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Exemple de
réalisation
1
009
Droites remarquables du triangle
Identification
Imagiciel
Modalité
Vidéoprojection
Thème abordé
Droites remarquables du triangle
Niveau
Cycle 4
Prérequis
Objectif
Médiatrices
Médianes
Hauteurs
Illustrer une propriété
Réalisation technique
Difficulté :
Vue(s) :
Fichier(s)
2
Captures d'écran
3
Commentaires
http://url.univ-irem.fr/er35
Type
QR Code
Graphique
Algèbre
Tableur
Cas
3D
droites_remarquables.ggb
Intérêt pédagogique :
Ce fichier peut être projeté en fin d'activité pour effectuer la synthèse des résultats obtenus, ou bien en début
d'activité pour susciter le débat.
Exploitation possible en classe :
Ce fichier permet d'afficher, au choix, les hauteurs, les médiatrices et les médianes d'un triangle quelconque.
Le dynamisme de la figure autorise l'enseignant à explorer certaines configurations particulières.
Droites remarquables du triangle
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Cette figure peut aussi être utilisée dans les autres classes du collège ou du lycée afin de réactiver les
connaissances des élèves sur les droites remarquables du triangle.
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Réalisation technique
➊ Le triangle, ses médiatrices et son cercle circonscrit
, construire un triangle ABC .
• Avec l'outil
, nommer A ' , B ' et C ' les milieux respectifs des côtés [BC ], [AC ] et [AB ].
• En utilisant l'outil
• Utiliser l'outil
pour construire les médiatrices des côtés [AB ], [BC ] et [AC ].
• À l'aide de l'outil
ou
, nommer O le point d'intersection des médiatrices de [AB ] et de [AC ].
• Tracer le cercle de centre O et passant par A avec l'outil
• Avec l'outil
.
, construire les segments [AC ' ], [C ' B ], [B A ' ], [A 'C ], [C B ' ] et [B ' A] (ceux-ci viennent se
placer au-dessus des côtés déjà construits du triangle).
B
• Sélectionner les segments [AC ' ] et [C ' B ] (par exemple, depuis la
vue Algèbre à l'aide de la touche Ctrl ) et, dans le panneau des
propriétés, appliquer un codage identique à ces deux segments.
A'
C'
O
C
• Recommencer la procédure avec les segments [B A ' ] et [A 'C ],
puis avec les segments [C B ' ] et [B ' A], en appliquant un codage
différent à chaque fois.
A
B'
➋ Le codage des angles droits formés par les médiatrices et les côtés du triangle
' O, B
ƒ
ƒ
ƒ
On pourrait se contenter de construire les angles AC
A 'O et C
B 'O. Mais, à l'usage, on s'aperçoit qu'il n'est
pas forcément très esthétique que ces angles voient leur taille varier (et devenir très petite) lorsqu'on déplace les
sommets du triangle. En effet, dans GeoGebra, on peut indiquer la taille maximale souhaitée pour une marque
d'angle, mais le logiciel adapte ensuite cette taille en fonction de la distance séparant les points désignés pour
créer l'angle : plus la distance est courte, plus la marque d'angle est petite.
Pour notre figure, nous allons faire en sorte que la taille des marques d'angles ne soit pas influencée par la
distance entre les milieux des côtés du triangle et le centre du cercle circonscrit. Pour cela, il suffit de créer, pour
un milieu donné d'un côté du triangle, un point situé à une distance fixe de celui-ci, sur la médiatrice passant
par ce milieu.
• Pour créer le point U sur la médiatrice de [BC ] situé à 5 unités du point A ' , inscrire dans le champ de
saisie : U=A'+5VecteurUnitaire[Segment[A',O]].
• De la même façon, pour créer le point V sur la médiatrice de [AC ] situé à 5 unités du point B ' , inscrire
dans le champ de saisie : V=B'+5VecteurUnitaire[Segment[B',O]].
• Le point W sur la médiatrice de [AB ] et situé à 5 unités du point C ' est défini ainsi :
W=C'+5VecteurUnitaire[Segment[C',O]].
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REM
T CE
commission
inter
• À l'aide de l'outil
ƒ
ƒ
, construire les angles à
AC 'W , B
A 'U et C
B 'V : dans l'onglet Basique de leur panneau
des propriétés, choisir une mesure comprise entre 0° et 180°, vérifier que la case Marquer l'angle droit est
bien cochée et décocher la case Afficher l'étiquette.
• Cacher les points U , V et W .
➌ Les médianes
• Utiliser l'outil
• À l'aide de l'outil
pour construire les droites (A A ' ), (B B ' ) et (CC ' ).
ou
, nommer G le point d'intersection des médianes relatives aux côtés [AB ] et
[AC ].
➍ Les hauteurs
• Utiliser l'outil
• À l'aide de l'outil
pour construire les hauteurs du triangle.
ou
, nommer H le point d'intersection des hauteurs relatives aux côtés [AB ] et
[AC ].
• En utilisant l'outil
ou l'outil
, nommer H1 , H2 et H3 les pieds des hauteurs issues respectivement
de A, B et C (choisir les intersections avec les droites (AB ), (AC ) et (BC ) et non avec les côtés du triangle).
➎ Le codage des angles droits formés par les hauteurs et les côtés du triangle
Cette fois-ci, on souhaite que la taille des marques d'angles soit constante, quelle que soit la position des
sommets du triangle. Pour ce faire, on applique la même technique que celle étudiée pour la création des angles
droits entre les médiatrices et les côtés du triangle, et on crée également un point supplémentaire sur chaque
côté du triangle, situé à distance constante du pied de la hauteur.
H''3
• À l'aide du champ de saisie, créer les points H1' , H2' et H3'
appartenant respectivement aux droites (H H1 ), (H H2 )
et (H H3 ) de la façon suivante :
B
H'_1=H_1+5VecteurUnitaire[Segment[H_1,H]]
H'2
H1
H3
H'_2=H_2+5VecteurUnitaire[Segment[H_2,H]]
H
H'3
H''1
C
H'_3=H_3+5VecteurUnitaire[Segment[H_3,H]]
H''2
H'1
A
H2
• Pour créer le point H1'' sur la droite (BC ) et situé à 5 unités du point H1 , inscrire dans le champ de saisie :
H''_1=H_1+5VecteurUnitaire[Segment[B,C]].
• Pour créer le point H2'' sur la droite (AC ) et situé à 5 unités du point H2 , inscrire dans le champ de saisie :
H''_2=H_2+5VecteurUnitaire[Segment[A,C]].
• Pour créer le point H3'' sur la droite (AB ) et situé à 5 unités du point H3 , inscrire dans le champ de saisie :
H''_3=H_3+5VecteurUnitaire[Segment[A,B]].
Droites remarquables du triangle
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'
'' á
'
''
'
''
á
, construire les angles Há
1 H1 H1 , H2 H2 H2 et H3 H3 H3 : dans l'onglet Basique de leur
• À l'aide de l'outil
panneau des propriétés, choisir une mesure comprise entre 0° et 180°, vérifier que la case Marquer l'angle
droit est bien cochée et décocher la case Afficher l'étiquette.
• Cacher les points H1' , H1'' , H2' , H2'' , H3' et H3'' .
➏ Les cases à cocher
• Avec l'outil
Cacher les médiatrices
, créer quatre cases à cocher et nommer cercle, hauteurs,
médianes et médiatrices les booléens associés à ces cases.
Cacher le cercle circonscrit
Montrer les médianes
Montrer les hauteurs
Dans la boîte de sélection des objets à afficher/cacher, sélectionner :
– Case hauteurs : les trois hauteurs, les points H , H1 , H2 , H3 , les trois
angles droits aux pieds des hauteurs ;
– Case cercle : le cercle circonscrit au triangle ABC ;
– Case médiatrices : les trois médiatrices, le booléen cercle, le point
O et les trois angles droits ayant pour sommets les milieux des côtés
du triangle ;
– Case médianes : les trois médianes et le point G.
• On souhaite également que les points A ' , B ' et C ' ainsi que les segments [AC ' ], [C ' B ], [B A ' ], [A 'C ], [C B ' ] et
[B ' A] soient rendus visibles lorsque les cases médiatrices ou médianes sont cochées et soient invisibles
sinon.
– sélectionner ces trois points et ces six segments (par exemple, depuis la vue Algèbre à l'aide de la
touche Ctrl ) et ouvrir leur panneau des propriétés ;
– dans l'onglet Avancé , inscrire dans le champ Condition pour afficher l'objet : médiatrices ||
médianes.
• Pour faire en sorte que le cercle circonscrit au triangle ABC disparaisse automatiquement lorsque la case
médiatrices est décochée, on affecte un script à cette case.
– ouvrir le panneau des propriétés de la case médiatrices ;
– dans l'onglet Script , onglet Par actualisation, inscrire :
SoitValeur[cercle,0]
– valider en cliquant sur le bouton
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REM
T CE
commission
inter
OK
.
➐ Les droites (AB ), (AC ) et (BC )
A
Considérons, par exemple, le point H1 , pied de la hauteur issue de A. Selon
la position des sommets du triangle, le point H1 peut appartenir au segment [BC ], ou bien être situé à l'extérieur de ce segment, sur la droite (BC ).
Dans ce cas, il paraît opportun de rendre la droite (BC ) visible, et ce, de
façon automatique. À partir des objets déjà construits, une condition pour
rendre la droite (BC ) visible apparaît rapidement : le point H1 n'appartient
C
H1
B
 ou AC

plus au segment [BC ] lorsque les angles géométriques ABC
B sont
obtus. En se basant sur cette condition angulaire, et en prenant également en compte la visibilité des hauteurs,
il devient désormais relativement simple d'afficher ou non la droite (BC ). Nous modifierons aussi la visibilité
des droites (AB ) et (AC ) en adaptant la condition angulaire.
• À l'aide de l'outil
 , AC

, construire les angles ABC
B et B
AC .
On les nommera respectivement angle_{ABC}, angle_{ACB} et angle_{BAC}.
• Ouvrir le panneau des propriétés de ces angles, et, dans l'onglet Basique, décocher Afficher l'objet et
sélectionner une mesure d'angle compris entre 0° et 180°.
• Utiliser l'outil
pour construire les droites (AB ), (BC ) et (AC ).
• Ouvrir le panneau des propriétés de la droite (BC ) et, dans l'onglet Avancé , inscrire dans le champ
Condition pour afficher l'objet : ((angle_{ABC} > 90°) || (angle_{ACB} > 90°)) && hauteurs.
• De la même façon, dans l'onglet Avancé du panneau des propriétés de la droite (AB ), inscrire dans le
champ Condition pour afficher l'objet : ((angle_{BAC} > 90°) || (angle_{ABC} > 90°)) && hauteurs.
• Enfin, dans l'onglet Avancé du panneau des propriétés de la droite (AC ), inscrire dans le champ Condition
pour afficher l'objet : ((angle_{BAC} > 90°) || (angle_{ACB} > 90°)) && hauteurs.
➑ Finalisation
• Colorier les différents éléments de la figure en prenant soin d'attribuer une couleur, identique à celle des
côtés du triangle, aux segments portant un codage.
• Il est possible de déplacer les cases à cocher dans la vue Graphique 2 :
– faire apparaître la vue Graphique 2 : Affichage · Graphique 2 ;
– dans le panneau des propriétés des cases à cocher, onglet Avancé , décocher Graphique et cocher
Graphique 2 .
• Appliquer la technique de la fiche Rendre dynamique la légende d'une case à cocher (ou d'un bouton,
ou ...) (page 723) pour modifier dynamiquement la légende des cases à cocher.
Droites remarquables du triangle
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