusoïdaux Valeur moyenne : hxi = X = Xmoy = 0 A Valeur efficace : Xeff = X = √ 2 Valeur crête à crête : Xpp = 2A Les caractéristiques ci-dessus ne sont vrai que pour les signaux alternatifs sinusoïdaux La forme temporelle d’une grandeur sinusoïdale est souvent peu “pratique” à manipuler. On préfère généralement exploiter des représentations analogues plus simples à exploiter. IV.2.1 Représentation complexe Rappels mathématiques Rappels mathématiques : soit g ∈ C, et 2 = −1 © Coordonnées cartésiennes : • forme algébrique : g = a + b → − • forme vectorielle : g = (a, b) Année Universitaire : 2013–2014, David FOLIO Coordonnées polaires : • forme exponentielle : g = ρ eθ • forme trigonométrique : g = ρ(cos θ + sin θ) → − • forme vectorielle : g = (ρ, θ) = ρ∠θ IV.2 Représentation d’une grandeur sinusoïdale 4 Caractéristiques d’une grandeur complexe g ∈ C : √ p ∗ g g • son module : | g | = ρ = a2 + b2 = • son argument : arg g = θ = atan2(b, a) Représentation complexe d’une grandeur sinusoïdale Représentation complexe d’une√grandeur sinusoïdale : Forme temporelle x(t) = X 2 sin(ωt + ϕ) Forme complexe : x(t) = X e(ωt+ϕ) = X eϕ eωt = X eωt ,→ X = X eϕ est l’amplitude complexe associée à x(t). Opérations sur les grandeurs sinusoïdales Addition et soustraction 7→ eg. forme cartésienne multiplication et division 7→ eg. la forme polaire dx = ω · x Dérivation : dt Z IV.2.2 Intégration : xdt= 1 ω ·x Représentation de Fresnel Définition 1 (Représentation de Fresnel). Cette représentation permet, à l’aide d’une construction géométrique simple, de réaliser des opérations sur plusieurs fonctions sinusoïdales de même pulsation ω. √ ,→ Associer à la grandeur sinusoïdale x(t) = X 2 sin(ωt + ϕ) − Le vecteur de Fresnel : → x = {X, ϕ} Il est d’usage de considérer la valeur efficace X = Xeff à la place de l’amplitude, dans le module du nombre complexe et du module du vecteur de Fresnel. √ √ Exercice IV.2. Soit x1 (t) = X1 2 sin(ωt + ϕ1 ) et x2 (t) = X2 2 sin(ωt + ϕ2 ), 2 signaux sinusoïdaux. Déterminer les paramètres des signaux suivants : (a) xa (t) = x1 (t) + Kx2 (t) (b) xb (t) = x1 (t) − d x2 (t) dt ϕ=0 ϕ=0 Cycle 1, INSA-CVL, ÉlectroCinétique II 5 Chap. IV Régime sinusoïdal IV.3 Circuits en régime sinusoïdal forcé Circuits RLC série en régime sinusoïdal Circuits RLC ≡ Circuits linéaires du 2nd ordre ,→ Equations différentielles du 2nd ordre LC d uC d2 uC + uC (t) = u(t) 2 + RC dt dt La solution : y(t) = yh (t) + yp (t) • yh (t) : la solution homogène • • R ξ = 2L : amortissement 1 ω0 = √LC : pulsation propre yh (t) = A1 er1 t +A2 er2 t ,→ obtenue sans second membre (ie. régime RLC propre, cf. chap III) • yp (t) : la solution particulière ,→ Même “nature” que u(t), soit yp (t) = B1 cos(ωt + φ) (régime sinusoïdal forcé) Régime transitoire Régime permanent x(t) Fig. IV.2 © Année Universitaire : 2013–2014, David FOLIO IV.3 Circuits en régime sinusoïdal forcé IV.3.1 6 Dipôles en régime sinusoïdal Un dipôle ne comportant que des dipôles linéaires passifs, soumis à une tension sinusoïdale v(t) de fréquence f , est traversé, en régime permanent, par un courant sinusoïdal i(t) de même fréquence. i(t) Z v(t) Signaux électriques alternatifs sinusoïdaux : √ √ Tension v(t) = V 2 sin(ωt + θv ) Courant i(t) = I 2 sin(ωt + θi ) → − → − • Vecteur de Fresnel v = {V ; θv } • Vecteur de Fresnel i = {I; θi } • Tension d’amplitude complexe V = • Courant d’amplitude complexe I = V eθv I eθi ,→ On définit le déphasage courant/tension : φ = θv − θi IV.3.2 Notion d’impédance et d’admittance V L’impédance d’un dipôle est un nombre complexe définit par : Z = I Forme exponentielle : Z= Z eφ Forme trigonométrique : Z = Z(cos φ + sin φ) → − Forme vectorielle : Z = {Z; φ} U 7→ impédance apparente du dipôle • Module : | Z | = Z = I • Argument : arg Z = φ = θv − θi (exprimé en Ω) ; ,→ déphasage par rapport à la source utilisée comme référence de phase (eg. en rad) Forme algébrique : Z = R + X • R = Z cos φ 7 partie réelle dite résistive → (exprimé en Ω) ; • X = Z sin φ 7 partie imaginaire dite réactive ou réactance (exprimé en Ω). → La notion d’impédance permet d’étendre la loi d’Ohm aux signaux sinusoïdaux. L’admittance d’un dipôle est l’inverse de l’impédance : Y = Z −1 = Forme algébrique : Y = G + B • G = Re (Y ) 7 conductance → • B = Im (Y ) 7 susceptance → Exercice IV.3. Montrer que G = IV.3.3 I V (exprimé en 1/Ω ou S) ; (exprimé en 1/Ω ou S). R R2 +X 2 et B = −X R2 +X 2 Les associations de dipôles Dipôles en série n dipôles linéaires sont associés en série ssi ils sont sur une même branche. Les dipôles sont parcourus par le même courant d’intensité I : n n X X V = Vk =I Zk k k ,→ L’impédance équivalente : Z eq = n X Zk k Cycle 1, INSA-CVL, ÉlectroCinétique II 7 Chap. IV Régime sinusoïdal Admittances en parallèle n dipôles linéaires sont associés en parallèle ssi ils ont la même d.d.p. à leurs bornes. L’intensité I totale du courant traversant l’associan n X X tion vaut : I= Yk Ik = V k n X ,→ L’admittance équivalente : Y eq = k Yk k IV.3.4 Impédances des dipôles passifs linéaires Résistance idéale R : (IV.6) u(t) = Ri(t) ,→ L’impédance d’une résistance idéale : Z R = R. Condensateur idéal de capacitéZC 1 u(t) = i(t)dt C ⇔ ,→ L’impédance d’un condensateur idéal : Z C = Bobine idéale d’inductance L u(t) = L d i(t) dt ⇔ U= 1 1 · I ω C (IV.7) 1 . Cω U = ω · L I (IV.8) ,→ L’impédance d’une bobine idéale : Z L = Lω. Dipôle u(t) ↔ i(t) U ↔I (valeur efficace) Résistance Linéaire u(t) = Ri(t) U = RI u(t) = L di(t) dt U = LωI i(t) = C du(t) dt U= Inductance pure Condensateur parfait 1 Cω I Circuits RLC série en régime sinusoïdal Exercice IV.4. Un dipôle AB, formé d’une association en série d’une résistance parfaite R, d’une bobine parfaite L et d’un condensateur parfait √ C, est parcouru par un courant d’intensité : i(t) = I 2 sin(ωt). 1. Déterminer la tension u aux bornes du dipôle ? 2. Qu’elle est l’impédance équivalente Z ? © Année Universitaire : 2013–2014, David FOLIO Impédance Complexes Représentation de Fresnel IV.3 Circuits en régime sinusoïdal forcé 8 Définition 1 (Résonance). On appelle résonance, l’obtention d’une amplitude maximum pour une grandeur électrique donnée. La fréquence correspondante fr , correspond à la fréquence de résonance. Pour les circuits RLC Résonance d’intensités • Il y a résonance d’intensité à la fréquence : fr = f0 = √1 2π LC • Si le circuit présente peu d’amortissement (eg. résistance faible) la résonance est aigüe et la valeur de l’intensité maximum importante : Imax = UR Résonance de charge (dans la capacité) • Laq fréquence de résonance√ dépend du facteur de qualité. On montre que : fr = f0 1 − 2Q1 2 (si Q > 22 ), avec Q le facteur de qualité. • Il existe une surtension capacitive à la résonance. Notamment, il est facile de montrer que : Uc (ω0 ) = QU IV.3.5 Études des circuits linéaires Les différentes lois vues en régime continu (cf. chapitre III, semestre 1) restent valide en régime sinusoïdal. Il s’agit simplement de remplacer les amplitudes réelles (et constantes) des tensions et des intensités par les amplitudes complexes correspondantes. De même, il s’agit de remplacer la notion de résistance équivalente par celle de l’impédance équivalente. Les lois de Kirchhoff Les lois de Kirchhoff (rappels) ère 1 loi de Kirchhoff : la loi des nœuds X X is (t) ie (t) = sortant entrant 2ème loi de Kirchhoff : • la loi des branches : X Vk (t) V (t) = k∈branche • la loi des mailles : X Vk (t) = 0 k∈branche Dans l’ARQS, les lois de Kirchhoff sont TOUJOURS VÉRIFIÉS. Que le circuit électrique soit linéaire ou non, contenant des composants passifs ou actifs, en régime continu ou variable, etc. Le modèle de Thévenin Théorème IV.3.1 (Thévenin). Tout circuit électrique linéaire à deux bornes, est ÉQUIVALENT à une source de tension idéale V Th , dite source de Thévenin, en série avec une impédance unique Z Th . Cycle 1, INSA-CVL, ÉlectroCinétique II Chap. IV Régime sinusoïdal V + Détermination de V Th : B ≡ ZTh vTh + v A Charge + i I A Charge ci r qucuit el li co né nq ai ue re 9 B la tension à vide aux bornes du dipôle Détermination de Z Th : l’impédance équivalente vue entre les deux bornes du dipôle lorsque toutes ses sources indépendantes sont éteintes. © Année Universitaire : 2013–2014, David FOLIO IV.3 Circuits en régime sinusoïdal forcé 10 Le modèle de Norton Théorème IV.3.2 (Norton). Tout circuit électrique linéaire à deux bornes, est équivalent à une source de courant idéale d’amplitude complexe I N , dite générateur de Norton, en parallèle avec une admittance unique Y N . + YN = 1 ZN ≡ iN Charge V YN Charge ci r qucuit el li co né nq ai ue re + Détermination de I N : i A I A v B B le courant de court-circuit du dipôle : l’admittance équivalente vue entre les deux bornes du dipôle lorsque toutes ses sources indépendantes sont éteinte. Les sources liées ne sont jamais éteintes ! Équivalence entre les modèles de Thévenin et de Norton Les représentations de Thévenin et de Norton sont équivalente v B iN v Charge vTh + ≡ YN ZTh i A A Charge i B ,→ On peut remplacer une représentation par l’autre de manière équivalente ! Les modèles de Thévenin et de Norton sont reliés : Même impédance équivalente : Z Th = Z N = Z eq = Y1 eq et V Th = I N Z eq ou I N = V Th Y eq On distingue 2 types de sources : les sources liées, dont les caractéristiques dépendent d’un autre élément du circuit, et les sources indépendantes. Lorsqu’on doit éteindre une source (théorèmes de superposition, de Thévenin, de Norton, etc.) on éteint UNIQUEMENT les sources INDEPENDANTES, et JAMAIS les sources LIÉES. Cycle 1, INSA-CVL, ÉlectroCinétique II 11 Chap. IV Régime sinusoïdal IV.4 Puissances en régime alternatif IV.4.1 Énergie et Puissance électrique Définition IV.4.1 (Énergie). En physique, l’énergie correspond à la capacité de faire un travail, c-à-d. d’agir (unité joules : J) Différentes formes d’énergies : dé a ch e rg ,é nv e ss r ti lum s ine rs eu ph c en o to ce vol t es a ïq u Energie RAYONNANTE ca pte chimioluminescence photochimie, photosynthèse olyse électr mac therm olys MECANIQUE h ine s tou p i é z o - r n a n t e, électricité pompes de ray nd on es c ne combu fermen stion, tation Energie CHIMIQUE iles urs, p ulate accum explosions géné rateu r s élec t r iq u es Energie Energie ELECTRIQUE in c a urs en m en ts Energie THERMIQUE s, chocs frottement moteu réacteurs nucléaire ol e turbines hydrauliques Energie NUCLEAIRE ce re ai co le o c tr e, rmiqu rs the rbines tu Energie HYDRAULIQUE co effet joule (rés istance électriques, fours, etc.) n ve r t is s e urs thermoélectriques, thermoïoniques, magné od y t oh y dr i qu na m es L’énergie constitue “un pont” entre les différents domaines de la physique Conservation de l’énergie : Rien ne se perd, rien ne se crée tout se transforme (Lavoisier, 1789) Z t2 ,→ L’énergie électrique : E = v(t) · i(t)dt t1 Définition 1 (Puissance). En physique, la puissance est la quantité d’énergie par unité de temps fournie par un système à un autre. La puissance p(t) est un débit d’énergie : d E(t) (unité watt : W) p(t) = dt Définition 2 (Puissance électrique). La puissance électrique instantanée échangé par un dipôle est définit par le produit : p(t) = v(t) · i(t) i(t) (IV.9) Z v(t) ,→ La puissance électrique se mesure au moyen d’un wattmètre IV.4.2 Puissance électrique instantanée Puissance électrique instantanées p(t) est une grandeur algébrique : si p(t) ≥ 0, alors il s’agit d’une puissance consommée par le dipôle ⇔ dipôle récepteur sinon p(t) ≤ 0, alors il s’agit d’une puissance fournie par le dipôle ⇔ dipôle générateur Ceci est vrai pour la convention récepteur En convention générateur c’est l’inverse ! Puissance instantanée en régime alternatif sinusoïdal En régime alternatif sinusoïdal les grandeurs électriques sont caractérisées par : © Année Universitaire : 2013–2014, David FOLIO IV.4 Puissances en régime alternatif 12 √ • tension : u(t) = √ U 2 cos(ωt + θu ) • courant i(t) = I 2 cos(ωt + θi ) L’expression de la puissance instantanée lorsque la tension et le courant sont des fonctions sinusoïdales du temps conduit à : p(t) = u(t) · i(t) = U I cos (θu − θi ) + U I cos (2ωt + θu + θi ) (IV.10) La puissance instantanée expression correspond ainsi à la somme de deux termes : • une composante alternative correspondant à la puissance fluctuante : pf (t) = U I cos (2ωt + θu + θi ) (IV.11) • une composante continue correspondant à la puissance active : (IV.12) P = U I cos (φ) On peut choisir arbitrairement d’annuler une des phases à l’origine, en posant par exemple θu = 0. La puissance est le produit de deux fonctions sinusoïdales, il ne s’agit donc pas d’une opération linéaire. IV.4.3 Puissance active Puissance active P Dans le cas d’un fonctionnement périodique de période T , on définit la puissance moyenne reçue par le dipôle sur une période : P = Pmoy 1 = hp(t)i = T Z T u(t)i(t) · dt = hu(t)i(t)i (IV.13) 0 ,→ Pour des signaux alternatifs sinusoïdaux : P = U I cos (φ) IV.4.4 La seule a être physiquement une puissance Liée à un transformation d’énergie Le rendement est un rapport de puissances actives Puissance apparente, puissance réactive Puissance apparente S = U I (unité : Volt-Ampère – V A) ,→ Définie la valeur maximale pouvant-être prise par la puissance active Puissance de dimensionnement : section des câbles P Facteur de puissance k = |k| ∈ [0; 1] S ,→ Rend compte de l’efficacité qu’a un dipôle pour consommer de la puissance électrique Caractéristique d’un récepteur électrique En régime sinusoïdal : k = cos φ Puissance réactive Q (unité : Volt-Ampère-Réactif – VAR) Phénomènes d’accumulation électrostatiques ou magnétiques ,→ Illustre les effets réactifs du circuit En régime sinusoïdal : Q = U I sin φ Cycle 1, INSA-CVL, ÉlectroCinétique II 13 Chap. IV Régime sinusoïdal On considère les valeurs efficaces des signaux : U = Ueff et I = Ieff Relation entre puissance ,→ Puissance apparente complexe : s = U · I∗ ,→ s= P + Q, ou encore s = S eφ S φ Im (IV.14) P Triangle des puissances : Q Re Les puissances S et Q n’ont pas de sens “physique” ,→ Seule la puissance active P à un sens “physique” Les unités sont différentes des Watts alors qu’elles sont homogènes à une puissance afin de respecter le principe physique qui autorise d’additionner des grandeurs de mêmes unités. En effet additionner des puissances actives avec des puissances réactives ou apparentes n’a aucun sens physique. Les expressions de P , Q, S et k présentées ne sont vraies que pour les régimes alternatifs sinusoïdaux ! Théorème IV.4.2 (Boucherot). La puissance active d’un système est la somme des puissances actives P des éléments le constituant, de même pour la puissance réactive Q. Le théorème de Boucherot ne s’applique pas à la puissance apparente S ! ,→ Le théorème de Boucherot traduit le principe de la conservation de l’énergie électrique. u i P, 1 Q1 ... P, P, 2 Q2 n Qn } S=UI STotal S1 P1 P2 φ1 Q 1 S2 Sn Q2 ... Qn Pn Fig. IV.3 – Illustration du théroème de Boucherot Exercice IV.6. Soit un dipôle d’impédance Z = R + X, traversé par un courant sinusoïdal de valeur efficace I. 1. Démontrer les résultats suivants : P = Re{Z}I 2 , Q = Im{Z}I 2 et S = |Z| I 2 2. Faire de même lorsque l’on considère une admittance Y = G + B 3. Déterminer les différentes puissances lorsque le dipôle est une résistance pure R, une bobine idéale L et une capacité idéale C (cf. table IV.1) Remarque IV.2. Selon la valeur de la puissance réactive Q, on peut conclure : Si Q > 0 : ... Si Q < 0 : ... Si Q = 0 : ... © Année Universitaire : 2013–2014, David FOLIO IV.4 Puissances en régime alternatif 14 Dipôle Résistance P Q Inductance Condensateur Table IV.1 IV.4.5 Relèvement d’un facteur de puissance Nécessité de relever le facteur de puissance k... Les appareil électrique consomme une puissance déterminée : Ps = Us Is cos φ... • La puissance Ps est imposée par la charge Ex.: Une ampoule de 10W • La tension Ue est fixée par le générateur Ex.: U = 220 V ,→ Le courant Ie est d’autant plus grand que le facteur de puissance k est faible Le courant doit être transporté sur de longue distance par des câbles électriques • Impédance d’une ligne électrique : Z l = Ligne Rl + Xl ie is 2 • Pertes Joules : PJ = Rl I Zl • Puissance réactive : Q = Xl I 2 ue us C C • Chute de tension en ligne : ∆U = Rl Ps +Xl Qs ... Us charge • Rendement : η = Ps ...= 1PJ Pe 1+ P s ,→ Pour améliorer le rendement il faut augmenter le facteur de puissance k = cos ϕ Les fournisseurs d’électricités pénalisent les installations ayant k < 0.9 ! IV.4.6 Adaptation d’impédance Objectif : optimiser le transfert d’une puissance électrique entre un émetteur (source) et un récepteur électrique (charge) Générateur de tension sinusoïdal : ug (t) √ Ug 2 cos(ωt) + impédance interne : Z g = Rg + Xg Charge : Z u = Ru + Xu Puissance reçue par la charge : Pu Re{Z u }I 2 , U avec I = Z +gZ , on a : g u Générateur = Zg i(t) Charge + Zu ug(t) = Pu = Ru Ug2 (Rg + Ru )2 + (Xg + Xu )2 ,→ But : maximiser la puissance Pu reçue Cycle 1, INSA-CVL, ÉlectroCinétique II 15 Chap. IV Régime sinusoïdal Pour maximiser la puissance Pu , avec Ug , Rg et Xg fixée : il faut que Xu = −Xg Ru déterminer Ru qui rend la fonction f (Ru ) = (R +R maximale )2 g u Pour que le générateur fournisse le maximum de puissance à la charge, il faut : Z u = Z ∗ g . On dit alors qu’il y a “adaptation d’impédance”. Si (Ru , Xu ) sont fixées, il faut intercaler un quadripôle entre le générateur et la charge (cf. TD). © Année Universitaire : 2013–2014, David FOLIO IV.4 Puissances en régime alternatif 16 Cycle 1, INSA-CVL, ÉlectroCinétique II Chapitre V É TUDES V.1 DES RÉPONSES FRÉQUENTIELLES Du régime transitoire au régime permanent Régime transitoire : régime de fonctionnement d’un circuit entre le moment où aucun courant ne circule et celui où s’établit un régime permanent. ,→ Caractérisé par un taux d’amortissement, un temps de relaxation ou encore un facteur de qualité. Régime permanent : régime de fonctionnement d’un circuit qui se maintient pendant un temps infiniment long. ,→ Il peut être un régime continu (statique, cf. S1) ou un régime variable (régime sinusoïdal permanent) Régime transitoire Régime permanent x(t) Fig. V.1 V.1.1 Réponse d’un circuit électrocinétique étudier le comportement d’un circuit linéaire alimenté par une source sinusoïdale. Il s’agit de caractériser la tension u(t) aux bornes d’un composant, ou le courant i(t) circulant dans un composant. Soit un circuit linéaire quelconque : • x(t) : l’excitation Source Charge iin iout • y(t) : la réponse vg x( t ) vin éa i sion vin (t) ou en courant iin (t) Zg lin ,→ L’excitation peut être en ten- re Objectif : y( t ) vout ,→ La réponse peut être en tension vout (t) ou en courant iout (t) L’excitation est à présent un signal alternatif sinusoïdal : • X la valeur efficace, √ • ϕ la phase (eg. en rad) x(t) = X 2 sin(ωt + ϕ) (V.1) • ω la pulsation (eg. en rad/s). 17 Zu V.1 Introduction 18 Les circuits linéaires sont caractérisés dans le cas général par une équation différentielle à coefficient constant avec second membre de la forme générale suivante : ap d y(t) d x(t) dq x(t) dp y(t) + . . . + a + a y(t) = b x(t) + b + . . . + b 1 0 0 1 q dtp dt dt dtq (V.2) Définition 1 (Ordre d’un circuit). L’ordre, noté n, d’un circuit linéaire correspond à l’ordre de son équation différentielle, c-à-d l’ordre de dérivation le plus élevé, soit : n = max(p, q). La réponse y(t) du système s’obtient en résolvant l’équation différentielle. Les solutions sont de la forme : y(t) = yh (t) + yp (t) yh (t) est la solution sans second membre (équation homogène) yh (t) = n X • • Ak erk t k=1 Ak : déduit à partir des conditions initiales rk les solutions de l’équation caractéristique : an rkn + . . . a2 rk2 + a1 rk + a0 = 0 yp (t) est une solution particulière qui est de même “nature” que x(t) • si x(t) = Cste alors yp (t) = Cste et le régime permanent continu (cf. cours d’électrocinétique I) ; • si x(t) est sinusoïdale, alors yp (t) est sinusoïdale et le régime permanent est sinusoïdal de même fréquence. Circuits linéaires du 1er ordre Circuits linéaires du 1er ordre ≡ équations différentielles du 1er ordre : τ dy +y(t) = x(t) (V.3) dt x(t) l’excitation du système y(t) la réponse du système τ : constante de temps caractéristique du circuit ,→ Les solutions sont de la forme : y(t) = yh (t) + yp (t) la solution homogène : yh (t) = A e−t/τ ; ,→ Ak : déduit à partir des conditions initiales yp (t) : la solution particulière ,→ Même “nature” que x(t), soit yp (t) = B1 cos(ωt + φ) Circuits linéaires du 2nd ordre Circuits linéaires du 2nd ordre ≡ équations différentielles du 2nd ordre : x(t) l’excitation y(t) la réponse dy d2 y + ω02 y(t) = ω02 x(t) (V.4) 2 + 2ξ dt dt ω0 : la pulsation propre du système ξ : coefficient qui quantifie l’amortissement du système ,→ Facteur de qualité Q = ω2ξ0 Les solutions sont de la forme : y(t) = yh (t) + yp (t) la solution homogène : yh (t) = A1 er1 t +A2 er2 t ,→ r1,2 : racine de l’équation caractéristique ,→ A1,2 : déduit à partir des conditions initiales Cycle 1, INSA-CVL, ÉlectroCinétique II 19 Chap. V Réponses fréquentielles yp (t) : la solution particulière b cos(ωt + φ) ,→ Même “nature” que x(t), soit yp (t) = A Exemple : Circuit R-C ≡ Circuits linéaires du 1er ordre ,→ équations différentielles du 1er ordre d uc + uc (t) = −Eω sin(ωt) dt L’excitation : x(t) = E cos ωt La réponse du circuit : y(t) = yh (t) + yp (t) ,→ Montrer que la solution générale s’écrit : ECω 1 −t/τ i(t) = λ e +p cos ωt + atan RCω 1 + (RCω)2 RC Cet exemple à priori très simple (2 composants seulement : R et C ! !) montre que les calculs ne sont pas très simples. Il faut dans un premier temps déterminer une équation différentielle, rechercher ensuite une solution particulière en l’injectant dans l’équation différentielle. . . La forme temporelle d’une grandeur sinusoïdale est souvent peu “pratique” à manipuler. On préfère généralement exploiter des représentations analogues plus simples à exploiter. L’utilisation des grandeurs complexes, n’ont de sens que pour des circuits linéaires en régime alternatif sinusoïdal ! Le régime sinusoïdal forcé Un dipôle ne comportant que des dipôles linéaires passifs, soumis à une tension sinusoïdale v(t) de fréquence f , est traversé, en régime permanent, par un courant sinusoïdal i(t) de même fréquence. i(t) Z v(t) Lorsque le régime transitoire s’est dissipé, toutes les grandeurs électriques oscillent de façon sinusoïdale à la même fréquence que l’excitateur Régime sinusoïdal forcé Le régime sinusoïdal forcé correspond à la solution particulière du circuit. Elle est du type : √ yp (t) = A 2 cos(ωt + φ) où A la valeur efficace, et le déphasage φ sont à déterminer. V.2 Réponse en fréquence des circuits linéaires On s’intéresse ici à la réponse fréquentielle des réseaux linéaires par opposition à la réponse temporelle étudiée jusqu’à présent. Définition 1 (Réponse temporelle). L’analyse temporelle d’un circuit correspond à l’étude de sa réponse effectuée à partir de son équation différentielle et des conditions initiales : réponse indicielle. © Année Universitaire : 2013–2014, David FOLIO V.2 Réponse en fréquence des circuits linéaires 20 vin iout y( t ) éa i x( t ) re iin lin Définition 2 (Réponse fréquentielle). La réponse en fréquence d’un système est la caractérisation du comportement du système (électrique, mécanique, optique, etc.) à un signal d’excitation de fréquence variable (mais d’amplitude constante) à son entrée. vout L’association de dipôles linéaires dont l’impédance est liée à la fréquence permet de réaliser des circuits dont l’une au moins des grandeurs a une valeur qui dépend de la fréquence d’excitation. V.2.1 Le quadrîpole De nombreux circuit peuvent être représenté par une “boite” munie de 2 bornes d’entrée et 2 bornes de sortie. Définition 3 (Quadripôle). Un quadripôle est un circuit électrique dont on considère l’entrée entre deux bornes et la sortie entre deux bornes. 1 Iin Vin Iout Q Vout 2 3 4 ,→ Les signaux électriques en entrée et en sortie peuvent être de nature différente. Remarque V.1. Par convention on adopte une convention générateur à l’entrée, et récepteur à la sortie. Un quadripôle est linéaire s’il ne contient que des composants linéaires. Un quadripôle linéaire ne contient pas de sources indépendantes. ,→ Si le circuit est linéaire, les grandeurs d’entrée et de sortie x(t) et y(t) sont reliées par une équation différentielle linéaire à coefficients constants du type : d x(t) dq x(t) dp y(t) d y(t) + a y(t) = b x(t) + b + . . . + b ap + . . . + a 0 0 1 q 1 dtp dt dt dtq Un quadripôle est passif s’il ne possède que des éléments passifs . ,→ Dans ce cas, la puissance moyenne en sortie est toujours inférieure ou égale à la puissance moyenne en entrée. Un quadripôle est actif s’il possède au moins une source d’énergie. On s’intéresse ici uniquement aux quadripôles passifs linéaires et à leur fonction de transfert. Gain et décibel Un quadripôle est caractérisé par son gain ,→ Le gain désigne la capacité d’un circuit à augmenter/diminuer la puissance ou l’amplitude d’un signal. Pout Gain en puissance : Gp = Pin • Pin = Pa puissance absorbée à l’entrée • Pout = Pu puissance utilisée par la charge à la sortie vout Gain en tension : Gv = vin iout Gain en courant : Gi = iin Cycle 1, INSA-CVL, ÉlectroCinétique II 21 Chap. V Réponses fréquentielles ,→ Utilisé seul, le terme de gain est ambigu car on ne sait pas s’il se réfère à un gain en tension, courant ou puissance. Pour caractériser la réponse fréquentielle, la pulsation ω est susceptible de varier dans une très large gamme de fréquence : de < 0.1 Hz pour les très basses fréquences à > 1MHz pour les hautes fréquences. Ainsi, le gain G est susceptible lui aussi de varier dans une large gamme de fréquence. Pour cela on introduit une échelle logarithmique basé sur les décibel (dB) : Pout dB Gain en puissance : Gp = 10 log10 P in vout Gain en tension : GdB v = 20 log10 vin iout Gain en courant : GdB i = 20 log10 iin Définition 4 (bel). Le bel (B) est unité de mesure logarithmique du rapport entre deux puissances : P2 B X = log10 (V.5) P1 Le bel est une grandeur sans dimension en dehors des unités SI. ,→ Le bel n’est pas l’unité la plus fréquente, on lui préfère généralement le décibel (dB) . V.2.2 La fonction de transfert La relation entre l’entrée x et la sortie y est caractérisée par la fonction de transfert 1 h(t) : y(t) = x(t) ~ h(t) L’étude et la caractérisation de la réponse des quadripôles se fait à travers l’étude de sa fonction de transfert. Fonction de transfert en régime sinusoïdal : √ l’excitation s’écrit : x(t) = X 2 cos(ωt), √ ou en sous forme complexe x = X 2 eωt √ la réponse s’écrit : y(t) = Y 2 cos(ωt √ + φ), ou en sous forme complexe y = Y 2 e(ωt+φ) iin x(ω) vin iout H(ω) y(ω) vout y x ,→ La fonction de transfert correspond au gain complexe du circuit. La fonction de transfert d’un système est définit par : H(ω) ≡ On considère généralement le gain en tension, conduisant à la fonction de transfert : H(ω) = G(ω) = Gv (ω) = v out v in (V.6) Caractéristique des fonctions de transfert N (ω) sont caractérisés par : D(ω) Ordre n : pour q = degres(N (ω)) et p = degres(D(ω)) alors n = max(p, q) Les fonctions de transfert H(ω) = 1. ’~’ correspond à l’opérateur de convolution © Année Universitaire : 2013–2014, David FOLIO V.2 Réponse en fréquence des circuits linéaires 22 ,→ En pratique seul les systèmes ayant p ≥ q existent. On parle alors de système causaux. Ainsi l’ordre des fonctions de transfert est souvent caractérisé par : n = p Module ou gain : G(ω) = |H(ω)| ,→ on a alors le gain en décibel : GdB (ω) = 20 log |H(ω)| Ce n’est vrai que pour les gains en tension et en courant ! Argument ou phase : ϕ(ω) = arg (H(ω)) ,→ ϕ correspond au déphasage entre la sortie et l’entrée : ϕ = θy − θx ,→ Ainsi la fonction de transfert peut se mettre sous la forme : H(ω) = G(ω) eϕ(ω) Pulsation de coupure ωc • La pulsation ωc pour laquelle le gain en puissance chute de moitié définit la pulsation de coupure à −3dB, soit : max (Gp (ω)) Gp (ωc ) = • ω 2 (V.7) Hmax De même pour les fonctions de transferts, il vient : H(ωc ) = √ 2 √ Remarque V.2 (−3dB). −20 log10 ( 2) = −3.01029 ' −3dB Dans certain cas, on peut vouloir s’intéresser à d’autres pulsation de coupure. Ex.: à −6dB, −12dB, etc. (ω) sont généralement exprimées par leur En outre, les fonctions de transfert H(ω) = N D(ω) forme canonique, c’est-à-dire que leurs numérateurs (N (ω)) et dénominateurs (D(ω)) sont des polynômes en (ω). Ces polynômes sont ordonnés de manière croissante (forme de Bode) ou de manière décroissante (forme de Laplace) : (ω)m + . . . + a1 ω + a0 Forme de Laplace : H(ω) = (ω)n + . . . + b1 ω + b0 am (ω)m + . . . + a1 ω + 1 Forme de Bode : H(ω) = bn (ω)n + . . . + b1 ω + 1 Afin de faciliter l’étude des fonctions de transfert, ces polynômes sont décomposés en des produits de polynômes d’ordre 1 ou 2. Ainsi, on montre facilement que toutes fonctions de transfert H(ω) peut s’écrire par un produit de termes élémentaires décrite selon les formes de Bode ou de Laplace données dans le tableau V.1. Ordre 1 : Ordre 2 : Bode ω 1+ ω1 2 1 ω ω 1+ + Q ω0 ω0 Laplace ⇔ ω + ω1 ⇔ (ω)2 + ω0 ω + ω02 Q Table V.1 – Formes canoniques des cellules d’ordre 1 et 2. ,→ ω1 et ω0 sont les pulsations propres et Q le facteur de qualité. Cycle 1, INSA-CVL, ÉlectroCinétique II 23 Chap. V Réponses fréquentielles Représentation d’une fonction de transfert : diagramme de Bode Le diagramme de Bode d’un système de réponse fréquentielle H(ω) est constitué de deux courbes : 1. la courbe de gain : GdB (ω) = 20 log10 |H(ω)| 0 -10 -10 Gain (dB) 0 -20 -20 -30 -30 -40 0 -40 0 Phase (deg) Phase (deg) Gain (dB) 2. la courbe de phase : ϕ(ω) = arg (H(ω)) -45 -90 10 20 30 40 50 60 Pulsation ω (rad/s) 70 80 90 100 -45 -90 10 -1 V.2-a Tracés linéaire 10 0 Pulsation ω (rad/s) 10 1 10 2 V.2-b Tracés logarithmique Fig. V.2 – Diagramme de Bode : courbe de gain et de phase Le diagramme de Bode est un moyen de représenter le comportement fréquentiel d’un système L’échelle des pulsations ω doit être logarithmique l’intervalle qui sépare ω et 10 × ω est appelé une décade. La pente d’une courbe de gain en dB est donc exprimée en dB/déc. Remarque V.3 (Pulsation réduite). Les fonctions de transferts H(ω) peuvent être ω exprimées en fonction de la pulsation réduite : x = 7 H(x), ω0 correspond à → ω0 la pulsation caractéristique. On peut ainsi représenter le diagramme de Bode en fonction de log(x). Propriété des fonctions de transfert et des diagrammes de Bode : Si une fonction de transfert H(ω) peut s’écrire sous la forme de produit de fonctions de transfert : H(ω) = H 1 (ω) × H 2 (ω) . . . alors : dB dB dB • G (ω) = G1 (ω) + G2 (ω) • ϕ(ω) = ϕ1 (ω) + ϕ2 (ω) ,→ Le diagramme de Bode H(ω) correspondant peut être tracé en faisant la somme des diagrammes de Bode de H 1 (ω), H 2 (ω). . . Tracé de Bode Étude asymptotique : on cherche le comportement du gain et de la phase aux extrêmes de la bande fréquentielle applicable au circuit, c’est-à-dire lorsque ω → 0 et ω → ∞. © Expression de la pulsation de coupure : ω = ωc Année Universitaire : 2013–2014, David FOLIO V.2 Réponse en fréquence des circuits linéaires 24 Exemple V.2.1. Soit la fonction de transfert : H(ω) = 0 Gain (dB) -10 -20 Étude asymptotique : • Pour ω ω0 : ,→ H(ω) ≈ 1, GdB = 0 et ϕ = 0 -30 • Phase (deg) -40 0 10 Pour ω ω0 : 1 ,→ H(ω) ≈ ω , GdB = −20 log ω π et ϕ = − 2 -45 -90 1 1 + ω/ω0 -1 10 0 Pulsation ω (rad/s) 10 1 10 2 Expression de la pulsation de cou1 pure : H(ω c ) = 1+ • GdB (ωc ) = −3dB, et ϕ(ωc ) = − π4 Exercice V.1 (Dérivateur). En régime alternatif sinusoïdal, on obtient l’expression complexe de la dérivée d’une grandeur en la multipliant par ω. La fonction de transfert correspondante est alors donnée par : ω H(ω) = =x ω0 1. Donné le diagramme de Bode correspondant. Exercice V.2 (Intégrateur). En régime alternatif sinusoïdal, on obtient l’expression complexe de l’intégrale d’une grandeur en la divisant par ω. La fonction de transfert correspondante est alors donnée par : 1 ω0 = H(ω) = ω x 1. Donné le diagramme de Bode correspondant. Cycle 1, INSA-CVL, ÉlectroCinétique II 25 Chap. V Réponses fréquentielles V.3 V.3.1 Filtrage analogique Généralités sur les filtres Définition V.3.2 (Les Filtres). Un filtre est un circuit qui “conditionne” (ou filtre) certaines parties du signal d’entrée. Les filtres sont des outils utilisés dans le domaine du traitement du signal, ils servent principalement à séparer des signaux dans le domaine fréquentiel. Dans certains cas particuliers (plus rare) on utilise également les filtres électroniques pour retarder un signal (travail dans le domaine temporel). Plus précisément, le filtre permet de modifier (ou de filtrer ) certaines parties d’un signal d’entrée dans le domaine temps et dans le domaine fréquence. L’opération de filtrage permet donc : • d’éliminer (ou atténuer) les signaux indésirable • d’isoler dans un signal la ou les bandes de fréquences utiles. ,→ Séparation des signaux utiles des signaux indésirable Classifications Il existe différentes familles de filtres (électronique) selon leurs domaines d’applications et la nature des signaux manipuler : • Filtrage numérique (avec composant programmable, eg. DSP) • Filtrage à capacités commutées (avec condensateur + interrupteur) • Filtrage analogique (avec composants linéaires R, L,C, AOP) En particulier, les filtres analogiques se décomposent en deux catégories : • Les filtres passifs, avec uniquement des composants passifs R, L et C) • Les filtres actifs, avec des composants passifs R et C et au moins un composant actif (eg., transistors, AOP) On ne s’intéressera ici qu’aux filtres analogiques passifs linéaires. Le Filtre est un Quadripôle D’autre part le filtre peut être également vue comme un “quadripôle” caractérisé par sa transmittance (ie. sa fonction de transfert) : H(ω) = xout (ω) xin (ω) 1 Iin Vin 2 Iout Q Vout 3 4 H(ω) correspond alors à la fonction de transfert du filtre Fig. V.3 – Filtres ≡ Quadripôles dans le domaine fréquentielle. En particulier, les filtres analogique sont généralement représenté par la forme canonique de leur fonction de transfert. © Année Universitaire : 2013–2014, David FOLIO V.3 Filtrage analogique 26 filtre : H(ω) = vout vin Source re x( t ) vin vg iout éa i Zg iin lin On s’intéresse ici uniquement au cas où la charge Zu à une impédance infinie. On dit alors que l’étude du filtre se fait en sortie ouverte car iout (t) = 0 et que la fonction de transfert est intrinsèque au y( t ) Charge Zu vout Zu =∞ Généralement les filtres sont classés selon la forme (ie. nature) de leur fonction de transfert. Ainsi les filtres les plus courants sont les suivants : 1. filtre passe-bas : ne laisse passer que les fréquences au-dessous de sa fréquence de coupure. 2. filtre passe-haut : ne laisse passer que les fréquences au-dessus d’une fréquence de coupure. Il atténue les autres (basses fréquences). 3. filtre passe-bande : ne laisse passer qu’une certaine bande de fréquences (et atténue tout ce qui est au-dessus ou en dessous). 4. filtre rejecteur ou coupe-bande : le complémentaire du passe-bande, il atténue une plage de fréquences. 5. filtre passe-tout ou déphaseur : filtre qui a idéalement un gain unitaire sur toute la plage de fréquence utilisée. Il est utilisé pour modifier la phase d’un système. Passe Bas Passe Haut Passe Bande Coupe Bande fc f cb f 0 f ch f cb f 0 f ch fc Table V.2 – Différents types (ou classes) de filtres. V.3.2 Filtres du 1er ordre Filtres passe-bas du 1er ordre Un filtre passe-bas du premier ordre à pour fonction de transfert : 1 H(ω) = G0 1 + x (V.8) ω est la pulsation réduite ω0 G0 est le gain statique x= 1 Exemple V.3.3 (Circuit RC). ZR = R, ZC = Cω , et iout = 0 vout H(ω) = vin Diagramme de Bode • x→0: GdB = 0, et ϕ=0 • x→∞: GdB = −20 log x, et ϕ = −90° • ωc = ω0 Cycle 1, INSA-CVL, ÉlectroCinétique II 27 Chap. V Réponses fréquentielles Filtres passe-haut du 1er ordre Un filtre passe-haut du premier ordre à pour fonction de transfert : x H(ω) = G0 1 + x (V.9) ω est la pulsation réduite ω0 G0 est le gain statique x= 1 Exemple V.3.4 (Circuit RC). ZR = R, ZC = Cω , et iout = 0 vout H(ω) = vin Diagramme de Bode • x→0: GdB = −20 log x, et ϕ = 90° • x→∞: GdB = 0, et ϕ=0 • ωc = ω0 Iin Iout C Vin R Vout Composition de filtres du 1er ordre Très souvent une fonction de transfert peut se mettre sous la forme d’un produit ou d’un rapport de fonctions de transfert d’ordre 1 comme : H(ω) = G0 On pose alors : H1 (ω) = 1 + H2 (ω) = 1 + ω ω1 ω ω2 1+ 1+ ω ω1 ω ω2 (V.10) 7→ H(ω) = G0 HH12 (ω) (ω) Diagramme de Bode : dB dB • GdB = GdB 0 + G1 (ω) − G2 (ω) • ϕ = ϕ0 + ϕ1 (ω) − ϕ2 (ω) Filtres du 2nd ordre V.3.3 On s’intéresse à présent aux fonctions de transfert du second ordre. Toute l’étude sera menée sur le circuit RLC série. Dans la pratique, on utilise des circuits autres que le RLC série mais on pourra toujours se ramener à la forme canonique en utilisant les grandeurs caractéristiques telles que le facteur de qualité Q, la pulsation réduite x = ωω0 avec ω0 la pulsation propre du circuit. uR uL uC En effet, on rappel qu’un circuit RLC constitue un circuits linéaires du 2nd ordre ,→ Equations différentielles du 2nd ordre R L C uin(t) • ω0 = √ 1 : pulsation LC 2 d uC d uC propre LC + RC + uC (t) = u(t) R dt dt2 • ξ = 2L : amortissement 1 0 • Q = Lω = RCω : facR 0 teur de qualité La solution : y(t) = yh (t) + yp (t) • yh (t) : la solution homogène yh (t) = A1 er1 t +A2 er2 t ,→ obtenue sans second membre (ie. régime RLC propre, cf. chap III) • yp (t) : la solution particulière ,→ Même “nature” que u(t), soit yp (t) = B1 cos(ωt + φ) (régime sinusoïdal forcé) © Année Universitaire : 2013–2014, David FOLIO V.3 Filtrage analogique 28 Filtres passe-bas du 2nd ordre Un filtre passe-bas du 2nd ordre à pour fonction de transfert (forme canonique) : H(ω) = G0 1+ x Q 1 + (x)2 (V.11) ω est la pulsation réduite ω0 G0 est le gain statique Q : facteur de qualité x= 1 Exemple V.3.5 (Circuit RLC passe-bas). Soit ZR = R, ZC = Cω , ZL = Lω, iout = 0 et uC uout = uC . La fonction de transfert est définie par : H(ω) = uin Diagramme de Bode x→0: GdB = 0, et ϕ=0 x→∞: GdB = −40 log x, et ϕ = −180° ωc = ω0 q 1 − 2Q1 2 , ssi Q > √12 . On dit alors qu’il y GdB passe par un maximum pour xr = 4 4Q a résonance en tension. Ce maximum vaut alors : GdB = 10 log max Q4 −1 ,→ Si Q < √1 2 il n’y a pas de résonance, et GdB (x) est strictement décroissante. Filtre passe-bas du second ordre 50 Q=10 Gain (dB) 0 Q=0.1 -50 -100 -150 0 Phase (deg) -45 -90 -135 -180 10 -3 10 -2 10 -1 0 10 Pulsation réduite x (rad/s) 10 1 10 2 10 3 Fig. V.4 – Diagramme de Bode d’un filtre passe-bas d’ordre 2 Cycle 1, INSA-CVL, ÉlectroCinétique II 29 Chap. V Réponses fréquentielles Filtre passe-haut du second ordre 50 Q=10 Gain (dB) 0 Q=0.1 -50 -100 -150 180 Phase (deg) 135 90 45 0 10 -3 10 -2 10 -1 0 10 Pulsation réduite x (rad/s) 10 1 10 2 10 3 Fig. V.5 – Diagramme de Bode d’un filtre passe-haut d’ordre 2 Filtres passe-haut du 2nd ordre Un filtre passe-haut du 2nd ordre à pour fonction de transfert (forme canonique) : (x)2 H(ω) = G0 1 + x + (x)2 Q (V.12) ω est la pulsation réduite ω0 G0 est le gain statique Q : facteur de qualité x= Exemple V.3.6 (Circuit RLC passe-haut). Soit ZR = R, ZC = uL uout = uL . La fonction de transfert est définie par : H(ω) = uin 1 , Cω ZL = Lω, iout = 0 et Filtres passe-bande Un filtre passe-bande à pour fonction de transfert (forme canonique) : 1 x H(ω) = G0 = G 0 x 1 + Q + (x)2 1 + Q x − x1 ω x= est la pulsation réduite ω0 G0 est le gain statique 0 Q = ω ω−ω : facteur de qualité c2 c1 (V.13) La bande passante BP d’un filtre passe-bande est l’intervalle de pulsations [ωc1 ; ωc2 ] qui correspond aux pulsations telles que : Gmax ∀x ∈ [xc1 ; xc2 ], G(x) ≥ √ 2 ,→ Plus Q est grand plus la BP est étroite, le filtre est dit alors sélectif 1 Exemple V.3.7 (Circuit RLC passe-bande). ZR = R, ZC = Cω , ZL = Lω, iout = 0 et uR uout = uR . La fonction de transfert est définie par : H(ω) = uin © Année Universitaire : 2013–2014, David FOLIO V.3 Filtrage analogique 30 Filtre passe-bande du second ordre 20 Q=10 Gain (dB) 0 -20 Q=0.1 -40 -60 -80 90 Phase (deg) 45 0 -45 -90 10 -3 10 -2 10 -1 0 10 Pulsation réduite x (rad/s) 10 1 10 2 10 3 Fig. V.6 – Diagramme de Bode d’un filtre passe-bande d’ordre 2 Filtres coupe-bande Un filtre coupe-bande (ou rejecteur de bande) à pour fonction de transfert (forme canonique) : x 1 H(ω) = G0 = G (V.14) 0 x 1 + Q + (x)2 1 + Q x − x1 ω est la pulsation réduite ω0 G0 est le gain statique Q : facteur de qualité x= Exemple V.3.8 (Circuit RLC coupe-bande). uout = uL + uC uL + uC H(ω)= uin ZR = R, ZC = 1 , Cω ZL = Lω, iout = 0 et Cycle 1, INSA-CVL, ÉlectroCinétique II Chapitre VI L ES A MPLIFICATEURS Dans ce chapitre, nous allons présenter et étudier un nouveau composant actif : l’amplificateur opérationnel (AOP). C’est un composant très utilisé en électronique car il permet de faire de nombreuses opérations sur les signaux. En effet, les amplificateurs sont utilisés pratiquement partout. Ils servent à amplifier, filtrer, détecter, transformer des signaux, etc. Suivant les domaines d’utilisations, différents composants électroniques permettent de réaliser la fonction amplifier. VI.1 L’Amplification VI.1.1 Généralités sur les amplificateurs Fonction : amplifier la puissance du “signal d’entrée”. Définition 1 (Amplificateurs). Un amplificateur est un système électrique capable de transformer une partie de l’énergie qu’il reçoit d’une source et d’un circuit d’alimentation en un signal de sortie dont la u ≈ η = PcP+P a puissance à augmenter. ,→ La puissance à la sortie est supérieur à la puissance du signal d’entée. Pu Pa Un amplificateur est constitué d’un ensemble de composants passifs actif pouvant amplifier des courants ou tensions. Pour que l’amplificateur puisse fonctionner, il est nécessaire de l’alimenter avec une tension d’alimentation (eg. continue). Tout amplificateur doit être alimentée par une source d’énergie externe ,→ L’alimentation des amplificateurs ne sera pas considérer dans se cours. S’il fonctionne en régime linéaire, l’amplificateur est caractérisée par son gain K(ω) = out (en puissance, en tension ou en courant) qui correspond au rapport entre les signaux in de sortie et d’entrée. Xin Tension Courant Xout Tension Tension Tension Courant Courant Courant Type de gain Tension Trans-résistance Transconductance Courant K Av = vvout in rm = viout in gm = iout vin Ai = iout iin Table VI.1 – Différents type de gain selon la nature des signaux d’entrée et de sortie. 31 VI.1 L’Amplification VI.1.2 32 Classifications des Amplificateurs Il existe une grande quantité de classifications, elles découlent souvent des différentes caractéristiques du schéma de l’amplificateur. Toutes ces caractéristiques ont une influence sur les paramètres et les performances de l’amplificateur. Afin de décrire un amplificateur, on peut ainsi les classés selon : • Classification par plage de fréquences ,→ Ex.: continue f = 0Hz, audio B=[20 ;20k]Hz, bande étroite, bande large, etc. . . • Classification par fonction d’amplification ,→ Ex.: amplificateurs linéaires, amplificateurs différentiels, amplificateurs audio ou vidéo, etc. . . • Classification par type de montage pour les étages amplificateurs à transistors. • Classification par classe de puissance : Classe A : la totalité du signal d’entrée est utilisée (100%) Classe B : la moitié du signal d’entrée est utilisée (50%) Classe C : moins de la moitié du signal d’entrée est utilisée Classe D . . . H, etc. • etc. . . VI.1.3 Les Applications À l’origine le terme “amplificateur ” désignait principalement les composants destinés à effectuer divers “opérations arithmétiques”. Depuis, l’emploi des amplificateurs dans les appareils c’est généralisé du fait de ses bonnes performances et de sa simplicité. Il est ainsi souvent utilisé pour transformer des signaux analogiques et numériques. On le retrouve ainsi dans un grand nombre d’applications : Amplificateur linéaire Amplificateurs de précision Amplificateurs à gains programmables Amplificateurs faible consommation Amplificateur de puissance Amplificateur à collecteur ouvert Amplificateur d’isolement, etc. . . VI.1.4 Amplificateur non-linéaire Convertisseur Numérique ↔ Analogique Fonction logique (NOR, NAND. . . ) Mise en forme des signaux, horloge, astables. . . Amplificateurs intégrés La conception d’un amplificateur est toujours un compromis entre plusieurs facteurs comme le coût, la consommation énergétique, les imperfections des composants et le besoin de rendre l’amplificateur compatible avec le générateur du signal d’entrée et la charge en sortie. Cycle 1, INSA-CVL, ÉlectroCinétique II 33 Chap. VI Amplificateurs Pour faciliter l’utilisation des amplificateurs, ils sont souvent disponible sous la forme d’un circuit intégré. Un circuit intégré (CI) est lui-même un type de composant constitué de plusieurs composants sous forme miniaturisée. Le circuit intégré permet de reproduire une ou plusieurs fonctions électroniques plus ou moins complexes, facilitant sa mise en œuvre. Ils contient principalement des transistors, des diodes, des résistances, des condensateurs, plus rarement des inductances car elles sont difficile miniaturiser. Fig. VI.1 – Exemple de schéma interne (LM 741) Le plus connu des amplificateurs intégrés est l’amplificateur opérationnel (souvent appelé ampli-op, AOP, AO), mais il existe une multitude d’amplificateurs intégrés spécialement conçus pour une application précise. Par exemple, les amplificateurs d’instrumentations pour amplifier les signaux issus de capteurs, les amplificateurs audio ou les drivers de lignes ADSL pour amplifier les signaux ADSL avant qu’ils ne soient envoyés sur une ligne téléphonique. VI.2 L’Amplificateur Opérationnel (AOP) VI.2.1 Présentation de l’AOP Définition 1 (Amplificateur Opérationnel). L’Amplificateur Opérationnel (souvent appelé ampli-op, AOP, AO, ALI, AIL) est un amplificateur différentiel. Il s’agit d’un amplificateur électronique qui amplifie la différence de potentiel électrique présente à ses entrées. Amplificateur Opérationnel (AOP) est ainsi un composant actif à 8 bornes : 2 bornes d’entrées, notées V+ et V− 1 borne de sortie : Vout 2 bornes d’alimentation1 , notées +Vcc et −Vcc 2 bornes de réglages, noté offset 1 borne non connectée Symboles : offset v+ Vd v− ∞ Vout − −Vcc Notation européenne 8 NC 2 7 Vcc V− 3 -Vcc 4 +Vcc + 1 V+ v+ V d v− + 6 Vout 5 offset +Vcc Vout − −Vcc Notation américaine ,→ Afin de simplifier les schémas, on ne représentera plus nécessairement les bornes d’alimentation. Mais il ne faut pas oublier qu’elles existent toujours. 1. Il ne faut jamais oublier de brancher en premier l’alimentation de l’AOP, et de la déconnecter en dernier. Dans le cas contraire il y a risque de destruction des composants. © Année Universitaire : 2013–2014, David FOLIO VI.2 L’Amplificateur Opérationnel (AOP) 34 Par convention on adopte : À l’entrée la convention récepteur • L’entrée ’−’ ; s’appelle entrée inverseuse • L’entrée ’+’ ; s’appelle entrée non-inverseuse • La tension différentielle d’entrée est définie par : Vd ≡ V+ − V− • Les courants i+ et i− sont appelés courants de polarisation. À la sortie la convention générateur ,→ Amplificateur différentiel, donc a priori on aurait : Vout = KVd VI.2.2 i+ v+ Vd i− v− + ∞ i+ − Vout Caractéristiques Caractéristique statique Une caractéristique2 est dite statique lorsqu’elle correspond à des grandeurs constantes dans le temps. À régime linéaire, où Vout = Ad0 (Vd − Voffset ) ,→ Ad0 correspond au gain différentiel statique, typiquement Ad0 ≈ 105 ,→ Voffset correspond à la tension de décalage, typiquement Voffset ≈ 0.1 V +Vsat Vout 3 ε1 ε+ Vd -Vsat Á et  régime de saturation (domaine non2 linéaire) ,→ Les tensions de saturation sont telles que +Vsat ≈ −Vsat et ±Vsat < Vcc . ,→ L’AOP peut fonctionner selon deux modes de fonctionnement : linéaire et saturé Caractéristique dynamique ,→ En régime sinusoïdal et en mode linéaire le comportement des AOP peut être caractériser par son gain complexe : Ad0 Ad (ω) = (filtre passe-bas du 1er ordre) 1 + ωωc Caractéristique idéale Vout Des courants de polarisation nuls : +Vsat i+ = 0 A et i− = 0 A ,→ Vue de l’entrée, l’AOP est équi1 valent à une résistance très grande (infinie) Une tension de décalage nulle : 2 Voffset = 0 V -Vsat Un gain différentielle statique infinie : Ad0 → ∞ ,→ SSi l’AOP est dans sa zone linéaire, alors Vd = 0 ⇔ V+ = V− 3 Vd 2. Rappel : la caractéristique électrique décrit le comportement du composant. Cycle 1, INSA-CVL, ÉlectroCinétique II 35 Chap. VI Amplificateurs Si l’AOP est dans sa zone de saturation : Si Vd > 0 ⇒ Vout = +Vsat Si Vd < 0 ⇒ Vout = −Vsat VI.2.3 Étude du Fonctionnement des AOP idéaux Fonctionnement sans rétroaction On a : Vd = V+ − V− La présence de la moindre tension à l’entrée vin entraîne la saturation de l’AOP : • si Vin > Vref , alors : ....................... • si Vin < Vref , alors : ....................... ,→ Le fonctionnement n’est jamais linéaire, on obtient un montage comparateur Exercice VI.1. Pour le montage comparateur ci-dessus les caractéristiques de l’AOP sont les suivantes : ±Vsat = 15 V. On fixe Vref = 5 V, et vin est un signal alternatif sinusoïdal d’amplitude 10 V. Tracer l’allure du signal de sortie vout . Pour que l’AOP puisse fonctionner dans son régime linéaire, il est nécessaire qu’il y ait une rétroaction de la sortie sur une des entrées. Fonctionnement avec une rétroaction Principe de la rétroaction (Eng.: feedback) : Une rétroaction consiste à ré-injecter une fraction β du signal de sortie Xout vers l’entrée du système A Xout = Xin = KXin 1 ± βA ,→ K = XXout le gain global du système in ±? β X out Année Universitaire : 2013–2014, David FOLIO A β X out ici A définit la chaîne d’action, et β le taux de rétroaction. Si βA > 0 la rétroaction est dite positive Si βA < 0 la rétroaction est dite négative ou contre-réaction Application à l’AOP © + X in± β X out X in VI.2 L’Amplificateur Opérationnel (AOP) 36 Si la sortie Vout est reliée à V+ : rétroaction positive • Si Vout augmente, V+ augmente, faisant augmenter Vd , et Vout doit donc encore plus augmenter, V+ augmente, . . . • Une rétroaction positive conduit à un emballement (instabilité) du système. β Vd + − A Vout Si la sortie Vout est reliée à V− : rétroaction négative • Si Vout augmente, V− augmente, faisant diminuer Vd , Vout doit donc diminuer • Une rétroaction négative a tendance à stabiliser le système. Conséquence des rétroactions Si rétroaction uniquement sur l’entrée non-inverseuse : alors l’AOP est en régime de saturation. ,→ C’est systématique, il n’y a pas d’exception Si rétroaction uniquement sur l’entrée inverseuse : alors l’AOP est en régime linéaire. ,→ Il y a quelques “rare” exceptions S’il y a deux rétroactions, une sur l’entrée inverseuse et une autre sur l’entrée non inverseuse, l’AOP peut être aussi bien en régime linéaire qu’en régime de saturation. ,→ Cas non abordé cette année. . . VI.2.4 Circuit à base d’AOP Idéal Montages de base en régime linéaire Montage amplificateur non-inverseur Considérons le montage ci-contre et cherchons la relation entre la tension de sortie Vout et la tension d’entrée Vin Contre-réaction : la sortie est reliée à l’entrée inverseuse ,→ L’AOP est en régime linéaire, conduisant à Vd = 0 Rappel du théorème de Millman N X VM = Ek Yk k=1 N X k=1 Yk Z1 Z2 ZK ZN E1 E2 EK EN VM Appliquer le théorème de Millman à la sortie de l’AOP est au mieux inutile, sinon faux ! Cycle 1, INSA-CVL, ÉlectroCinétique II 37 Chap. VI Amplificateurs Montage amplificateur inverseur Considérons le montage ci-contre et cherchons la relation entre la tension de sortie Vout et la tension d’entrée Vin Contre-réaction : la sortie est reliée à l’entrée inverseuse ,→ L’AOP est en régime linéaire, conduisant à Vd = 0 Exercice VI.2. Montrer que lorsque 1. Z2 est une capacité C et Z1 une résistance R, on a un montage dérivateur : vout (t) = −RC d vin dt 2. Z1 est une capacité C et Z2 une résistance R, on a un montage intégrateur Z : 1 vout (t) = − vin dt RC Remarque VI.1. Aucune hypothèse n’est fait sur la nature des grandeurs électriques. Ainsi on peut aussi bien considérer le cas où la tension d’entrée Vin est continue ou variable (eg. régime alternatif sinusoïdal). Dans ce dernier cas il s’agit de considérer les grandeurs complexes et raisonner en impédance complexe. Dans les montages amplificateurs linéaires, l’AOP nécessite une contre-réaction ! ,→ L’AOP peut ainsi être en régime linéaire, conduisant à Vd = 0 Suiveur Convertisseur courant à tension Amplificateur différentielle Amplificateur sommateur Table VI.2 – Autres exemples de montages amplificateurs linéaires Exercice VI.3. Pour les montages amplificateurs linéaires du tableau VI.3, exprimer la tension de sortie Vout en fonction des éléments du montage et des grandeurs d’entrées. © Année Universitaire : 2013–2014, David FOLIO VI.2 L’Amplificateur Opérationnel (AOP) 38 Montages non-linéaire Nous avons vu que l’AOP sans réaction fonctionne en régime non-linéaire. De même, en reliant la sortie à l’entrée non-inverseuse induit une rétroaction positive, plaçant l’AOP dans son régime non-linéaire. Dans ce cas sont comportement est définit par : • Si Vd > 0 ⇒ Vout = +Vsat • Si Vd < 0 ⇒ Vout = −Vsat Comparateur à deux seuils non-inverseur Comparateur à deux seuils inverseur Vout Vout +Vsat +Vsat Vin Vin Cycle d’hystérésis Cycle d’hystérésis Table VI.3 – Autres exemples de montages amplificateurs linéaires VI.2.5 Filtrage Actif L’AOP peut être utilisé dans son régime linéaire pour réaliser du filtrage actif. En effet, l’AOP est un composant actif. Il s’agit ainsi généralement de lui associé des résistances et des capacités. Filtre actif du 1er ordre : Intégrateur : R2 R1 Vin − + C Vout H(ω) = − R2 1 R1 1+R2 Cω H(ω) = − R2 Cω 1 + R1 Cω Dérivateur : R2 R1 C vin − + vout Cycle 1, INSA-CVL, ÉlectroCinétique II 39 Chap. VI Amplificateurs Filtre actif du 2nd ordre : Filtre passe-bande du 2nd ordre R2 R1 C1 Vin − + C2 Vout H(ω) = − R2 C1 ω (1 + R1 C1 ω) (1 + R2 C2 ω) Filtre actif d’ordre supérieur : L’impédance d’entrée des AOP étant très élevé (ie. i+ = 0 et i− ), il est possible de cascader des cellules de filtre actifs élémentaires pour construire des filtres d’ordres supérieur (contrairement aux filtres passifs) : ⇔ © Année Universitaire : 2013–2014, David FOLIO H(ω) = H1 (ω) × H2 (ω) × . . . VI.2 L’Amplificateur Opérationnel (AOP) 40 Cycle 1, INSA-CVL, ÉlectroCinétique II Annexe A R ÉFÉRENCES B IBLIOGRAPHIQUES Pour en savoir plus en Électrocinétiques [1] R. Noel, J.M. Brébec, P. Denève, T. Desmarais, M. Ménétrier, B. Noël, and C. Orsini. Électronique/Électrocinétique 1ère année MPSI-PCSI-PTSI. Hachette, 2003. [2] Emmanuel Desvoivres. Électrocinétique, 1ère année MPSI PCSI PTSI: exercices corrigés Lavoisier, 2004. [3] Jean-Marie PARISI. Électrocinétique, électronique, 2ème période: MPSI PCSI PTSI: rappels de cours, méthodes, exercices corrigés. Lavoisier, 2004. [4] B. Gendreau and C. Gripon. Électrocinétique: MPSI-PCSI-PTSI. Classe prépa. Nathan, 2006. [5] G. Rosset. Electrocinétique PCSI. Les Nouveaux précis Bréal, 2003. [6] Becherrawy Tamer. Électrocinétique: cours et exercices corrigés. Lavoisier, 2008. Pour aller un peu plus loin [7] J. Auvray. Électronique des signaux analogiques. Dunod université. Dunod, 1993. [8] J.P. Brodier, P. Horowitz, J.P. Charlier, W. Hill, and J.C. Sabatier. Traité de l’électronique analogique et numérique: Techniques analogiques. Number 1 in La Bibliothèque d’électronique d’Elektor. Elektor, 2009. [9] T.L. Floyd. Électronique: composants et systèmes d’application. Reynald Goulet, 5ème edition, 2004. [10] M. GIRARD. Amplificateurs operationnels. Number 1 in Electronique analogique. Ediscience international, 1995. [11] A.P. Malvino, J.A. Hernandez, R. Joly, D.J. Bates, and B. Boittiaux. d’électronique. Sciences Sup. Dunod, Paris, 7ème edition, 2008. Principes [12] J.J. Rousseau. Introduction à l’électronique: cours et exercices corrigés. Universités électronique. Ellipses, 1999. 41