FL4: Ecoulement d`un fluide parfait

Fluide parfait – théorème de Bernoulli
Fl2 -
ECOULEMENT D’UN FLUIDE PARFAIT
Dans cette expérience, nous étudions l’écoulement stationnaire laminaire d’un fluide (l’eau) à
travers un orifice circulaire, en négligeant la viscosité du fluide et en supposant ce fluide
incompressible. Dans ces conditions, l’écoulement de ce fluide dit "parfait" peut être décrit par
le théorème de Bernoulli (décrit au §1.2.).
Un écoulement est dit stationnaire ou permanent si en chaque point de l’espace occupé par le
fluide la vitesse d’écoulement reste constante au cours du temps. Dans ce cas, on peut tracer des
"lignes de courant" qui sont tangentes en chaque point à la vitesse du fluide et qui représentent
les trajectoires fixes suivies par les particules du fluide.
Si on considère une petite surface dA normale à la direction du courant, en traçant les lignes de
courant qui passent par le contour de cette surface, on délimite un tube de courant de section
droite dA.
Tubes de courant
Dans le cas d’un écoulement stationnaire, le fluide coule dans ces tubes de courant comme si
ces tubes avaient des parois fixes.
THEORIE
1.
Equation de continuité : conservation du débit.
Soit la situation présentée à la figure 1a, où de l’eau s’écoule à travers un orifice percé dans une
face d’un réservoir. L’écoulement par l’orifice met tout le liquide en mouvement dans le
réservoir et on peut diviser le liquide en lignes de courant (fig.1.a). Mais ceci est assez
compliqué à faire de façon précise, même pour un réservoir de forme simple. En fait, on n’a pas
besoin de connaître le trajet suivi par ces lignes de courant, il suffit de savoir que toutes les
lignes de courant prennent naissance à la surface libre du liquide et aboutissent à l’orifice du
réservoir. La figure 1b montre l’écoulement avec plus de détails.
Figure 1a
Figure 1b
Les lignes en pointillé sont des lignes de courant. Considérons alors le tube de courant (en trait
plein) de la figure 1b et deux sections A1 et A2 de ce tube. Lorsque le fluide avance, au point 1,
d’une distance ds1 et pendant le même temps, au point 2, d’une distance ds2, et que le fluide est
incompressible, les volumes de liquide correspondants (parties hachurées sur la figure 1b) sont
égaux, c’est-à-dire :
1
Fluide parfait – théorème de Bernoulli
Fl2 -
A 1 ⋅ ds1 = A 2 ⋅ ds2
(1)
A 1 ⋅ v1 = A 2 ⋅ v 2
ds1
ds
= A2 ⋅ 2 Ö
dt
dt
ce qui exprime la conservation du débit d’écoulement (aussi appelée équation de continuité).
Ö A1 ⋅
2.
Théorème de Bernoulli
Ce théorème établit la relation qui lie la vitesse d’écoulement d’un fluide à la pression dans ce
fluide
1°/ Le travail dW effectué durant le déplacement du fluide du point 1 au point 2 est :
dW = p1 ⋅ A 1 ⋅ ds1 = p 2 ⋅ A 2 ⋅ ds2
(2)
où p1 et p2 sont les pressions aux extrémités du tube considéré. Ce travail est égal à la variation
d’énergie (potentielle + cinétique) du fluide dans le tube. L’énergie cinétique du fluide qui entre
dans le tube par la section A1 est :
m1 ⋅ v12 1
= ρA 1 ds1 v12
2
2
où v1 est la vitesse du fluide au point 1 et ∆ sa masse volumique. L’énergie cinétique du fluide
quittant le tube par la section A2 est donnée par une expression analogue en fonction de sa
vitesse v2 en ce point. La variation d’énergie cinétique du fluide est donc :
dE cin = dK =
1
1
ρ A 2 ds2 v 22 − ρ A 1 ds1 v12
2
2
(3)
De façon similaire, la variation d’énergie potentielle due à la variation de la coordonnée
verticale y du fluide entre les points 1 et 2 est donnée par :
dE pot = dU = m2 g y 2 − m1 g y1
b
= ρ g A 2 ds2 y 2 − A 1 ds1 y1
g
(4)
La variation totale d’énergie dK + dU est égale au travail effectué dW exprimé par (2). Utilisant
l’équation (1) pour éliminer les termes Ai dsi (i = 1 ou 2), on obtient :
1 2 1 2
ρ v 2 − ρ v1 + ρ g y 2 − ρ g y1
2
2
1
1
ou encore
p1 + ρ v12 + ρ g y1 = p 2 + ρ v 22 + ρ g y 2
2
2
(5)
p1 − p 2 =
De façon générale, ce résultat qui constitue le théorème de Bernoulli indique que la quantité
p+
1 2
ρv + ρg y
2
est constante le long d’une ligne de courant.
Rappelons que le théorème de Bernoulli s’applique à l’écoulement stationnaire laminaire d’un
fluide "parfait" à travers un tube de section relativement large (comparé à un tube capillaire).
2
Fluide parfait – théorème de Bernoulli
3.
Fl2 -
Trajectoire : détermination de la vitesse de sortie.
Appliquons le théorème de Bernoulli à la situation schématisée à la figure 2 :
2
1 dy1
1
p1 + ρ
+ ρ g y1 = p 2 + ρ v 22 + ρ g y 2
(7)
2
dt
2
où 1 est un point de la surface horizontale du liquide Ö p1 est la pression atmosphérique = patm.
FG IJ
H K
y
x
Figure 2
L’équation (7) nous permet de déterminer la vitesse du fluide sortant du réservoir en
considérant que le point 2 est le point central de l’orifice de sortie du réservoir, qui est, comme
la surface horizontale du liquide, exposé à la pression atmosphérique.
2
1 dy1
1
p atm + ρ
+ ρ g y1 = p atm + ρ v 02 + ρ g y 0
2
dt
2
où v0 est la vitesse du fluide à la sortie de l’orifice d’ordonnée y0. On obtient ainsi l’équation :
2
1 dy1
1
+ g y1 = v 20 + g y 0
2 dt
2
2
dy1
ou encore
(8)
v 0 = 2 g y1 − y 0 +
dt
FG IJ
H K
FG IJ
H K
g FGH IJK
b
L’équation (8) traduit la conservation de l’énergie : l’énergie potentielle ∆g(y1-y0) s’est
complètement transformée en énergie cinétique à hauteur de l’orifice.
D’autre part, à la sortie du réservoir, l’eau qui jaillit du trou est accélérée par la pesanteur. Mais
cette dernière agit de la même manière sur toutes les gouttelettes qui constituent le jet et la
trajectoire qu’elles suivent est dès lors celle d’un objet en chute libre. La vitesse initiale de ce
mouvement est celle du jet à la sortie du réservoir, elle est donc horizontale, et les équations du
gt 2
mouvement sont :
x = x0 + v0 t
y = y0 −
2
2 v 20
2
y − y0 = 0
(9)
Eliminant le temps t entre ces deux équations, on obtient : x − x 0 +
g
soit l’équation d’une parabole.
1/ 2
Cette équation réécrite sous la forme
g
v0 = x − x0
(10)
2 y0 − y
b
b
g
gLM b
N
OP
gQ
b
g
permet de déterminer la vitesse v0 du fluide à la sortie de l’orifice, connaissant les coordonnées
(x0y0) de celui-ci et les coordonnées d’un point (x,y) choisi arbitrairement sur la trajectoire
parabolique du fluide.
3
Fluide parfait – théorème de Bernoulli
Fl2 -
MANIPULATION
ECOULEMENT D’UN FLUIDE PARFAIT
1.
DISPOSITIF EXPERIMENTAL
Vous avez à votre disposition deux réservoirs en plexiglass dont les dimensions sont
approximativement (vérifiez-le) : (hauteur × longueur × largeur) = (40 cm × 20 cm × 10 cm)
pour le réservoir 1, appelé réservoir de stockage, et (20 cm × 20 cm × 10 cm) pour le réservoir
2, appelé réservoir récepteur.
Ils seront placés comme montré sur la figure 3a. Sur une face du réservoir de stockage est percé
un trou T, sur lequel on peut placer une capsule C à l’aide d’un écrou E (figure 3b). (Attention
de placer la capsule dans le sens indiqué sur la figure 3b : partie protubérante dirigée vers
l’extérieur du réservoir).
Placez les deux réservoirs de façon à ce que la face externe de la capsule coïncide avec la face
interne du réservoir récepteur.
Figure 3(a) (b)
Vous disposez de 8 capsules différentes. Chacune est percée d’un trou d’un certain diamètre
dont la valeur (en mm) est indiquée sur celle-ci.
Sur les réservoirs, vous placerez des bandes de papier millimétrique qui vous permettront de
mesurer y0 et y1 respectivement, l’ordonnée du centre du trou par lequel le liquide s’écoule et
l’ordonnée du liquide dans le réservoir de stockage.
En écrivant l’équation (9), on a tenu compte que le jet de fluide est horizontal à la sortie du trou
puisque v0 n’a pas de composante suivant y. Pour déterminer v0, il suffit dès lors de mesurer les
coordonnées (x,y) d’un point quelconque de la trajectoire. On peut par exemple prendre le point
d’impact du liquide dans le réservoir récepteur , soit sur la paroi verticale que le jet vient
frapper (au début de l’écoulement), soit à la surface de l’eau. Vous utiliserez une équerre pour
suivre le déplacement du point. Pour être cohérent, il faut choisir comme origine des
coordonnées le point 0 du réservoir de stockage, et comme origine des abscisses le point x0 = 0
du réservoir de récepteur (Figure 4).
4
Fluide parfait – théorème de Bernoulli
Fl2 -
Figure 4
Vous utiliserez comme liquide de l’eau colorée. La méthode de remplissage sera la suivante:
après avoir fixé une capsule sur le trou du réservoir de stockage, vous remplirez celui-ci
jusqu'au niveau y1 initial (y10). ATTENTION : Durant cette opération, et jusqu’au moment où
vous débuterez l’expérience, vous boucherez le trou de la capsule à l’aide du doigt !!!
2.
DETERMINATION DE LA TRAJECTOIRE
Calculez les valeurs de vitesse de sortie v0, attendues suivant le théorème de Bernoulli pour les
valeurs de y1-y0 données dans le tableau I (théorème de Bernoulli : relation (8) de
l’introduction).
Il est à noter que, pour calculer théoriquement v0 à partir de (8), la vitesse d’écoulement dans le
dy1
réservoir de stockage peut être négligée, soit :
=0
dt
Justifier cette approximation à partir de la conservation du débit.
Déterminez expérimentalement les valeurs de x et y correspondant à ces valeurs y1-y0.
Complétez le tableau, en utilisant successivement les capsules de 2 et 3 mm de diamètre.
Mesurez l’ordonnée y0 du centre du trou de la capsule qui est repéré sur le réservoir de
stockage.
y0 = .... ± ...
cm
5
Fluide parfait – théorème de Bernoulli
y1-y0
v0
théorique
Fl2 -
D = 2 mm
y
x
v0
x
D = 3 mm
y
v0
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
Tableau I
En appliquant l’équation (10), calculez v0 et portez en graphique sur papier millimétrique les
valeurs de v0 prédites théoriquement et obtenues expérimentalement en fonction de y1 - y0.
Comparez ainsi sur le même graphique les valeurs expérimentales de v0 aux prédictions
théoriques. Que peut-on en conclure ? (Tracez une courbe passant par les valeurs théoriques).
Pourquoi?
Quelle est l’influence de l’aire A0 de l’orifice?
3.
RELAXATION - TEMPS DE DEMI-VIE
L’équation (8) de la partie théorique est aussi appelée "loi de Torricelli". Elle peut être vérifiée
en étudiant le temps de relaxation T du fluide dans le réservoir de stockage.
Pour toute hauteur y de liquide dans ce réservoir, la vitesse initiale v0 de sortie du fluide est
d’après l’équation (8) de la partie théorique :
dy1
avec
v 0 = 2 g y1 − y 0
= 0 car A 1 >> A 0 .
dt
b
g
En insérant cette valeur v0 dans l’équation de conservation du débit (1) de la partie théorique,
on a :
dy
A
(1)
= − 0 2 g y − y0
dt
A1
b
g
6
Fluide parfait – théorème de Bernoulli
Fl2 -
L’intégration de cette équation donne la variation de la hauteur y de liquide dans le réservoir de
stockage en fonction du temps :
g A0
(2)
y − y 0 = y1 − y 0 −
t
2 A1
où (y1 − y0) est la hauteur de liquide à l'instant initial.
Vous pouvez vérifier (exercice) que l’expression (2) est bien solution de l’équation (1).
Le temps de demi-vie T, défini comme le temps nécessaire pour que la hauteur (y1 − y0)
diminue de moitié sera donc :
T=
d
i AA
2 −1
1
0
y1 − y 0
g
(3)
Ö Démontrer la relation (3)
Après avoir mesuré A1 :
A1 =
cm²
calculez les valeurs théoriques de T pour (y1 − y0) = 16 cm.
Complétez le tableau II pour les différentes valeurs de A0.
Déterminez pour les différentes capsules mises à votre disposition le temps de demi-vie en
prenant (y1 − y0) = 16 cm. Complétez le tableau II et portez en graphique sur papier
millimétrique les valeurs de T obtenues en fonction des valeurs de l’aire A0.
D (mm)
2
A0 (cm2)
0,031
3
0,071
4
0,126
5
0,196
6
0,283
7
0,385
8
0,503
9
0,636
T expérimental
T théorique
TABLEAU II
Comparez, sur le même graphique, les prédictions théoriques de T à vos résultats
expérimentaux. Tracez une courbe passant par les valeurs théoriques.
Que pouvez-vous conclure de la comparaison entre la courbe théorique et les valeurs
expérimentales ?
Déterminez les principales sources d’erreurs dans la détermination de v0 et de T.
7