Chapitre VII Chapitre VII : Noyau et Image

Chapitre VII
Chapitre VII : Noyau et Image
Introduction
Après avoir vu tout une série d’exemples, nous allons étudier les
applications linéaires plus en détails.
Applications injectives/surjectives
Il est souvent utile de savoir si une application linéaire est injective
et/ou surjective. Rappelons qu’une fonction (pas nécessairement
linéaire)
f :A→B
est injective si deux éléments distincts de A ont des images
distinctes (c’est-à-dire si x, y ∈ A et f (x) = f (y ) alors x = y ). Elle
est surjective si tout point dans B est dans l’ensemble image de
f :
Im(f ) = {y | y = f (x) pour un certain x ∈ V }.
Donc f est surjective si Im(f ) = B.
Applications injectives/surjectives
Exemple 1
La fonction f : R → R : x 7→ x 2 n’est ni injective (vu que
f (1) = f (−1)) ni surjective (vu que les réels négatifs ne sont pas
dans l’image de f ).
Si f : A → B est une application quelconque (pas nécessairement
linéaire) on a
Im(f ) ⊆ B
mais Im(f ) 6= B en règle générale. Ici, on a par exemple
Im(f ) = R+ .
Image
Exemple 2
L’application
f : R → R2 : x 7→ (x, 8x)
est linéaire et son image est la droite vectorielle d’équation
y = 8x.L’application
g : R2 → R2 : (x, y ) 7→ (2x, 3y )
est linéaire et son image est R2 tout entier. En effet, quel que soit
(z, t) ∈ R2 on a
z t
f ( , ) = (z, t)
2 3
donc (z, t) est bien dans l’image de g .
Image
Proposition 1
Soient V et W deux espaces vectoriels sur K et f : V → W une
application linéaire. Alors Im(f ) est un sous-espace vectoriel de W .
Démonstration : Il faut montrer que 0W est dans Im(f ), que si
u, v ∈ Im(f ) alors u + v ∈ Im(f ) et que si u ∈ Im(f ) et λ ∈ K
alors λu ∈ Im(f ).
L’élément neutre 0W est dans l’image vu que f (0V ) = 0W (donc
0W est l’image par f du neutre 0V ).
Image
Si u, v ∈ Im(f ) alors il existe z, t ∈ V tels que u = f (z) et
v = f (t). Mais alors
u + v = f (z) + f (t) = f (z + t)
donc u + v ∈ Im(f ). Finalement, si λ ∈ K il vient
λu = λf (z) = f (λz)
et donc λu ∈ Im(f ). Noyau
Pour voir si l’application linéaire f : V → W est surjective, on
regarde son image. Pour voir si elle est injective, on regarde plutôt
son noyau, noté Ker(f ), et défini par :
Ker(f ) = {x ∈ V | f (x) = 0W }.
Noyau = "Kernel" (en anglais)
Noyau
Proposition 2
Le noyau Ker(f ) de l’application linéaire f : V → W est un
sous-espace vectoriel de V .
Démonstration : Si u, v ∈ Ker(f ) alors u + v aussi vu que
f (u + v ) = f (u) + f (v ) = 0W + 0W = 0W .
De même, λu ∈ Ker(f ) dès que λ ∈ K vu que
f (λu) = λf (u) = λ0W = 0W .
Noyau
Proposition 3
Soient V et W deux espaces vectoriels sur K et f : V → W une
application linéaire. Alors f est injective si et seulement si
Ker(f ) = {0V }.
Démonstration : Supposons que f est injective. Si x ∈ Ker(f ) alors
f (x) = 0W donc x = 0V vu que f (0V ) = 0W et f est injective.
Donc Ker(f ) = {0V }. De même, si Ker(f ) = {0V } et si
f (x) = f (y ) on en déduirait f (x) − f (y ) = 0W donc f (x − y ) = 0W
donc x − y ∈ Ker(f ) et donc x − y = 0V c’est-à-dire x = y . Noyau
Exemple 3
L’application
f : C[X ] → C : p(X ) 7→ p(0)
est une forme linéaire sur l’espace vectoriel C[X ] des polynômes à
coefficients complexes. Le noyau est constitué des polynômes p(X )
tels que p(0) = 0, c’est-à-dire les polynômes p qui n’ont pas de
terme indépendant. Par exemple, p(X ) = (1 + i)X + X 2 est dans le
noyau mais pas q(X ) = i − 2X 3 . Donc, f n’est pas injective.
Noyau
Exemple 4
Considérons l’opérateur linéaire
f : R3 → R3 : (x, y , z) 7→ (x + y + z, x − y , x + z).
Le noyau de f est l’ensemble des éléments de R3 qui sont envoyés
sur (0, 0, 0) par f . Donc, (x, y , z) ∈ Ker(f ) si et seulement si


x + y + z = 0
(1)
x −y =0


x +z =0
On résout le système et on trouve Ker(f ) = {(0, 0, 0)} donc f est
bien injective.
Noyau et image
Exemple 5
Considérons maintenant l’opérateur
f : R3 → R3 : (x, y , z) 7→ (x, y , 0).
Le noyau est Ker(f ) = {(0, 0, z) | z ∈ R} qui est un sous-espace de
dimension 1, donc f n’est pas injective. Remarquons que l’image
est le plan de R3 d’équation z = 0 et est donc un sous-espace de
dimension 2. Ainsi
dim(Ker(f )) + dim(Im(f )) = 3 = dim R3 .
Noyau et image
Dans l’exemple précédent, on a donc une application linéaire
f : R3 7→ R3 telle que :
dim(Ker(f )) + dim(Im(f )) = 3 = dim R3 .
En fait, cette égalité n’est pas un hasard.
Noyau et image
Théorème 6
Soit V , W deux espaces vectoriels de dimension finie sur le corps K
et f : V → W une application linéaire. Alors
dim(Im(f )) + dim(Ker(f )) = dim(V ).
L’idée de la preuve est la suivante : on prend une base {w1 , . . . , wk }
de l’image ainsi que des vecteurs v1 , . . . , vk de V tels que
f (vi ) = wi . Si {u1 , . . . , ul } est une base de Ker(f ), on montre que
B = {v1 , . . . , vk , u1 , . . . , ul }
est une base de V .
Noyau et image
Le théorème précédent implique en particulier que, si un opérateur
linéaire sur un espace vectoriel de dimension finie f : V → V est
injectif, alors il est aussi surjectif ! En effet, s’il est injectif, alors
Ker(f ) = {0V } donc dim(Ker(f )) = 0 donc
dim(Im(f )) = dim V .
Comme Im(f ) ⊆ V et dim(Im(f )) = dim V , on doit avoir
Im(f ) = V (exercice), donc f est surjectif.
Noyau et image
De même, si un opérateur linéaire f : V → V (avec V de
dimension finie) est surjectif, alors Im(f ) = V donc on doit avoir
dim(Ker(f )) = 0 et donc Ker(f ) = {0V } (c’est-à-dire, f est
injectif).
Noyau et image
Théorème 7
Soit V un espace vectoriel de dimension finie sur le corps K et
f : V → V un opérateur linéaire. Alors f est injectif si et seulement
si f est surjectif.
Donc, pour étudier l’injectivité/surjectivité de f , il suffit de calculer
son noyau et de regarder s’il est réduit à {0V } ou pas. C’est bien
pratique !
Noyau et image
Exemple 8
On avait vu lors d’un des exemples précédents que l’opérateur
f : R3 → R3 : (x, y , z) 7→ (x + y + z, x − y , x + z)
est injectif. Donc, f est aussi surjectif, c’est à-dire Im(f ) = R3 . S’il
avait fallut démontrer que Im(f ) = R3 immédiatement à partir de
la définition de f , cela aurait été plus difficile.
Noyau et image
Le théorème 7 n’est bien sûr plus vrai dans les cas ou f n’est pas
un opérateur linéaire :
Exemple 9
L’application
f : R → R2 : x 7→ (x, 0)
est linéaire. On a Ker(f ) = {0} tandis que l’image de f est la
droite vectorielle d’équation y = 0. Donc f est injective mais pas
surjective. On a cependant bien
dim(Ker(f )) + dim(Im(f )) = 0 + 1 = 1 = dim R.
Bijection
Rappelons qu’une fonction f : A → B (pas nécessairement linéaire)
est bijective lorsqu’elle est à la fois injective et surjective.
Le concept de bijection permet d’exprimer que A et B ont "le
même nombre d’éléments". La bijection f fait en effet correspondre
un élément de B à tout élément de A, et tout élément de B sera
atteint une et une seule fois.
Isomorphisme
Si l’application linéaire f : V → W est bijective, on dit que f est
un isomorphisme d’espaces vectoriels.
Le concept d’isomorphisme permet d’exprimer que V et W sont
"les mêmes" espaces vectoriels mais vu différemments. En effet, V
et W auront "le même nombre d’éléments" (vu que f est bijective)
et "la même structure" (vu que f est linéaire).
Isomorphisme
Exemple 10
Soit
R2 [X ] = {a + bX + cX 2 | a, b, c ∈ R}
l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré au plus 2.
L’ensemble R2 [X ] forme un sous-espace de R[X ]. L’application
f : R2 [X ] → R3 : a + bX + cX 2 7→ (a, b, c)
est un isomorphisme d’espace vectoriel (on le vérifie facilement).
Donc, R2 [X ] est juste une autre façon de voir l’espace vectoriel R3
muni de l’addition composante par composante.
Automorphisme
Un isomorphisme f : V 7→ V de V dans lui même est appelé
automorphisme de V ou encore permutation linéaire de V .
Résumé des points importants du chapitre
1
Les définitions du noyau et de l’image d’une application
linéaire f : V → W ,
2
Le noyau est un sous-espace de V , l’image un sous-espace de
W . L’application f est injective si et seulement si
Ker(f ) = {0V },
3
Si V et W sont de dimension finie, alors
dim(Im(f )) + dim(Ker(f )) = dim(V ),
4
Les définitions d’isomorphisme/automorphisme.