MULTIPLICATION I) Vocabulaire 1) Définition Lorsqu’on multiplie deux nombres, on obtient le produit de ces deux nombres. Chaque nombre que l’on multiplie est appelé facteur. Exemple : 7 6 42 facteur facteur à la main 2 1 5 1 7 7 2 2 2 4 produit à la calculatrice, il faut taper : 6 3 8 0 8 A yn-1 7 6 x xn xn-1 % 2 3 = 2) Propriétés Lors d’un calcul d’un produit de plusieurs facteurs, on peut : 1) changer l’ordre des facteurs, 2) regrouper différemment les facteurs. Exemple : calcul mental 5 7, 2 2 7, 2 5 2 on change l’ordre des facteurs on regroupe différemment les facteurs 7, 2 10 72 On change l’ordre des facteurs puis on regroupe différemment les facteurs II) Ordre de grandeur d’un produit 1) Propriété Avant d’effectuer un calcul (mental, à la main, ou à la machine), il peut être utile de connaître l’ordre de grandeur du résultat. Ceci permet parfois d’éviter des erreurs. Pour obtenir un ordre de grandeur d’un produit, on peut multiplier des ordres de grandeur de chaque facteur. Exemple : Ordre de grandeur du produit 189 608 Un ordre de grandeur de 189 peut être 200 Un ordre de grandeur de 608 peut être 600 Donc un ordre de grandeur de 189 608 peut être 200 600 c'est-à-dire 1200 III) Multiplication par 10 ; 100 ; … ou par 0,1 ; 0,01 ;… Voir activité 5 et 6 p 48 : multiplications 5 2 3 Dixièmes Unités Dizaines Dixièmes Unités 3, Centièmes 1) Par 10, 100, 1 000… 5, 2 Dans une écriture décimale, la valeur de chaque chiffre dépend de sa position dans cette écriture. En multipliant un nombre par 10, on augmente la puissance de chacun de ses chiffres. 35,2 est 10 fois plus grand que 3,52 5 2 0, 3 5 Millièmes Centièmes Dixièmes Unités Dixièmes Unités 3, Centièmes 2) Par 0,1 ; 0,01 ; 0,001… 2 En multipliant un nombre par 0,1 , on diminue la puissance de chacun de ses chiffres. 0,352 est 10 fois plus petit que 3,52 Exercices 31, 32, 33 page 56 IV) Multiplication de deux nombres décimaux 1) Calcul « à la main » Pour multiplier à la main deux nombres décimaux : 1) on multiplie les deux nombres en ignorant les virgules ; 2) on place la virgule dans le produit en comptant le nombre total de chiffres après la virgule dans les facteurs. Exemples : 1 4,5 3 7,2 2 9 0 6 1 + 2 = 3 chiffres 0,5 4 6 0,8 9 4 9 1 4 3 + 2 = 5 chiffres 2) A la calculatrice Exemples : x y Ran# yn xn-1 1 4 . 5 3 x Rnd Ran# yn y yn-1 x 0 . 5 4 6 A Ran# xn % 7 . 2 = Rnd Ran# B r % 0 . 8 9 = ATTENTION Un produit n’est pas toujours supérieur à chacun de ses facteurs. Exemple : 0, 2 0,3 0, 06 or 0,06 0, 2 et 0, 06 0,3 MULTIPLICATION ET DIVISIONS DES FRACTIONS I) Comment multiplier des nombres en écriture fractionnaire ? 1) Savoir faire voir activité 7 page 41 a et b : « produit de deux nombres en écriture fractionnaire » Pour multiplier deux nombres relatifs en écriture fractionnaire : 1) on multiplie les deux numérateurs entre eux ; 2) on multiplie les deux dénominateurs entre eux. Notation : Soient a, b, c, d quatre nombres relatifs avec b et d non nuls (différents de 0), alors on a : a c ac b d bd Voir activité 8 page 41 et 42 : « Avant ou après » Il est judicieux de simplifier au maximum avant d’effectuer les produits. Exemple : 4 3 10 A 5 4 9 2) Etude de quelques exemples 2 7 … 3 13 16 14 16 14 8 2 7 2 4 7 8 78 78 32 5 … 15 8 II) Comment diviser des nombres en écriture fractionnaire ? 1) Inverse d’un nombre en écriture fractionnaire voir activité 10 page 42 : « Inverse et écriture fractionnaire » Deux nombres sont dits inverses l’un de l’autre si leur produit est égal à un. Exemples : 5 et 1 1 sont inverses l’un de l’autre car 5 1 5 5 2 3 2 3 est l’inverse de car 1 3 2 3 2 Remarque : Ne surtout pas confondre avec l’opposé Conséquence : Soit a un nombre relatif non nul, son inverse est 1 , on le note aussi a-1 lire a puissance -1. a Exemples : 3-1 = 7-1 = 1/5-1 = 3/7-1 = CALCULATRICE x-1 2) Quotient de nombres en écriture fractionnaire Voir activité 11 page 42 : Quotient de a c par b d Pour diviser un nombre en écriture fractionnaire par un autre non nul, on multiplie la première fraction par l’inverse de la deuxième. Notation : Soient a, b, c, d des nombres relatifs avec b, c et d non nuls, alors a a 1 b a: c ad a et c b d b c b b d Exemples : 5 12 : =… 4 13 7 5 : =… 3 2 2 3: … 3 2 3 … 4 5 3 7 … 5 7 4 de ces élèves sont des externes. des externes sont des garcons. 12 7 1) Combien y a-t-il d’élèves externes dans cette classe ? 2) Combien y a-t-il de garçons externes dans cette classe ? 3) Quelle fraction des élèves, les garçons externes représentent-ils ? MULTIPLICATION ET DIVISION DES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS La 4ème A compte 24 élèves. I) Multiplication de nombres relatifs 1) Multiplication de deux nombres relatifs Voir les activités : « POSITIF NEGATIF » et « NEGATIF NEGATIF ». Pour multiplier deux nombres relatifs, 1) On détermine le signe du produit : * si les deux nombres sont de même signe, le produit est positif ; * si les deux nombres sont de signes différents, le produit est négatif. 2) On multiplie leurs distances à zéro. Exemples : (-3) (-8) = (+24) (+6) (+2) = (+12) (-5) (+8) = (-40) (+6) (-4) = (-24) ATTENTION : La multiplication et l’addition ont des règles de signes différentes. (-5) (-2) = +10 (-5) + (-2) = -7 2) Multiplication de plusieurs nombres relatifs Voir l’activité : « SIGNE D’UN PRODUIT ». Pour multiplier plusieurs nombres relatifs, 1) On compte le nombre de facteurs négatifs : *si le nombre est pair alors le produit est positif ; *si le nombre est impair alors le produit est négatif. 2) On multiplie les distances à zéro. Exemples : (-4,2) (-3,1) (2,7) (-5,1)=-(4,2 3,1 2,7 5,1) =-179,2854 (4,2) (-3,1) (-2,7) (5,1)=+ (4,2 3,1 2,7 5,1) =179,2854 3) Propriétés Soit a un nombre relatif. On a a 0=0 et a 1=a II) Division de deux nombres relatifs Voir l’activité : « Divisions des nombres relatifs » Activités 9 et 10 (au b ne pas faire les calculs) p 17 Pour diviser deux nombres relatifs (le diviseur n’étant pas nul) 1) On détermine le signe du quotient en appliquant la propriété des signes de la multiplication. 2) On divise leurs distances à zéro. Exemples : (-8) : (-2) = (+4) (+15) : (-3) = (-5) III) Priorités dans les calculs 1) Propriétés En présence de parenthèses, les calculs entre parenthèses sont prioritaires devant les autres calculs. En l’absence de parenthèses, les multiplications et divisions s’effectuent avant les additions et soustractions. Exemples : -7 + 10 : 5 = -7 + 2 = -5 (8-2) : 3 + 12 (-3+2) – 7 = 6 : 3 + 12 (-1) - 7 = 2 – 12 – 7 = -17 IV) Conventions d’écriture On peut supprimer le signe « » entre : *un nombre et une lettre ; *deux lettres ; *un nombre et une parenthèse ; *une lettre et une parenthèse ; *deux parenthèses. Exemples : 5 a = 5a a b = ab 7 (a + 3) = 7 (a + 3) a (x + 5) = a (x +6) ATTENTION AUX ÉCRITURES x et ×