TD26_EM3_Complément_Effet Hall_Avec Corrigé

TD26
TD2 6 – EM3 – C omplément
omplémen t – Effet HALL
Exercice 5 du TD : C apteur à Effet Hall
On considère une plaque rectangulaire d’épaisseur h, et de largeur b, représentée sur la figure suivante.
Elle est réalisée dans un semi-conducteur où la conduction électrique est assurée par des électrons mobiles
dont le nombre par unité de volume est n. La plaque est parcourue par un courant d’intensité I,
uniformément réparti sur la section de la plaque avec la densité volumique J = J ⋅ e x ( J > 0 ).
Elle est alors placée dans un champ
magnétique uniforme B = B ⋅ e z ( B > 0 ), crée
par
des
sources
extérieures.
B
Le champ
z
Courant I
magnétique crée par le courant dans la plaque
M
on suppose que le vecteur densité de courant
N
h
x
O
est négligeable devant le champ extérieur, et
Face 2 (Arrière)
y
b
Courant I
est toujours porté par l’axe (Ox) (circulation
Face 1 (Avant)
-
permanente des e ).
B
1. Champ électrique de Hall
1.a)
Exprimer le vecteur vitesse
v
des électrons dans la plaque en fonction de J , n et e en l’absence
de champ magnétique extérieur.
1.b) Lors de l’apparition d’un champ magnétique extérieur B , le courant est dévié et il va y avoir
accumulation de charges. Représenter sur un schéma ce phénomène.
1.c)
En régime permanent, après que les charges se soient accumulées, le vecteur densité de courant J
est forcément parallèle à (Ox) (sinon des charges sortiraient par les cotés de la plaque…), en
déduire que ces charges font apparaître un champ électrique dit de Hall : E H =
1 ne
J ∧B .
1.d) Exprimer les composantes de ce champ de Hall
EH .
2. Tension de Hall et mesure du champ magnétique
2.a)
On considère 2 points M et N en vis-à-vis des faces 1 (x = -b/2) et 2 (x = +b/2). Calculer la
différence de potentiel entre ces deux points U H = V N −V M appelée tension de Hall
2.b) Montrer que U H s’écrit U H =
CH
⋅ I ⋅ B , et exprimer la constante C H . En quoi la mesure de
h
cette tension de Hall peut-elle être utile ?
2.c)
AN : Pour l’antimoniure d’indium InSb,
U H = 88 mV
3
électrons par m .
C H = 375.10 − 6 u SI , I = 0,1A , h = 0, 3 mm
et
. Calculer la norme du champ B, ainsi que la densité volumique n en
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TD2 6 – EM3 – C omplément – Effet HALL – CORRIGE
Exercice 5 du TD : Capteur à Effet Hall
1. Champ électrique de Hall
1.a)
J = nq ⋅v = − ne ⋅v
On a :
1.b) Représentation de l’accumulation des charges en présence d’un champ magnétique extérieur B :
Vitesse d’un électron
du courant I
Accumulation de
charges positives
B
Courant I
v
e-
EH
Courant I
B
(Force Magnétique)
1.c)
Champ de Hall
(du + vers le -)
F
Accumulation de
charges négatives
Les charges subissent une force magnétique de Lorentz Fext = qv ∧ B qui les dévie, mais puisque
J (Ox ) , il y a forcément une autre force qui s’oppose à cette force magnétique. Il s’agit de
l’effet du champ de Hall crée par les charges :
F élec _ Hall + F magn = q E H + qv ∧ B = 0
F H a ll = − q v ∧ B = q E H
1.d) Composantes du champ de Hall :
1 ⇒ E H = −v ∧ B =
J ∧B
A in si
EH
ne
 J  0 
0 
1     1 

=
− JB 
0  ∧ 0  =


ne
ne
 0   B 
 0 
− JB ⇒ EH =
⋅e y
ne
2. Tension de Hall et mesure du champ magnétique
2.a)
Tension de Hall : U H = V N −V M =
N
N
∫M dV = ∫M −E H ⋅ dy = E H
UH =
CH
⋅I ⋅B
h
⋅b = U H =
(On utilise la relation entre potentiel et champ électrique E = − grad (V
2.b) Ainsi :
Utilité ?
UH =
Et
Et
On peut obtenir la valeur du champ
magnétique B par une mesure de
tension, il s’agit d’un capteur très
simple pour le champ magnétique.
B=
2.c) AN :
JB
IB × b
⋅b =
ne
(b × h ) × ne
)
JB
⋅b
ne
⇒ dV = − E ⋅ dl )
avec C H =
1
ne
Mesure de la Tension de Hall
B
Courant I
h ⋅U H 0,3.10 ⋅ 0,125
=
= 704 mT
C H ⋅I
375.10 −6 ⋅ 0,1
n=
−3
1
e ⋅C H
= 1,66.10 22
e − .m −3
V
UH