REPRÉSENTATIONS p-ADIQUES SURCONVERGENTES - IMJ-PRG

REPRÉSENTATIONS
p-ADIQUES
SURCONVERGENTES
par
Frédéric Cherbonnier & Pierre Colmez
.
Résumé Soit K un corps local complet de caractéristique 0, de corps résiduel parfait de caractéristique p. Nous démontrons que toutes les représentations p-adiques du groupe de Galois absolu
de K sont surconvergentes, ainsi que Fontaine l'avait conjecturé.
Abstract. Let K be a complete local eld of characteristic 0 whose reisude eld is perfect of
characteristic p. We prove that all p-adic representations of the absolute Galois group of K are
overconvergent, as was conjectured by Fontaine
Table des matières
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I. Rappels sur les
(ϕ, Γ)-modules
p-adiques
1
..............
2
I.1. Notations générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
e et certains de ses sous-anneaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le corps E
e et certains de ses sous-anneaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le corps B
Le (ϕ, ΓK )-module associé à une représentation de GK . . . . . . . . . . . . . .
L'opérateur ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
II. Représentations surconvergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
II.1. Éléments surconvergents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
I.2.
I.3.
I.4.
I.5.
et les représentations
3
4
5
†
II.2. L'anneau BF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
II.3. Généralités sur les représentations surconvergentes . . . . . . . . . . . . . . . .
10
II.4. Stabilité par induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
†
ψ=0 : le cas de la représentation triviale . . . . . . 12
II.5. Action de Γ sur D (V )
†
ψ=0 : le cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
II.6. Action de ΓK sur D (V )
III. Cohomologie galoisienne et représentations surconvergentes . . . . . . . . . . . . . .
15
III.1. Énoncé des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
III.2. Décomposition des anneaux
16
e K, A
e†
A
K
..............................
e † . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
B
K
e † à ϕ−∞ (B† ) . . . . . . . . . . . . . . . . 21
III.4. La décomplétion ou le passage de B
K
K
e† à
III.3. Descente de B
III.5. Application aux représentations
p-adiques
........................
23
Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
francaisFRÉDÉRIC CHERBONNIER & PIERRE COLMEZ
2
Introduction
Ce travail s'inscrit dans le cadre de la classication, introduite par Fontaine [7], des repré-
p-adiques du groupe de Galois absolu GK d'une extension nie K de Qp en termes
(ϕ, Γ)-modules. Le point essentiel de cette classication est que l'on peut reconstruire une
représentation V à partir de son (ϕ, Γ)-module D(V ) et que l'on doit donc être capable de décrire directement sur ce module tous les invariants classiques attachés à V . On peut par exemple
calculer la cohomologie galoisienne de V à partir de D(V ) (cf. [10]).
sentations
de
Notre résultat principal (corollaire III.5.2) est que toutes les représentations
p-adiques
de
GK
sont surconvergentes, ce qui avait été conjecturé dans [2]. La notion de surconvergence, étudiée en
détail dans [2], est un peu trop technique pour être explicitée dans cette introduction. Signalons
juste que la surconvergence ou la non surconvergence d'une représentation ne dépend que de sa
restriction au noyau
de
HK
HK
du caractère cyclotomique et que l'on peut trouver des représentations
qui ne sont pas surconvergentes. Les représentations de
représentations de
GK
HK
obtenues par restriction de
vérient des conditions de ramication assez spéciales d'après un résul-
tat de Sen [12] ; elles sont faiblement ramiées. Les bornes sur la ramication données par le
théorème de Sen semblent être précisément ce dont on a besoin pour prouver la surconvergence ;
malheureusement, on peut construire un exemple de représentation faiblement ramiée de
HK
qui n'est pas surconvergente [2, chap.7]. Cette voie d'approche se révélant sans issue, la démonstration repose sur des techniques diérentes utilisant l'action résiduelle de
ΓK = GK /HK ,
techniques qui sont très largement inspirées de celles utilisées par Sen [13] pour démontrer que
toute représentation
p-adique
de
GK
a une décomposition de Hodge-Tate généralisée. La dié-
rence est que les anneaux utilisés dans cet article ont une structure un peu plus compliquée que
le corps
Cp
apparaissant dans la situation considérée par Sen.
Le fait que toute représentation de
GK
est surconvergente a un certain nombre d'applications
qui seront détaillées ailleurs. C'est en particulier le point de départ pour espérer pouvoir décrire
les invariants d'une représentation
dénis à partir des anneaux
Bcris , Bst , BdR , . . .
comme les
D(V ).
DdR (V ) et l'opérateur déni par Sen [13]
généralisant la notion de décomposition de Hodge-Tate à partir de D(V ) ([2, chap.6]). D'autre
(h)
part, si V est de de Rham, les applications LogV dénies dans [5], généralisant l'isomorphisme
modules
DdR (V ), Dcris (V ) . . .
V
([8] et [9]) ou l'exponentielle de Bloch-Kato [1], en utilisant
Dans cette direction, signalons que l'on peut retrouver
de Coleman [4] et inverses de l'application exponentielle construite par Perrin-Riou [11] dans
le cas cristallin, ont une interprétation simple en termes de
D(V )
(cf [3]).
Dans un autre ordre d'idée, on peut utiliser l'action innitésimal de
représentation de
GK
ΓK
pour associer à une
un module diérentiel surconvergent muni d'un Frobenius et obtenir de
cette façon une description des représentations de de Rham en termes d'équations diérentielles
p-adiques
(Fontaine, travail en préparation).
Les résultats évoqués ci-dessus (du moins ceux concernant la surconvergence) sont en fait
valables dans la situation plus générale où on remplace
Qp
par le corps des fractions de l'anneau
des vecteurs de Witt à coecients dans un corps parfait de caractéristique
générale qui est considérée dans l'article.
p. C'est cette situation
francaisREPRÉSENTATIONS p-ADIQUES SURCONVERGENTES
I. Rappels sur les
(ϕ, Γ)-modules
et les représentations
3
p-adiques
Nous renvoyons à [7] pour les démonstrations des faits rappelés dans ce chapitre. Nous avons
pris la liberté de changer les notations pour les rendre un peu plus homogènes. Par exemples, les
e, A
e , A, B
e et B correspondent
E
nr de [7].
d
W (Frac(R))[ p1 ] et E
anneaux que nous notons
W (Frac(R)), OEd
nr ,
I.1.
kF
F
p, OF = W (kF ) l'anneau des vecteurs de Witt à
1
OF [ p ] le corps des fractions de OF . On se xe une clôture algébrique
un corps parfait de caractéristique
coecients dans
de
Frac(R),
Notations générales
Soient
F
respectivement aux anneaux
kF
et
F =
et toutes les extensions nies de
des sous-corps de
F.
On note
GF
F
que nous aurons à considérer serons supposées être
le groupe de Galois
Gal(F /F )
et
χ : GF → Z∗p
le caractère
cyclotomique.
n ∈ N, on pose Kn = K(µpn ) ⊂ F et on note K∞
l'extension cyclotomique de K réunion des Kn . On note aussi GK le groupe de galois Gal(F /K)
et HK le noyau de la restriction de χ à GK . On a HK = Gal(F /K∞ ) et on pose ΓK = GK /HK =
Gal(K∞ /K).
Si
I.2.
K
F
est une extension nie de
Le corps
e
E
et
et certains de ses sous-anneaux.
e l'ensemble des suites x = (x(0) , . . . , x(n) , . . . )
p-adique. Soit E
b
(n+1) )p = x(n) . On munit E
e des lois + et · dénies par x + y = s où
d'éléments de F vériant (x
m
(n)
(n+m)
(n+m)
p
(n)
e un corps de cas = lim (x
+y
) et x·y = t, avec t = x(n) y (n) , ce qui fait de E
b
Soit F
le complété de
F
pour la topologie
m→+∞
ractéristique
On note
Soit
alors
e+
E
p
algébriquement clos et complet pour la valuation
l'anneau des entiers de
ε = (1, ε(1) , . . . , ε(n) . . . )
ε(n)
sous-corps
kF ((ε − 1))
de
dénie par
vE (x) = vp (x(0) ).
e.
E
un élément de
est une racine primitive
vE
pn -ième
e
E
ε(1) =
6 1, ce qui implique que si n > 1,
p
On a vE (ε − 1) =
p−1 et on note EF le
tel que
de l'unité.
e.
E
e et E+ l'anneau de ses entiers. C'est un sous-corps
E la clôture séparable de EF dans E
e et la théorie du corps des normes ([6] et [15]) permet d'identier Gal(E/EF ) avec
E
On note
dense de
HF .
Si
K
est une extension nie de
EK = EHK ,
Le corps
EK
F,
on pose
eK = E
e HK ,
E
+ HK
E+
K = (E )
est une extension nie séparable de
le complété de sa clôture radicielle. Les anneaux
de
eK
E
I.3.
et
e + = (E
e + )HK .
et E
K
e K est
EF de degré HF /HK = [K∞ : F∞ ] et E
+
+
e
EK et EK sont les anneaux d'entiers respectifs
EK .
e
B
e = W (E)
e
A
Le corps
et certains de ses sous-anneaux.
e = A[
e 1 ] = Frac(A)
e ,
B
p
e un corps muni d'une valuation discrète complet, d'anneau de valuation A
e et de
ce qui fait de B
e
e
e
corps résiduel E. Si x ∈ E, on note [x] son représentant de Teichmüller dans A. Tout élément
e s'écrit donc de manière unique sous la forme P+∞ pi [xi ] et tout élément de B
e sous la
x de A
i=0
P+∞
i
forme
i−∞ p [xi ].
Soit
l'anneau des vecteurs de Witt à coecients dans
e
E
et
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4
Si
x =
P+∞
i=0
e
pi [xi ] ∈ B
et
k ∈ Z,
wk (x) = inf i6k vE (xi ).
soit
La fonction
wk
vérie les
propriétés suivantes qui sont immédiates.
e,
wk (x) = +∞ si et seulement si x ∈ pk+1 A
(ii) wk (x + y) > inf(wk (x), wk (y)) avec égalité si wk (x) 6= wk (y).
(iii) wk (xy) > inf i+j6k (wi (x) + wj (y)).
(iv) wk (ϕ(x)) = pwk (x).
e | wk (x) > r} et on munit A
e de la topologie dénie en
Si r ∈ R et k ∈ N, on pose Uk,r = {x ∈ A
prenant les Uk,r comme base de voisinage de 0. C'est aussi la topologie qui fait de l'application
e sur E
e N muni de la topologie produit (E
e étant muni de
x → (xk )k∈N un homéomorphisme de A
−n
e = ∪ p A
e de la topologie de la limite
la topologie dénie par la valuation vE ) et on munit B
(i)
n∈N
inductive. L'action de
GF
sur
e
E
se prolonge en une action continue sur
celle du morphisme de Frobenius
e
A
et
e
B
qui commute à
ϕ.
e
OF [π, π1 ]. C'est l'ensemble des éléments de A
n
de la forme
n∈Z an π où an est une suite d'éléments de OF tendant vers 0 quand n tend vers
−∞. L'anneau AF est un anneau de valuation discrète complet de corps résiduel EF . Comme
Soit
π = [ε] − 1.
P
Soit
AF
l'adhérence dans
e
A
de
ϕ(π) = (1 + π)p − 1 et g(π) = (1 + π)χ(g) − 1 si g ∈ GF ,
l'anneau
AF
et son corps des fractions
BF = AF [ p1 ]
sont stables par
ϕ
et
GF .
e et
B l'adhérence de l'extension maximale non ramiée de BF contenue dans B
e de telle sorte que l'on a B = A[ 1 ], que A est un anneau de valuation discrète
A = B∩A
p
complet dont le corps des fractions est B et le corps résiduel est E. L'anneau A et le corps B
sont stables par ϕ et GF .
On note
Si
K
est une extension nie de
A K = A HK ,
Si
K = F,
F,
on pose
BK = BH K ,
les deux dénitions de
AK
et
eK = A
e HK
A
BK
eK = B
e HK .
et B
coïncident. Les anneaux
AK
et
eK
A
sont des
e K et de corps
EK et E
1
1
e
e
e
e K ) contient
des fractions respectifs BK = AK [ ] et BK = AK [ ]. D'autre part, AK (resp. B
p
p
−∞ (A ) =
l'anneau ϕ
∪ ϕ−n (AK ) (resp. le corps ϕ−∞ (BK ) = ∪ ϕ−n (BK )) comme sousK
anneaux de valuation discrète complets de corps résiduels respectifs
n∈N
anneau (resp. sous-corps) dense. Le lien entre
n∈N
eK
A
et
AK
sera analysé plus précisément au Ÿ2 du
chapitre III.
L est une extension nie de K , BL est une extension non ramiée de BK de degré [L∞ : K∞ ].
e L /B
e K et BL /BK
L/K est de plus supposée galoisienne, alors les extensions B
e
e
sont aussi galoisiennes de groupe de Galois Gal(BL /BK ) = Gal(BL /BK ) = Gal(EL /EK ) =
Gal(L∞ /K∞ ) = HK /HL .
Si
Si l'extension
Lemme I.3.1. Soient K une extension nie de F et γ un élément d'ordre inni de ΓK , alors
est inclus dans K∞ ∩ F nr ; en particulier, c'est une extension nie de F .
Bγ=1
K
Démonstration. Il sut de prouver que Aγ=1
K
OF nr ou encore, utilisant le fait
γ=1
que AK est complet pour la topologie p-adique, que EK
⊂ k F . Supposons le contraire ; il existe
γ=1
γ=1
alors x ∈ EK
non nul et tel que vE (x) > 0, ce qui fait que EK
contient kF ((x)) et l'extension
γ=1
EK /EK est une extension nie. Comme par hypothèse, γ est d'ordre inni, le sous-groupe
est inclus dans
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fermé
Γ
de
ΓK
qu'il engendre est d'indice ni dans
ΓK agit
6 ε si σ 6= 1.
=
ceci implique que
σ(ε) =
εχ(σ)
I.4. Le
(ϕ, ΓK )-module
Dénition I.4.1.
(i)
Dénition I.4.2.
(i)
ΓK
à travers un quotient ni sur
et comme
EK ,
Γ
agit trivialement sur
5
Eγ=1
K ,
ce qui est absurde étant donné que
associé à une représentation de
GK
On appelle Zp -représentation de GK , un Zp -module de type ni muni
d'une action Zp -linéaire continue de GK .
(ii) On appelle représentation p-adique de GK tout Qp -espace vectoriel de dimension nie muni
d'une action linéaire continue de GK
Si K est une extension nie de F , on appelle (ϕ, ΓK )-module sur AK
(resp. BK ) tout AK -module de rang ni (resp. tout BK -espace vectoriel de dimension nie) muni
d'une action semi-linéaire de ΓK et d'une action de semi-linéaire ϕ commutant à celle de ΓK .
(ii) On dit qu'un (ϕ, ΓK )-module D sur AK (resp. BK ) est étale ou de pente 0, si D est
engendré (comme AK -module) par ϕ(D) (resp. si D contient un sous-AK -réseau étale).
K est une extension nie de F
GK , on pose
Si
de
et
V
est une
Zp -représentation ou une représentation p-adique
D(V ) = (A ⊗ V )HK .
Zp
GK , D(V ) est muni d'une action de ϕ qui commute
à l'action résiduelle de GK /HK = ΓK , ce qui fait de D(V ) un (ϕ, ΓK )-module étale (car ϕ(A)
engendre A) sur AK ou BK suivant que V est une Zp -représentation ou une représentation
p-adique de GK .
L'action de
ϕ
sur
AK
Réciproquement, si
commutant à celle de
D
est un
(ϕ, ΓK )-module
sur
AK
ou
BK ,
on pose
V (D) = (A ⊗ D)ϕ=1 .
AK
Zp -représentation ou une représentation p-adique de GK suivant que
D est un AK -module ou un BK -espace vectoriel ; l'action de GK sur D(V ) provenant de l'action de GK sur B. D'autre part, si V est une Zp -représentation ou une représentation p-adique
de GK , alors V (D(V )) est canoniquement isomorphe à V en tant que représentation de GK .
En d'autres termes, V est déterminée par son (ϕ, ΓK )-module D(V ). En particulier, si V est
une représentation p-adique de GK , on a dimBK D(V ) = dimQp V et l'application naturelle de
B ⊗ D(V ) −→ B ⊗ V est un isomorphisme. Les coecients de la matrice de cet isomorphisme
C'est une représentation
BK
Qp
dans des bases de
I.5.
V
L'opérateur
sur
Qp
et
D(V )
sur
BK
s'appellent les périodes de la représentation
V.
ψ.
Le corps B est une extension de degré p de ϕ(B), ce qui nous permet de dénir un opérateur
ψ : B → B par la formule ψ(x) = p1 ϕ−1 TrB/ϕ(B) (x) . De manière explicite, on vérie facilement
p−1 forment une base de B sur ϕ(B) et que l'on a ψ(x +x [ε]+· · ·+x
p−1 ) =
que 1, [ε], . . . , [ε]
0
1
p−1 [ε]
ϕ−1 (x0 ) si x0 , . . . , xp−1 ∈ ϕ(B). L'opérateur ψ commute à l'action de GK et on a ψ(ϕ(x)) = x si
x ∈ B et ψ(A) ⊂ A.
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6
Comme
D(V )
ψ
commute à l'action de
hérite de l'action de
ψ
GK ,
si
V
lié à la cohomologie galoisienne de
V
p-adique de GK , le
Zp [[ΓK ]]-module D(V )ψ=1
est une représentation
qui commute à celle de
ΓK
et le
module
est très
(cf. [CC97] et [H95]).
Lemme I.5.1. Si K est une extension nie de F , V est une représentation p-adique de GK
et γ est un élément d'ordre inni de ΓK , alors 1 − γ est injectif sur D(V )ψ=0 .
Démonstration. Comme BK
inférieure ou égale à
dimQp V .
est un corps,
D(V )γ=1
En particulier, c'est un
est un
Bγ=1
K -espace vectoriel de dimension
F -espace
vectoriel de dimension nie (cf.
ϕ qui agit de manière injective, on en déduit
le fait que ϕ est une surjection de D(V
D(V )γ=1 . On peut donc écrire tout élément x
γ=1
sous la forme ϕ(y) et ψ(x) = 0 implique y = 0 et donc x = 0, ce qui permet de
de D(V )
lemme I.3.1). Comme cet espace est stable par
)γ=1 sur
conclure.
Remarque I.5.2.
Herr a montré [10] que
1−γ
est en fait bijectif sur
D(V )ψ=0 ;
nous mon-
trerons un résultat plus précis au chapitre II (cf. proposition II.6.1).
II. Représentations surconvergentes
Comme on l'a vu plus haut, on peut reconstruire une représentation
p-adique V
de
GK
à
(ϕ, ΓK )-module D(V ). Il est donc naturel de se demander si on peut reconstruire
V (comme Dcris (V ) ou DdR (V )) à partir de D(V ) sans passer
par la représentation V qui est à priori un objet beaucoup plus compliqué.
Le problème est que pour comparer D(V ) et DdR (V ) par exemple, il faut arriver à comparer
+
e qui, comme B+ , est obtenu en localisant
les anneaux B et BdR . Or B est un sous-anneau de B
dR
e + = W (E
e + ) et en complétant pour une certaine topologie, mais comme les deux topologies
A
e dans B+ ou de
utilisées n'ont rien à voir entre elles, il n'y a aucun morphisme naturel de B
dR
e . On peut quand même dans un premier temps s'intéresser aux représentations dont
B+ dans B
partir de son
directement les autres invariants de
dR
les périodes vivent dans un anneau contenu naturellement à la fois dans
B
et
B+
dR
(i.e. sont
surconvergentes).
II.1. Éléments surconvergents
R = R ∪ {r− | r ∈ R}. On munit R d'une relation d'ordre total coïncidant avec l'ordre
−
naturel sur R et tel que si r1 < r2 sont deux éléments de R, alors r1 < r2 < r2 . On note R+
e †r l'ensemble des x ∈ A
e tels que
l'ensemble des éléments r de R vériant r > 0. Si r ∈ R+ , soit A
†
pr
e
e†
l'on ait wk (x) +
p−1 k > 0 quel que soit k ∈ N et Ar− l'ensemble des éléments x de Ar tels que
e† = A
e + . La raison
wk (x) + pr k tend vers +∞ quand k tend vers +∞. On a en particulier A
Soit
0
p−1
e †r = Qp ⊗ A
e †r , ce
π = ε − 1 et vE (ε − 1) =
B
e †r est l'ensemble des éléments x de B
e tels que la
qui fait que si r ∈ R+ (resp. r ∈ R+ − R+ ), B
pr
suite wk (x) +
p−1 k est bornée inférieurement (resp. tend vers +∞ quand k tend vers +∞). Soit
†
†
e
e
e † sera dit surconvergent. Finalement, on pose A
e †∞ = ∪ A
e †r et
B = ∪ Br . Un élément de B
de cette numérotation bizarre est que
r∈R+
p
p−1 . Soit
r∈R+
e† = B
e† ∩ A
e , ce qui fait que A
e †∞ est l'ensemble des éléments x de A
e tels qu'il existe r ∈ R+ tel
A
pr
e†
e
que wk (x) +
p−1 k > 0 quel que soit k ∈ N alors que A est l'ensemble des éléments de A tels
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qu'il existe
e†
x∈A
r ∈ R+
et
C ∈R
tels que
si et seulement si il existe
Remarque II.1.1.
xk
si et seulement si la série
+∞
quand
k
x
de
e
B
sont des éléments de
P
k−∞
tend vers
n∈N
Tout élément
k
k−∞ p [xk ], où les
P
pr
p−1 k >
n
tel que [π] x ∈
wk (x) +
(0)
pk xk
tend vers
+∞
C quel
e †∞ .
A
que soit
7
k ∈ N.
En particulier,
peut s'écrire de manière unique sous la forme
e
E
et on démontre que la série converge dans
converge dans
b
F
c'est-à-dire si et seulement si
ou encore si et seulement si
e †−
x∈B
r
avec
B+
dR
k + vE (xk )
r=
p−1
p . Plus
e †,n des éléments de B
e tels que ϕ−n (x) converge dans B+ est égal à
B
dR
†
†
†
er ⊂ B
e s si r 6 s, ce qui fait que B
e † est aussi la réunion
e − , où r = (p − 1)pn−1 . D'autre part, B
B
r
e †,n pour n ∈ N ; autrement dit, B
e † est l'ensemble des éléments de B
e tels qu'il existe n ∈ N
des B
+
−n
†
e
(x) converge dans BdR . C'est cette description de B qui est la plus utile pour faire
tel que ϕ
généralement, l'ensemble
le lien avec la théorie des représentations de de Rham [3].
Proposition II.1.2.
e †r et B
e †r sont des sous-anneaux de B
e stables par
Si r ∈ R+ , alors A
†
†
e r) = B
e pr .
GF et on a
=
et ϕ(B
e + dont la réduction α modulo p vérie vE (α) > 0, alors A
e †r est
(ii) Si α est un élément de A
e †r est fermé dans A
e si r ∈ R+ .
complet et séparé pour la topologie α-adique et A
e † est un sous-corps de B
e stable par GF et ϕ.
(iii) B
e †r )
ϕ(A
Démonstration.
(i)
e †pr
A
e †r et B
e †r
A
wk (x + y) > inf(wk (x), wk (y))
(i) La stabilité de
pour l'addition et le passage à l'opposé vient
e et wk (−x) = wk (x) et celle pour
x, y ∈ A
la multiplication est une conséquence de l'inégalité wk (xy) > inf i+j6k (wi (x) + wj (y)). D'autre
e et σ ∈ GF et donc wk (σ(x)) = wk (x) si k ∈ Z, x ∈ B
e
part, on a vE (σ(x)) = vE (x) si x ∈ E
†
†
e r et B
e r sont stables par GF . Finalement, l'identité
et σ ∈ GF , ce qui permet de montrer que A
wk (ϕ(x)) = pwk (x) permet de terminer la démonstration du (i).
i
(ii) Commençons par supposer que α = [α] et soit s = vE (α). On a alors wk (α x) = wk (x)+is,
†
pr
i
e r quel que soit i ∈ N, alors wk (x) > −
ce qui implique que si x ∈ α A
p−1 k +is quel que soit i ∈ N
k+1 A
e . Comme ceci est vrai quel que soit k ∈ N, cela implique x = 0.
et donc wk (x) = +∞ et x ∈ p
e †r et
La topologie α-adique est donc séparée. Maintenant, si (ai )i∈N est une suite d'éléments de A
de ce que l'on a
k ∈ N,
si
wk (αi ai ) tend vers +∞ quand i tend vers +∞, ce qui montre
e vers une limite a vériant wk (a) > inf i∈N wk (ai ) + is. Il
dans A
la suite de terme général
P+∞
αi ai converge
pr
pr
est alors clair que si wk (ai ) > −
p−1 k quel que soit i ∈ N, alors wk (a) > − p−1 k et que si r > 0 et
pr
pr
wk (ai ) + p−1 k tend vers +∞ quand k tend vers +∞ quel que soit i ∈ N, alors wk (a) + p−1
k tend
†
e
vers +∞ quand k tend vers +∞, ce qui montre que Ar est complet pour la topologie α-adique
que la série
i=0
∗
r ∈ R+ si α = [α]. Maintenant, si r > 0, α est quelconque et β est un élément de
e †r et comme A
e †r est séparé et complet pour
e + vériant 0 < vE (β) < inf(r, vE (α)), on a α ∈ A
E
[β]
la topologie [β]-adique d'après ce qui précède, il l'est a fortiori pour la topologie α-adique. Si
e† = A
e + est complet pour la topologie [α]-adique
r = 0 et α = [α] + pu, d'après ce qui précède, A
0
et comme il l'est pour la topologie p-adique, il l'est aussi pour la topologie α-adique.
e †r est déni comme l'intersection des Uk,rk qui sont des fermés de A
e,
Finalement, si r ∈ R+ , A
†
e r est fermé dans A
e.
ce qui prouve que A
quel que soit
francaisFRÉDÉRIC CHERBONNIER & PIERRE COLMEZ
8
Remarque II.1.3.
p
[α] -adique).
e vérie vE (α) = r > 0, alors A
e †− (resp.
α∈E
r
e + [ p ] pour la topologie p-adique (resp.
tant qu'anneau, le séparé complété de A
[α]
e est le séparé
Remarquons aussi que sous les mêmes hypothèses concernant α, A
complété de
e +[ 1 ]
A
[α]
e †r )
A
est, en
(iii)
On peut montrer que, si
pour la topologie
e †r
∪ B
e† =
B
p-adique.
est un sous-anneau de
e
B
stable par
GF
et
ϕ
d'après ce qui précède. Pour
r∈R+
montrer que c'est un corps, nous aurons besoin du lemme suivant (le corollaire II.1.5 ci-dessous
est inutile pour la démonstration, mais servira plus tard).
Lemme II.1.4.
Si r ∈ R+ , un élément x =
seulement si vE (x0 ) = 0.
Démonstration.
P+∞
k=0 p
k [x ]
k
e †r est une unité de A
e †r si et
de A
e †r , alors vE (x) = vE (x0 ) > 0 et vE (x−1 ) =
x et x−1 appartiennent à A
−vE (x0 ) > 0 et donc vE (x0 ) = 0. Réciproquement, si vE (x0 ) = 0, alors [x0 ] est inversible dans
e †r et, quitte à diviser par [x0 ], on peut supposer x0 = 1 auquel cas x = 1 − u avec u ∈ pA
e ∩A
e †r
A
P
+∞ n
−1 =
e†
e†
e
et x
n=0 u est un élément de Ar puisque Ar est un sous-anneau fermé de A.
Si
Corollaire II.1.5.
(i)
Si r > 1, alors
π
[π]
e †r .
est une unité de A
Démonstration. On a π = [ε]−1 = [π]+p[α1 ]+p2 [α2 ]+· · · , où αi est un polynôme en εp −1 à
−i
p−i
1
Z et sans terme constant, ce qui implique vE (αi ) > vE (ε −1) = (p−1)p
i−1 . Ceci
2
implique que si on écrit π sous la forme [π](1+p[a1 ]+p [a2 ]+· · · ), alors vE (a1 ) = vE (α1 )−vE (π) >
π
e †p−1 , ce qui permet d'utiliser le lemme
−1 et vE (ai ) > −vE (π) > −i si i > 2 et donc [π]
∈ A
coecients dans
p
précédent pour conclure.
e † est un corps. Si x ∈ B
e † −{0}, il existe n ∈ Z, r ∈ N
B
P+∞ k
pr
−n
tels que x ∈
p
k=0 p [xk ] avec vE (xk ) > − p−1 k
k −n [x ]u
quel que soit k ∈ N. Soit k0 le plus petit entier tel que xk 6= 0. On a alors x = p 0
k0
P+∞ k
yk+k0
pr
ps
avec u = 1 +
vérie
v
(y
)
>
−
(k
+
k
)
−
v
(x
)
>
−
k
p
[y
]
,
où
y
=
0
E
E
k
k
k
k
0
k=1
yk
p−1
p−1 , où
Revenons à la démonstration du fait que
e †r et donc puisse s'écrire sous la forme
p−n A
0
l'on a posé
p−1
p
inversible
s = r + k0 +
e †s ⊂ B
e†
dans A
et, comme
p−1
p vE (x0 )
1
alors
[xk0 ]
et, si
t=
>0
sup(0, vE (xk0 )).
p
=
On déduit alors du lemme II.1.4, le fait que
u
est
e † (p l'est par construction
[xk0 ] sont inversibles dans B
†
1 p
e
e†
p [xk0 ] ∈ Bt ), cela montre que x est inversible dans B et
et
permet de conclure.
On munit
∪
n∈N
e† =
B
e †r
∪ B
de la topologie de la limite inductive, ayant muni chaque
r∈R+
†
−n
p Ar de la topologie de la limite inductive et
e †r
A
de la topologie
π -adique
est complet d'après le (ii) de la proposition II.1.2. On dénit des sous-anneaux
r ∈ R+ ∪
{∞}, A†r ,
B†r de
B
e †,
A† = A ∩ A
L'anneau
e+ ∩A
A†0 = A
pour lequel il
A † , B† ,
et, si
en posant
e †,
B† = B ∩ B
e†
A†r = A ∩ A
r
e †,
et B†r = B ∩ B
r
e †, B
e †, A
e †r et
A
A (resp. B) est un
anneaux que l'on munit des topologies induites par les topologies respectives de
e †r .
B
e †r =
B
sera en général noté
A+ .
Si on utilise le fait que
francaisREPRÉSENTATIONS p-ADIQUES SURCONVERGENTES
sous-anneau (resp. un sous-corps) fermé de
e
A
(resp.
e)
B
contenant
π
9
et stable par
GF
et
ϕ,
on
obtient la proposition suivante.
Proposition II.1.6.
B† est un corps stable par GF et ϕ.
†
†
†
†
(ii) Si r ∈ R+ , les anneaux Ar et Br sont stables par GF et x ∈ Ar (resp. x ∈ Br ) si et
seulement si ϕ(x) ∈ A†pr (resp. ϕ(x) ∈ B†pr ),
†
(iii) Si r ∈ R+ , alors Ar est séparé et complet pour la topologie π -adique.
II.2.
Si
L'anneau
K
(i)
B†F
est une extension nie de
F,
A†K = (A† )HK , B†K = (B† )HK
L'anneau
A†0,K
sera en général noté
on pose
et, si
r ∈ R+ , A†r,K = (A†r )HK et B†r,K = (B†r )HK .
A+
K . Si K
est une extension non ramiée de
F , Les anneaux
A†r,K ont une description en termes de fonctions analytiques sur certaines couronnes, ce qui les
rend assez maniables. Si
K
est une extension nie de
F,
considérons les anneaux de séries de
Laurent suivants :
[0,1)
AK des séries entières à coecients dans OK .
P
[1,1)
n
(ii) l'algèbre AK
des séries de Laurent de la forme
n∈Z an T
dans OK et vérient lim an = 0.
(i) l'algèbre
dont les coecients sont
n→−∞
[ρ,1)
(ρ,1)
0 < ρ < 1, l'algèbre AK
(resp. AK
ρ 6 |T | < 1 (resp. ρ < |T | < 1) majorées en norme
(iii) Si
Proposition II.2.1.
) des fonctions analytiques sur la couronne
par
1
sur cette couronne.
Si K est une extension non ramiée de F , alors l'application qui à F
associe F (π) induit un isomorphisme
[1,1)
(i) de AK
sur AK ,
[0,1)
(ii) de AK
sur A+
K
[ρ(r),1)
− r1
(iii) de AK
sur A†r− et de AK(ρ(r),1) sur A†r si r > p−1
.
p et ρ(r) = p
Démonstration. Les (i) et (ii) sont des évidences et le (iii) se reformule de la manière suivante.
Lemme II.2.2.
Soient K une extension nie non ramiée de F et r ∈ R+ vériant r > p−1
p .
P
Les deux conditions suivantes sont équivalentes pour x = n∈Z an π n ∈ AK .
†
(i) x ∈ Ar,K ,
(ii) rvp (an ) + n > 0 quel que soit n ∈ Z (resp. rvp (an ) + n > 0 quel que soit n ∈ Z et
lim rvp (an ) + n = +∞) si r ∈ R (resp. si r ∈ R − R).
n→−∞
Démonstration. Remarquons tout d'abord que x =
P
n<0 an π
n
On a donc
†
n
0
n∈Z an π ∈ Ar,K si et seulement si x =
P
p−k n<0, vp (an )=k an π n et nk = inf{n < 0 | vp (an ) = k}.
∈ A†r,K . Si k ∈ N, soit yk =
yk = [π]nk u où
an π nk
u = kk
1+
p [π]
P
X
n>nk ,vp (an )=vp (ank )
an n−nk π
ank
francaisFRÉDÉRIC CHERBONNIER & PIERRE COLMEZ
10
e p−1 . On en déduit les formules w0 (yk ) = vE (y k ) = nk p et wi (yk ) > vE (y k )−i
A
p−1
p
P+∞ i
i
si i > 1. D'autre part, comme x =
i=0 p yi , on a wk (x) > inf 06i6k wk (p yi ) = inf 06i6k wk−i (yi )
avec égalité si wk (yk ) < wk−i (yi ) quel que soit 0 6 i 6 k − 1.
est une unité de
Lemme II.2.3.
conditions suivantes
Soient s > 0 et (uk )k∈N , (vk )k∈N deux suites de nombres réels vériant les
vk > inf 06i6k ui + s(k − i)
(b) vk = uk si uk < ui + s(k − i) quel que soit 0 6 i 6 k − 1.
(a)
Alors on a
uk > 0 quel que soit k ∈ N⇔ vk > 0 quel que soit k ∈ N
Si de plus s > 0, alors
(ii) lim uk = +∞ ⇔ lim vk = +∞.
(i)
k→+∞
k→+∞
Démonstration. (i) L'implication ⇒ est immédiate et la contraposée de l'implication réciproque
ui < 0, alors vi = ui .
vk > uk . Supposons que uk ne tend pas vers +∞
et notons ` la limite inférieure de la suite (uk )k∈N . Si ` = −∞ et ψ(i) est une suite d'entiers
tendant vers +∞ tels que uψ(i) < uk quel que soit k < ψ(i), on a vψ(i) = uψ(i) , ce qui prouve
que (vk )k∈N ne tend pas non plus vers +∞. Si ` est ni et (uψ(i) )i∈N est une suite extraite de
(uk )k∈N tendant vers `, un petit argument utilisant le fait que s(k − i) > s si k > i + 1 et s > 0,
montre que vψ(i) = uψ(i) si i est assez grand, ce qui montre que (vk )k∈N ne tend pas non plus
vers +∞ et termine la démonstration du lemme.
se démontre en remarquant que si
(ii) L'implication
⇒
Corollaire II.2.4.
i
est le plus petit entier tel que
est immédiate puisque
†
pr
Si r > p−1
p et x ∈ AK , alors x ∈ Ar,K si et seulement si vE (yi )+ p−1 i > 0
pr
pr
quel que soit i ∈ N (resp. vE (yi ) + p−1
i > 0 quel que soit i ∈ N et vE (yi ) + p−1
i tend vers +∞
quand i tend vers +∞) si r ∈ R (resp. r ∈ R − R).
Démonstration.
wk
(x0 )
+
Il sut d'appliquer le lemme précédent à
pr
p−1 k et
uk = vE (yk ) +
pr
p−1
s =
pr
p−1 k .
−1
et aux suites
vk =
Pour terminer la démonstration du lemme II.2.2, il sut d'utiliser la formule vE (yk ) =
p
pr
qui implique en particulier que wk (yk )+
inf vp (an )=k n p−1
p−1 k > 0 quel que soit k ∈ N équivaut
pr
à n + rvp (an ) > 0 quel que soit n < 0. D'autre part, la condition lim vE (yk ) +
p−1 k = +∞
k→+∞
inf vp (an )=k n + rvp (an ) tend vers +∞ quand k
nombre ni de n < 0 tels que vp (an ) = k ) aussi à la
équivaut à
tend vers
qu'un
condition
+∞ et donc (car il n'y a
lim rvp (an ) + n = +∞,
n→−∞
ce qui permet de conclure.
II.3.
Généralités sur les représentations surconvergentes
Une représentation surconvergente est une représentation dont le
(ϕ, Γ)-module
est engendré
par des éléments surconvergents. De manière précise, on a la dénition suivante.
Dénition II.3.1.
on pose
Si V est une Zp -représentation ou une représentation p-adique de GK ,
D† (V ) = (A† ⊗Zp V )HK
et
Dr† (V ) = (A†r ⊗Zp V )HK si r ∈ R+ .
francaisREPRÉSENTATIONS p-ADIQUES SURCONVERGENTES
11
Comme B† est un corps, si V est une représentation p-adique, on a dimB† D† (V ) 6 dimQp V et
K
on dit que V est surconvergente si on a égalité, ce qui est équivalent au fait que Dr† (V ) contient
une base de D(V ) sur BK si r est assez grand.
Remarquons que la propriété de surconvergence ne dépend que de la restriction à
HK .
Les
représentations surconvergentes sont étudiées en détails dans [2] et le théorème suivant rassemble
une bonne partie des résultats obtenus dans [2].
Théorème II.3.2.
La catégorie des représentations surconvergentes de GK est stable par
induction ; autrement dit, si L est une extension nie de K et V est une représentation padique de GK , alors V est surconvergente si et seulement si elle est surconvergente en tant que
représentation de GL .
ψ=1 est formé d'éléments surconvergents (i.e.
(ii) V est surconvergente si et seulement si D(V )
†
est inclus dans D (V )).
(iii) Si V est surconvergente et γK est un générateur de ΓK , alors γK − 1 admet un inverse
continu sur D† (V )ψ=0 .
(iv) La catégorie des représentations surconvergentes est stable par extension et contient les
représentations abéliennes.
(i)
Pour la commodité du lecteur, nous avons reproduit dans la suite de ce chapitre, les démonstrations (un peu modiées) des résultats (i) et (iii), résultats dont nous aurons besoin dans le
chapitre suivant pour montrer que toutes les représentations de
GK
sont surconvergentes. Le
point le plus délicat est le (iii). La démonstration que nous allons en donner dière de celle de [2]
sur la manière de dévisser la situation. Dans [2] le dévissage se fait en regardant la représentation
modulo
GF ,
p
puis mod
p2
etc
...,
alors qu'ici on se ramène au cas de la représentation triviale de
ce qui permet de raccourcir largement la démonstration.
II.4. Stabilité par induction
La stabilité par induction de la catégorie des représentations surconvergentes se ramène, modulo le théorème de Hilbert 90, à la proposition suivante.
Proposition II.4.1.
Si L est une extension nie de K , alors B†L est une extension de B†K
de degré [L∞ : K∞ ] et si L/K est galoisienne, il en est de même de B†L /B†K et Gal(B†L /B†K ) =
Gal(L∞ /K∞ ).
Démonstration.
naturelle de
Il sut de prouver que si
BF ⊗
B†F
B†K dans
BK
K
est une extension nie de
F,
alors l'application
est bijective, ce qui permettra de déduire la proposition de
BL /BK . Comme TrK∞ /F∞ (B†K ) ⊂ B†F , un argument standard faisant
2
intervenir la forme quadratique TrK∞ /F∞ (x ) permet de montrer qu'une famille d'éléments de
B†K qui est liée sur BF l'est déjà sur B†F . On en déduit l'injectivité. Pour démontrer la surjectivité,
l'énoncé analogue pour
nous aurons besoin du lemme suivant.
Lemme II.4.2.
Si P ∈ A† [X] est unitaire et a un discrimant non divisible par p, alors les
racines de P appartiennent à A† .
francaisFRÉDÉRIC CHERBONNIER & PIERRE COLMEZ
12
Démonstration.
B;
P n'est pas divisible par p
P est non ramiée et donc égale à
à A. Il sut donc de vérier qu'elles
L'hypothèse selon laquelle le discriminant de
implique que l'extension de
B
engendrée par une racine de
P appartiennent
†
e
appartiennent aussi à A .
N d P ( X ) pour N assez grand, on peut
Soit d le degré de P . Quitte à remplacer P par π
πN
e + [X]. Soit α ∈ E
e + une racine de P et
supposer que la réduction P de P modulo p appartient à E
e † dont la réduction modulo p est α (on peut prendre pour α le représentant de Teichmüller
α∈A
0
e † . Soit
[α] de α). Par hypothèse, on a P 0 (α) 6= 0, ce qui fait que P 0 (α) est inversible dans A
on en déduit le fait que les racines de
[P (α)]
[P 0 (α)]
p−1
0
r ∈ R+ tel que
contienne α, tous les coecients de P et
p vE (P (α)),
P 0 (α) . Si n =
0
π
π −n
0
n P (α)
e†
et comme
on peut écrire P (α) sous la forme π
[π] est inversible dans A1 , on a
[P 0 (α)] [π]
e †s si s > sup(r, 1). On a de plus P (α) ∈ A
e †s ∩ pA
e et
P 0 (α) = π n u, où u est inversible dans A
k−1
†
†
(p−1)p
s
2n+1
e
e
e
e †k
comme As ∩pA est inclus dans π
Apk s , on peut trouver k > 2 tel que P (α) ∈ π
A
p s
†
e
et comme A k est séparé et complet pour la topologie π -adique, le lemme de Hensel implique
p s
2n+1 A
e † k . On en déduit le
que l'équation P (x) = 0 a une unique solution appartenant à α + π
p s
e †r
A
résultat.
x un générateur de E+
K en tant que
+
EF [X] son polynôme minimal. Il résulte du lemme de Hensel que si
Revenons à la démonstration de la surjectivité. Soit
E+
F -algèbre et soit
P ∈ AF [X]
P ∈
p est P , alors P a
une unique racine x dans AK dont la réduction modulo p est x et AK = AF [x]. Comme l'image
†
†
+
de AF modulo p contient EF (c'est immédiat), on peut choisir P appartenant à AF [X] et le
†
†
†
lemme II.4.2 montre qu'alors x ∈ AK . On en déduit l'inégalité [BK : BF ] > [K∞ : F∞ ], ce qui
est n'importe quel polynôme unitaire dont la réduction modulo
permet de conclure.
II.5. Action de
Γ
sur
Proposition II.5.1.
D† (V )ψ=0
: le cas de la représentation triviale
Si m > 1, γm est un générateur de ΓFm et r > (p − 1)pm−1 , alors
ψ=0
ψ=0
m−1
τm = γm − 1 induit une bijection de ϕ(π)a A†r,F
sur ϕ(π)a+p
A†r,F
quel que soit
a ∈ Z.
Démonstration.
τm agissant sur AF est OF (cf.
(AF )ψ=0 est réduite à {0}.
Comme γm est un générateur de ΓFm et m > 1, on a vp (χ(γm ) − 1) = m et on peut écrire
χ(γm ) − 1 sous la forme pm u avec u ∈ Z∗p . Tout élément z de Aψ=0
s'écrit de manière unique
F
Pp−1 i
sous la forme
i=1 [ε] zi avec zi ∈ ϕ(AF ) (cf. formule décrivant ψ , chapitre I Ÿ5), ce qui nous
ψ=0
permet de dénir une application fm : AF
→ Aψ=0
par la formule
F
L'injectivité vient de ce que le noyau de
lemme I.3.1) et donc son intersection avec
p−1
p−1
X
X
i
fm ( [ε] zi ) = −
[ε]i
i=1
et un petit calcul utilisant le fait que
i=1
zi
1 − [ε]pm iu
m iu
γm ([ε]i ) = [ε]iχ(γm ) = [ε]i [ε]p
fm (τm (z)) = z −
p−1
X
i=1
[ε]i
τm (zi )
.
[ε]−pm iu − 1
montre que l'on a
(II.5.1.1)
francaisREPRÉSENTATIONS p-ADIQUES SURCONVERGENTES
fm
La démonstration de la proposition II.5.1 repose sur le fait que
Il s'agit donc de vérier que
z − fm (τm (z))
13
est presque un inverse de
τm .
est petit en un sens à préciser, ce qui nécessitera un
certain nombre de lemmes préparatoires.
Lemme II.5.2.
de
(i)
Si a ∈ Z∗p et r > (p − 1)pm−1 , alors
m
[ε]p a −1
π pm
m
[ε]p a −1
ϕ(π)pm−1
et
sont des unités
A†r,F .
(ii)
Si r > (p − 1)pm−1 et k ∈ Z, alors
Démonstration. ϕ(π)
πp
=1+
p
π
+ ··· +
τm (π k )
πk
m −1
∈ πp
A†r,F .
p
appartient à
π p−1
le lemme II.2.2 et comme son image dans
EF
est égale à
A†p−1,F
1,
comme on le voit en utilisant
c'est une unité de
A†p−1,F
d'après le
lemme II.1.4. On en déduit le fait que
m
[ε]p − 1
ϕm (π)
ϕ(π) pm−1
ϕ(π) m−2 ϕ(π) p
=
= ϕm−1
...
ϕ
m
m
p
p
p
p
π
π
π
π
πp
A†(p−1)pm−1 ,F ce qui permet de démontrer le (i),
pm
P
†
a
− 1)i est une unité de A+
= a + +∞
i=1 i+1 ([ε]
F = A0,F et
est une unité de de
compte-tenu du fait que
m
[ε]p a −1
pm
donc, a fortiori, de
−1
[ε]
si
a ∈ Z∗p .
(ii) Si k = 1,
on a
mu
τm (π) = γm ([ε] − 1) − ([ε] − 1) = [ε]([ε]p
− 1)
A†r,F ,
et le résultat suit du (i).
D'autre part,
+∞ +∞ j X
X
k τm (π) j
τm (π k ) γm (π) k
k γm (π)
=
−
1
=
−
1
=
,
j
π
π
π
j
πk
j=1
j=1
ce qui permet de ramener le cas
topologie
m −1
k = 1
quelconque au cas
A†r
puisque
est complet pour la
π -adique.
Corollaire II.5.3.
π a+p
k
Si r > (p − 1)pm−1 et a ∈ Z, l'image de π a A†r,F par τm est incluse dans
A†r,F .
Démonstration.
OF [π, π −1 ]
Comme
est dense dans
τm
est continue, que
π a A†r,F ,
m −1
π a+p
A†r,F
est complet et
X = π a A†r,F ∩
il sut de vérier que l'image de tout élément de
X
par
m
p
τm est dans π a+p −1 A†r,F . Or X = π a OF [π, (p−1)p
n−1 ] est engendré sur OF par les ei,j
π
j
p
pm −1 e x , avec x
π a+i (p−1)p
et le lemme précédent montre que l'on a τm (ei,j ) = π
i,j i,j
i,j
n−1
π
†
Ar,F . Ceci permet de conclure.
Corollaire II.5.4.
Si r > (p − 1)pm−1 et z ∈ ϕ(π)a A†r,F
m−1 −1
z − fm (τm (z)) ∈ ϕ(π)a+(p−1)p
Démonstration. On peut écrire z sous la forme z =
τm (zi ) ∈
ψ=0
A†r,F
Pp−1
ψ=0
.
i
i=1 [ε] ϕ(zi ) avec
zi ∈ π a A†p−1 r,F
p−1
X
τm (zi )
ϕ(τm (zi ))
i
=
[ε] ϕ
z − fm (τm (z)) =
[ε] −pm iu
−1
[ε]
[ε]−pm−1 iu − 1
i=1
i=1
i
∈
, alors
m
π a+p −1 A†p−1 r,F . Or on a, d'après la formule (II.5.1.1),
p−1
X
=
et donc
francaisFRÉDÉRIC CHERBONNIER & PIERRE COLMEZ
14
m−1
et le résultat suit du fait que
iu −1
[ε]−p
est une unité de
π pm−1
A†p−1 r,F
d'après le lemme II.5.2.
Revenons à la démonstration de la proposition II.5.1. Il s'agit de montrer que si
x∈
m−1
ϕ(π)a+p
ψ=0
ou encore, utilisant le fait que fm est
ϕ(π)a A†r,F
injective, que l'application qui à y associe gx (y) = y − fm (τm (y) − x) a un point xe. Comme
ψ=0
m
[ε]p iu −1
†
a A†
et le lemme précéest
une
unité
de
A
(lemme
II.5.2),
on
a
f
(x)
∈
ϕ(π)
m
m−1
r,F
r,F
ϕ(π)p
ψ=0
a A†
dans lui-même contractante pour la
dent montre que gx est une application de ϕ(π)
r,F
topologie ϕ(π)-adique, topologie pour laquelle ce module est complet, ce qui permet de conclure.
l'équation
II.6.
τm (y) = x
Action de
a une solution dans
ΓK
Proposition II.6.1.
sur
D† (V )ψ=0
: le cas général
Si γK est un générateur de ΓK et V est une représentation surconvergente de GK , alors τK = γK − 1 admet un inverse continu sur D† (V )ψ=0 , inverse qui sera noté
−1
: D† (V )ψ=0 −→ D† (V )ψ=0 . Plus précisément, si T est un réseau de V stable par GK , il
τK
existe c(K, T ) ∈ N et r(K, T ) ∈ R+ tels que, quels que soient r > r(K, T ) et a ∈ Z, on ait
−1
τK
ψ=0
ψ=0 ⊂ π a−c(K,T ) Dr† (T )
.
π a Dr† (T )
Cette proposition admet le corollaire suivant que nous utiliserons de manière intensive dans
le chapitre III.
Corollaire II.6.2. Si K est une extension nie de F , il existe c(K) ∈ N et r(K) ∈ R+ tels
que, quels que soient r > r(K) et a ∈ Z, on ait
−1
τK
π a A†r,K
ψ=0 ⊂ π a−c(K) A†r,K
ψ=0
.
Démonstration. Il sut d'appliquer le théorème précédent à la représentation triviale de GK .
Revenons à la démonstration de la proposition II.6.1. On se ramène grâce à la proposition II.4.1
K = F en remplaçant V par IndFK V . Soit T un réseau de V stable par GK . Comme
on a supposé V surconvergente, on peut trouver une base e1 , . . . , ed de D(T ) sur AF constituée
∗
d'éléments surconvergents. Il existe alors r0 ∈ R+ , que l'on peut supposer supérieur ou égal à
†
p−1
p , tel que ei ∈ Dr0 (V ) quel que soit 1 6 i 6 d.
Si γ ∈ ΓK , soit Uγ la matrice de γ dans la base e1 , . . . , ed , ce qui fait que γ → Uγ est un
†
cocycle continu sur ΓK à valeurs dans GLd (Ar ,F ). La continuité implique qu'il existe m ∈ N
0
au cas où
tel que l'on ait
prendre
γKm =
Uγ ∈ 1 + πMd (A†r0 ,F )
si
f
γK
comme générateur de
−1
τK
γ ∈ ΓK m .
ΓK m
Remarquons que si
GK
f −1 −1
= (γK − 1)−1 = (1 + γK + · · · + γK
)τKm ,
de l'énoncé obtenu en considérant
V
quitte
à
remplacer
K
par
U = UγK ∈ 1 + πMd (A†r0 ,F ) et χ(γK ) ∈ 1 + pZp .
Soit m = vp (χ(γK ) − 1) de telle sorte que K = Fm
soit
c =
ϕk (πA†r,F )
⊂
V
considérée comme repré-
comme une représentation de
met,
pm−1 . Comme
on peut
et comme on a
on voit que l'on peut déduire l'énoncé de la proposition II.6.1 pour
sentation de
f = [Km : K],
k−1
ϕ(π)p A†pk r,F si
Km ,
et
de
γK
r > 1
GKm . Ceci per-
supposer
ΓFm et
ϕk (π) π p pk−1
ϕ(π)
π pk
est un générateur de
ϕk (π)
car
ϕ(π)pk−1
=
que
A†r,F
ψ=0
,
francaisREPRÉSENTATIONS p-ADIQUES SURCONVERGENTES
15
A†pk r,F d'après le lemme II.5.2, on peut, quitte à remplacer r0 par pm r0 et
e1 , . . . , ed par ϕm (e1 ), . . . , ϕm (ed ), ce qui change U en ϕm (U ), supposer que e1 , . . . , ed ∈ ϕ(D(T ))
p−1
c+1 M (A†
et U ∈ 1 + ϕ(π)
d
r0 ,F ). Comme on avait supposé r0 > p au début, on a maintenant
r0 > (p − 1)pm−1 , ce qui nous permettra d'utiliser la proposition II.5.1.
est une unité de
On s'est donc ramené à démontrer la proposition II.6.1 en supposant de plus qu'il existe une
e1 , . . . , ed de D(T ) sur AF formée d'éléments de Dr†0 (T ) ∩ ϕ(D(T )) telle que si l'on note
D le sous-A†r0 ,F -module de D(T ) engendré par e1 , . . . , ed , alors τK (ei ) ∈ ϕ(π)c+1 D quel que soit
1 6 i 6 d, où c = pm−1 et m = vp (χ(γK ) − 1) > 1.
†
Plaçons nous donc sous les hypothèses ci-dessus et, si r > r0 , notons Dr le sous-Ar,F -module
de D(T ) engendré par e1 , . . . , ed .
P
Lemme
II.6.3. L'élément x = di=1 xi ei de Dr appartient à Drψ=0 si et seulement si xi ∈
ψ=0
quel que soit 1 6 i 6 d.
A†r,F
base
Démonstration.
On a ψ(x) = 0⇔ϕ(ψ(x)) = 0 et comme on a
P
ϕ(ψ(x)) = di=1 ϕ(ψ(xi ))ei , ce qui, compte-tenu du fait que les ei
BF , permet de conclure.
Proposition II.6.4.
r > r0 et a ∈ Z.
supposé
ei ∈ ϕ(D(T )),
on a
forment une famille libre sur
τK induit une bijection de ϕ(π)a Drψ=0 sur ϕ(π)a+c Drψ=0 quels que soient
Démonstration. Commençons par remarquer que l'on a
τK
d
X
d
d
X
X
τK (zi )ei +
γ(zi )τK (ei ),
zi ei =
i=1
i=1
(II.6.3.1)
i=1
τK (ei ) ∈ ϕ(π)c+1 Dr , ceci implique, compte-tenu de la proposition II.5.1, que l'image de
ψ=0
a
a+c D ψ=0 et ce, quels que soient r > r et a ∈ Z. D'autre
ϕ(π) Dr
par τK est incluse dans ϕ(π)
r
0
a ψ=0 dans ϕ(π)a+c D ψ=0 .
part, le lemme I.5.1 montre que τK induit une injection de ϕ(π) Dr
r
Pd
a+c D ψ=0 , d'après le lemme précédent,
Il reste à vérier la surjectivité. Si z =
z
e
∈
ϕ(π)
r
i=1 i i
ψ=0
a+c A†
on a zi ∈ ϕ(π)
.
Ceci
permet,
utilisant
la
proposition
II.5.1, de dénir une applir,F
P
ψ=0
ψ=0
d
−1
a+c D
cation f : ϕ(π)
→ ϕ(π)a Dr
par la formule f (z) =
r
i=1 τK (zi )ei . Comme pour la
et comme
proposition II.5.1, le point de départ de la démonstration est que
f
est presque un inverse de
τK .
En eet, utilisant la formule (II.6.3.1), on obtient
z − f (τK (z)) = −f
d
X
γ(zi )τK (ei ) ,
i=1
c+1 D permet de montrer que l'application g dénie
ce qui, utilisant le fait que τK (ei ) ∈ ϕ(π)
r
a ψ=0 pour la topologie ϕ(π)-adique et
par g(y) = y − f (τK (y) − x) est contractante sur ϕ(π) Dr
ψ=0
a
comme ϕ(π) Dr
est complet pour cette topologie, cela montre qu'elle y a un (unique) point
xe
y
solution de l'équation
τK (y) = x
et permet de conclure.
v1 , . . . , vd une base de T sur Zp . Si
M est la matrice de e1 , . . . , ed dans la base v1 , . . . , vd , alors M ∈ Md (A†r0 ) ∩ GLd (A) puisque l'on
†
a supposé que e1 , . . . , ed est une base de D(T ) sur AF constituée d'éléments de Dr0 (T ). Comme
B† est un corps, cela implique que M −1 ∈ GLd (B† ) ∩ GLd (A) = GLd (A† ) et il existe b ∈ N et
Revenons à la démonstration de la proposition II.6.1. Soit
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16
P
r1 > r0 tels que M −1 ∈ π −b Md (A†r1 ). On en déduit le fait que si r > r1 et x = di=1 xi ei ∈ Dr† (T ),
†
−b A†
−b †
b †
alors xi ∈ π
r,F ⊂ ϕ(π) Ar,F . On obtient donc les inclusions ϕ(π) Ar,F ⊂ Dr ⊂ Ar,F si
−1
r > r1 . La proposition II.6.4 montre qu'alors l'image de ϕ(π)a Dr† (T )ψ=0 par τK
est incluse dans
ϕ(π)
†
†
a+c+b
ψ=0
ϕ(π)
Dr (T )
et comme
π p est une unité de Ar d'après le lemme II.5.2, on peut prendre
r(K, T ) = r1 et c(K, T ) = p(c + b + 1).
III.
III.1.
Cohomologie galoisienne et représentations surconvergentes
Énoncé des résultats
Soit
ϕ−∞ (B† ) = ∪ ϕ−n (B† ) ;
n∈N
Théorème III.1.1.
naturelles
c'est un sous-anneau dense de
e †.
B
Si K est une extension nie de F et d un entier > 1, les applications
ι1
ι2
e † )) −→
e † )),
H 1 (ΓK , GLd (ϕ−∞ (B†K ))) −→
H 1 (ΓK , GLd (B
H 1 (GK , GLd (B
K
e† ⊂ B
e † , sont des bijections.
induites par l'ination de ΓK à GK et les inclusions ϕ−∞ (B†K ) ⊂ B
K
Les techniques de démonstration sont très analogues à celles employées par Sen [13] pour
démontrer le résultat suivant.
Proposition III.1.2
(Sen). Si d > 1, les applications naturelles
b )),
b ∞ )) −→ H 1 (GK , GLd (F
H 1 (ΓK , GLd (K∞ )) −→ H 1 (ΓK , GLd (K
b , sont des bijections.
b∞ ⊂ F
induites par l'ination de ΓK à GK et les inclusions K∞ ⊂ K
La démonstration de Sen repose en particulier sur la décomposition (due à Tate [14]) de
b∞
K
K ⊕ X où X est un sous-K -espace vectoriel fermé de
sur lequel γK − 1 a un
inverse continu, où γK est un générateur topologique de ΓK . Dans la situation du théorème III.1.1,
b sont joués respectivement par B† , ϕ−∞ (B† ), B
e † et B
e † et le point
b ∞ et F
les rôles de K , K∞ , K
K
K
K
†
†
e sous la forme B ⊕ X , où X est un
crucial de la démonstration est la décomposition de B
K
K
†
†
e sur lequel γK − 1 admet un inverse continu. L'existence
sous BK -espace vectoriel fermé de B
K
b∞
K
sous la forme
de la décomposition est obtenue en utilisant les techniques de [5] introduites pour décomposer
de manière analogue les modules
HK
K
BH
dR , Bcris
etc. . .et l'existence de l'inverse continu de
γK − 1
est une conséquence des résultats de [2] rappelés au chapitre précédent.
III.2. Décomposition des anneaux
e K, A
e†
A
K
I = p−∞ Z ∩ [0, 1[. Si m ∈ N (resp. m > 1), soit Im = {i ∈ I | vp (i) > −m} (resp.
= {i ∈ I | vp (i) = −m}), ce qui fait que I est la réunion croissante pour m ∈ N des Im et la
∗
réunion disjointe de I0 = {0} et des Im pour m > 1.
Soit
∗
Im
Lemme III.2.1.
e + /(ε − 1)E
e + sur kF .
Si K = F , les εi pour i ∈ I forment une base de E
F
F
eF
Démonstration. E
de
e+
E
F
de
kF
étant le complété de la clôture radicielle de
s'écrit de manière unique sous la forme
P
(ε − 1)i ai ,
EF = kF ((ε−1)), tout élément
où ai est une suite d'éléments
i∈p−∞ N
telle que l'ensemble
{i 6 C, ai 6= 0} soit ni quel que soit C ∈ R. On en déduit le fait que
francaisREPRÉSENTATIONS p-ADIQUES SURCONVERGENTES
e + /(ε − 1)E
e + sur kF et la matrice faisant
(ε − 1)i pour i ∈ I forment une base de E
F
F
i
i
(ε − 1) aux ε étant triangulaire avec des 1 sur la diagonale, on en déduit le résultat.
les
Corollaire III.2.2.
17
passer de
e F s'écrit de manière unique sous la forme
Tout élément de E
X
εi ai (x),
i∈I
où la suite des ai (x) est une suite d'éléments de EF tendant vers 0 suivant le ltre des complémentaires des parties nies.
Proposition III.2.3.
e F s'écrit de manière unique sous la forme
Tout élément x de E
x = R0 (x) +
+∞
X
R∗m (x),
m=1
où R0 (x) ∈ EF et, si m > 1, R∗m (x) ∈ ϕ−m (Eψ=0
F ).
Démonstration.
1, ε, . . . , εp−1 est une base de EF sur ϕ(EF ) dans laquelle ψ est donné par
p−1 ) = ϕ−1 (a ). On en déduit le fait que si m > 1, on a
la formule ψ(a0 + a1 ε + · · · + ap−1 ε
0
i pour i ∈ I et v (i) > 1−m (resp. v (i) = −m)
ϕ−m (EF ) = ϕ1−m (EF )⊕ϕ−m (Eψ=0
)
et
que
les
ε
p
p
F
1−m (E ) (resp. ϕ−m (Eψ=0 )) sur E . On doit donc poser
forment une base de ϕ
F
F
F
X
εi ai (x).
R0 (x) = a0 (x) et R∗m (x) =
∗
i∈Im
Proposition III.2.4.
e K peut s'écrire
Si K est une extension nie de F , tout élément x de A
de manière unique sous la forme
x = R0 (x) +
+∞
X
R∗m (x),
(III.2.4.1)
m=1
où R0 (x) ∈ AK et, si m > 1, R∗m (x) ∈ ϕ−m (Aψ=0
K ).
Démonstration. Commençons
par supposer K = F
P
et choisissons une section s de la projection
P
eF,
kF . Si F = n>n0 an (ε − 1)n ∈ EF , posons s(F ) = n>n0 s(an )π n ∈ AF . Si y ∈ A
e F et on peut lui appliquer le corollaire III.2.2. Ceci nous
son image y modulo p appartient à E
e
e F en posant x0 = x et,
permet, si x ∈ AF de dénir par récurrence une suite d'éléments xn de A
si n > 1,
X
1
xn−1 −
[εi ]s(ai (xn−1 )) .
xn =
p
i∈I
P
P+∞ n
i
On a alors x =
i∈I [ε ]ai (x), où l'on a posé ai (x) =
n=0 p s(ai (xn )) ∈ AF , ce qui nous permet
∗
de dénir R0 (x) et Rm (x) par les formules
X
R0 (x) = a0 (x) et R∗m (x) =
[εi ]ai (x)
de
OF
sur
∗
i∈Im
et comme
[εi ] ∈ ϕ−m (Aψ=0
F )
si et seulement si
convient, ce qui montre l'existence.
∗,
i ∈ Im
la décomposition obtenue ci-dessus
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18
Si on a
P+∞
m=0 am
=0
a0 ∈ AF
avec
m > 1, am ∈ ϕ−m (Aψ=0
F ), alors réduisant modulo p
déduit le fait que tous les am sont divisibles par p, puis
et, si
et utilisant la proposition III.2.3, on en
par une récurrence immédiate, qu'ils sont tous nuls ; d'où l'unicité d'une telle décomposition.
F et soit e1 , . . . , ed une
e
base de AK sur AF qui est donc aussi une base de
sur AF . On peut écrire un élément x de
e K de manière unique sous la forme Pd xi ei et comme ϕm (e1 ), . . . , ϕm (ed ) est aussi une base
A
i=1
Pd
m
m
de AK sur AF , on en déduit le fait que ϕ (
i=1 xi ei ) ∈ AK si et seulement si ϕ (xi ) ∈ AF
Pd
ψ=0
−m (A
pour 1 6 i 6 d. En particulier,
i=1 xi ei ∈ ϕ
K ) si et seulement si
Supposons maintenant que
K
est une extension nie quelconque de
eK
A
d
d
d
X
X
X
ψ(ϕm (
xi ei )) =
ψ(ϕm (xi )ϕm (ei )) =
ψ(ϕm (xi ))ϕm−1 (ei )
i=1
i=1
i=1
m−1 (e ), . . . , ϕm−1 (e ) est une base de A sur A , est
est nul, ce qui, compte-tenu du fait que ϕ
1
K
F
d
ψ=0
−m
équivalent à ce que xi ∈ ϕ
(AF ) si 1 6 i 6 d. Tout ceci montre que l'on doit (et peut) poser
R0 (x) =
d
X
R0 (xi )ei
et
R∗m (x)
i=1
Remarque III.2.5.
R∗m (xi )ei .
i=1
On pourrait être tenté de déduire de la proposition précédente le même
eK
A
énoncé en remplaçant
par
e
A
et
AK
pas possible car en réduisant modulo
e
E
et
topologie naturelle de
e.
A
p,
par
A,
puisque
eK
e = ∪A
A
K
K
est dense dans
e.
A
Ce n'est
on aurait un énoncé analogue à la proposition III.2.3 en
e . Le problème est que
EF par E, or ce dernier corps est dense dans E
∗
e
les applications R0 et Rm sur AK sont continues pour la topologie p-adique mais pas pour la
remplaçant
Si
eF
E
=
d
X
m ∈ N,
par
on pose
Rm = R0 +
Proposition III.2.6.
Pm
∗
i=1 Ri .
Si m ∈ N, alors
=
◦ Rm .
R0 ◦
∗
−m (B )-linéaires.
(ii) Rm et les Rk pour k > m + 1 sont ϕ
K
e K , alors x = lim Rm (x).
(iii) Si x ∈ A
(i)
ϕm
ϕm
m→+∞
Démonstration. Le (i) résulte immédiatement de l'unicité de la décomposition donnée dans la
proposition III.2.4 et le (ii) résulte de cette unicité et du fait que
y∈
ϕ(x)y ∈ Aψ=0
K
si
x ∈ AK
et
Aψ=0
K . Quant au (iii), c'est une conséquence de la convergence de la série (III.2.4.1).
Proposition III.2.7.
Si K est une extension nie de F , il existe n0 (K) ∈ N tel que si
e † et m ∈ N, alors
n ∈ N et n > n0 (K), a ∈ Z, x ∈ π a A
r,K
R0 (x) ∈ π a A†n,K
Démonstration.
On déduit le cas
et
R∗m (x) ∈ π a ϕ−m ((A†pm n,K )ψ=0 ).
a ∈ Z quelconque
a = 0.
du cas
a=0
et de la
BK -linéarité
des
∗
applications R0 et Rm . Supposons donc
Dans le cas
si
e +,
x ∈ A
F
K = F , si on
ai (x) ∈ A+
F
alors
reprend la démonstration de la proposition III.2.4, on voit que
quel que soit
i ∈ I
et donc que l'image de
∗
e + . D'autre part, si n ∈
applications R0 et Rm est incluse dans A
F
+
π
−kn
k+1
e
e
[π]
AF + p AF pour k ∈ N et comme [π]
est une unité de
e+ = A
e†
A
F
0,F
par les
e † est l'intersection des
N, A
n,F
†
e
An,F si n > 1, on peut aussi
francaisREPRÉSENTATIONS p-ADIQUES SURCONVERGENTES
e†
A
n,F
e + + pk+1 A
eF
π −kn A
F
19
k ∈ N. Comme π −kn ∈ AF et
∗
e + et A
e F dans eux-mêmes, elles aussi
les applications R0 et Rm sont AF -linéaires et envoient A
F
e + + pk+1 A
e F et A
e † dans eux-mêmes. On a donc R0 (A
e† ) ⊂ A
e † ∩ AF = A† et, si
π −kn A
F
n,F
n,F
n,F
n,F
m > 1,
voir
comme l'intersection des
pour
e † ) ⊂ ϕ−m (Aψ=0 ) ∩ A
e † = ϕ−m (Aψ=0 ) ∩ A
e † m ) = ϕ−m ((A† m )ψ=0 ),
R∗m (A
n,F
F
n,F
F
p n,F
p n,K
n0 (F ) = 0.
†
†
e
e
eK : B
e F ].
[BK : BF ] = [B
ce qui montre que l'on peut prendre
Dans le cas général, on a
ϕ(BK ) sur ϕ(BF ) utilisée dans la démonstration
ei forment une base de ϕ(A†K ) sur A†F et il sut
†
†
les ei forment une base de An,K sur An,F .
Corollaire III.2.8.
On peut donc prendre la base
e1 , . . . , ed
de
de la proposition III.2.4, de telle sorte que les
de prendre pour
n0 (K)
le plus petit
n
tel que
Soient K une extension nie de F , γK un générateur de ΓK et c(K)
l'entier déni au corollaire II.6.2. Il existe n(K) ∈ N tel que si n ∈ N, n > n(K) et a ∈ Z,
e † peut s'écrire sous la forme x = x0 + (1 − γK )(y) avec x0 ∈ π a A† et
tout élément x de π a A
r,K
n,K
†
a−c(K)
e
An,K .
y∈π
Démonstration. D'après le corollaire II.6.2, τK = γK − 1 est inversible sur (A†K )ψ=0 et il existe
r(K) ∈ R+
tel que, pour tout
r > r(K)
et tout
a ∈ Z,
−1
τK
((π a A†r,K )ψ=0 ) ⊂ π a−c(K) A†r,K .
Montrons que l'on peut prendre pour
n0 (K)
n(K)
n'importe quel entier supérieur ou égal à
r(K)
et
et
x0 = R0 (x) et y =
+∞
X
−1
ϕ−m τK
ϕm R∗m (x) .
m=1
π a A†n,K et si
x0 ∈
m > 1,
ψ=0 −1
R∗m (x)
∈ϕ−m τK
ϕm (π a )A†pm n,K
⊂ϕ−m π −c(K) ϕm (π a )A†pm n,K
e† ,
⊂ϕ−m ϕm (π a−c(K) )A†pm n,K ⊂ π a−c(K) A
n,K
D'après la proposition III.2.7, on a
−1
ϕ−m τK
ϕm
ce qui permet de conclure.
III.3.
Descente de
Proposition III.3.1.
e†
B
à
e†
B
K
e † )) = {1}.
H 1 (K∞ , GLd (B
1
e † )) sur H 1 (GK , GLd (B
e † )).
(ii) L'application d'ination de ΓK à GK induit une bijection de H (ΓK , GLd (B
K
(i)
Démonstration. Le (ii) est une conséquence immédiate du (i) puisque celui-ci implique que le
terme suivant dans la suite d'ination-restriction est trivial. Pour démontrer le (i), nous aurons
besoin d'un certain nombre de lemmes préliminaires.
Lemme III.3.2.
e + (i.e. l'ensemble des x ∈ E
e vériant vE (x) >
Soit mEe l'idéal maximal de E
0). Alors
1
(i) H (K∞ , m e ) = 0.
E
francaisFRÉDÉRIC CHERBONNIER & PIERRE COLMEZ
20
(ii)
Si d > 1, alors H 1 (K∞ , 1 + Md (mEe )) = 1.
Démonstration. cf. [5, chap. IV].
Le (i) de ce lemme admet le corollaire immédiat suivant dont nous aurons besoin dans la suite.
Si
s ∈ R,
soit
as
l'ensemble des éléments
x
de
e
E
vériant
vE (x) >
ps
p−1 .
Corollaire III.3.3.
Si K est une extension nie de F et σ → cσ est un cocycle continu de
GK∞ dans as , alors quel que soit η > 0, il existe c ∈ as−η tel que l'on ait cσ = (σ − 1)c, quel que
soit σ ∈ HK .
Si
e ,
M ∈ Md (E)
on note
vE (M )
l'inf. des images des coecients de
M
la matrice dont les coecients sont les représentants de Teichmüller des
e
[M ] ∈ Md (A)
coecients de M .
par
vE
et
Lemme III.3.4.
Soient r ∈ R+ , k > 1 et σ → Uσ un 1-cocycle continu de HK dans
e †r ) ∩ 1 + pk Md (A)
e . Alors quel que soit η > 0, il existe V ∈ Md (E)
e vériant vE (V ) >
GLd (A
p(r+η)
k
−1
k
e† ) ∩
− p−1 k tel que le cocycle σ → (1 + p [V ]) Uσ σ(1 + p [V ]) soit à valeurs dans GLd (A
r+η
k+1
e
1 + p Md (A)
Démonstration. Si s ∈ R, soit as
e des éléments x vériant vE (x) > s.
E
e est un cocycle à valeurs dans
L'image σ → Vσ de σ → Uσ −1
= Md (E)
e
Md (a−kr ) et le corollaire III.3.3 implique qu'il existe V ∈ Md (E) vériant vE (V ) > − p(r+η)
p−1 k tel
k
−1
que l'on ait Vσ = (σ − 1)V quel que soit σ ∈ HK . Le cocycle σ → (1 + p [V ])
Uσ σ(1 + pk [V ])
k+1 M (A)
e et comme 1 + pk [V ] et (1 + pk [V ])−1 =
est par construction à valeurs dans 1 + p
d
†
k
k
2
e
1 − p [V ] + p ([V ] ) − . . . appartiennent à Md (A
r+η ), on en déduit le fait que le cocycle σ → Vσ
†
e
est aussi à valeurs dans GLd (A
r+η ), ce qui permet de conclure.
l'idéal fractionnaire de
k
k+1 M (A)
e
e
dans p Md (A)/p
d
Corollaire III.3.5.
e †r )∩
Soient r ∈ R+ , et σ → Uσ un 1-cocycle continu de HK dans GLd (A
e . Alors quel que soit η > 0, il existe M ∈ GLd (A
e † ) ∩ 1 + pMd (A)
e tel que le cocycle
1 + pMd (A)
r+η
−1
σ → M Uσ σ(M ) soit trivial.
Démonstration. Soit ηk une suite strictement croissante d'éléments de ]0, η[. Utilisant le lemme
e
k > 1 une suite de matrices Vk ∈ Md (E)
k
Mk = 1 + p [Vk ], le cocycle
précédent, on construit par récurrence pour
vE (Vk ) > −k(r + ηk )
telle que,si on pose
vériant
σ → (M1 . . . Mk )−1 Uσ σ(M1 . . . Mk )
e † ) ∩ 1 + pk+1 Md (A)
e . Le produit inni Q+∞ Mk converge dans
GLd (A
r+ηk
k=1
e vers une matrice M telle que le cocycle σ → M −1 Uσ σ(M ) soit trivial. D'autre
1 + pMd (A)
e † ) qui est fermé dans GLd (A)
e et donc
part, chacun des termes du produit appartient à GLd (A
r+η
†
e
M ∈ GLd (A
), ce qui permet de conclure.
soit à valeurs dans
r+η
σ → Uσ un cocycle continu de HK
†
e
e †r ) quel
dans GLd (B ). Comme HK est compact, il existe r ∈ R+ tel que l'on ait Uσ ∈ GLd (B
que soit σ ∈ HK et il existe une extension nie galoisienne L de K telle que Uσ appartienne à
e †r ) si σ ∈ HL . D'après le (ii) du lemme III.3.2, il existe une matrice M0 ∈ GLd (W (E
e + ))
1+πMd (A
−1
e et donc à valeurs dans
telle que le cocycle σ → M0 Uσ σ(M0 ) soit à valeurs dans 1 + pMd (A)
†
e r ) ∩ 1 + pMd (A)
e si σ ∈ HL . Le corollaire précédent montre qu'il existe M ∈ GLd (A
e† )
GLd (A
r+1
−1 M −1 U σ(M M ) = 1 quel que soit σ ∈ H et donc que la restriction
tel que l'on ait M
σ
0
L
0
Revenons à la démonstration de la proposition III.3.1. Soit
francaisREPRÉSENTATIONS p-ADIQUES SURCONVERGENTES
de
σ → Uσ
à
HL
21
σ → Uσ est
e † /B
e† )
HK /HL = Gal(B
L
K
est cohomologue au cocycle trivial. On en déduit le fait que
cohomologue à un cocycle provenant par ination d'un cocycle sur
e † )HL = GLd (B
e † ). On termine la démonstration en utilisant la trivialité
GLd (B
L
1
e † /B
e † ), GLd (B
e † )), trivialité qui découle du théorème de Hilbert 90 appliqué à
de H (Gal(B
L
K
L
e † /B
e † (cf. proposition II.4.1).
l'extension galoisienne nie B
L
K
à valeurs dans
III.4.
La décomplétion ou le passage de
e†
B
K
à
ϕ−∞ (B†K )
Ce paragraphe est consacré à la démonstration de la bijectivité de ι1 , c'est-à-dire à la démonstration de la proposition suivante.
Proposition III.4.1.
e † induit un isomorphisme de
L'inclusion de ϕ−∞ (B†K ) dans B
K
e † )).
H 1 (ΓK , GLd (ϕ−∞ (B†K ))) sur H 1 (ΓK , GLd (B
K
Lemme III.4.2.
Soient K une extension nie de F et γ un générateur de ΓK . Si A ∈
GLd (AK ) vérie vE (A − 1) > 0, où A désigne l'image de A dans GLd (EK ), si i ∈ N est tel que
e K ) vérie
pi vE (A − 1) > c(K), où c(K) est l'entier déni au corollaire II.6.2 et si B ∈ GLd (A
Ri (B) = 1 et Aγ(B) = BA, alors B = 1.
Démonstration. Quitte à remplacer A par ϕi (A) et B par ϕi (B), on peut supposer vE (A−1) >
c(K)
et
R0 (B) = 1.
Supposons
On peut alors écrire
B = 1+
B 6= 1
et soit
pk B1 où
B1
k
e K ).
B∈
/ 1 + pk+1 Md (A
B 1 modulo p est non nulle
le plus petit entier tel que
est telle que sa réduction
R0 (B 1 ) = 0.
−1
Aγ(B) = BA implique, en regardant modulo pk+1 , la relation γ(B 1 ) = A B 1 A.
m
m ◦ R∗ à cette relation, que l'on pose C
m
∗
Si on applique ϕ
m = ϕ ◦ Rm (B 1 ) et Dm = ϕ (A),
m
∗
utilisant la BK -linéarité de Rm et le fait que A ∈ GLd (AK ), on obtient la relation γ(Cm ) −
−1
Cm = Dm Cm Dm − Cm . Or vE (γ(Cm ) − Cm ) 6 c(K) + vE (Cm ) puisque Cm est tué par ψ (cf.
et vérie
La relation
corollaire II.6.2) et comme
−1
vE (Dm
Cm Dm − Cm ) > vE (Cm ) + vE (Dm − 1) = vE (Cm ) + pm vE (A − 1) > vE (Cm ) + c(K),
ceci implique
vE (Cm ) = +∞
et donc
Cm = 0
quel que soit
m∈N
et par conséquent
B 1 = 0,
ce
qui conduit à une contradiction et permet de conclure.
Proposition III.4.3.
Soit σ → Vσ un cocycle continu sur ΓK à valeurs dans GLd (BK ) et
e
C ∈ GLd (BK ) tel que le cocycle σ → Wσ = C −1 Vσ σ(C) soit à valeurs dans GLd (ϕ−∞ (BK )) ;
alors C ∈ GLd (ϕ−∞ (BK )).
Démonstration. ΓK
k ∈ N tel que Wσ soit à coecients dans ϕ−k (BK )
quel que soit σ ∈ ΓK . Appliquant Rm pour m > k à l'identité Vσ σ(C) = CWσ et utilisant la
ϕ−m (BK )-linéarité de Rm , on obtient la relation Vσ σ(Cm ) = Cm Wσ , où l'on a posé Cm = Rm (C).
Comme Cm tend vers C quand m tend vers +∞, il existe m0 ∈ N tel que Cm soit inversible
−1
e K ) si m > m0 . Utilisant alors les deux relations obtenues pour éliminer
et CCm ∈ GLd (A
−1 V = V σ(CC −1 ). Le cocycle σ → V étant continu, il existe
Wσ , on obtient la relation CCm
σ
σ
σ
m
e K ) et vérie vE (V γn − 1) > 0. Comme d'autre part,
n ∈ N tel que Vγn appartienne à GLd (A
−1
−m (B )-linéarité de R ), on peut
on a Rm (CCm ) = 1 par construction (cela résulte de la ϕ
m
K
−1
appliquer le lemme III.4.2 au corps Kn et à A = Vγn et B = CCm pour conclure au fait que
C = Cm si m est assez grand et donc C ∈ GLd (ϕ−m (BK )), ce qu'il fallait démontrer.
étant compact, Il existe
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22
ι1 . Soient σ → Uσ et σ → Uσ0 des cocycles sur
†
e † ), c'est-à-dire tels qu'il existe
ΓK à valeurs dans GLd (ϕ−∞ (BK )) cohomologues dans GLd (B
K
e † ) tel que l'on ait A−1 Uσ σ(A) = U 0 quels que soit σ ∈ ΓK . Comme ΓK est topologiA ∈ GLd (B
σ
K
Passons à la démonstration de l'injectivité de
quement engendré par un nombre ni d'éléments (il est en fait topologiquement cyclique), il existe
GLd (ϕ−k (B†K )).
k ∈ N tel que nos deux cocycles soient à valeurs
Uσ0 par ϕk (Uσ ) et ϕk (Uσ0 ), on peut supposer que
dans
et on déduit de la proposition III.4.3 le fait que
A ∈ GLd (ϕ−∞ (BK ))
ceci implique que
A∈
Uσ et
GLd (B†K )
e † ),
A ∈ GLd (B
K
Quitte à remplacer
les deux cocycles sont à valeurs dans
et comme
GLd (ϕ−∞ (B†K )) et donc que nos deux cocycles sont cohomologues dans
GLd (ϕ−∞ (B†K )) ; on en déduit l'injectivité.
Pour démontrer la surjectivité de
ι1 ,
nous aurons besoin du lemme suivant.
Lemme III.4.4. Soient K une extension nie de F , γK une générateur de ΓK , c(K) et n(K)
les entiers dénis au corollaire III.2.8, n ∈ N vériant n > n(K) et k > 3. Si
e † ),
U ∈ 1 + π 2c(K) Md (A†n,K ) + π kc(K) Md (A
n,K
e † ) telle que
il existe M ∈ 1 + π (k−1)c(K) Md (A
n,K
e † ).
M −1 U γK (M ) ∈ 1 + π 2c(K) Md (A†n,K ) + π (k+1)c(K) Md (A
n,K
Démonstration.
l'écrire sous
mentionnés.
U vérie la condition du lemme.
la forme d'une somme U = 1 + U1 + U2 où U1 et U2 appartiennent
D'après le corollaire III.2.8, on peut écrire U2 sous la forme
Supposons que la matrice
On peut donc
aux ensembles
U2 = R0 (U2 ) + (1 − γK )(V )
avec
e † ).
R0 (U2 ) ∈ π kc(K) Md (A†n,K ) et V ∈ π (k−1)c(K) Md (A
n,K
Un calcul brutal, utilisant le fait que
2(k − 1) > k + 1
puisque l'on a supposé
k > 3,
montre que
(1 + V )−1 U γK (1 + V ) = (1 − V + V 2 · · · )(1 + U1 + U2 )(1 + γK (V ))
est congru à
e † ), ce qui montre que M = 1+V
1+U1 +R0 (U2 ) modulo π (k+1)c(K) Md (A
n,K
Corollaire III.4.5.
convient.
e † ), il existe
Si n ∈ N vérie n > n(K) et U ∈ 1 + π 3c(K) Md (A
n,K
e † ) telle que
M ∈ GLd (A
n,K
M −1 U γK (M ) ∈ GLd (A†n,K ).
Démonstration. Le lemme précédent permet de construire par récurrence une suite de matrices
e † ) et si l'on pose Uk = (M3 · · · Mk )−1 U γK (M3 · · · Mk ),
Mk pour k > 3 telle que Mk ∈ 1+π (k−1)c(K) Md (A
n,K
Q
†
2c(K)
(k+1)c(K)
e
alors Uk ∈ 1 + π
Md (A ) + π
Md (A† ). Le produit inni +∞ Mm converge donc
n,K
dans
e† )
1 + π 2c(K) Md (A
n,K
k=3
n,K
vers une matrice qui répond à la question.
Revenons à la démonstration de la surjectivité de ι1 . Soit σ → Uσ un cocycle continu de
e † ). Par continuité, il existe m ∈ N et n ∈ N vériant n > n(K) tel que
ΓK dans GLd (B
K
e † ) si σ ∈ ΓK . Soit γm un générateur de ΓK . D'après le corollaire
Uσ ∈ 1 + π 3c(K) Md (A
m
m
n,K
†
0
−1
e
précédent, il existe A ∈ GLd (A ) telle que si U = A
Uγm γm (A), alors U 0 ∈ GLd (A† ).
K
Soit
σ → Vσ
le cocycle sur
ΓK
déni par
Vσ = A−1 Uσ σ(A).
K
On s'est débrouillé pour que
francaisREPRÉSENTATIONS p-ADIQUES SURCONVERGENTES
Vγm ∈ GLd (A†K )
et donc
Vσ ∈ GLd (A†K )
quel que soit
σ ∈ ΓK m
23
à cause de la relation de cocycle
et de la continuité.
Soit
γ
un générateur de
ΓK .
La relation de cocycle et la commutativité de
ΓK
impliquent les
relations
Uσγ = Uσ σ(Uγ ) = Uγ γ(Uσ ) et Uγ−1 Uσ σ(Uγ ) = γ(Uσ ),
σ ∈ ΓK . On tire alors de la proposition III.4.3 appliquée au cocycle σ → Vσ sur ΓKm et C = Vγ ,
−∞ (B ) et comme ses coecients appartiennent aussi à B
e †,
le fait que Vγ a ses coecients dans ϕ
K
†
−∞ (B )), puis, comme γ est un générateur de Γ , que σ → V est
ceci implique que Vγ ∈ GLd (ϕ
σ
K
K
†
−∞
un cocycle sur ΓK à valeurs dans GLd (ϕ
(BK )) et comme σ → Vσ est cohomologue à σ → Uσ
par construction, ceci permet de démontrer la surjectivité de ι1 et termine la démonstration de
si
la proposition III.4.1.
III.5.
Application aux représentations
p-adiques
Proposition III.5.1.
Si K est une extension nie de F et σ → Uσ est un cocycle continu sur
GK à valeurs dans GLd (Qp ), alors il existe M ∈ GLd (B† ) tel que le cocycle σ → M −1 Uσ σ(M )
soit trivial sur HK et donc à valeurs dans GLd (B†K ).
Démonstration.
e † et l'application naturelle de
Qp étant un sous-corps de B
e † )) étant une bijection d'après le thórème III.1.1,
H 1 (ΓK , GLd (ϕ−∞ (B†K ))) dans H 1 (GK , GLd (B
e † ) tel que le cocycle σ → M −1 Uσ σ(M0 ) soit trivial sur HK et à valeurs
il existe M0 ∈ GLd (B
0
−∞ (B† )) et quitte à remplacer M par ϕk (M ), on peut supposer que le cocycle σ →
dans GLd (ϕ
0
0
K
M0−1 Uσ σ(M0 ) est à valeurs dans GLd (B†K ). Comme d'autre part l'image de H 1 (HK , GLd (Qp ))
1
dans H (HK , GLd (B)) est triviale (c'est une autre manière d'exprimer le fait que V (D(V )) = V
si V est une représentation p-adique de HK ), il existe N ∈ GLd (B) tel que le cocycle σ →
e K et la proposition III.4.3 apN −1 Uσ σ(N ) soit trivial sur HK . On en tire le fait que N −1 M0 ∈ B
−1
−1
M0 et Vσ = N Uσ σ(N ) permet de montrer que N −1 M0 ∈ GLd (ϕ−∞ (BK )).
pliquée à C = N
k
e † )∩GLd (B) =
Il existe donc k ∈ N tel que M = ϕ (M0 ) ∈ GLd (B) et M est un élément de GLd (B
GLd (B† ) tel que le cocycle σ → M −1 Uσ σ(M ) soit trivial sur HK , ce qui permet de conclure.
Corollaire III.5.2.
est surconvergente.
Si K est une extension nie de F , toute représentation p-adique de GK
Démonstration.
Soit V une représentation p-adique de GK . Soit e1 , . . . , ed une base de V sur
Uτ ∈ GLd (Qp ) la matrice de l'action de τ dans cette base. Comme GK agit trivialement
sur GLd (Qp ), les matrices Uτ vérient la relation de cocycle Uστ = Uσ Uτ = Uσ σ(Uτ ) et on peut
†
−1 U τ (M )
utiliser la proposition précédente pour exhiber M ∈ GLd (B ) telle que le cocycle M
τ
soit trivial sur HK , ce qui fait que les colonnes de M forment une base de D(V ) constituée
Qp
et
d'éléments surconvergents et permet de conclure.
Remarque III.5.3.
Dans une version précédente de cet article, nous avions énoncé une
version plus forte du théorème III.1.1 incluant le fait que l'ination induit une bijection de
H 1 (ΓK , GLd (ϕ−∞ (B†K )))
sur
H 1 (GK , GLd (ϕ−∞ (B† ))).
La démonstration était une variante de
celle de la proposition III.5.1 exposée ci-dessus reposant sur la trivialité de
trivialité qui a de grandes chances d'être fausse.
H 1 (HK , GLd (B)),
francaisFRÉDÉRIC CHERBONNIER & PIERRE COLMEZ
24
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Frédéric Cherbonnier,
E-mail :
33
Rue
de
Poissy,
[email protected]
75005
Paris,
France
Pierre Colmez, Département de mathématiques et informatique, École Normale supérieure, U.R.A. 762 du
C.N.R.S., 45 rue d'Ulm, 75005 Paris, France • Institut de mathématiques de Jussieu, 4 place Jussieu, 75005
Paris, France • E-mail : [email protected]